Estudo de estabilidade em sistemas não lineares

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Tópico 5 – Estudo de Estabilidade em Sistemas Não-Lineares 1
Estudo de estabilidade em sistemas não-lineares
• { }α<−ℜ∈=α ∆ xxxxS n :),(
• diz-se que um ponto de equilíbrio x de um sistema dinâmico é
1. estável se existe um R0 > 0 tal que, para qualquer R < R0, existe um r,
0 < r < R, tal que, se x(0) pertence a S( x ,r), então x(t) pertence a S( x ,R),
∀ t ≥0.
2. assintoticamente estável se é estável e além disso x(t) tende a x quando
t → ∞.
3. marginalmente estável se é estável, mas não assintoticamente estável.
4. instável se não é estável. Um ponto de equilíbrio x é instável se, para algum
R > 0 e qualquer r > 0, existe um ponto na região esférica S( x ,r) tal que, se o
estado for inicializado nesse ponto, o estado move-se para fora de S( x ,R) em
algum momento.
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Tópico 5 – Estudo de Estabilidade em Sistemas Não-Lineares 2
1 Análise de estabilidade via linearização
• neste tópico, vamos recorrer freqüentemente a técnicas de linearização de um
sistema não-linear em torno de um ponto de operação. Isto permite que o
sistema linear resultante seja analisado com base nas poderosas ferramentas de
análise válidas para o caso linear.
• como a linearização é uma aproximação em torno de um ponto de operação,
ela só pode levar à predição do comportamento do sistema em uma vizinhança
deste ponto. Nenhum outro comportamento não-local, muito menos o
comportamento global do sistema em todo o espaço de operação, podem ser
preditos pelo modelo linearizado.
• não há nada que deponha contra extrair o máximo de informação possível a
respeito do comportamento de um sistema não-linear via linearização. O
único problema é que não se pode ir além desse máximo.
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Tópico 5 – Estudo de Estabilidade em Sistemas Não-Lineares 3
Exemplo: Linearização do sistema não-linear ( ))(txfx =�
Em torno de x1 = 4: ( ) 143)( 11
1
−≅⇒−+=−
∂
∂
+≅
=
xxxxx
x
f
xfx
xx
��
Em torno de x2 = 6: ( ) ( ) 52627)( 22
2
−≅⇒−+=−
∂
∂
+≅
=
xxxxx
x
f
xfx
xx
��
7
∆
∆
∆
2∆
3
x1 = 4 x2 = 6 x
f(x)
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• série de Taylor para : f: ℜn → ℜ, com n = 1 e em torno do ponto x = x :
( ) ( )322
2
)(
2
1)()()( xxOxx
dx
fd
xx
dx
df
xfxf
xxxx
−+−+−+=
=
=
( ) ( )322
2
)()(
2
1))(()()( xxOxxxf
dx
d
xxxf
dx
d
xfxf −+−+−+=
( ) ( )32 )()(
2
1))(()()( xxOxxxfxxxfxfxf −+−′′+−′+=
• aproximação de 1a ordem (aproximação linear):
))(()())(()()()()( xxxfxfxxxf
dx
d
xfxx
dx
df
xfxf
xx
−′+=−+=−+≅
=
ou, fazendo xxy −= ,
yxfxfyxf
dx
d
xfy
dx
df
xfyxf
xx
)()()()()()( ′+=+=+≅+
=
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•
x
f(x)
x
f( x )
f( x + y)
f( x ) + f’( x )y
• funções de n variáveis: f : ℜn → ℜ
( ) ( ) ( ) ( ) nn
n
nnnn yxxf
x
yxxf
x
xxfyxyxf ,...,...,...,,...,,..., 111
1
111 ∂
∂
++
∂
∂
+≅++
ou, em notação matricial,
yxfxfyxf T)()()( ∇+≅+
• aproximação de 2a ordem: yxfyyxfxfyxf TT )(
2
1)()()( 2∇+∇+≅+
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onde








=
nx
x
x �
1
 








=
ny
y
y �
1
 










∂
∂
∂
∂
=∇
)(
)(
)(
1
xf
x
xf
x
xf
n
�
• considerando, agora, n funções f1, ..., fn : ℜn → ℜ
yxfxfyxf
yxfxfyxf
yxfxfyxf
T
nnn
T
T
)()()(
)()()(
)()()(
222
111
∇+≅+
∇+≅+
∇+≅+
���
ou, em notação matricial,
yxfyxf F+≅+ )()(
onde F é denominada matriz Jacobiana de f, avaliada em x , sendo que:
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







