02 Tensoes

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EET438 - Transformação Mecânica dos Materiais 2015/1 
 
1-Estado de Tensões Triaxial(*) 
 
É definido pelo tensor de tensões 










=
zyzxz
zyyxy
zxyxx
σττ
τστ
ττσ
T
 
onde, pelo equilíbrio de momentos, jiij ττ = . 
O vetor tensão s que atua no plano definido pela sua normal vˆ é dado pela fórmula de Cauchy: 




















=










=
n
m
l
σττ
τστ
ττσ
S
S
S
zyzxz
zyyxy
zxyxx
z
y
x
s
 
ou, abreviadamente 
vTs ˆ⋅=
 
Este vetor pode ser decomposto na soma dos vetores σ , a tensão normal ao plano, e τ , a tensão 
cisalhante no plano: 
τσs +=
 
O vetor tensão normal σσσσ é paralelo a vˆ e seu módulo é σ : 










==
n
m
l
σσ vσ ˆ
 
O valor da tensão normal σ que atua sobre o plano é obtido pela projeção de s sobre vˆ , ou seja, o 
produto escalar 
( )








































=
⋅⋅=
⋅=
n
m
l
n
m
l
σττ
τστ
ττσ
σ
zyzxz
zyyxy
zxyxx
vvT
vs
ˆˆ
ˆ
 
o que resulta em 
nlτmnτlmτnσmσlσσ zxyzxyzyx 222
222 +++++=
 
 
( *)
 Neste texto, negrito identifica tensores, ou matrizes (maiúsculas) e vetores (minusculas). Assim, a norma 
(módulo) de u é o escalar u. 
O vetor tensão cisalhante atuando no plano é dado pela relação 
σsτ −=
 
e o seu módulo é dado por 
222
σsτ −=
 
 
 
 
 
2- Tensões e direções principais 
Se a orientação do plano é tal que a tensão atuante é uma tensão normal, ou seja, os vetores s e σ 
são paralelos, então diz-se que: 
• plano é um plano principal, 
• sua normal é uma direção principal e 
• a tensão é uma tensão principal. 
 
Esta condição é descrita pela relação: 
σs =
 
É conveniente escrever o vetor σ como 
vIσ ˆ
100
010
001
⋅=




















= σ
n
m
l
σ
 
o que resulta em 
vIvT ˆˆ ⋅=⋅ σ
 
ou na relação 
( ) 0ˆ =⋅− vTIσ
 
que, por extenso, consiste no sistema de equações 
0=




















−−−
−−−
−−−
n
m
l
σσττ
τσστ
ττσσ
zyzxz
zyyxy
zxyxx
 
Este é um sistema homogêneo de equações. A solução não-trivial é dada pelo valor de σ que anula 
o determinante 
0=
−−−
−−−
−−−
zyzxz
zyyxy
zxyxx
σσττ
τσστ
ττσσ
 
Desenvolvendo o determinante obtém-se uma equação do 3o grau, 
032
2
1
3
=−+− IσIσIσ
 
cujas 3 raízes são os valores das tensões principais 321 σ eσ,σ . Como estas raízes devem ser sempre 
as mesmas, independentemente do sistema de coordenadas escolhido para a definição do tensor T, 
os coeficientes I1, I2 e I3 também o serão e, por essa razão, são chamados de invariantes do estado 
de tensões. Veja no livro texto as definições dos invariantes. 
 
As componentes das direções principais são determinadas resolvendo os sistemas de equações 
correspondentes a cada um dos valores das tensões principais. Para o valor iσ o sistema será 
321
1
0
222
,,i
nml
n
m
l
σσττ
τσστ
ττσσ
iii
i
i
i
ziyzxz
zyyixy
zxyxxi
=
=++
=




















−−−
−−−
−−−
 
Estes sistemas de equações são não-lineares e podem ser resolvidos facilmente por métodos 
iterativos. 
O problema das tensões e direções principais é conhecido na álgebra linear como o problema dos 
auto-valores e auto-vetores (ou valores próprios e vetores próprios) de uma transformação. O 
MathCad dispõe de funções para essa determinação: eigenvals( ) e eigenvecs( ). 
 
3- Relações no referencial das direções principais 
Quando as direções principais são tomadas como eixos de referencia, os cálculos tornam-se bastante 
simples. O tensor das tensões é dado por 










=
3
2
1
00
00
00
σ
σ
σ
P
 
O vetor tensão para um plano cuja normal é [ ]nml=vˆ é dado pela fórmula de Cauchy: 










=




















=⋅=
nσ
mσ
lσ
n
m
l
σ
σ
σ1
3
2
1
3
2
00
00
00
vˆPs
 
O valor da componente normal ao plano é a projeção de s sobre v: 
2
3
2
2
2
1ˆ nσmσlσσ ++=⋅= vs 
O valor da componente cisalhante é dado por 222 σsτ −= , onde ( ) ( ) ( )2322212 mσmσlσs ++= . 
Rearranjando os termos, resulta 
( ) ( ) ( ) 2223222231222212 nmσσnlσσmlσστ −+−+−= 
Esta expressão permite determinar quais são os planos nos quais atuam as chamadas tensões 
cisalhantes máximas. Os valores correspondentes são apresentados na tabela abaixo (veja as 
figuras no livro texto): 
l m n τ
 
