CÁLCULO I exercicio 5

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CÁLCULO I 
5a aula 
Lupa 
 
 
 
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 1a Questão 
 
 
 O Teorema de Rolle é definido como: 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a,b] tal que f seja diferenciável no intervalo aberto (a,b) e f(a) = f(b). Existe 
pelo menos um número c no intervalo aberto (a,b) tal que f´(c) = 0. 
 
Seja f uma função descontínua no intervalo fechado [a,b] tal que f seja diferenciável no intervalo aberto (a,b) e f(a) = f(b). 
Existe pelo menos um número c no intervalo aberto (a,b) tal que f´(c) = 0. 
 
Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a,b] tal que f seja não diferenciável no intervalo aberto (a,b) e f(a) = f(b). 
Existe pelo menos um número c no intervalo aberto (a,b) tal que f´(c) = 0. 
 
Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a,b] tal que f seja diferenciável no intervalo aberto (a,b) e f(a) = f(b). Existe 
pelo menos um número c no intervalo aberto (a,b) tal que f´(c) diferente de zero. 
 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
 Dada a equação y=3x+5 e dxdt=2, calcule dydt quando x=1. 
 
 
5 
 6 
 
- 2 
 
- 6 
 
2 
 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
 Para demonstrar que a equação x3 + x - 1 = 0 existe uma raiz entre 0 e 1 devemos: 
 
 Devemos utilizar o Teorema do Valor Intermediário pois f é contínua , é uma função polinomial, f (0) = - 1 e f (1) = 1, logo 
existe um c entre 0 e 1 tal que f (c) = 0. 
 
Devemos utilizar o Teorema do Valor Médio pois f é contínua, é uma função polinomial, f (0) = 1 e f (1) = - 3, logo existe um 
c entre 0 e 1 tal que f (c) = 0. 
 
Devemos utilizar o Teorema do Valor Intermediário pois f é contínua, é uma função polinomial, f (0) = 2 e f (1) = 1, logo não 
existe um c entre 0 e 1 tal que f (c) = 0. 
 
Devemos utilizar o Teorema do Valor Intermediário pois f é descontínua, é uma função polinomial, f (0) = 2 e f (1) = 1, logo 
existe um c entre 0 e 1 tal que f (c) = 0. 
 
Devemos utilizar o Teorema do Valor Médio pois f é descontínua, não é uma função polinomial, f (0) = 1 e f (1) = 1, logo 
existe um c entre 0 e 1 tal que f (c) = 0. 
 
 
Explicação: 
Devemos utilizar o Teorema do Valor Intermediário podemos afirmar que f é contínua pois é uma função polinomial, f (0) = -1 e f (1) 
= 1, logo existe um c entre 0 e 1 tal que f (c) = 0. 
 
 
 
 
 
 4
a
 Questão 
 
 
 Calcule a Primeira Derivada da Função, F(x)= 10X - 9. 
 
 
19 
 
9 
 
1 
 
-9 
 10 
 
 
Explicação: Aplicação da primeira derivada. 
 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
 Seja f(x) = x³-8x. Os pontos de mínimo e máximo, respectivamente, de f são: 
 
 
x=1 e x=2 
 x=2 e x=-2 
 
x=0 e x=1 
 
x=0 e x=2 
 
x=0 e x=-2 
 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
 
O fólio de Descartes é representado pela expressão x3+y3=6xy. 
Encontre dydx 
 
 dydx=2y3-x2y2-2x 
 dydx=2y3-x2y-2x 
 dydx=x2y2-2x 
 dydx=2y+x2y2+2x 
 dydx=2y-x2y2-2x 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
 Utilizando o Teorema do Valor Médio, analise a função f(x) = em [1,2] e conclua quais das afirmações abaixo são verdadeiras: 
I - O Teorema do Valor Médio é satisfeito pois temos os limites a direira e a esquerda do ponto 2 iguais a 5 portanto f(x) é continua 
em [1,2] e f(2) = 1; 
II - O Teorema do Valor Médio não é satisfeito pois a função não possui limite a esquerda de 2 e portanto a função não é contínua no 
intervalo [1,2]; 
II - O Teorema do Valor Médio é satisfeito pois os limites a direita e a esquerda do ponto 2 é igual a infinito e f(2) = 1. 
 
 
As opções I e III são verdadeiras 
 
Apenas a opção III é verdadeira 
 
As opções I e II são falsas 
 Apenas a opção II esta correta. 
 
Apenas a opção I é verdadeira 
 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
 Podemos provar que existe um valor c que satisfaz as condições do Teorema do Valor Médio. Supondo f(x) = 1 - (1/x), no intervalor 
(1,2), determine o valor de c aplicando o Teorema do Valor Médio. 
 
 
A função f(x) dada é continua em x=0, logo contínua em [1,2] a função também é derivavel em (1,2) então existe um valor 
c que satisfaz o TVM (Teorema do Valor Médio) e este é 7 
 
A função f(x) dada é descontinua somente em x=0, logo contínua em [1,2] a função não é derivavel em (1,2) então não 
existe um valor c que satisfaz o TVM (Teorema do Valor Médio) 
 A função f(x) dada é descontinua somente em x=0, logo contínua em [1,2] a função também é derivavel em (1,2) então 
existe um valor c que satisfaz o TVM (Teorema do Valor Médio) e este é c=2–√c=2 
 
A função f(x) dada é continua em x=0, logo contínua em [1,2] a função também é derivavel em (1,2) então existe um valor 
c que satisfaz o TVM (Teorema do Valor Médio) e este é 4 
 
A função f(x) dada é descontinua somente em x=0, logo contínua em [1,2] a função também é derivavel em (1,2) então 
existe um valor c que satisfaz o TVM (Teorema do Valor Médio) e este é 1 
 
 
Explicação: 
A função f(x) dada é descontinua somente em x=0, logo contínua em [1,2] a função também é derivavel em (1,2), f´(x) = 
1/x2 .Então existe um valor c que satisfaz o TVM (Teorema do Valor Médio). A derivada de f no ponto c é f ' (c) = 1/c2 e (f(2)-f(1))/ 
(2-1) = 1/2 logo 1/c2 =1/2 portanto mas somente o valor positivo esta dentro do intervalo (1,2) portanto é o valor de 
que satisfaz o teorema do valor médio.