Tópicos e Didática da Àlgebra 1

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CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO LATO SENSU 
NÚCLEO DE PÓS-GRADUAÇÃO E EXTENSÃO FAVENI 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TÓPICOS E DIDÁTICAS DA ÁLGEBRA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESPÍRITO SANTO 
 
SUMÁRIO 
1 Álgebra............................................................................................... 4 
1.1 O que é álgebra ........................................................................... 4 
2 Expressões Numéricas ...................................................................... 5 
2.1 Os elementos de uma expressão numérica ................................ 5 
2.2 Considerações sobre os sinais de adição (+) e subtração (-) ..... 6 
3 Expressões Algébricas....................................................................... 7 
3.1 O que são expressões algébricas? ............................................. 7 
3.2 Classificação das expressões algébricas .................................... 8 
4 Produtos Notáveis ............................................................................ 11 
4.1 Cinco casos de Produtos Notáveis ............................................ 12 
5 Fatoração ......................................................................................... 15 
5.1 Tipos de Fatoração ................................................................... 15 
5.2 Diferença de quadrados: ........................................................... 15 
5.3 Trinômios quadrados perfeitos: ................................................. 16 
5.4 Trinômio do segundo grau: ........................................................ 16 
6 CONJUNTOS NUMÉRICOS ............................................................ 17 
6.1 Números Naturais (N) ................................................................ 17 
6.2 Números Inteiros (Z).................................................................. 17 
6.3 Números Racionais (Q) ............................................................. 17 
6.4 Números Irracionais (I) .............................................................. 18 
6.5 Conjunto dos Números Reais .................................................... 18 
7 proporcionalidade ............................................................................ 19 
8 Regra de Três Simples e Composta ................................................ 20 
8.1 Regra de três simples................................................................ 20 
8.2 Regra de três composta ............................................................ 22 
 
9 Equação do 1º grau com uma incógnita .......................................... 24 
9.1 Solução de equações do primeiro grau ..................................... 25 
10 sistema de equação do 1º grau .................................................... 27 
10.1 Método da substituição .......................................................... 28 
10.2 Método da adição ................................................................... 28 
11 Problemas envolvendo Sistema de Equações ............................. 29 
12 Equações do 2º grau .................................................................... 31 
12.1 Definição ................................................................................ 31 
12.2 RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU ....................... 32 
12.3 Fórmula de Bháskara ............................................................. 32 
12.4 Propriedades .......................................................................... 34 
12.5 Soma e Produto de uma equação do 2º grau: ....................... 34 
12.6 Obtendo a Soma e Produto de uma equação do 2º grau ....... 35 
12.7 Resolução de Equações Fracionárias do 2º grau .................. 35 
12.8 Resolução de Equações Literais do 2º grau .......................... 36 
12.9 Resolução de Equações Biquadradas ................................... 37 
13 Funções ........................................................................................ 38 
13.1 Noção Intuitiva ....................................................................... 38 
13.2 A Noção de Função através de Conjuntos ............................. 39 
13.3 Domínio, Imagem e Contra – Domínio de uma Função ......... 40 
13.4 Estudo do Domínio de uma Função ....................................... 41 
13.5 Função Sobrejetora, Função Injetora, Função Bijetora .......... 41 
13.6 Função Composta .................................................................. 42 
13.7 Função Inversa ...................................................................... 44 
14 Referências .................................................................................. 46 
 
 
1 ÁLGEBRA 
 
1.1 O que é álgebra 
Álgebra é o ramo da Matemática que generaliza a aritmética. Isso significa 
que os conceitos e operações provenientes da aritmética (adição, subtração, 
multiplicação, divisão etc.) serão testados e sua eficácia será comprovada para 
todos os números pertencentes a determinados conjuntos numéricos. 
A operação “adição”, por exemplo, realmente funciona em todos os 
números pertencentes ao conjunto dos números naturais? Ou existe algum 
número natural muito grande, próximo ao infinito, que se comporta de maneira 
diferente dos demais ao ser somado? A resposta para essa pergunta é dada 
pela álgebra: Primeiramente, é definido o conjunto dos números naturais e a 
operação soma; depois, é comprovado que a operação soma funciona para 
qualquer número natural. 
Nos estudos de álgebra, letras são utilizadas para representar números. 
Essas letras tanto podem representar números desconhecidos quanto um 
número qualquer pertencente a um conjunto numérico. Se x é um número par, 
por exemplo, então x pode ser 2, 4, 6, 8, 10,.... Dessa maneira, x é um número 
 
qualquer pertencente ao conjunto dos números pares e fica evidente o tipo de 
número que x é: um múltiplo de 2. 
2 EXPRESSÕES NUMÉRICAS 
 
