Números Complexos IME

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Números Complexos 
 
1. (IME) Considere os números complexos Z1 = sen α + i cos α e Z2 = cos α – i sen α , onde α é um número real. Mostre 
que, se Z = Z1Z2, então –1 ≤ Re(Z) ≤ 1 e –1 ≤ Im(Z) ≤ 1, onde Re(Z) e Im(Z) indicam, respectivamente, as partes real e 
imaginária de Z. 
 
2. (IME) Seja z um número complexo de módulo unitário que satisfaz a condição 
 z2n ≠ –1, onde n é um número inteiro positivo. 
Demonstre que 
n2
n
z1
z
+ é um número real 
 
3. (IME) Dado Z = 
i247
1
+− , calcule as partes real e imaginária de Z. 
 
4. (IME) Faça o que se pede. 
 
a) Calcule o argumento do seguinte número complexo i(1 + i); 
b) Escreva sob forma trigonométrica o número complexo Z = 1 + i 3 . 
 
5. (IME ) Prove que 
,ZZZZ 2121 +=+ onde Z1, Z2 ∈ C. 
 
6. (IME) Determine a expressão da soma a seguir, onde n é um inteiro múltiplo de 4. 
 
1 + 2i + 3i2 + ... + (n + 1)in 
 
7. (IME) Sejam a1 = 1 – i, an = r+si e an+1 = (r – s) + (r + s)i (n > 1) termos de uma seqüência. Determine, em função de n, os 
valores de r e s que tornam esta seqüência uma progressão aritmética, sabendo que r e s são números reais e i= 1− . 
 
 
8. (IME) Determine as raízes de Z2 + 2iz + 2 – 4i = 0 e localize-as no plano complexo, sendo i = 1− . 
 
 
9. (IME) Dois números complexos z1 e z2, não nulos, são tais que 
 
2121 zzzz −=+ 
Mostre que 
1
2
z
z é imaginário puro. 
 
10. (IME) Sabe-se que z1 2z = 
4
3
z
z e ⎜z3 + z4 ⎜– ⎜z3 – z4 ⎜= 0, sendo z1, z2, z3 e z4 números complexos diferentes de zero. 
Prove que z1 e z2 são ortogonais. 
 
Obs.: números complexos ortogonais são aqueles cujas representações gráficas são perpendiculares entre si e z é o número 
complexo conjugado de z. 
 
 
 
 
 
 
 
 
11. (IME) Sejam as somas S0 e S1 definidas por 
 
S0 = C 0n +C 3n +C 6n +C 9n +...+C ]3/n[3n 
S1 = C 1n +C 4n +C 7n +C 10n +...+C 1]3/)1n[(3n +− 
 
Calcule os valores de S0 e S1 em função de n, sabendo que [r] representa o maior inteiro menor ou igual ao número r. 
 
Sugestão: utilize o desenvolvimento em binômio de Newton de (1 + cis n)
3
2π . 
 
12. (IME) Sendo a, b e c números naturais em progressão aritmética e z um número complexo de módulo unitário, 
determine um valor para cada um dos números a, b, c e z de forma que eles satisfaçam a igualdade: 
 
9111 z
zzz cba
=++ 
 
13. (IME) Dois números complexos são ortogonais se suas representações gráficas forem perpendiculares entre si. Prove que 
dois números complexos Z1 e Z2 são ortogonais se e somente se: 
 
Z1 Z 2 + Z 1Z2 = 0 
 
Obs. Z indica o conjugado de um número complexo Z. 
 
14. (IME) Determine os parâmetros δγβα e,, da transformação complexa, W = δ+γ
β+α
Z
Z
, que leva os pontos Z = 0 : -i 
; -1 para W = i : 1 ; 0, respectivamente, bem como. Z para W = –2 –i, onde i = 1− . 
 
 
15. (IME) Sejam w0 = 1, . w1 = j . w2 = j2 as raízes cúbicas da unidade no plano complexo (considere w1 o número de 
módulo 1 e argumento 
3
2π ). 
Sabendo que se c ∈ C a rotação R em torno do ponto c e amplitude igual a 
3
π é dada por 
R(z) = –j2z – j c . ∀ z ∈C – {c} 
pede-se: 
 
a) determinar as relações existentes entre a, b, c, j, j2, onde a, b ∈ C, de modo que o triângulo a, b, c, seja equilátero; 
b ) determinar z para que o triângulo i, z, i z seja equilátero. 
Dado: i = 1− . 
 
16. (IME) Considere os números complexos 
z = x + y . i e w = y – x . i , cujos módulos são tais que 
⏐z⏐= e xw
3.
, e ⏐w⏐= e yz
1
.
, 
 
onde e é base dos logaritmos neperianos. Obter a forma polar de z2. 
 
 
17. (IME) Resolva a equação z5 = z , onde z é o conjugado de número complexo z. 
 
 
 
 
 
 
 
 
18. (IME) Mostre que todas as raízes da equação (z + 1)5 + z5 = 0 pertencem a uma mesma reta paralela ao eixo 
imaginário. 
 
 
19. (IME) Considere os seguintes conjuntos de números complexos: 
 
A = {z ∈ C ⎢ z = 1, Im (z) > 0} 
 
B = {z ∈ C ⎢ Re (z) = 1 , Im (z) > 0} 
 
onde Re (z) e Im (z) são as partes real e imaginária do número complexo z, respectivamente. 
 
a) Mostre que para cada z ∈ A, o número 
1z
z2
+ pertence a B. 
b) Mostre que cada ω ∈ B pode ser escrito da forma 
1z
z2
+ para algum z ∈ A. 
 
20. (IME) Mostre que todas as raízes da equação (z + 1)5 + z5 = 0 pertencem a uma mesma reta paralela ao eixo 
imaginário. 
 
21. (IME) Sejam z1 e z2 complexos de raios vetores OP1 e OP2, respectivamente.Mostre que OP1 e OP2 são 
perpendiculares se e somente se z1 2z é um imaginário puro. 
Notação: z é o conjugado de z. 
 
22. (IME) Quais as relações entre os coeficientes reais a, b, c, d da equação 
x2 + 2(a + ib)x + c + id = 0, 
 
de modo que ela seja satisfeita para um valor real x =k? 
 
Obs: i2 = –1. 
 
23. (IME) Seja 
Sn = ∑n
1
na , 
 
onde os an são complexos. Os módulos dos an estão em progressão geométrica. Os argumentos dos an estão em progressão 
aritmética. São dados: 
a1 = 13;5( 3 + i) 
 
a4 = 2
13i − 
Calcule o ∞→n lim Sn. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito: 
 
1- 
2- 
3- i
25
3
25
4z +−= 
4- 
( )( )
Zk,k2
3
cis2)b
Zk,k2
4
3i1iarg)a
∈⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ π+π
∈π+π=+
 
5- 
6- 
7- 
2n2n
2ns
2n2n
nr
2
2
+−
−=
+−= 
8- 
i31z
ou
i1z
2
1
−−=
+=
 
9- 
10- 
11- 
3
3
ncos
3
nsen32
S
3
3
ncos22
S
n
1
n
0
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ π−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ π+
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ π+
=
 
12- 
3c
2b
1a
1z
=
=
=
−=
 
 
13- 
14- 
ii γ−=δ=β=α 
15- 
16- 
i
3
42 ez
π+±= 
17- 
.5...,1,0k,
3
kciszou0z =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ π== 
 
 
 
 
 
18- 
19- 
20- 
21- 
22- 
ab2deac 2 == 
23- ( )
( )i3
6
11
i35,13
+−
+