C3 CURSO E PROF MATEMATICA

Prévia do material em texto

M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 E
– 37
FRENTE 1 Álgebra
1. DEFINIÇÃO
É a função f : � → �, tal que f(x) = �x�, sendo:
2. GRÁFICO
�x� = x, se x ≥ 0
�x� = – x, se x ≤ 0
MÓDULO 11 Módulo de um Número Real
1. MÓDULO DE UM NÚMERO REAL
2. PROPRIEDADES
Propriedades do módulo de um número real:
• | x | ≥ 0, ∀ x ∈ �
• | x | = a ⇔ x = a ou x = – a (a > 0)
• | x | < a ⇔ – a < x < a (a > 0)
• | x | > a ⇔ x > a ou x < – a (a > 0)
3. OBSERVAÇÃO
Sendo x um número real, temos:
, ∀ x ∈ �
Assim, ���������� (x + 2)2 = | x + 2 |
���������� (3 – x)2 = | 3 – x |
����22 = | 2 | = 2
�������(–2)2 = | –2 | = 2
Se x ≥ 0, | x | = x
Se x ≤ 0, | x | = –x
����x2 = |x |
MÓDULO 12 Função Modular e Módulo de um Número Real
1. NOÇÃO DE MATRIZES
Uma matriz de ordem m x n (lê-se m por n) de
números reais é um quadro em que um conjunto de
números reais são dispostos em m linhas e n colunas.
Por exemplo, o quadro 
é uma matriz de ordem 3 x 2, pois tem três 
linhas e duas colunas.
A matriz costuma ser indicada por letras maiúsculas
A, B, C, …
Os elementos situados na primeira linha serão
indicados por a11, a12, a13, …
Os elementos situados na segunda linha serão
indicados por a21, a22, a23, …
Os elementos situados na terceira linha serão
indicados por a31, a32, a33, … e assim por diante. Os
elementos de uma matriz podem ser genericamente
chamados de aij.
�
5
– 3
2
7
1––
4
1
�
MÓDULO 13 Matrizes
C3_E_TEO_MAT_2012_Rose 01/12/11 10:50 Página 37
Uma matriz A de ordem m x n é representada por:
Na matriz A = ,
a11 = 5, a12 = 7, a21 = – 3, a22= , a31 = 2 e a32 = 1.
Pode-se resumir uma matriz pela notação A = (aij)mxn,
conhecida como notação implícita de uma matriz.
2. MATRIZES PARTICULARES
Algumas matrizes recebem no mes especiais. A
seguir, apresen tamos as mais conhecidas.
• Matriz linha: é a matriz que tem uma única linha,
como por exemplo
A = �– 3 4 7 �
1x3
• Matriz coluna: é a matriz que tem uma única
coluna, como por exemplo:
• Matriz quadrada: é a matriz que tem a mesma
quantidade de linhas e colunas, como, por exemplo:
Quando uma matriz quadrada tem n linhas e n co lu -
nas, diz-se simplesmente que é uma matriz de ordem n.
A matriz do exemplo é uma matriz de ordem 3.
Na matriz quadrada, os ele men tos a11, a22, a33, …
formam a cha mada diagonal principal.
e os elementos a1n, a2(n – 1), a3(n – 2), … formam a
chamada diagonal secundária.
• Matriz nula: é a matriz em que todos os elemen -
tos são iguais a zero. Pode ser quadrada ou retan gular.
Indica-se por 0m x n ou, se quadrada, por 0n.
Exemplos
• Matriz diagonal: é a matriz quadrada, não nula,
que tem todos os elementos não pertencentes à diagonal
principal iguais a zero.
• Matriz identidade: é a matriz diagonal em que
todos os elementos da diagonal principal são iguais a
um. Indica-se por In.
Exemplos
• Matriz oposta de A: dada uma matriz A, a
matriz oposta de A é a matriz em que os elementos são
os opostos dos elementos de matriz A. Indica-se por 
– A.
Assim, dada a matriz 
A = , a matriz oposta de A é
– A =
• Matriz transposta de A: Dada uma matriz A, a
matriz trans posta de A é a matriz em que as linhas são
escritas em colunas e as colunas em linhas, na res -
pectiva ordem. Indica-se por At.