Fonte: www.simbolosmatematicos.com 
As expressões numéricas são altamente necessárias para solucionarmos 
problemas cotidianos. Através do conhecimento das operações básicas da 
matemática, bem como da interpretação dos dados contidos nos problemas, 
podemos organizar o problema, extrair suas informações principais, convertê-lo 
a um modelo matemático e, por fim, efetuar os cálculos para a sua resolução. 
2.1 Os elementos de uma expressão numérica 
Uma expressão numérica é composta de alguns elementos que deverão 
ser observados atentamente antes do início de sua resolução. É importante 
também, antes de explorarmos os elementos em debate, chamar atenção para 
a ordem das operações matemáticas dispostas na expressão, ou seja, 
deveremos sempre resolver as potências e raízes, produtos e os quocientes, 
para somente após operar com as adições e subtrações. Um pouco mais adiante 
detalharei mais essa informação. 
 
Em relação aos elementos de uma expressão, podemos destacar os 
parênteses ( ), os colchetes [ ], as chaves { }, os números e os símbolos de 
operação. Entre os parênteses, colchetes e chaves, também existe uma 
sequência resolutiva a ser seguida. Primeiro resolvemos a parte interna dos 
parênteses, em seguida os colchetes e, logo após, as chaves. Ao concluirmos 
esse “ritual”, nos restará uma expressão simples, contendo apenas o que 
chamamos de adição algébrica. 
2.2 Considerações sobre os sinais de adição (+) e subtração (-) 
Quando o sinal de adição (+) anteceder um parêntese, colchete ou 
chaves, deveremos eliminar o parêntese, o colchete ou chaves, na ordem de 
resolução, reescrevendo os números internos com os seus sinais originais. 
Quando o sinal de subtração (-) anteceder um parêntese, colchete ou 
chaves, deveremoseliminar o parêntese, o colchete ou chaves, na ordem de 
resolução, reescrevendo os números internos com os seus sinais invertidos. 
Exemplo: 
15 + [(7 – 100:102) + (16:√4 – 4)]2 + 10}·3 
Observe que existem dois parênteses dentro de colchetes. Qualquer um 
dos dois pode ser feito primeiro ou ambos podem ser realizados ao mesmo 
tempo, desde que não se misturem os cálculos para cada um. Faremos na ordem 
em que aparecem. Isso é o mais indicado a ser feito. 
Assim, para os primeiros parênteses, faremos a potência; depois, a 
divisão e, por fim, a subtração: 
{15 + [(7 – 100:102) + (16:√4 – 4)]2 + 10}·3 
{15 + [(7 – 100:100) + (16:√4 – 4)]2 + 10}·3 
{15 + [(7 – 1) + (16:√4 – 4)]2 + 10}·3 
{15 + [(6) + (16:√4 – 4)]2 + 10}·3 
Nesse caso, os parênteses podem ser eliminados. 
{15 + [6 + (16:√4 – 4)]2 + 10}·3 
Agora os parênteses seguintes. Primeiro, a raiz quadrada; depois, divisão 
e subtração. 
{15 + [6 + (16:2 – 4)]2 + 10}·3 
{15 + [6 + (8 – 4)]2 + 10}·3 
 
{15 + [6 + (4)]2 + 10}·3 
{15 + [6 + 4]2 + 10}·3 
Note que, dentro dos colchetes, sobrou apenas uma adição. Depois de 
realizá-la, o número que sobrar deverá ser elevado ao quadrado. Assim, 
obteremos: 
{15 + [10]2 + 10}·3 
{15 + 100 + 10}·3 
Agora, falta apenas realizar os cálculos dentro das chaves e multiplicar o 
resultado por 3: 
{15 + 100 + 10}·3 
125·3 
375 
3 EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 
 
Fonte: www.oqueeoquee.com 
3.1 O que são expressões algébricas? 
Elas respeitam as mesmas regras de ordenamento e utilizam as mesmas 
operações das expressões numéricas. A diferença está no fato de que 
as expressões algébricas envolvem também algumas letras, chamadas de 
incógnitas, que geralmente representam números desconhecidos. Como essa 
 
