Exerc 2015.1 Rev AP2 Matemática Financeira

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UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2014/I) EXERCÍCIOS PARA REVISÃO: AP2 
Profa. Coorda. MARCIA REBELLO DA SILVA 
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Exercícios para Revisão: AP2 
 
LEIA COM TODA ATENÇÃO 
 
 Nas Avaliações Presenciais: 
Não serão consideradas as questões se: (1) todos os cálculos não tiverem sidos efetuados e 
evidenciados na folha de resposta; (2) o desenvolvimento estiver errado; (3) o desenvolvimento for 
pelas teclas financeiras de uma calculadora; (4) a resposta não estiver correta ou não estiver com a 
unidade quando necessária na folha de resposta. 
Todos os cálculos efetuados e respostas deverão ser à tinta com caneta esferográfica azul 
ou preta, se estiverem a lápis não será feita revisão da questão. 
É imprescindível calculadora científica e não será permitido o uso de celular durante a 
avaliação. 
 
Abaixo o FORMULÁRIO que será fornecido junto com as questões nas avaliações, portanto, 
aconselha-se ao fazerem os exercícios propostos a seguir usando o formulário. 
 
FORMULÁRIO 
 
S = P + J J = P i n S = P (1 + i n) D = N −−−− V 
 
N = (Vr) (1 + i n) Dr = (Vr) (i) (n) Dr = .N i n Dc = N i n 
 1 + i n 
 
Vc = N (1 −−−− i n) ief = . i S = P (1 + i)n J = P [(1 + i)n −−−− 1] 
 1 − i n 
 
S = R [(1 + i)n −−−− 1] = R (sn┐i) S = R [(1 + i)n −−−− 1] (1 + i) = R (sn┐i ) (1 + i) 
 i i 
 
A = R [1 −−−− (1 + i)−−−− n] = R (an┐i) A = R [1 −−−− (1 + i)−−−− n] (1 + i) = R (an┐i) (1 + i) 
 i i 
 
A = R A = R (1 + i) 
 i i 
 
Cn = . In . −−−− 1 Cac = . In −−−− 1 
 In−1 I0 
 
Cac = [(1 + C1) (1 + C2)…(1 + Cn)] −−−− 1 (1 + i) = (1 + r) (1 + θθθθ) 
 
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LEMBRETE: 
 O CONTEÚDO DA AP 2: UA 8 à UA 15. 
 
 
 
1) Um terreno está sendo vendido por $ 37.000 à vista; e a prazo com uma entrada e mais prestações 
mensais de $ 2.108 durante quatro anos. Qual seria o valor da entrada se a taxa de juros cobrada no 
financiamento for 36% a.s. composta mensalmente? (UA 8) 
 
Entrada = X = ? Preço à vista = $ 37.000 i = (36%) (1/6) = 6% a.m. 
R = $ 2.108/mês n = (4) (12) = 48 
Solução: Trata-se de uma Anuidade Modelo Básico, onde o valor atual (A) é igual a: 
 R [1 − (1 + i)−n] 
 i 
Data Focal = Zero 
 Preço a Prazo(DF = 0) = Preço à Vista(DF = 0) 
Preço a Prazo(DF = 0) = X(DF = 0) + A(DF = 0) 
 
Preço a Prazo(DF = 0) = X + 2.108 [1 − (1,06)− 48]
 
 
 0,06 
Preço à Vista(DF= 0) = $ 37.000 
 
Equação de Valor: DF = Zero X + 2.108 [1 − (1,06)− 48]
 
= 37.000 
 0,06 
X = $ 4.009,74 
Resposta: $ 4.009,74 
 
 
2) O Banco de Desenvolvimento emprestou para a Indústria Sulivan S.A, $ 740.000 que foram 
entregues no ato, sem prazo de carência. Sabendo-se que a taxa de juros cobrada pelo banco é de 2,5% 
a.b, tabela “Price”, e que a devolução deve ser feita em dez parcelas quadrimestrais. Calcular o valor 
dos juros no segundo quadrimestre. (UA 13) 
 
 
A = $ 740.000 taxa = 2,5% a.b. (Tabela “Price”) 
 Dez parcelas quadrimestrais 
Jk = 2 = ? 
 
Solução: Tabela “Price” é uma variação do Sistema de Amortização Francês (usa taxa proporcional) 
 i = (2,5%) (2) = 5% a.q. 
 
