Tópicos de análise matemática

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TO´PICOS
DE
ANA´LISE MATEMA´TICA
V´ıtor Neves
Departamento de Matema´tica
Universidade de Aveiro
2
Prefa´cio
Algures entre Agosto e Dezembro de 1981 – iniciava enta˜o quatro anos como es-
tudante graduado na University of Iowa, em Iowa City, Iowa EUA – tive a sorte
de assistir a uma palestra de Marc Kac sobre Atractores Estranhos, assunto ao
tempo muito na moda; tera´ seguramente sido interessant´ıssima cientificamente, mas
as impresso˜es que me ficaram sa˜o literalmente de outra natureza. Foram cinquenta
minutos de o´ptima disposic¸a˜o pois Kac mostrou um humor apurado; vim a perceber
ser esta uma forma muito frequente de apresentac¸a˜o, ta˜o mais perfeita quanto mel-
hor cientista e´ o conferencista; na˜o e´ regra terem sido todas as palestras significativas
assim, mas as excepc¸o˜es na˜o foram muitas. Gravei tambe´m a frase seguinte:
Quando pretendemos publicar uma demonstrac¸a˜o, devemos procurar uma
revista de Matema´tica e para uma prova uma revista de F´ısica; se que-
remos mostrar um resultado, e´ mais adequada uma revista de Sociologia.
Outra citac¸a˜o, suponho que do meu orientador de doutoramento, Keith Stroyan:
Como docentes [de Matema´tica, mas na˜o so´] devemos sempre falar ver-
dade, mas na˜o necessariamente dizer toda a verdade!
Por essa altura eram tambe´m muito bem considerados livros de J. E. Marsden, sobre
diversos n´ıveis de Ana´lise Matema´tica e suas aplicac¸o˜es, nos quais as demonstrac¸o˜es
eram quase sempre relegadas para o fim dos cap´ıtulos, ainda considero ser esta um
o´ptima forma de exposic¸a˜o.
Tentei redigir de acordo com estas treˆs ideias; de facto o ponto de vista de Marsden so´
muito dificilmente se pode ver aplicado, mas sinto-me constantemente a estabelecer
um compromisso entre ele e os ha´bitos dos nossos alunos (e na˜o poucos colegas),
nomeadamente va´rias proposic¸o˜es na˜o sa˜o demonstradas, ou porque a demonstrac¸a˜o
e´ demasiadamente fina para um texto deste aˆmbito ou por a acharmos simples ou
ainda digna de exerc´ıcio, enunciado ou na˜o. Encontrar-se-a´ porventura influeˆncia
de [16].
Este e´ um conjunto de notas resultante de um texto com o qual se tem recente-
mente apoiado a disciplina de Ana´lise Matema´tica II da Universidade de Aveiro.
Dirige-se a disciplina na˜o so´ a estudantes de Matema´tica mas tambe´m a alunos de
Engenharia pelo que na˜o me parece despiciendo referir func¸o˜es de va´rias varia´veis,
ainda que de forma muito pragma´tica: tratar trajecto´rias ortogonais, equac¸o˜es difer-
enciais exactas e eventuais factores integrantes e´ importante bem como me parece
ser tambe´m u´til a terminologia ”campo escalar”ou ”campo vectorial”; claro que a
derivac¸a˜o de uma composic¸a˜o de curvas com campos escalares e´ uma dificuldade
se´ria, mas a Regra da Cadeia parece-me fa´cil de aceitar pelos alunos e na˜o espe-
cialmente dif´ıcil de expor pelo docente; a este propo´sito estimo particularmente os
textos do professor Dias Agudo [8] e [9], muito em particular o segundo, na˜o porque
4
os considere especialmente acess´ıveis – o segundo e´ – antes pelo contra´rio, mas por
serem muito completos e bem escritos; e´ tambe´m interessante notar terem alguns
alunos encontrado apoio no livro do professor Guerreiro [12].
O cap´ıtulo sobre Se´ries de Fourier e´ uma forma de forc¸ar a utilizac¸a˜o da A´lgebra
Linear e evitar ca´lculos, digamos ”a` la Zygmund”, a meu ver inapropriados para os
alunos actuais de uma disciplina do segundo semestre do I ano do I Ciclo (segundo
o acordo de Bolonha).
Os primeiros cap´ıtulos devem na verdade ser considerados reviso˜es: constituem uma
incursa˜o, de certo modo dirigida e ra´pida ao que se poderia designar por Fundamen-
tos da Ana´lise Real, apenas com o fim de tornar o texto auto-suficiente; exemplos
desta economia de meios sa˜o a secc¸a˜o sobre nu´meros naturais e a secc¸a˜o sobre
nu´meros complexos, onde se refere o que temos por verdadeiramente essencial a`
compreensa˜o das notas. De facto so´ a partir do Cap´ıtulo 5 inclusive, se apresenta o
que podera´ ser considerado Ana´lise Matema´tica mais avanc¸ada.
A u´ltima secc¸a˜o e´ um exemplo, inesperado para mim, de aplicac¸a˜o do Lema de Gron-
wall conjuntamente com o Teorema de Peano para equac¸o˜es diferenciais ordina´rias.
Na˜o reputo os exerc´ıcios de particularmente bons, de facto sa˜o uma parte ainda a
ser constru´ıda.
Conta-se que o leitor se sinta minimamente a` vontade com rudimentos de A´lgebra
Linear bem como que tenha alguma familiaridade com o formalismo da Lo´gica en-
quanto estenografia da linguagem matema´tica por meio da quantificac¸a˜o e dos conec-
tivos.
OBSERVAC¸O˜ES e AGRADECIMENTOS
1. Nos fins dos anos 1980 dizia na Covilha˜ o professor Dias Agudo, enta˜o lec-
cionando tambe´m na Universidade da Beira Interior, que os seus livros eram
escritos para ”estudantes com professor”, por oposic¸a˜o a autodidactas (menos
capazes, acrescentamos no´s); uma leitura superficial do I´ndice destas notas e´
suficiente para se perceber a importaˆncia de um, por assim dizer, orientador
de leitura, de modo algum por serem de n´ıvel compara´vel a` obra do professor
Dias Agudo, mas sim porque na˜o seguem a ordem usual e na˜o sa˜o, nem se
pretende que sejam, realmente completas.
2. log(ex) = x (x ∈ R)
3. Ao Anto´nio Caetano agradec¸o ter verificado algumas demonstrac¸o˜es – na˜o a
maioria inteiramente de minha responsabilidade – a` minha esposa, Ana Helena
Roque, o fornecimento de alguns exerc´ıcios, a ambos as variadas formas de
pacieˆncia e apoio que me dispensaram.
4. E´ muito importante eliminar qualquer erro tipogra´fico ou qualquer du´vida
conceptual, suscept´ıveis de ocorrer como consequeˆncia de uma elaborac¸a˜o por
vezes demasiadamente apressada, pelo que agradec¸o comenta´rios, sugesto˜es e
correcc¸o˜es, enviadas para
vneves@ua.pt
de modo a poder ir adaptando.
Setembro de 2011
Vı´tor Neves
Prefa´cio (2010/2011)
Mante´m-se no essencial o prefa´cio de 2005/06. Houve algumas modificac¸o˜es de
paginac¸a˜o e reagrupamento, em particular no cap´ıtulo sobre equac¸o˜es diferenciais,
no entanto na˜o se alterou o aspecto introduto´rio fortemente elementar, aqui e ali
abri pistas para tratamento profundo.
A secc¸a˜o sobre se´ries de Fourier deu lugar a um cap´ıtulo, ainda em construc¸a˜o, em
cuja secc¸a˜o final se trata o tema sob um ponto de vista mais Funcional.
21 de Fevereiro de 2011
Vı´tor Neves
Prefa´cio (2005/2006)
Este e´ um texto de apoio a` disciplina Ana´lise Matema´tica II que ira´ sendo aper-
feic¸oado a` medida que a disciplina for decorrendo no semestre — veja-se a propo´sito
a observac¸a˜o abaixo — pelo que muitos comenta´rios de ı´ndole menos formal e exem-
plos, bem como algumas demonstrac¸o˜es, sera˜o apresentados nas aulas teo´ricas ou
nas aulas teo´rico-pra´ticas e na˜o aparecera˜o sistematicamente no texto podendo, no
entanto, vir a ser acrescentados a` medida que o semestre decorre. As demonstrac¸o˜es
apresentadas basear-se-a˜o apenas em resultados supostos de conhecimento geral ou
outros apresentados no texto.
Perante a necessidade de elaborar estas notas com alguma rapidez (caso contra´rio,
teriam necessariamente utilidade reduzida) e de manter um discurso na˜o demasiada-
mente codificado por vezes utilizamos linguagem formal de forma informal.
O s´ımbolo 2 termina as demonstrac¸o˜es.
6
OBSERVAC¸A˜O: E´ muito importante eliminar qualquer erro tipogra´fico ou qual-
quer du´vida conceptual, suscept´ıveis de ocorrer como consequeˆncia de uma elaborac¸a˜o
por vezes demasiadamente apressada, pelo que agradecemos comenta´rios, sugesto˜es
e correcc¸o˜es, enviadas para
vneves@mat.ua.pt
de modo a que o texto possa ir sendo adaptado e corrigido.
2006
Vı´tor Neves
I´ndice
1 Fundamentos 101
1.0 Nu´meros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
1.0.1 Axioma´tica de corpo . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 101
1.0.2 Axiomas de ordenac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
1.0.3 Outras propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
1.0.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
1.0.5 Nu´meros racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
1.0.6 Subconjuntos de R. Parte I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
1.0.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
1.0.8 Subconjuntos de R. Parte II. Completude . . . . . . . . . . . 115
1.1 Nu´meros complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
1.1.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
1.1.2 Algumas particularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
1.1.3 Teorema fundamental da A´lgebra . . . . . . . . . . . . . . . . 118
1.2 Continuidade e diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
1.2.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
1.2.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
1.2.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
1.3 Integrac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
1.3.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
2 Teoremas da Func¸a˜o Composta e da Func¸a˜o Inversa 201
2.1 Teoremas da Func¸a˜o Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
2.2 Teoremas da Func¸a˜o Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
2.2.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
3 Teorema de Taylor 301
3.1 Fo´rmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
3.1.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
3.2 Func¸o˜es Anal´ıticas I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
3.2.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
7
8 I´NDICE
4 Sucesso˜es e Se´ries nume´ricas 401
4.1 Sucesso˜es nume´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
4.1.1 Sucesso˜es mono´tonas. Sucesso˜es limitadas . . . . . . . . . . . 401
4.1.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
4.2 Convergeˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
4.2.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
4.2.2 Sucesso˜es na˜o limitadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
4.2.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
4.3 Se´ries nume´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
4.3.1 Generalidades sobre convergeˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . 416
4.3.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
4.3.3 Se´ries de termos na˜o negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
4.3.4 Convergeˆncia absoluta e convergeˆncia simples . . . . . . . . . 422
4.3.5 Convergeˆncia absoluta II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
4.3.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
5 Sucesso˜es de func¸o˜es reais 501
5.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
5.1.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
5.2 Se´ries de poteˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506
5.2.1 Aspectos gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506
5.2.2 Func¸o˜es anal´ıticas II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510
5.2.3 As func¸o˜es transcendentes elementares . . . . . . . . . . . . . 511
5.2.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511
5.3 O raio de convergeˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513
5.3.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517
6 Se´ries de Fourier 601
6.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601
6.2 Se´ries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603
6.3 Convergeˆncia I. Me´dia quadra´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605
6.3.1 To´picos sobre espac¸os (quase-)euclidianos . . . . . . . . . . . . 607
6.3.2 Desigualdades de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610
6.3.3 Equac¸a˜o de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610
6.4 Convergeˆncia II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612
6.5 Func¸o˜es na˜o perio´dicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616
6.6 Convergeˆncia III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617
6.6.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617
7 Integrais Impro´prios 701
7.1 Integrais de primeira espe´cie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701
I´NDICE 9
7.2 Integrais de segunda espe´cie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705
7.3 Integrais mistos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707
7.3.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707
7.4 Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709
7.4.1 Inversa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713
7.4.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714
8 Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias 801
8.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801
8.2 Equac¸o˜es de varia´veis separa´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801
8.2.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802
8.3 Equac¸o˜es exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804
8.3.1 Factor integrante para equac¸o˜es na˜o exactas . . . . . . . . . . 805
8.3.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806
8.3.3 Brev´ıssima incursa˜o informal a curvas em R2 . . . . . . . . . . 806
8.4 Forma normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807
8.4.1 Exerc´ıcios (trajecto´rias ortogonais) . . . . . . . . . . . . . . . 808
8.4.2 Equac¸o˜es lineares de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . 809
8.4.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 809
8.4.4 Equac¸o˜es lineares de segunda ordem e coeficientes constantes . 810
8.4.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 810
8.4.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812
8.4.7 Equac¸o˜es lineares de segunda ordem e coeficientes anal´ıticos . 812
8.4.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813
8.5 Singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813
8.5.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813
8.6 Equac¸o˜es lineares de ordem n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814
8.6.1 Teoria geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814
8.6.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816
8.6.3 Equac¸o˜es lineares de coeficientes constantes . . . . . . . . . . 816
9 Sistemas lineares (forma normal) 901
9.1 A primeira ordem e´ suficiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 901
9.2 Sistemas de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902
9.2.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902
9.2.2 Matriz A constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904
9.2.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906
9.3 Sistema lineares de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 907
9.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908
10 Existeˆncia e unicidade 1001
10 I´NDICE
10.1 Continuidade (muito) elementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1001
10.1.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1002
10.2 Existeˆncia e unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1002
10.3 O Lema de Gronwall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006
10.3.1 Func¸o˜es impl´ıcitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1008
Cap´ıtulo 1
Fundamentos
1.0 Nu´meros reais
1.0.1 Axioma´tica de corpo
C1. A soma e´ associativa:
∀ x, y, z ∈ R (x+ y) + z = x+ (y + z).
