FUNÇÕES QUAL A SUA IMPORTÂNCIA NO DECORRER DO NOSSO COTIDIANO

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MATEMÁTICA
CAPÍTULO 2 – FUNÇÕES: QUAL A SUA 
IMPORTÂNCIA NO DECORRER DO NOSSO 
COTIDIANO?
Thuysa Schlichting de Souza
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Introdução
O estudo das funções é o tema central deste segundo capítulo. Podemos considerá-las como ferramentas
matemáticas que nos permitem descrever e analisar inúmeros problemas das ciências em geral e situações do
nosso próprio cotidiano. Qualquer que seja a forma como uma função está representada: como uma fórmula,
uma tabela de valores ou um gráfico; elas descrevem entre elementos de dois conjuntos, de modo que relações
 do primeiro conjunto é associado elemento do segundo.cada elemento a um único
Algumas funções são descritas mais facilmente por meio de um tipo de representação do que por outro, mas
existe um especial interesse no estudo de funções em que a variável dependente y, também representada por f (x
) — lê-se função fem relação à variável x ou, mais costumeiramente, f de x —, pode ser calculada a partir da
variável independente x por meio de uma fórmula, que chamamos de lei de formação da função. É importante
que consigamos transitar entre essas formas de representação para se obter um entendimento completo da
função.
De modo geral, costuma-se separar as funções em categorias que são definidas a partir das características
principais das suas leis de formação, enquanto expressões algébricas, e das diferentes representações
geométricas, quando representadas no plano cartesiano ou no espaço tridimensional, no caso de funções de uma
ou de duas variáveis independentes, respectivamente. Neste capítulo, vamos tratar especificamente das funções
polinomiais de 1º e de 2º grau, além das funções algébricas e das racionais. Veremos como identificar essas
funções por meio da lei de formação ou da representação gráfica, bem como analisaremos situações e problemas
práticos que envolvem esses conceitos.
Com isso, esperamos que você possa responder às seguintes questões: o que caracteriza uma função como
polinomial do 1º grau ou do 2º grau? O que define as funções algébricas e as racionais? Para que servem essas
funções? Como podemos usá-las nas diferentes áreas de conhecimento?
Vamos estudar!
2.1 Função crescente e função decrescente
Vamos considerar uma função que associa a cada número real um número real , sendo , o triplo de . Dessa
forma, podemos escrever sua lei de formação como , ou . Para compreender melhor o
comportamento de , vamos construir uma tabela relacionando os valores do domínio com sua respectiva
imagem. Observe que o domínio da função é igual a e, portanto, os valores para a construção da tabela serão
tomados de forma arbitrária. Veja na tabela a seguir, os valores da função , para .
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Tabela 1 - Valores da função f(x) = 3x,
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Note que a função determina um conjunto de pares ordenados de números, como 
, cujos primeiros elementos pertencem ao domínio 
 e cujos segundos elementos pertencem à imagem, que neste caso, também correspondem aos número reais 
. Podemos, então, representar cada par ordenado geometricamente por meio de dois eixos perpendiculares,
um horizontal, chamado de , e um vertical, denominado de , conformeeixo das abscissas eixo das ordenadas
figura abaixo.
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Figura 1 - O plano cartesiano e seus quatro quadrantes.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Vamos associar a cada par ordenado que compõe a função um ponto nesse sistema de eixos coordenados, o qual
é conhecido como .sistema de coordenadas cartesianas
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O do par é associado a um ponto no e o é associado primeiro elemento eixo das abscissas segundo elemento
a um ponto no . Assim, o gráfico da função consistirá de todos os pontos , tais que eixo das ordenadas
, com pertencente ao domínio da função. Em outras palavras, como é uma função com domínio , seu
gráfico consistirá em infinitos pares ordenados do tipo . Vejamos como será o gráfico de: ,
com .
VOCÊ O CONHECE?
O filósofo e matemático francês René Descartes formalizou o sistema de coordenadas
cartesianas, em 1637, no apêndice “A geometria” do livro “O discurso do método”. Descartes 
começou a estudar matemática em 1618 e escreveu diversas obras sobre filosofia e
matemática ao longo da vida. Em 1628, ele iniciou seu primeiro livro sobre a física da luz, mas
a publicação foi adiada, quando ele soube da prisão de Galileu. Em vez disso, ele desenvolveu
suas ideias sobre pensamento lógico na obra de 1637. Em 1649, ele foi para a Suécia atuar
como tutor da Rainha Cristina, porém morreu de pneumonia após alguns meses (STEWART,
2014).
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Figura 2 - Gráfico da função f(x) = 3x.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Vamos investigar a variação da função . Analisando a tabela e a figura da função, o que acontece com os
valores de , quando aumentamos os valores de ?
Observe que, à medida que o valor de aumenta, o correspondente valor de também aumenta. Ou seja, para
quaisquer dois elementos pertencentes ao domínio da função, tem-se que, se , então, .
