Geometria Espacial (Resumo)

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www.mathtec.net GGEEOOMMEETTRRIIAA EESSPPAACCIIAALL ((RREESSUUMMOO TTEEÓÓRRIICCOO)) 
 
Prof. Márcio Queiroz 1
 
 
 
GGEEOOMMEETTRRIIAA EESSPPAACCIIAALL 
DDEE PPOOSSIIÇÇÃÃOO 
 
 
I. Postulados Iniciais 
 
aa)) PPOOSSTTUULLAADDOO DDAA EEXXIISSTTÊÊNNCCIIAA 
 
? Em uma reta, bem como fora dela, 
existem infinitos pontos. 
 
 
 
 
 
 
? Em um plano, bem como fora dele, 
existem infinitos pontos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
bb)) PPOOSSTTUULLAADDOO DDAA DDEETTEERRMMIINNAAÇÇÃÃOO 
 
 Dois pontos distintos determinam uma 
 única reta que passa por eles. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
cc)) PPOOSSTTUULLAADDOO DDAA IINNCCLLUUSSÃÃOO 
 
 Se dois pontos distintos pertencem a uma 
 reta e a um plano, então esta reta está 
 contida neste plano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
dd)) OOUUTTRROOSS PPOOSSTTUULLAADDOOSS 
 
? Por um ponto passam infinitas retas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
? A intersecção de dois planos distintos 
que tenham um ponto em comum é 
uma reta. 
 
? A paralela a uma reta por um ponto é 
única. 
 
II. Posições relativas entre duas 
retas 
 
Dadas duas retas r e s, elas podem ser: 
 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎩⎨
⎧
reversasou coplanares Não
esConcorrent
 
esCoincident
paralelas teEstritamen
 Paralelas
Coplanares
 
 
 
RREETTAASS EESSTTRRIITTAAMMEENNTTEE PPAARRAALLEELLAASS 
 
 Duas retas coplanares e distintas r e s são 
paralelas se não tem ponto comum. 
 
 
 
 
 
 
 
 
RREETTAASS CCOOIINNCCIIDDEENNTTEESS 
 
 Duas retas coplanares r e s são coincidentes se 
todos os pontos de r pertencem a s e vice-versa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RREETTAASS CCOONNCCOORRRREENNTTEESS 
 
 Duas retas coplanares r e s são concorrentes 
se, e somente se, possuem em comum um 
único ponto. 
 
 
 
 
 
 
 
RREETTAASS RREEVVEERRSSAASS 
 
 Duas retas r e s são reversas se, e 
somente se, não existe plano que as contenha. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 AATTEENNÇÇÃÃOO:: 
 
? Quando duas retas concorrentes 
formam entre si um ângulo de 90o, são 
chamadas retas perpendiculares. 
 
? Quando duas retas reversas formam 
um ângulo de 90o, são chamadas 
retas ortogonais. 
 
 
 
III. Posições relativas entre dois 
planos 
 
 
PPLLAANNOOSS PPAARRAALLEELLOOSS DDIISSTTIINNTTOOSS 
 
 Dois planos distintos α e β são paralelos 
se não tem ponto comum. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PPLLAANNOOSS CCOOIINNCCIIDDEENNTTEESS 
 
 Dois planos α e β são coincidentes se 
todos os pontos de α pertencem a β e vice-
versa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
PPLLAANNOOSS SSEECCAANNTTEESS 
 
 Dois planos distintos α e β são secantes, 
ou concorrentes, se a intersecção entre eles é 
uma reta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IV. Posições relativas entre uma 
reta e um plano 
 
RREETTAA PPAARRAALLEELLAA AA PPLLAANNOO 
 
 Uma reta r é paralela a um plano α se, e 
somente se, não possuem ponto comum. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Prof. Márcio Queiroz 2
 
 
VFA +=+ 2
RREETTAA CCOONNTTIIDDAA NNOO PPLLAANNOO 
 
 Uma reta r está contida em um plano α se, 
e somente se, a intersecção entre eles é a 
própria reta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RREETTAA CCOONNCCOORRRREENNTTEE AA PPLLAANNOO 
 
 Uma reta r e um plano α são concorrentes, 
ou secantes, se, e somente se, possuem um 
único ponto comum. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
V. Determinação de um plano 
 
 Um plano pode ser determinado de várias 
maneiras, dentre elas: 
 
?? TTRRÊÊSS PPOONNTTOOSS NNÃÃOO CCOOLLIINNEEAARREESS.. 
?? DDUUAASS RREETTAASS CCOONNCCOORRRREENNTTEESS.. 
?? DDUUAASS RREETTAASS EESSTTRRIITTAAMMEENNTTEE PPAARRAALLEELLAASS.. 
? UUMMAA RREETTAA EE UUMM PPOONNTTOO FFOORRAA DDEELLAA. 
 
 
 OOBBSSEERRVVAAÇÇÃÃOO:: 
 “Determinar um plano” significa obter um 
 ÚÚNNIICCOO plano. 
 
 
 
VI. Paralelismo e Perpendicularismo 
de reta e plano 
 
 
RREETTAA PPEERRPPEENNDDIICCUULLAARR AA UUMM PPLLAANNOO 
 
 Sendo r uma reta que intercepta o plano α 
no ponto P, diremos que r é perpendicular a α 
se r é perpendicular a todas as retas de α que 
passam por P. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RREETTAA PPAARRAALLEELLAA AA PPLLAANNOO 
 
 Uma reta r é paralela a um plano α se, e 
somente se, eles não têm ponto comum. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VII. Poliedros 
 
 Denomina-se Poliedro ao sólido limitado 
por polígonos planos que têm, dois a dois, um 
lado em comum. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 AATTEENNÇÇÃÃOO:: 
 
? Os polígonos que compõem o poliedro são 
as sua faces; os lados e os vértices dos 
polígonos são chamados, respectivamente, 
de arestas e vértices do poliedro. 
 
? Um poliedro é dito convexo quando o 
segmento de reta que une dois de seus 
pontos, quaisquer, está contido no poliedro. 
 
? A nomenclatura de um poliedro é feita 
em função do número de faces. 
 
 TTEETTRRAAEEDDRROO:: poliedro de 4 faces. 
 HHEEXXAAEEDDRROO:: poliedro de 6 faces. 
 OOCCTTAAEEDDRROO:: poliedro de 8 faces. 
 DDOODDEECCAAEEDDRROO:: poliedro de 12 faces. 
 IICCOOSSAAEEDDRROO:: poliedro de 20 faces. 
 
TTEEOORREEMMAA DDEE EEUULLEERR 
 
 Em todo poliedro convexo vale a relação: 
 
 
 
 
 A: no de arestas. 
 onde: V: no de vértices. 
 F: no de faces. 
 
 
 
 
 
 
PPOOLLIIEEDDRROOSS DDEE PPLLAATTÃÃOO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AANNOOTTAAÇÇÕÕEESS