Coordenadas e Vetores no Espaço

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ELETROMAGNETISMO I 1
 
 
 
 
 
 
 
 
0 ANÁLISE VETORIAL 
Este capítulo oferece uma recapitulação aos conhecimentos de álgebra vetorial, já vistos em outros 
cursos. Estando por isto numerado com o zero, não faz parte de fato dos nossos estudos de eletromagnetismo. 
Sem ele o tratamento dos fenômenos de campos elétricos e magnéticos torna-se mais complicado, uma vez que 
estes são obtidos matematicamente através de operações vetoriais. 
 
SISTEMA DE COORDENADAS 
Um exemplo prático de um sistema de coordenadas encontra-se numa carta geográfica 
onde um ponto é localizado em função da latitude e da longitude, isto é, medidas angulares 
que são tomadas em função de um referencial neste sistema plano. No espaço, um ponto 
também pode ser perfeitamente determinado quando conhecemos a sua posição em vista de 
um sistema de coordenadas. Particularmente no espaço tridimensional, um ponto é 
determinado em função de 3 coordenadas. 
Os sistemas de coordenadas definem um ponto no espaço como fruto da intersecção de 
3 superfícies que podem ser planas ou não. Vamos nos ater aqui a três tipos de sistemas de 
coordenadas: cartesianas, cilíndricas e esféricas. 
 
Sistema de coordenadas cartesianas, também conhecido por coordenadas retangulares, 
define um ponto pela intersecção de 3 planos. Neste sistema um ponto P (x, y, z) é definido 
pela intersecção dos planos x, y e z constantes paralelos respectivamente ao plano y0z, ao 
plano x0z e ao plano x0y, conforme a figura 0.1. É o sistema (x, y, z). 
 
 
 
 
Figura 0.1 O sistema de coordenadas cartesianas ou retangulares (x, y, z). 
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ELETROMAGNETISMO I 2
 
Sistema de coordenadas cilíndricas. Neste sistema de coordenadas o ponto P (r, φ, z) é 
determinado pela intersecção de uma superfície lateral cilíndrica de raio r constante e altura 
infinita, pelo semiplano φ constante (que contem o eixo z) e finalmente pelo plano z 
constante, como pode ser mostrado na figura 0.2. É o sistema (r, φ, z). 
 
 
 
Figura 0.2 O sistema de coordenadas cilíndricas (r, φ, z) 
 
Sistema de coordenadas esféricas que define um ponto P (r, θ, φ) na superfície de uma 
esfera de raio r constante centrada na origem, vinculando-o pela intersecção desta superfície 
com uma outra cônica θ (ângulo formado com o eixo y) constante e um semiplano φ 
(contendo o eixo z) constante, melhor esclarecido pela figura 0.3. É o sistema (r, θ, φ). 
 
 
 
Figura 0.3 O sistema de coordenadas esféricas (r, θ, φ) 
 
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ELETROMAGNETISMO I 3
VETOR 
Muitas grandezas necessitam de uma direção e de um sentido além do valor e da 
unidade, ou seja, de sua intensidade para uma definição perfeita. Assim, definiremos os 
vetores como representantes de classes ou conjuntos de segmentos de retas orientadas com 
mesma intensidade ou módulo, direção e sentido no espaço. A figura 0.4 mostra um mesmo 
vetor representado por segmentos de retas de mesmo tamanho, mesma orientação e 
paralelas no espaço. 
vr
 
 
 
Figura 0.4 A classe de vetores vr no espaço 
 
VERSOR OU VETOR UNITÁRIO 
Trata-se de um vetor de módulo 1, com a direção de um dado vetor vr Um vetor vvaˆ . 
r é 
definido como múltiplo o submúltiplo de m vezes este versor aˆ e possui o mesmo sentido 
quando m for positivo ou o sentido oposto, caso m seja negativo. Assim, um vetor pode ser 
expresso como o produto de um versor por um escalar de modo que: 
v
 
vaˆmv =r (0.1) 
 
Outra forma de se indicar um versor é aquela que exprime a relação entre um vetor e o 
seu próprio módulo, isto é, 
 
v
v
v
vaˆv
r
r
r
== (0.2) 
 