C2. A soma tem elemento neutro, designado por 0, i.e.
∀ x ∈ R x+ 0 = 0 + x = x.
C3. Qualquer nu´mero real tem sime´trico i.e.
∀x ∈ R ∃y ∈ R x+ y = y + x = 0.
O sime´trico do nu´mero real x designar-se-a´ −x.
C4. A soma e´ comutativa:
∀ x, y ∈ R x+ y = y + x.
C5. O produto e´ associativo:
∀ x, y, z ∈ R (x · y) · z = x · (y · z).
C6. O produto tem elemento neutro, designado por 1, i.e.
∀ x ∈ R x · 1 = 1 · x = x.
Como e´ habitual, omitir-se-a´ · entre letras ou entre letras e nu´meros.
C7. O produto e´ comutativo:
∀ x, y ∈ R xy = yx.
101
102 CAPI´TULO 1. FUNDAMENTOS
C8. Qualquer nu´mero real na˜o nulo tem inverso i.e.
∀x ∈ R\{0} ∃y ∈ R xy = yx = 1.
O inverso do nu´mero real x designar-se-a´ x−1 ou 1
x
.
C9. O produto e´ distributivo relativamente a` adic¸a˜o, i.e.,
∀ x, y, z ∈ R [x(y + z) = xy + xz ∧ (y + z)x = yx+ zx].
1.0.2 Axiomas de ordenac¸a˜o
01. < e´ uma relac¸a˜o de ordem total em R i.e. goza das propriedades seguintes.
1. < e´ anti-reflexiva:
∀x ∈ R x 6< x.
2. < e´ transitiva:
∀x, y, z ∈ R [[x < y ∧ y < z]⇒ x < z] .
3. < e´ tricoto´mica i.e. para quaisquer x, y ∈ R, se x 6= y da´-se uma e so´
uma das condic¸o˜es seguintes: x < y ou y < x.
O2. Monotonia da soma
∀x, y, z ∈ R [y < z ⇒ x+ y < x+ z].
O3. Semi-monotonia do produto
∀x, y, z ∈ R [[y < z ∧ 0 < x]⇒ xy < xz] .
Por verificar os axiomas Ci, R diz-se um corpo; por verificar tambe´m os axiomas
Oi, R diz-se que um corpo ordenado.
O {x ∈ R| 0 < x} designar-se-a´ por R+ e os seus elementos chamam-se nu´meros
positivos. Por definic¸a˜o, os nu´meros negativos sa˜o os elementos de R\(R+∪{0}).
Repare-se que a relac¸a˜o < e´ necessariamente anti-sime´trica i.e. dados quaisquer
x, y ∈ R, se x < y enta˜o y 6< x, pois se se pudesse ter simultaneamente x < y e
y < x, pela transitividade, concluir-se-ia x < x, o que na˜o se verifica, em face da
anti-reflexividade.
Notac¸a˜o: Como e´ habitual, x > y e´ uma fo´rmula equivalente a y < x;
x ≥ y ou, equivalentemente y ≤ x, exprime que alguma das condic¸o˜es
x > y ou x = y e´ satisfeita.
1.0. NU´MEROS REAIS 103
1.0.3 Outras propriedades
Quaisquer dos resultados seguintes se podem deduzir dos axiomas descritos acima,
por isso os apresentamos como teoremas, se bem que na˜o demonstrados. Na˜o se
pressupo˜e que cada resultado se demonstra utilizando apenas os que o precedem.
Teorema 1.0.1 Um nu´mero real na˜o nulo e o seu inverso teˆm o mesmo sinal i.e.
sa˜o ambos positivos ou ambos negativos.
Teorema 1.0.2
∀x, y ∈ R [xy = 0 ⇔ [x = 0 ∨ y = 0]].
Teorema 1.0.3 Qualquer quadrado de um nu´mero real na˜o nulo e´ positivo. Em
particular
1 = 12 > 0. (1.1)
Define-se uma func¸a˜o valor absoluto | · | : R→ R por
|x| =
{
x se x ≥ 0
−x se x < 0. (1.2)
Teorema 1.0.4 A func¸a˜o | · | goza das propriedades seguintes
1. ∀x ∈ R |x| = | − x|.
2. ∀x ∈ R |x| = 0 se e apenas se x = 0.
3. ∀x, y ∈ R |xy| = |x||y|.
4. ∀x, y ∈ R |x+ y| ≤ |x|+ |y|.
5. ∀x, y ∈ R ||x| − |y|| ≤ |x− y|.
6. ∀x, y, z ∈ R |x− z| ≤ |x− y|+ |y − z|.
Eis uma importante propriedade da relac¸a˜o <:
Teorema 1.0.5 Para quaisquer nu´meros reais a, b as seguintes condic¸o˜es sa˜o equiv-
alentes
1. a ≤ b
2. ∀ε ∈ R+ a < b+ ε
3. ∀ε ∈ R+ a− ε < b.
104 CAPI´TULO 1. FUNDAMENTOS
Dem. Verificar que 2 e 3 sa˜o equivalentes e´ um simples exerc´ıcio de aplicac¸a˜o da
monotonia da soma (O2.): para qualquer ε > 0,
a < b+ ε ⇒ a− ε < b+ ε− ε = b
e
a− ε < b ⇒ a = a− ε+ ε < b+ ε.
Passamos a provar que 1 e 2 tambe´m sa˜o equivalentes.
Admitamos enta˜o que vale 1. Dado ε ∈ R+, como a ≤ b < b + ε tambe´m a < b + ε
i.e. vale 2.
Suponha-se agora que na˜o vale 1 i.e. a 6≤ b; como < e´ tricoto´mica, necessariamente
se tem b < a; mas enta˜o, se toma´ssemos ε = a − b, ε seria positivo e valeria a
condic¸a˜o imposs´ıvel a = b + ε 6< b + ε (porque < e´ anti-reflexiva); portanto se na˜o
se verifica 1 tambe´m na˜o se verifica 2.
1 e 2 sa˜o assim condic¸o˜es equivalentes. 2
1.0.4 Exerc´ıcios
Resolva as seguintes equac¸o˜es e inequac¸o˜es.
1. x(x+ 3) = 1
2. 4x
2−3x−1
x2+1
= 0
3. 1
x
(| x | −3) = 2
4. | 1− x | = 2 | x |
5. x+3
x−1 − 1x = 0
6. (x3 − 4x2 + 7x− 4)(2− x) = 0
7. x
2−1
x
> −x
8. x
3−x
3x+1
≤ 0
9. 1
3x+1
≤ 1
x
10. |x|+1
3−x2 < 0
11.
√
x2
1−x ≤ 0
12. | x+ 1 | + | x+ 3 |> 2
13.
√
2x+ 6 ≥ 2x
14. | x2 − 3x |> x− 2
15. | 2x− 1 | −x ≥ 2
16. x− 2 ≥ (| x | −1)2
17. x+3√
x−1 < 0
18. 2x−1
x+1
< 0
19. x
2x−3 ≤ 3
20. 2x2 − 7x+ 3 > 0
21. x
x2+x+1
≥ 0
22. | x− 3 |< 4
23. | x+ 1 |<| 2x− 1 |
24. | 3− x−1 |< 1
25. | x
x2−3 |< 2
26. x
1+|x| ≤ 2
1.0. NU´MEROS REAIS 105
1.0.5 Nu´meros racionais
Um conjunto C de nu´meros reais diz-se indutivo se satisfaz as condic¸o˜es seguintes
1. 1 ∈ C.
2. ∀x ∈ C x+ 1 ∈ C.
O maior subconjunto indutivo de R e´ o pro´prio R, o menor e´ o conjunto dos
nu´meros naturais, que designaremos por N; este conjunto verifica o Princ´ıpio
de Induc¸a˜o em qualquer das verso˜es seguintes (teorema 1.0.6).
Notac¸a˜o: O s´ımbolo ⊆ designa, como e´ ha´bito, inclusa˜o entre conjuntos
i.e. A ⊆ B quando e so´ quando todos os elementos de A sa˜o elementos
de B, podendo acontecer A = B. O s´ımbolo ⊂ designa inclusa˜o estrita
i.e. A ⊂ B quando e so´ quando A ⊆ B e A 6= B.
Teorema 1.0.6 (Princ´ıpio de Induc¸a˜o)
1. Se X ⊆ N, 1 ∈ X e x + 1 ∈ X sempre que x ∈ X, enta˜o X = N. Numa
expressa˜o:
[X ⊆ N ∧ 1 ∈ X ∧ ∀x ∈ N [x ∈ X ⇒ x+ 1 ∈ X]] ⇒ X = N
2. Se P (x) e´ uma propriedade verificada por 1 — i.e., vale P (1) — e k+1 verifica
P (x) sempre que o nu´mero natural k verifica P (x) — i.e.,
∀k ∈ N[P (k) ⇒ P (k + 1)] — enta˜o a propriedade P (x) vale para todo o
nu´mero natural — i.e., ∀k ∈ N P (k). Numa u´nica expressa˜o:
[P (1) ∧ ∀k ∈ N[P (k)⇒ P (k + 1)]] ⇒ ∀k ∈ N P (k).
3. Se X ⊆ N e para qualquer nu´mero natural n , quando {x ∈ N| x < n} ⊆ X
tambe´m n ∈ X, enta˜o X = N. De novo tornando mais preciso:
[X ⊆ N ∧ ∀n ∈ N[{x ∈ N| x < n} ⊆ X ⇒ n ∈ X]] ⇒ X = N
A formulac¸a˜o 3 no teorema anterior costuma designar-se por Princ´ıpio de Induc¸a˜o
Completa ou Transfinita.
Teorema 1.0.7 1 e´ o menor nu´mero natural.
Dem. Provamos que vale
∀n ∈ N 1 ≤ n (1.3)
de duas maneiras.
106 CAPI´TULO 1. FUNDAMENTOS
I. Utilizando o teorema 1.0.6.1
Defina-se
X = {n ∈ N| n ≥ 1}
1 ∈ X porque 1 ≤ 1. Por outro lado, se n ∈ X, por definic¸a˜o de X, n ≥ 1 e
n+ 1 ≥ 1 + 1 > 1 + 0 = 1, pela monotonia da soma e porque 1 > 0 (teorema 1.0.3);
enta˜o, por transitividade de <, n+1 ≥ 1 e, de novo por definic¸a˜o de X, n+1 ∈ X,
mostra´mos que n + 1 ∈ X sempre que n ∈ X; assim, pelo Princ´ıpio de Induc¸a˜o
(teorema 1.0.6), X = N ou seja vale (1.3) como quer´ıamos provar.
II. Utilizando o teorema 1.0.6.2
Defina-se
P (n) := 1 ≤ n
Queremos mostrar que P (n) vale para qualquer n ∈ N.
Como 1 ≤ 1 (pq ≤ e´ reflexiva), vale P (1).
Suponha-se que vale P (n) isto e´ que 1 ≤ n. Segue-se que 1 + 1 ≤ n + 1 (por
monotonia da soma); como ja´ sabemos que 0 < 1, podemos concluir
1 = 0 + 1 < 1 + 1 ≤ n+ 1
e, portanto, que 1 < n + 1; em particular de 1 ≤ n podemos deduzir 1 ≤ n + 1, ou
seja, de P (n) conclui-seP (n+ 1).
Pela segunda forma do Princ´ıpio de Induc¸a˜o, P (n) vale para todo o n ∈ N. E
termina a primeira demonstrac¸a˜o.
2
Notac¸a˜o: A expressa˜o α := β significa que a expressa˜o designada por
α e´ definida pela designada por β.
Continuando a apresentar aplicac¸o˜es do Princ´ıpio de Induc¸a˜o: uma raza˜o pela qual
n+ 1 e´ chamado o sucessor de n (n ∈ N)
Lema 1.0.1 Seja qual for n ∈ N, na˜o ha´ nu´meros naturais entre n e n+ 1, i.e,
∀m ∈ N ∀n ∈ N m < n+ 1 ⇔ m ≤ n. (1.4)
Dem. O sentido ⇐ e´ consequeˆncia imediata da transitividade de < e da reflexivi-
dade de =.
(⇒) Este pode ser um exemplo de demonstrac¸a˜o por dupla induc¸a˜o que abreviaremos
um pouco em prol da clareza de argumentac¸a˜o
1. Pelo teorema 1.0.7, ∀n ∈ N 1 ≤ n e a condic¸a˜o (1.4) verifica-se com m = 1.
2. Suponha-se que se verifica condic¸a˜o (1.4) com⇒ em vez de⇔ se verifica para
m ∈ N, i.e.,
∀n ∈ N m < n+ 1 ⇒ m ≤ n. (1.5)
1.0. NU´MEROS REAIS 107
Admita-se enta˜o que n ∈ N & m+1 < n+1; pretendemos concluir m+1 ≤ n;
ora m, p, 1 ∈ R pelo que pela condic¸a˜o (1.5) vem
m < (n− 1) + 1 & m ≤ n− 1
logo m+ 1 ≤ n,
admitindo que tambe´m n − 1 ∈ N (eis um dos aspectos da abreviac¸a˜o acima
referida). 2
Teorema 1.0.8 Se a func¸a˜o f : N→ N e´ estritamente crescente enta˜o
∀n ∈ N n ≤ f(n).
Dem. Vamos utilizar o teorema 1.0.6.3.
Seja
X := {n ∈ N| n ≤ f(n)}.
Queremos mostrar que X = N, para o que basta mostrar para todos os n ∈ N a
validade da implicac¸a˜o
{x ∈ N| x < n} ⊆ X ⇒ n ∈ X. (1.6)
Comecemos por ver o que se passa se n = 1.