Dessa forma, a função é uma função em todo o seu domínio.crescente 
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Vamos analisar, agora, a função real de variável real dada pela regra . Tomando alguns valores
arbitrários do domínio, podemos construir uma tabela de valores da função, com , e seu gráfico, da seguinte
forma:
Figura 3 - Tabela de valores e gráfico da função g(x) = -1/10 x³.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Observe que, à medida que o valor de aumenta, o correspondente valor de diminui. Em termos matemáticos,
para quaisquer dois elementos , pertencentes ao domínio da função, tem-se que, se , então, 
. Dessa forma, a função é uma função para todos os valores de seu domínio.decrescente 
Vale ressaltar que uma mesma função pode não apresentar o mesmo comportamento (crescente ou decrescente)
em todos os valores do seu domínio. Frequentemente, encontramos funções crescentes em certos subconjuntos
de seu domínio e decrescente em outros. Por exemplo, a função definida no conjunto dos reais e dada pela lei
de formação , isto é, , quando , quando . Vejamos seu gráfico, com :
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Figura 4 - Gráfico da função h(x) = |x|.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Como podemos observar no gráfico da função , no intervalo , se , temos que 
. Ou seja, e, portanto, é crescente. No intervalo , se ,
temos que . Isto é, e, portanto, . Assim, é decrescente
podemos dizer que a função é crescente no intervalo e no intervalo .decrescente 
De modo geral, a construção do gráfico de uma função utilizando o recurso tabular e encontrando alguns pontos
da função não é suficiente para que possamos ter uma ideia global do seu comportamento em todo o domínio.
Sendo assim, precisamos estudar outras ferramentas matemáticas.
Nos próximos tópicos, estudaremos algumas funções elementares e aprenderemos a construir seus gráficos
VOCÊ SABIA?
Atualmente diversos recursos computacionais nos permitem realizar a construção de gráficos
de funções por meio da sua lei de formação. Alguns exemplos são o Excel, o Maple, o
Wolframalpha e o GeoGebra. Este último é um gratuito que, além da visualização desoftware
gráficos de funções, também possibilita uma análise detalhada de seus elementos. Outra
vantagem é que ele pode ser utilizado como aplicativo . Para mais informações, sugerimosweb
acessar o : < >.site https://www.geogebra.org/
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Nos próximos tópicos, estudaremos algumas funções elementares e aprenderemos a construir seus gráficos
utilizando as propriedades destas funções. Vamos começar com as funções polinomiais do 1º grau.
2.2 Equação e função polinomial do 1º grau
Você já conhece o conceito de função, seus elementos principais e as diferentes formas de representá-la. Agora,
vamos estudar um tipo especial de função, chamada de , enfocando suasfunção polinomial do 1º grau
propriedades e utilizando os conceitos já estudados como base para analisá-la de forma detalhada.Inicialmente, vamos identificar o seu uso na resolução de um problema prático para, na sequência, realizarmos
sua formalização matemática. Comecemos pelo seguinte problema: um vendedor de assinaturas de TV a cabo
ganha R$ 2.200,00 de salário base mensal, mais uma comissão de R$ 40,00 por cada assinatura realizada no mês.
Sendo , o número de assinaturas que ele vendeu num determinado mês, como podemos expressar seu salário
total mensal em função de ?
O salário do vendedor é dado por duas parcelas aditivas: a primeira se trata do salário base (SB) de R$ 2.200,00
mensais e a segunda é uma quantia variável (SV), calculada pela comissão de R$ 40,00 por assinaturas vendidas 
 . Para determinar de quanto será seu salário, o vendedor precisa considerar as duas parcelas, ou seja, somar
seu salário base com a parte variável.
Note que a comissão pode ser calculada pela seguinte função: . Portanto, podemos determinar o
salário mensal utilizando a função dada pela soma: , sendo (pois estamos
lidando com quantidade de assinaturas).
Como , podemos observar que essa função apresenta sua lei de formação da forma ,
em que e . Funções que podem ser descritas dessa maneira, com os coeficientes e sendo
números reais e , representam .funções polinomiais do 1º grau
Vejamos outros exemplos:
Vale destacar que, em muitos casos, o domínio da função polinomial do 1º grau não é especificado. Assim, como o
conjunto é o “maior” conjunto numérico para os quais é possível encontrar , você pode assumir que o
domínio será .
De modo geral, as funções polinomiais do 1º grau com variável real são comumente chamadas de .funções afim
E, mais especificamente, as funções da forma são denominadas de , comofunções lineares
é o caso da função apresentada no exemplo anterior.
Na sequência, vamos estudar, mais detalhadamente, as principais características desse tipo especial de função e
aprender a esboçar seu gráfico, utilizando propriedades algébricas.
2.2.1 O gráfico da função polinomial do 1º grau
Vamos esboçar o gráfico da função polinomial do 1º grau dada pela lei de formação e definida no
conjunto dos reais.
Para a construção do seu gráfico, inicialmente atribuiremos valores arbitrários do domínio à variável 
calcularemos o valor de . Como já foi visto, o gráfico será o conjunto de todos os pares ordenados .
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Figura 5 - Construção gráfica da função afim formação f(x) = 2x + 1.
Fonte: Elaborada pela autora, 2018.
Observe que os pares ordenados obtidos representam pontos que estão alinhados no gráfico. O domínio da
função é o conjunto e está representado por todos os valores do eixo das abscissas. Assim, o gráfico será uma
 oblíqua aos eixos das abscissas e das ordenadas.reta
Sabemos que bastam dois pontos para se definir uma reta e, portanto, só é necessário calcularmos dois pontos
da função para realizarmos sua construção gráfica. De modo geral, costuma-se optar pelos pontos que cruzam o
eixo das abscissas e o eixo das ordenadas.
Podemos verificar, na figura, que a reta que representa a função corta o eixo das abscissas no ponto .
Este ponto foi obtido resolvendo-se a equação formação , da seguinte forma: .
Como tem como imagem o zero, dizemos que é o .zero da função 
Vamos examinar agora o ponto , que é o intercepto da reta com o eixo das ordenadas no plano cartesiano.
Para encontrá-lo, realizamos o cálculo de , obtendo o resultado . Note que, quando , a parcela é
anulada, restando apenas o valor de que é igual a 1 na função .
E como é o comportamento de ?