Se conhecermos o sistema de coordenadas, um ponto P pode ser localizado no espaço 
pelas componentes de um vetor posição que vai da origem deste sistema de coordenadas ao 
referido ponto. Trata-se de uma soma vetorial das componentes orientadas por seus versores. 
Um vetor V
r
 cuja origem coincide com a origem de um sistema de coordenadas cartesianas e 
com extremidade no ponto P pode ser dado por: 
 
zzyyxx aˆVaˆVaˆV)OP(V ++=−=
r
 (0.3) 
 
Do mesmo modo o ponto P pode ser determinado nos sistemas cilíndrico e esférico 
sendo a soma vetorial das componentes dadas respectivamente por 
 
zzφφrr aˆVaˆVaˆV)OP(V ++=−=
r
 (0.4) 
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ELETROMAGNETISMO I 4
 
φφθθrr aˆVaˆVaˆV)OP(V ++=−=
r
 (0.5) 
 
A figura 0.5 mostra os três versores aplicados em P. Os vetores unitários do sistema 
retangular apresentam direções fixas, independentemente do ponto P, o que não ocorre nos 
outros dois sistemas de coordenadas (exceto para o versor ), onde cada versor é normal à 
sua superfície coordenada, coerente com o sentido de crescimento de cada coordenada 
associada ao ponto P. 
zaˆ
 
 
 
Figura 0.5 Versores das componentes coordenadas. 
 
PRODUTO ESCALAR 
É uma operação vetorial cujo resultado é um valor escalar, ou seja, uma grandeza 
algébrica; um valor numérico precedido de um sinal. O produto escalar entre dois vetores A
r
 
e B
r
 cujas direções formam um ângulo α entre eles é denotado por BA rr ⋅ cujo resultado é 
dado por: 
 
αcosABBA =⋅ rr (0.6) 
 
Pela relação (0.6) observamos que o produto escalar entre dois vetores multiplica o 
módulo de um vetor pelo módulo da projeção do outro sobre ele. De acordo com a figura 0.6, 
em uma linguagem matemática podemos escrever: 
 
Aproj.BBproj.ABA BA ==⋅
rr
 (0.7) 
 
O produto escalar entre dois vetores resulta positivo quando o menor ângulo entre eles é 
agudo. Resulta nulo quando os vetores forem perpendiculares e será negativo quando o 
ângulo α entre os vetores estiver entre 90º e 180º inclusive. 
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ELETROMAGNETISMO I 5
 
 
Figura 0.6 O produto escalar entre A
r
 e B
r
. 
 
Sendo o resultado de um produto escalar um valor algébrico, a propriedade comutativa 
pode ser assim verificada: 
 
ABαcosBAαcosABBA
rrrr ⋅===⋅ (0.8) 
 
Sejam dois vetores em um sistema de coordenadas onde zzyyxx aˆAaˆAaˆAA ++=
r
 e 
zzyyxx aˆBaˆBaˆBB ++=
r
. Considerando que o produto escalar entre dois versores paralelos 
possui módulo igual a 1 e que entre versores perpendiculares o resultado é nulo, o produto 
escalar será dado por 
 
zzyyxx BABABABA ++=⋅
rr
 (0.9) 
 
O quadrado do módulo de um vetor pode ser obtido a partir do produto escalar de um 
vetor por ele próprio. Assim, 
 
2
z
2
y
2
x
2
AAAAAA ++==⋅ rrr (0.10) 
 
PRODUTO VETORIAL 
O produto vetorial entre dois vetores A
r
 e B
r
, onde suas direções formam um ângulo 
agudo α entre eles, denotado por BA rr × , fornece como resultado outro vetor com as 
características abaixo: 
1. Intensidade: αsenABαsenB.ABA ==× rrrr ; 
2. Direção: perpendicular aos dois vetores A
r
 e B
r
; 
3. Sentido: o do avanço de um parafuso de rosca direita, fornecido pela regra da mão 
direita, na ordem em que se tomam os dois vetores. 
Em linhas gerais o produto vetorial de dois vetores A
r
 e B
r
 pode ser expresso na 
direção e sentido de um versor naˆ perpendicu ar al A
r
 e B
r
, cujo sentido é dado pela regra da 
mão direita e ilustrado na figura 0.7. Assim, 
 
naˆ)αsenAB(BA =×
rr
 (0.11) 
 