Acontece que {x ∈ N| x < 1} = ∅ ⊆ X, portanto deveremos verificar se 1 ∈ X.
Ora, todos os f(n) sa˜o nu´meros naturais, porque f : N→ N e, como vimos acima,
todos os nu´meros naturais sa˜o maiores ou iguais a 1; assim 1 ≤ f(1) i. e. 1 ∈ X e
a condic¸a˜o (1.6) vale para 1.
Tome-se agora n arbitra´rio e suponha-se que {x ∈ N| x < n} ⊆ X; como n− 1 < n,
tambe´m n− 1 ∈ X, portanto n− 1 ≤ f(n− 1); mas enta˜o
n = (n− 1) + 1 ≤ f(n− 1) + 1 < f(n) + 1
porque f tambe´m e´ estritamente crescente; segue-se que n < f(n) + 1; pelo lema
1.0.1
∀x, y ∈ N [x < y + 1 ⇔ x ≤ y] (1.7)
portanto n ≤ f(n) e n ∈ X como pretend´ıamos concluir. A propriedade (1.6) fica
demonstrada e pela formulac¸a˜o 3. do Princ´ıpio de Induc¸a˜o, X = N. 2
Exemplo 1.0.1 A fo´rmula
n∑
i=1
(2i− 1) = n2 (1.8)
vale para todos os nu´meros naturais n.
Dem. Vamos utilizar a formulac¸a˜o 1 no Teorema 1.0.6. Seja
X := {n ∈ N|
n∑
i=1
(2i− 1) = n2}.
108 CAPI´TULO 1. FUNDAMENTOS
1 ∈ X porque 12 = 1 = 2× 1− 1 =∑1i=1(2i− 1); suponha-se que x ∈ X: tem-se
x+1∑
i=1
(2i− 1) =
x∑
i=1
(2i− 1) + (2(x+ 1)− 1) = x2 + (2x+ 1) = (x+ 1)2,
portanto tambe´m x + 1 ∈ X. Pela primeira forma do Princ´ıpio de Induc¸a˜o X = N
e a fo´rmula (1.8) vale para qualquer n ∈ N. 2
Defina-se secc¸a˜o inicial de N, como sendo um conjunto In dado por
In := {k ∈ N| 1 ≤ k ≤ n} (n ∈ N).
Teorema 1.0.9 (Princ´ıpio de Boa Ordenac¸a˜o) Qualquer subconjunto na˜o vazio
de N tem primeiro — ou menor — elemento.
Dem. Suponha-se que
∅ 6= X ⊆ N. (1.9)
Vimos acima 1 e´ o menor elemento do pro´prio N, portanto o caso X = N esta´
tratado; em geral, se 1 ∈ X, enta˜o 1 = minX e nada mais ha´ a provar, portanto
basta tratar o caso
1 6∈ X ⊂ N. (1.10)
Interessa ter presente
C ⊆ N\X ⊂ N, (1.11)
pois para qualquer n ∈ N, n ∈ In e X 6= ∅ por (1.9).
1 ∈ C porque 1 ∈ N\X — (1.10) — e I1 = {1}; se para qualquer n ∈ N, n+ 1 ∈ C
quando n ∈ C, pelo Princ´ıpio de Induc¸a˜o, pode concluir-se C = N, o que na˜o e´ o
caso pois, por (1.11), C ⊂ N. Segue-se que
para algum m ∈ N m ∈ C, mas m+ 1 6∈ C.
Tome-se enta˜o m ∈ C tal que m+1 6∈ C; podemos retirar duas concluso˜es, a saber:
• m+1 ∈ X pois, caso contra´rio ter-se-ia m+1 ∈ C, ja´ que Im+1 = Im∪{m+1};
• todos os elementos de X sa˜o maiores que m, pois se n ≤ m, enta˜o n 6∈ X, por
definic¸a˜o de C.
Como na˜o ha´ nu´meros naturais entre m e m + 1 (recorde-se a condic¸a˜o (1.7)),
concluimos que os elementos de X sa˜o todos maiores ou iguais a m+1 i.e. m+1 =
minX e X tem mı´nimo. 2
O conjunto dos nu´meros inteiros, designado por Z, e´ a unia˜o de N com o conjunto
dos sime´tricos dos nu´meros naturais e com {0} i.e.
Z = N ∪ {0} ∪ {−n| n ∈ N}. (1.12)
O conjunto dos nu´meros racionais, designado por Q, e´ a reunia˜o de {0} com o
conjunto dos quocientes de nu´meros inteiros, mais precisamente:
Q =
{m
n
| m ∈ Z ∧ n ∈ N
}
. (1.13)
1.0. NU´MEROS REAIS 109
Teorema 1.0.10 O conjunto Q e´ um corpo ordenado para as operac¸o˜es de soma e
produto e para a relac¸a˜o < restringidas de R.
Por outras palavras (de facto muito reduzidas, mas suficientes): a soma e o produto
(bem como a diferenc¸a e o quociente) de nu´meros racionais e´ um nu´mero racional.
A existeˆncia de nu´meros reais na˜o racionais, ou seja, nu´meros irracionais sera´
discutida mais adiante na pa´gina 115.
1.0.6 Subconjuntos de R. Parte I
Dados nu´meros reais a e b, os conjuntos definidos de seguida chamam-se intervalos
de extremos a e b:
[a, b] := {x ∈ R| a ≤ x ≤ b} (1.14)
]a, b[ := {x ∈ R| a < x < b} (1.15)
[a, b[ := {x ∈ R| a ≤ x < b} (1.16)
]a, b] := {x ∈ R| a < x ≤ b} (1.17)
Em (1.14) o intervalo diz-se fechado, em (1.15) diz-se aberto, em (1.16) diz-se
semi-fechado a´ esquerda ou semi-aberto a` direita, em (1.17) diz-se semi-fechado
a` direita ou semi-aberto a` esquerda.
Parece-nos claro que, se b < a, todos os intervalos acima sa˜o vazios, i.e. sa˜o o
conjunto vazio; se b = a, o primeiro (em (1.14))e´ o conjunto singular {a} e todos
os outros sa˜o vazios; se a < b nenhum dos intervalos e´ vazio nem singular, pois a+b
2
e 3a+b
4
esta˜o em todos eles e sa˜o distintos.
Todos os intervalos acima sa˜o limitados; mas definem-se ainda intervalos ilimita-
dos, a saber: considerando que a ∈ R po˜e-se
[a,+∞[ := {x ∈ R| a ≤ x} (1.18)
]−∞, a] := {x ∈ R| a ≥ x} (1.19)
]a,+∞[ := {x ∈ R| a < x} (1.20)
]−∞, a[ := {x ∈ R| a > x} (1.21)
Em (1.18) e (1.19) os intervalos dizem-se tambe´m fechados, nos outros dois casos
dizem-se abertos.
Para ale´m do intervalo ]−∞,+∞[, que designa o pro´prio conjunto R, na˜o ha´ mais
intervalos que os ja´ definidos.
110 CAPI´TULO 1. FUNDAMENTOS
Definic¸a˜o 1.0.1 Designemos por C um subconjunto na˜o vazio de R e seja m um
nu´mero real.
1. m e´ um majorante de C se
∀x ∈ C x ≤ m.
C diz-se majorado ou limitado superiormente se tem um majorante.
2. m e´ um minorante de C se
∀x ∈ C x ≥ m.
C diz-se minorado ou limitado inferiormente se tem um minorante.
3. C diz-se limitado se for majorado e minorado, caso contra´rio diz-se ilimi-
tado.
Teorema 1.0.11 Seja C um subconjunto na˜o vazio de R.
1. As condic¸o˜es seguintes sa˜o equivalentes
(a) C e´ majorado
(b) ∃a ∈ R C ⊆ ]−∞, a]
(c) ∃a ∈ R C ⊆ ]−∞, a[
2. As condic¸o˜es seguintes sa˜o equivalentes
(a) C e´ minorado
(b) ∃a ∈ R C ⊆ [a,+∞[
(c) ∃a ∈ R C ⊆ ]a,+∞[
3. As condic¸o˜es seguintes sa˜o equivalentes
(a) C e´ limitado
(b) Existem a, b ∈ R tais que C esta´ contido em algum intervalo de extremos
a e b.
(c) C esta´ contido em algum intervalo limitado.
4. Todos os intervalos limitados sa˜o conjuntos limitados.
1.0. NU´MEROS REAIS 111
Formas muito u´teis de decidir se um conjunto e´ ou na˜o limitado descrevem-se no
teorema seguinte.
Teorema 1.0.12 Seja C um subconjunto na˜o vazio de R. As condic¸o˜es seguintes
sa˜o equivalentes.
1. C e´ limitado
2. ∃m ∈ R+ ∀x ∈ C |x| < m
3. ∃m ∈ R+ C ⊆ ]−m,m[
4. ∃m ∈ R+ ∀x ∈ C |x| ≤ m
5. ∃m ∈ R+ C ⊆ [−m,m]
Dem. (1 ⇒ 3 ⇒ 2) Como C e´ limitado por hipo´tese, podemos tomar a, b ∈ R
tais que
∀x ∈ C a ≤ x ≤ b.
Sejam m1 o ma´ximo dos dois valores |a|, |b|, i.e. m1 = ma´x{|a|, |b|}, e m = m1 + 1.
Repare-se que m > 0. Como b ≤ |b| ≤ m1 < m, conclu´ımos
∀x ∈ C a ≤ x < m.
Por outro lado −|a| ≤ a; sejam2 o mı´nimo dos dois valores −|a|,−|b|; e´ fa´cil verificar
que m2 = −m1 eque
−m = −(m1 + 1) = −m1 − 1 = m2 − 1 < m2 ≤ a.
Segue-se que
∀x ∈ C −m < x < m.
isto e´, vale 3. Mas esta mesma expressa˜o e´ equivalente a
∀x ∈ C |x| < m,
portanto, em particular (3 ⇒ 2). E´ claro que se x < y tambe´m x ≤ y, pelo que
(2⇒ 4). Mas |x| ≤ m e´ equivalente a x ∈ [−m,m], portanto 4 e 5 sa˜o equivalentes,
em particular (4 ⇒ 5). Acontece que [−m,m] ⊆ ]− (m+ 1),m+ 1[ e portanto
(5⇒ 1).
Prova´mos a seguinte cadeia de implicac¸o˜es
1 ⇒ 3 ⇒ 2 ⇒ 4 ⇒ 5 ⇒ 1.
Podemos concluir que todas as condic¸o˜es sa˜o equivalentes. 2
112 CAPI´TULO 1. FUNDAMENTOS
Teorema 1.0.13 Sejam A e B subconjuntos de R.
1. Se B e´ limitado e A ⊆ B, tambe´m A e´ limitado.
2. Se A e B sa˜o limitados.
(a) O conjunto definido por A+B := {a+ b| a ∈ A ∧ b ∈ B} e´ limitado.
(b) O conjunto definido por A ·B := {ab| a ∈ A ∧ b ∈ B} e´ limitado.
(c) O conjunto definido por A−B := {a− b| a ∈ A ∧ b ∈ B} e´ limitado.
(d) Para cada c ∈ R, o conjunto definido por cA := {ca| a ∈ A} e´ limitado.
Certos majorantes e minorantes sa˜o especiais:
Definic¸a˜o 1.0.2 Seja C um subconjunto na˜o vazio de R.
1. Se C e´ limitado superiormente, o supremo de C e´ o menor majorante de C
e designa-se supC. Se o supremo de C e´ elemento de C, diz-se ma´ximo de
C e designa-se por ma´xC.
2. Se C e´ limitado inferiormente, o ı´nfimo de C e´ o maior minorante de C e
designa-se inf C. Se o ı´nfimo de C e´ elemento de C diz-se mı´nimo de C e
designa-se por minC.
O ma´ximo ou o mı´nimo de um conjunto podem na˜o existir mesmo quando existem
respectivamente o supremo ou o ı´nfimo; no entanto se existirem, sa˜o respectivamente
o maior ou o menor elemento dele.
Lema 1.0.2 Todo o conjunto finito e na˜o vazio de nu´meros reais tem ma´ximo e
mı´nimo, sendo em particular limitado.
Dem. Deixa-se como exerc´ıcio de aplicac¸a˜o do Princ´ıpio de Induc¸a˜o ao nu´mero de
elementos do conjunto. 2
O supremo e o ı´nfimo gozam das propriedades da maior importaˆncia que se refor-
mulam de seguida.
Teorema 1.0.14 Sejam C um subconjunto na˜o vazio de R e m um nu´mero real.
1. As seguintes condic¸o˜es sa˜o equivalentes
(a) m = supC
(b) m e´ majorante de C e
∀ε ∈ R+ ∃c ∈ C m− ε < c ≤ m. (1.22)
2. As seguintes condic¸o˜es sa˜o equivalentes
(a) m = inf C
(b) m e´ minorante de C e
∀ε ∈ R+ ∃c ∈ C m ≤ c < m+ ε. (1.23)
1.0. NU´MEROS REAIS 113
Dem. Demonstramos apenas a segunda parte. Uma demonstrac¸a˜o da primeira
pode fazer-se a partir desta trocando respectivamente inf por sup, minorante por
majorante, maior por menor, < por >, ≥ por ≤ e + por −.
Suponhamos enta˜o que vale 2.(a) i.e. m = inf C. Queremos concluir que vale a
condic¸a˜o 2.(b). Por definic¸a˜o m e´ ja´ minorante de C, de facto o maior minorante;
portanto se ε > 0, como m < m+ ε, m+ ε na˜o e´ minorante de C; da´ı existe algum
elemento c de C tal que c < m+ε e, como m minora C, tambe´m m ≤ c e conclu´ımos
m ≤ c < m+ ε.
