GEOMETRIA ANALÍTICA NOTAS DE AULA 2015

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GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 
 
NOTAS DE AULA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professora Marli 2 
SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL NO PLANO 
 
 Um sistema de eixos ortogonais no plano é constituído de duas retas orientadas x 
e y, perpendiculares entre si concorrendo no ponto 0 (origem). A reta orientada x é 
denominada eixo x ou eixo das abscissas; a reta orientada y é denominada eixo y ou 
eixo das ordenadas. Os eixos coordenados x e y dividem o plano em 4 partes ou 
quadrantes. 
 
 Por um ponto qualquer do plano traçam-se perpendiculares sobre cada um dos 
eixos, determinando neles os pontos Px e Py tal que x = OPx e y = OPy. Sendo assim 
podemos associar a cada ponto P do plano um par ordenado de números reais, ficando P 
determinado por suas coordenadas cartesianas (ou retangulares); P (x, y) onde x é 
abscissa e y é a ordenada de P. 
 Reciprocamente, dado um par de números reais, localiza-se no plano um único 
ponto P. Há, portanto, uma correspondência bijetiva (biunívoca) entre os pontos do 
plano e os pares de números reais. 
 
Particularidades: 
a) O(0,0): origem do sistema cartesiano 
b) Px(x,0): projeção ortogonal de P sobre o eixo das abscissas 
c) Py(0,y): projeção ortogonal de P sobre o eixo das ordenadas 
 
SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL NO ESPAÇO 
 
 É constituído por três retas orientadas x, y e z mutuamente perpendiculares entre 
si e concorrentes no ponto O. 
 
Elementos: 
 Ponto O: origem do sistema cartesiano 
 Retas orientadas: eixos cartesianos: Ox, Oy e Oz. 
 Planos: planos cartesianos xOy, xOz e yOz. 
 
Professora Marli 3 
Pelo ponto P do espaço traçam-se três planos paralelos aos planos coordenados 
individualizando um paralelepípedo retângulo que intercepta os eixos x, y e z nos 
pontos Px, Py e Pz respectivamente. 
Podemos associar a cada ponto P do espaço uma tripla ordenada de números 
reais P(x,y,z) que são suas coordenadas, onde: 
 
x = OPx: abscissa 
y = OPy: ordenada 
z = OPz: cota 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Este sistema estabelece uma correspondência bijetiva entre cada ponto do espaço 
e a terna ordenada de números reais. Os planos coordenados dividem o espaço em 8 
regiões denominadas octantes. 
 
 
Particularidades: 
a) O (0,0): origem do sistema. 
b) P1(x,y,0), P2(0,y,z) e P3(x,0,z): projeções ortogonais de P sobre os planos 
coordenados. 
c) Px (x,0,0), Py(0,y,0) e Pz(0,0,z): projeções ortogonais de P sobre os eixos 
coordenados. 
Exercícios: 
1) Determinar as coordenadas dos pontos do gráfico abaixo: 
 
2) Representar graficamente os seguintes pontos: 
A (1,2,3), B (2,-3,4), C (1,-2,-3), D (2,3,-2) e E (-2,-2,3) 
Professora Marli 4 
SISTEMA POLAR 
 
Nesta aula veremos que há outra maneira de expressar a posição de um ponto no plano, 
distinta da forma cartesiana. Embora os sistemas cartesianos sejam muito utilizados, há 
curvas no plano cuja equação toma um aspecto muito simples em relação a um 
referencial não-cartesiano. 
Antes do sistema polar, é importante que você esteja familiarizado com a tabela de 
ângulos notáveis, pois será necessário para a construção de gráficos e localização de 
pontos. 
 
 
 
Sistema polar 
 
Consideremos uma reta orientada p de um plano. Esta reta e um ponto O

p determinam 
o sistema polar. 
 
 
 
 
 
 
O ponto P fica determinado no plano por suas coordenadas polares através do par 
ordenado P(,) onde: 
  = OP: distância polar, raio polar ou raio vetor de P. 
  ( 0 <  < 2): argumento, anomalia ou ângulo polar de P. 
 
Convenção: O argumento  será considerado positivo se sua orientação for a do sentido 
anti-horário e negativo se no sentido horário. 
 O raio polar  é positivo quando assinalado no lado terminal de  e 
negativo quando assinalado no seu prolongamento. 
 
 
 
 
 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
sen  0 
 
 
 
√ 
 
 
√ 
 
 1 0 
cos  1 
√ 
 
 
√ 
 
 
 
 
 0 -1 
Professora Marli 5 
Representação gráfica de pontos 
 
Na prática, utiliza-se o papel quadriculado polar no qual os raios das circunferências 
concêntricas aumentam de um em um centímetro, e os ângulos de 15 em 15 graus. 
Representar os pontos A(5, 30
o
), B(4, 150
o
), C(7, - 30
o
) e D(4, - 120
o
) e em seguida 
determine as coordenadas destes considerando o raio polar negativo. 
 
 
 
 
Construir o gráfico de 
 
 
 0 150 30o 45o 60o 75o 90o 105o 120o 135o 150o 165o 180o 
 2,0 1,9 1,8 1,7 1,5 1,2 1,0 0,7 0,5 0,2 0,1 0,03 0,0 
 
 
Esta curva é denominada cardioide e apresenta simetria em relação ao eixo polar pois 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professora Marli 6 
Passagem do sistema polar para o sistema cartesiano ortogonal ou vice-versa: 
 
Fazendo o eixo polar coincidir com o eixo cartesiano x e o polo com a origem, teremos: 
 
 
Do triângulo retângulo OPxP obtém-se as relações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
1) Passar do sistema cartesiano para o sistema polar: 
 
a) 
 1,1A
 
 
 
b) 
 10,0A
 
 
 
c) 
422  yx
 
 
 
d) 
4)2( 22  yx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professora Marli 7 
2) Passar do sistema polar para o sistema cartesiano: 
a) 






3
,3

P
 
 
 
b) 







3
2
,2

P
 
 
 
c) 
3
 
 
 
d) 
4

 
 
 
 
e) 
 sen2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Esboce os gráficos: 
 
a) 
 cos42
 - caracol 

 
0
 
6

 
3

 
2

 
3
2
 
6
5
 

 
6
7
 
3
4
 
2
3
 
3
5
 
6
11
 
 cos42
 
 
 
 
Professora Marli 8 
 
 
 
b) 
  2sin3
 - Rosácea de quatro pétalas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professora Marli 9 
Exercícios: 
 
1) Passar do sistema cartesiano para o sistema polar: 
 
a) 
 33,3A
 
 
 
b) 
 3,33B
 
 
 
c) 
0322  xyx
 
 
 
d) 
522  xyyx
 
 
 
e) 
02  yx
 
 
 
f) 
)(3)( 22222 yxyx 
 
 
 
 
 
2) Passar do sistema polar para o sistema cartesiano: 
 
a) 





 
6
,2

P
 
 
 
 
b) 






6
7
,2

Q
 
 
 
 
c) 
 222 senk
 
 
 
 
d) 
22cos22 
 
 
 
 
 
 
 
Professora Marli 10 
3) Representar graficamente: 
 
a) 
  02
 

 
0
 
6

 
3

 
2

 
3
2
 
6
5
 

 
6
7
 
3
4
 
2
3
 
3
5
 
6
11
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 cos22
 - cardióide 

 
0
 
6

 
3

 
2

 
3
2
 
6
5
 

 
6
7
 
3
4
 
2
3
 
3
5
 
6
11
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professora Marli 11 
c) 
 20 
 

 
0
 
6

 
3

 
2
3
2
 
6
5
 

 
6
7
 
3
4
 
2
3
 
3
5
 
6
11
 
 cos42
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professora Marli 12 
SISTEMA CILÍNDRICO 
 
 Consideremos em um plano  um sistema polar, cujo polo é O e cujo eixo polar 
é p; além disso, um eixo z de origem O e ortogonal ao plano  . 
 Dado um ponto P do espaço, determinamos suas projeções ortogonais sobre o 
plano  e sobre o eixo z, obtendo os pontos P’ e Pz respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
Assim o ponto P fica determinado no espaço por suas coordenadas cilíndricas através da 
terna ordenada P(,,z) onde: 
 
  = OP’: distância polar de P, raio polar ou raio vetor de P. 
  (0 <  < 2): argumento de P, anomalia ou ângulo polar de P. 
 z = OPz: cota de P. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professora Marli 13 
Passagem do sistema cilíndrico para o sistema cartesiano ortogonal ou vice-versa: 
 
 
 Consideremos os dois sistemas de modo que o eixo polar coincida com o eixo x, 
o polo coincida com a origem e o eixo z seja comum aos dois sistemas. 
 
 coordenadas cartesianas 
 coordenadas cilíndricas 
 
 
 
 
 
 
 
 
Do triângulo retângulo OPxP
’
 obtém-se as relações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
1) Passar do sistema cartesiano para o sistema cilíndrico: 
a) A





 
2,
2
1
,
2
1
 
 
 b) B (0, 1, 3) 
 
 
2) Passar do sistema cilíndrico para o sistema cartesiano: 
a) A






2,
3
2
,6

 
b) B
 ,330,1 
 
 
 
Professora Marli 14 
SISTEMA ESFÉRICO 
 
 Escolhido um ponto O (polo), uma reta orientada z (eixo polar) contendo O, um 
semiplano  de bordo z, a posição de um ponto P  0 é caracterizada por três números 
,  e  que são suas coordenadas esféricas, onde: 
 
 
 
 
 
 
 
 = OP: distância polar, raio polar ou raio vetor de P. 
: ângulo que o eixo z forma com OP. Colatitude ou distância zenital de P. 
: ângulo entre os semiplanos  e . Longitude ou azimute de P. 
 