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Sistema de Amortização Francês: As prestações são obtidas pelo cálculo do valor atual (A) de uma 
anuidade de modelo básico, onde: A = R [1 − (1 + i)−n] 
 i 
 740.000 = Rk [1 − (1,05)−10] 
 0,05 
 Rk = $ 95.833,39 (Sist. de Amort. Francês => Prestações são iguais) 
Rk = 1 = Rk = 2 = . . . = Rk = 10 = $ 95.833,39 
Jk = 2 = (i) (SDk−1) 
 SDk=1 = SDk=0 −−−− Amk=1 
Amk=1 = Rk=1 − Jk=1 
Jk=1 = (i) (SDk=0) 
 
Jk=1 = (0,05) (740.000) = $ 37.000 
Amk=1 = 95.833,39 − 37.000 = $ 58.833,39 
 SDk=1 = 740.000 −−−− 58.833,39 = $ 681.166,61 
Jk = 2 = (0,05) (681.166,61) 
Jk = 2 = $ 34.058,33 
Resposta: $ 34.058,33 
 
 
3) Foi depositado em um fundo de investimento uma determinada quantia para serem feitas retiradas 
ao final de cada mês no valor de $ 21.700. Se a rentabilidade do fundo for 2,5% a.m, quanto foi 
depositado inicialmente neste fundo? (UA 10) 
 
Dep. inicial = X = ? i = 2,5% a.m. R = $ 21.700/mês 
Solução: 
Como não está explícito no problema o número de termos e nem quando ocorre o último termo, 
então, o número de termos será infinito. (Perpetuidade postecipada: com os termos acontecendo no 
final de mês). 
∑ Dep.(DF = 0) − ∑ Ret.(DF = 0) = Saldo(DF = 0) 
∑ Dep.(DF = 0) = X 
∑ Ret.(DF = 0) = A = R = 21.700 
 i 0,025 
Saldo(DF = 0) = 0 
Equação de Valor: Data Focal = Zero X = 21.700 
 0,025 
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 X = $ 868.000 
Resposta: $ 868.000 
 
 
4) Foi depositado ao final de cada quadrimestre $ 1.690 durante dois anos em um fundo de 
investimentos. Se a rentabilidade da mesma for 12% a.a. composto quadrimestralmente; qual será o 
saldo um ano após o último depósito? (UA 8) 
 
R = $ 1.690/quad. 
Prazo = (2 anos) (3 quadr.) = 6 quad. => n = 6 
 (1 ano) 
i = (12%) (1/3) = 4% a.q. 
Saldo = X =? → 6 + 3 = 9º quad. 
Solução: 
 O valor acumulado "S" de uma anuidade simples de "n" termos feitos no fim dos períodos é o 
valor datado equivalente do conjunto desses termos devidos no final do prazo da anuidade, isto é, no 
final do último período - último termo. ("S" => anuidade de modelo básico: as anuidades que são 
simultaneamente temporárias, constantes, imediatas postecipadas, e periódicas.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação de Valor: Data Focal = Nove Quadrimestres 
∑ Dep.(DF = 9) − ∑ Ret.(DF = 9) = Saldo(DF = 9) 
∑ Dep.(DF = 9) = S (1,04) (9 − 6 = 3) 
Para o cálculo do “S”, usaremos a fórmula seguinte. 
 S = R [(1 + i)n − 1] 
 i 
∑ Dep.(DF = 9) = 1.690 [(1,04)6 − 1] (1,04)(3) 
 0,04 
∑ Ret.(DF = 9) = 0 
Saldo(DF = 9) = X 
R = $ 1.690/quad. 
0 1 6 
DF 
 S Prazo = n = 6 
i = 4% a.q Quad. 
DF 
Saldo = X = ? 
9 
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Equação de Valor (DF = 9 quad.): 1.690 [(1,04)6 − 1] (1,04)(3) = X 
 0,04 
 X = $ 12.609,42 
Resposta: $ 12.609,42 
 
 
5) Qual seria o preço de um terreno à vista se a prazo tem que pagar prestações mensais a vencer de $ 
1.080 durante três anos e se a loja cobrar uma taxa de juros de 3% a.m? (UA 11) 
 
Preço à vista = X -= ? n = (3) (12) = 36 i = 3% a.m. 
R = $ 1.080/mês 
 
Solução: Trata-se de uma Anuidade Antecipada, por que os termos são a vencer, isto é, os termos 
são efetuados no início de cada período, onde o valor atual ouvalor descontado (A) é igual a: 
R [1 − (1 + i)−n]
 
(1 + i) 
 i 
O Valor Descontado, "A", de uma anuidade antecipada de "n" termos feitos no início de cada 
período é o valor datado equivalente do conjunto desses termos devidos, no início do prazo, isto é, o 
início do primeiro período. 
 
