Modulo 2 - Lista 1 (Gabarito) - Analise 1 - Turma 1º/2013 - Prof Celius

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ana´lise 1
Mo´dulo 2 – Gabarito – Lista 1 1.o/2013
1) Se f : [a, b]→ [a, b] e´ uma func¸a˜o cont´ınua, de um intervalo fechado nele mesmo, enta˜o f
possui um ponto fixo, isto e´, existe c ∈ [a, b] tal que f(c) = c. Para mostrar esse fato, sem
perda de generalidade suponha f(a) 6= a e f(b) 6= b, e considere a func¸a˜o g(x) = f(x)− x.
a) Justifique a afirmac¸a˜o de que a func¸a˜o g assume valores
positivos.
Resposta: como f(x) > a, segue-se que g(a) = f(a)− a > 0.
b) Analogamente, justifique que g assume valores negativos.
Resposta: como f(x) < b, segue-se que g(b) = f(b)− b < 0.
a c b
a
f(c)
b
c) Use o Teorema do Valor Intermedia´rio para concluir que f possui um ponto fixo.
Resposta: g e´ cont´ınua em [a, b] e g(b) < 0 < g(a)⇒ ∃ c ∈ (a, b) tal que g(c) = 0.
d) Verifique que a func¸a˜o f(x) = x
1+x
+ 1
6
, com x ∈ [0, 1], satisfaz as condic¸o˜es para ter
um ponto fixo.
Resposta: f e´ cont´ınua e f([0, 1]) ⊂ [0, 1].
e) Calcule o ponto fixo da func¸a˜o do item anterior.
Resposta: c = 1
2
.
2) Sejam I ⊂ R um intervalo e f : I → R uma func¸a˜o localmente na˜o-decrescente, isto e´,
dado x0 ∈ I, existe ǫ > 0 tal que f e´ na˜o-decrescente em (x0 − ǫ, x0 + ǫ) ∩ I. Nesse caso,
pode-se mostrar que f e´ na˜o-decrescente em todo o intervalo I. Para mostrar esse fato, sejam
a < b em I e considere o conjunto C = {x ∈ [a, b]; f(a) ≤ f(x)}.
a) Justifique a afirmac¸a˜o de que C e´ na˜o vazio.
Resposta: notar que a ∈ C
b) Verifique agora que existe L = supC.
Resposta: C e´ limitado superiormente por b
c) Use a propriedade local para mostrar que a < L.
Resposta: ∃ ǫ > 0 tal que f(a) ≤ f(x) ∀ x ∈ [a, a+ ǫ]⇒ L ≥ a+ ǫ
d) Argumentando por contradic¸a˜o, mostre agora que, necessariamente, L = b.
Resposta: se L < b, ∃ ǫ > 0 tal que f e´ na˜o-decrescente em (L−ǫ, L+ǫ) ⊂ [a, b]. Logo, ∃ x ∈ (L−ǫ, L]
tal que f(a) ≤ f(x)⇒ f(a) ≤ f(x) ≤ f(y) ∀ y ∈ (L,L+ ǫ) E
e) Conclua que f e´ na˜o-decrescente em todo o intervalo I.
Resposta: do item d) segue-se que C = [a, b]⇒ f(a) ≤ f(b)
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3) Suponha I ⊂ R um intervalo e f : I → R uma func¸a˜o na˜o-decrescente. Nesse caso, existem
os limites laterais f(c−) e f(c+) para todo ponto c interior a I, e a diferenc¸a f(c+)− f(c−) e´
dita o salta de f em c. Assim, os pontos de descontinuidade sa˜o aqueles para os quais o salto
e´ na˜o nulo. De acordo com o itens a seguir, esses fatos permitem mostrar que o conjunto D
das descontinuidades da func¸a˜o e´ finito ou enumera´vel.
a) No caso em que I = [a, b], tem-se que f(I) ⊂ [f(a), f(b)]. Use essa informac¸a˜o para
mostrar que o conjunto D1 = {x ∈ [a, b]; o salto em x e´ maior do que 1} e´ finito.
Resposta: como os intervalos (f(c−), f(c+)) sa˜o disjuntos, tem-se que f(b) − f(a) e´ uma cota
superior para o nu´mero de elementos de D1
b) Analogamente, conclua que Dn = {x ∈ [a, b]; o salto em x e´ maior do que
1
n
} e´ um
conjunto finito no caso em que I = [a, b].
Resposta: analogamente, n(f(b)− f(a)) e´ uma cota superior para o nu´mero de elementos de Dn
c) Justifique agora o fato de que D ⊂
⋃
∞
n=1Dn no caso em que I = [a, b], e conclua que
D e´ finito ou enumera´vel nesse caso.
Resposta: se x ∈ D, enta˜o x ∈ Dn para algum n ∈ N⇒ D ⊂
⋃
∞
n=1
Dn e´ uma unia˜o enumera´vel de
conjuntos finitos ⇒ D e´ finito ou enumera´vel.
d) Escreva o intervalo aberto I = (a, b) como uma unia˜o enumera´vel de intervalo fechados
para concluir que D e´ finito ou enumera´vel tambe´m nesse caso.
Resposta: (a, b) =
⋃
∞
n=1
[a+ 1
n
, b− 1
n
]
e) Finalmente, conclua que D e´ finito ou enumera´vel no caso em que I = (a,∞).
Resposta: notar que (a,∞) =
⋃
∞
n=1
[a+ 1
n
, n]
4) Se f : R → R e´ tal que f(x + y) = f(x) + f(y) para todo x, y ∈ R e, ale´m disso,
f(x) ≥ 0 para x ≥ 0, enta˜o segue-se dos itens abaixo que f(x) = xf(1) para todo x ∈ R.
Em particular, f e´ uma func¸a˜o cont´ınua.
a) Verifique que f(nx) = nf(x) para todo x ∈ R e todo n ∈ N.
Resposta: f(2x) = f(x) + f(x) = 2f(x), etc.
b) Verifique agora que f(0) = 0 e f(−1) = −f(1), e use esses fatos para mostrar que
f(m
n
) = m
n
f(1) para todo m
n
∈ Q.
Resposta: f(0)= f(0)+f(0)⇒ f(0)=0; 0= f(0)= f(1 + (−1))= f(1) + f(−1) ⇒ f(−1)=−f(1);
f(1) = f(n 1
n
) = nf( 1
n
)⇒ f( 1
n
) = 1
n
f(1), e assim por diante.
c) Se x > y, escreva x = y + (x− y) para concluir que f e´ na˜o-decrescente.
Resposta: f(x) = f(y + (x− y)) = f(y) + f(x− y) ≥ f(y)
d) Se x ∈ R\Q, escolha uma sequeˆncia crescente rn → x, com rn ∈ Q, para concluir que
xf(1) ≤ f(x).
Resposta: rn ≤ x⇒ rnf(1) = f(rn) ≤ f(x), com (rnf(1)) na˜o-decrescente com limite xf(1)
e) Usando um argumento semelhante ao do item anterior, conclua finalmente que
f(x) = xf(1) para todo x ∈ R.
Resposta: escolhendo sequeˆncia decrescente sn → x, com sn ∈ Q, obtem-se que xf(1) ≥ f(x), e
portanto xf(1) = f(x)
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