( é o semiplano de bordo z que contém P). 
 
Para que um ponto corresponda a um único terno de coordenadas esféricas, 
costuma-se fazer as seguintes restrições: 
 
 , e 
 
 
 
(VENTURI, 9ª ed. p.60) 
 
 
 
 
 
 
 
Professora Marli 15 
Passagem do sistema esférico para o sistema cartesiano e vice-versa: 
 
Fazemos coincidir o semiplano  com o plano xOz. O ponto P tem projeções 
ortogonais sobre os eixos cartesianos em Px, Py e Pz. O ponto P’ é a projeção de P sobre 
o plano xy. 
 
 coordenadas cartesianas 
 coordenadas cilíndricas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por construção, PxP = OP
’
. Do triângulo retângulo OPxP, obtém-se: 
 
 PxP = e 
 
 
 
 
Do triângulo retângulo OPxP
’
, obtém-se: 
 
 mas então 
 então 
 
 
 
 
 
Cálculo de : 
 
Dos dois triângulos retângulos em destaque obtém-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professora Marli 16 
Exercícios: 
 
1) Passar do sistema cartesiano para o sistema esférico: 
a) 
 0,2,2 A
 
b) 







 
2
25
,
2
5
,
2
5
B
 
 
2) Passar do sistema esférico para o sistema cartesiano: 
 
 a) 





 
6
,
3
,12

P
 
b) 






2
3
,
2
,5

Q
 
 
 
3) Passar do sistema esférico para o sistema cilíndrico: 
a) 






6
11
,
4
,22

A
 
 
 
4) Mostre que 
2222  zyx
 
 
 
5) Se um ponto tem as coordenadas a seguir, encontre as coordenadas cartesianas e 
cilíndricas. 
a) 
3
,
6
,4
 
 
 
b) 
4
,
3
,10
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professora Marli 17 
Grandezas escalares e vetoriais 
As grandezas físicas se subdividem em escalares e vetoriais. As grandezas escalares são 
caracterizadas por sua intensidade ou tamanho (um número e sua unidade 
correspondente), como por exemplo: tempo, comprimento, massa, temperatura, etc. As 
grandezas vetoriais se caracterizam por três componentes: intensidade, direção e 
sentido, como por exemplo: a força, momento linear, velocidade, deslocamento, etc. 
 
Grandezas escalares 
• 50 kg de massa 
• 30 minutos 
• 15 m de comprimento 
 
Grandezas vetoriais 
 Uma força de 5 N fazendo um ângulo de 30° com a reta x e tendo o sentido 
da esquerda para a direita. 
 Uma velocidade de 10 m/s na direção da reta s e no sentido da direita para a 
esquerda. 
 
 
VETORES: Definições. 
 
 Reta orientada (eixo): uma reta é orientada quando é fixado um sentido de percurso, 
considerado positivo e indicado por uma seta. 
 
 Segmento orientado AB: é determinado por um par ordenado de pontos, origem A e 
extremidade B. Geometricamente é representado por uma seta. 
 B 
 
 A 
 
 Segmento nulo: a extremidade coincide com a origem. É um ponto. 
 Segmentos opostos: se AB é um segmento orientado, BA é o oposto de AB. 
 Medida de um segmento: fixada uma unidade de comprimento, a cada segmento 
orientado pode-se associar um número real não negativo, denominado comprimento 
ou módulo. É indicado por
AB
. 
 
 
 
 
O segmento nulo tem comprimento igual a zero. 
Segmentos opostos tem mesma medida. 
Professora Marli 18 
 Direção e Sentido: dois segmentos orientados não nulos tem a mesma direção se 
suas retas suportes forem paralelas ou coincidentes. O sentido é dado pela seta. 
 Segmentos equipolentes: dois segmentos orientados AB e CD são equipolentes 
quando tem a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento. 
Representamos por AB ~ CD. 
 Vetor determinado por um segmento orientado AB: é o conjunto de todos os 
segmentos orientados equipolentes a AB. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O vetor determinado por AB é indicado por 
AB
 ou 
AB
 ou 
v
 . 
 
 Vetores iguais: 
CDAB 
 se e somente se AB ~ CD. 
 Vetor nulo: é o vetor de direção e sentido arbitrários. É indicado por 
0
 . 
 Vetores opostos: se 
ABv 
 o oposto é 
vABBA


. 
 Vetor unitário: vetor de módulo um. 
1v

. 
 Versor de um vetor não nulo 
v
 , é um vetor unitário de mesma direção e mesmo 
sentido de 
v
 . 
v
v
vvers 



. 
 Vetores colineares: tem mesma direção. 
 Vetores coplanares: tem representantes (imagens geométricas) sobre um mesmo 
plano. 
 Soma de ponto com vetor: a soma do ponto A com o vetor 
v
 é o ponto B que é a 
extremidade da imagem geométrica de 
v
 construída a partir de A. 
 
 
ABv
BvA



 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professora Marli 19 
v

w

OPERAÇÕES COM VETORES 
 
 Adição: 
Geometricamente a soma de n vetores é feita considerando as imagens geométricas dos 
vetoresde modo que a extremidade de cada vetor coincida com a origem do vetor 
seguinte. O vetor resultante é aquele que fecha a poligonal, tendo por origem a origem 
do primeiro vetor e extremidade a extremidade do último vetor. 
 
 
Dados os vetores 
wevu

,
, obter graficamente: 
a) 
wu


 
b) 
wvu


 
c) 
wu


 
d) 
uw


 
e) 
wvu


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Multiplicação de número real por vetor: 
 
O produto de um número real 
0k
 por um vetor 
0

v
 é um vetor 
vkp


. O vetor 
vk
 tem mesma direção de 
v
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professora Marli 20 
Ângulo entre dois vetores 
 
O ângulo de dois vetores não nulos é o ângulo 

 formado pelas semiretas OP e OQ e tal 
que 
 0
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observações: 
 Se 
0
, os vetores têm a mesma direção e o mesmo sentido. 
 Se 
 
, os vetores têm a mesma direção e sentidos contrários. 
 Se 
2

 
 os vetores são ortogonais. Indicamos por 
vu


. 
 O vetor nulo é considerado ortogonal a qualquer vetor. 
 Se vu   e k , então vku   . 
 O ângulo formado pelos vetores 
veu


 é o suplemento do ângulo de 
veu

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professora Marli 21 
EXERCÍCIOS: 
 
1. A figura abaixo é constituída de nove quadrados congruentes. Decidir se é verdadeira 
ou falsa cada uma das afirmações: 
 
 
 
 
 
2. Dado o paralelepípedo a seguir, decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das 
afirmações: 
 
 
 
coplanaressãoFGABi EG e ,)
 
coplanaressãoCBEGj HF e ,)
 
coplanaressãoDBACk FG e ,)
 
coplanaressãoBGABl CF e ,)
 
coplanaressãoDCABm CF e ,)
 
ABC plano ao ortogonal é ) AEn
 
BCG plano ao ortogonal é ) ABo
 
HEF. plano ao paralelo é ) DCp
 
 
 
 
 
BCAFd
CGABc
HGABb
BFDHa




)
)
)
)
 
coplanaressãoBCABh
EDBGg
DFAGf
HFACe
 CG e ,)
//)
||||)
)


 
 
Professora Marli 22 
3. Com base na figura do exercício 1, determinar os vetores abaixo, expressando-os com 
origem no ponto A. 
 
 
AKACd
DCACc
BDABb
CNACa




)
)
)
)
 
OEAOh
ANAKg
BLAMf
EOACe




)
)
)
)
 
PBBNBLl
NFPNLPk
CBBCj
NPMOi




)
)
)
)
 
 
4. Com base na figura do exercício 2, determinar os vetores abaixo, expressando-os com 
origem no ponto A. 
 
 
EHBFc
DEBCb
CGABa



)
)
)
 
FBEFf
EHCGe
BCEGd



)
)
)
 
FHDAEGh
AEADABg


)
) 
 
 
5. A figura abaixo apresenta um losango EFGH inscrito no retângulo ABCD, sendo O o 
ponto de interseção das diagonais desse losango. Decidir se é verdadeira ou falsa cada 
uma das afirmações: 
 
 
 
DHOHe
BOOCd
HGDOc
CHAFb
OGEOa





)
)
)
)
)
 
HGGFj
CDAFi
DBOAh
BDACg
COEHf
//)
//)
2
1
)
)
)



 
FEOBo
HFAOn
CBEOm
OHABl
OCAOk




)
)
)
)
//)
 
 
 
 
 
 
 
 
Professora Marli 23 
6. Com base na figura do exercício 5, determinar os vetores abaixo, expressando-os com 
origem no ponto A. 
 
 
BGEOe
EFEHd
AFAEc
FGEHb
CHOCa





)
)
22)
)
)
 
AOFOAFj
HOOGi
FGFEh
EHBCg
OCOEf





)
)
)
2
1
)
22)
 
 
7. Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações: 
 
a) Se 
vu


, então 
vu


. 
b) Se 
vu


, então 
vu


. 
c) Se 
vu

//
, então 
vu


. 
d) Se 
vu


, então 
vu

//
. 
e) Se 
vuw


, então 
vuw


. 
f) 
vuw


, então 
wevu

,
 são paralelos. 
g) Se 
DCAB 
, então ABCD (vértices nesta ordem) é paralelogramo. 
h) 
vvv

555 
. 
i) Os vetores 
vev

43 
 são paralelos e de mesmo sentido. 
j) Se 
vu

//
, 
42  veu

, então 
uvouuv

22 
. 
k) Se 
3v

, o versor de 
3
10
v
év



. 
 