Assim, dada a matriz A = , a 
A = �
a11
a21
a31
…
am1
a12
a22
a32
…
am2
a13
a23
a33
…
am3
…
…
…
…
…
a1n
a2n
a3n
…
amn
�
mxn
�
5
– 3
2
7
1––4
1
�
3 x 2
1
––
4
1
––
4
A = �
7
2
5––
3
– 4
�
1x3
A = �
– 2
5
3
––
4
1––
3
7
2
0
3––
2
– 1
�
3x3
2
5
9
3
7
2
0
4
1
A =
Diagonal principal
2
5
9
3
7
2
0
4
1
A =
Diagonal secundária
03 = �
0
0
0
0
0
0
0
0
0
� e 03 x 5 = �
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
�
A = �
5
0
0
0
3
0
0
0
2
�
I1 = [1]; I2 = � 10
0
1 � ou I3 = �
1
0
0
0
1
0
0
0
1
�
� 3–1
7
5
– 4
2 �
2x3
2x3
�– 31
– 7
– 5
4
– 2�
2x3
�3–1
7
5
– 4
2�
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 E
38 –
C3_E_TEO_MAT_2012_Rose 01/12/11 10:50 Página 38
matriz transposta de A é At =
3. IGUALDADE DE MATRIZES
Duas matrizes são iguais se, e somente se, pos suem
os elementos da mesma posição respectiva mente iguais. 
Assim, as matrizes
são iguais se, e somente se, 
a11 = b11, a12 = b12, a13 = b13, … a1n = b1n, …, amn = bmn.
Assim, por exemplo:
⇔ x = 2, y = 6 e z = 7
4. OPERAÇÕES COM MATRIZES
• Adição de matrizes
Dadas duas matrizes A e B, de mesma ordem,
chama-se matriz soma de A por B, cujo símbolo é
A + B, à matriz em que cada elemento cij é a so ma
dos elementos aij de A e bij de B. Desse modo,
c11 = a11 + b11, c12 = a12 + b12, c13 = a13 + b13 … e
cij = aij + bij.
Por exemplo:
ou
A subtração de matriz é feita, de modo análogo,
subtraindo-se ele men to por elemento na respectiva
ordem.
ou
• Multiplicação de um 
número real por uma matriz
Dado um número real α e uma matriz A, a matriz
produto de α por A, indicada por αA, é obtida mul ti -
plicando-se α por cada ele men to de A.
Por exemplo, considerando-se
A = e α = 3, tem-se:
αA = 3A = =
�
3
7
– 4
– 1
5
2
�
3x2 
A = �
a11
a21
a31
…
am1
a12
a22
a32
…
am2
a13
a23
a33
…
am3
…
…
…
…
…
a1n
a2n
a3n
…
amn
�
mxn
e
B = �
b11
b21
b31
…
bm1
b12
b22
b32
…
bm2
b13
b23
b33
…
bm3
…
…
…
…
…
b1n
b2n
b3n
…
bmn
�
mxn
�
3
y
5
x
4
z
� = �
3
6
5
2
4
7
�
� 53
–2
4
1
7 � + �
2
1
4
5
6
–3 � =�
5 + 2
3 + 1
– 2 + 4
4 + 5
1 + 6
7 – 3 �
� 53
–2
4
1
7 � + �
2
1
4
5
6
–3 � = �
7
4
2
9
7
4 �
� 53
–2
4
1
7 � – �
2
1
4
5
6
–3 � = �
5 – 2
3 – 1
– 2 – 4
4 – 5
1 – 6
7 – (– 3) �
� 53
–2
4
1
7 � – �
2
1
4
5
6
–3 � = �
3
2
– 6
– 1
– 5
10 �
� 52
3
4
2
7 �
� 3 . 53 . 2
3 . 3
3 . 4
3 . 2
3 . 7 � �
15
6
9
12
6
21 �
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 E
– 39
1. DEFINIÇÃO
Dadas as matrizes A = (aij)mxp e B = (bij)pxn, chama-se matriz produto de A por B, cujo símbolo é AB, a uma matriz
C = (cij)mxn em que cada elemento cij é a soma dos produtos dos elementos da linha i de A pelos respectivos
elementos da linha j de B. 
Assim,
ou
Elementos da linha 1 de A
c11 = a11.b11 + a12.b21 + a13.b31 + a14.b41 + … + a1p.bp1
Elementos da coluna 1 de B
Elementos da linha 2 de A
c23 = a21.b13 + a22.b23 + a23.b33 + a24.b43 + … + a2p.bp3
Elementos da coluna 3 de B
MÓDULO 14 Multiplicação de Matrizes
C3_E_TEO_MAT_2012_Rose 01/12/11 10:50 Página 39
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 E
40 –
Por exemplo, dadas as matrizes A = e
B = , observe que: 
Vejam outros exemplos:
• (a b c) . = (a.1 b.2 c.3)
• . (a b c) = 
• . =
= 
O produto de duas matrizes só é possível se, e so -
men te se, o número de colunas da primeira matriz for
igual ao número de linhas da segunda matriz.
