Aula3 Unidade II Tabela Verdade

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Lógica Matemática
Unidade II – Formalismo lógico
Aula 3
Profa Daisy Albuquerque
2Lógica Matemática- Unidade II – Profª Daisy Albuquerque 2
Lógica Matemática
Sumário
Unidade 2 - O Formalismo da Lógica
· Sentenças lógicas e Operadores lógicos.
· Tabela-verdade, contingências, contradições e 
tautologias.
· Inferência lógica.
3Lógica Matemática- Unidade II – Profª Daisy Albuquerque 3
Lógica Matemática
 Sumário
 Proposição
 Operadores lógicos
 Tabela-verdade
 Negação de proposição
 Revisão
 Exercícios
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Proposição
 O que é uma proposição?
➢ Conjunto de palavras ou símbolos que exprimem 
um pensamento de sentido completo, de modo que 
se possa atribuir, dentro de certo contexto, 
somente um de dois valores lógicos possíveis: 
verdadeiro ou falso.
 Exemplos:
 a) O curso Pré-Fiscal fica em São Paulo. V
 b) O Brasil é um País da América do Sul. V
 c) A Bahia é um estado do sul do Brasil. F
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Proposição
 E o que não é uma Proposição?
 Sentenças exclamativas: 
“Caramba!”, “Feliz aniversário!”, “Feliz Ano Novo!”.
 Sentenças interrogativas: 
“Como é seu nome?”, “O jogo saiu de quanto?”
 Sentenças imperativas: 
“Estude mais”, “Leia aquele livro”.
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Tipos de Proposições
 Proposições SIMPLES
Aquelas que vêm sozinhas, desacompanhadas de outras 
proposições. 
São geralmente designadas por letras minúsculas p, q, r. 
➢ Ex: p = João é médico.
 Proposições COMPOSTAS
Duas ou mais proposições conectadas entre si, formando uma só 
sentença. 
São geralmente designadas por letras maiúsculas P, Q, R.
➢ Ex: R = João é médico e Pedro é dentista.
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Princípios das Proposições
 Princípio da identidade
 Uma proposição verdadeira é verdadeira; uma 
proposição falsa é falsa. 
 Princípio da não-contradição:
 Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa 
simultaneamente.
 Princípio do Terceiro Excluído:
 Uma proposição ou será verdadeira, ou será falsa, não 
há outra possibilidade.
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Operadores lógicos
 Com duas proposições ou mais, podemos formar:
 Conjunções: a Λ b (lê-se: a e b)
 Disjunções: a ⋁ b (lê-se: a ou b)
 Disjunções exclusiva: a V b (lê-se: ou a ou b)
 Condicionais: a → b (lê-se: se a então b)
 Bicondicionais: a ↔ b (lê-se: a se e somente se b)
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Tabela-verdade
 É um instrumento usado para determinar os valores 
lógicos das proposições compostas, a partir de 
atribuições de todos os possíveis valores lógicos das 
proposições simples componentes.
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Construção da tabela-verdade
 Número de linhas da Tabela-verdade
2 elevado ao número de proposições simples.
 Ordem de precedência 
➢ Começando sempre trabalhando com o que houver dentro dos 
parênteses. 
➢ E obedecendo sempre a seguinte ordem:1. Faremos as negaço� es (~);2. Faremos as conjunço� es ou disjunço� es, na ordem em que aparecerem;3. Faremos o condicional;4. Faremos o bicondicional.
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Tabela-Verdade
Exemplo: 
Para fixar nossos conhecimentos vamos construir a tabela verdade da 
seguinte proposição composta: 
P(p,q) = (p ~q) V (q ~p)∧ ∧
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Tabela-Verdade
Exemplo: 
(p ~q) V (q ~p)∧ ∧
Nr
linhas
p q ~p ~q (p ~q)∧ (q ~p)∧ (p ~q) V (q ~p)∧ ∧
1 V V F F F F F
2 V F F V V F V
3 F V V F F V V
4 F F V V F F F
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Negação
 de uma Proposição Simples
 O sí(mbolo que representa a negaça�o e( uma pequena cantoneira (¬) ou um sinal de til (~), antecedendo a frase.
 Basta po+ r a palavra não antes da sentença, e ja( a tornamos uma negativa. Exemplos: 
João é médico. Negativa: João não é médico.
Maria é estudante. Negativa: Maria não é estudante.
 Reparemos que caso a sentença original ja( seja uma negativa (ja( traga a palavra 
não), enta�o para negar a negativa, teremos que excluir a palavra não. Exemplo: 
João não é médico. Negativa: João é médico.