8. O paralelogramo ABCD é determinado pelos vetores 
ADeAB
, sendo M e N pontos 
médios dos lados DC e AB, respectivamente. Determinar: 
 
BCACcDABAbABADa  )))
 
DCBMfMBMDeBCANd
2
1
))) 
 
 
9. No hexágono regular ABCDEF, obter: 
BDFDFEAEc
BEAEADb
AFFEABa



)
)
)
 
 
10. Dados os pontos M, N e P, escrever o vetor 
PA
 em função dos vetores 
PNePM
, 
sabendo que o ponto A pertence à reta suporte de MN e tal que 
AMAN 3
. 
Professora Marli 24 
 
 
11. Qual a condição que devem satisfazer os vetores 
veu

 de modo que o vetor 
vu


 
seja bissetriz do ângulo por eles formado? 
 
12. Sendo dados 
8,4,  vuuvu

, calcule 
v

 e determine os ângulos que o vetor 
vu


 forma com 
u
 e com 
v
 respectivamente. 
 
13. Os vetores 
veu

 formam um ângulo de 60
o
. Sabe-se que 
58  veu

. Calcule 
vuevu


. 
 
14. Determine as somas que se pedem: 
 
 
 
GCFGEFAEe
BHBGFGEFHEd
BCBGBFc
BFDBEDb
AGHBGCDHCDADa





)
)
)
)
)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professora Marli 25 
RESPOSTAS: 
1. 
a) V b) V c) F d) V e) V f) V g) F h) V i) F j) V 
k) V l) V m) F n) V o) V p) V q) V r) F s) V t) V 
 
2. 
a) V b) F c) V d) V e) V f) V g) F h) F 
i) V j) V k) V l) F m) V n) V o) V p) V 
 
 
 
3. a)
AN
 b)
AD
 c)
AB
 d)
AO
 e)
AM
 f)
AK
 
 g)
AH
 h)
AI
 i)
AC
 j)
AC
 k)
AE
 l)
0 
 
 
 
4. 
AFa)
 
AEb)
 
HAc)
 
ABd)
 
AHe)
 
AFf )
 
AGg)
 
ADh)
 
 
 
5. a) V b) F c) V d) V e) F f) F g) V h) V 
 i) V j) F k) V l) V m) V n) F o) V 
 
 
 
6. 
AEa)
 
ACb)
 c)
AC
 
ABd)
 
AOe)
 
ADf )
 
 
AHg)
 
ADh)
 
AOi)
 
ACj)
 
 
7. V, F, F, V, F, V, F, V, F, V, V 
 
 
8. 
BDfMNeAMdABcCAbACa ))))))9. 
ABAEAD ,,
 
12. 
 60,30,34
 
13. 
7,129
 
14. 
AC BG,2 ,BG2 EF, ,AC
. 
 
 
 
 
 
 
Professora Marli 26 
VETORES NO 
2
 E NO 
3
 
 
Até agora estudamos os vetores sob o ponto de vista geométrico, representando-os por 
segmentos de reta orientados. Outra forma de representação é a algébrica, onde os 
vetores são relacionados com o referencial cartesiano. 
 
Decomposição de um vetor no plano: 
 
Dados dois vetores 
21 vev

 não colineares e um vetor 
v
 coplanar a eles, podemos obter 
v
 a partir de 
21 vev

 (basta determinar vetores que tenham a mesma direção de 
21 vev

 e 
que somados resultem 
v
 ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
v
 é combinação linear de 
21 vev

. 
 O conjunto {
21, vv

} é denominado base no plano. Qualquer conjunto de dois 
vetores não colineares forma uma base no plano. 
 Os números 
21 aea
 são as componentes ou coordenadas de 
v
 em relação à base {
21, vv

}. 
 
Na prática as bases mais utilizadas são as ortonormais, isto é, as bases compostas por 
vetores unitários e ortogonais. 
Dentre as infinitas bases ortonormais no plano destaca-se a base que determina o 
sistema cartesiano ortogonal xOy denominada base canônica. Os vetores unitários e 
ortogonais são simbolizados por 
jei
 , ambos com origem na origem do sistema e 
extremidades em 
   1,00,1 e
 respectivamente. Base canônica 
 ji

,
. 
 
 
 
 
 
 
Expressão analítica (ou cartesiana) de um vetor 
 
Fixada uma base, usaremos a canônica, fica estabelecida uma correspondência 
biunívoca entre os vetores do plano e os pares ordenados de números reais. A cada vetor 
do plano podemos associar um par ordenado de números reais. Os números x e y são as 
componentes ou coordenadas de 
v
 na referida base. 
 
 
 
 
 
Professora Marli 27 
Vetor definido por dois pontos. 
Um vetor tem infinitos representantes que são os segmentos orientados de mesma 
direção, mesmo sentido e mesmo comprimento. Quando as componentes de um vetor 
AB
 são calculadas pela diferença 
AB
, temos o representante cuja origem está na 
origem do sistema. 
Exemplo: Dados os pontos A(-2,3), B(1,4), C(1,2) e D(4,3) determinar os vetores 
CDeAB
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Igualdade de vetores: 
Dois vetores 
   2211 ,, yxveyxu 

 são iguais se e somente se 
2121 yyexx 
. 
 
Operações com vetores: 
Sejam os vetores 
   2211 ,, yxveyxu 

 e 

. 
 
 11
2121
,
,
yxu
yyxxvu
 


 
 
Paralelismo de dois vetores. 
Dois vetores 
   2211 ,, yxveyxu 

 são paralelos se existe um número real 

 tal que 
vu


 
   2211 ,, yxyx 
 
   2211 ,, yxyx 
 
2121 yyexx  
 

2
1
2
1
y
y
x
x
 Dois vetores são paralelos quando suas componentes são proporcionais. 
 
Considera-se o vetor nulo paralelo a qualquer vetor. 
Se uma das componentes de um vetor for nula, a respectiva componente de um vetor 
paralelo também é nula. 
 
Módulo de um vetor 
Seja 
 yxv ,
 pelo teorema de Pitágoras temos que 
22 yxv 
 
 
A distância entre dois pontos 
   2211 ,, yxBeyxA
 é o módulo do vetor 
AB
. 
ABBAd ),(
. 
Professora Marli 28 
Vetores no espaço 
 
A base canônica no espaço é composta pelos vetores 
keji

,
 representados com origem 
no ponto O. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Igualdade de vetores: 
Dois vetores 
   222111 ,,,, zyxvezyxu 

 são iguais se e somente se 
212121 , zzeyyxx 
. 
 
Operações com vetores: 
Sejam os vetores 
   222111 ,,,, zyxvezyxu 

 e 

. 
 
 111
212121
,,
,,
zyxu
zzyyxxvu
 


 
 
Paralelismo de dois vetores. 
Dois vetores 
   222111 ,,,, zyxvezyxu 

 são paralelos se existe um número real 

 
tal que 
vu


 
   222111 ,,,, zyxzyx 
 
   222111 ,,,, zyxzyx 
 
212121 zzyyxx   

2
1
2
1
2
1
z
z
y
y
x
x
 Dois vetores são paralelos quando suas componentes são 
proporcionais. 
 
Módulo de um vetor 
Seja 
 zyxv ,,
 pelo teorema de Pitágoras temos que 
222 zyxv 
 
 
 
A distância entre dois pontos 
   222111 ,,,, zyxBezyxA
 é o módulo do vetor 
AB
. 
ABBAd ),(
. 
 
 
 
Professora Marli 29 
EXERCÍCIOS: 
 
1. Dados os pontos A(-1,3), B(2,5) e C(3,-1), calcular 
CBBAeABOA 43 
. 
(-4,1), e (-5,-30) 
2. Dados os vetores 
     6,121,5,4,2  wevu 
, determinar a e b tais que 
vbuaw


. a= -1 e b =2 
3. Dados os pontos A(2,-2) e B(-1,4) e os vetores 
   1,23,1  veu 
, 
determinar: 
a) 
u

 c) 
vu

32 
 
b) 
vu


 d) d(A,B) 
45,97,13,10
 
 
4. Calcular os valores de a para que o vetor 
 2, au
 tenha módulo 4. 
32a
 
5. Calcular os valores de a para que o vetor 







2
1
,au

 seja unitário. 
2
3
a
 
6. Dado o vetor 
 4,3 v
, calcular o versor de 
v
 e o versor de 
v

2
. 







5
4
,
5
3
 
7. Em 
3
 apresentar o vetor genérico que satisfaz a condição: 
a) Paralelo ao eixo dos x; 
b) Representado no eixo dos z; 
c) Paralelo ao plano xy; 
d) Paralelo ao plano yz; 
e) Ortogonal ao eixo dos y; 
f) Ortogonal ao eixo dos z; 
g) Ortogonal ao plano xy; 
h) Ortogonal ao plano xz. 
 