O produto das matrizes 
A = e B = não existe,
pois a primeira matriz tem duas colunas e a segunda tem
quatro linhas.
A matriz produto tem tantas linhas quanto a primeira
matriz e tantas colunas quanto a segunda matriz.
Dessa forma, o produto de uma matriz
• 2 x 3 com outra 3 x 4 resulta numa matriz 2 x 4
• 3 x 4 com outra 4 x 2 resulta numa matriz 3 x 2
• 2 x 2 com outra 2 x 3 resulta numa matriz 2 x 3
• 3 x 1 com outra 1 x 3 resulta numa matriz 3 x 3
• 2 x 3 com outra 2 x 3 não existe, poiso número de
colunas da primeira não é igual ao número de linhas da
segunda matriz.
2. PROPRIEDADES DAS 
OPERAÇÕES COM MATRIZES
Sendo A, B e C matrizes que permitem efetuar as
operações dadas, são válidas as seguintes proprie -
dades:
• Comutativa da adição
A + B = B + A
• Associativa da adição
(A + B) + C = A + (B + C)
• Associativa da multiplicação
(A . B) . C = A . (B . C)
• Distributiva da multiplicação
A . (B + C) = A . B + A . C
De um modo geral, para matrizes não são válidas as
seguintes proprie dades:
• Comutativa da mul tipli ca ção, ou seja,
A . B ≠ B . A
• Anulamento do produto,
ou seja, A . B = 0 ⇒/ A = 0 ou B = 0
• Lei do Cancelamento, ou seja, A ≠ 0 e 
A . B = A . C ⇒/ B = C
como se pode ver pelos exemplos seguintes.
• Dadas as matrizes 
A = e B = , note que A . B = , 
B .A = e A . B ≠ B . A.
• Para as matrizes A = e B = ,
tem-se: 
A . B = , embora A ≠ 0 e B ≠ 0.
• Para as matrizes A = , 
B = e C = , temos:
A . B = e A . C = .Observe
que A . B = A . C, embora B ≠ C e A ≠ 0.
2 6 4
3 5 7][ x
x
x
AB =[
3 4 5
5 2 3
2 1 7[ ]
2.3 + 6.5 + 4.2 2.4 + 6.2 + 4.1 2.5 + 6.3 + 4.7
3.3 + 5.5 + 7.2 3.4 + 5.2 + 7.1 3.5 + 5.3 + 7.7 ]
( 123 )
( 123 ) (
1.a
2.a
3.a
1.b
2.b
3.b
1.c
2.c
3.c )
( 321
5
3
4 ) ( ad be cf )
(3.a + 5.d2.a + 3.d1.a + 4.d
3.b + 5.e
2.b + 3.e
1.b + 4.e
3.c + 5.f
2.c + 3.f
1.c + 4.f )
� 13
2
4
5
2
� �
1
2
3
4
8
7
6
5
7
5
–3
2
3
2
1
4
�
( 12 01 ) ( 20 11 ) ( 24 13 )
( 42 11 )
( 11 11 ) ( 1– 11–1 )
( 00 00 )
( 11
–1
2
1
4
0
0
0
)
( 11
2
2
1
2
3
–1
2
) ( 11
1
2
1
1
3
–1
1
)
( 32
3
4
3
2
1
2
–7
) ( 32
3
4
3
2
1
2
–7
)
�
3
5
2
4
2
1
5
3
7
�
�23
6
5
4
7�
C3_E_TEO_MAT_2012_Rose 01/12/11 10:50 Página 40
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 E
– 41
FRENTE 2 Trigonometria
MÓDULO 11 Estudo da Função Tangente
1. FUNÇÃO TANGENTE
❑ Definição 
Consideremos um arco AP
�
com P � B e P � B' e seja
T a intersecção da reta OP
↔
com eixo (t) das tangentes. 
Por definição, tem-se:
Notando-se que a um arco AP
�
qualquer, de deter -
minação x, corres ponde um único segmento AT
—
, de
medida algébrica y, conclui-se que há uma corres pon -
 dência unívoca entre os números reais x que medem os
arcos, e os números reais y, tangentes desses arcos.
Pode-se, portanto, definir uma função de � em �, tal
que a cada x se associa um y = tg x = AT.
• Simbolicamente:
• Consequências
Da definição de função tan gente, decorre que:
❑ Variação da função tangente
❑ Gráfico
❑ Sinais ❑ Propriedades
f: � → �
x → y = tg x = AT
π 
Domínio de f: � – {–– + n π, n ∈ �}2
Contradomínio de f: �
Imagem de f: �
tg AP
�
= AT
• para cada n ∈ �, a função 
é crescente no intervalo 
π π
– –– + nπ < x < –– + nπ; 
2 2
• ímpar: tg (– x) = – tg x;
• período é π.