Quando aumentamos os valores de , o correspondente valor de também aumenta. Isto é, para quaisquer 
pertencentes ao domínio, tem-se a relação: . Portanto, pela definição já estudada, a função é
.crescente
A reta que representa a função está “desenhada” abaixo do eixo das abscissas quando , e está acima do
eixo das abscissas quando . Assim, temos duas relações que nos dizem sobre o comportamento da imagem
da função: e .
Agora, vamos investigar o comportamento de outra função polinomial do 1º grau, utilizando os mesmos
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Agora, vamos investigar o comportamento de outra função polinomial do 1º grau, utilizando os mesmos
parâmetros de análise anteriores. Dessa vez, consideramos a função definida no conjunto dos reais e dada pela
lei de formação .
Figura 6 - Construção gráfica da função afim g(x) = -2x + 1.
Fonte: Elaborada pela autora, 2018.
Observe que o gráfico também é uma reta oblíqua aos eixos das abscissas e das ordenadas. A reta cruza o eixo
das abscissas no ponto , pois o resultado da equação (o zero da função ).
O ponto que cruza o eixo das ordenadas do plano, é obtido calculando-se o valor de . Note que, quando 
, a parcela é anulada, restando apenas o valor de que é igual a 1 na função .
Quanto ao comportamento de , podemos verificar que, à medida que aumentamos os valores de , o
correspondente valor de , diminui. Isto é, para quaisquer pertencentes ao domínio, tem-se que: 
. Logo, a função é decrescente.
A reta que representa a função está abaixo do eixo das abscissas quando , e está acima do eixo das
abscissas quando . Assim, temos duas relações que nos dizem sobre o comportamento da imagem da função: 
 e .
Vamos generalizar os resultados obtidos até aqui?
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Vamos generalizar os resultados obtidos até aqui?
O gráfico de uma função polinomial do 1º grau , com , é sempre uma reta oblíqua aos eixos das
abscissas e das ordenadas. Logo, basta calcular dois pontos da função para conseguirmos desenhá-la. Um ponto
interessante é o zero da função, que pode ser obtido resolvendo-se a equação . Isto significa que
a reta que representa uma função polinomial do 1º grau sempre corta o eixo das abscissas em um único ponto, o
qual é indicado pelo par ordenado .
Perceba, ainda, que o gráfico de sempre cruza o eixo das ordenadas no ponto , pois a parcela é
anulada sempre que , como podemos verificar: .
Quanto à variação da função polinomial do 1º grau, é possível afirmar que:
• a função é crescente quando o coeficiente de é positivo, ou seja, ;
• a função é decrescente quando o coeficiente de é negativo, ou seja, .
Além disso, com relação aos valores da imagem da função, podemos afirmar que:
• para as funções crescentes, temos que e ;
• para as funções decrescentes, temos que e .
Na sequência, vamos resolver alguns problemas sobre aplicações da função polinomial do 1º grau que
demandam os conhecimentos estudados até aqui na busca da solução adequada.
2.2.2 Problemas e aplicações
As funções polinomiais do 1º grau nos ajudam a resolver muitos problemas reais, principalmente na área
econômica. Assim, o conhecimento detalhado da sua lei de formação e da sua representação gráfica, pode
auxiliar na tomada de importantes decisões. Agora que já conhecemos este tipo especial de função, bem como
suas características algébricas e geométricas, podemos utilizá-los como ferramentas para interpretar e analisar
os dois problemas a seguir.
Problema 1: Em uma empresa, o custo fixo mensal é igual a R$ 5.000,00; o custo de produção de cada unidade
do produto é R$ 10,00; e o preço de venda de cada unidade desse produto é R$ 15,00. Calcule o custo total
mensal e o lucro com a produção e venda de 3.000 unidades do produto (MORETTIN; HAZZAN; BUSSAB, 2012).
Você sabe o que significa custo variável e custo fixo?
Devemos ter em mente que, para se fabricar um produto, existe um , que é constituído pela soma doscusto fixo
custos que não dependem da quantidade produzida, tais como aluguel, seguros e outros. Existe também um 
, que é formado por custos ligados diretamente à produção e que dependem da quantidade decusto variável
produto produzida. Quando esta produção varia dentro de certos limites (geralmente de pequena amplitude), o
custo variável é obtido pela multiplicação de uma constante pela quantidade produzida (MORETTIN; HAZZAN;
BUSSAB, 2012).
Levando em consideração taisconceitos, vamos sistematizar as informações disponibilizadas no enunciado:
• custo fixo ( ): R$ 5.000;
• custo variável por unidade ( ): R$ 10,00;
• preço de venda por unidade ( ): R$ 15,00;
• quantidade produzida no mês ( ): 3.000.
Observe que o custo total depende da quantidade de produtos produzidos no mês. Sendo assim, existe uma
relação entre eles, que chamaremos de . A variável independente, função custo total , será a quantidade
produzida, enquanto que a variável dependente, , será o custo total.
Note que a função custo total é calculada pela soma dos custos fixo e variável. Em termos matemáticos: 
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Note que a função custo total é calculada pela soma dos custos fixo e variável. Em termos matemáticos: 
. Como o problema pede o valor do custo total mensal, sabendo-se a quantidade
fabricada no mês, basta substituirmos por 3000. Dessa forma, temos a igualdade: 
. Isto é, R$ 35.000,00.
É importante perceber que o lucro total de uma empresa é calculado pela diferença entre a receita e o custo
total de produção. No caso da empresa em questão, a receita é a quantia recebida pela venda da quantidade 
do produto, ou seja, . Portanto, o lucro total será dado pela função lucro: 
. Agora, basta calcularmos , da seguinte forma: 
. Isso significa, que o lucro total da empresa com a produção e venda de
3000 unidades de produto será de R$ 10.000,00.