8. Dados os pontos A(2,-3,1) e B(4,5,-2), determinar o ponto P tal que 
PBAP 
. 







2
1
,1,3P
 
9. Dados os pontos A(1,2,3), B(-6,-2,3) e C(1,2,1), determinar o versor do vetor 
BCBAv 23 
 . 






9
4
,
9
4
,
9
7
 
10. Seja o vetor 
    kjmimv

527 
. Calcular m para que 
38v

. 
4m
 ou 
5m
 
11. Calcular o perímetro do triângulo de vértices A(0,1,2), B(-1,0,-1) e C(2,-1,0). 
 3112 
 
12. Dado o vetor 
 3,1,2 v
, determinar o paralelo a 
v
 que tenha: 
a) Sentido contrário ao de 
v
 e três vezes o módulo de 
v
 ; (-6,3,9) 
b) O mesmo sentido de 
v
 e módulo 4; 







14
12
,
14
4
,
14
8
 
c) Sentido contrário ao de 
v
 e módulo 5. 







14
15
,
14
5
,
14
10
 
Professora Marli 30 
13. Determinar o simétrico do ponto P(3,1,-2) em relação ao ponto A(-1,0,-3). 
,P
(-5,-1,-4). 
14. Num paralelogramo ABCD, sabe-se que A(1,3,-2) e que as diagonais são 
   1,0,23,2,4  BDeAC
. Calcular as coordenadas dos outros três vértices. 
B(4,4,-4), C(5,5,-5) e D(2,4,-3). 
15. Verificar se os vetores 
  






6
1
,
6
2
,
6
1
1,1,1 veu

 são unitários. 
v
 é 
unitário 
16. Determinar o valor de a para que 
 aaau 2,2,
 seja um versor. 
3
1a
 
17. Dados os pontos A(1,0,-1), B(4,2,1)e C(1,2,0), determinar o valor de m para 
que 
7v

, sendo 
BCACmv 
 . 
5
13
3  moum
 
18. Determinar o valor de y para que o triângulo de vértices A(4, y,4), B(10,y,-2) e 
C(2,0,-4) seja equilátero. 
2y
 
19. Obter um ponto P do eixo das cotas cuja distância ao ponto A(-1,2,-2) seja igual 
a 3. P(0,0,0) ou P(0,0,-4). 
20. Dados os pontos A(3,m-1,-4) e B(8,2m-1,m) determinar m de modo que 
35AB
. 
3m
 ou 
1m
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professora Marli 31 
PRODUTO ESCALAR 
 
O produto escalar dos vetores 
veu

, representado por 
vu


 ou 
 vu

,
, é o número real 
dado por 
cosvuvu  
 
 0
 
 
0vu
 , indica que   0cos é agudo ou nulo. 
 
0 vu
 , indica que   0cos é obtuso ou raso. 
 
0vu
 , quando um dos vetores é nulo ou quando os dois vetores são ortogonais. 
 
Propriedades 
 
Para quaisquer vetores 
wevu

,
 e o número real 

, valem as propriedades: 
I) Comutativa: 
uvvu


 
II) Associativa em relação à multiplicação por escalar: 
     vuvuvu    
III) Distributiva em relação à adição de vetores: 
  wuvuwvu  
 
IV) 
2
uuu


 
V) 
222
2 vvuuvu


 
 
Expressão analítica do produto escalar 
 
Sejam os vetores 
kzjyixu

111 
 e 
kzjyixv

222 
. 
212121 zzyyxxvu 
 
 
1. Dados os vetores 
kjivekjiu

 24853
, calcular 
vu


. 14 
2. Sendo 
 1203,2 evu 
 o ângulo entre 
veu

, calcular 
vu


 e 
vu


. 
73 e
 
3. Dados os vetores 
     1,1,1,1,,12,,1  aweaavaau 
 determinar o 
valor de a de modo que 
  wvuvu  
 a =2 
4. Dados os pontos A(-1,0,2), B(-4,1,1) e C(0,1,3), determinar o vetor 
x
 tal que 
 ACABBCxABx  2
. 
 15,13,17 x
 
5. Mostrar que os vetores 
   2,5,43,2,1  veu 
 são ortogonais. 
6. Usando o produto escalar, mostrar que o triângulo de vértices 
   1,1,2,1,3,2 BA
 
e 
 2,2,2 C
 é um triângulo retângulo. 
7. Os pontos A, B e C são vértices de um triângulo eqüilátero cujo lado mede 
10cm. Calcular 
ACAB 
. 50 
8. Os lados de um triângulo retângulo (reto em A) medem 5, 12 e 13. Calcular 
CBCABCBAACAB 
. 169 
9. Qual o valor de x para que os vetores 
  kjixbekjixa

42145 
 
sejam ortogonais? -3 ou 2 
10. Dados os vetores 
     xxcexbxa ,8,22,5,2,,1,2  
 , determinar o valor 
de x para que o vetor 
ba


 seja ortogonal ao vetor 
ac


. 3 ou -6 
 
Professora Marli 32 
Ângulo de dois vetores 
 
Da definição 
cos vuvu 
 temos: 
 
vu
vu



cos
 
 
Ângulos diretores e cossenos diretores de um vetor 
 
Seja o vetor não nulo 
kzjyixv


. 
Ângulos diretores de 
v
 são os ângulos 
 e,
 que 
v
 forma com os vetores 
keji

,
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cossenos diretores de 
v
 são os cossenos de seus ângulos diretores. 
 
   
v
x
v
zyx
iv
iv







)1(
0,0,1,,
cos
 
   
v
y
v
zyx
jv
jv







)1(
0,1,0,,
cos
    
v
z
v
zyx
kv
kv







)1(
1,0,0,,
cos
 
 
Os cossenos diretores de 
v
 são as componentes do seu versor: 
    cos,cos,cos,,,, 









v
z
v
y
v
x
v
zyx
v
v

 . 
Como o versor é um vetor unitário, temos: 
1coscoscos 222   
 
1. Seja o triângulo de vértices A(-1,-2,4), B(-4,-2,0) e C(3,-2,1). Determinar o 
ângulo interno ao vértice B. 
45
 
2. Calcular os ângulos diretores de 
 0,1,1v
. 
 9013545
 
3. Os ângulos diretores de um vetor são 
e 60,45
. Determinar 

. 
 12060 ou
 
4. Um vetor 
v
 do espaço forma com os vetores 
jei
 ângulos de 
 12060 e
, 
respectivamente. Determinar o vetor 
v
 , sabendo que 
2v

. 
 2,1,1 
 
5. Determinar o vetor 
v
 , sabendo que 
4v

, 
v
 é ortogonal ao eixo Oz, forma 
ângulo de 
60
 com o vetor 
i
 e ângulo obtuso com 
j
 .  0,32,2  
Professora Marli 33 
Projeção de um vetor sobre outro. 
 
Projeção do vetor 
v
 sobre o vetor 
u
 : 
vproju


 
 
 
Seja 
1v

 a projeção do vetor 
v
 sobre o vetor 
0

u
 e seja 
uv

2
 
Sendo 
uv

//1
 temos: 
I) 
ukv

1
 e 
II) 
21 vvv


 
 
Substituindo I em II: 
 
2vukv

 
 
Multiplicando escalarmente por 
u

 
 
 
2vuuukvu


 
 
0
2
 ukvu
 
 
2
u
vu
k 



 
Substituindo k em I: 
u
u
vu
v











 

21
 
 
u
uu
vu
vproju




 








 
 
Interpretação geométrica do módulo do produto escalar 
 
O módulo do produto escalar dos vetores 
uev

, sendo 
u

 unitário, representa o 
comprimento do vetor projeção de 
v

sobre 
u

. 
 
 
Determinar o vetor projeção de 
 3,2,1 u
 na direção de 
 2,1,2 v
. 
 
 
 
 
Professora Marli 34 
Exercícios: 
1. Calcular n para que seja de 
30
 o ângulo entre os vetores 
  jvenu

 2,,1
. 
15
 
2. Determinar o vetor 
v

, paralelo ao vetor 
 2,1,1u
, tal que 
18uv
 . 
 6,3,3 
 
3. Determinar o vetor 
v
 , sabendo que 
5v

, 
v
 é ortogonal ao eixo Oz, 
6wv
 
e 
kjw

32 
. 
 0,3,4
 
4. Sabe-se que 
4
1
cos
2
1
cos,2   ev
. Determinar 
v
 . 









2
11
,
2
1
,1
 
5. O vetor 
v
 é ortogonal aos vetores 
   2,0,13,1,2  weu 
 e forma ângulo 
agudo com o vetor 
j
 . Calcular 
v
 , sabendo que 
63v

. 
 1,7,2
 
6. Determinar o vetor 
v
 , ortogonal ao eixo Oz, que satisfaz as condições 
101 vv

 
e 
52 vv

, sendo 
 1,3,21 v

 e 
 2,1,12 v

. 
 0,4,1
 
7. Calcular o módulo dos vetores 
vu


 e 
vu


, sabendo que 
4u

, 
3v

 e o 
ângulo entre 
veu

 é de 
60
. 
1337 e
 
8. Sabendo que 
2u

, 
3v

 e o ângulo entre 
veu

 é de 
rad
4
3
, determinar 
   vuvu  22 
. 
21526 
 
9. Determinar 
wvwuvu


, sabendo que 
2u

, 
3v

 e
5w

. -9 
10. O vetor 
v
 é ortogonal aos vetores 
 0,2,1a
 e 
 3,4,1b
 e forma ângulo agudo 
com o eixo Ox. Determinar 
v
 , sabendo que 
14v

. 
 4,6,12 
 
11. Calcule o ângulo formado pelos vetores 
kjivekjiv

2222 21 
 e 
determine um vetor unitário sobre a bissetriz do ângulo desses vetores. 
 