Maria não é estudante. Negativa: Maria é estudante.
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Negação
 de uma Proposição Conjuntiva
 Para negar uma proposiça�o no formato de conjunça�o (p e q), faremos o seguinte:1. Negaremos a primeira parte (~p);2. Negaremos a segunda parte (~q);3. Trocaremos o “e” por “ou”.
Exemplo: p: João é médico e q: Pedro é dentista, então a negação de (p e 
q) será:1. Nega-se a primeira parte (~p) = Joa�o na�o e( me(dico;2. Nega-se a segunda parte (~q) = Pedro na�o e( dentista;3. Troca-se E por OU, e o resultado final sera( o seguinte:
JOÃO NÃO É MÉDICO OU PEDRO NÃO É DENTISTA.
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 Traduzindo para a linguagem da lo( gica, dizemos que:
 Como fomos chegar a9 essa conclusa� o?
Negação
 de uma Proposição Conjuntiva
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Negação
 de uma Proposição Disjuntiva
 Para negar uma proposiça�o no formato de disjunça�o (p ou q), faremos o seguinte:1. Negaremos a primeira parte (~p);2. Negaremos a segunda parte (~q);3. Trocaremos o “ou” por “e”.
Exemplo: p: João é médico e q: Pedro é dentista, então a negação de (p ou q) 
será:
1. Nega-se a primeira parte (~p) = Pedro na�o e( dentista;2. Nega-se a segunda parte (~q) = Paulo na�o e( engenheiro;3. Troca-se OU por E, e o resultado final sera( o seguinte:
PEDRO NÃO É DENTISTA E PAULO NÃO É ENGENHEIRO.
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 Traduzindo para a linguagem da lo( gica, dizemos que:
 Como fomos chegar a9 essa conclusa� o?
Negação
 de uma Proposição Disjuntiva
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Negação
 de uma Proposição Condicional
 Para negar uma proposiça�o no formato condicional (p → q), faremos o seguinte:1. Mante(m-se a primeira parte (p); E2. Nega-se a segunda parte (~q).
Exemplo: “se chover então levarei o guarda-chuva”.
 1. Mante(m-se a primeira parte (p) = Chove;2. Nega-se a segunda parte (~q) = Na�o levo o guarda-chuva;
CHOVE E NÃO LEVO O GUARDA-CHUVA.
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 Traduzindo para a linguagem da lógica, dizemos que:
 Como fomos chegar a essa conclusão?
? ? ?
Negação
 de uma Proposição Condicional
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Negação
 de uma Proposição Condicional
Nr p q p→q ~(p→q)
1 V V V F
2 V F F V
3 F V V F
4 F F V F
Nr p q ~q p ∧~q
1 V V F F
2 V F V V
3 F V F F
4 F F V F
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Negação
 de uma Proposição Bicondicional
 Para negar uma proposiça�o no formato bicondicional (p ↔ q), faremos o seguinte:1. Negar 1 Bicondicional e( negar 2 condicionais;2. (p ↔ q) e( equivalente a ((p→q) ^ (q →p));
3. Então ~((p→q) ^ (q →p)):
● Negaremos a primeira parte (p→q);
● Negaremos a segunda parte (q →p);e
● Trocaremos e por ou.
4. ~(p → q)
● Mantêm a primeira e nega a segunda
● p ^ ~q
5. ~(q →p)
● Mantêm a primeira e nega a segunda
● q ^ ~p
6. (p ˄~q)˅ (q ˄~p)
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Negação
 de uma Proposição Bicondicional
Exemplo: (VUNESP/2013) Uma negaça�o lo( gica para a proposiça�o: “A Terra é redonda se e somente se o céu não é azul”, pode ser dada por: a) o ce(u e( azul e a Terra e( redonda, ou a Terra e( redonda e o ce(u na� o e( azul.b) a Terra e( redonda e o ce(u na�o e( azul.c) o ce(u na�o e( azul e a Terra na�o e( redonda, oua Terra e( redonda e o ce(u e( azul.d) a Terra na�o e( redonda ou o ce(u na�o e( azul.
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Negação
 de uma Proposição Bicondicional
Exemplo: (VUNESP/2013) Uma negaça�o lo( gica para a proposiça�o: “A Terra é redonda se e somente se o céu não é azul”, pode ser dada por: a) o ce(u e( azul e a Terra e( redonda, ou a Terra e( redonda e o ce(u na� o e( azul.b) a Terra e( redonda e o ce(u na�o e( azul.c) o ce(u na�o e( azul e a Terra na�o e( redonda, ou a Terra e( redonda e o ce(u e( azul.d) a Terra na�o e( redonda ou o ce(u na�o e( azul.