Vale ressaltar que estamos admitindo que o produto indicado no enunciado seja divisível (como quilogramas ou
litros), logo, os valores de , são números reais positivos. Dito isso, vamos construir os gráficos da função custo e
da função receita.
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Figura 7 - Função custo e função receita se interceptam num ponto cuja abscissa é chamada de ponto crítico.
Fonte: Elaborada pela autora, 2018.
Podemos observar que os gráficos se interceptam no ponto . Neste ponto, a receita e o custo são
iguais e, portanto, o lucro é zero. A abscissa deste ponto é chamada ponto crítico (ou de nivelamento). Assim, se 
, o lucro será positivo, e se , o lucro será negativo, isto é, a empresa terá prejuízo.
Problema 2: um comerciante compra 100 unidades de um produto por R$ 20,00 cada unidade. Ele acrescenta
50% ao custo e passa a vender o produto para seus clientes. Construa um modelo linear que descreva a receita e
o lucro do comerciante em função das unidades vendidas do produto (SILVA; SILVA; SILVA, 2010).
Para calcular a receita do comerciante, em função da quantidade de produto vendida, precisamos encontrar o
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Para calcular a receita do comerciante, em função da quantidade de produto vendida, precisamos encontrar o
valor acrescido ao custo por unidade e depois adicionar esse valor aos R$ 20,00. Sendo assim, o acréscimo será
dado pela multiplicação , que resulta em R$ 10,00. Somando esse valor ao custo por unidade temos: 
. Ou seja, o preço de venda por unidade é de R$ 30,00. Logo, a receita em função da quantidade
vendida será obtida pela fórmula .
Já o lucro por unidade vendida corresponde ao acréscimo de 20% em cada unidade do produto, ou seja, R$
10,00. Portando, o lucro para unidades vendidas será dado pela função .
É importante observar que a quantidade do produto só pode variar de 0 a 100 unidades, pois esta é a
disponibilidade do comerciante para a venda do produto. Assim, o domínio da função receita e da função lucro
será .
Veja outra situação prática que utiliza a ideia de função polinomial do 1º grau na análise da questão.
Neste tópico, você estudou o conceito de função polinomial do 1º grau e pode perceber que se trata de um
conhecimento matemático muito importante, devido a sua aplicação em muitas situações práticas. Na sequência,
estudaremos sobre outro tipo de função polinomial que podem ser empregada em contextos diversos: a função
polinomial do 2º grau.
2.3 Equação e função polinomial do 2º grau
Vamos iniciar nosso estudo das funções polinomiais do 2º grau analisando o problema a seguir: o proprietário
de uma fazenda possui 6.000 metros de arame, com os quais deseja cercar um pasto retangular localizado em
um trecho reto à margem de um rio. Assim, ele precisará cercar apenas três lados, já que o quarto será a própria
margem. Encontre uma função na variável que expresse a área do pasto se o proprietário usar todo o arame
(TAN, 2014).
Vamos denotar de , a largura do pasto retangular e de , o seu comprimento. Note que podemos calcular a área
do pasto multiplicando os respectivos lados e obtemos a expressão: . Já comprimento total da cerca, ou
seu perímetro, é encontrado somando-se os três lados do pasto, isto é, . Como todo o
CASO
Dona Maria trabalha como vendedora numa loja especializada em vendas de eletrodomésticos.
Ela recebe um salário base (SB) de R$ 600,00 mensais, além de uma quantia variável (SV), que
é calculada pela porcentagem de 12% do valor total vendido no mês ( ). Para determinar de
quanto será seu salário no final do mês, Maria precisa somar seu salário base com a parte
variável. Observe que esta última parcela é dada pela seguinte : .função linear
Por exemplo, supondo que Dona Maria vendeu R$ 20.000,00 num mês, sua comissão será
calculada da forma: . Sendo assim, ela receberá a quantia de R$
2.400,00, mais seu salário base no valor de R$ 600,00, obtendo R$ 3.000,00 no mês em
questão. Portanto, Dona Maria consegue calcular seu salário mensal utilizado a função
: .polinomial do 1º grau
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seu perímetro, é encontrado somando-se os três lados do pasto, isto é, . Como todo o
arame será usado para cercar o pasto, temos que e, portanto, . Reescrevendo a expressão de
modo que fique isolado, temos que .
Lembra da expressão da área? Agora, vamos utilizá-la substituindo o valor de por , da seguinte forma: 
. Observe que a área está em função da largura do pasto, assim a função na
variável que expresse a área do pasto tem como lei de formação: .
Agora, precisamos definir o domínio da função. Observe que, e , devem ser números positivos, pois
representam a largura e o comprimento do retângulo, respectivamente. Isto significa, em termos matemáticos,
que . Da última desigualdade, temos que: . Portanto, a função 
tem o domínio .
É importante compreender que a função , do ponto de vista matemático e sem ponderar o
contexto do problema, teria como elementos do domínio todo o conjunto dos números reais.
Observe que a lei de formação da função é uma expressão polinomial de grau 2. Quando uma aplicação 
 e a associa a cada o elemento ( , onde os coeficientes , são números reais e ,
dizemos que é uma ou uma . Sendo assim, sua lei defunção polinomial do 2º grau função quadrática
formação é da forma: .
Observe outros exemplos de funções quadráticas, classificadas de acordo com as características de seus
coeficientes:
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Figura 8 - Reconhecimento dos coeficientes das funções quadráticas.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Note que existem três tipos de funções quadráticas na forma incompleta. Quando , a função é escrita como 
 ou, de maneira fatorada, . Quando , a função é da forma . E, no
último caso, se e , então .
