GEOMETRIA ANALÍTICA & ÁLGEBRA LINEAR - Avaliação

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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA
DO CEARÁ
Disciplina: Algebra linear Curso: Física 1a Av.3
Prof.: Loester Sá 18/03/2015
Aluno(a): Nota:
Todas as questões devem ser devidamente justificadas com explicações ou
cálculos. Questões escritas com grafite não serão revisadas.
1. a) Dê a definição de produto interno num espaço vetorial V .
b) Verifique que 〈u, v〉 = 2u1v1+3u2v2+u3v3 define um produto interno
no R3
2. Seja S = {(x, y, z) ∈ R3;x+ 3y − z = 0}, plano passando pela origem.
Considerando R3 com o produto interno usual ou produto escalar.
a) Mostre que todo vetor de S é ortogonal a u = (1, 3,−1).
b) Determine dois vetores em S, v e w, ortogonais entre si.
3. Sejam os vetores u = (2,−3, 2) e v = (−1, 2, 4) em R3.
a) Verifique se w = (3,−4, 8) é gerado por u e v, ou seja, w é combinação
linear de u e v? Existe números reais x e y tal que w = xu+ yv?
b) Verifique que u não é multiplo de v, ou seja, u e v são linearmente
independente. Encontre uma base do R3 contendo os vetores u e v.
4. Calcule o ânglulo entre os vetores u e v do item anterior e ache o vetor
projeção de u sobre v. Determine um vetor w ortogonal a v.
5. Mostre que ‖u + v‖ ≤ ‖u‖ + ‖v‖ sendo a norma induzida do produto
interno, ou seja, ‖x‖2 = 〈x, x〉 para todo vetor x do espaço vetorial com
produto interno.
6. Determine as matrizes de mudança de base entre B1 = {(1, 0), (2,−1)}
e B2 = {(1, 0), (2,−1)} e, dado v = (0, 1)B1 , escreva as coordenadas de
v na base B2.