C3_E_TEO_MAT_2012_Rose 01/12/11 10:50 Página 41
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 E
42 –
MÓDULO 12 Funções Seno, Cosseno e Tangente
1. FUNÇÃO SENO
É a função f: � → � que a cada
número real x associa o número real
y = sen x.
f: � → � � f(x) = y = sen x
Domínio de f: �
Contradomínio de f: �
Imagem de f: [–1; 1]
2. FUNÇÃO COSSENO
É a função f: � → � que a cada
número real x associa o número real
y = cos x.
f: � → � � f(x) = y = cos x
Domínio de f: �
Contradomínio de f: �
Imagem de f: [ –1; 1 ]
3. FUNÇÃO TANGENTE
É a função f: A → � que a cada 
x ∈ A associa o número real y = tg x.
f: A → � | f(x) = y = tg x
Domínio de f: 
A = � – + nπ (n ∈ �)
Contradomínio de f: �
Imagem de f: �
4. FUNÇÕES COTANGENTE,
SECANTE E COSSECANTE
O estudo dessas funções pode
ser feito a partir de três funções já es -
tu dadas (seno, cosseno e tan gente),
lembrando-se que:
Como essas funções não exis tem
quando o denominador se anula, te re -
 mos como principais conse quên cias:
• Função cotangente
Domínio: 
{x ∈ � � x ≠ n . π (n ∈ �)}
Imagem: �
• Função secante
Domínio: 
{x ∈ � � x ≠ π/2 + n . π, (n ∈ �)}
Imagem: 
{y ∈ � � y ≤ – 1 ou y ≥ 1}
• Função cossecante
Domínio: 
{x ∈ � � x ≠ n . π (n ∈ �)}
Imagem: 
{y ∈ � � y ≤ – 1 ou y ≥ 1}
Observação
A partir do ciclo trigonométrico,
podemos obter os valores apresen ta -
dos no quadro da página seguinte.
� π–––2 	
1
cotg x = ––––––
tg x
1
sec x = –––––––
cos x
1
cossec x = –––––––
sen x
ARCO (X)
Graus Radianos sen x cos x tg x
0° 0 0 1 0
30°
π
––––
6
1
––––
2
���3
––––
2
���3
––––
3
45°
π
––––
4
���2
––––
2
���2
––––
2
1
60°
π
––––
3
���3
––––
2
1
––––
2
���3
90°
π
––––
2
1 0 ∃�
180° π 0 – 1 0
270°
3π
––––
2
– 1 0 ∃�
360° 2π 0 1 0
C3_E_TEO_MAT_2012_Rose 01/12/11 10:50 Página 42
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 E
– 43
MÓDULO 13 Adição e Subtração de Arcos
Para calcularmos as funções trigonométricas da soma (a + b) e da diferença (a – b) de dois números reais quaisquer
a e b, basta utilizar mos as fórmulas de adição e sub tração de arcos, desde que sejam conhe cidas as funções circulares
de a e b. 
Demonstra-se que:
Observação
As fórmulas dos itens V e VI só serão aplicadas se a, b, (a + b) e (a – b) forem diferentes de + n . π,
(n ∈ �).
π
––
2
l. sen (a + b) = sen a cos b + sen b cos a
ll. sen (a – b) = sen a cos b – sen b cos a
III. cos (a + b) = cos a cos b – sen a sen b
IV. cos (a – b) = cos a cos b + sen a sen b
V.
tg a + tg b
tg (a + b)= ––––––––––––––––––
1 – tg a . tg b
VI.
tg a – tg b
tg (a – b)=––––––––––––––––––
1 + tg a . tg b
MÓDULO 14 Arco Duplo
1. DEFINIÇÃO
A partir das fórmulas de adição de arcos, podemos
deduzir fórmulas para o cálculo das funções trigo-
nométricas de um arco duplo (2a), bastando, para isso,
admitir b = a nas fórmulas sen (a + b), cos (a + b) e 
tg (a + b).
