Sistemas lineares completo

Prévia do material em texto

�PAGE �
SISTEMAS LINEARES:
EQUAÇÃO LINEAR:
 Chama-se de equação linear, nas incógnitas x1; x2; x3; ...; xn toda equação do tipo: 
 a1x1 + a2x2+ a3x3 + ... + anxn = b
Onde: a1; a2; ...; an são os coeficientes das incógnitas;
 x1; x2; ...; xn são as incógnitas;
 b é o termo independente.
OBS: O expoente das incógnitas deve ser um.
Exemplos:
São equações lineares:
a) 5x + 3y = 6
b) x - y - z + t + p = 4
c) 5x - 4y = 0
d) 3a + 4b - 5c = 6
Não são equações lineares:
a) x + 4y - 3zw = 0 (produto de duas incógnitas)
b) 1/x + 4/y - z = 3 (0 expoente de x e de y é -1)
c) 3a - 4b - 
� = 3 (o expoente da variável c é 1/2)
SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR:
Uma equação linear admite infinitas soluções.
Exemplo: Seja a equação linear x - 2y = 4. Esta equação admite como solução os pares: (6,1); (0,-2); (4,0), ...; e infinitos outros que obedeçam a relação: x = 4 + 2y. Portanto a cada novo valor atribuído a y temos o correspondente x. A solução que representa as infinitas soluções pode ser representada da forma: S = {(4 + 2y; y)}. Y é dito, neste caso variável livre.
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES: 
 É o conjunto de m (m ( 1) equações lineares, nas incógnitas x1, x2, x3, ..., xn.
OBS: 
Todo sistema linear pode ser escrito na forma matricial. 
Portanto as operações elementares sobre linhas das matrizes, serão utilizadas para a resolução de sistemas lineares.
EXEMPLO: 
Seja o sistema linear: 
�
FORMA MATRICIAL: 
�. 
� = 
�
MATRIZ INCOMPLETA: 
�
MATRIZ COMPLETA (ou Matriz Ampliada): 
�
Onde a primeira coluna é formada pelos coeficientes da variável x, a segunda coluna pelos coeficientes da variável y; a terceira pelos coeficientes da variável z e, a quarta coluna são os termos independentes.
TEOREMA: 
Toda matriz Amxn é linha-equivalente a uma única matriz-linha reduzida à forma escada. 
DEFINIÇÃO: 
Dada uma matriz Amxn, seja Bmxn a matriz-linha reduzida à forma escada equivalente a A. O posto de A, denotado por p, é o número de linhas não nulas de B. Este número é o posto de A. A nulidade é a diferença entre colunas de A e o posto.
TEOREMA:
Um sistema de m equações e n incógnitas admite solução se, e somente se o posto da matriz ampliada é igual ao posto da matriz dos coeficientes.
Se duas matrizes têm o mesmo posto p e p = n, a solução será única.
Se as duas matrizes têm o mesmo posto e p < n, podemos escolher n-p incógnitas, e as outras p incógnitas serão dadas em função destas. (Diz-se que o grau de liberdade do sistema é n - p)
OBS: Denotaremos pc = posto da matriz dos coeficientes (incompleta) e pa = posto da matriz ampliada.
MÉTODO DE GAUSS PARA RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES:
 Quando queremos resolver um sistema linear pelo método de Gauss, do escalonamento, podemos trabalhar com a matriz completa do sistema, realizando sobre as linhas as operações, dadas abaixo, que faríamos sobre as equações do sistema.
OPERAÇÕES:
Permuta de linhas; (li ( lj)
Multiplicar uma linha por um número real não nulo; (kli)
Somar a uma linha uma outra linha da matriz previamente multiplicada por um número real. (li ( klj + li)
REGRA DE CRAMER (PARA RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES)
Só pode ser utilizado se o número de equaçoes igual ao número de incógnitas;
Se o sistema é SPI, por esse método só podemos classificar o sistema (não é possível escrever a expressão que representa o conjunto solução do sistema;
Será utilizado para discussão do sistemas lineares.
