TRIGONOMETRIA exercicio 15

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TRIGONOMETRIA 
9a aula 
Lupa 
 
 
 
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 1a Questão 
 
 
 Desenvolvendo a expressão (1 - sen² x) / (cotg x . senx) podemos reduzi-la a: 
 
 
sen x 
 cos x 
 cotg x 
 
tg x 
 
cossec x 
 
 
Explicação: 
1 - sen² x = cos²x ... 
cotg x .senx = cos x / senx . sen x = cos x ... 
Então (1 - sen² x) / (cotg x . senx) = cos²x / cos x = cos x 
 
 
 
Gabarito Coment. 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
 Podemos afirmar que tg²x + 1 é igual a: 
 
 
cos² x 
 
cossec² x 
 
sen² x 
 cotg² x 
 sec² x 
 
 
Explicação: 
 tg²x + 1 = sen²x/ cos²x + 1 = [(1 - cos²x )/cos²x ] +1 = [ (1/cos²x ) - (cos²x /cos²x) ] +1 = sec²x -1 + 1 = sec²x .. 
 
 
Gabarito Coment. 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
 Considerando um arco x pertencente ao primeiro quadrante, a expressão sen2x.secx corresponde a : 
 
 2cosx 
 
cosx 
 
2tgx 
 
senx 
 2senx 
 
 
Explicação: 
 sen2x = 2 senx cosx , portanto sen2x.secx = 2 senx cosx . (1/cosx) = 2 senx 
 
 
Gabarito Coment. 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
 Dadas as afirmações: I) sec²x = 1 + tg²x II) Cossex² x = 1 - tg² x III) sen x + cos x = 1 São verdadeiras as equações 
 
 
Apenas II 
 
Apenas III 
 Apenas I e III 
 Apenas I 
 
Apenas II e III 
 
 
Explicação: 
I) sec²x = 1 + tg²x = ... 1 + (sen²x/ cos²x) = (cos²x + sen²x ) / cos²x = 1/ cos²x = sec²x ... VERDADE . 
 
II) cosec² x = 1 - tg² x = ... 1 - (sen²x/ cos²x) = (cos²x - sen²x ) / cos²x ... FALSO 
 
III) sen x + cos x = 1 ... sabemos que sen²x + cos²x = 1 . A expressão dada é FALSA. 
Então só é verdadeira a I) . 
 
 
Gabarito Coment. 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
 Determine sec x, sabendo que sen x =2ab/(a^2+b^2) . 
 
 
a^2 + b^2 
 
1 / (a^2 + b^2 ) 
 (a^2 + b^2) / (a^2 - b^2) 
 1 / (a^2 - b^2 ) 
 
(a^2 - b^2) / (a^2 + b^2) 
 
 
Explicação: 
senx = 2ab/(a² +b²) 
sen²x ( a² + b²)² = (2ab)² 
(1-cos²x) (a² +b²)² = (2ab)² 
(a² +b²)² - cos²x (a² +b²)² = (2ab)² 
cos²x (a² +b²)² = (a² +b²)² - (2ab)² 
cos²x = [ (a² +b²)² - (2ab)² ] / (a² +b²)² 
cos²x = ( a^4 +b^4 +2a²b² - 4a²b² ) / (a² +b²)² = 
cos²x = ( a^4 +b^4 - 2a²b² ) / (a² +b²)² 
cos²x = ( a² - b²)² / (a² + b²)² 
cos x = ( a² - b²) / (a² + b²) 
sec x = 1/cos x = (a² + b²) / (a² - b²) 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
 Desenvolvendo a expressão (sen 2x) / (1+ cos 2x) encontramos: 
 
 
cossec x 
 
sen x 
 tg x 
 
sec x 
 
cos x 
 
 
Explicação: 
sen2x = 2senx .cosx ... 
1 + cos 2x = 1 + cos²x - sen²x = (1 - sen²x) + cos²x = cos²x + cos²x = 2cos²x .. 
Então ; (sen 2x) / (1+ cos 2x) = 2senx .cosx / 2cos²x = (simplificando cos ) = senx / cosx = tg x . 
 
 
Gabarito Coment. 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
 Desenvolvendo a expressão (tg x + 1) ( 1 - tg x) encontramos: 
 
 
2 + sec² x 
 2 - sec² x 
 1 - cosec² x 
 
2 - Cosec² x 
 
2 + cosec² x 
 
 
Explicação: 
(tg x + 1) ( 1 - tg x) = ( 1 + tg x) ( 1 - tg x) = ( produto notável ) = 1 - tg² x 
tgx = senx / cosx , então 1 - tg² x = 1 - (sen²x / cos²x ) e também sen²x = 1 - cos²x , então substituindo fica : 
 1 - [ (1 - cos² x ) /cos² x) ] = 1 - [ 1/cos²x - cos²x/cos²x ] = 1 - sec²x + 1 = 2 - sec²x 
 
 
Gabarito Coment. 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
 Para um arco x pertencente ao primeiro quadrante, a expressão cossec x /sec x corresponde a: 
 
 
 cos x 
 cotg x 
 
 tg x 
 cossec² x 
 
sen x 
 
 
Explicação: 
cossec x /sec x = (1/sen x) / ( 1/cos x) = cos x / sen x = 1/ tgx = cotg x