De modo geral, o coeficientes de uma função quadrática não possuem uma denominação especial. Convencionou-
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De modo geral, o coeficientes de uma função quadrática não possuem uma denominação especial. Convencionou-
se chamar , e de coeficiente de , coeficiente de e termo independente, respectivamente.
A seguir, vamos aprofundar as relações entre os coeficientes e os tipos de raízes de uma função quadrática,
respondendo às seguintes questões: como é a lei de formação de uma função quadrática quando suas duas raízes
são iguais a zero? Se uma função quadrática apresenta duas raízes reais distintas, existe alguma característica
especial que pode ser verificada manipulando seus coeficientes? Quais são as características de uma função
quadrática que não apresenta raízes reais?2.3.1 As raízes de uma função quadrática
Recorde que as raízes de uma função são os valores do domínio que são soluções da igualdade: . Dessa
forma, as raízes de uma função quadrática são os valores que satisfazem a equação do segundo grau: 
. Isto significa que é necessário resolver uma equação do segundo grau para que seja possível
identificar as raízes de uma função quadrática.
Então, como podemos resolver uma equação do segundo grau? Uma opção é substituir por valores arbitrários
até encontrar os números que satisfazem à igualdade. Contudo, esta tarefa pode se tornar bastante trabalhosa e
demorada, em muitos casos.
Uma segunda forma mais eficaz é utilizar um algoritmo que determina precisamente quais são as raízes da
função quadrática, o qual é conhecido como fórmula de resolução da equação do segundo grau ou fórmula de
Báskara: .
Vale ressaltar que o símbolo da fórmula indica que devemos usar duas expressões aritméticas para se calcular
o valor de : uma com o sinal antes da raiz quadrada e a outra com o sinal . Portanto, a equação do segundo
grau tem duas soluções e, consequentemente, a função polinomial do 2º grau terá duas raízes.
Vamos utilizar a fórmula de resolução da equação do segundo grau para calcular as raízes de algumas funções
quadráticas apresentadas na tabela anterior:
.
.
Pela fórmula, e .
Portanto, a função quadrática tem duas raízes reais distintas.
.
VOCÊ SABIA?
A fórmula de resolução da equação do segundo grau é famosa no Brasil pelo nome de fórmula
de Báskara. Essa designação se estabeleceu no país na década de 1960, e é aparentemente um
hábito só brasileiro. Não é usual a denominação “de Báskara” para essa fórmula na literatura
internacional. Cabe destacar que Báskara foi um importante matemático do século XII, porém a
fórmula para obter as raízes de uma equação do segundo grau só foi utilizada após o século
XVI, quando começou-se a representar os coeficientes de uma equação por letras (RPM, 1999).
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Pela fórmula, .
Não existem números reais que satisfaçam a equação e, portanto, a função quadrática não tem
raízes reais.
.
Pela fórmula, e .
Verifica-se, então, que a função quadrática tem duas raízes reais distintas.
.
Pela fórmula, .
Portanto, a função quadrática tem duas raízes reais de mesmo valor e iguais a zero.
Podemos observar que a existência de raízes reais para a função quadrática depende de ser um valor real.
Sendo assim, o valor do radicando, ou , determina a quantidade de raízes da funçãodiscriminante
quadrática. De modo geral, quando (positivo), existem duas raízes reais e distintas; quando , existe
uma única raiz real (ou uma raiz dupla); e quando (negativo), não existem raízes reais para a função.
Agora, vamos examinar a forma de cada função quadrática já apresentada e os tipos de raízes em cada caso:
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Tabela 2 - Raízes das funções quadráticas.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Além da relação entre as raízes e o discriminante de uma função quadrática, existem outros resultados
importantes que associam seus coeficientes e suas raízes. Acompanhe a seguir.
• Podemos afirmar que uma função quadrática incompleta do tipo sempre terá uma raiz dupla 
igual a zero. Isto porque, .
• A função quadrática da forma sempre terá duas raízes reais distintas. Observe que, para 
•
•
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• A função quadrática da forma sempre terá duas raízes reais distintas. Observe que, para 
calcular sua raiz, podemos usar a forma fatorada e teremos: . Portanto, um dos termos da 
multiplicação é zero, isto é, ou . As duas soluções possíveis serão: e .
• Por fim, uma função quadrática incompleta do tipo ou não tem raiz real ou tem duas raízes 
distintas. Isto porque, . Então, se , o radicando será negativo e a função 
não terá raiz real. Se , tem-se que .
Perceba que a compreensão da equação do segundo grau não está simplesmente na aplicação da fórmula de
resolução. O processo de resolução é apenas uma consequência do princípio da igualdade. Na sequência, vamos
relacionar os elementos algébricos estudados até aqui com a representação gráfica da função polinomial do 2º
grau.
2.3.2 O gráfico de uma função quadrática
Vamos utilizar o GeoGebra® como ferramenta para a construção do gráfico de três funções polinomiais do 2º
grau definidas no conjunto dos reais e já analisadas anteriormente.
Figura 9 - Gráficos de funções polinomiais do 2º grau.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Observe que os gráficos das três funções são similares quanto ao formato das curvas. Isto porque, o gráfico de
toda função quadrática é uma com concavidade para cima ou para baixo (MORETTIN; HAZZAN;parábola 
BUSSAB, 2012).
•
•
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Podemos perceber que existem diferenças entra as parábolas apresentadas: uma é mais “fechada” ou “aberta” do
que a outra; duas apresentam a concavidade voltada para cima e a outra tem a concavidade para baixo; uma está
deslocada mais para a esquerda do eixo das ordenadas, enquanto as outras duas estão centralizadas.
Vamos estudar, detalhadamente, como os coeficientes das funções quadráticas estão relacionados a tais
características das parábolas.