 Preço a Prazo(DF = 0) = Preço à Vista(DF = 0) 
Preço a Prazo(DF = 0) = Prestações Antecipadas(DF = 0) = A (Anuid. Antecipada) 
X = 1.080 [1 − (1,03)− 36]
 
(1,03) 
 0,03 
 X = 1.080 [1 − (1,03)− 36]
 
(1,03) 
 0,03 
X = $ 24.286,20 
Resposta: $ 24.286,20 
 
 
6) Se em um investimento em um fundo de renda fixa a taxa efetiva foi de 35% ao período, calcular a 
taxa real, se neste mesmo período, a taxa de inflação foi de 17%. (UA 15) 
 
 i = 35% θ = 17% r = ? 
Solução: (1 + i) = (1 + r) (1 + θθθθ) 
 (1,35) = (1 + r) (1,17) 
 r = (1,35) − 1 
 (1,17) 
r = 15,38% ao período 
Resposta: 15,38% ao período 
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7) São emprestados $ 819.000 pelo Sistema de Amortização Hamburguês para ser devolvido 
prestações mensais, durante cinco trimestres. Se a taxa de juros for 4% a.m, qual será o valor da 
décima prestação? (UA 12) 
 
P = $ 819.000 n = (5) (3) = 15 i = 4% a.m. RK=10
 
= ? 
Solução: 
Sistema de Amortização Hamburguês ⇒ Sistema de Amortização Constante (As 
amortizações são iguais). 
 
AmK=1
 
= AmK=2
 
 = . . . . = AmK = n
 
 
Am
 
= (819.000) (1/15) = $ 54.600/mês 
 
RK =10
 
= AmK=10
 
+ J
 K=10 
JK = 10 = (i) (SDK = 9) 
SDK= 9 = (SDK= 0) − (K) (Am)
 
SDK= 9 = 819.000 − (9) (54.600) = $ 327.600
 
Ou SDK= 9 = (15− 9) (819.00) = $ 327.600 
 15 . 
Jk = 10
 
= (0,04) (327.600) = $ 13.104 
RK = 10
 
= 54.600 + 13.104 
RK = 10
 
= $ 67.704
 
Resposta: $ 67.704 
 
 
8) Dado o seguinte fluxo de caixa de um projeto: 
Dado (meses) Fluxo de Caixa ($) 
Investimento 233.000 
2 (45.000) 
3 197.000 
5 138.000 
6 (19.000) 
 
Pergunta-se se este projeto será viável a taxa mínima de atratividade de 3% a.m. pelo método VPL. 
 (UA 14) 
Solução: Equação de Valor na Data Focal = Zero. 
VPL = − 233.000 − 45.000 (1,03)−2 + 197.000 (1,03)−3 + 138.000 (1,03)−5 − 19.000 (1,03)−6 
VPL = $ 7.993,90 
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Resposta: $ 7.993,90 => é Viável 
 
 
9) Uma poupança de $ 47.000 deve ser acumulado em depósitos bimestrais vencidos de $ 700. Se o 
fundo render 2,5% a.b, quantos depósitos bimestrais serão necessários para acumular tal quantia? 
(UA 9) 
 
S = $ 47.000 i = 2,5% a.b. R = $ 700/bim. n = ? 
Solução: Data Focal = ”n” meses (Trata-se de um modelo básico) 
 
 
 
∑ Dep.(DF = n) − ∑ Ret.(DF = n) = Saldo(DF = n) 
∑ Dep.(DF = n) = S (Anuidade de modelo básico) 
Para o cálculo do “S”, usaremos a fórmula seguinte (que se encontra no formulário). 
 S = R [(1 + i)n − 1], 
 i 
∑ Dep.(DF = n) = 700 [(1,025)n − 1] 
 0,025 
∑ Ret.(DF = n) = 0 
Saldo(DF = n) = $ 47.000 
Eq de Valor (DF = n meses): 700 [(1,025)n − 1] = 47.000 
 0,025 
 
 
Nota: O desenvolvimento não pode ser feito através das teclas financeiras de uma HP-12C, tem 
que ser por álgebra (logarítmo neperiano ou decimal: usando as teclas científicas). 
 