❑ Cálculo de cos (2a)
cos (2a) = cos (a + a) = cos a . cos a – sen a . sen a
Assim: 
ou ainda:
• Lembrando que sen2a = 1 – cos2a, temos:
cos (2a) = cos2a – (1 – cos2a) = cos2a – 1 + cos2a
Assim: 
• Lembrando que cos2a = 1 – sen2a, temos:
cos (2a) = (1 – sen2a) – sen2a = 1 – sen2a – sen2a
Assim:
❑ Cálculo de sen (2a)
sen (2a) = sen (a + a) =
= sen a . cos a + sen a . cos a
Assim:
❑ Cálculo de tg (2a)
tg (2a) = tg (a + a) = 
Assim: 
com a ≠ + n . π e a ≠ + n . , (n ∈ �)
Portanto:
cos (2a) = cos2a – sen2a
cos (2a) = 2 cos2a – 1
cos (2a) = 1 – 2 sen2a
sen (2a) = 2 . sen a . cos a
tg a + tg a
–––––––––––––
1 – tg a . tg a
2 tg a
tg (2a) = ––––––––––
1 – tg2a
π
–––
2
π
–––
4
π
–––
2
cos2a – sen2a
cos (2a) = �2 cos2 a – 1
1 – 2 sen2a
sen (2a) = 2 sen a . cos a
2 tg a
tg (2a) = ––––––––––
1 – tg2a
C3_E_TEO_MAT_2012_Rose 03/12/11 08:09 Página 43
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 E
44 –
❑ Definição
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se,
possuem os três ângulos ordenadamente con gruen tes e
os lados correspondentes pro por cionais.
Δ ABC ~ Δ A'B'C' ⇔ ^A ≅ ^A', 
^
B ≅
^
B', 
^
C ≅
^
C'; 
= = = k
O número k é denominado razão de semelhança dos
triângulos. Se k = 1, então os triângulos são congruentes.
❑ Critérios de semelhança
1o. Critério (AA~)
“Se dois triângulos possuem dois ângulos ordena da -
mente con gruen tes, então são semelhantes.”
^
A ≅
^
A'; 
^
B ≅
^
B' ⇒ Δ ABC ~ Δ A'B'C'
2o. Critério (LAL~)
“Se dois triângulos possuem dois lados correspon -
dentes orde na da mente proporcionais, e os ângulos com -
 preendidos entre esses lados são congruentes, então os
triângulos sãosemelhantes.”
^
B ≅
^
B'; = ⇒ Δ ABC ~ Δ A'B'C'
3o. Critério (LLL~)
“Se dois triângulos têm os três lados correspon den tes
ordena da mente pro por cionais, então são se melhan tes.”
= = ⇒ Δ ABC ~ Δ A'B'C'
Observação
Se a razão de semelhança de dois triângulos é k,
então a razão entre dois ele mentos lineares corres pon -
dentes quais quer é k.
AC––––
A’C’
BC––––
B’C’
AB––––
A’B’
BC
–––––
B’C’
AB
–––––
A’B’
AC
–––––
A'C'
BC
–––––
B'C'
AB
–––––
A'B'
FRENTE 3 Geometria Plana
MÓDULO 11 Semelhança de Triângulos
C3_E_TEO_MAT_2012_Rose 01/12/11 10:50 Página 44
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 E
– 45
MÓDULO 12 Relações Métricas no Triângulo Retângulo
❑ Elementos
BC
–––
é a hipotenusa,
AB
___
e AC
___
são os catetos,
AH
___
é a altura relativa à hipo tenusa,
BH
___ 
e CH
___
são, respectivamente, as projeções dos
catetos AB
___
e AC
___
sobre a hipotenusa.
❑ Relações
No triângulo retângulo ABC da figura acima, sendo
BC = a, AC = b, AB = c, AH = h, BH = m e CH = n, valem
as seguintes relações:
• O quadrado da medida de um cateto é igual ao
produto da medida da hipotenusa pela medida da
projeção deste cateto sobre a hipotenusa (Relação de
Euclides).
Assim, temos:
e
Demonstração
I) Os triângulos HBA e ABC são semelhantes pelo
critério (AA~).
Assim:
HB BA m c
––– = ––– ⇔ ––– = ––– ⇔ c2 = a . m
AB BC c a
II) Os triângulos HCA e ACB são semelhantes pelo
critério (AA~).
Assim:
HC CA n b
––– = ––– ⇔ ––– = ––– ⇔ b2 = a . n
AC CB b a
• O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos
quadrados dos ca te tos (Teorema de Pitágoras).
Assim, temos:
Demonstração
Somando-se membro a membro as relações
demons tra das no item anterior, tem-se:
a . m + a . n = c2 + b2 ⇔ a . (m + n) = b2 + c2 ⇔
⇔ a . a = b2 + c2 ⇔ a2 = b2 + c2
• O quadrado da medida da altura relativa à
hipotenusa é igual ao produto das medidas das proje -
ções dos catetos sobre a hipotenusa.
Assim, temos:
Demonstração
Os triângulos HBA e HAC são semelhantes pelo
critério (AA~).