 
 0,
10
1
,
10
3
9
4
cosarc12. Dados os vetores 
   1,3,22,2,1 21  vev

, determine os vetores 
bea
 
tais que 
121 //, vbevavba


. 
 
   21322329227 ,,10,,9   ba
 
 
13. Os vetores 
bea
 formam um ângulo de 60°. Calcule um ângulo formado pelos 
vetores 
veu

, sabendo que 
bau

2
, 
26,  beabav

. 
 
182
9111
cosarc
 
 
 
Professora Marli 35 
14. Os vetores 
veu

 são dois lados consecutivos de um paralelogramo e formam um 
ângulo de 60°. Calcule o ângulo formado pelas diagonais do paralelogramo, 
sabendo que 
24  veu

. 








7
21
cosarc
 
 
15. Dados os vetores 
   1,1,11,1,0  veu

 determine os vetores 
w
 , sabendo que 
    5;  wevvwuuw

. (1,2,0) e (1,0,2) 
 
16. Um vetor unitário 
v
 forma com o eixo coordenado Ox um ângulo de 60° e com 
os outros dois eixos Oy e Oz ângulos congruentes. Calcule as coordenadas desse 
vetor e o ângulo que ele forma com um vetor 
kjw


. 








 30
4
6
,
4
6
,
2
1 v
 
 
17. Os vetores 
veu

 formam um ângulo de 

3
2
 rad. Sabe-se que 
54  veu

. 
Calcule: 
 
   
   
    1613232)
61)
6123)



vuvuc
vuvub
vuvua



 
 
18. Dados os vetores unitários 
wevu

,
 que satisfaçam a condição 
0

 wvu
, 
calcule 
     wvwuvu


. –3/2 
19. Os vértices de um triângulo são M( 1,1,2), N(5,1,3) e Q( -3,9,3). Calcule as 
coordenadas do vetor 
HM
 , onde H é o pé da altura relativa ao lado NQ. (2,2,1) 
 
20. Determine 
u
 tal que 
2u

, o ângulo entre 
 0,1,1veu

 seja de 45° e que 
 0,1,1u

. 
 










1,
2
2
,
2
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professora Marli 36 
PRODUTO VETORIAL OU EXTERNO 
 
Estudaremos outro tipo de multiplicação entre vetores, o produto vetorial. Esse tipo de 
multiplicação foi descoberta pelo matemático e físico irlandês Sir William Rowan 
Hamilton em outubro de 1843. 
 
Hamilton trabalhou muitos anos tentando deduzir uma estrutura multiplicativa nas 
ternas ordenadas (x, y, z) de números reais, da mesma forma como fizera dez anos antes 
descrevendo os números complexos como pares ordenados de números reais com uma 
estrutura multiplicativa num trabalho apresentado à Real Academia Irlandesa. 
 
Os esforços de Hamilton culminaram em outubro de 1843 com a sua descoberta dos 
quatérnios, quádruplas ordenadas de números reais (t, x, y, z) com uma estrutura 
multiplicativa semelhante à dos números complexos. Tal estrutura, quando restrita às 
quádruplas da forma (1; x; y; z), coincide com a operação denominada produto vetorial. 
 
William Rowan Hamilton 1805-1865, Dublin Irlanda 
 
William Hamilton começou a estudar Matemática aos 13 anos de idade, lendo o tratado 
de Álgebra de M. Clairaut e, aos 15 anos, estudando os trabalhos de Newton e Laplace. 
Em 1822, ganhou a atenção dos astrônomos da Coroa Irlandesa ao descobrir um erro no 
tratado de Mecânica Celeste de Laplace. 
Aos 18 anos, ingressou no Trinity College, em Dublin, onde graduou-se com menções 
de honra. Apresentou diversos trabalhos na Real Academia Irlandesa versando sobre 
tópicos avançados de Geometria, Física e Astronomia. Deve-se a Hamilton a origem da 
palavra vetor. 
 
Definição: 
 
O produto vetorial dos vetores 
 111 ,, zyxu 

 e 
 222 ,, zyxv 

, nesta ordem, 
representado por 
vu


ou 
vu


, é o vetor: 
222
111
zyx
zyx
kji
vu


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professora Marli 37 
Propriedades: 
     
 
 
)()(:)10
:)9
:)8
,:)7
:)6
0
0)5
)4
)3
)2
0)1
2222
wvuwvuoassociativéNão
senvuvuMódulo
vuvuvuLagrangedeIdentidade
positivotriedroumformamvuevuSentido
v
u
vuDireção
vku
u
vu
wuvuwvu
vmuvumvum
uvvu
uu





























 
 
Determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores 
)3,1,2( u

 e 
)0,1,1(v

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mostrar num gráfico um representante de cada um dos seguintes vetores: 
 
a) 
ij

2
 b) 
ji

32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professora Marli 38 
Interpretação geométrica do módulo do produto vetorial 
 
Geometricamente o módulo do produto vetorial mede a área do paralelogramo 
determinado pelas imagens geométricas de dois vetores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
 
1. Calcular a área do paralelogramo definido pelos vetores 
)0,1,4()2,1,3(  veu

. 
117
u.a. 
2. Calcular a área do triângulo de vértices A(-1,2,-2), B(2,3,-1) e C(0,1,1). 
62
u.a. 
3. Calcular x, sabendo que A(x,1,1), B(1,-1,0) e C(2,1,-1) são vértices de um triângulo 
de área 
2
29
. 
5
1
3  xoux
 
4. Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores 
abeba

2
, sendo 
)3,0,1()2,1,3(  bea
 . 
kk ),1,7,3(
 
5. Sabendo que 


452,3 eba 
 é o ângulo entre 
bea
 , calcular 
ba


. 
3
 
6. Se 
33ba

, 
 603 ea 
 é o ângulo entre 
bea
 , calcular 
b

. 
2
 
7. Dados os vetores 
)1,1,2()2,4,3(  veu

, obter um vetor de módulo 3 que seja ao 
mesmo tempo ortogonal aos vetores 
vuevu

2
. 
 15,3,6
30
1

 
8. Calcular a área do triângulo de vértices A(-1,0,2), B(-4,1,1) e C(0,1,3). 
6
u.a. 
9. Dado o triângulo de vértices A(0,1,-1), B(-2,0,1) e C(1,-2,0), calcular a medida da 
altura relativa ao lado BC. 
7
353 u.c. 
10. Dados os vetores 
 2,1,1)2,2,2(,)1,1,0(  wevu 
, determinar o vetor 
x
 , 
paralelo a 
w
 , que satisfaz à condição: 
vux


. 
 4,2,2 
 
11. Determinar o valor de m para que o vetor 
 mw ,2,1
 seja simultaneamente 
ortogonal aos vetores 
)1,3,1()0,1,2(  veu

. 
5m
 
 
Professora Marli 39 
12. Determinar 
u
 tal que 
   6,4,21,3,2,33  ueuu

. Dos vetores determinados, 
qual o que forma ângulo agudo com o vetor (1,0,0)? (3,-3,-3) e (-3,3,3) o 
primeiro 
 
13. Resolva o sistema  
 




kikjia
kjia


22
9432
 . 
kjia


 
 
14. Determine 
a
 tal que 
    62  aekjikia 

. (-1,2,1) 
 
15. Determinar 
vu


, sabendo que 
113,12  veuvu

. 
5 vu
 
 
16. Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores 
uvevu

 2
 sendo 
   2,1,00,2,3  veu

. Um deles é (-12,-18,9) 
 
17. Dados os vetores 
   1,2,22,1,3  veu

, calcular: 
 
a) área do paralelogramo determinado por 
veu

; 
103
 
 
b) a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor 
v
 . 10 
 
18. Calcular a área do paralelogramo determinado pelos vetores 
veu

, sabendo que 
suas diagonais são 
  2,1,14,3,1  vuevu

. 
35
 
 
19. Calcular a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC, sendo A( 4,2,1), 
B( 1,0,1) e C( 1,2,0). 
5
7
h
 
 
20. Dado o vetor 
 0,1,2u

, determinar o vetor 
v
 ortogonal ao eixo Oz, sabendo que 
26  vuevu

. (2,-2,0) ou (-2/5, 14/5, 0) 
 
21. Dado 
 1,2,1u

, determine um vetor 
v
 ortogonal ao eixo Ox tal que 
1331 vu

 e que o vetor 
vu


 forme ângulos congruentes com os eixos Oy e 
Oz. 
 11,11,0 

v
 
 
22. São dados os vetores 
     8,6,263,2,1,1,1,1  wevu

. Determinar os vetores 
bea
 , ortogonais entre si, sabendo que a é simultaneamente ortogonal aos vetores 
wbaqueeveu


. 
   5,10,253,4,1  bea
 
 
23. É dado o vetor 
 2,1,0v

. Determine o vetor 
w
 ortogonal ao eixo Ox, sabendo que 
12wv

 e que 
4wv
 . (0,-4,4) ou (0, 28/5, -4/5) 
 
Professora Marli 40 
PRODUTO MISTO 
 
O produto misto dos vetores 
 111 ,, zyxu 

, 
 222 ,, zyxv 

 e 
 333 z,y,xw 

, nesta 
ordem, representado por 
 wvu

,,
 ou 
 wvu  ,,
 é o número real 
wvu


. 
 