 
R = $ 700/bim. 
0 1 n 
DF 
S n = ? 
i = 2,5% a.b. Bim. 
Termos Postecipados 
Modelo Básico 
$ 47.000 
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(1,025)n − 1] = (47.000) (0,025) 
 700 
 (1,025)n − 1 = 1,68 (No mínimo duas casas) 
(1,025)n = 2,68 
Aplicando o logaritmo neperiano em ambos os lados da equação fica: 
Ln (1,025)n = Ln (2,68) 
Lembrando que: Ln Ab = b Ln A 
n Ln (1,025) = Ln (2,68) 
n = Ln (2,68) 
 Ln (1,025) 
n = 39,92 
Resposta: ≈ 40 
 
 
10) Uma casa está sendo vendido à vista por $ 37.000; e a prazo com uma entrada e mais prestações 
mensais de $ 2.100 durante quatro anos. Qual seria o valor da entrada se a taxa de juros cobrada no 
financiamento for 42% a.s? (UA 11) 
 
Entrada = X = ? Preço à vista = $ 37.000 is = 42% a.s. 
R = $ 2.100/mês n = (4) (12) = 48 
Solução: 
 ���� Como o período dos termos não coincide com o período de capitalização da taxa 
(anuidade geral), então, temos que mudar a capitalização da taxa de juros que é ao semestre 
(capitalização semestral) para taxa de juros ao mês (capitalização mensal) que tem que ser 
através de taxa equivalente. 
 
P(1 + is)1= P (1 + im)6 
1,42 = (1 + im)6 
im = (1,42)1/6 − 1 
im = 6% a.m. 
Taxa mensal (6% a.m); Prestações mensais; prazo = 48 meses => Modelo Básico de uma Anuidade. 
 
Preço a Prazo(DF= 0) = Preço à Vista(DF= 0) 
Data Focal = Zero 
 
Preço a Prazo(DF= 0) = E(DF=0) + A(DF= 0) 
Preço a Prazo(DF= 0) = E + R [1 − (1 + i)−n] 
 i 
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Preço a Prazo(DF= 0) = E + 2.100 [1 − (1,06)−48]
 
 
 0,06 
Preço à Vista(DF= 0) = $ 37.000 
Equação de Valor: Data Focal = Zero E + 2.100 R (a48 6%) = 37.000. 
E + 2.100 [1 − (1,06)−48]
 
= 37.000 
 . 0,06 
E + 32.865,06
 
= 37.000 
E = $ 4.134,94 
Resposta: $ 4.134,94 
 
 
11) Inicialmente foi depositado $ 97.300, depois foram feitas retiradas mensais durante dois anos e 
ainda restar um saldo de $ 2.200 após a última retirada. Se a taxa de juros for 36% a.a. capitalizado 
mensalmente qual será o valor de cada retirada. (UA 8) 
 
Depósito inicial = $ 97.300 R = ? ($/mês) → n = (2) (12) = 24 
Saldo = $ 2.200 → 24º mês i = (36%) (1/12) = 3% a.m. 
Solução: Data Focal = 24 meses. 
∑ Dep.(DF = 24) − ∑ Ret.(DF = 24) = Saldo(DF = 24) 
 
∑ Dep.(DF = 24) = 97.300 (1,03)24 
 
∑ Ret.(DF = 24) = S = R [(1 + i)n − 1] = R [(1,03)24 − 1] 
 i 0,03 
Saldo(DF = 24) = $ 2.200 
 
Eq. de Valor: DF = 24 meses 97.300 (1,03)24 − R [(1,03)24 − 1] = 2.200 
 0,03 
97.300 (1,03)24 − 2.200 = R [(1,03)24 − 1] 
 0,03 
195.590,87 = R [(1,03)24 − 1] 
 0,03 
 R = $ 5.681,41 
Resposta: $ 5.681,41 
 
 
12) Se o montante for $ 33.200, o prazo um ano e meio, a taxa real 2,5% a.m, e a inflação 6% a.m, 
qual seria o principal? (UA 15) 
 
 S = $ 33.200 n = 1,5 ano = 18 meses r = 2,5% a.m. 
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 θ = 6% a.m. P= ? 
Solução: (1 + i) = (1 + r) (1 + θθθθ) 
 (1 + i) = (1 + 0,025) (1 + 0,06) ⇒ (1 + i) = 1,0865 
 S = P (1 + i)n 
 33.200 = P (1,0865)18 
 P = $ 7.457,67 
Resposta: $ 7.457,67 
 
 
13)Uma máquina está sendo vendida à vista por $ 10.000, e a prazo tem que dar uma entrada de $ 
2.000, e mais quinze prestações mensais; sendo que a primeira prestação quatro meses após a compra. 
Se a taxa de juros cobrada no financiamento for 4,5% a.m, qual será o valor de cada prestação? 
(UA 10 e UA 11) 
 
Preço à vista = $ 10.000 i = 4,5% a.m. 
n = 15 E = $ 2.000 
R = ? (1ª prestação: 4º mês) 
Solução 1: Equação de Valor: Data Focal = Zero 
 