=
)(
)(
)(
)( 2
1
xf
xf
xf
xf
n
�
 








∇
∇
∇
=
T
n
T
T
xf
xf
xf
)(
)(
)(
2
1
�
F
2 Linearização em torno de um ponto de equilíbrio
• seja x ∈ ℜn um ponto de equilíbrio, então:
• para sistemas contínuos: ( ))(txfx =� , 0)( =xf , e tomando )()( tyxtx += :
( ) )()()()( tyytyxftyxfy FF ≅⇒+≅+= ��
• para sistemas discretos: ( ))()1( kxfkx =+ , xxf =)( , e tomando
)()( kyxkx += : )()1()()()1( kykykyxfkyx FF ≅+⇒+≅++
• com este desenvolvimento, a análise de estabilidade dos pontos de equilíbrio
de sistemas não-lineares pode ser conduzida através de resultados conhecidos
acerca da estabilidade de sistemas lineares.
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3 Autovalores e autovetores de uma matriz
• os autovalores de uma matriz quadrada F ∈ ℜn×n são os escalares reais e/ou
complexos λ1, ..., λn que satisfazem a igualdade
iii xx λ=F , i = 1,...,n
onde xi ≠ 0 é o autovetor associado ao autovalor λi, ou seja, é uma direção
invariante sob a transformação realizada pela matriz F. Esta igualdade pode
ser reescrita na forma:
( ) 0=−λ ii xFI .
• para que existam soluções não-triviais para xi, é necessário que FI −λ i seja
uma matriz singular, o que implica:
( ) 0det =−λ FIi .
• os n autovalores da matriz quadrada F ∈ ℜn×n (denominada matriz de ordem
n), além de poderem ser reais ou complexos, podem apresentar diferentes
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multiplicidades. Se todos apresentarem multiplicidade 1, então temos n
autovalores distintos.
• Exemplo:
0
10
01
det
2221
1211
2221
1211
=






−

λ⇒


= ff
ff
ff
ff
F
0det
0
0
det
2221
1211
2221
1211
=






−λ−
−−λ
=






−


λ
λ
ff
ff
ff
ff
( )( ) 0)det( 12212211 =−−λ−λ=−λ ffffFI
( ) ( ) 01221221122112 =−+λ+−λ ffffff
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4 Condições de estabilidade baseadas nos autovalores de F
• um ponto de equilíbrio x de um sistema dinâmico não-linear contínuo é
assintoticamente estável se todos os autovalores de F possuírem parte real
negativa: { } 0Re <λ i , i = 1,...,n.
• um ponto de equilíbrio x de um sistema dinâmico não-linear discreto é
assintoticamente estável se todos os autovalores de F estiverem estritamente
contidos num círculo de raio unitário, ou seja, possuírem módulo menor que a
unidade: 1<λ i , i = 1,...,n.
• um ponto de equilíbrio x de um sistema dinâmico não-linear contínuo é
instável se ao menos um autovalor de F possuir parte real positiva: { } 0Re >λ i ,
para algum i ∈ {1,...,n}.
• um ponto de equilíbrio x de um sistema dinâmico não-linear discreto é
instável se ao menos um autovalor de F possuir módulo maior do que a
unidade: 1>λi , para algum i ∈ {1,...,n}.
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• no caso de sistemas contínuos, se todos os autovalores de F possuírem parte
real não-positiva ( { } 0Re ≤λ i , i = 1,...,n) e pelo menos um possuir parte real
nula, então o ponto de equilíbrio x pode ser estável, assintoticamente estável
ou instável.
• no caso de sistemas discretos, se todos os autovalores de F possuírem módulo
menor ou igual à unidade ( 1≤λi , i = 1,...,n) e pelo menos um possuir módulo
unitário, então o ponto de equilíbrio x pode ser estável, assintoticamente
estávelou instável.
Nota: Obviamente, as conclusões extraídas a respeito do tipo de ponto de
equilíbrio pela análise dos correspondentes sistemas lineares, obtidos pela
linearização dos sistemas não-lineares originais, são válidas desde que a função
f seja, por exemplo, analítica em torno do ponto de equilíbrio.