TEOREMA DE CRAMER:
Seja S um sistema linear com número de equações igual ao número de incógnitas.
Se o determinante da matriz incompleta do sistema for diferente de zero (D ( 0), então a sistema será possível e terá solução única ((1, (2, ..., (n), tal que:
 (i = 
� ( i ( {1, 2, ..., n} 
Onde Di é o Determinante da Matriz obtida de A, substituindo-se a i’ésima coluna pela coluna dos termos independentes das equações do Sistema.
Ou seja, para um sistema de 3 equações a 3 variáveis temos:
CLASSIFICAÇÃO DO SISTEMA SEGUNDO CRAMER:
Se o Sistema:
( ( 0 ( SPD (Solução Única: O sistema é dito Possível e determinado)
( = 0 e todo (i = 0 ( SPI (Infinitas soluções: Sistema Possível e indeterminado devemos escrever a expressão algébrica que representa o conjunto solução).
( = 0 e pelo menos um (i ( 0 ( SI (Sem Solução: O sistema é dito impossível).
EXEMPLO:
 Um sitiante dividirá uma área de 28 alqueires paulista (24.200 m2) em duas partes: numa plantará arroz e na outra milho. Expresse os informações dadas na forma de uma equação. Que área poderá destinar a cada uma destas plantações?
Um sitiante dividirá uma área de 28 alqueires paulista em duas partes: numa plantará arroz e na outra milho. Ele espera vender a produção de cada alqueire de arroz por R$ 4.000,00 e, no caso do milho, por R$ 3.000,00 o alqueire. Por precaução, o sitiante deseja que os valores das vendas totais do arroz e do milho sejam iguais entre si. Que área deverá destinar a cada uma destas plantações?
Um sitiante dividirá uma área de 28 alqueires em duas partes: numa plantará arroz e na outra milho. Ele espera vender a produção de cada alqueire de arroz por R$ 4.000,00 e, no caso do milho, por R$ 3.000,00 o alqueire. Por precaução, o sitiante deseja que os valores das vendas totais do arroz e do milho sejam iguais entre si. Além disso, ele deseja que o valor investido no plantio do arroz supere em R$ 30.000,00 o investido no milho. Se cada alqueire de arroz exige investimento de R$ 30.000,00 e, no caso do milho, de R$ 20.000,00; que área o sitiante deverá destinar a cada plantio?
 
O exemplo anterior nos mostra que as exigências de um problema podem ser insuficientes para determinar sua resposta; permitindo o aparecimento de inúmeras delas (Sistema SPI); podem ser adequadas, caso em que o problema terá única solução (sistema SPD); ou ainda, podem ser exageradas, impossibilitando a solução do mesmo (Sistema SI).
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO (1):
Determinada confecção produziu 3 tipos de camisas, sendo que: no primeiro dia produziu cinco unidades do tipo Esporte; dez unidades do tipo Passeio e cinco unidades do tipo Social. No segundo dia produziu quatro unidades do tipo Esporte, oito unidades do tipo Passeio e seis unidades do tipo Social. No terceiro dia produziu oito do tipo Esporte, onze do tipo Passeio e três do tipo Social. Sabendo que os custos totais de cada dia foram respectivamente, R$ 200,00; R$ 184,00 e R$ 210,00; determine o custo unitário de cada camisa. Resolva utilizando sistemas lineares.
Uma florista quer comprar 450 unidades de flores entre rosas (R$ 2,50 a unidade), cravos (R$ 2,00 a unidade) e margaridas (R$ 1,50 a unidade). Se o capital que deve gastar é de R$ 2.500,00, quantas peças deve comprar de cada tipo de flor?
Uma fábrica de refrigerante possui 270 litros de um xarope I e 180 litros de um xarope II. Cada unidade de um refrigerante A contem 500 ml do xarope I e 200 ml do xarope II e cada unidade de um refrigerante B contém 300 ml do xarope I e 300 ml do xarope II. Quantas unidades de A e B podem ser produzidas se for usado todo o estoque dos xaropes I e II? (300 de A e 400 de B)
Um negociante trabalha com as mercadorias A, B e C, de cada uma tem um pequeno estoque não nulo. Se vender cada unidade de A por R$ 2,00, cada unidade de B por R$ 3,00 e cada unidade de C por R$ 4,00 obtém como receita R$ 50,00. Mas se vender cada unidade respectivamente por R$ 2,00; R$ 6,00 e R$ 3,00 a receita será de R$ 60,00. Calcular, utilizando sistemas lineares, o número de unidades que possui de cada uma das mercadorias. 