representação é responsabilidade da álgebra, as expressões que possuem 
incógnitas são chamadas de expressões algébricas. 
3.2 Classificação das expressões algébricas 
As expressões algébricas são divididas em dois grandes 
grupos: monômios e polinômios. 
 Monômios 
Monômios são expressões algébricas compostas apenas pela 
multiplicação entre números e incógnitas. O conjunto de incógnitas em um 
monômio é chamado de parte literal, enquanto o número que multiplica esse 
conjunto é chamado de coeficiente. Dessa maneira, são exemplos de monômios: 
a) 2x³ 
Nesse monômio, 2 é coeficiente e x³ é a parte literal. 
b) 4x8y9c10 
Nesse monômio, 4 é o coeficiente e x8y9c10 é a parte literal. 
b) x 
Nesse monômio, 1 é o coeficiente e x é a parte literal. 
A multiplicação e a potenciação podem ser feitas em qualquer monômio, 
pois as letras que aparecem neles nada mais são do que números. Contudo, 
como não sabemos de que número se trata, apenas utilizamos letras para 
representá-los. A questão é que x², por exemplo, indica que estamos elevando 
um número ao quadrado, isto é, estamos multiplicando x por ele mesmo. Dessa 
maneira, caso venha a descobrir que número é x, você já sabe o que é preciso 
fazer com ele. 
Seguindo esse mesmo raciocínio, as outras operações também podem 
ser realizadas nos monômios. As regras para cada uma delas são as seguintes: 
Soma e subtração de monômios 
As regras para soma e para subtração de monômios são as mesmas: 
1- Só é possível somar ou subtrair termos semelhantes; 
Termos semelhantes são monômios que possuem a parte literal 
exatamente igual. É possível somar somente esses. 
2 – Somar ou subtrair apenas o coeficiente e manter a parte literal; 
 
Na soma e subtração de monômios, devemos manter a parte literal 
intacta. Apenas coeficientes são somados ou subtraídos. 
3 – Seguir as mesmas regras das expressões numéricas. 
As expressões numéricas possuem uma ordem para as operações. 
Devem ser realizadas primeiramente as potências, seguidas de multiplicações e 
divisões, seguidas de somas ou subtrações. Além disso, expressões entre 
parênteses têm prioridade sobre expressões entre colchetes, que, por sua vez, 
têm prioridade sobre expressões entre chaves. 
Exemplo: Calcule a seguinte expressão algébrica 14x2y3 – 5x2y3 = 9x²y³ 
Multiplicação e divisão de monômios 
Para multiplicar ou dividir monômios, faça o seguinte: 
1 – Escreva os monômios utilizando a notação de multiplicação (lado a 
lado, com um ponto no meio) ou de divisão (numerador sobre denominador); 
2 – Multiplicar, dividir ou simplificar os coeficientes; 
3 – Reorganizar os fatores de modo que incógnitas iguais fiquem 
próximas; 
4 – Efetuar a multiplicação tendo em mente o conceito de potências. 
Exemplo: Calcule o produto entre os monômios 4x²y² e 2x4y3 
Solução: Escreva a multiplicação entre eles e agrupe os fatores 
semelhantes 
4x²y²·2x4y³ = 4·2·x²·x4·y²·y³ 
Pelas propriedades de potência, basta somar os expoentes dos fatores 
iguais quando for multiplicação e diminuí-los quando for divisão: 
4·2·x²·x4·y²·y³ = 8·x6·y5 
Exemplo 2: Calcule a divisão entre os monômios 4x2y2 e 2x4y3 
Solução: Escreva os monômios em forma de fração. 
4x2y2 
 2x4y3 
Divida os coeficientes e subtraia os expoentes de cada letra. 
2·x2 – 4·y2 – 3 
Observe que a incógnita x é operada apenas com a incógnita x, enquanto 
a incógnita y é dividida apenas pela incógnita y: 
2·x– 2·y– 1 
 Polinômios 
 
Polinômios são expressões algébricas compostas pela adição ou 
subtração de monômios. Cada monômio dentro de um polinômio é chamado 
de termo. 
Exemplos: 
1) 14x2 – 4x2y5 
2) 4x3 – 4x2y5 + x2 – y5 
Também é possível realizar as operações soma, subtração, multiplicação 
e divisão de polinômios. 
Soma e subtração de polinômios 
Os termos de cada polinômio são reorganizados de modo que os termos 
semelhantes fiquem lado a lado. Então, entre esses, é feita a soma ou subtração 
de monômios. 
Exemplo: Calcule a soma entre os polinômios 4x + 2y e 8x + 3y + z 
Solução: Reorganize os termos para realizar as somas: 
(4x + 2y) + (8x + 3y + z) 
4x + 2y + 8x + 3y + z 
(4x + 8x) + (3y + 2y) + z 
12x + 5y + z 
Multiplicação de polinômios 
Para multiplicar polinômios, basta utilizar a propriedade distributiva 
(chuveirinho) e realizar as multiplicações resultantes entre monômios. Observe: 
Exemplo: Calcule o produto entre os polinômios 4x – 3y e 7x + z 
(4x – 3y)·(7x + z) 
4x·7x + 4x·z – 3y·7x – 3y·z 
28x + 4xz – 21yx – 3yz 
Divisão de polinômios 
Assim como os números reais, os polinômios também podem ser 
divididos. A técnica segue as premissas da divisão de números inteiros, que 
deixa algum resto. Para realizá-la, procure por um monômio que, multiplicado 
pelo termo de grau mais alto do divisor, tenha o termo de grau mais alto do 
dividendo como resultado. Multiplique esse monômio por todo o divisor e coloque 
o resultado abaixo do dividendo, subtraindo-o. Esse último passo fará com que 
todos os sinais desse resultado sejam trocados. 
 
