Densidade de um Fluído

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Teorema de Stevin
O Teorema de Stevin, ou Lei de Stevin é um princípio físico que estabelece
que a pressão absoluta num ponto de um líquido homogêneo e incompressível, de
densidade ρ e à profundidade h, é igual à pressão atmosférica (exercida sobre a
superfície desse líquido) mais a pressão efetiva1, e não depende da forma do
recipiente:
Pabs = Patm + Pef (1)
ou seja,
Pabs = Patm + ρgh (2)
onde, no SI:
Pabs corresponde à pressão hidrostática,
ρ é a densidade do líquido,
g é a aceleração da gravidade,
h é a medida da coluna de líquido acima do ponto — (em metros) —, e 
Patm corresponde à pressão atmosférica (em pascals).
Desta forma, em um mesmo nível, as pressões dos líquidos são iguais
mesmo que a coluna acima deles sejam de líquidos diferentes. 
Ou seja:
P = P1 + ρ1gh1 = P2 +ρ2gh2 (3)
Ou 
h1/h2 = ρ2/ρ1 (4)
Figura 1: Tubo em U contendo líquidos em equilíbrio estático
O experimento consiste em construir um tubo em U na vertical, colocar dois
líquidos imiscíveis (água e óleo) dentro dele, a fim de medir h1 (altura da água) e h2
(altura do óleo) várias vezes, para quantidades diferentes de óleo. Com o objetivo de
determinar a densidade do óleo através da lei de Stevin.
 Para isso foram necessários:
• Mangueira transparente e flexível;
• Suporte;
• Régua;
• Seringa de injeção;
• Água;
• Áleo.
Com o uso do suporte, a mangueira flexível foi fixada de forma a construir um
tubo em U. Em um dos ramos do tubo foi adicionado certa quantidade de água.
Quando o líquido já havia entrado em equilíbrio dentro do tubo de forma que ficasse
com a mesma quantidade de água em ambos os lados, o óleo foi adicionado
gradualmente com o auxílio da seringa. Então, quando ambos os líquidos entraram
em equilíbrio estático, partindo de um mesmo nível (de forma a usar a lei de Stevin)
as alturas foram medidas para cada lado do tubo.
 
Repetimos o experimento para sete quantidades diferentes de óleo, e em
cada uma delas registramos as alturas do óleo (h2) e da água (h1). Com os dados
obtidos criamos a seguinte tabela: 
Tabela 1: h1 (altura da água) e h2 (altura do óleo)
Nº de medidas H1 (mm) Erro h1 (mm) H2 (mm) Erro h2 (mm)
1 229 1,5 238 1,5
2 315 1,5 342 1,5
3 417 1,5 450 1,5
4 500 1,5 549 3,0
5 568 3,0 613 3,0
6 600 3,0 648 3,0
7 653 3,0 709 3,0
Figura 2: Tubo em U contendo água e óleo em equilíbrio estático
OBS*: Sabemos que o erro deve ser calculado de acordo com ½ da menor
medida usada. Como usamos uma régua milimetrada, o nosso erro mínimo é
metade de um milímetro. A régua usada no experimento tinha 500 mm e como pode
ser observado nos dados obtidos, passamos desse valor em várias das medições, o
que fez com que usássemos duas réguas, e para calcular o erro dessas duas
réguas juntas, estamos considerando o dobro do erro de uma só régua (1mm), mais
2mm de erro humano. Usando só uma régua o erro humano considerado foi de
1mm.
Com os resultados encontrados e com a ajuda o software OringePro8 fizemos
a confecção do gráfico de h2 por h1:
O slope mostrado no gráfico é nossa inclinação da reta, ou seja, é 
h1/h2 = ρ2/ρ1
Usando os dados da água encontrados no fim do livro “Fundamentos de
Física, volume 2 – Halliday e Resnick”, sabemos que a massa específica (ou
densidade) da água à pressão normal e à temperatura de 25°C, é de 1000 kg/m³.
Então:
(0,9 ± 0,01) = ρ2/ρ1
ρ2 = 1 g/cm³ * (0,9 ± 0,01)
ρ2 = (0,90 ± 0,01) g/cm³
De acordo com a tabela encontrada no site
http://smartinternational.com.br/br/tabela_densidade/o.html, a densidade que é
adotada para o óleo de soja é 0,92 g/cm³.
Usaremos então os dados obtidos na tabela1 e aplicados à fórmula 4 da Lei
de Stevin e à fórmula de erro, para comparar ao resultado encontrado pelo origin e
tentar algo mais próximo do resultado esperado:
Dados:
 onde ρ1 = 1000 kg/m³
Tabela 2: ρ2 para cada valor de h1 e h2
Nº de medidas ρ2 Erro (Δf)
1 962 kg/m³ ± 12,4 kg/m³
2 921 kg/m³ ± 8,4 kg/m³
3 926 kg/m³ ± 6,4 kg/m³
4 911 kg/m³ ± 7,7 kg/m³
5 927 kg/m³ ± 9,4 kg/m³
6 926 kg/m³ ± 8,9 kg/m³
7 921 kg/m³ ± 8,1 kg/m³
Média: 928 kg/m³ ± 6,1 kg/m³
Nota-se que o resultado através da aplicação direta das fórmulas, foi mais
preciso, ficando bastante próximo do resultado esperado. A diferença entre resultado
encontrado pelo Origin e resultado encontrado por fórmulas tem essa discrepância
devido aos arredondamentos que o resultado feito pela aplicação direta das fórmulas
faz. 
Enquanto as diferenças entre os resultados encontrados e o resultado
esperado, pode ser dado por vários motivos; tais como:
• Erro humano:
Uma só pessoa tinha que segurar a régua no ponto certo onde as
pressões eram iguais e olhar o valor que dava na régua, entre marcar o
lugar e olhar, pode ser que a régua tenha se movimentado. Além do fato
que a cada medida o valor da régua pode ter sido olhado de um ponto de
refecia diferente. Pode ter acontecido também de mover o tubo em alguma
situação, fazendo com que pegássemos o valor errado de onde as
pressões eram a mesmas;
• Erro na régua:
A régua usada só tinha 500 mm, e como pode ser observado nos valores
anotados, em várias medidas superamos esse valor, o que fez com que
usássemos mais de uma régua para olhar uma medida de altura. O que
faz com que nossos erros dobrem. (Por isso o valor de erro usado nas
medições com duas réguas foi o dobro do erro usado para uma régua);
• Temperatura:
Para encontrar o valor da densidade do óleo, usamos o valor da
densidade da água a 25°C, porém a temperatura no dia do experimento
entrava entre 18,8 e 29,9 °C.
Conclusão:
Em uma próxima tentativa, usaremos menos líquidos, a fim de usar apenas
uma régua e contaremos com mais de uma pessoa para realizar o procedimento,
para que um segure a régua no ponto onde as pressões são iguais e o outro faça a
leitura da altura. Além, claro, de fazer mais medições e considerar a temperatura da
cidade no dia do experimento.
Contudo, a diferença entre o valor esperado e o valor encontrado é de 0,02
kg/m³ quando feito com a ajuda do Origin e é bem preciso quando encontrado
através das fórmulas, o experimento então pode ser considerado como satisfatório.
Referências bibliográficas:
- Halliday, D.; Resnick, R. - Física – Vol 2, Rio de Janeiro, Livros técnicos e
Científicos
- Tabela de Densidade: Encontrada em:
<http://smartinternational.com.br/br/tabela_densidade/o.html>, Acessado dia
21/03/15 as 21:53.