 
Preço a Prazo(DF) = Preço à Vista(DF) 
Preço à Vista(DF = 0) = Preço a Prazo(DF = 0) 
Preço a Prazo(DF = 0) = Entrada(DF = 0) + Prestações(DF = 0) 
Entrada(DF = 0) = $ 2.000 
Prestações(DF = 0) = A (1,045)−3 = R [1 − (1,045)−15] (1,045)−3 
 0,045 
$ 10.000 
0 1 18 
 DF 
Prazo = n = 15 
3 + 15 = 18 
i = 4,5 % a.m. 
meses. 
R = ? 
A 
4 3 
Termos Postecipados 
DF 
 
 $ 2.000 
Início Final 
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Eq. de Valor: DF = Zero 10.000 = 2.000 + R [1 − (1,045)−15] (1,045)−3 
 0,045 
10.000 − 2.000 = R [1 − (1,045)−15] (1,045)−3 
 0,045 
 (8.000) = R [1 − (1,045)−15] 
(1,045)−3 0,045 
(8.000) (1,045)3 = R [1 − (1,045)−15] 
 0,045 
 R = $ 850,07 
 
Solução 2: Equação de Valor: Data Focal = Zero 
 
 
Preço a Prazo(DF) = Preço à Vista(DF) 
Preço à Vista(DF = 0) = Preço a Prazo(DF = 0) 
Preço a Prazo(DF = 0) = Entrada(DF = 0) + Prestações Antecipados(DF = 0) 
Entrada(DF = 0) = $ 2.000 
Prestações Antecipados(DF = 0) = A (1,045) (1,045)−4 = R [1 − (1,045)−15] (1,045) (1,045)−4 
 0,045 
Eq. de Valor: DF = Zero 10.000 = 2.000 + R [1 − (1,045)−15] (1,045)−3 
 0,045 
10.000 − 2.000 = R [1 − (1,045)−15] (1,045)−3 
 0,045 
 (8.000) = R [1 − (1,045)−15] 
(1,045)−3 0,045 
$ 10.000 
0 1 18 
 DF 
Prazo = n = 15 
4+ 15 = 19 
i = 4,5 % a.m. 
meses. 
R = ? 
A 
5 4 
Termos Antecipados 
DF 
 
 $ 2.000 
Início Final 
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(8.000) (1,045)3 = R [1 − (1,045)−15] 
 0,045 
 R = $ 850,07 
Resposta: $ 850,07 
 
 
14) Um estudante pegou $ 85.000 emprestado em um banco para comprar um carro à vista. O 
empréstimo será amortizado em parcelas mensais durante quatro anos. Quanto pagará o estudante na 
trigésima prestação se a taxa de juros cobrada no empréstimo for 4,5% a.m. pelo Sistema Francês de 
Amortização? (UA 13) 
 
 
A = $ 85.000 i = 4,5% a.m. n = (4) (12) = 48
 
Sistema Francês de Amortização ⇒⇒⇒⇒ prestações são iguais (Modelo Básico de uma Anuidade). 
 Rk=1 = Rk=2 = . . . . = Rk=48 Rk=30 = ? 
Solução: 
85.000 = R
 
 a48 4,5% = R [1 − (1,045)]−48] 
 0,045 
R
 
= $ 4.351,03 
Resposta: $ 4.351,03 
 
 
15) São feitos depósitos mensais antecipados de $ 1.800 durante dois anos. Calcular o montante a taxa 
de juros de 10% a.q. acumulado mensalmente. (UA 11) 
 
R = $ 1.800/mês (antecipada) n = (2) (12) = 24 
i = (10%) (1/4) = 2,5% a.m. Montante = X = ? 
Solução: Data Focal = Vinte e quatro meses 
 ∑ Dep.(DF = (24) − ∑ Ret.(DF = 24) = Saldo(DF = 24) 
 ∑ Dep.(DF = 24) = S = R (sn i) (1 + i) 
 ∑ Dep.(DF = 24) = 1.800 (s24 2,5%) (1,025) 
∑ Ret.(DF = 24) = 0 
Saldo(DF = 24) = Montante = X = ? 
Equação de Valor: Data Focal = 24 meses 1.800 (s24 2,5%) (1,05) = X 
 1.800 [(1,025)24 − 1] (1,025) = X 
 0,025 
X = $ 59.683,98 
Resposta: $ 59.683,98 
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16) Um trator à vista custa $ 760.000; e a prazo tem que dar uma entrada de $ 120.000 e mais 
prestações mensais de $ 25.575. Se a taxa de juros cobrada no financiamento for de 3% a.m. qual será 
o prazo do financiamento? (UA 9) 
 