Assim:
HB HA m h
–––– = –––– ⇔ ––– = ––– ⇔ h2 = m . n
HA HC h n
• O produto da medida da hipotenusa pela medida
da altura re la tiva à hipotenusa é igual ao pro duto das
medidas dos catetos.
Assim, temos:
Demonstração
Os triângulos HBA e ABC são semelhantes pelo
critério (AA~).
Assim:
HA BA h c
––– = ––– ⇔ ––– = ––– ⇔ a . h = b . c
AC BC b a
❑ Natureza dos triângulos
Sendo a, b e c as medidas dos lados de um triângulo
e “a” a maior delas, têm-se:
1) a2 < b2 + c2 ⇒ triângulo acutângulo
2) a2 = b2 + c2 ⇒ triângulo retângulo
3) a2 > b2 + c2 ⇒ triângulo obtusângulo
b2 = a . nc2 = a . m
a2 = b2 + c2
h2 = m . n
a . h = b . c
C3_E_TEO_MAT_2012_Rose 01/12/11 10:50 Página 45
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 E
46 –
MÓDULO 13 Lugares Geométricos, Pontos Notáveis doTriângulo e Ângulos na Circunferência
1. LUGARES GEOMÉTRICOS
❑ Definição
Dizemos que um conjunto de pontos é um lugar
geométrico quan do todos os pontos desse conjunto, e
apenas eles, gozam de uma certa propriedade.
Assim, se uma figura é um lugar geométrico, então
todos os seus pon tos possuem uma certa proprie dade e
todos os pontos que pos suem essa propriedade
pertencem à figura.
❑ Principais lugares geométricos planos
• Circunferência (LG-1)
Circunferência é o lugar geo mé trico dos pontos de
um plano, cujas distâncias a um ponto fixo desse plano
são uma constante dada.
O ponto fixo é o centro da circun ferência e a cons -
tante dada é a medida do raio.
C é o centro da circunferência.
R é o raio da circunferência.
• Par de Paralelas (LG-2)
O lugar geométrico dos pontos de um plano que
distam “k” de uma reta desse plano é um par de retas
paralelas a esta, situadas no plano e a uma distância “k”
desta reta.
Observe que qualquer ponto de r1 ou r2 está a uma
distância “k” de r e vice-versa.
• Mediatriz (LG-3)
Mediatriz de um segmento é a reta perpendicular ao
segmento dado no seu ponto médio.
Pode-se ainda definir mediatriz como o lugar geo -
métrico dos pontos de um plano que equidistam de dois
pontos (distintos) dados desse plano. 
Assim, se MAB–– é a mediatriz do segmento AB
––
da
figura, então qualquer ponto de MAB–– equidista de A e B,
e qualquer ponto do plano que equidiste de A e B
pertence a MAB––.
• Par de bissetrizes
As bissetrizes dos ângulos constituídos por duas re -
tas concor rentes formam um par de retas cha mado PAR
DE BISSETRIZES. Qual quer ponto situado em uma das
retas do PAR equidistará das duas retas concorrentes, e
qualquer ponto do plano que equidiste das duas retas
concorrentes pertencerá ao PAR DE BISSETRIZES.
Pode-se definir o par de bis setrizes como o lugar
geomé trico dos pontos do plano, equidis tantes de duas
retas concorrentes.
2. PONTOS NOTÁVEIS DO TRIÂNGULO
❑ Incentro
Bissetriz interna de um triângulo é o segmento com
extremos num vértice e na reta suporte do lado oposto,
contido na bissetriz do ân gulo do vértice.
C3_E_TEO_MAT_2012_Rose 01/12/11 10:50 Página 46
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 E
– 47
As bissetrizes internas de um triângulo intercep -
tam-se num ponto chamado INCENTRO, que é o centro
da circunferência tangente inter na mente aos lados do
triângulo (circunferência inscrita).
Exemplo
—
ASA , 
—
BSB e 
—
CSC são as bissetri zes internas do triân -
gulo ABC.
I é o incentro.
❑ Circuncentro
As mediatrizes dos lados de um triângulo intercep -
tam-se num ponto chamado CIRCUNCENTRO, que é o
centro da circunferência que contém os vértices do triân -
gulo (circun ferên cia circunscrita).
Exemplo
MAB––, MBC–– e MAC–– são, respecti vamente, as media -
trizes dos lados AB
––
, BC
––
e AC
––
. C’ é o circuncentro.
Observações
a) Num triângulo acutângulo, o cir cuncentro é um
ponto interno.
b) Num triângulo obtusângulo, o circuncentro é um
ponto externo.
c) Num triângulo retângulo, o circuncentro é o ponto
médio da hipotenusa.
