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Cálculo Integral I

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x2
a2
+
(Ax+ b
√
1− x2
a2
− Ax)2
b2
− 1 = 0,
que e´ uma equac¸a˜o quadra´tica em x:
(
A2
b2
+
1
a2
) · x2 + (−2A
2x
b2
+
2
√
1− x2
a2
A
b
) · x+ a
2x2
b2
− x
2
a2
= 0
(note que de fato e´ quadra´tica em x, pois A
2
b2
+ 1
a2
> 0).
O dicriminante desta func¸a˜o quadra´tica em x e´:
4(−a4A2 + a2A2x2 − 2a2b
√
1− x2
a2
Ax− b2x2)
b2a4
,
e procuramos valores de A tais que, ∀x, anulem esse discriminante (pois isso dira´ que
para esses valores de A ha´ apenas 1 intersecc¸a˜o da reta com a elipse).
Ou seja, buscamos A que anulem o numerador
−a4A2 + a2A2x2 − 2a2b
√
1− x
2
a2
Ax− b2x2.
Uma conta tediosa prova que:
−a4A2 + a2A2x2 − 2a2b
√
1− x
2
a2
Ax− b2x2 =
= (−a4 + a2x2) · (A+ b x
a2
√
1− x2
a2
)2
e portanto
A =
−b x
a2
√
1− x2
a2
e´ o valor de A que anula o discriminante acima, ∀x.
5. A ELIPSE E SUA PROPRIEDADE REFLETIVA 274
Por outro lado reconhecemos que
−bx
a2
√
1− x2
a2
= f ′(x),
onde
f(x) = b ·
√
1− x
2
a2
.
Logo a reta que so´ corta a elipse em P e´ de fato a sua reta tangente.
�
A seguinte afirmac¸a˜o explica o fato de que um raio e luz saindo de um foco da
elipse e refletindo na elipse passara´ necessariamente pelo outro foco:
Afirmac¸a˜o 5.3. As semiretas que ligam um ponto P da elipse aos dois focos F1, F2
formam os mesmos aˆngulos (na˜o-orientados) com a tangente a` elipse passando por
P .
Demonstrac¸a˜o.
Considere P na elipse e o triaˆngulo ∆F1PF2 .
Tome um aˆngulo externo α desse triaˆngulo (veja a Figura).
F2
F2 ’
F1 
α
Considere a bissectriz desse aˆngulo (ou seja, uma semireta que o divide em dois
aˆngulos iguais, de valores α
2
).
Marque um ponto F ′2 no aˆngulo externo, cuja distaˆncia ate´ P seja a mesma de F2
(denote essas distaˆncias por PF2 = PF ′2). Veja a Figura:
F2
F2 ’
F1 
α/2
α/2
Q
β
r
CAPI´TULO 20. AS COˆNICAS E SUAS PROPRIEDADES REFLETIVAS 275
Tome qualquer ponto Q da reta r que conte´m essa bissectriz, Q 6= P . Ja´ que o Q
na˜o esta´ alinhado com F1 e F
′
2, temos:
F1Q +QF ′2 > F1P + PF
′
2 =
= F1P + PF2.
Ja´ que a elipse e´ o lugar dos pontos P com
F1P + PF2 ≡ 2a
vemos que Q na˜o esta´ na elipse.
Ou seja que o u´nico ponto da reta r que esta´ na elipse e´ P .
A Afirmac¸a˜o 5.2 anterior garante enta˜o que r e´ a tangente por P .
Mas o aˆngulo β e´ oposto pelo ve´rtice ao aˆngulo que mede α
2
.
Ou seja que as semiretas ligando P aos focos determinam aˆngulos com reta tan-
gente que medem ambos α
2
.
�
6. A Hipe´rbole e o ana´logo da propriedade refletiva
Afirmac¸a˜o 6.1. Um ponto P = (x, y) satisfaz a equac¸a˜o
x2
a2
− y
2
b2
= 1
se e somente se
|PF1 − PF2 | = 2a,
onde F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0) sa˜o os dois focos e b2 = c2 − a2.
Demonstrac¸a˜o.
Por exemplo suponhamos que PF1 − PF2 ≥ 0, como na Figura a seguir:.
F1 F2
P
ρ ρ
a a
Por definic¸a˜o
PF1 − PF2 = e · Pr1 − e · Pr2.
= e · r1r2
logo PF1 − PF2 ≡ C e´ constante.
6. A HIPE´RBOLE E O ANA´LOGO DA PROPRIEDADE REFLETIVA 276
Pela Afirmac¸a˜o 2.2,
a =
eρ
e− 1 ,
ou seja 2ae− 2a = 2eρ e
2a = e · (2a− 2ρ).
Mas
2a− 2ρ = r1r2,
como se veˆ na Figura acima.
Tambe´m a Afirmac¸a˜o 2.2 e a simetria da hipe´rbole no eixo x da˜o que os focos teˆm
essas coordenadas.
�
A hipe´rbole tem uma propriedade do mesmo tipo da elipse, a saber:
Os segmentos de reta que ligam um ponto de uma hipe´rbole aos seus dois focos
ficam bissectados pela reta tangente naquele ponto.
Para provarmos isso, como fizemos no caso da elipse, primeiro provaremos o
seguinte:
Afirmac¸a˜o 6.2. Se uma reta so´ intersecta uma hiperbole de equac¸a˜o x
2
a2
− y2
b2
= 1 (
a, b > 0 ) num u´nico ponto P , enta˜o
• i) essa reta e´ reta tangente a` hiperbole em P ou
• ii) e´ uma reta paralela a` reta y = b
a
· x ou
• iii) e´ uma reta paralela a` reta y = − b
a
· x.
y
2
-2
3
1
-3
x
640-4
-1
0
2-6 -2
Figura: a hipe´rbole x
2
22
− y2 = 1 e retas paralelas
a`s retas y = 1
2
· x e y = −1
2
· x.
