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RESISTÊNCIA DOS MATERIAS
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• Um corpo é submetido ao esforço de cisalhamento 
quando sofre a ação de uma força cortante.
• Denomina-se força cortante (V), a componente de 
uma força, contida no plano da seção transversal. A 
força cortante é uma força que atua no próprio plano 
da seção transversal. A outra componente é a força 
normal.
TENSÃO DE CISALHAMENTO
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4
• A ação de cargas transversais num corpo provoca o 
aparecimento de forças internas, na seção 
transversal, denominadas esforço cortante. A tensão 
de cisalhamento (tau) é obtida através da razão 
entre a força cortante F e a área de seção 
transversal (área de corte) AC.
TENSÃO DE CISALHAMENTO
τ
A
F tecor tan
=τ
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• A força cortante é a carga que atua 
tangencialmente sobre a área de secção 
transversal da peça.
TENSÃO DE CISALHAMENTO
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TENSÃO DE CISALHAMENTO
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• A tensão de cisalhamento ocorre comumente em 
parafusos, rebites e pinos que ligam diversas partes de 
máquinas e estruturas. 
• Um rebite está sujeito a corte simples quando este une 
duas chapas nas quais são aplicadas cargas de tração F 
que provocam o aparecimento de tensões numa seção 
do rebite. 
• Outra situação comum ocorre quando o rebite é usado 
para conectar três chapas e portanto poderá ser cortado 
em dois planos. Neste caso o rebite está sujeito à corte 
duplo.
TENSÃO DE CISALHAMENTO
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• A solicitação de cisalhamento ocorre quando uma peça é
submetida a ação de duas forças opostas (tangenciais), 
que tendem a separá-la em duas partes, através do 
deslizamento das seções adjacentes à área de corte. 
• A condição de cisalhamento ideal ocorre quando as 
forças cortantes atuam no mesmo plano de ação.
TENSÃO DE CISALHAMENTO
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Exemplo: Considere o diâmetro do parafuso, da junta da figura 
abaixo, de 12,5 mm. A força P é igual a 15 kN. Admitida a 
distribuição uniforme das tensões de cisalhamento. Qual o valor 
das tensões em cada uma das seções transversais (m—n ou 
p—q)?
Solução: 
Força em cada plano: 
Área da seção:
TENSÃO DE CISALHAMENTO
kNkNF 5,7
2
15
2
1 ==
2
2
7,122
4
5,12
mmA =⋅=pi MPa
mm
N
mm
N 1,611,61
7,122
7500
22 ===τ
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As forças F exercidas sobre o rebite, não atuam exatamente 
sobre o mesmo plano de ação. Portanto, produz, além do 
corte, o amassamento e a flexão.
Nas juntas rebitadas, além do diâmetro do rebite, tem-se que 
determinar uma distância b mínima entre o centro do rebite e 
a extremidade da chapa, para que os esforços de cisalhantes 
sejam suportados. Desta forma deve ser satisfeita a condição 
de que a resistência oferecida pelas duas áreas cisalhadas
deve ser no mínimo igual a área de seção transversal do 
rebite.
TENSÃO DE CISALHAMENTO
JUNTAS REBITADAS
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JUNTAS REBITADAS
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• Como o esforço cortante sobre a chapa é o mesmo sobre o 
rebite, tem-se:
JUNTAS REBITADAS
chaparebite FF =
chapachaparebiterebite AA ⋅=⋅ ττ
bed chaparebite 24
2
⋅=⋅ τ
pi
τ
e
db
chapa
rebite
8
2pi
τ
τ
⋅=
Onde:
b – distância do centro do rebite a 
extremidade da chapa
d – diâmetro do rebite
e – espessura da chapa
- tensão no rebite
- tensão na chapa
rebiteτ
chapaτ
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Definimos como flexão a solicitação que provoca, ou 
tende a provocar, curvatura nas peças. O esforço 
solicitante responsável por este comportamento é
chamado de momento fletor, podendo ou não ser 
acompanhado de esforço cortante e força normal. Em 
relação à flexão da viga devemos considerar a 
seguinte convenção:
MOMENTO FLETOR
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Carga externa
Curvatura observada
Produção do momento fletor
• As fibras superiores tendem a se aproximar (compressão).
• As fibras inferiores tendem a se afastar (tração).
Tração
Compressão
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Calculadas as reações nos apoios temos Ra e Rb, 
calcula-se o momento fletor da esquerda para a direita. 
Assim começaremos pela seção a:
•MfA = Ra . 0 = 0
•Mfx = Ra . a
•Mfy = Ra ( a + b ) – F1 . b
•MfB = Ra ( a + b + c ) – F1 ( b + c ) – F2 . c = 0
MOMENTO FLETOR DE UMA VIGA
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DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES (DM)
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• Flexão Simples: Uma viga engastada numa 
extremidade, com uma carga concentrada P, aplicada 
na extremidade livre, está submetida à flexão simples 
ou flexão simples plana, quando a carga aplicada atua 
perpendicularmente ao eixo da viga.
Casos de Flexão
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• Flexão Composta: Quando o carregamento atua num 
plano não perpendicular ao eixo da viga. Neste caso a 
carga poderá ser decomposta em duas componentes.
Casos de Flexão
Flexão + Tração
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A equação abaixo é conhecida como fórmula da flexão em 
regime elástico, e a tensão normal σF, provocada quando a barra se flexiona, é chamada de tensão de flexão.
Onde: I - momento de inércia da secção transversal em 
relação à linha neutra; M – momento fletor; e y - distância 
da superfície neutra até a extremidade da peça.