Uma máquina A produz x parafusos por minuto e uma outra máquina B produz y parafusos por minuto. Se A funcionardurante 3 minutos e B durante 2 minutos, serão produzidos 12.200 parafusos. Se A funcionar durante 2 minutos e B funcionar durante 3 minutos, serão produzidos 11.300 parafusos. Determine as taxas de produção x e y.
Num laboratório, certas cobaias são submetidas a uma determinada dieta alimentar, na qual cada animal dever receber 20 gramas de proteína e 6 gramas de gordura. Os técnicos do laboratório elaboraram duas misturas com as seguintes composições:
	MISTURA
	PROTEÍNAS(g)
	GORDURA(g)
	A
	10
	6
	B
	20
	2
 Quantos gramas de cada mistura devem ser utilizados para se obter a dieta correta para um animal?
Três ligas metálicas têm composições de massas de acordo com as seguintes porcentagens: 
	LIGA
	COBRE (%)
	ZINCO (%)
	NÍQUEL (%)
	A
	60
	30
	10
	B
	50
	30
	20
	C
	30
	-
	70
Determine quanto de cada liga deve ser misturado para se obter uma liga com 40% de cobre, 15% de zinco e 45 % de níquel.
Um capital de R$ 20.000,00 é investido parte a 5,5%, parte a 4,5% e o restante a 4,0% e rende um juro anual de R$ 1.015,00. O rendimento do valor investido a 5,5% é R$ 305,00 a mais que o rendimento das outras duas parcelas investidas juntas. Determine cada uma das partes investidas.
Três máquinas produzem juntas 64 peças por hora. O triplo da produção da primeira máquina eqüivale a produção das outras duas juntas. O quíntuplo da produção da segunda eqüivale a 12 peças a mais que o dobro da produção das outras duas juntas. Determine quantas peças cada máquina produz por hora.
Uma indústria produz aparelhos de rádio e aparelhos de TV. O preço de venda dos rádios é de R$ 45,00 e de TV é de R$ 300,00. Além disso o custo de fabricação de cada aparelho de rádio é de R$ 30,00, e de cada TV é de R$ 250,00 Sabendo que no mês de agosto último, a produção de rádios e TV proporcionou uma despesa total de R$ 1.200,00, e um lucro líquido de R$ 600,00, quantos aparelhos de cada tipo foram produzidos?
Quatro amigos, após a prova de álgebra linear, resolverem ir a um barzinho para comemorar. No bar os pedidos ficaram assim distribuidos: 
João tomou dois chopps, comeu uma porção de fritas e três porções de queijo. Paulo tomou um chopp, uma porção de fritas, uma porção de queijo e uma caipirinha.
Marcos comeu duas porções de queijo e uma caipirinha. 
Matheus tomou três chopps e comeu três porções de fritas.
Por suas despesas eles pagaram: João R$ 14,50; Paulo R$ 9,00; Marcos R$ 8,00 e Matheus R$ 12,00. Baseado nessas informações quais são os preços unitários do chopp, da caipirinha, da porção de fritas e da porção de queijo?
SISTEMAS HOMOGÊNEOS: 
 
Definição:
EXEMPLOS :
Resolva os sistemas, apresentando o seu conjunto solução:
a) 
� b) 
� c) 
�
APLICAÇÃO: BALANCEAMENTO DE REAÇÕES QUÍMICAS:
 Uma reação constitui um sistema linear Homogêneo, pois as quantidades de átomos, moléculas ou moles presentes no início da reação (reagentes) e após o término da reação (produtos) são mantidos constantes, ou seja não se criam nem tão pouco se perdem moléculas (“na natureza nada se perde, nada se cria, tudo se transforma”). Portanto trabalha-se com a reação (com os átomos participantes) tendo como premissa que a “quantidade” de átomos (moléculas-grama) se mantém constante na reação química.