Solução:
p: a Terra é redonda
q:o céu não é azul
 p ↔ q ≡ (p → q) (q → p)∧
 ~(p ↔ q) ≡ ~((p → q) (q → p))∧
 ~(p ↔ q) ≡~( p → q)˅ ~(q → p) 
 ~(p ↔ q) ≡ (p ~q)∧ ˅ (q ~p) ∧
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Negação
 de uma Proposição Bicondicional
Exemplo: (VUNESP/2013) Uma negaça�o lo( gica para a proposiça�o: “A Terra é redonda se e somente se o céu não é azul”, pode ser dada por: a) o ce(u e( azul e a Terra e( redonda, ou a Terra e( redonda e o ce(u na� o e( azul.b) a Terra e( redonda e o ce(u na�o e( azul.c) o ce(u na�o e( azul e a Terra na�o e( redonda, ou a Terra e( redonda e o ce(u e( azul.d) a Terra na�o e( redonda ou o ce(u na�o e( azul.
Solução:
p: a Terra é redonda
q:o céu não é azul
 p ↔ q ≡ (p → q) (q → p)∧
 ~(p ↔ q) ≡ ~((p → q) (q → p))∧
 ~(p ↔ q) ≡~( p → q)˅ ~(q → p) 
 ~(p ↔ q) ≡ (p ~q)∧ ˅ (q ~p) ∧
A Terra é redonda e o céu é azul, ou o céu não é azul e a Terra não é redonda.
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Negação
 de uma Proposição Bicondicional
Exemplo: (VUNESP/2013) Uma negaça�o lo( gica para a proposiça�o: “A Terra é redonda se e somente se o céu não é azul”, pode ser dada por: a) o ce(u e( azul e a Terra e( redonda, ou a Terra e( redonda e o ce(u na� o e( azul.b) a Terra e( redonda e o ce(u na�o e( azul.
c) o céu não é azul e a Terra não é redonda, ou a Terra é redonda e o céu é azul.d) a Terra na�o e( redonda ou o ce(u na�o e( azul.
Solução:
p: a Terra é redonda
q:o céu não é azul
 p ↔ q ≡ (p → q) (q → p)∧
 ~(p ↔ q) ≡ ~((p → q) (q → p))∧
 ~(p ↔ q) ≡~( p → q)˅ ~(q → p) 
 ~(p ↔ q) ≡ (p ~q)∧ ˅ (q ~p) ∧
A Terra é redonda e o céu é azul, ou o céu não é azul e a Terra não é redonda.
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Recapitulando
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Recapitulando
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Exercícios
CEPERJ/2012 - Concurso Procon do Rio de Janeiro
Considere a afirmação: "Isabel não almoçou e foi ao dentista." 
A negação dessa afirmação é:
a) Isabel almoçou e não foi ao dentista.
b) Isabel almoçou ou não foi ao dentista.
c) Isabel não almoçou e não foi ao dentista.
d) Isabel não almoçou e não foi ao dentista.
e) Isabel foi ao dentista e não almoçou.
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Exercícios
"Isabel não almoçou e foi ao dentista." 
p: Isabel não almoçou
q: foi ao dentista
p ˄ q
Negação da conjunção (p ˄ q)?
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Exercícios
"Isabel não almoçou e foi ao dentista." 
p: Isabel não almoçou
q: foi ao dentista
p ˄ q
Negação da conjunção (p ˄ q)?
~(p ˄ q) =
 - negar as proposições simples
 - e trocar o conectivo pelo "˅".
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Exercícios
"Isabel não almoçou e foi ao dentista." 
p: Isabel não almoçou
q: foi ao dentista
p ˄ q
Negação da conjunção (p ˄ q)?
~(p ˄ q) =
 - negar as proposições simples
p: Isabel não almoçou -->> Negação: Isabel almoçou
q: Foi ao dentista -->> Negação: Não foi ao dentista
 - e trocar o conectivo pelo "˅".
Isabel almoçou ou não foi ao dentista.
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Exercícios
CEPERJ/2012 - Concurso Procon do Rio de Janeiro
Considere a afirmação: "Isabel não almoçou e foi ao dentista." 
A negação dessa afirmação é:
a) Isabel almoçou e não foi ao dentista.
b) Isabel almoçou ou não foi ao dentista.
c) Isabel não almoçou e não foi ao dentista.
d) Isabel não almoçou e não foi ao dentista.
e) Isabel foi ao dentista e não almoçou.