Finalmente suponhamos que vale 2.(b). Como, por hipo´tese, m ja´ e´ minorante de
C, resta-nos provar que e´ o maior. Suponhamos que m′ e´ um minorante de C e
utilizemos o teorema 1.0.5 para mostrar que m′ ≤ m: para qualquer ε > 0, por
hipo´tese, existe c ∈ C tal que c < m + ε; como m′ e´ minorante de C tem-se
m′ ≤ c < m+ ε; por transitividade de <
∀ε ∈ R+ m′ < m+ ε,
portanto, pelo teorema 1.0.5, m′ ≤ m. 2
1.0.7 Exerc´ıcios
Observac¸a˜o: Nos exerc´ıcios que se seguem as propriedades enunciadas do ı´nfimo
ou do supremo pressupo˜em a existeˆncia de cada um deles.
1. Mostre que, para quaisquer nu´meros reais a, b,
(a) (a+b)−|a−b|
2
= min{a, b}
(b) (a+b)+|a−b|
2
= ma´x{a, b}
2. Seja A um conjunto na˜o vazio de nu´meros reais e −A := {−x : x ∈ A}.
Verifique que:
(a) b e´ majorante de A⇔ −b e´ minorante de −A
(b) b e´ supremo de A⇔ −b e´ ı´nfimo de −A
(c) b e´ ma´ximo de A⇔ −b e´ mı´nimo de −A
3. Determine, caso seja poss´ıvel, o ı´nfimo, mı´nimo, supremo e ma´ximo de cada
um dos seguintes subconjuntos de R:
(a) {x ∈ R :| x |< 2}
(b) {x ∈ R : 1 <| 1− x |≤ 2}
(c) {x ∈ R : x2 < 2}
(d) {x ∈ R : x2 ≤ x}
(e) {x ∈ R : x <| x |}
(f) {x ∈ R : ∃n ∈ N x = 1−n
n
}
(g) Q ∩ ]− 1, 2]
(h) { k
2n
, k ∈ Z, n ∈ N} ∩ [1, 3[
4. Indique se sa˜o majorados, minorados ou limitados os seguintes subconjuntos
de R:
A = {x ∈ R : | x− 3 |= 2 | x |} B =
{
x ∈ R : x
x−1
<
x−1
x
}
114 CAPI´TULO 1. FUNDAMENTOS
Indique ainda, se existirem, o supremo, o ı´nfimo, o ma´ximo e o mı´nimo de
cada um desses conjuntos.
5. Sejam A = {−3,−2}∪ (Q∩ [0, 1] ) e B =]−4, 2] ∪ ([0, 1]∩ (R\Q)). Indique,
caso existam, os supremos e os ı´nfimos dos conjuntos A, B, A ∪B e A ∩B.
6. Sejam A e B conjuntos na˜o vazios e limitados de nu´meros reais tais que A ⊆ B.
Prove que inf B ≤ inf A ≤ supA ≤ supB.
7. Suponha que A e B sa˜o subconjuntos de R na˜o vazios e limitados. Prove que:
(a) A+B e´ limitado
(b) sup(A+B) = supA+ supB
(c) inf(A+B) = inf A+ inf B
8. Suponha que ∅ 6= A ⊆ R. Dado c ∈ R, seja cA := {c a : a ∈ A}.
(a) Prove que, quando c 6= 0, cA e´ limitado se e apenas se A e´ limitado.
(b) Sendo c > 0, prove que:
i. sup(cA) = c supA ii. inf(cA) = c inf A
(c) Enuncie e demonstre resultados ana´logos aos da al´ınea anterior para o
caso c < 0.
(d) Mostre que a afirmac¸a˜o em (a) na˜o e´ verdadeira se c = 0.
9. A e B designam duas partes na˜o vazias e majoradas de R. Diga, justificando,
se sa˜o verdadeiras ou falsas as seguintes proposic¸o˜es:
(a) E´ condic¸a˜o necessa´ria para A ⊆ B que supA ≤ supB
(b) E´ condic¸a˜o suficiente para A ⊆ B que supA ≤ supB
(c) sup(A ∪B) = supA+ supB
(d) sup(A ∪B) = ma´x {supA, supB}
(e) sup(A ∩B) = min {supA, supB}
10. Sejam A e B conjuntos na˜o vazios e limitados de nu´meros reais tais que B ⊆ A.
Suponha que, para cada x ∈ A, existe y ∈ B tal que x ≤ y. Prove que nestas
condic¸o˜es se tem supB = supA.
11. Sejam A e B conjuntos na˜o vazios e limitados de nu´meros reais tais que para
todo o x ∈ A e todo o y ∈ B se tem x ≤ y. Prove que supA ≤ inf B. Prove
ainda que supA = inf B se e so´ se para todo o ε > 0 existem x ∈ A e y ∈ B
tais que y − x < ε.
12. Sejam c um nu´mero real positivo e A um subconjunto na˜o vazio de R, satis-
fazendo a seguinte condic¸a˜o:
x, y ∈ A⇒| x− y |< c
(a) Mostre que supA− inf A ≤ c.
(b) Mostre que em (a) pode acontecer (supA− inf A) = c.
1.0. NU´MEROS REAIS 115
1.0.8 Subconjuntos de R. Parte II. Completude
Axioma de Completude
AC Todo o subconjunto na˜o vazio e majorado de R tem supremo.
Por verificar este axioma , diz-se que R e´ um corpo ordenado completo. O termo
”completo”pode tambe´m ter outro significado explicitado no teorema 4.2.7.
Teorema 1.0.15 O conjunto dos nu´meros naturais na˜o e´ limitado superiormente.
Dem. Ja´ vimos que N e´ limitado inferiormente (teorema 1.0.7). Na˜o sendo vazio
— pois 1 ∈ N — se fosse limitado teria supremo, de acordo com o Axioma de
Completude. Suponhamos enta˜o que N e´ limitado e digamos que supN = s ∈ R; s
na˜o e´ concerteza ma´ximo, porque, s < s+1 e s+1 ∈ N se s ∈ N; pelo teorema 1.0.14,
existe m ∈ N tal que s− 1
2
< m < s; mas enta˜o tambe´m s− 1
2
< m < m + 1 < s e
pode concluir-se 1 = (m+ 1)−m < s− (s− 1
2
) = 1
2
ou 1 < 1
2
, o que na˜o e´ verdade.
Assim N na˜o e´ limitado superiormente, logo tambe´m na˜o e´ limitado. 2
Uma forma equivalente deste teorema (1.0.15) e´
Teorema 1.0.16 (Propriedade Arquimediana) O corpo R e´ arquimediano
i.e.
∀a, b ∈ R+ ∃n ∈ N b < na (1.24)
Dem. Suponhamos que a, b ∈ R e que 0 < a < b; existe n ∈ N verificando 1
n
< a
b
,
pelo teorema anterior (4.2.4); mas enta˜o b < na, porque a, b > 0 e o produto e´
semi-mono´tono. 2
Pode garantir-se a existeˆncia de nu´meros irracionais utilizando o Axioma de Com-
pletude. Um exemplo cla´ssico e´
s := sup{x ∈ R| x2 < 2}.
Este supremo existe porque o conjunto em questa˜o, chamemos-lhe R, na˜o e´ vazio —
1 ∈ R — e e´ concerteza majorado, por exemplopor 4 (ou mesmo apenas por 2, ou
por 1, 5). Sendo fa´cil provar que s2 = 2 e que 0 < s isto e´ que s =
√
2, e provando-se
de seguida que 2 na˜o tem raiz quadrada em Q, conclui-se que
√
2 6∈ Q e obte´m-se
uma demonstrac¸a˜o de que existem nu´meros irracionais.
Na verdade, ha´ infinitos nu´meros irracionais e poder´ıamos ja´ provar, utilizando o
facto de
√
2 ser irracional, mas na˜o so´, o seguinte:
Teorema 1.0.17 (de Densidade) Estritamente entre quaisquer dois nu´meros reais
distintos existem um nu´mero racional e um nu´mero irracional.
Dem. Suponha-se que a, b ∈ R e que a < b; tome-se n ∈ N tal que 1
n
< b−a√
2
; o que
e´ poss´ıvel em virtude de N na˜o ser limitado superiormente (teorema 1.0.15 ).
116 CAPI´TULO 1. FUNDAMENTOS
1. Se a ∈ Q, enta˜o
(a) a < a+ 1
n
< a+ (b− a) < b e a+ 1
n
∈ Q
(b) a < a+ 1
n
√
2 < a+ (b− a) < b e a+ 1
n
√
2 6∈ Q.
2. Se a 6∈ Q, enta˜o
(a) a < a+ 1
n
< a+ (b− a) < b e a+ 1
n
6∈ Q.
(b) Suponha-se que 0 < a e seja
k := min{m ∈ N| na ≤ m · 1 = m};
tal k existe pela propriedade arquimediana e por N ser bem ordenado.
Tem-se
k − 1
n
< a ≤ k
n
< a+
1
n
< b &
k
n
∈ Q.
(c) Se a ≤ 0, aplique-se o que acaba´mos de ver tomando −b em vez de a e
−a em vez de b; − k
n
e´ o nu´mero racional pretendido. 2
1.1 Nu´meros complexos
1.1.1 Preliminares
Esta e´ de certo modo uma revisa˜o de A´lgebra Linear pelo que seremos parcos em
demonstrac¸o˜es.
Definic¸a˜o 1.1.1 O conjunto C dos nu´meros complexos e´ o menor corpo que
prolonga propriamente R.
De modo a evitar trivialidades de notac¸a˜o, em face da definic¸a˜o anterior, continuemos
a designar a soma e o produto respectivamente por + e · (omitido este s´ımbolo
quando conveniente)
1.1. NU´MEROS COMPLEXOS 117
Teorema 1.1.1 C e´ o conjunto dos nu´meros z da forma
z = a+ bi (a, b ∈ R) (1.25)
i2 = −1 (1.26)
e verifica-se o seguinte
1. A soma e o produto sa˜o operac¸o˜es bina´rias comutativas, associativas, com ele-
mentos neutros – 0 para a soma e 1 para o produto – e o produto e´ distributivo
relativamente a` soma.
2. Sejam quais forem a, b, c, d ∈ R,
(a+ bi) + (c+ di) = (a+ b) + (c+ d)i (1.27)
(a+ bi) · (c+ di) = (ac− bd) + (ad+ bc)i (1.28)
−(a+ bi) = −a− bi (1.29)
a+ bi = 0 ⇔ a = 0 ∧ b = 0 (1.30)
a+ bi = c+ di ⇔ a = c ∧ b = d (1.31)
(a+ bi)−1 =
a
a2 + b2
− b
a2 + b2
i (a 6= 0 ∨ b 6= 0) (1.32)
i2n = (−1)n (n ∈ N0) (1.33)
i2n+1 = (−1n)i (n ∈ N0) (1.34)
Definic¸a˜o 1.1.2 Seja z = a+ bi ∈ C (a, b ∈ R)
1. A parte real e a parte imagina´ria de z sa˜o respectivamente <(z) = a e
=(z) = b.
2. O conjugado de z designa-se z e define-se por
z = a− bi
3. O valor absoluto ou mo´dulo de z, designa-se por |z| e define-se por
|z| =
√
a2 + b2
Teorema 1.1.2
1. Tome z ∈ C.
<(z) = z + z
2
(1.35)
=(z) = z − z
2i
(1.36)
z = z ⇔ z ∈ R (1.37)
|z|2 = zz (1.38)
z−1 =
z
|z|2 (z 6= 0) (1.39)
2. Qualquer das operac¸o˜es acima definida, para C prolonga a correspondente
operac¸a˜o em R em particular o valor absoluto de um nu´mero real e´ o seu
valor absoluto como nu´mero complexo; ale´m disso
|i| = 1. (1.40)
118 CAPI´TULO 1. FUNDAMENTOS
1.1.2 Algumas particularidades
As func¸o˜es exponencial, seno e co-seno, respectivamente exp, sen, cos : C → C
prolongam as correspondentes func¸o˜es reais de varia´vel real quando definidas do
seguinte modo
exp(z) = ez = ea
(
cos b+ isen b
) (
(a, b ∈ R)) (1.41)
cos(z) =
eiz + e−iz
2
(z ∈ C) (1.42)
sen(z) =
eiz − e−iz
2i
(z ∈ C) (1.43)
Teorema 1.1.3
ez+w = ez · ew (z, w ∈ C) (1.44)
sen2 z + cos2 z = 1 (z ∈ C) (1.45)
eit = cos t+ isen t (t ∈ R) (1.46)
|eit| = 1 (t ∈ R) (1.47)
(eit)−1 = e−it = eit (t ∈ R) (1.48)
Teorema 1.1.4 (de Euler)
eipi + 1 = 0.
1.1.3 Teorema fundamental da A´lgebra
Teorema 1.1.5 Qualquer polino´mio
p(z) = a0 +
n∑
k=1
anz
n (ai, z ∈ C; 0 ≤ i ≤ n) (1.49)
de grau n ≥ 1 (an 6= 0) tem pelo menos uma raiz em C, isto e´, existe w ∈ C tal que
p(w) = 0; em particular existem zi, (1 ≤ i ≤ n) tais que
p(z) = an
n∏
i=1
(z − zi) (1.50)
1.1. NU´MEROS COMPLEXOS 119
Mais espec´ıficamente ainda
Teorema 1.1.6 Quando todos os coeficientes ai em (1.49) sa˜o reais
1. ∀u ∈ C [p(u) = 0⇒ p(u) = 0]
2. Se p em (1.49) so´ tem ra´ızes imagina´rias distintas
αj ± βji (αj, βj ∈ R, βj 6= 0; 1 ≤ j ≤ k ∈ N)
com multiplicidades respectivas mj (
∑k
j=1mj = n), enta˜o
p(z) = an
k∏
j=1
(
(z − αj)2 + β2j
)mj
3. Se p em (1.49) so´ tem ra´ızes reais distintas αj (1 ≤ j ≤ k) de multiplicidades
respectivas mj (
∑k
j=1mj = n), enta˜o
p(z) = an
k∏
j=1
(z − αj)mj .