Primeiro, vamos tratar do ponto da parábola que intercepta o eixo das ordenadas, ou seja, do par ordenado ,
cujo valor é zero. Note que, para , os dois primeiros termos da função quadrática se
anulam. Portanto, o gráfico de uma função quadrática corta o eixo das ordenadas no ponto .
Retomando as funções quadráticas apresentadas na figura anterior, temos que:
• corta o eixo das ordenadas no ponto ;
• cruza o eixo das ordenadas no ponto ; e
• intercepta o eixo das ordenadas na origem do plano cartesiano, ou seja, em ;
Agora, vamos analisar o coeficiente da função quadrática. O sinal de determina a do gráfico daconcavidade
função. É possível afirmar que: quando , a parábola tem concavidade voltada para cima e o gráfico da função
quadrática terá um ponto de mínimo, que chamaremos de . Quando , a parábola tem concavidade voltada
para baixo e, consequentemente, terá um ponto de máximo (MORETTIN; HAZZAN; BUSSAB, 2012).
Observe nos gráficos anteriores que os pontos de máximo ou de mínimo das funções ocorrem quando o
correspondente valor de , que denotaremos de , se encontra no ponto médio de suas raízes . Isto significa
que: .
Pela fórmula de resolução da equação do segundo grau, temos ainda que .
Substituindo estes valores na igualdade anterior, obtém-se: . Assim, é possível determinar o valor 
utilizando os coeficientes da função quadrática.
Lembre-se que a ordenada do vértice é imagem da abscissa do vértice, ou seja, . Realizando os cálculos e
considerando que , obtemos a igualdade: . Sendo assim, o daponto de máximo ou mínimo
função quadrática é dado pelo par ordenado , e é chamado de .vértice da parábola
Veja os vértices de cada função quadrática indicadas na figura anterior e confira os pontos nos respectivos
gráficos:
VOCÊ SABIA?
Define-se uma parábola como “o conjunto de pontos em um plano cujas distâncias a um ponto
fixo F (denominado foco) e a uma reta fixa (chamada diretriz) são iguais”. O vértice é o ponto
na metade do caminho entre o foco e a diretriz está na parábola. O eixo da parábola é a reta
que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz. Foi Galileu quem mostrou, no século XVI, que a
trajetória de um projétil atirado no ar com um certo ângulo, em relação ao solo, é uma
parábola. Desde então, os formatos parabólicos têm sido usados para desenhar faróis de carro,
telescópios e pontes suspensas (STEWART, 2013, p. 606).
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Podemos sistematizar as informações obtidas com a análise do discriminante e dos coeficientes na tabela:
Tabela 3 - Análise dos sinais da função quadrática.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Para facilitar a construção gráfica de uma função quadrática, sugerimos os quatro passos a seguir:
• observar o sinal do coeficiente, uma vez que ele define a concavidade da parábola. Se , a 
concavidade da parábola é voltada para cima. Se , a concavidade da parábola é voltada para baixo;
• encontrar as raízes da função quadrática. Se são suas raízes, os pontos de intersecção da parábola 
com o eixo das abscissas serão ;
• o par ordenado representa o ponto em que a parábola corta o eixo das ordenadas;
• determinar o vértice da parábola que indica qual será o ponto de mínimo (se ) ou de 
máximo (se ) da curva.
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Estudamos de forma detalhada as características de uma função quadrática, seus coeficientes e como identificar
alguns pontos notáveis no seu gráfico. Agora, você está munido dos conhecimentos necessários para resolver
problemas mais elaborados que envolvem o conceito de função quadrática e sua interpretação gráfica.
2.3.3 Problemas e aplicações
Existem diversos problemas que podem ser formulados em termos de funções quadráticas. Por exemplo,
podemos usá-las em estudos de alguns movimentos na Física, na análise de situações econômicas e mesmo em
problemas de geometria.
Vamos estudar, detalhadamente, duas aplicações da função quadrática por meio de problemas resolvidos. Assim,
você terá a oportunidade de verificar como os conceitos estudados até aqui podem ser utilizados na resolução de
problemas práticos. Serão ressaltados os exemplos que exigem a aplicação do conhecimento de raízes da função
quadrática e aqueles que utilizam a ideia de maximização e de minimização da função.
Um problema da Física que pode ser descrito utilizando o conceito de função quadrática é um lançamento
vertical. Sabe-se que a altura , acima do solo, de um objeto lançado verticalmente é dada pela expressão 
, em que é a altura inicial em metros, é a velocidade inicial em metros por segundo e é a
aceleração gravitacional, que vale aproximadamente 9,8 m/s² (BAUER; WESTFALL; DIAS, 2012).
Imagine que uma bola é lançada verticalmente para cima, partindo do solo, com uma velocidade de 39,2 m/s².
Pense nas questões: como podemos expressar a altura , em metros, em função do tempo , em segundos,
decorrido após o lançamento do objeto? A função terá raízes reais? O que elas representam no contexto do 
problema? Qual é a altura máxima atingida pela bola?
Vamos iniciar a análise do problema, considerando as informações fornecidas no enunciado. A primeira
informação dada é que a bola é lançada do chão, o que significa que sua altura inicial é zero e, em termos
matemáticos: . Além disso, sabemos que a velocidade inicial será de 39,2 m/s², ou seja, .
Agora, podemos substituir estes valores na expressão , e obtemos a função adequada ao
problema: .
Note que a altura está variando de acordo com o tempo. Como não faz sentido considerarmos tempo com valores
negativos, o domínio da função , será o conjunto dos números reais positivos, ou seja, .
Para determinarmos as raízes de , precisamos resolver a equação do 2º grau: Repare que
esta função é da forma , assim podemos calcular sua raiz usando sua forma fatorada .