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO (2):
 Utilizando Sistemas lineares, encontre o conjunto de soluções possíveis para o balanceamento da reações químicas:
a) (NH4)2CO3 ( NH3 + H2O + CO2
b) HF + SiO2 ( SiF4 + H2O
c) H3PO4 + Ca(OH)2 ( Ca3(PO4)2 + H2O
d) N205 + K202 ( KNO3 + O2
 
e) CaC03 + H2SO4 ( CaSO4 + CO2 + H20
f) H3PO4 + NaOH ( Na3PO4 + H2O.
g) Cu(NO3)2 ( CuO + NO2 + O2
h) N2 + H20 ( NH3 + O2
i) Ca3(PO4)2 + Si02 + C ( CaSiO3 + P + CO 
j) C8H18 + O2 ( CO2 + H2O
k) H2SO4 + Al(OH)3 ( Al2(SO4)3 + H2O.
l) O2 + CaCl2 + H2O ( CaO + HCl + Cl2
DISCUSSÃO DE SISTEMAS LINEARES
 Discutir um sistema linear em função de um parâmetro (parâmetro no sistema é uma variável em função da qual são colocados um ou mais coeficientes ou termos independentes das equações) significa classificar o sistema em determinado; indeterminado ou impossível, para cada valor do parâmetro.
 Para discutir um sistema linear S de n equações a n incógnitas, procedemos da seguinte forma: 
Calcula-se o determinante D da matriz incompleta. 
Analisa-se seu valor: 
Caso D (0 sabemos que o sistema é determinado, portanto possui solução única;
Caso D = 0, substituímos o valor do parâmetro que torna nulo o determinante e faz-se o escalonamento do sistema. 
Portanto verifica-se que se: 
D ( 0 ( S é determinado.
D = 0 ( S é indeterminado ou impossível.
Exemplo:
Discutir os sistemas lineares dados em função do parâmetro k:
a) 
� 
 b) 
� 
c) 
�
DISCUSSÃO DE SISTEMAS HOMOGÊNEOS: 
 Todo sistema linear homogêneo é sistema possível, pois admite pelo menos uma solução (a trivial). Assim, um sistema linear homogêneo só pode ser classificado em:
determinado: tem apenas a solução trivial; D ( 0 ( S é determinado
indeterminado: tem infinitas soluções, dentre elas a trivial. D = 0 ( S é indeterminado
Exemplo:
Discutir o sistema homogêneo dado em função do parâmetro a:
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO (3):
Discutir os sistemas lineares dados em função dos parâmetros:
A) 
� B) 
�
C) 
� D) 
� E) 
�
Utilizando a técnica do escalonamento, classifique e resolva os seguintes sistemas lineares:
a) 
� b) 
� c) 
�
d) 
� e)
� f) 
�
g) 
� h) 
� i) 
�
j) 
 k) 
Um sistema linear onde os termos independentes em todas as equações são iguais a zero é denominado sistema homogêneo.
SOLUÇÃO TRIVIAL: Todo sistema homogêneo a n incógnitas admite a solução trivial: (0; 0; 0; ...;0).
�PAGE �
�PAGE �9�
_937068002.unknown
_937106403.unknown
_1032811684.unknown
_1032812480.unknown
_965467362.unknown
_937068536.unknown
_937106111.unknown
_937106247.unknown
_937068821.unknown
_937068535.unknown
_937068171.unknown
_903894958.unknown
_937067997.unknown
_937067999.unknown
_937068001.unknown
_937067998.unknown
_903894984.unknown
_937067994.unknown
_937067996.unknown
_937067993.unknown
_937067992.unknown
_903894966.unknown
_903889016.unknown
_903894855.unknown
_903894884.unknown
_903889200.unknown
_903894678.unknown
_903889094.unknown
_903887971.unknown
_903888022.unknown
_903888108.unknown
_903886630.unknown