333
222
11
,,
zyx
zyx
zyx
wvu 
 
 
Propriedades: 
 
I) Nulidade: 
 wvu

,,
=0 quando: 
a) um vetor é nulo, 
b) dois vetores são paralelos, 
c) três vetores são coplanares. 
II) Cíclica: 
O produto misto independe da ordem circular dos vetores: 
 wvu

,,
=
   vuwuwv

,,,, 
 
Porém muda de sinal quando trocamos a posição de dois vetores consecutivos: 
 
 wvu

,,  wuv

,,
. 
 O produto misto não se altera se os sinais 
 e
 forem permutados entre si. 
 
wvu

 wvu


 
III) Associativa em relação à multiplicação por número real 
 m
 wvu

,,
=
 wvum  ,,
=
 wvmu  ,,
=
 wmvu  ,,
 
 
Para que valor de m os pontos A(m,1,2), B(2,-2,-3), C(5,-1,1) e D(3,-2,-2) são 
coplanares? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professora Marli 41 
Módulo do produto misto: 
 
  cos,, wvuwvu  
 

 é o ângulo formado pelos vetores 
vu


 e 
w
 
podendo ser agudo ou obtuso. 
 
Interpretação geométrica do módulo do produto misto 
 
Geometricamente o módulo do produto misto dos vetores 
u
 , 
v
 e 
w
 , representa o 
volume de um paralelepípedo cujas arestas são as imagens geométricas destes 
vetores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professora Marli 42 
EXERCÍCIOS: 
 
1. Sabendo que 
    5,,2,,  xwvexwu

, calcular: 
       
10)24)36)2)
,2,35),,42)2,3,3),,)


dcba
xwvudxwvucxwubwxua
 
 
2. Um paralelepípedo é determinado pelos vetores 
     5,1,21,0,2,4,1,3  wevu

. Calcular seu volume e a altura relativa à base 
definida pelos vetores 
veu

. 
30
17
17 e
 
 
3. Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos 
vetores 
 2,1,01 v

, 
   2,,31,2,4 32  mvev

 seja igual a 33. Calcular a 
altura desse paralelepípedo relativa à base definida por 
21 vev

. 
89
334 417   hmoum
 
 
4. Dados os pontos A( 2,1,1), B( -1,0,1) e C( 3,2,-2), determinar o ponto D do eixo Oz 
para que o volume do paralelepípedo determinado por 
DAeCABA

,
 seja 25 u. v. 
 (0,0,-10) ou (0,0,15) 
 
5. Calcular o volume do tetraedro de base ABC e vértice P, sendo A( 2,0,0), B( 
2,4,0), C( 0,3,0) e P( 2,-2,9). Qual a altura do tetraedro relativa ao vértice P? 
V= 12 h= 9 
 
6. Sabendo que os vetores 
     2,1,33,1,,4,1,2  DAemCABA
 determinam 
um tetraedro de volume 3, calcular o valor de m. m= -17/2 ou m= 19/2 
 
7. Determinar o valor de k para que sejam coplanares os vetores: 
      
      323,0,3,2,1,1,,2)
6,3,2,0,1,,1,2)


koukwekvkub
kkkwevkua

 
 
8. Mostre que 
   wvuwuwvvu

,,2,, 
. 
9. Para que valor de m os pontos A(m,1,2), B(2,-2,-3), C(5,-1,1) e D(3,-2,-2) são 
coplanares? m=4 
10. Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos 
vetores 
     1,0,42,,6,0,1,2 321  vemvv

 seja igual a 10. 6 ou -4 
11. Os vetores 
    )1,,1(4,1,1,3,1,2  mmceba 
 determinam um 
paralelepípedo de volume 42. Calcular m. 
3
8
,2

 mm
 
12. Dados os pontos A(1,-2,3), B(2,-1,-4), C(0,2,0) e D(-1,m,1), determinar o valor de 
m para que seja de 20 u.v. o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores 
ADeACAB,
. 6 ou 2 
Professora Marli 43 
13. Calcular o volume do tetraedro ABCD, sendo dados A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1) e 
D(4,2,7). Calcular a altura relativa ao vértice D.
3
12
2 e
 
14. Calcular o volume do tetraedro ABCD, sendo dados A(-1,3,2), B(0,1,-1), C(-2,0,1) e 
D(1,-2,0). Calcular a altura relativa ao vértice A.
10
8
4 e
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professora Marli 44 
A RETA 
 
Uma reta fica determinada ou definida quando dela conhecemos a posição e a direção. 
A posição é assegurada por um ponto conhecido (ponto diretor) e a direção através de 
um vetor não nulo, também conhecido (vetor diretor). 
 
Equações: 
 
Seja r uma reta que passa pelo ponto 
),,( 111 zyxA 
 e tem a direção do vetor não nulo 
),,( cbav 

. Para que um ponto 
),,( zyxP 
 do espaço pertença à reta é necessário que 
os vetores 
veAP
 sejam paralelos. 
vtAP
vtAP
tvtAP





 ,
 
Substituindo 
),,( zyxP 
, 
),,( 111 zyxA 
 e 
),,( cbav 

, temos a equação vetorial da 
reta. 
Equação vetorial da reta: 
),,(),,(),,( 111 cbatzyxzyx 
. 
 
Ex.: 
)5,3,1()4,0,1(:  tPr
 
 
 
Equações paramétricas da reta: Da equação vetorial isolamos x, y e z, obtendo assim 
as equações paramétricas da reta 








ctzz
btyy
atxx
1
1
1
. 
Ex.: 








12
4
32
tz
ty
tx
 
Equações simétricas da reta: 
c
zz
b
yy
a
xx 111 



 
 
Ex.: 
35
2
2
3
: 1
zyx
r 




 
 
Equações reduzidas da reta: 
 
)1,,(),1,(),,1(
)0,,(),0,(),,0(
pmvpmvpmv
qnPqnPqnP
qpzy
nmzx
qpyz
nmyx
qpxz
nmxy

















 
 
Professora Marli 45 
Exercícios: 
 
1. Determinar um ponto e um vetor diretor de cada uma das retas: 
 
a) 








tz
ty
tx
2
21
2
 b) 
2
1
12
4





 zyx
 
c) 





zy
zx
21
2
 d) 





xz
xy
42
31
 
e) 





yz
yx
1
 f) 
zyx 
 
 
2. Determinar as equações paramétricas e simétricasda reta que passa pelo ponto 
A(1,3,0) e tem a direção do vetor 
)1,4,3( v

. 
 
3. Determinar as equações reduzidas, sendo y a variável independente, da reta que passa 
pelos pontos A(1,-2,3) e B(3,-1,1). 
 
4. Verificar se os pontos A(3,-1,1) e B(2,1,3) pertencem à reta 
2
1
1
1
2
3
:






 zyx
r
. 
rBerA 
 
 
5. Determine o ponto da reta 








tz
ty
tx
r
2
21
2
:
 que tem abscissa 2. P(2,1,1) 
6. Determinar as equações reduzidas, sendo x a variável independente, da reta que passa 
pelos pontos A(4,0,-3) e tem a direção do vetor 
kjiv

542 
. 






13
2
5
82
xz
xy 
7. Determinar as equações reduzidas, sendo z a variável independente, da reta que passa 
pelos pontos A(-1,0,3) e B(1,2,7). 







2
3
2
1
2
5
2
1
xz
zx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professora Marli 46 
Casos particulares 
Até agora utilizamos as componentes do vetor diretor não nulas, no entanto uma ou 
duas destas componentes podem ser iguais a zero. 
 
1° caso: Uma das componentes do vetor é nula. 
O vetor é ortogonal a um dos eixos coordenados, sendo assim a reta é paralela ao plano 
dos outros dois eixos. 
 
a) Se 
yOzrOxcbva //),,0(,0 

 
 








1
11
xx
c
zz
b
yy
 
Ex.: 








2
3
4
2
1
x
zy 
 
 
 
 
b) Se 
xOzrOycavb //),0,(,0 

 
 








1
11
yy
c
zz
a
xx
 
Ex.: 







3
53
2
y
zx 
 
 
c) Se 
xOyrOzbavc //)0,,(,0 

 
 
 








1
11
zz
b
yy
a
xx
 
Ex.: 





 8,
3
3
2
z
yx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professora Marli 47 
2° caso: Duas componentes do vetor são nulas. 
O vetor tem a direção de um dos vetores 
kouji

,
 e, portanto a reta é paralela a um 
dos eixos coordenados. 
 
a) Se 
xOyrouOzrkcvba  ////),0,0(,0
 














1
1
1
1
1
yy
xx
ctzz
yy
xx
 
 
 
Ex.: 





3
2
y
x
 
 
b) Se 
xOzrouOyrjbvca  ////)0,,0(,0
 














1
1
1
1
1
zz
xx
zz
btyy
xx
 
 
 
 
 
Ex.: 





4
3
z
x
 
 
 
 
c) Se 
yOzrouOxriavcb  ////)0,0,(,0
 














1
1
1
1
1
zz
yy
zz
yy
atxx
 
 
 
Ex.: 





3
1
z
y
 
 
 
 
Os eixos coordenados são retas particulares. 