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ELETROMAGNETISMO I 6
 
 
Figura 0.7 O produto vetorial entre A
r
 e B
r
 
 
Podemos também verificar sem nenhuma dificuldade que este produto não é comutativo 
e podemos escrever que se o versor estiver definido naˆ
 
naˆ)αsen(ABBAAB −=×−=×
rrrr
 (0.12) 
 
Podemos observar na figura 0.5 que os versores das coordenadas são perpendicularesentre si em qualquer um sistema. Assim, cada versor pode ser estabelecido em função dos 
outros dois como o resultado de um produto vetorial. Para um sistema de coordenadas 
cartesianas ou retangulares teremos: 
 
yxz
xzy
zyx
aˆaˆaˆ
aˆaˆaˆ
aˆaˆaˆ
=×
=×
=×
 (0.13) 
 
Da mesma forma para um sistema de coordenadas cilíndricas: 
 
φrz
rzφ
zφr
aˆaˆaˆ
aˆaˆaˆ
aˆaˆaˆ
=×
=×
=×
 (0.14) 
 
E para um sistema de coordenadas esféricas: 
 
θrφ
rφθ
φθr
aˆaˆaˆ
aˆaˆaˆ
aˆaˆaˆ
=×
=×
=×
 (0.15) 
 
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ELETROMAGNETISMO I 7
Estas expressões mostram que cada versor pode ser determinado em função dos outros 
dois. Pela relação (0.12) verificamos que se invertermos a ordem dos versores no produto 
vetorial, teremos um versor negativo àqueles obtidos pelas relações (0.13), (0.14) e (0.15). 
Quaisquer dois vetores ou versores paralelos possuem o produto vetorial nulo, visto que 
sen 0 = sen π = 0. 
 
ELEMENTOS DIFERENCIAIS DE VOLUMES, LINHAS E SUPERFÍCIES 
Sistema cartesiano 
Tomemos um paralelepípedo elementar de arestas dx, dy e dz conforme a figura 0.8 (a), 
onde o seu volume dv é dado por 
 
dz.dy.dxdv = (0.16) 
 
O elemento vetorial de linha Ld é dado pela soma vetorial de suas arestas dx, dy e dz 
orientadas pelos versores , e resultando na diagonal do paralelepípedo, de maneira 
que 
xaˆ yaˆ zaˆ
 
zyx aˆdzaˆdyaˆdxLd ++=
r
 (0.17) 
 
 
 
Figura 0.8 Comprimentos, áreas e volumes elementares. 
 
Sistema cilíndrico 
Tomaremos agora um paralelepípedo curvilíneo cujas arestas serão dadas por dr, r.dφ e 
dz mostradas na figura 0.8 (b). Da mesma forma como procedemos no sistema retangular, o 
elemento de volume será 
 
dzφrdrddz.φrd.drdv == (0.18) 
 
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ELETROMAGNETISMO I 8
E o comprimento elementar Ld será dado então pela soma de suas componentes dr, rdφ 
e dz orientadas pelos versores , e onde raˆ φaˆ zaˆ
 
zφr aˆdzaˆφrdaˆdrLd ++=
r
 (0.19) 
 
Sistema esférico 
Considerando ainda um paralelepípedo curvilíneo de arestas dr, r.dθ e r.senθ.dφ 
mostradas na figura 0.8 (c), o elemento de volume será dado por 
 
φdθdrdθsenrφdθsenr.θrd.drdv 2== (0.20) 
 
Logo, o comprimento elementar Ld será dado por 
 
φθr aˆφdθsenraˆθrdaˆdrLd ++=
r
 (0.21) 
 
Os elementos de área, em qualquer dos três sistemas de coordenadas, podem ser 
determinados sem maiores dificuldades em qualquer sistema de coordenadas, uma vez que 
bastará multiplicar as arestas elementares que definem a superfície da face em questão. 
 