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Exercícios
(FT_98) De três irmãos – José, Adriano e Caio –, sabe-se que ou 
José é o mais velho, ou Adriano é o mais moço. Sabe-se, 
também, que ou Adriano é o mais velho, ou Caio é o mais 
velho. Então, o mais velho e o mais moço dos três irmãos são, 
respectivamente:
a) Caio e José
b) Caio e Adriano
c) Adriano e Caio
d) Adriano e José
e) José e Adriano
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Exercícios
Três irmãos – José, Adriano e Caio –
Ou José é o mais velho, ou Adriano é o mais moço. 
Ou Adriano é o mais velho, ou Caio é o mais velho. 
O mais velho e o mais moço dos três irmãos são:
Resolução:
Ou José é o mais velho, ou Adriano é o mais moço. (I)
Ou Adriano é o mais velho, ou Caio é o mais velho. (II)
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Exercícios
Três irmãos – José, Adriano e Caio –
Ou José é o mais velho, ou Adriano é o mais moço. 
Ou Adriano é o mais velho, ou Caio é o mais velho. 
O mais velho e o mais moço dos três irmãos são:
Resolução:
Ou José é o mais velho, ou Adriano é o mais moço. (I)
Ou Adriano é o mais velho, ou Caio é o mais velho. (II)
Considerando a proposição (II):
Ou Adriano é o mais velho, ou Caio é o mais velho. 
(Essa proposição será verdadeira se somente uma das proposições for verdadeira.)
Considerando que Caio é o mais velho, então Adriano não é o mais velho.
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Exercícios
Três irmãos – José, Adriano e Caio –
Ou José é o mais velho, ou Adriano é o mais moço. 
Ou Adriano é o mais velho, ou Caio é o mais velho. 
O mais velho e o mais moço dos três irmãos são:
Resolução:
Ou José é o mais velho, ou Adriano é o mais moço. (I)
Ou Adriano é o mais velho, ou Caio é o mais velho. (II)
Considerando a proposição (II):
Ou Adriano é o mais velho, ou Caio é o mais velho. 
(Essa proposição será verdadeira se somente uma das proposições for verdadeira.)
Considerando que Caio é o mais velho, então Adriano não é o mais velho.
Considerando a proposição (I):
Ou José é o mais velho, ou Adriano é o mais moço.
(Essa proposição será verdadeira se pelo menos uma das proposições for verdadeira.)
Considerando que Caio é o mais velho, então José não é o mais velho.
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Exercícios
Três irmãos – José, Adriano e Caio –
Ou José é o mais velho, ou Adriano é o mais moço. 
Ou Adriano é o mais velho, ou Caio é o mais velho. 
O mais velho e o mais moço dos três irmãos são:
Resolução:
Ou José é o mais velho, ou Adriano é o mais moço. (I)
Ou Adriano é o mais velho, ou Caio é o mais velho. (II)
Considerando a proposição (II):
Ou Adriano é o mais velho, ou Caio é o mais velho. 
(Essa proposição será verdadeira se somente uma das proposições for verdadeira.)
Considerando que Caio é o mais velho, então Adriano não é o mais velho.
Considerando a proposição (I):
Ou José é o mais velho, ou Adriano é o mais moço.
(Essa proposição será verdadeira se pelo menos uma das proposições for verdadeira.)
Considerando que Caio é o mais velho, então José não é o mais velho.
Se José é o mais velho é falso pela (II), então Adriano é o mais moço.
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Exercícios
(FT_98) De três irmãos – José, Adriano e Caio –, sabe-se que ou 
José é o mais velho, ouAdriano é o mais moço. Sabe-se, 
também, que ou Adriano é o mais velho, ou Caio é o mais 
velho. Então, o mais velho e o mais moço dos três irmãos são, 
respectivamente:
a) Caio e José
b) Caio e Adriano
c) Adriano e Caio
d) Adriano e José
e) José e Adriano
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Lógica Matemática- Unidade I – Profª Daisy Albuquerque 39
Lógica
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Lógica
 Aula de hoje
 Livro: Iniciação à Lógica Matemática
 Capítulo 2 – Operações lógicas sobre proposições
 Próxima aula
 Livro: Iniciação à Lógica Matemática
 Capítulo 3 – Construção de Tabelas verdade
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	Lógica Matemática
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	Proposição
	Proposição
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	Princípios das Proposições
	Proposição
	Tabela-Verdade
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	Tabela-Verdade
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