Preço à vista = $ 760.000 E = $ 120.000 
R = $ 25.575/mês i = 3% a.m. 
Prazo = n = ? 
Solução: Equação de Valor: Data Focal = Zero 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Preço a Prazo(DF) = Preço à Vista(DF) 
 
Preço a Prazo(DF = 0) = Entrada(DF = 0) + Prestações(DF = 0) 
Entrada(DF = 0) = $ 120.000 
Prestações(DF = 0) = A = 25.575 [1 − (1,03)−n] 
 0,03 
Preço à Vista(DF = 0) = $ 760.000 
Eq. de Valor (DF = Zero): 120.000 + 25.575 [1 − (1,03)−n] = 760.000 
 . 0,03 . 
 
 
Nota: O desenvolvimento não pode ser feito através das teclas financeiras de uma HP-12C, tem 
que ser por álgebra (logarítmo neperiano ou decimal: usando as teclas científicas). 
 
 
120.000 + 25.575 [1 − (1,03)−n] = 760.000 
 0,03 
25.575 [1 − (1,03)−n] = 640.000 
 0,03 
$ 760.000 
0 1 n 
DF 
Prazo = n = ? 
i = 3% a.m. 
meses 
R = $ 25.575/mês. 
A 
$ 120.000 
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1 − (1,03)−n = 0,75 
1 − 0,75 = (1,03)−n 
Ln (0,25) = −n Ln (1,03) 
n = 46,9 
Como o Prazo = n; então: ≈ 47 meses 
Resposta: ≈ 47 meses 
 
 
17) Juca deve $ 195.000 hoje e $ 55.000 em oito semestres e meio; não podendo pagar nesses prazos 
de vencimento deseja reformá-lo de tal modo a fazer em pagamentos mensais iguais; sendo o primeiro 
no final do quinto mês e o último no quadragésimo mês. Se a taxa de juros cobrada nesta operação for 
2,7% a.m, qual será o valor de cada pagamento? (UA 10) 
 
 $ 195.000 (hoje) $ 55.000 ( 8,5 x 6 = 51º mês) 
 R = ? ($/mês) (1º pag.: 5º mês; último pagam.: 40º mês) 
i = 2,7% a.m. 
Solução: Data Focal = Quarenta meses 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑ Dep.(DF) − ∑ Ret.(DF) = Saldo(DF) 
∑ Dep(DF = 40) = 195.000,00 (1,027)40 
∑ Obrig. antigas(DF = 40) = ∑ Obrig. novas(DF = 40) 
∑ Obrig. antigas(DF = 40) = 195.000 (1,027)40 + 55.000 (1,027)−11 
∑ Obrig. novas(DF = 40) = R [(1,027)36 − 1] 
 0,027 
 
0 
 
1 40 
Prazo = n = 40 − 4 = 36 
i = 2,7% a.m. 
meses. 
 R = ? 
S 
5 4 
Termos Postecipados 
DF 
$ 195.000 $ 55.000 
51 
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Equação de Valor: Data Focal: 40 meses. 
195.000 (1,027)40 + 55.000 (1,027)−11 = R [(1,027)36 − 1] 
 0,027 
566.046,82 + 41.028,71 = R [(1,027)36 − 1] 
 0,027 
607.075,53 = R [(1,027)36 − 1] 
 0,027 
R = $ 10.184,74 
Resposta: $ 10.184,74 
 
 
18) Um varejista deve vinte prestações mensais. Não podendo pagar nestes prazos de vencimento 
deseja substituir por três pagamentos; um de $ 7.400; um segundo de $ 12.500; e o último de $ 23.800 
vencendo respectivamente dez meses; um ano e dois anos. Se a taxa de juros cobrada nesta transação 
for 4% a.m, qual era o valor de cada prestação mensal? (UA8) 
 
 $ 7400 10 meses $ 12.500 12 meses $ 23.800 24 meses 
 i = 4% a.m. 
 R = ? 
Solução: Equação de Valor: Data Focal = Vinte meses 
 R [(1,04)20 − 1] = 7.500 (1,04)10 + 12.500 (1,04)8 + 23.800 (1,04)−4 
 0,04 
R = $ 1.630,50 
Reposta: $ 1.630,50 
 
 
19) Uma indústria pegou emprestado $ 345.000 para ser amortizado em parcelas semestrais durante 
cinco anos e meio pelo Sistema de Amortização Francês, sem carência. Se a taxa de juros cobrada for 
2,5% a.m. e que se vai trabalhar com a taxa efetiva, qual será o juro no final do nono semestre? 
(UA 12) 
 