4. Se p em (1.49) tem k ra´ızes reais distintas rj e m ra´ızes imagina´rias distintas
nunca conjugadas α` + β`i com multiplicidades respectivas mj e n`, sendo
k∑
j=1
mj + 2
m∑
`=1
n` = n,
enta˜o
p(z) = an
k∏
j=1
(z − rj)mj
k∏
`=1
(
(z − α`)2 + β2`
)m`
120 CAPI´TULO 1. FUNDAMENTOS
1.2 Continuidade e diferenciabilidade
Sejam a e b nu´meros reais tais que a < b e f :]a, b[→ R uma func¸a˜o (real de varia´vel
real); suponha-se ainda que β ∈ R.
Definic¸a˜o 1.2.1 Para c ∈ [a, b],
β := limite de f(x) quando x tende para c
:= lim
x→c
f(x)
significa
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈]a, b[ [0 < |x− c| < δ ⇒ |f(x)− β| < ε].
Se c ∈]a, b[,
f diz − se cont´ınua em c
quando
lim
x→c
f(x) = f(c)
ou seja
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈]a, b[ [|x− c| < δ ⇒ |f(x)− f(a)| < ε]
f diz-se cont´ınua se for cont´ınua em todos os elementos do seu domı´nio.
Para harmonizarmos conceitos,
Definic¸a˜o 1.2.1 uma func¸a˜o f : [α, β] ⊆ R→R dir-se-a´ cont´ınua quando existem
um intervalo ]a, b[ e uma func¸a˜o cont´ınua f˜ :]a, b[→ R tais que [α, β] ⊂]a, b[ e a
restric¸a˜o f˜ : [α, β]→ R e´ precisamente f .
1.2.1 Exerc´ıcios
Suponha que f : [a, b] ⊆ R → R, que a < c < b, que
limx→c f(x) = ` ∈ R; prove que
1. Se ` < k ∈ R, enta˜o existe ε > 0. tal que
]c− ε, c+ ε[ ⊆ [a, b] (1.51)
∀x ∈]c− ε, c+ ε[ f(x) < k. (1.52)
2. Se ` > k ∈ R, enta˜o existe ε > 0. tal que
]c− ε, c+ ε[ ⊆ [a, b] (1.53)
∀x ∈]c− ε, c+ ε[ f(x) > k. (1.54)
3. Interprete a frase ”desigualdade em ponto de continuidade estende-se a uma
vizinhanc¸a do ponto”.
1.2. CONTINUIDADE E DIFERENCIABILIDADE 121
4. Demonstre o teorema 1.2.1.
Teorema 1.2.1 Suponha-se que f, g : [a, b] ⊆ R → R, que α ∈ R, que c ∈]a, b[ e
que
lim
x→c
f(x) = ` lim
x→c
g(x) = β.
1. limx→c(αf + g)(x) = α`+ β
2. limx→c(f · g)(x) = ` · β
3. Se β 6= 0, enta˜o limx→c
(
f
g
)
(x) = `
β
em particular combinac¸o˜es lineares (de coeficientes reais) de func¸o˜es cont´ınuas sa˜o
cont´ınuas, e quocientes de func¸o˜es cont´ınuas sa˜o cont´ınuos em todos os pontos onde
o denominador se na˜o anula.
Teorema 1.2.2 Suponha que as func¸o˜es f : [a, b] ⊆ R→ R e g : [c, d] ⊆ R→ [a, b]
sa˜o cont´ınuas, enta˜o f ◦ g : [c, d]→ R tambe´m e´ cont´ınua.
Dem. (muito esquema´tica)
lim
x→y
(f ◦ g)(x) = lim
g(x)→g(y)
f(g(x))
= f(g(y))
2
Teorema 1.2.3 (de Bolzano) Se a func¸a˜o f : [a, b] ⊆ R → R e´ continua e
f(a) < 0 < f(b), enta˜o existe c ∈]a, b[ tal que f(c) = 0.
Dem. c = sup{x ∈]a, b[∣∣ ∀t ∈ [a, x] f(t) < 0}. 2
1.2.2 Exerc´ıcios
Suponha que f : [a, b] ⊆ R→ R e´ continua e prove
1. Se f(a) < k < f(b), existe c ∈]a, b[ tal que f(c) = k.
2. Se f(a) > k > f(b), existe c ∈]a, b[ tal que f(c) = k.
3. Se f(a) < a e f(b) > b, existe c ∈]a, b[ tal que f(c) = c.
4. Se f(a) > a e f(b) < b, existe c ∈]a, b[ tal que f(c) = c.
122 CAPI´TULO 1. FUNDAMENTOS
Teorema 1.2.4 Suponha que f : [a, b] ⊆ R→ R e´ continua. Enta˜o f e´ uniforme-
mente cont´ınua, isto e´
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x, y ∈ [a, b] [|x− y| < δ ⇒ |f(x)− f(y)| < ε]. (1.55)
Dem. Suponha-se que f na˜o e´ uniformemente cont´ınua, ou seja, para certo ε > 0
∀δ > 0 ∃x, y ∈ [a, b] [0 < x− y < δ ∧ |f(x)− f(y)| > ε]. (1.56)Escolham-se para cada n ∈ N, xn, yn ∈ [a, b] tais que
xn, yn ∈ [a, b] ∧ 0 < xn − yn < 1
n
∧ |f(xn)− f(yn)| > ε (n ∈ N) (1.57)
e seja
c = sup{xn| n ∈ N}.
Ora c ∈ [a, b] onde f e´ cont´ınua, pelo que existe δ > 0 tal que
∀x ∈ [a, b] |c− x| < δ ⇒ |f(x)− f(c)| < ε
2
Ale´m disto,
para cada τ > 0, o {m ∈ N| 0 ≤ c− xm < τ} e´ infinito (exerc´ıcio 7),
pelo que podemos escolher m,n ∈ N e xm tais que
1
n
<
δ
4
(1.58)
m > n (1.59)
0 ≤ c− xm < 1n <
δ
4
< δ (1.60)
Tem-se enta˜o
|c− ym| < c− xm + (xm − ym) < 1
n
+
1
m
<
δ
2
< δ
|f(xm)− f(ym)| ≤ |f(xm)− f(c)|+ |f(c)− f(ym)| < ε
|f(xm)− f(ym)| < ε ∧ xm − ym ≤ 1
m
o que claramente contradiz a condic¸a˜o (1.57), assim a hipo´tese de na˜o continuidade
uniforme (condic¸a˜o (1.56)) e´ contradito´ria, logo inaceita´vel. 2
1.2. CONTINUIDADE E DIFERENCIABILIDADE 123
Definic¸a˜o 1.2.2 Uma func¸a˜o f : [a, b] ⊆ R→ R diz-se
1. Limitada superiormente quando existe M ∈ R tal que
∀x ∈ [a, b] f(x) ≤M
2. Limitada inferiormente quando existe m ∈ R tal que
∀x ∈ [a, b] m ≤ f(x)
3. Limitada quando for limitada superior e inferiormente.
Exerc´ıcio
Mostre que qualquer combinac¸a˜o linear (de coeficientes reais) de func¸o˜es igualmente
limitadas e´ uma func¸a˜o limitada do mesmo modo.
Teorema 1.2.5 Uma func¸a˜o f : [a, b] ⊆ R → R e´ limitada se e apenas se existe
K > O tal que
∀x ∈ [a, b] |f(x)| ≤ K
Dem. Basta observar que, seja qual for C ⊆ R,
C ⊆ [m,M ] ⇒ ∀c ∈ C |c| ≤ ma´x{|m|, |M |}
∀K > 0 [∀c ∈ C |c| ≤ K]⇔ C ⊆ [−K,K]
2
Teorema 1.2.6 (de Weierstrass) Uma func¸a˜o cont´ınua f : [a, b] ⊆ R→ R e´
1. Limitada
2. Tem ma´ximo e tem mı´nimo, isto e´ existem
ma´x{f(x)| a ≤ x ≤ b}
min{f(x)| a ≤ x ≤ b}
Dem. Quanto a 1. basta demonstrar que vale a condic¸a˜o de limitac¸a˜o superior
e aplica´-la de seguida a a −f . Suponha-se enta˜o que f : [a, b] → R e´ cont´ınua
mas os seus valores na˜o teˆm majorante, por outras palavras f na˜o e´ majorada; em
particular f na˜o e´ majorada em algum dos intervalos [a, a+b
2
] ou [a+b
2
, b]; seja qual
for o caso, existem enta˜o
Um intervalo I1 := [a1, b1] ⊆ I0 := [a, b] de amplitude b1 − a1 ≤ b−a2 ,
um ponto x1 ∈ I1 tal que, por exemplo, f(x1) > 1.
f na˜o e´ majorada em algum dos intervalos [a1,
a1+b1
2
] ou [a1+b1
2
, b1];
segue-se que
124 CAPI´TULO 1. FUNDAMENTOS
existe um intervalo I2 := [a2, b2] ⊆ I1 de amplitude b2 − a2 ≤ b−a22
e existe um ponto x2 ∈ I2 tal que f(x2) > 1 + f(x1) > 2.
Por este processo poderia obter-se um {xn| n ∈ N} ⊆ [a, b]} tal que, para qualquer
n ∈ N,
0 < |xn+1 − xn| ≤ b− a
2n
|f (xn+1)− f (xn)| > 1.
Tal contradiz a continuidade uniforme de f , pois b−a
2n
pode tornar-se arbitrariamente
pequeno (teoremas 1.0.15 e 1.0.8), portanto f tem de ser majorada.
Para demonstrar 2. tenha-se em conta que
i. R e´ completo para <
ii. sup{f(x)| a ≤ x ≤ b} = ma´x{f(x)| a ≤ x ≤ b}, por f ser cont´ınua. 2
Definic¸a˜o 1.2.2 Para c ∈]a, b[,
f diz − se diferencia´vel em c com derivada f ′(c)
se
f ′(c) := lim
x→c
f(x)− f(c)
x− c
f diz-se diferencia´vel se for diferencia´vel em todos os elementos do seu domı´nio.
Teorema 1.2.7 A func¸a˜o f :]a, b[⊆ R → R e´ diferencia´vel em c ∈]a, b[ se e
apenas se existirem um nu´mero real f ′(c) e func¸o˜es ε :]a, b[→ R e ² :]a−c, b−c[→ R
tais que
∀x ∈]a, b[ f(x) = f(c) + f ′(c)(x− c) + ε(x)(x− c) & lim
x→c
ε(x) = 0 (1.61)
ou
∀h ∈]a− c, b− c[ f(c+ h) = f(c) + f ′(c)h+ ²(h)h & lim
h→0
²(h) = 0 (1.62)
i.e.
lim
x→c
f(x)− f(c)− f ′(c)(x− c)
x− c = 0. (1.63)
ou ainda
lim
h→0
f(c+ h)− f(c)− f ′(c)h
h
= 0. (1.64)
1.2. CONTINUIDADE E DIFERENCIABILIDADE 125
Dem. A equivaleˆncia entre as condic¸o˜es (1.61) e (1.63) resulta de se poder tomar
ε(x) :=
f(x)− f(c)− f ′(c)(x− c)
x− c =
f(x)− f(c)
x− c − f
′(c);
observe-se enta˜o que
lim
x→c
ε(x) = 0 ⇔ lim
x→c
[
f(x)− f(c)
x− c − f
′(c)
]
= 0 ⇔ f ′(c) = lim
x→c
f(x)− f(c)
x− c
e aqui esta˜o treˆs formas de definir f ′(c). Analogamente, a equivaleˆncia entre as
condic¸o˜es (1.62) e (1.64) resulta de se poder tomar
²(h) :=
f(c+ h)− f(c)− f ′(c)h
h
=
f(c+ h)− f(c)
h
− f ′(c),
observando-se de seguida que
lim
h→0
²(h) = 0 ⇔ lim
h→0
[
f(c+ h)− f(c)
h
− f ′(c)
]
= 0
⇔ f ′(c) = lim
h→0
f(c+ h)− f(c)
h
que sa˜o mais treˆs formas de definir f ′. 2
Observac¸a˜o 1.2.1 Quando c = a ou c = b, f diz-se diferencia´vel em c se tem um
prolongamento f˜ : [α, β]→ R com [a, b] ⊂ [α, β] ⊆ R diferencia´vel em c.
E´ fa´cil demonstrar que
Teorema 1.2.8 Se uma func¸a˜o e´ diferencia´vel (resp. em algum ponto do seu domı´-
nio) e´ cont´ınua (resp. nesse mesmo ponto).
Teorema 1.2.9 Suponha que f, g :]a, b[→ R sa˜o diferencia´veis em c ∈]a, b[ e
α ∈ R, enta˜o
(αf + g)′(c) = αf ′(c) + g′(c)
(fg)′(c) = f ′(c)g(c) + f(c)g′(c)(
f
g
)′
(c) =
f ′(c)g(c)− f(c)g′(c)
g2(c)
(
g(c) 6= 0)
126 CAPI´TULO 1. FUNDAMENTOS
Definic¸a˜o 1.2.3
Um extremante relativo da func¸a˜o f : [a, b] ⊆ R→ R e´ um ponto x0 ∈ [a, b] para
o qual existe ε > 0 tal que pelo menos uma das duas condic¸o˜es seguintes se verifica
1. Para qualquer x ∈]x0 − ε, x0 + ε[⊆ [a, b], f(x) ≤ f(x0), caso em que x0 se diz
maximizante e f(x0) se diz ma´ximo (ambos locais)
2. Para qualquer x ∈]x0 − ε, x0 + ε[⊆ [a, b], f(x) ≥ f(x0),caso em que x0 se diz
minimizante e f(x0) se diz mı´nimo (ambos locais)
3. Para qualquer x ∈ [a, b], f(x) ≤ f(x0), caso em que x0 se diz maximizante
e f(x0) se diz ma´ximo (ambos absolutos)
4. Para qualquer x ∈ [a, b], f(x) ≥ f(x0),caso em que x0 se diz minimizante e
f(x0) se diz mı´nimo (ambos absolutos)
5. Quando as condic¸o˜es se da˜o com desigualdades estritas em pontos diferentes
de x0, o extremante diz-se estrito.
