Slides de Aula Unidade IV (1)

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Unidade IV
ÁLGEBRA
Profa. Isabel Espinosa
Congruência módulo m
m
m
Congruência módulo m
a, b, m  Z, 
Os restos da divisão de a por m e da divisão 
de b por m são iguais
m
de b por m são iguais.
Exemplo:
4
6 4
2 1
2 4
2 0
resto
Congruência módulo m
Exemplos:
a)
f
4
De fato, 4 divide 6 – 2
b) 
5
5 divide -2 – 3, isto é, 5 divide – 5 
Homomorfismo de grupos
A e B conjuntos não vazios.
A com a operação binária *, (A, *) é grupo
B com a operação binária º, (B, º) é grupo
f : A  B, homomorfismo de grupos se
a, b  A, f(a*b) = f(a) º f(b)
Homomorfismo de grupos
Exemplos:
1. A função f(x) = ex é homomorfismo de 
grupos, de (IR, +) em (IR, .).
Devemos verificar se f(a*b) = f(a)ºf(b), isto é,
f(a+b) = f(a).f(b)
f(a+b) = ea+b = ea . eb = f(a) . f(b)
f é homomorfismo de grupos.
Homomorfismo de grupos
2. A função f(x) = ex não é homomorfismo 
de grupos, de (IR, .) em (IR,+).
Devemos verificar se f(a*b) = f(a)ºf(b), isto é,
f(a.b) = f(a)+f(b)
f(a. b) = ea . b
≠
f(a) + f(b) = ea + eb
Logo, f não homomorfismo 
de grupos 
Homomorfismo de grupos
3. A função f(x) = Ln x é homomorfismo de 
grupos, de (IR, .) em (IR,+).
Devemos verificar se f(a*b) = f(a)ºf(b),isto é, 
f(a.b) = f(a)+f(b)
f(a.b) = Ln(a.b) = Ln a + Ln b = f(a) + f(b)
f é homomorfismo de grupos
(f leva a multiplicação na adição)
Homomorfismo de grupos
4. A função f(x) = Ln x não é 
homomorfismo de grupos, de (IR,+) em 
(IR, .).
Devemos verificar se f(a*b) = f(a)ºf(b),isto é, ( ) ( ) ( ), ,
f(a+b) = f(a).f(b)
f(a+b) = Ln(a+b) 
≠
( ) ( )
f(a) . f(b) = Ln a . Ln b 
logo f não homomorfismo de grupos 
Homomorfismo de grupos
5. A função f(x) = ix é homomorfismo de 
grupos, de (IN, +) em (C, .).
Devemos verificar se 
f(a+b) = f(a) . f(b)
f(a + b) = ia + b
=
f(a) . f(b) = ia . ib
logo f é homomorfismo de grupos
Homomorfismo de anéis
Homomorfismo de anéis – preserva as 
operações (leva soma em soma, produto em 
produto).
f : A  B, 
homomorfismo de anéis se a, b  A, 
f(a*b) = f(a)*f(b)
f(a+b) = f(a)+f(b)( ) ( ) ( )
Homomorfismo de anéis
Homomorfismo de anéis
Interatividade
Das afirmações a seguir, a única incorreta é:
3
a)
6
b)
c)
5
c)
5
d)
7
e)
Endomorfismo
Endomorfismo – homomorfismo do 
conjunto nele mesmo.
Exemplos: 
1 Consideremos o conjunto dos reais com1. Consideremos o conjunto dos reais com 
a adição, a aplicação.
f: IR IR, f(x) = 3x, é um endomorfismo?
A aplicação f vai de IR em IR, para ser 
endomorfismo falta ainda verificar se é 
homomorfismo.
Endomorfismo
f: IR IR, f(x) = 3x
Para ser homomorfismo devemos 
verificar se:
f(a+b) = f(a)+f(b)f(a+b) = f(a)+f(b)
f(a+b) = 3 (a + b) = 3a + 3b = f(a)+f(b)
Concluímos então que é um 
endomorfismo.
Endomorfismo
2. Consideremos o conjunto dos reais com 
a multiplicação, a aplicação 
f: IR IR, f(x) = 2x + 1, é um 
endomorfismo?
A aplicação f vai do conjunto nele 
mesmo, para ser endomorfismo falta 
ainda verificar se é homomorfismo.
Endomorfismo
f: IR IR, f(x) = 2x + 1
Para ser homomorfismo devemos 
verificar se:
f(a . b) = f(a) . f(b)( ) ( ) ( )
f(a . b) = 2 (a . b) + 1= 2a . b + 1 
f(a). f(b) = (2 a + 1) . (2 b + 1) = 
≠
= 4 a.b + 2a + 2b + 1
Concluímos então que não é um 
homomorfismo, logo não pode ser 
endomorfismo.
Automorfismo 
Automorfismo – homomorfismo bijetor.