Desse modo, . As duas soluções possíveis serão: e . Isso significa
que a bola atingirá novamente o chão (altura zero) após 8 segundos do momento em que foi lançada.
Como , o gráfico da função tem a concavidade voltada para baixo, e, portanto, existe uma altura
VOCÊ QUER LER?
Acabamos de aprender que o gráfico de uma função polinomial do 2º grau é representado por
uma parábola, cujo eixo de simetria é paralelo ao eixo das ordenas. Contudo, existem parábolas
que não expressam uma função. Você pode entender melhor este assunto e saber mais sobre
as aplicações das parábolas em situações da vida real, lendo o artigo de Eduardo Wagner
(2004), que é intitulado: “Por que as antenas são parabólicas?”, disponível em:<http://www.
>.ufrgs.br/espmat/disciplinas/geotri/modulo4/complementos/antenas_parabolas1.pdf
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Como , o gráfico da função tem a concavidade voltada para baixo, e, portanto, existe uma altura
máxima que a bola poderá alcançar. Para determiná-la, precisamos encontrar os valores do vértice 
da função . Substituindo os valores dos coeficientes, obtemos que . Isto é, a bola atingirá o ponto
mais alto de 78,4 metros após quatro segundos decorridos do seu lançamento.
Vejamos o gráfico da trajetória realizada pela bola:
Figura 10 - Representação gráfico da função h(t) = 39,2t – 4,9t2.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Este exemplo da área da Física nos permite perceber que, em situações reais, o domínio da função precisa ser
adequado às condições da natureza da variável em questão. Além disso, a ideia de máximo de uma função
quadrática foi essencial para a análise da situação. Agora, vamos examinar um problema de maximização
aplicado para uma situação econômica.
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O problema que discutiremos, a seguir, apresenta uma situação econômica para ser resolvida. Estudamos
anteriormente, neste capítulo, que, quando o preço de um produto é constante, a função receita é dada por uma
função polinomial do 1º grau. Porém, é possível obter a função receita na forma de uma função polinomial do 2º
grau nos casos em que o preço do produto pode ser modificado.
Segundo Tan (2014, p. 82), “em uma economia de livre mercado, a de consumo por determinado bemdemanda 
depende do preço unitário”. Dessa forma, uma função de- manda pode ser definida por , sendo mede o
 preço por unidade e o número de unidades demandadas do bem em questão. Esse valor é muito importante,
 pois a receita total de uma empresa é calculada de acordo com a quantia recebida pela venda da quantidade
total do produto.
Considerando esses conceitos, suponha que uma empresa produz e vende uma quantidade de um produto e
que sua função demanda seja . Qual é a quantidade do produto que proporciona a máxima
receita e o valor dessa máxima receita?
Sabemos que a receita total é dada por . Substituindo pelos valores fornecidos no enunciado, temos
que: .
Observe que a função receita é uma função polinomial do 2º grau, cujo coeficiente tem sinal negativo. Logo, oa
gráfico da função é uma parábola com concavidade voltada para baixo e existirá um ponto de máximo. Podemos
inferir, então, que a receita máxima obtida pela empresa será o da função receita.
Já vimos que o vértice de uma função quadrática é da forma: . Substituindo os valores dos
coeficientes, tem-se que . Sendo assim, a de R$ 4.900,00 será obtida quando amáxima receita 
demanda for de 400 unidades do produto.
Note ainda que as raízes da função são os valores para . Ou seja, e .
Portanto, a função só é definida no intervalo , uma vez que os valores de negativos não teriam
significado ( é a quantidade produzida) e valores de maiores do que 700 geram uma receita negativa, e isso
também não tem significado.
VOCÊ QUER LER?
O artigo de Geraldo Ávila (2004), intitulado “Funções e gráficos num problema de freagem”,
apresenta um exemplo concreto de aplicação da função quadrática. O autor desenvolve os
conceitos de variável e de função quadrática como variabilidade das grandezas envolvidas. As
conclusões do artigo são interessantes para complementar nossos estudos. O texto está
disponível em: <http://www.ufrgs.br/espmat/disciplinas/funcoes_modelagem/modulo_IV
>./pdf/funcoes_graficos.pdf
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Podemos perceber que as funções polinomiais do 2° grau são empregadas no estudo de muitas situações e
problemas práticos. Por isso, é importante conhecermos as propriedades algébricas de uma função quadrática e
sua relação com a representação gráfica. Os problemas de otimização, de máximos e mínimos, destacam-se como
aplicações da função quadrática e podem ser usados em diversas áreas do conhecimento, como na Física e na
Economia.
Na sequência, estudaremos outro tipo especial de função e que utiliza os conhecimentos sobre polinômios e
expressões algébricas aprendidos anteriormente.
2.4 Funções algébricas e funções racionais
Outra classe importantede funções são as funções racionais. Uma função racional é definida como o quociente de
dois polinômios. Isto é, uma função da forma , onde e são polinômios.
Como a divisão por zero não é permitida, o domínio de uma função racional é o conjunto de todos os números
reais, exceto os valores que anulam o polinômio , isto é, as raízes da equação .
Veja, a seguir, os exemplos de funções racionais e seus domínios.
A função tem como domínio , pois anula ;
A função tem como domínio , uma vez que os valores e anulam 
 .
Assim como fizemos com as funções polinomiais, podemos determinar os zeros ou raízes de uma função
racional. Note que as raízes de uma função racional são os valores do seu domínio para os quais o numerador
se anula, ou seja, . Por exemplo, a raiz da função é . Já a função tem como suas raízes e ,
pois ou . Daí, resolvendo as equações, temos as duas raízes.