❑ Baricentro
Mediana é o segmento de reta com extremos num
dos vértices de um triângulo e no ponto médio do lado
oposto.
Todo triângulo tem três me dianas, que se inter cep -
tam num ponto chamado baricentro.
O baricentro divide cada media na na razão 2 : 1.
Exemplo
AM
—
A, 
—
BMB e
—
CMC são as media nas do triângulo ABC.
G é o BARICENTRO.
❑ Ortocentro
Altura de um triângulo é o segmento de reta com
extremos num vértice e na reta suporte do lado oposto,
sendo perpendicular a esta.
Todo triângulo tem três alturas, cujas retas suportes
se interceptam num ponto chamado ORTOCENTRO.
Exemplo
—
AHA, 
—
BHB e 
—
CHC são, respec ti vamente, as alturas
relativas aos lados BC
—
, 
—
AC e 
—
AB .
O é o ortocentro.
AG BG CG 2
–––––– = –––––– = –––––– = –––
GMA GMB GMC 1
C3_E_TEO_MAT_2012_Rose 01/12/11 10:50 Página 47
Observação
• Num triângulo acutângulo, o ortocentro é um
ponto interno.
• Num triângulo obtusângulo, o ortocentro é um
ponto externo.
• Num triângulo retângulo, o ortocentro é o vértice
do ângulo reto.
❑ BICO
Para memorizar os pontos notáveis do triângulo, lem -
bre-se da palavra BICO.
B – Baricentro
I – Incentro
C – Circuncentro
O – Ortocentro
É importante observar que,
• em todo triângulo isósceles, os pontos notáveis
são alinhados;
• em todo triângulo equilátero, os pontos notáveis
são coincidentes.
3. ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA
❑ Ângulo central
Ângulo que tem o vértice no centro da circunferência.
AB
�
é o arco correspondente ao ângulo central AO^B.
Tomando-se para unidade de arco (arco unitário) o
arco definido na circunferência porum ângulo central
unitário (unidade de ângulo), temos que a medida de um
arco de cir cunferência é igual à medida do ângulo
central correspondente.
Assim, na figura, temos: 
❑ Ângulo inscrito
Ângulo que tem o vértice na circunferência e os
lados se cantes a ela.
AB� é o arco na circunfe rên cia, determinado pelos
lados do ângulo inscrito AP
^
B.
A medida do ângulo ins crito é a metade da medida
do arco que ele deter mina sobre a circunfe rência.
Assim, na figura anterior, tem-se:
❑ Ângulo excêntrico interior
Ângulo de vértice num ponto interior à circunferên cia,
distinto do centro.
AB� e CD� são arcos determinados pelos lados do ân -
gulo e prolon ga men tos destes sobre a circun ferên cia.
A medida do ângulo excêntrico interior da figura
dada é:
❑ Ângulo excêntrico exterior
Ângulo de vértice num ponto ex terior à circunferência
e lados sobre semirretas secantes ou tangentes a ela.
α = AB�
AB�
α = ––––
2
AB� + CD�
α = –––––––––––
2
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 E
48 –
C3_E_TEO_MAT_2012_Rose 01/12/11 10:50 Página 48
1. DEFINIÇÃO
Área de uma figura é um número, associado à sua
superfície, que exprime a relação existente entre esta
superfície e a superfície de um quadrado de lado
unitário.
Dizemos que duas superfícies são equivalentes
quan do possuem a mesma área.
2. ÁREA DOS QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS
❑ Retângulo
A área A de um retângulo é o produto das medi das
a e b de dois de seus lados consecutivos.
Assim,
❑ Quadrado
Sendo o quadrado um caso particular do retângulo,
a área A de um quadrado de lado � é A = � . � .
Assim, 
❑ Paralelogramo
A = a . b
A = �2
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 E
– 49
AB� e CD� são arcos determinados pelos lados do
ângulo sobre a cir cun ferência.
A medida do ângulo excêntrico exterior da figura
acima é dada por:
❑ Ângulo de segmento
Ângulo de segmento é todo ângulo que tem um
ponto da cir cunferência como vértice, um dos lados
secante e o outro tangente à circunferência.
Na figura, α é um ângulo de seg mento e ele deter -
mina na circun ferência o arco �AB.
A medida do ângulo de seg mento é a metade da
medida do arco por ele determinado.
Assim,
AB� – CD�
α = ––––––––––
2
�AB
α = –––––
2
MÓDULO 14 Áreas das Figuras Planas
C3_E_TEO_MAT_2012_Rose 01/12/11 10:50 Página 49
Os triângulos RST e QPU são congruentes pelo
critério LAAo e, por tanto, são equivalentes.