Teorema 1.2.10 (de Fermat)
Se f(x0) e´ extremante local de f : [a, b] ⊆ R → R e f e´ diferencia´vel em x0 enta˜o
f ′(x0) = 0.
Dem. Para simplificar ideias, suponhamos que
]x0 − ε, x0 + ε[⊂ [a, b] & ∀x ∈]x0 − ε, x0 + ε[ f(x) ≤ f(x0).
Tem-se, para qualquer x ∈]x0 − ε, x0 + ε[,
x < x0 ⇒ f(x)− f(x0)
x− x0 ≥ 0 (1.65)
x > x0 ⇒ f(x)− f(x0)
x− x0 ≤ 0 (1.66)
f ′(x0) = lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0 ≥ 0 ≥ limx→x0
f(x)− f(x0)
x− x0 = f
′(x0) (1.67)
f ′(x0) = 0 (1.68)
2
Teorema 1.2.11 (de Rolle)
Se a func¸a˜o f : [a, b] ⊆ R → R e´ cont´ınua, e´ diferencia´vel em ]a, b[ e f(a) = f(b),
existe c ∈]a, b[ tal que f ′(c) = 0
1.2. CONTINUIDADE E DIFERENCIABILIDADE 127
Dem. Sendo cont´ınua, f tem extremos absolutos (teorema 1.2.6)
Se f(a) e´ um desses extremos, enta˜o
1. Ou e´ simultaneamente ma´ximo e mı´nimo absolutos, f e´ constante e f ′ ≡ 0
em ]a, b[
2. Ou e´ apenas de qualquer dos outros tipos, o outro extremo ocorre em
algum c ∈]a, b[ e f ′(c) = 0, pelo teorema 1.2.10
Se f(a) na˜o e´ extremo qualquer dos extremos ocorre em ]a, b[ e aplica-se de novo
a´ı o teorema de Fermat 1.2.10, como em 2. 2
O teorema seguinte costuma designar-se por teorema de Lagrange, dos Acre´scimos
Finitos, da Me´dia ou do Valor Me´dio.
Teorema 1.2.12 Se a func¸a˜o f : [a, b] ⊆ R → R e´ cont´ınua e e´ diferencia´vel em
]a, b[, enta˜o existe c ∈]a, b[ tal que
f ′(c) =
f(b)− f(a)
b− a . (1.69)
Dem. Considere-se a func¸a˜o auxiliar h : [a, b]→ R dada por
h(x) = [f(x)− f(a)](b− a)− [f(b)− f(a)](x− a.)
h e´ cont´ınua e e´ diferencia´vel em ]a, b[ e ainda h(a) = h(b) = 0; pelo teorema de
Rolle, existe c ∈]a, b[ tal que h′(c) = 0; como assim
0 = h′(c) = f ′(c)(b− a)− [f(b)− f(a)],
o teorema fica demonstrado resolvendo a equac¸a˜o em ordem a f ′(c). 2
Um corola´rio importante
Teorema 1.2.13 Se a func¸a˜o a func¸a˜o f :]a, b[→ R e´ diferencia´vel e
f ′(x) > 0 (a < x < b) (resp. f ′(x) < 0 (a < x < b)) enta˜o e´ estritamente
crescente (resp. decrescente).
Dem. Na primeira hipo´tese f(y)− f(x) tem o mesmo sinal quey − x; na segunda
tem sinal contra´rio. 2
128 CAPI´TULO 1. FUNDAMENTOS
Teorema 1.2.14 (de Cauchy-l’Hoˆpital) Sejam f, g func¸o˜es reais de varia´vel real
diferencia´veis em algum intervalo ]a, b[ e c um elemento de ∈]a, b[ tal que
lim
x→c
f(x) = lim
x→c
g(x) = 0
ou tal que
lim
x→c
f(x) = lim
x→c
g(x) = ∞.
Tem-se
lim
x→c
f ′(x)
g′(x)
= L ∈ R ∪ {−∞,+∞} ⇒ lim
x→c
f(x)
g(x)
= L
Dem. Vejamos o caso em que L ∈ R, f(c) = g(c) = 0, f e g sa˜o de classe C1 e
g′(c) 6= 0, pelo que
L = lim
x→c
f ′(x)
g′(x)
=
f ′(c)
g′(c)
.
lim
x→c
f(x)
g(x)
= lim
x→c
f(x)− f(c)
g(x)− g(c)
= lim
x→c
f(x)−f(c)
x−c
g(x)−g(c)
x−c
=
f ′(c)
g′(c)
= L.
Um estudo completo deste teorema pode encontrar-se em [2, Sec. 7.12 ff]. 2
1.2.3 Exerc´ıcios
1. Mostre que, se limx→c f(x) = α ∈ R e limx→c[f(x) + g(x)] = β ∈ R, enta˜o
limx→c g(x) = β − α.
2. Calcule os seguintes limites:
(a) limx→0 senxx .
(b) limx→0 e
x−1
x
.
(c) limx→0
log x+1
x
.
(d) limx→0 x−arctanxx3 .
(e) limx→0 cosx−e
−x22
x4
.
3. Suponha que f(x) := ex
2−e2 − x2 (x ∈ R)
(a) Mostre que 0, e e −e sa˜o extremantes locais de f , calcule os extremos
locais de f e classifique-os.
(b) Mostre que a equac¸a˜o f(x) = 0 tem quatro soluc¸o˜es sime´tricas duas a
duas e designe-as por α, −α, β, −β, sendo 0 < α < β.
1.2. CONTINUIDADE E DIFERENCIABILIDADE 129
(c) Qual o domı´nio da func¸a˜o x
g7→ log[f(x)]?
(d) Decida se o gra´fico de g tem ou na˜o ass´ımptotas (OBS: Repare que g e´
par).
4. Suponha que f(x) := e
x
2
−1 para qualquer x ∈ R.
(a) Mostre que a recta r de equac¸a˜o y = x
2
e´ tangente ao gra´fico de f no
ponto (2, 1).
(b) Determine a a´rea da regia˜o plana limitada pelo gra´fico de f , pela recta r
da al´ınea anterior e pelo eixo dos yy.
5. (a) Suponha que f e g sa˜o func¸o˜es diferencia´veis no intervalo I e que f(x) > 0
para todo o x ∈ I. Prove que se
h(x) = f(x)g(x) := eg(x)log(f(x)),
enta˜o h′(x) = g(x) · f(x)g(x)−1 · f ′(x) + f(x)g(x) · log(f(x)) · g′(x).
(b) Calcule f ′(x), sendo f(x) = (x2 + 1)2x−1.
6. Calcule
(a) lim
x→0
4x − 3x
x
(b) lim
x→+∞
(e3−xlog x)
(c) lim
x→+∞
ex − 1
x3 + 4x
(d) lim
x→0+
(2x2 + x)x
(e) lim
x→+∞
(3x+ 9)
1
x
(f) lim
x→1
1− x
log (2− x)
(g) lim
x→+∞
log x
xp
com p ∈ R+
7. Prove que, na demonstrac¸a˜o do teorema 1.2.4,
para cada τ > 0, o {m ∈ N| 0 ≤ c− xm < τ} e´ infinito.
8. Demonstre o teorema 1.2.9.
9. Prove que qualquer combinac¸a˜o linear, com coeficientes reais, de func¸o˜es uni-
formemente cont´ınuas e´ uniformemente cont´ınua.
10. Prove a condic¸a˜o (1.67).
130 CAPI´TULO 1. FUNDAMENTOS
1.3 Integrac¸a˜o
Nesta secc¸a˜o f : [a, b] ⊆ R→ R designa uma func¸a˜o limitada e
∀x ∈ [a, b] m ≤ f(x) ≤M (1.70)
Definic¸a˜o 1.3.1 Sejam n ∈ N e P = {a = x0 < x1 < · · · < xn = b} uma partic¸a˜o
de [a, b].
1. A soma superior de f para a partic¸a˜o P e´ dada por
S(f,P) =
n−1∑
i=0
sup
x∈[xi,xi+1]
f(x)(xi+1 − xi)
2. A soma inferior de f para a partic¸a˜o P e´ dada por
I(f,P) =
n−1∑
i=0
inf
x∈[xi,xi+1]
f(x)(xi+1 − xi)
3. f diz-se integra´vel (em [a, b]) quando
sup
{
I(f,P)| P e´ partic¸a˜o de [a, b]} = inf {S(f,P)| P e´ partic¸a˜o de [a, b]}
Este supremo (ou ı´nfimo) diz-se o integral de f (em [a, b]) e nota-se
∫ b
a
f(x)dx
Observac¸a˜o 1.3.1 Com esta definic¸a˜o de integral e´ aparente que
Quando f e´ integra´vel e f(x) ≥ 0 (a ≤ x ≤ b), ∫ b
a
f(x)dx pode
entender-se como medida da a´rea da regia˜o de R2 delimitada pelo gra´fico
de f e o eixo dos xx entre as rectas de equac¸o˜es x = a & x = b.
Teorema 1.3.1
1. Quando f e´ integra´vel, sejam quais forem as partic¸o˜es P , Q de [a, b]
m(b− a) ≤ I(f,P) ≤
∫ b
a
f(x)dx ≤ S(f,Q) ≤ M(b− a) (1.71)
2. f e´ integra´vel sse para qualquer ε > 0, existe uma partic¸a˜o P tal que
S(f,P)− I(f,P) < ε.
3. Se f e´ cont´ınua, enta˜o
(a) f e´ integra´vel.
(b) Existe c ∈]a, b[, tal que ∫ b
a
f(x)dx = f(c)(b− a).
1.3. INTEGRAC¸A˜O 131
Dem. A u´nica parte eventualmente dif´ıcil e´ a nu´mero 2 (exerc´ıcio 7). Quanto a`s
outras partes:
1. As duas desigualdades centrais resultam da pro´pria de definic¸a˜o de integral; a
primeira desigualdade obte´m-se de
m ≤ inf
x∈[xi,xi+1]
f(x) (1 ≤ i < n);
a u´ltima desigualdade obte´m-se de
sup
x∈[xi,xi+1]
f(x) ≤ M (1 ≤ i < n).
3(a) Resulta de 2. e do facto de f ser uniformemente cont´ınua (teorema 1.2.4).
3(b) Pode deduzir-se de 1 e dos teorema de Bolzano e de Weierstrass pois
min{f(x)| x ∈ [a, b]} ≤ 1
b− a
∫ b
a
f(x)dx ≤ ma´x{f(x)| x ∈ [a, b]}
2
Teorema 1.3.2 Suponha-se que as func¸o˜es f, g : [a, b] → R sa˜o integra´veis e que
α ∈ R. Enta˜o
1. αf + g : [a, b]→ R e´ integra´vel e∫ b
a
αf(x) + g(x)dx = α
∫ b
a
f(x)dx+
∫ b
a
g(x)dx (1.72)
2. Se para qualquer x ∈ [a, b] f(x) ≤ g(x), enta˜o∫ b
a
f(x)dx ≤
∫ b
a
g(x)dx
3. |f | : [a, b]→ R e´ integra´vel e∣∣∣∣∫ b
a
f(x)dx
∣∣∣∣ ≤ ∫ b
a
|f(x)|dx (1.73)
4. ma´x{f, g} : [a, b]→ R e´ integra´vel.
5. min{f, g} : [a, b]→ R e´ integra´vel.
6. f 2 : [a, b→ R e´ integra´vel.
7. f · g : [a, b]→ R e´ integra´vel.
Dem. Exerc´ıcio 2.
132 CAPI´TULO 1. FUNDAMENTOS
Definic¸a˜o 1.3.1 Quando α > β define-se∫ β
α
f(x)dx = −
∫ α
β
f(x)dx.
Com esta definic¸a˜o tem-se
Teorema 1.3.3 Quando esta˜o definidos os integrais,∣∣∣∣∫ b
a
f(x)dx
∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣∫ b
a
|f(x)|dx
∣∣∣∣ .
Dem. Exerc´ıcio 3.
Teorema 1.3.4 (Teorema Fundamental) Seja f : [a, b] ⊆ R → R uma func¸a˜o
cont´ınua, fixe-se c ∈ [a, b] e defina-se F (x) := ∫ x
c
f(t)dt (a ≤ x ≤ b). Nestas
condic¸o˜es
∀x ∈]a, b[ F ′(x) = f(x) (1.74)
Dem. Fixe-se x ∈]a, b[ ,e para fixar ideias, a < x < x+ h < b, temos
F (x+ h)− F (x)
h
=
∫ x+h
c
f(t)dt− ∫ x
c
f(t)dt
h
=
∫ x+h
x
f(t)dt
h
= f(x(h))
para algum x(h) entre x e x+ h pelo teorema 3b. Vamos ver que
lim
h→0
f(x(h)) = f(x).