 A = $ 345.000 taxa = 2,5% a.m (S.F.; Taxa Efetiva) 
 n = (5,5) (2) = 11 (parcelas semestrais) Jk=9 = ? (9º sem) 
Solução: 
Sistema de Amortização Francês => Prestações são iguais 
A mudança da taxa de juros de 2,5% a.m. é através de taxa equivalente (taxa efetiva - SF) 
 P (1 + is) = P (1,025)6 
is = 0,1597 = 15,97% a.s. 
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No Sistema de Amortização Francês: As prestações são obtidas pelo cálculo do Valor Atual de uma 
anuidade de modelo básico, onde: 
 A = R [1 − (1 + i)−n] 
 i 
 345.000 = Rk [1 − (1,1597)−11] 
 0,1597 
 Rk = $ 68.525,74 
Fazendo: Rk = 1 = Rk = 2 = . . .= Rk = 11 = $ 68.525,74 
A obtenção do saldo devedor para o período oito, por exemplo, poderá ser feito mediante o 
cálculo do valor presente das prestações remanescentes, em uma série postecipada. (11 − 8 = 3). 
 
 
SDk=8 = 68.525,74 [1 − (1,1597)−3] 
 0,1597 
SDk=8 = $ 153.976,95 
 Jk=9 = (0,1597) (153.976,95) 
Jk=9 = $ 24.561,37 
 
Resposta: $ 24.561,37 
 
 
20) Foi aplicado a quantia de $ 15.200 em uma poupança durante três anos a taxa real de 6% a.q. Se o 
rendimento foi $ 28.600, de quanto foi a inflação? (UA 15) 
 
 P = $ 15.200 n = (3) (3) = 9 quad J = $ 28.600 r = 6% a.q. θθθθ = ? 
Solução: J = P[(1 + i)n − 1] 
 28.600 = 15.200 (1 + i)9 − 1 
 28.600 = (1 + i)9 − 1 
 15.200 
1,88 + 1 = (1 + i)9 
1 + i = (2,88)1/9 = 1,125 
0 1 8 
Prazo = n = 11 − 8 = 3 
i = 15,97% a.s. 
Sem. 
R = $ 68.525,74 DF 
9 11 
A 
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 (1 + i) = (1 + r) (1 + θθθθ) 
1,125 = (1,06) (1 + θθθθ) 
 θθθθ = 0,061 = 6,1% a.q. 
Resposta: 0,061 ou 6,1% a.q. 
 
 
21) Inicialmente foi depositado em um fundo para pagamentos de bolsas de estudo $ 940.000 no qual 
serão feitas retiradas mensais antecipadas. Se a taxa do fundo for 4,5% a.m, quanto poderá ser retirado 
deste fundo? (UA 11) 
 
Dep. Inicial = $ 940.000 i = 4,5% a.m. 
R = ? ($/mês) (antecipadas) n = infinito 
Solução: Equação de Valor na Data Focal = Zero 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑ Dep.(DF = 0) − ∑ Ret.(DF = 0) = Saldo(DF = 0) 
∑ Dep.(DF = 0) = $ 940.000 
∑ Ret.(DF = 0) = A = (R / i) (1 + i) 
Saldo(DF = 0) = 0 
Equação de Valor na Data Focal = 0 940.000 − . (R) (1,045) = 0. 
 . 0,045 . 
940.000 = (R/0,045) (1,045) 
R = $ 40.478,47/mês. 
Reposta: $ 40.478,47/mês 
 
 
R = ? ($/mês) 0 1 
DF 
Prazo = n = infinito = ∞ 
i = 4,5% a.m. 
Perpetuidade Antecipada 
∞ 
$ 940.000 
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22) São feitos depósitos mensais de $ 1.700 durante dois anos e meio; depois são feitas duas retiradas 
iguais uma no 35º e a outra no 38º mês respectivamente em uma poupança. Se a taxa de juros for 30% 
a.s. capitalizado mensalmente; e o saldo após a última retirada for $ 130.000; qual será valor de cada 
retirada? (UA 8) 
 