Exemplo: 
Consideremos o conjunto dos reais com a 
adição a aplicaçãoadição, a aplicação 
f: IR IR, f(x) = 3x, é um automorfismo?
f é homomorfismo de IR em IR isto éf é homomorfismo de IR em IR, isto é,
f é endomorfismo, falta verificar se é bijetor.
Automorfismo
f: IR IR, f(x) = 3x é bijetora? 
i) f(x) = 3x é injetora, pois, 
x1 ≠ x2  f(x1) ≠ f(x2)
i) f(x) = 3x é sobrejetora, pois, Imf = IR
Logo, f é bijetora:
Concluímos então que f é um automorfismo.
Monomorfismo 
Monomorfismo – homomorfismo injetor.
Exemplos:
1. A função f(x) = ex é homomorfismo de 
grupos de (IR +) em (IR )grupos, de (IR, +) em (IR, .). 
Verificar se é monomorfismo.
Devemos verificar se o homomorfismo é 
Injetor.j
Monomorfismo 
f: IR  IR
f(x) = ex
para f ser injetora podemos verificar
x ≠ x  f(x ) ≠ f(x )x1 ≠ x2  f(x1) ≠ f(x2) 
ou
f(x1) = f(x2)  x1 = x2 
Assim, 
f( ) f(b) b bf(a) = f(b)  ea = eb  a = b 
Logo, é injetora.
Portanto, é monomorfismo.
Monomorfismo
2. A função f(x) = ix é homomorfismo de 
grupos, de (IN, +) em (C, .).Verificar se é 
monomorfismo.
Devemos verificar se é injetora, isto é,j , ,
a ≠ b  f(a) ≠ f(b) 
f: IN  C, f(x) = ix 
Não é injetora, pois, por exemplo para 
a = 2 e b = 6 temos a ≠ b mas f(a) = f(b)a = 2 e b = 6 temos a ≠ b mas f(a) = f(b)
f(a) = f(b) 
f(2) = i2 = -1
e
f(6) = i6 = -1
Epimorfismo
Epimorfismo – homomorfismo sobrejetor.
Exemplos:
1. A função f(x) = ex é homomorfismo de 
grupos de (IR +) em (IR )grupos, de (IR, +) em (IR, .). 
Verificar se é epimorfismo, isto é, se f é 
sobrejetora.
Epimorfismo
f: IR  IR
f(x) = ex
para f ser sobrejetora devemos verificar se
fIm f = IR
f(x) = ex > 0,  x IR, 
L I f IR * ≠ IR ã é b j tLogo, Im f = IR+* ≠ IR não é sobrejetora.
Logo, não é epimorfismo.
Epimorfismo
2. A função f(x) = ex é homomorfismo de 
grupos, de (IR, +) em (IR+* , .). 
Verificar se é epimorfismo, isto é, se f é 
sobrejetora.
Note que alteramos o conjunto de chegada.
Epimorfismo
f: IR  IR+*
f(x) = ex
para f ser sobrejetora devemos verificar se
f *Im f = IR+*
f(x) = ex > 0,  x IR, 
L I f IR * é b j tLogo, Im f = IR+ * , é sobrejetora.
Logo é epimorfismo.
Epimorfismo
3. A função f(x) = ix é homomorfismo de 
grupos, de (IN, +) em (C, .).
Verificar se é epimorfismo.
Devemos verificar se é sobrejetora isto éDevemos verificar se é sobrejetora, isto é,
Im f = C.
Epimorfismo
f: IN  C, f(x) = ix
Não é sobrejetora, pois,
Im f = {-1, 1, i, -i} ≠ C
Logo, não é epimorfismo.
Interatividade
A afirmação correta sobre isomorfismos é:
a) Todo homomorfismo é também 
isomorfismo.
b) Homomorfismo bijetor é isomorfismo.
c) Homomorfismo injetor é isomorfismoc) Homomorfismo injetor é isomorfismo.
d) Homomorfismo sobrejetor é 
isomorfismo.
e) Homomorfismo bijetor será isomorfismo 
somente se for de A em A.
Isomorfismo 
Isomorfismo – homomorfismo bijetor
Exemplos:
f f( ) é f1. A função f(x) = 3x é homomorfismo de 
(IR, +) em (IR, .). 
Verificar se é isomorfismo, isto é, se f é 
bijetora.
Isomorfismo 
f: IR  IR, f(x) = 3x
f injetora ?
f(a) = f(b)  a = b
Temos:
f(a) = f(b)  3 a = 3 b  a = b
L é i j tLogo, é injetora.
Isomorfismo 
f: IR  IR, f(x) = 3x
f sobrejetora ?
Temos, Im f = IR
É sobrejetora.
Logo, é isomorfismo.
Isomorfismo 
2. A função f(x) = ex é homomorfismo de 
grupos, de (IR, +) em (IR+* , .). 
Verificar se é isomorfismo, isto é, se f é 
bijetora.