O momento de inércia é uma característica geométrica 
que fornece uma noção da resistência da peça. Quanto 
maior for o momento de inércia da secção transversal de 
uma peça, maior será sua resistência
Tensão de Flexão
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Superfície de linha neutra apresentada num trecho de uma viga fletida
22
Superfície de linha neutra apresentada num trecho de uma viga fletida
23
Flexão na viga
24
Ensaio de viga de concreto armado
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Combinação da força normal, força cortante, momento fletor e torção
Normal
Cortante
Fletor
Torção
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Para a equação de distribuição de tensões apresentada no 
item anterior, podemos observar que as dimensões da 
viga estão associadas ao momento de inércia (I) e a 
distância da linha neutra à fibra mais distante (y). A 
relação entre estas grandezas pode ser expressa pelo 
módulo de flexão.
O módulo de flexão W só depende da geometria da 
secção transversal da viga. Substituindo esta relação na 
equação de Tensão de Flexão, tem-se:
Dimensionamento
Momento fletor máximo
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Quando a viga tiver seção retangular, com largura b e 
altura h, o Momento de Inércia e o Módulo Resistente, 
são, respectivamente:
Para seção circular de diâmetro d, tem-se:
Dimensionamento
28
29
Momento de Inércia de uma Figura Plana
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1) Calcule a tensão máxima na viga do esquema abaixo. 
A viga tem seção retangular constante com dimensões de 
100 x 50 mm. Represente o DM.
• RA = RB = 5 000 N
•MfA = 0
•MfD = 5 000 x 2 = 10 000 Nm
•MfB = 0
Exemplo 1
31
DM
32
Ι
⋅
=
cM fσ NmmNmM f 000.000.10000.10max ==
mmc 50max =
4
33
67,666.166.4
12
10050
12
mm
bh
=
×
==Ι
467,666.166.4
50000.000.10
mm
mmNmm×
=σ
2120 mm
N
=σ
33
2) Calcule a tensão máxima na viga do esquema abaixo. A 
viga é feita em perfil I de 4“ de altura (S4 x 7,7). Verificar 
Tabela
Exemplo 2
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RA = RB = 10 000 N
Mfmax = MfD = 10 000 x 1,5 = 15 000 Nm = 15 000 000 Nmm
cmax = 2” = 50,8 mm
I = 2 530 687 mm4
4687.530.2
8,50000.000.15
mm
mmNmm×
=σ
21,301 mm
N
=σ
Outra Solução:
37,816.49 mm
c
W =Ι=
W
M f
=σ
23 1,3017,816.49
000.000.15
mm
N
mm
Nmm
==σ
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O momento de torção é a soma algébrica de todos os 
momentos dos binários que atuam de um lado da seção 
considerada
•Momento Polar de Inércia
É chamado momento polar de inércia ao momento de 
inércia calculado em relação ao eixo de giração da 
peça. Chamamos de momento polar devido a que ao 
estudarmos a seção esse eixo nos aparece como um 
ponto. O momento polar de inércia de uma seção 
circular é:
MOMENTO TORÇOR
32
4dJ ⋅=pi
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As tensões de cisalhamento, que aparecem quando uma 
peça de seção circular é submetida a um momento de 
torção, sãoassim representadas graficamente.
Cisalhamento na Torção
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Torção no pilar
Efeito de torção em edificações
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Dependendo da distância que tem, o ponto estudado, ao 
centro da seção, teremos os valores da tensão, variando 
de zero até uma tensão máxima. Essa tensão nos é dada 
pela fórmula:
Cisalhamento na Torção
J
M t ρτ ⋅=
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O ângulo de torção “θ “ que gira uma seção em 
relação a outra, ocasionado pela solicitação de torção, 
pode ser calculado por:
Ângulo na torção
JG
lM t
⋅
⋅
=θ
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3) Calcule o momento torçor no esquema abaixo.
Exemplo de momento torçor
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4) Calcule a tensão máxima que acontece na árvore, do 
esquema abaixo, sabendo-se que seu diâmetro é 40 mm.
Exemplo de momento torçor
42
5) Calcular o diâmetro da árvore, para que execute com 
segurança o trabalho proposto no esquema abaixo. O 
material da árvore tem tensão de escoamento ao 
cisalhamento valendo 500 N/mm2. Utilize um coeficiente 
de segurança igual a 2.
Exemplo de momento torçor
J
M t ρτ ⋅=
32
4dJ ⋅=pi
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SOLUÇÃO:
dFt ⋅=Μ
mmNt 400000.30 ⋅=Μ
Nmmt 000.000.12=Μ
2
2
/250
2
/500
mmNmmNadm ==τ
J
t
adm
ρ
τ
⋅Μ
=
32
2
000.000.12
/250 4
2
D
DNmm
mmN
⋅
×
=
pi
2
3
/250
82,496.146.61
mmN
NmmD =
3 244586=D
mmD 5,62=
3
2 82,496.146.61/250
D
Nmm
mmN =
4
2
098125,0
000.000.6/250
D
DNmm
mmN
⋅
⋅
=
3
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6) Conhecendo o diâmetro interno (d= 30 mm) do cilindro 
engastado, determine a tensão máxima cisalhante 
causada pelo torque de magnitude T = 4000KN.mm.
Exemplo de momento torçor
50 mm
( ) ( )41424142 322 ddrrJ −⋅=−⋅=
pipi
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Resolução questão 6
50 mm
( )414232 ddJ −⋅=
pi
( ) ( )[ ] [ ]4444 8100006250000
32
14,33050
32
mmmmmmmmJ −⋅=−⋅= pi
44 5338005440000098125,0 mmmmJ =⋅=
J
cT ⋅
=τ
4533800
254000000
mm
mmNmm ⋅
=τ
24
2
533800
100000000
mm
Nmm
=τ MPa33,187=τ