A análise das propriedades das funções racionais é facilitada pelo uso das ferramentas de cálculo mais avançadas
que ainda não serão estudadas aqui. No entanto, o conhecimento sobre fatoração e sobre funções polinomiais já
realizados permitem o estudo e o esboço do gráfico de algumas funções racionais específicas.
Observe os gráficos das funções racionais abaixo:
VOCÊ QUER VER?
No vídeo (ROMAN, 2012), dois personagens estão preocupados com a quantiaRoda de samba 
arrecadada em um evento que foi promovido objetivando levantar fundos para uma
comunidade. É verificado, então, que a arrecadação pode ser calculada em função do preço do
convite e modelada como uma função quadrática. No vídeo, discute-se como obter as
coordenadas do ponto de máximo dessa função, utilizando as propriedades de simetria do
gráfico da função quadrática. Para assisti-lo, acesse: <https://www.youtube.com/watch?
>.v=DXPHL7IU-hk
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Figura 11 - Gráficos de funções racionais cujas leis de formação podem ser simplificadas.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Os gráficos foram obtidos após a simplificação das funções racionais, utilizando as técnicas de fatoração já
estudadas. Veja:
.
.
.
Note que não pertence ao domínio da função , por isso não pertence ao gráfico da função. Nesse caso,
indicamos a inexistência da imagem utilizando uma “bola aberta” no ponto . O mesmo acontece com as
funções e que não apresentam imagem para e , respectivamente.
É importante que você compreenda o conceito de funções racionais, como determinar seu domínio e suas raízes.
Contudo, não aprofundaremos sua análise gráfica, pois ainda não desenvolvemos as ferramentas necessárias
para isso. De qualquer forma, aconselhamos a utilização de computacionais para investigar osoftwares
comportamento das funções racionais. Indique funções racionais arbitrárias e observe o que acontece com os
valores da função à medida que deslocamos os valores do domínio para a esquerda ou para a direita.
Você perceberá que não é possível fazer generalizações sobre o gráfico das funções racionais, mas poderá
verificar algumas regularidades.
As funções elementares apresentadas no capítulo são fundamentais para seus estudos futuros. São inúmeras as
aplicações das funções polinomiais e das funções racionais nas mais diversas áreas do conhecimento. Por isso, é
importante que você consiga transitar entre as representações algébricas e geométricas das funções.
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Síntese
Neste segundo capítulo, você teve a oportunidade de estudar o conceito de função polinomial do 1º, de função
polinomial do 2° grau e de funções racionais, bem como analisar suas propriedades de forma detalhada. Você
pode observar ainda que essas funções auxiliam na resolução de diversos problemas práticos e que seus gráficos
podem auxiliar na visualização de características importantes desses problemas.
Neste capítulo, você teve a oportunidade de:
• identificar e estudar as principais características da função polinomial do 1º grau;
• construir e analisar o gráfico da função polinomial do 1º grau;
• aplicar os conhecimentos de função polinomial do 1º grau em situações reais;
• reconhecer a lei de formação de uma função polinomial do 2° grau;
• resolver equações do 2° grau utilizando diferentes métodos;
• construir e analisar os gráficos de funções polinomiais do 2° grau;
• resolver problemas práticos envolvendo a função polinomial do 2° grau;
• identificar e estudar as principais características da função racional.
Bibliografia
ÁVILA, G. Funções e gráficos num problema de freagem. In: . Brasília: MEC,Explorando o ensino da Matemática
2004. Disponível em: <http://www.ufrgs.br/espmat/disciplinas/funcoes_modelagem/modulo_IV/pdf
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BAUER, W.; WESTFALL, G. D.; DIAS, H. : Mecânica. Porto Alegre: AMGH, 2012.Física para Universitários
GEOGEBRA. 2018. Disponível em: < >. Acesso em: 28/05/2018.https://www.geogebra.org/
HOFFMANN, L. D.; BRADLE , G. L. um curso moderno e suas aplicações. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC,Y Cálculo:
2011.
MORETTIN, P. A.; HAZZAN, S.; BUSSAB, W. funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Saraiva, 2012.Cálculo:
RPM. A fórmula é de Bhaskara? . Volume 39. São Paulo: RPM, 1999.Revista do Professor de matemática
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ROMAN, P. . Canal M3 Matemática Multimídia, ouTube, publicado em 18 de março de 2012.Roda de Samba Y
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SILVA, S. M. de; SILVA, M . E; SILVA, E. M. . São Paulo: Atlas, 2010.Matemática básica para cursos superiores
STEWART, I. uma história da matemática dos primeiros números à teoria do caos. Rio deEm busca do infinito:
Janeiro: Zahar, 2014.
STEWART, J. , volume 2. São Paulo: Cengage Learning, 2013.Cálculo
TAN, S. T. . São Paulo: Cengage Learning, 2014.Matemática Aplicada a Administração e Economia
WAGNER, E. Por que as antenas são parabólicas? In: . Brasília: MEC, 2004.Explorando o ensino da Matemática
Disponível em: <http://www.ufrgs.br/espmat/disciplinas/geotri/modulo4/complementos/antenas_parabolas1.
>. Acesso em: 26/06/2018.pdf
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	Introdução
	2.1 Função crescente e função decrescente
	2.2 Equação e função polinomial do 1º grau
	2.2.1 O gráfico da função polinomial do 1º grau
	2.2.2 Problemas e aplicações
	2.3 Equação e função polinomial do 2º grau
	2.3.1 As raízes de uma função quadrática
	2.3.2 O gráfico de uma função quadrática
	2.3.3 Problemas e aplicações
	2.4 Funções algébricas e funções racionais
	Síntese
	Bibliografia