0
0
:
0
0
:
0
0
:
y
x
Oz
z
x
Oy
z
y
Ox
 
 
 
 
Professora Marli 48 
EXERCÍCIOS: 
1. Determinar um ponto e um vetor diretor de cada uma das retas: 
a) 








3
5
4
3
2
y
zx 
b) 





xz
y
2
2
 
c) 





5
1
z
y
 
d) 





1
5
z
yx
 
2. Determinar as equações das seguintes retas: 
a) Passa por A(1,4,-3) e é paralela ao eixo dos x; 
 
 
 
 
b) Passa por A(4.-6,2) e é perpendicular ao plano xz; 
 
 
 
 
 
c) Passa por A(1,2,-3) e é ortogonal aos eixos dos x e dos y; 
 
 
 
 
 
d) Passa pelos pontos A(2,-3,4) e B(2,-1,3). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Representar graficamente as retas 





3
2
:
z
xy
r
 e 





4
3
:
y
x
s
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professora Marli 49 
Ângulo de duas retas 
 
É o menor ângulo formado pelos vetores 
diretores. 
21
21
cos
vv
vv




, 
2
0

 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
1. Determinar o ângulo entre as seguintes retas: 
a) 





xz
xy
r
2
21
:
 e 
2;
3
1
3
: 


 x
zy
s
. 30º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
2
1
2
6
4
:




zyx
r
 e 








tz
ty
tx
s
43
2
22
:
. 60º 
 
 
2. Determinar o valor de n para que seja de 30º o ângulo entre as retas 
35
4
4
2
:
zyx
r 



 e 





22
5
:
xz
nxy
s
. 7 ou 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professora Marli 50 
 
Condições de paralelismo, ortogonalidade e coplanaridade de duas retas. 
 
Se 
212121 //// vkvvventãorr

 
 
 
 
 
 
 
 
Se 
0212121  vvvventãorr

 
 
Se 
1r
 é coplanar a 
2r
 então 
2121, AAevv
 são coplanares   0, 212,1  AAvv 
. 
 
Retas perpendiculares são retas ortogonais e coplanares. 
021 vv

 e 
  0, 212,1 AAvv 
 
 
Reta ortogonal a duas retas 
Se 
 21
2
1
vvkv
r
r
r


 
 
Professora Marli 51 
Exercícios: 
1. Calcular o valor de m para que as retas 








4
3
3
:
z
ty
tx
r
 e 
6;
1
6
5
: 



z
m
yx
s
 
sejam paralelas. m = - 2 
2. Determinar as equações reduzidas, em função de x, da reta que passa pelo ponto 
A(-2,1,0) e é paralela à reta 
14
4
1
2
:




 zyx
r
. 





2
94
:
xz
xy
s
 
3. Calcular o valor de m para que a reta 





1
3
:
xz
mxy
s
 seja ortogonal à reta 
determinada pelos pontos A(1,0,m) e B(-2,2m,2m). 
2
3
1  mm
 
4. Calcular o valor de m para que as retas 





13
32
:
xz
xy
r
 e 
m
zyx
s 



12
1
:
 
sejam coplanares. m = 4 
 
5. Calcular o ponto de interseção das retas: 
a) 
4
5
32
2
:


 zyx
r
 e 








tz
ty
tx
s
27
2
5
:
; I(4,3,9) 
b) 





14
5
:
xz
y
r
 e 
5;
3
5
2
1
: 




y
zx
s
. I(1,-5,5) 
6. Dadas as retas 
2;
2
1
2
3
: 




x
zy
r
, 





3
2
:
xz
xy
s
 e 








tz
ty
tx
h 31
3
:
, 
determinar: 
a) O ponto de interseção de s e h; I(2,4,-1) 
b) O ângulo entre r e s. 
6
3
arccos
 
7. Estabelecer as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A(3,2,1) e é 
simultaneamente ortogonal às retas 





1
3
:
z
x
r
 e 





3
12
:
xz
xy
s
. 








tz
y
tx
h
1
2
3
:
 
8. Estabelecer as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto de interseção 
das retas 
32
1
2:
zy
xr 


 e 





yz
yx
s
22
1
:
 e é simultaneamente ortogonal 
às retas r e s. 








tz
ty
tx
h
3
51
2
:
 
 
 
Professora Marli 52 
Exercícios gerais:1. Dada a reta 








tz
ty
tx
r
24
3
2
:
, determinar o ponto de r tal que: 
a) a ordenada seja 6; (-1,6,-10) 
b) a abscissa seja igual a ordenada; (5/2, 5/2, -3) 
c) a cota seja o quádruplo da abscissa. (-4,9,-16) 
 
2. O ponto P( m,1,n) pertence à reta que passa por A( 3,-1,4) e B( 4,-3,-1). Determinar 
P. P(2,1,9) 
 
3. Seja o triângulo de vértices A(-1,4,-2), B(3,-3,6) e C(2,-1,4).Escrever equações 
paramétricas da reta que passa pelo ponto médio do lado AB e pelo vértice oposto 
C. 
x = 2 + t, y = -1 – 3/2t, z = 4 + 2t 
 
4. Os pontos M1(2,-1,3), M2(1,-3,0) e M3(2,1,-5) são pontos médios dos lados de um 
triângulo ABC. Obter equações paramétricas da reta que contém o lado cujo ponto 
médio é M1. x= 2 + t, y = -1 + 4t, z = 3 – 5t 
 
5. Obter equações reduzidas na variável x, da reta: 
 
a) que passa por A(4,0,-3) e tem a direção do vetor (2,4,5); y = 2x – 8 , z = 5/2x – 13 
b) que passa pelos pontos A(1,-2,3) e B(3,-1,-1). y= x/2 – 5/2 , z = -2x + 5 
 
6. Representar graficamente as retas de equações: 
 
 






















4
3
)
1
3
)
2
4
)
3
2
)
y
x
d
z
y
c
xz
y
b
z
xy
a
 
 
 
7. Dada a reta 








tz
ty
tx
r
1
:
 e os pontos A(1,1,1) e B( 0,0,1), determine o ponto de r 
eqüidistante de A e B. P(1,0 0) 
 
8. Verifique se as retas 
   
3
1
1
2
1
:0,2,10,1,0:





z
y
x
setPr
 são 
perpendiculares. 
 
 
 
 
 
 
 
Professora Marli 53 
9. Determine o ângulo entre as retas: 
 










2
5
32:
2
2
3
:)
z
yxse
tz
ty
tx
ra
; 60° 
 














0
3
2
1
:
0
3
3
2
:)
y
z
x
se
y
z
x
rb
. 45° 
 
10. Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto de interseção de 








yz
yx
se
zy
xr
22
1
:
32
1
2:
 e é simultaneamente ortogonal a elas. 
x = 2 + t, y = -1 – 5t, z = 3t 
 
11. Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, calcular o ponto de 
interseção. 
 
a) 










1
73
5
32
:
xz
xy
se
xz
xy
r
 I(2,1,3) 
b) 














tz
ty
tx
se
zyx
r
38
4
1
:
4
2
3
1
2
3
:
 I(1,2,-2) 
c) 










2
1
3
4
:
10
32
:
zy
xse
xz
xy
r
 reversas 
d) 
















hz
hy
hx
se
tz
ty
tx
r
131
71
63
:
66
53
2
:
 I(3,8,12) 
e) 













xz
xy
se
tz
ty
tx
r
2
6
:4
2
:
 coincidentes 
 
 (4,5,7) e (0,-3,-1) 
 
12. Decompor o vetor 
v
 =(-2,-6,-1) em dois vetores 
bea
 tais que 
rbera 

//
 sabendo 
que 





1
2
:
zy
zx
r
. 
   2,3,13,3,3  ba
 
 
13. Forme as equações reduzidas em função de x, da reta que possui o ponto P( 2,3,-1) e 
os ângulos diretores são 60°, 120° e 135°. 





2212
5
:
xz
xy
r
 
 
Professora Marli 54 
14. Determine as equações reduzidas, sendo z a variável independente, da reta que 
passa pelo ponto A(3,-6,0) e é paralela à reta r: x = 2y = 3z. 






6
2
3
33
zy
zx 
 
15. Os vértices de um triângulo são O(0,0,0), A(3,4,0) e B(1,2,2). Determine as 
equações reduzidas, sendo z a variável independente, da bissetriz interna do ângulo 
AÔB. 







zz
zx
5
11
5
7
 
 
16. Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto P( 1,0,1) e é 
perpendicular à reta 








tz
y
tx
r
1
0:
. x = 1 + t, y = 0, z = 1 –t 
 
 
17. Dados os pontos A(0,0,1), B( 1,2,1) e C( 1,0,1), obtenha as equações da bissetriz 
interna do triângulo ABC, relativa ao vértice C. x = 1 – t, y = t, z = 1 
 
18. Escreva as equações paramétricas da reta r, que passa pelo ponto A(2,0,-3) e é 
paralela à reta 
6
3
4
3
5
1
:


 zyx
s
. x = 2 – 15t, y = 4t, z = - 3 + 18t 
19. Sejam P( 1,0,1) e Q( 0,1,1). Determine um ponto C da reta PQ tal que a área do 
triângulo ABC seja 
2
1
. 
 
a) A( 1,3,2), B( 2,2,2) não existe C 
 
b) A( 3,-2,1), B( 0,0,1) (2,-1,1) ou (4,-3,1) 
c) Determinar os pontos da reta 








tz
ty
tx
r
23
21
2
:
 que distam 6 unidades do ponto 
A( 2,1,3). (4,5,7) e (0,-3,-1) 
 
20. Dado o ponto A( 3,4,-2) e a reta 








tz
ty
tx
r
24
2
1
:
 , determinar: 
 
a) As equações paramétricas da reta que passa por A e é perpendicular a r; 
x = 3 – 2h, y = 4, z = -2 + h 
 
b) O ponto simétrico de A em relação a reta r. (-5,4,2) 
 
Professora Marli 55 
O PLANO 
 
Equações paramétricas do plano 
 
Seja 
),,( 111 zyxA
 um ponto de um plano 

 e sejam 
),,(),,( 222111 cbavecbau 

 
vetores não colineares (vetores-base do plano). Um ponto 
),,( zyxP
 pertence ao plano 
se, e somente se existem números reais h e t tais que: 
 












tchczz
tbhbyy
tahaxx
cbatcbahzyxzyx
vtuhAP
vtuhAP
vtuhAP
211
211
211
222111111
:
),,(),,(),,(),,(




 
 
 
Estabelecer as equações paramétricas do plano determinado pelos pontos A(1,2,3), 
B(2,3,-1) e C(-1,3,2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professora Marli 56 
Equação geral do plano 
 
Seja 
),,( 111 zyxA
 um ponto de um plano 

 e seja 
),,( cban 

um vetor não nulo, 
ortogonal (normal) ao plano. 
O plano é o conjunto de todos os pontos 
),,( zyxP
 do espaço, tais que os vetores 
neAP
 sejam ortogonais. 
 