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ELETROMAGNETISMO I 9
IDENTIDADES VETORIAIS 
As identidades vetoriais relacionadas abaixo podem ser provadas, embora algumas 
exijam do estudante um pouco de trabalho “braçal”. Simplificando a notação vetorial para as 
identidades que seguem, os vetores são indicados apenas por letras maiúsculas, sem as setas, 
enquanto que os escalares estão representados por letras minúsculas. Assim: 
 ( ) ( ) ( ) BACACBCBA ⋅×≡⋅×≡⋅× (a) 
 ( ) ( ) ( )CBABCACBA ⋅−⋅≡×× (b) 
 ( ) BABA ⋅∇+⋅∇≡+⋅∇ (c) 
 ( ) vuvu ∇+∇≡+∇ (d) 
 ( ) BABA ×∇+×∇≡+×∇ (e) 
 ( ) ( AuuAuA ⋅∇ )+∇⋅≡⋅∇ (f) 
 ( ) ( ) ( uvvuuv ∇+∇≡∇ )
)
 (g) 
 ( ) ( ) ( AuAuuA ×∇+×∇≡×∇ (h) 
 ( ) ( ) ( BAABBA )×∇⋅−×∇⋅≡×⋅∇ (i) 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ABBAABBABA ×∇×+×∇×+∇⋅+∇⋅≡⋅∇ (j) 
 ( ) ( ) ( )BAABABBABA ∇⋅−∇⋅+⋅∇−⋅∇≡××∇ (k) 
 
vv 2∇≡∇⋅∇ (l) 
 
0A ≡×∇⋅∇ (m) 
 
0v ≡∇×∇ (n) 
 
( ) AAA 2∇−⋅∇∇≡×∇×∇ (o) 
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ELETROMAGNETISMO I 10
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 
 
1) Encontre o vetor que liga o ponto P (5, 7, -1) ao ponto Q (-3, 4, 1). Calcule também 
o vetor unitário ou versor associado ao vetor determinado por 
A
r
A
r
. 
2) Determine a distância entre os pontos A (5 mm; π; 2 mm) e B ( 3 mm; -π/6; -2 mm), 
dados em coordenadas cilíndricas. 
3) Dados e , calcule a projeção do vetor zy aˆ10aˆ4A +=
r
yaˆ3B =
r
A
r
 sobre a direção do 
vetor . B
r
4) Dados os vetores zyx aaaA ˆ3ˆ4ˆ2 −+=
r
e yx aˆaˆB +−=
r
, calcule os produtos escalar e 
vetorial entre eles. 
5) Dados e , calcule o menor ângulo formado entre eles 
usando o produto vetorial e o produto escalar entre eles. 
yx aˆ4aˆ2A +=
r
zy aˆ4aˆ6B −=
r
6) Determine a expressão para o produto vetorial entre dois vetores genéricos e A
r
B
r
 
num sistema cartesiano e mostre que ele pode ser calculado a partir do determinante 
de uma matriz 3 x 3. 
7) Estabeleça uma condição de paralelismo entre dois vetores a partir do produto vetorial 
entre eles. 
8) Obtenha a condição de ortogonalidade entre dois vetores. 
9) Use um sistema de coordenadas esféricas para calcular a área sobre uma casca esférica 
de raio r com α ≤ θ ≤ β. Qual o resultado quando α = 0 e β = π? 
10) Dado o plano A x + B y + C z = K, onde K é uma constante, obtenha um vetor 
nV
r
normal a este plano. Pode existir mais de uma solução? 
11) Encontre os versores em um sistema de coordenadas esféricas em função de 
correspondentes coordenadas retangulares (cartesianas). 
 
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	VETOR
	VERSOR OU VETOR UNITÁRIO
	Figura 0.5 Versores das componentes coordenadas.
	PRODUTO ESCALAR
	Sejam dois vetores em um sistema de coordenadas onde e . Co
	PRODUTO VETORIAL
	Figura 0.7 O produto vetorial entre e
	ELEMENTOS DIFERENCIAIS DE VOLUMES, LINHAS E SUPERFÍCIES
	Sistema cartesiano
	Sistema cilíndrico
	Sistema esférico
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