05 Variáveis aleatórias discretas 02

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Probabilidade e 
Estatística
Aula 05
Variáveis Aleatórias Discretas_02
Leitura Prévia
• Seções 2.5, 2.6 e 2.7 – Páginas 65 a 76 do 
Livro do Yates.
Modo
( ) ( ) .qualquer paramod xxXPxXP =≥=
O modo de uma V. A. X é um número xmod satisfazendo
Ex.: Em uma prova, dez estudantes tiraram as 
seguintes notas: 9, 5, 10, 8, 4, 7, 5, 5, 8, 7. O 
modo é 5, pois é a nota que aparece com maior 
freqüência.
Mediana
( ) ( )medmed xxPxXP >=<
A mediana, xmed, de uma variável aleatória X é 
um número que satisfaz
Ex.: Em uma prova, dez estudantes tiraram as 
seguintes notas: 9, 5, 10, 8, 4, 7, 5, 5, 8, 7. A 
mediana é 7, pois há quatro resultados inferiores 
a 7 e quatro superiores a 7.
Valor Esperado, Esperança ou Valor Médio 
• X pode assumir n valores x1,...,xn.
• O experimento foi repetido N vezes (N→∞).
• m1,...,mn: número de tentativas favoráveis aos resultados 
x1,...,xn, respectivamente.
• Então o valor médio de X é dado por
( ) nnnn xN
mx
N
mx
N
mxmxmxm
N
X +++=+++=  22112211
1
• Quando N →∞
∑
=
=
n
i
iXi xpxX
1
)(
Bernoulli
[ ] ( ) pppXE =−×+×= 101
Geométrica
[ ] ( )
p
pppxXE
x
x −=−⋅⋅=∑
∞
=
11
0
No livro do Yates a Geométrica é definida como o número de testes 
até o primeiro sucesso (e não o número de falhas até o primeiro 
sucesso). Assim, p(x) = p(1 - p)x-1 , x = 1,2,.., e E(x)=1/p.
Poisson
( ) ( ) α
α
α
α
α
α ααα ==
−
== ∑∑∑
∞
=
−
∞
=
−
−∞
=
−
01
1
0 !!1! k
k
x
x
x
x
e
k
e
x
e
x
xXE
k = x - 1
Binomial, Pascal e Uniforme Discreta
• Do Teorema 7 do livro do Yates (pág. 69)
– Para uma V.A. “X” Binomial de parâmetros (n,p) definida em 2.7:
– Para uma V.A. “X” Pascal de parâmetros (k,p) definida em 2.8:
– Para uma V.A. “X” Uniforme Discreta de parâmetros (k,l) definida 
em 2.9: 
 E X np
  kE X
p

  ( )
2
k lE X 
Função de uma Variável Aleatória
( )
( ) ( ) ( )xXPxgyPyYP
xgy
=====
=
)(
( ) ∑
=
===
yxgx
xXPyYP
)(:
)(
Se para cada valor y há apenas um valor correspondente 
de x
Se há dois ou mais valores de x que resultam no mesmo 
valor de y, há que se somar as probabilidades 
correspondentes
Exemplo




≤≤
≤≤−
==
10650
515.05.10)(
2
X
XXXXgY
( )





=
=
==
contrário caso0
8,7,6,51.0
4,3,2,115.0
x
x
xXP
O modelo de cobrança para transmissões de Fax de uma 
companhia telefônica leva em conta apenas o número de 
páginas. O preço cobrado, em centavos, é dado por:
O número de páginas de cada fax, X, é uma variável 
aleatória com função massa de probabilidade:
FMP de Y ?
0.15
0.1
X=1
X=2
X=3
X=4
X=5
X=6
X=7
X=8
Y = 10
Y = 19
Y = 27
Y = 34
Y = 40
Y = 50
FMP de Y







=
=
=
==
contrário caso0
503.0
401.0
34,27,19,1015.0
)(
y
y
y
yYP
Valor esperado de uma função de uma 
variável aleatória
( ) ( ) ( )
( ) ( )∑∑ ∑
∑ ∑∑
∈∈ =
∈ =∈
=⋅==⋅=
=⋅==⋅=
=
xy
yy
SxSy yxgx
Sy yxgxSy
xXPxgxXPxg
xXPyyYPyYE
xgy
)()(
)(
)(:
)(:
( ) ( )∑
∈
=⋅=
xSx
xXPxgYE )(
Exemplo
• Calcular o valor médio da variável aleatória Y 
do exemplo anterior.
Propriedades
[ ] 0=− xXE µ
( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 0==−=⋅==−= ∑∑∑
∈∈∈ XXX Sx
x
SxSx
x xXPxXPxxXPxxgE µµ
[ ] ( ) bXaEbaXE +=+
Prova
Exercícios
• Exercícios 2.5.1 a 2.7.9 – Capítulo 2 – Livro 
Yates
• Série de Exercícios No 5
– Prazo de Entrega: 1 semana
	Probabilidade e Estatística
	Leitura Prévia
	Modo
	Mediana
	Valor Esperado, Esperança ou Valor Médio 
	Bernoulli
	Geométrica
	Poisson
	Binomial, Pascal e Uniforme Discreta
	Função de uma Variável Aleatória
	Exemplo
	FMP de Y ?
	FMP de Y
	Valor esperado de uma função de uma variável aleatória
	Exemplo
	Propriedades
	Exercícios