Isomorfismo 
f: IR  IR+*, f(x) = ex
f injetora ?
f(a) = f(b)  a = b
Temos:
f(a) = f(b)  ea = eb  a = b
L é i j tLogo é injetora
Isomorfismo 
f: IR  IR+*, f(x) = ex
f sobrejetora ?
Temos, Im f = IR+*
É sobrejetora.
Logo, é isomorfismo.
Isomorfismo
3) A função f(x) = ix é homomorfismo de 
grupos, de (IN, +) em (C, .).
f: IN  C, f(x) = ix, 
f não é injetora e não é sobrejetoraf não é injetora e não é sobrejetora.
Logo, não é bijetora e não pode ser 
isomorfismo.
Corpo ordenado
K é corpo ordenado.
K é corpo e tem uma relação de ordem “ ”.
fReflexiva: aK, a  a
Antissimétrica : a,bK, a  b e b  a a = b
T iti  b K  b b  Transitiva: a,b,cK, a  b e b  c  a  c
Corpo ordenado
relação de ordem “ ”, satisfaz também
Compatível com a adição: 
a  b  a + c  b + c, cK
Compatível com a multiplicação: 
a  b e 0  c  a . c  b . c, cK
Corpo ordenado
K é corpo ordenado.
a < b indica a  b e a ≠ b 
Tricotomia –
a,bK, a < b ou b < a ou a = b
Corpo ordenado
Exemplos:
1. Q – corpo ordenado dos racionais.
(Q ) é(Q,+, .) é corpo 
Relação de ordem em Q
m a =
r 
sb =
a  b  m.s  n.r
n s
Corpo ordenado
2. IR – corpo ordenado dos reais.
(IR,+, .) é corpo 
Relação de ordem em IR, “ ”
Interatividade
Sobre a função f(x) = 4x de (IR, +) em (IR, .), 
podemos afirmar que: 
a) Não é homomorfismo.
b) Não é endomorfismo.
c) Não é injetora.
d) É isomorfismo.
e) Não é bijetora.
Grupos finitos
Grupo finito – seus elementos podem ser 
contados.
Exemplos:
1) X = {1 2 3 n} isto é o conjunto1) Xn = {1, 2, 3, . . . , n}, isto é, o conjunto 
dos n primeiros números naturais.
Obs.:
Grupo G é finito se existe f bijetora entre p j
G e Xn, isto é, G é isomorfo a Xn , n  0
Grupos finitos
2. Para n = 0 temos X0 = Ø
3. Grupo com apenas 1 elemento.
Como para ser grupo deve conter o 
elemento neutro teremos:
(G *) G = {e} * e(G, ), G = {e} 
Tábua da operação *
* e
e e
Grupos finitos
4. Grupo com apenas 2 elemento
Como para ser grupo deve conter o 
elemento neutro teremos:
(G,*), G = {e,a} 
Tábua da operação *
* e a
e e a
a a e
e: elemento neutro.
Simétrico de: e é e
a é a
a a e
Grupos finitos
5. Grupo com apenas 3 elemento.
Como para ser grupo deve conter o 
elemento neutro teremos:
(G,*), G = {e,a,b} 
Tábua da operação *
* e a b
e e a b
a aa a
b b
Grupos finitos
(G,*), G = {e,a,b} 
e: elemento neutro
Simétrico de: e é e
a é b
é
* e a b
e e a b
a a b e
b bb é a
Obs.: a*b = e, pois, por exemplo se
a*b = a, teríamos b = e, (F) elementos 
distintos
b b e a
distintos.
a*b = b, teríamos a = e, (F) elementos 
distintos.
Grupo cíclico
Grupo G é cíclico se  a G talque G =
(G é gerado por a).
Exemplos:
< >a
1. G =
G grupo cíclico de ordem n
< >a
< >a = { 1, a, a2, . . . , an - 1 }
Grupo cíclico
2. (Z, +) é um grupo cíclico.
mZ, m = m . 1, logo
Z = { m.1 / m  Z } = < >1
Grupo cíclico
3. (Z4 , +) é um grupo cíclico e é gerado por
1 ou por 3
Z4 = {0, 1, 2, 3}
< >1 < >3Z4 = =< >1 < >3
+ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 01 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
Grupo cíclico
Z4 = =
1 + 0 = 1; 1 + 1 = 2; 1 + 2 = 3; 1 + 3 = 0 
Ou
< >1 < >3
Ou 
3 + 0 = 3; 3 + 1 = 0; 3 + 2 = 1; 3 + 3 = 2 
Assim, todos os elementos de Z4 são 
btid t é d l t 1 dobtidos através do elemento 1 ou do 
elemento 3.
Obs.: 
0 e 2 também são geradores de Z4 
Interatividade
Podemos afirmar que o grupo cíclico (Z6,*) 
é gerado por:
a) 0.
b) 2b) 2.
c) 3.
d) 5.
e) 4.
ATÉ A PRÓXIMA!