Demonstrac¸a˜o. (Afirmac¸a˜o 6.2)
CAPI´TULO 20. AS COˆNICAS E SUAS PROPRIEDADES REFLETIVAS 277
Considero pontos da hipe´rbole x
2
a2
− y2
b2
= 1 com coordenada y > 0, ou seja, onde
posso representar a hipe´rbole pelo gra´fico de
y = b ·
√
x2
a2
− 1.
Quero intersectar com a hipe´rbole uma reta qualquer y = A · x+B que passa por
P = (x, b ·
√
x2
a2
− 1),
ou seja, uma reta da forma:
y = A · x+ b
√
x2
a2
− 1− Ax.
Obtenho enta˜o de
x2
a2
−
(A · x+ b
√
1− x2
a2
− Ax)2
b2
− 1 = 0,
a equac¸a˜o em x:
(
1
a2
− A
2
b2
) x2 + (
2A2x
b2
−
2
√
x2
a2
− 1A
b
) x− x
2
a2
− A
2x2
b2
+
2
√
x2
a2
− 1Ax
b2
= 0.
Essa equac¸a˜o deixa de ser uma equac¸a˜o quadra´tica em x quando
1
a2
− A
2
b2
= 0.
Ou seja, as retas passando por P com coeficientes angulares
A = ± b
a
so´ cortam a hipe´rbole em P .
Quando 1
a2
− A2
b2
6= 0 e a equac¸a˜o e´ quadra´tica, para termos P como u´nica inter-
secc¸a˜o da reta e da hipe´rbole precisamos ter a anulac¸a˜o do dicriminante da func¸a˜o
quadra´tica em x. Ou seja, buscamos a condic¸a˜o:
4(−a4A2 + a2A2x2 − 2a2b
√
x2
a2
− 1Ax+ b2x2)
b2a4
= 0,
onde procuramos por coeficientes angulares A tais que, ∀x, seja nulo esse discrimi-
nante.
Ou seja, queremos A que anule o numerador
−a4A2 + a2A2x2 − 2a2b
√
x2
a2
− 1Ax+ b2x2.
Mas uma conta tediosa mostra que:
−a4A2 + a2A2x2 − 2a2b
√
x2
a2
− 1Ax+ b2x2 =
6. A HIPE´RBOLE E O ANA´LOGO DA PROPRIEDADE REFLETIVA 278
= (−a4 + a2x2) · (A− b x
a2
√
x2
a2
− 1
)2
e portanto
A =
b x
a2
√
x2
a2
− 1
e´ o valor de A que anula o discriminante acima, ∀x.
Por outro lado reconhecemos que
b x
a2
√
x2
a2
− 1
= f ′(x),
onde
f(x) = b ·
√
x2
a2
− 1.
Logo, se uma reta corta a hipe´rbole em um u´nico P , enta˜o e´ a reta tangente em P
ou paralelas a y = b
a
· x ou y = − b
a
· x.
�
Afirmac¸a˜o 6.3. Quando |x| → ∞ os pontos da hiperbole x2
a2
− y2
x2
= 1 se aproximam
das reta y = b
a
· x ou da reta y = − b
a
· x (chamadas de ass´ıntotas).
Com esta Afirmac¸a˜o e a Afirmac¸a˜o 6.2 podemos dizer:
fora as tangentes, as u´nicas retas que so´ cortam a hipe´rbole em 1 ponto sa˜o as
retas paralelas a`s ass´ıntotas da hipe´rbole dada.
Demonstrac¸a˜o. (Afirmac¸a˜o 6.3)
Cada ponto da hipe´rbole x
2
a2
− y2
b2
= 1 pode ser descrito ou como ponto do gra´fico
de
f1(x) = b ·
√
x2
a2
− 1 = b
a
· √x2 − a2,
ou como ponto do gra´fico de
f2(x) = −b ·
√
x2
a2
− 1 = − b
a
· √x2 − a2.
Se vamos fazer |x| → ∞, obviamente podemos supoˆr |x| 6= 0 e escrever:
f1(x) =
b
a
√
x2(1− a
2
x2
) =
b
a
|x|
√
1− a
2
x2
,
f2(x) = − b
a
√
x2(1− a
2
x2
) = − b
a
|x|
√
1− a
2
x2
,
CAPI´TULO 20. AS COˆNICAS E SUAS PROPRIEDADES REFLETIVAS 279
e claramente:
lim
|x|→+∞
√
1− a
2
x2
= 1.
Ou seja, quando |x| → ∞ o gra´fico de f1 tende ao gra´fico de y = ba · |x| enquanto que
o de f2 tende ao de y = − ba · |x| .
Podemos ser mais detalhados:
Se x → +∞, temos o gra´fico de f1(x) se aproximando do de y = ba · x. Mas se
x→ −∞ temos f1(x) se aproximando de
y =
b
a
· (−x) = − b
a
· x.
Se x → +∞, temos o gra´fico de f2(x) se aproximando do de y = − bax. Mas se
x→ −∞ temos f2(x) se aproximando do de
y = − b
a
· (−x) = b
a
· x.
�
Afirmac¸a˜o 6.4. As semiretas que ligam um ponto P da hipe´rbole aos dois focos
F1, F2 formam os mesmos aˆngulos (na˜o-orientados) com a tangente a` hipe´rbole em
P .
Demonstrac¸a˜o.
Considere P um ponto da hipe´rbole.