O paralelogramo PQRS e o re tângulo UQRT, ambos
de base b e altura h, possuem, portanto, a mesma 
área A.
Assim, 
❑ Losango
O retângulo ABCD está dividido em oito triângulos
retângulos con gruentes. O losango PQRS, cujas dia -
gonais medem D e d, é composto por quatro desses
triângulos. A área A do losango é, portanto, a metade da
área do retângulo.
Assim, 
❑ Trapézio
O trapézio PQRS, cujas bases medem B e b e cuja
altura mede h, é equivalente ao trapézio P’Q’SR.
A união dos dois trapézios é o paralelogramo
PQP’Q’, cuja base mede B + b, e a altura mede h.
A área A do trapézio PQRS é, portanto, a metade da
área do paralelogramo.
Assim, 
3. ÁREA DOS TRIÂNGULOS
❑ Em função da base e da altura
O triângulo PQR, cuja base mede b e a altura h, é
equivalente ao triângulo RQ’P.
A área A, do triângulo PQR, é, portanto, a metade da
área do para lelogramo PQRQ’, cuja base mede b e a
altura mede h.
Assim, 
❑ Triângulo equilátero
Seja ABC um triângulo equilá tero, cujo lado mede �,
a altura, h e a área, A.
Lembrando que h = , temos:
A = = ⇒
❑ Em função do raio da 
circunferência inscri ta
A = b . h
D . d
A = ––––––
2
(B + b) . h
A = ––––––––––––
2
b . h
A = ––––––
2
� ���3
––––––
2
�h
––––
2
����3
� . ––––––
2
––––––––––––
2
�2 ���3A = ––––––––
4
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 E
50 –
C3_E_TEO_MAT_2012_Rose 01/12/11 10:50 Página 50
Seja A a área do triângulo ABC, cujo raio da circun -
ferência inscrita mede r.
Sendo a, b e c as medidas dos lados do triângulo
ABC, podemos calcular sua área somando as áreas dos
triângulos BOC, COA e AOB.
Assim, A = ABOC + ACOA + AAOB =
= + + = . r ⇒
⇒
em que p = é o semi perímetro do triân -
gulo.
❑ Em função de dois lados 
e do ângulo entre eles
Sejam a e b as medidas de dois lados de um
triângulo ABC e α, a medida do ângulo entre eles, a
altura h relativa ao lado a é dada por:
Assim, a área A do triângulo ABC é:
❑ Em função do raio da 
circunferência cir cuns crita
Sendo A a área do triângulo ABC, cujos lados
medem a, b e c e cujo raio da circunferência circuns -
crita mede R, temos:
❑ Em função dos lados
Sendo a, b e c as medidas dos lados do triângulo
ABC de área A, temos:
(Fórmula de Hierão)
em que p = é o semiperí metro.
a . r
––––
2
b . r
––––
2
c . r
––––
2
a + b + c
–––––––––
2
A = p . r
a + b + c
–––––––––
2
a . b . sen α
A = ––––––––––––––
2
a . b . c
A = ––––––––––
4R
A = �����������������������������������������p . (p – a) . (p – b) . (p – c)
a + b + c
–––––––––––
2
h = b . sen α
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 E
– 51
C3_E_TEO_MAT_2012_Rose 01/12/11 10:50 Página 51
4. ÁREA DAS FIGURAS CIRCULARES
❑ Área do círculo
Sendo A a área do círculo de raio r, temos:
Observação
O comprimento da circun ferên cia de raio R é dado
por , em que π ≅ 3,1416.
❑ Área da coroa circular
Sendo A a área da coroa circular de raios R e r,
temos A = π R2 – π r2.
❑ Área do setor circular
Sendo A a área do setor circular de raio R, limitado
por um arco de comprimento �, temos:
Observação
A área do setor circular é sempre uma “fração” da
área do círculo no qual o setor está “contido”.
Exemplo
A área do setor circular da figura abaixo é dada por:
❑ Área do segmento circular
A área A do segmento circular limitado pela corda
AB
—
e pelo arco AB
�
é obtida da diferença entre a área do
setor circular AOB e a área do triângulo AOB.
Assim,
A = – ⇔ 
A = π R2
C = 2π R
A = π (R2 – r2)
� . R
A = ––––––
2
72°
S = –––––– . π . 52 = 5π
360°
� . R
––––
2
R . h
––––––
2
RA = ––– . (� – h)
2
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 E
52 –
C3_E_TEO_MAT_2012_Rose 01/12/11 10:50 Página 52