0
)(0
0),,(),,(
0
111111
111





dczbyax
czbyaxdczbyaxczbyax
zzyyxxcba
APn
APn


 
 
 
Obs.: Um plano fica determinado quando conhecemos um ponto e um vetor normal. 
Qualquer vetor 
nk
 também é normal ao plano. 
Os coeficientes a,b,c representam as componentes de um vetor normal ao plano, d só é 
conhecido quando temos um ponto do plano. 
O vetor normal é ortogonal a qualquer vetor representado no plano. 
 
Determinar a equação geral do plano: 
 
 Paralelo ao plano 
06352:  zyx
 e que contém o ponto A(5,-2 1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professora Marli 57 
 Perpendicular à reta 





yz
yx
r
24
23
:
 e que contém o ponto A(2,0,-1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Determinado pelos pontos A(-1,2,0), B(2,-1,1) e C(1,1,-1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Que passa pelo ponto A(6,0,-2) e é paralelo aos vetores 
iu


 e 
kjv

 2
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Que contém o ponto A(4,1,0) e é perpendicular aos planos 
0642:1  zyx
 e 
032:2  zyx
.Professora Marli 58 
 Que contém as retas 





2
32
:
xz
xy
r
 e 








1
5
1
3
1
:
y
zx
s
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Que contém as retas 








4
3
:
z
ty
tx
r
 e 








0;
2
1
2
2
: z
yx
s
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professora Marli 59 
Casos particulares 
 
1° caso: Plano que passa pela origem - o termo independente é nulo. 
)0,0,0(O
 
Substituindo na equação geral temos: 
 
0
0)0()0()0(
0



d
dcba
dczbyax
 
A equação geral do plano será 
0:  czbyax
 
 
2° caso: Planos paralelos aos eixos coordenados – uma componente de 
n
 é nula. 
O vetor é ortogonal a um dos eixos coordenados, sendo assim o plano é paralelo ao 
mesmo eixo. 
 
a) Se 
OxOxcbna //),,0(,0   . A equação geral do plano será 
0:  dczby
 
b) Se 
OyOycanb //),0,(,0   . A equação geral do plano será 
0:  dczax 
c) Se 
OzOzbanc //)0,,(,0   . A equação geral do plano será 
0:  dbyax 
Obs.: Se na equação geral de um plano falta uma variável, o plano é paralelo ao eixo 
da variável ausente na equação. 
 
042:  yx 
0632:  zy 
03:  zx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professora Marli 60 
3° caso: Planos paralelos aos planos coordenados – duas componentes de 
n
 são nulas. 
O vetor tem a direção de um dos vetores 
kouji

,
 e, portanto o plano é paralelo ao 
plano dos outros dois vetores. 
 
a) Se 
xOykcnba ////),0,0(,0   
A equação geral do plano será 
1: zz 
 
 
 
4: z
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Se 
xOzjbnca ////)0,,0(,0   
A equação geral do plano será 
1: yy 
 
 
 
3: y
 
 
 
 
 
 
c) Se 
yOziancb ////)0,0,(,0   
A equação geral do plano será 
1: xx 
 
 
 
2: x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os planos coordenados são planos particulares. 
0:
0:
0:



xyOz
zxOy
yxOz
 
 
 
Professora Marli 61 
Equação segmentária do plano. 
Se na equação geral 
0,,,,0:  dcbadczbyax o plano intercepta os eixos 
coordenados nos pontos 
),0,0()0,,0(),0,0,( rReqQpP
 e sua equação pode ser 
representada na forma segmentária. 
As coordenadas dos pontos P, Q e R verificam a equação 
0:  dczbyax
. 
Substituindo o ponto P: 
p
d
adcbpa

 000
 
Substituindo o ponto Q: 
q
d
bdcqba

 000
 
Substituindo o ponto R: 
r
d
bdrcba

 000
 
)(: ddz
r
d
y
q
d
x
p
d


 
1
r
z
q
y
p
x
 
 
 
 
 
 
Determinar a equação geral do plano: 
 Paralelo ao eixo dos z e que contém os pontos A(0,3,1) e B(2,0,-1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Perpendicular ao eixo dos y e que contém o ponto A(3,4,-1). 
 
 
 
 
 
Professora Marli 62 
Identificar os lugares geométricos em : 
 
a) ____________________________________________ 
 
b) ___________________________________________________ 
 
c) __________________________________________________ 
 
d) _______________________________________________________ 
 
e) ________________________________________________________ 
 
f) ____________________________________________________________ 
 
g) __________________________________________________________ 
 
h) __________________________________________________ 
 
 
 
Represente graficamente os planos do exercício anterior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professora Marli 63 
Ângulo de dois planos 
 
É o menor ângulo formado pelos seus vetores 
normais. 
 
21
21
cos
nn
nn




, 
2
0

 
 
 
 
 
 
Calcular o ângulo entre os planos 
0102:1  zyx
 e 
012:2  zyx
. 
 
 
 
 
 
 
 
Condições de paralelismo e perpendicularidade de dois planos. 
 
Se 
212121 //// nknnnentão

 
Se 
0212121  nnnnentão
 
 
 
 
 
 
 
 
Professora Marli 64 
Ângulo entre reta e plano 
 
É o complemento do ângulo que a reta forma com uma reta normal ao plano. 
 

é o ângulo que a reta 
r
 forma com o plano 

. 

é o ângulo que a reta 
r
 forma com uma reta normal ao plano 

. 

é o complemento do ângulo 

. 
Se 
 e
 são ângulos complementares temos 
 sencos
. 
 
 
nv
nv
sen 



, 
2
0

 
 
 
 
 
 
Condições de paralelismo e perpendicularidade entre reta e plano. 
 
Se 
//r
, então 
0 nvnv
 Se 
r
, então 
nkvnv

//
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Condições para que uma reta esteja contida em um plano. 
 
1) 
nv


 e 
2) 
 ArAse ,
 
 
 
 
 
 
Professora Marli 65 
Interseção de dois planos: é uma reta cuja direção é simultaneamente ortogonal aos 
vetores normais dos planos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estabelecer as equações reduzidas, sendo x a variável independente, da reta interseção 
dos planos 
033:1  zyx
 e 
0423:2  zyx
. 
 
 
 
 
 
 
 
Interseção entre reta e plano: é um ponto que pertence à reta e ao plano. 
Determinar o ponto de interseção da reta 
3
32
32:


z
yxr
 com o plano 
0932:  zyx
. 
 
 
 
 
 
 
Professora Marli 66 
EXERCÍCIOS 
1. Seja o plano 
0132:  zyx
, calcular: 
a) O ponto de 

 que tem abscissa 4 e ordenada 3; (4,3,-2) 
b) O ponto de 

 que tem abscissa 1 e cota 2; (1,9,2) 
c) O ponto de abscissa zero e cuja ordenada é o dobro da cota; (0,-2,-1) 
d) O valor de k para que o ponto P(2, k+1, k) pertença a 

. k= -2 
2. Determinar a equação geral do plano mediador do segmento de extremos A(1,-2,6) e 
B(3,0,0). x + y - 3z + 8 =0 
3. Calcular o volume do tetraedro limitado pelo plano 
012423:  zyx
 e pelos 
planos coordenados. 
4. Determinar a equação geral do plano determinado pelos pontos A(2,1,0), B(-4,-2,1) e 
C(0,0,1). x – 2 y =0 
5. Determinar a equação geral do plano determinado pelos pontos A(2,1,3), B(-3,-1,3) e 
C(4,2,3). z =3 
6. Determinar a equação geral do plano que passa pelos pontos A(-3,-1,-2) e B(-1,2,1) e 
é paralelo ao vetor 
kiv 32 
 . 3x-4y+2z+9=0 
7. Determinar a equação geral do plano que contém os pontos A(1,-2,2), B(-3,1,-2) e é 
perpendicular ao plano 
082:  zyx
. x-12y-10z-5=0 
8. Determinar a equação geral do plano que contém as retas: 
a) 
1
3
3
2
2
1
:





 zyx
r
 e 
2
3
1
2
2
1
:






 zyx
s
. 5x-2y+4z-21=0 
b) 





3
:
y
zx
r
 e 








tz
y
tx
s
2
1:
. 2x+y-2z+3=0 
9. Determinar a equação geral do plano que contém o ponto e a reta dados: 
a) A(3,-1,2) e 