Tome-se ε > 0, como f e´ cont´ınua em c, existe δ > 0 tal que, se |t − x| < δ
enta˜o |f(t) − f(x)| < ε; mas enta˜o, se |h| < δ, como x(h) esta´ entre x e x + h,
|x(h)− x| < |h| < δ e da´ı |f(x(h))− f(x)| < ε, i.e.,
∀ε > 0 ∃δ > 0 [|h| < δ ⇒ |f(x(h))− f(x)| < ε]
ou seja limh→0 f(x(h)) = f(x). 2
Teorema 1.3.5 (Fo´rmula de Barrow) Se F e f sa˜o func¸o˜es reais de varia´vel
real tais que ∀x ∈]c, d[ F ′(x) = f(x) e f e´ cont´ınua, enta˜o
∀a, b ∈]c, d[ [a ≤ b ⇒
∫ b
a
f(x)dx = F (b)− F (a)]. (1.75)
1.3. INTEGRAC¸A˜O 133
Dem. Defina-se
G(x) :=
∫ x
a
f(t)dt & H(x) := F (x)−G(x) (x ∈ [a, b]).
Pelo teorema Fundamental,
H ′(x) = G′(x)− F ′(x) = f(x)− f(x) = 0 (x ∈]a, b[),
portanto H e´ constante, i.e., para certo k ∈ R
H(x) = k (x ∈ [a, b]);
ora H(a) = F (a)−G(a) = F (a)− 0 = F (a) donde k = F (a); mas enta˜o
H(x) = F (a) (x ∈ [a, b])
e, em particular,∫ b
a
f(t)dt = G(b) = F (b)−H(b) = F (b)− F (a).
2
Teorema 1.3.6 (Integrac¸a˜o por Partes) Dadas func¸o˜es diferencia´veis
f, g :]a, b[→ R com derivadas cont´ınuas, tem-se
∀α, β ∈]a, b[
∫ β
α
f(x)g′(x)dx = f(x)g(x)]βα −
∫ β
α
f ′(x)g(x)dx. (1.76)
Dem. Basta observar que (fg)′ = f ′g + fg′ ou, o que e´ o mesmo, fg′ = (fg)′ − f ′g
e portanto, pela fo´rmula de Barrow,∫ b
a
f(x)g′(x)dx =
∫ b
a
(fg)′(x)− f ′(x)g(x)dx = f(x)g(x)]βα −
∫ b
a
f ′(x)g(x)dx.
2
Redesignando
F (b)− F (a) := F (x)]ba , (1.77)
a equac¸a˜o em (1.75) tambe´m costuma escrever-se∫ b
a
f(x)dx = F (x)]ba . (1.78)
Teorema 1.3.7 (de Mudanc¸a de Varia´veis) Se [a, b] ⊆]α, β[⊆ R, a func¸a˜o
φ :]α, β[→ [c, d] e´ diferencia´vel, φ′ e´ cont´ınua e f : [c, d]→ R e´ cont´ınua, enta˜o∫ φ(b)
φ(a)
f(x)dx =
∫ b
a
f(φ(t))φ′(t)dt. (1.79)
134 CAPI´TULO 1. FUNDAMENTOS
Dem. Seja
F (x) :=
∫ x
a
f(t)dt (t ∈ [a, b]).
Pelo teorema da Fundamental, F′(x) = f(x), portanto
d
dt
(F ◦ φ)(t) = f(φ(t))φ′(t)
e, pela Fo´rmula de Barrow,∫ b
a
f(φ(t))φ′(t)dt = (F ◦φ)(b)− (F ◦φ)(a) = F (φ(b))−F (φ(a)) =
∫ φ(b)
φ(a)
f(x)dx.
2
Teorema 1.3.8 (Teoremas da Me´dia para integrais)
1. Se f : [a, b] ⊆ R→ R e´ cont´ınua enta˜o
∃θ ∈ ]a, b[
∫ b
a
f(x)dx = f(θ)(b− a). (1.80)
2. Se f, g : [a, b]→ R sa˜o cont´ınuas e g tem sinal constante, enta˜o
∃θ ∈ ]a, b[
∫ b
a
f(x)g(x)dx = f(θ)
∫ b
a
g(x)dx (1.81)
Dem. A demonstrac¸a˜o de 1. pode ser feita utilizando o teorema Fundamental e o
teorema da Me´dia para derivadas ou o teorema de Bolzano do modo seguinte.
Sejam m := min f([a, b]) := f(α) e M := ma´xf([a, b]) := f(β). Se m = M , f e´
constante e
∀θ ∈ [a, b]
∫ b
a
f(x)dx = M(b− a) = f(θ)(b− a).
Se m < M , observe-se que
m(b− a) ≤
∫ b
a
f(x)dx ≤ M(b− a),
o que tambe´m pode ser visto como
f(α) ≤
∫ b
a
f(x)dx
b− a ≤ f(β).
De facto os ≤ sa˜o <, porque
m(b− a) = I(f, {a, b}; a, b) <
∫ b
a
f(x)dx < S(f, {a, b}; a, b)(b− a) =M(b− a)
e podemos utilizar agora o teorema do Valor Interme´dio para garantir a existeˆncia
de θ ∈]a, b[ (de facto entre α e β) tal que
f(θ) =
∫ b
a
f(x)dx
b− a .
2
1.3. INTEGRAC¸A˜O 135
1.3.1 Exerc´ıcios
1. Mostre que uma func¸a˜o integra´vel tem mesmo de ser limitada, isto e´, a hipo´tese
de cobertura desta secc¸a˜o e´ de facto necessa´ria para a definic¸a˜o de integrabi-
lidade num intervalo fechado.
2. Demonstre o teorema 1.3.2. Esquema:
1. Por exemplo siga o plano seguinte.
i.
∫ b
a
0dx = 0
ii. Prove que ∫ b
a
αf(x)dx = α
∫ b
a
f(x)dx (α ≥ 0).
iii. Prove que ∫ b
a
−f(x)dx = −
∫ b
a
f(x)d
iv. Conclua
∀α ∈ R
∫ b
a
αf(x)d = α
∫ b
a
f(x)d
v. Use as propriedadas do ı´nfimo e do supremo para provar que o integral
da soma de func¸o˜es integra´veis e´ a soma dos integrais de cada func¸a˜o.
vi. Conclua.
2. Siga por exemplo plano seguinte.
i. Se f(x) ≥ 0 (a ≤ x ≤ b), enta˜o ∫ b
a
f(x)dx ≥ 0.
ii. Observe que f(x) ≤ g(x) e´ o mesmo que 0 ≤ f(x)− g(x).
3. Siga por exemplo o plano seguinte.
i. Defina as partes positiva, f+, e negativa, f−, de f Para a ≤ x ≤ b,
f+(x) =
{
f(x) se f(x) > 0
0 se f(x) ≤ 0 (1.82)
f−(x) = (−f)+(x) =
{
−f(x) se f(x) < 0
0 se f(x) ≥ 0 (1.83)
ii. Prove que f+ e´ integra´vel, conclua que f− tambe´m e´, observe que
|f | = f+ + f−
−|f(x)| ≤ f(x) ≤ |f(x)|
iii. Conclua.
4. e 5. Observe que para quaisquer nu´meros reais t, τ (recorde o exerc´ıcio
1.0.7.1)
ma´x{t, τ} = t+ τ + |t− τ |
2
(1.84)
min{t, τ} = t+ τ − |t− τ |
2
(1.85)
136 CAPI´TULO 1. FUNDAMENTOS
6. Repare que f 2 ≡ |f |2 e discuta o comportamento da expressa˜o
S(f 2,P)− I(f 2,P)
quando f(x) ≥ 0 (a ≤ x ≤ b) para simplificar.
7. Observe que
f(x)g(x) =
(
f(x) + g(x)
)2 − (f(x)− g(x))2
2
(1.86)
3. Demonstre o teorema 1.3.3.
4. Determine a a´rea das regio˜es planas delimitadas pelos gra´ficos das func¸o˜es
dadas por
(a) f(x) = 1
x2−4 , g(x) = x
2 − 4
(b) f(x) = e2x, g(x) = e−x, h(x) = e
2−e3
4
(x − 1) + e2 (Sug.: Avalie as
func¸o˜es em 1 e em −3).
(c) f(x) = log(x), g(x) = log(n
2n)
n2−1 (x− n) + log(n) (avalie as func¸o˜es em n e
em 1/n).
5. Calcule
∫ 1
0
F (x) dx, onde F (x) =
∫ x
1
e−t
2
dt
(Sugesta˜o: integre por partes)
6. Calcule d
dx
(∫ x3
x2
e−t
2
dt
)
(x ∈ R)
7. Suponha que f : [a, b] ⊆ R → R e´ limitada como na condic¸a˜o (1.70) e que
P , Q sa˜o partic¸o˜es de [a, b] . Mostre que
(a) Quando P ⊆ Q se tem
I(f,P) ≤ I(f,Q) ≤ S(f,Q) ≤ S(f,P)
(b) Utilize P ∪Q para provar que
I(f,P) ≤ S(f,Q)
(c) Prove a parte 2 do teorema 1.3.1.
(SUG.: Recorde os exerc´ıcios 10, 11 e 12, na pa´g. 114 da secc¸a˜o 1.0.6.)
Cap´ıtulo 2
Teoremas da Func¸a˜o Composta e
da Func¸a˜o Inversa
2.1 Teoremas da Func¸a˜o Composta
Teorema 2.1.1 (da Func¸a˜o Composta para func¸o˜es cont´ınuas) Sejam f, g
func¸o˜es reais de varia´vel real. Se c ∈ dom(f ◦ g), g e´ cont´ınua em c e f e´ cont´ınua
em g(c), enta˜o f ◦ g e´ cont´ınua em c. De um modo geral, a composic¸a˜o de func¸o˜es
cont´ınuas e´ uma func¸a˜o cont´ınua.
Dem. Basta tomar em conta a seguinte sequeˆncia de equac¸o˜es
lim
x→c
(f ◦ g)(x) := lim
x→c
(f(g(x))
= f(lim
x→c
g(x)) (porque f e´ cont´ınua em lim
x→c
g(x))
= f(g(c)) (porque g e´ cont´ınua em c)
:= (f ◦ g)(c)).
2
Teorema 2.1.2 (da Func¸a˜o Composta para func¸o˜es diferencia´veis; regra
da Cadeia) Suponha-se que as func¸o˜es f :]c, d[→ R e g :]a, b[→]c, d[ sa˜o difer-
encia´veis respectivamente em g(x) ∈]c, d[ e em x ∈]a, b[, enta˜o f ◦ g e´ diferencia´vel
em x e
(f ◦ g)′(x) = f ′(g(x))g′(x). (2.1)
Dem. Vamos utilizar o teorema 1.2.7. Comecemos por escever
f(g(x) + k) = f(g(x)) + f ′(g(x))k + ²f (k)k & lim
k→0
²f (k) = 0 (2.2)
g(x+ h) = g(x) + g′(x)h+ ²g(h)h & lim
h→0
²g(h) = 0. (2.3)
Considere-se agora a sequeˆncia de equac¸o˜es seguinte:
(f ◦ g)(x+ h) := f(g(x+ h))
= f(g(x) + g′(x)h+ ²g(h)h)
= f(g(x) + (g′(x) + ²g(h))h),
201
202CAPI´TULO 2. TEOREMAS DA FUNC¸A˜O COMPOSTA E DA FUNC¸A˜O INVERSA
tendo-se
lim
h→0
²g(h) = 0; (2.4)
tomando
k(h) := (g′(x) + ²g(h))h,
observamos que, nestas condic¸o˜es
(f ◦ g)(x+ h) = f(g(x)) + f ′(g(x))k(h) + ²f (k(h))k(h)
= f(g(x)) + f ′(g(x))g′(x)h+ f ′(g(x))²g(h)h+ ²f (k(h))(g′(x) + ²g(h))h
= f(g(x)) + f ′(g(x))g′(x)h+ [f ′(g(x))²g(h) + ²f (k(h))(g′(x) + ²g(h))]h.
Ora
lim
h→0
k(h) = 0, (2.5)
Consequentemente, pela condic¸a˜o (2.2),
lim
h→0
²f (k(h)) = 0; (2.6)
pela condic¸a˜o (2.3),
lim
h→0
f ′(g(x))²g(h) = f ′g(x) · 0 = 0
e, retomando a condic¸a˜o (2.6),
lim
h→0
[f ′(g(x))²g(h) + ²f (k(h))(g′(x) + ²g(h))] = 0 + 0(g′(x) + 0) = 0;
fazendo
δ(h) := f ′(g(x))²g(h) + ²f (k(h))(g′(x) + ²g(h)),
temos finalmente
(f ◦ g)(x+ h) = (f ◦ g)(x) + f ′(g(x))g′(x)h+ δ(h)h & lim
h→0
δ(h) = 0,
o que nos diz (f ◦ g)′(x) = f ′(g(x))g′(x), pelo teorema 1.2.7. 2
2.2. TEOREMAS DA FUNC¸A˜O INVERSA 203
2.2 Teoremas da Func¸a˜o Inversa
Teorema 2.2.1 (da Func¸a˜o Inversa para func¸o˜es cont´ınuas) Sejam a, b, c
e d nu´meros reais tais que a < b e c < d e f :]a, b[→]c, d[ uma func¸a˜o cont´ınua
bijectiva.