0 21±
 
21±
 
2
32
1
σσ
τ
−
=
 
21±
 
0 21±
 
2
31
2
σσ
τ
−
=
 
21±
 
21±
 
0 
2
21
3
σσ
τ
−
=
 
 
Um conjunto especial de planos são os planos chamados octaédricos. São as faces do octaedro 
inscrito no cubo (seus vértices são os centros das faces do cubo). São quatro planos e as suas 
normais fazem ângulos iguais com as direções principais: 
l m n 
31
 
31
 
31
 
31
 
31
 
31−
 
31
 
31−
 
31
 
31−
 
31
 
31
 
 
Nestes planos, o valor da tensão normal é o mesmo, sendo igual a um terço do primeiro invariante. 
33
313131 1321321
2
3
2
2
2
1
Iσσσ
σσσnσmσlσσ =++=⋅+⋅+⋅=++=
 
Esta quantidade é definida como a tensão média: 
33
1321 Iσσσ
σm =
++
=
 
A tensão cisalhante que atua nestes planos, a tensão cisalhante octaédrica, tem o mesmo valor em 
todos os casos: 
( ) ( ) ( )[ ]2322312212 91 σσσσσστoct −+−+−= 
que, como veremos mais tarde, também está relacionado com um invariante. 
4- Componentes Hidrostática e Desvio do tensor de tensões 
Um tensor com a forma 










=
p
p
p
00
00
00
Q
 
representa o estado de tensões resultante da aplicação de uma tensão com o mesmo valor em todas 
as direções. É denominado hidrostático devido ao fato de corresponder à pressão exercida por um 
fluido. 
Aplicando-se a formula de Cauchy, para uma direção v qualquer, resulta: 
vvQ ˆ
00
00
00
ˆ p
n
m
l
p
n
m
l
p
p
p
=










=




















=⋅
 
Portanto, num estado de tensões hidrostático, o vetor tensão é sempre paralelo à normal ao plano 
considerado e o seu módulo é a "pressão" p. 
Vejamos o resultado da superposição de um estado de tensões hidrostático Q a um estado de 
tensões qualquer T. O tensor de tensões resultante é 










+
+
+
=+=
p
p
p
zyzxz
zyyxy
zxyxx
σττ
τστ
ττσ
QTR
 
A aplicação da fórmula de Cauchy, a uma direção vˆ qualquer, resulta em 
( ) vQvTvQTvR ˆˆˆˆ ⋅+⋅=⋅+=⋅
 
Se esta direção vˆ for uma direção principal de T, associada à tensão principal σ, tem-se 
( )vvR ˆˆ p+=⋅ σ
 
o que significa que v também é uma direção principal de R e que ( )p+σ é o valor da tensão 
principal. 
Em consequencia, um tensor de tensões T qualquer pode ser decomposto da seguinte maneira 
HT
T
+′=










+










−−
−
=










=
m
m
m
mzyzxz
zymyxy
zxyxmx
zyzxz
zyyxy
zxyxx
σ
σ
σ
σσττ
τσστ
ττσσ
σττ
τστ
ττσ
00
00
00
 
onde mσ é a tensão média definida por 
33
1Iσσσ
σ
zyx
m =
++
=
 
e os tensores 
( )
( )
( )










=










−−
−−
−−
=










−
−
−
=′
m
m
m
yxzyzxz
zyzxyxy
zxyxzyx
mzyzxz
zymyxy
zxyxmx
σ
σ
σ
σσσττ
τσσστ
ττσσσ
σσττ
τσστ
ττσσ
00
00
00
 e
32
32
32
H
T
 
são as chamadas componentes desvio e hidrostática do estado de tensões. 
Pelo que foi exposto acima, é fácil concluir que as direções principais de TT de e ′ são as mesmas e 
que os valores das tensões principais iσ ′ do tensor desvio e iσ do tensor total estão relacionados por 
3 2, 1,=
−=′
i
,σσσ mii
 
O significado físico dos tensores desvio e hidrostático pode ser entendido através da decomposição 
do tensor de tensões principais: 










+










=










s
r
q
σ
σ
σ
σ
σ
σ
m
m
m
00
00
00
00
00
00
00
00
00
3
2
1
 
onde mσ é a tensão média e q, r, e s são as tensões principais do tensor desvio. É possível mostrar 
que existe uma rotação de eixos tal que os tensores hidrostático e desvio são escritos na forma 










−
−+










0
0
0
00
00
00
rt
rt
tt
σ
σ
σ
m
m
m
 
onde 2qst −= (*). Desta maneira pode-se perceber que o tensor desvio contem apenas tensões 
cisalhantes, ou seja, é um estado de cisalhamento puro. Este mesmo raciocínio pode ser feito para o 
estado plano de tensões empregando o círculo de Mohr. 
Quanto aos invariantes do tensor desvio, o primeiro, 1J , é nulo (por que?) e o segundo, 2J tem 
significado bastante especial. Sua expressão em função das tensões principais é 
( ) ( ) ( )[ ]2132322212 61 σσσσσσJ −+−+−= . 
Veja que a tensão cisalhante octaédrica será 
( ) ( ) ( )[ ] 22322312212 3291 Jσσσσσστoct =−+−+−= . 
 
( *)
 O termo -qs é sempre positivo, uma vez que q e s tem sinais contrários, pois são, respectivamente, a maior e 
a menor tensões principais do tensor desvio. 
E, ainda, que a média quadrática das tensões cisalhantes máximas também está relacionada com o 
invariante 2J : 
( ) ( ) ( )[ ] 2213232221232221 211213 Jσσσσσστττ =−+−+−=++