R = $ 1.700/mês n = (2,5) (12) = 30 
X = ? (35º e 38º mês) 
i = (30%) (1/6) = 5% a.m. Saldo = $ 130.000 (38º mês) 
Solução: Data Focal = 38 meses. 
∑ Dep.(DF) − ∑ Ret.(DF) = Saldo(DF) 
∑ Dep(DF = 38) = S = R [(1 + i)n − 1] (1 + i)8 
 i 
∑ Dep.(DF = 38) = 1.700 [(1,05)30 − 1] (1,05)8 
 0,05 
∑ Ret.(DF = 38) = X (1,05)3 + X 
Saldo(DF = 38) = $ 130.000 
Equação de Valor: Data Focal = 38 meses. 
1.700 [(1,05)30 − 1] (1,05)8 − X (1,05)3 − X = 130.000 
 0,05 
166.872,74 − X (1,05)3 − X = 130.000 (Mínimo: duas casas) 
36.872,74 = X (1,16) + X 
X = (36.872,74) = 17.070,71 
2,16 
Resposta: $ 17.070,71 
 
 
23) Uma casa à vista custa $ 250.000 e a prazo tem que pagar prestações no início de cada mês durante 
três anos e meio. Se a imobiliária cobrar uma taxa de juros de 13,5% a.t. acumulado mensalmente, 
quanto terá que pagar mensalmente? (UA 11) 
 
Preço à vista = $ 250.000 
Taxa Efetiva de juros (i) será: (13,5%) (1 trim.) => i = 4,5% a.m. 
 (trim.) (3 meses) 
R = ? → n = (3,5) (12) = 42 
 
Solução: Trata-se de uma Anuidade Antecipada, por que os termos são antecipados, isto é, os 
termos são efetuados no início de cada período, onde o valor atual ou valor descontado (A) é igual a: 
 
R [1 − (1 + i)−n]
 
(1 + i) 
 i 
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O Valor Descontado, "A", de uma anuidade antecipada de "n" termos feitos no início de cada 
período é o valor datado equivalente do conjunto desses termos devidos, no início do prazo, isto é, o 
início do primeiro período. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Data Focal = Zero Preço a Prazo(DF = 0) = Preço à Vista(DF = 0) 
Preço a Prazo(DF = 0) = Prestações Antecipadas(DF = 0) = A (Anuid. Antecipada) 
Preço a Prazo(DF=0) = A = R [1 − (1,045)−42]
 
(1,045) 
 0,045 
Preço à Vista(DF= 0) = $ 250.000 
 
Equação de Valor (DF = 0): R (a42 4,5%) (1,045) = $ 250.000 
R [1 − (1,045)−42]
 
(1,045) = 250.000 
 0,045 
X = $ 12.777,20 
Resposta: $ 12.777,20 
 
 
24) Um banco emprestou $ 730.000 que foi amortizado pelo sistema americano no terceiro ano. Se os 
juros foram pagos trimestralmente à taxa de 6% a.t, qual foi o valor da última prestação? (UA 12) 
 
P = $ 730.000 Sistema Americano 
3º ano → Carência = (3) (4) = 12 trim. Rk=12
 
= ? 
i = 6% a.t. 
Solução: 
 Amk=12 = $ 730.000 
 Jk
 
= (i) SDk
 
 
R = ? ($/mês) 0 1 
Prazo = n = 42 
i = 4,5%/mês 
Termos Antecipados 
41 42 
DF 
$ 250.000 
A 
meses 
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 SDk=1
 
= SDk=2 = . . . = SDk=14 = $ 730.000 
Jk=1
 
= Jk=2
 
= Jk=12
 
 = (0,06) (730.000) = $ 43.800 
 Rk
 
= Amk
 
 + Jk
 
 Rk=15 = 730.000 + 43.800 = $ 773.800 
Resposta: $ 773.800 
 
25) Foi depositado hoje em um fundo para pagamentos de bolsas de estudo $ 330.000 para serem feitas 
retiradas bimestrais. Se a primeira retirada for um ano após o depósito inicial e a taxa do fundo for 
4,5% a.b, quanto poderá ser retirado bimestralmente? (UA10) 
 
Dep. inicial = $ 330.000 i = 4,5% a.b. 
R = ? ($/bim) (1ª retirada: (1) (6) => 6º bim.) 
Solução: Como não está explícito no problema o número de termos e nem quando ocorre o último 
termo, então, o número de termos será infinito. (Perpetuidade) 
 
∑ Dep.(DF= 5) − ∑ Ret.(DF= 5) = Saldo(DF= 5) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑ Dep.(DF= 5) = 330.000 (1,045)5 
∑ Ret.(DF= 5) = A = R / i = . R . 
 0045 
Equação de Valor: Data Focal = Cinco bim. 330.000 (1,045)5 = . R . 
 0,045 
 R = $ 18.505,80 
Resposta: $ 18.505,80 
 
R = ? 0 6 
Prazo = n = infinito = ∞ 
i = 4,5% a.b. 
Termos Postecipados 
A 
∞ 
$ 330.000 
DF 
5