1. f e´ estritamente mono´tona
2. f−1 e´ da mesma natureza que f , i.e., f e f−1 sa˜o ambas crescentes ou ambas
decrescentes
3. f−1 :]c, d[→]a, b[ e´ cont´ınua
Teorema 2.2.2 (da Func¸a˜o Inversa para func¸o˜es diferencia´veis) Sejam
a, b, c e d nu´meros reais tais que a < b e c < d e f :]a, b[→]c, d[ uma func¸a˜o
bijectiva diferencia´vel que verifica o seguinte
f ′ e´ cont´ınua (2.7)
∀t ∈]a, b[ f ′(t) 6= 0. (2.8)
Nestas condic¸o˜es, f−1 :]c, d[→]a, b[ e´ tambe´m diferencia´vel e
∀x ∈]c, d[ (f−1)′(x) = 1
f ′(f−1(x))
(2.9)
Demonstrac¸o˜es completas destes teoremas encontram-se em [15, pa´g. 309ss]; de mo-
mento pretendemos apenas ter presente uma justificac¸a˜o, importante em si mesma,
de alguns ca´lculos que apresentaremos mais adiante. Fazemos no entanto notar o
seguinte:
Observac¸a˜o 2.2.1 (ao teorema 2.2.1)
1. O facto de R ser corpo ordenado e´ fundamental para o enunciado: sem ordem
na˜o se pode falar de monotonia.
2. A continuidade de f−1 esta´ muito relacionada com o facto de todos as sucesso˜es
nume´ricas limitadas terem subsucesso˜es convergentes.
Observac¸a˜o 2.2.2 (ao teorema 2.2.2)
1. A injectividade de f e´ na verdade consequeˆncia de f ′ ser cont´ınua (condic¸a˜o
(2.7)) e na˜o ter zeros (condic¸a˜o (2.8)), tendo portanto sinal constante (pelo
Teorema do Valor Interme´dio), isto e´, f e´ estritamente crescente, se f ′ for
sempre positiva, ou estritamente decrescente, se for f ′ for sempre negativa;
assim o teorema mante´m-se va´lido substituindo bijectiva por sobrejectiva.
2. Admitindo demonstrado que f ′ e´ necessariamente diferencia´vel, a Regra da
Cadeia (teorema 2.1.2),permite obter a fo´rmula (2.9): como f e f ′ ficam
204CAPI´TULO 2. TEOREMAS DA FUNC¸A˜O COMPOSTA E DA FUNC¸A˜O INVERSA
diferencia´veis por hipo´tese, enta˜o a composic¸a˜o f ◦ f−1 resulta tambe´m difer-
encia´vel; mas
x = (f ◦ f−1)(x) (x ∈]c, d[)
e portanto
1 = (f ◦ f−1)′(x) = f ′(f−1(x))(f−1)′(x) (x ∈]c, d[)
obtendo-se (2.8) por resoluc¸a˜o em ordem a (f−1)′(x).
2.2.1 Exerc´ıcios
1. As func¸o˜es x 7→ n√x : R+ =]0,+∞[→ R+ (n ∈ N) sa˜o as inversas das
poteˆncias de expoente n restringidas a R+. Verifique que
d n
√
x
dx
=
1
n
n
√
xn−1
2. Admita que as func¸o˜es trigonome´tricas elementares esta˜o bem definidas. As
func¸o˜es arcsen, arcos, arctan sa˜o respectivamente as func¸o˜es inversas de
sen :] − pi
2
, pi
2
[→] − 1, 1[, cos :]0, pi[→] − 1, 1[, tan :] − pi
2
, pi
2
[→ R. Verifique
que
arctan′(x) =
1
1 + x2
arcsen′(x) =
1√
1− x2 arcos
′(x) =
1
−√1− x2 .
Cap´ıtulo 3
Teorema de Taylor
3.1 Fo´rmula de Taylor
As derivadas de ordem n (n ∈ N), designadas f (n), de uma func¸a˜o f :]a, b[⊆ R→ R
definem-se do seguinte modo
f (0) = f (3.1)
f (n+1) = (f (n))′ (3.2)
Uma func¸a˜o com k derivadas cont´ınuas diz-se de classe Ck. Quando uma func¸a˜o
f :]a, b[⊆ R → R tem n derivadas, para cada c ∈]a, b[, chama-se polino´mio de
Taylor de grau n em torno de c a
T nc f(x) := f(c) +
n∑
i=1
1
i!
f (i)(c)(x− c)i.
O resto de ordem n em torno de c da fo´rmula de Taylor sera´ designado por Rnc f(x)
e define-se por:
Rnc f(x) := f(x)− T nc f(x). (3.3)
Teorema 3.1.1 (de Taylor) Suponha-se que, para algum n ∈ N, a (n + 1)-e´sima
derivada da func¸a˜o f :]a, b[⊆ R → R e´ cont´ınua e que c ∈]a, b[. Vale a seguinte
fo´rmula
∀x ∈]a, b[ f(x) = f(c) +
n∑
i=1
1
i!
f (i)(c)(x− c)i + 1
n!
∫ x
c
f (n+1)(t)(x− t)ndt (3.4)
Dem. E´ vantajoso considerar aqui que 0 ∈ N. Comecemos enta˜o com n = 0. Nesta
caso a fo´rmula toma a forma
f(x) = f(c) +
∫ x
c
f ′(t)dt
que e´ va´lida por ser uma instaˆncia da fo´rmula de Barrow. Suponhamos agora que a
fo´rmula de Taylor vale para n ∈ N e que f e´ de classe C(n+1)+1. Tem-se
f(x) = f(c) +
n∑
i=1
1
i!
f (i)(c)(x− c)i + 1
n!
∫ x
c
f (n+1)(t)(x− t)ndt. (3.5)
301
302 CAPI´TULO 3. TEOREMA DE TAYLOR
Como
d
dt
(x− t)n+1
n+ 1
= −(x− t)n,
pelo teorema de Integrac¸a˜o por Partes, tem-se tambe´m∫ x
c
f (n+1)(t)(x− t)ndt =
[
−(x− t)
n+1
n+ 1
f (n+1)(t)
]x
c
+
1
n+ 1
∫ x
c
f (n+1)+1(t)(x− t)n+1dt
=
1
n+ 1
f (n+1)(c)(x− c)n+1
+
1
n+ 1
∫ x
c
f (n+1)+1(t)(x− t)n+1dt
Substituindo adequadamente em (3.5), obte´m-se
f(x) = f(c) +
n+1∑
i=1
1
i!
f (i)(c)(x− c)i + 1
(n+ 1)!
∫ x
c
f ((n+1)+1)(t)(x− t)n+1dt.
Pelo Princ´ıpio de Induc¸a˜o, a fo´rmula de Taylor vale para qualquer n ∈ N 2
Corola´rio 3.1.1 Nas condic¸o˜es da hipo´tese do teorema anterior (3.1.1), o resto de
ordem n pode tomar treˆs formas:
Rnc f(x) =
1
n!
∫ x
c
f (n+1)(t)(x− t)ndt
=
1
n!
∫ 1
0
(1− s)nf (n+1)(c+ s(x− c))(x− c)n+1ds (integral)
Rnc f(x) =
1
n!
f (n+1)(θ)(x− θ)n(x− c), para algum θ entre c e x (de Cauchy)
Rnc f(x) =
1
(n+ 1)!
f (n+1)(θ)(x− c)n+1, para algum θ entre c e x (de Lagrange)
Dem. O resto integral e´ a forma que utiliza´mos na demonstrac¸a˜o do pro´prio teo-
rema; a segunda equac¸a˜o resulta do teorema de substituic¸a˜o quando se faz
t := c+ s(x− c).
O resto de Cauchy resulta de uma simples aplicac¸a˜o do primeiro teorema da Me´dia
para integrais (equac¸a˜o (1.80)) ao resto integral, considerando que os extremos do
intervalo de integrac¸a˜o sa˜o precisamente c e x e que t 7→ f (n+1)(t)(x− t)n e´ cont´ınua:
a sua avaliac¸a˜o em algum θ entre c e x e´ precisamente f (n+1)(θ)(x− θ)n .
O resto de Lagrange obte´m-se por aplicac¸a˜o do segundo teorema da me´dia (equac¸a˜o
(1.81)) tambe´m ao resto integral, observando que t 7→ (x − t)n na˜o muda de sinal
3.1. FO´RMULA DE TAYLOR 303
nem em [c, x], se c ≤ x, nem em [x, c], se x ≤ c, portanto, existe θ entre c e x, tal
que
1
n!
∫ x
c
f (n+1)(t)(x− t)ndt = f (n+1)(θ) 1
n!
∫ x
c
(x− t)ndt
=
1
(n+ 1)!
f (n+1)(θ)(x− c)n+1.
2
Note-se que o resto de Lagrange vale ainda so´ sob a hipo´tese de existeˆncia de fn+1;
na verdade, e´ por vezes u´til conhecer uma outra forma integral do resto que, tal como
o resto integral, vale mesmo quando f (n+1) e´ integra´vel, mas na˜o necessariamente
cont´ınua:
Corola´rio 3.1.2 Nas condic¸o˜es da hipo´tese do teorema anterior (3.1.1), o resto de
ordem n+ 1 pode ainda tomar a forma seguinte
Rn+1c f(x) =
1
n!
∫ x
c
(x− t)n [f (n+1)(t)− f (n+1)(c)] dt
=
1
n!
∫ 1
0
(1− s)n [f (n+1)(c+ s(x− c))− f (n+1)(c)] (x− c)n+1ds
Dem. Para demonstrar a primeira forma basta ter em conta a primeira forma
do resto integral e observar que f (n+1)(c) e´ constante relativamente a` varia´vel de
integrac¸a˜o; para a segunda forma use-se de novo o teorema de mudanc¸a de varia´veis
com t = c+ s(x− c) (s ∈ [0, 1]) . 2
Corola´rio 3.1.3 Se f :]a, b[⊆ R → R e´ de classe Cn, o resto de ordem n pode
tomar a forma seguinte
Rnc f(x) =
1
(n− 1)!
∫ x
c
(x− t)(n−1) [f (n)(t)− f (n)(c)] dt
=
1
(n− 1)!
∫ 1
0
(1− s)(n−1) [f (n)(c+ s(x− c))− f (n)(c)] (x− c)nds
Dem. De facto este e´ um corola´rio do corola´rio anterior (corola´rio 3.1.2) que se
obte´m substituindo n+ 1 adequadamente por n, i.e., substituindo n por n− 1. 2
O resto de Taylor e´ um instrumento muito importante na avaliac¸a˜o de erros de
aproximac¸a˜o:
Teorema 3.1.2 Suponha-se que para algum n ∈ N a (n + 1)−e´sima derivada da
func¸a˜o f :]a, b[→ R e´ cont´ınua e que c ∈]a, b[. Nestas condic¸o˜es existe δ > 0 tal
que, se x e´ valor aproximado de c com erro inferior a δ, enta˜o T nc f(x) aproxima
f(x) com erro inferior a (x − c)n; mais precisamente: se [c − δ, c + δ] ⊆]a, b[ e
M = ma´x{|f (n+1)(t)| : |t− c| ≤ δ}, enta˜o
∀x ∈ [c− δ, c+ δ] |Rnc f(x)| ≤
M
(n+ 1)!
|x− c|n+1. (3.6)
304 CAPI´TULO 3. TEOREMA DE TAYLOR
Dem. Nas condic¸o˜es da hipo´tese podemos utilizar o resto de Lagrange (teorema
3.1.1) tendo-se, para algum θ para algum θ entre c e x,
|Rnc f(x)| =
∣∣∣∣ 1(n+ 1)!f (n+1)(θ)(x− c)n+1
∣∣∣∣ ,
=
1
(n+ 1)!
∣∣f (n+1)(θ)∣∣ ∣∣(x− c)n+1∣∣ ,
≤ 1
(n+ 1)!
M |x− c|n+1
2
O polino´mio de Taylor e´ uma forma extremamente eficaz de aproximac¸a˜o da func¸a˜o:
Teorema 3.1.3 Suponha-se que, para algum n ∈ N, a n-e´sima derivada da func¸a˜o
f :]a, b[⊆ R→ R e´ cont´ınua e que c ∈]a, b[. Enta˜o
lim
x→c
Rnc f(x)
(x− c)n = limx→c
f(x)− T nc f(x)
(x− c)n = 0. (3.7)
De facto, T nc f(x) e´ o u´nico polino´mio P (x) de grau n em poteˆncias de x− c tal que
lim
x→c
f(x)− P (x)
(x− c)n = 0.
Dem. Comecemos por demonstrar (3.7). Recorde-se que f(x)− T nc f(x) = Rnc f(x).
(Primeira demonstrac¸a˜o)
De acordo com o teorema 3.1.2, valem as desigualdades seguintes, quando [c− δ, c+
δ] ⊆]a, b[ e M = ma´x{|f (n+1)(t)| : |t− c| ≤ δ},
0 ≤ |Rnc f(x)| ≤
1
(n+ 1)!
M |x− c|n+1
portanto
0 ≤ |R
n
c f(x)|
|x− c|n ≤
1
(n+ 1)!
M |x− c|;
como limx→c |x− c| = 0, tambe´m limx→c 1(n+1)!M |x− c| = 0 e da´ı limx→c |R
n
c f(x)|
|x−c|n = 0,
como pretend´ıamos demonstrar.
3.1. FO´RMULA DE TAYLOR 305
(Segunda demonstrac¸a˜o) Neste caso interessa evidenciar a afirmac¸a˜o constante
da equac¸a˜o (3.8) adiante.
Diferencie-se para verificar que, se n ≥ 1,
d
dx
T nc f(x) =
d
dx
(
f(c) + f ′(c)(x− c) +
n∑
i=2
1
i!
f (i)(c)(x− c)i
)
= f ′(c) +
n∑
i=2
1
(i− 1)!f
(i)(c)(x− c)i−1
= f ′(c) +
n−1∑
i=1
1
i!
(f ′)(i)(c)(x− c)i
= T nc f
′(x);
resumindo
d
dx
T nc f(x) = T
n−1
c f
′(x) (n ≥ 1). (3.8)
De seguida verifiquemos que o teorema vale para n = 1: por (1.63)
lim
x→c
f(x)− T 1c f(x)
(x− c) = limx→c
f(x)− f(c)− f ′(c)(x− c)
x− c