Realize as somas e subtrações termo a termo, lembrando-se de que elas 
são possíveis apenas com termos semelhantes. “Desça” o resto do dividendo e 
repita o processo até que ele possua grau menor que o divisor ou que o resto 
seja zero. 
Exemplo: 
Na divisão de x3 + 5x2 – 2x – 24 por x + 4, teremos: 
x3 + 5x2 – 2x – 24 | x + 4 
 – (x3 + 4x2) x2 + x – 6 
 0 + x2 – 2x – 24 
 – (x2 + 4x) 
 0 – 6x – 24 
 – (– 6x – 24) 
 0 
Como resultado, teremos o polinômio x² + x – 6. 
4 PRODUTOS NOTÁVEIS 
 
Fonte:www.superprof.com.br 
Utilizados para simplificar as contas do produto algébrico, os produtos 
notáveis apresentam cinco casos distintos. 
 
Antes de entendermos o que são produtos notáveis,devemos saber o que 
são expressões algébricas, isto é, equações que possuem letras e números. 
Veja alguns exemplos: 
2x + 3 = 4 
-y + 2x + 1 = 0 
Z² + ax + 2y = 3 
Os produtos notáveis possuem fórmulas gerais, que, por sua vez, são a 
simplificação de produtos algébricos. Veja: 
(x + 2) . (x + 2) 
(y – 3) . (y – 3) 
(z + 4 ). ( z – 4) 
4.1 Cinco casos de Produtos Notáveis 
Primeiro Caso: Quadrado da soma de dois termos. 
 quadrado = expoente 2; 
 Soma de dois termos = a + b; 
Logo, o quadrado da soma de dois termos é: (a + b)² 
Efetuando o produto do quadrado da soma, obtemos: 
(a + b)² = (a + b) . (a + b) = 
= a² + a . b + a . b + b² = 
= a² + 2 . a . b + b² 
Toda essa expressão, ao ser reduzida, forma o produto notável, que é 
dado por: 
(a + b)² = a² + 2 . a . b + b² 
Sendo assim, o quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do 
primeiro termo, mais duas vezes o primeiro termo pelo segundo, mais o 
quadrado do segundo termo. 
Exemplos: (2 + a)² = 
= 2² + 2 . 2 . a + a² = 
= 4 + 4 . a + a² 
Segundo Caso: Quadrado da diferença de dois termos. 
 Quadrado = expoente 2; 
 Diferença de dois termos = a – b; 
 
Logo, o quadrado da diferença de dois termos é: (a - b)². 
Vamos efetuar os produtos por meio da propriedade distributiva: 
(a - b)² = (a – b) . (a – b) 
= a² – a . b – a . b + b² = 
= a² – 2 .a . b + b² 
Reduzindo essa expressão, obtemos o produto notável: 
(a - b)² = a² – 2 .a . b + b² 
Temos, então, que o quadrado da diferença de dois termos é igual ao 
quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro termo pelo segundo, 
mais o quadrado do segundo termo. 
Exemplos: (a – 5c)² 
= a² – 2 . a . 5c + (5c)² = 
= a² – 10 . a . c + 25c² 
Terceiro Caso: Produto da soma pela diferença de dois termos. 
 Produto = operação de multiplicação; 
 Soma de dois termos = a + b; 
 Diferença de dois termos = a – b; 
O produto da soma pela diferença de dois termos é: (a + b) . (a – b) 
Resolvendo o produto de (a + b) . (a – b), obtemos: 
(a + b) . (a – b) = 
= a² - ab + ab – b² = 
= a² + 0 + b² = a² - b² 
Reduzindo a expressão, obtemos o produto notável: 
(a + b) . (a – b) = a² - b² 
Podemos concluir, portanto, que o produto da soma pela diferença de dois 
termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo 
termo. 
Exemplos: (2 – c) . (2 + c) = 
= 2² – c² = 
= 4 – c² 
Quarto caso: Cubo da soma de dois termos 
 Cubo = expoente 3; 
 Soma de dois termos = a + b; 
 
Logo, o cubo da soma de dois termos é: (a + b)³ 
Efetuando o produto por meio da propriedade distributiva, obtemos: 
(a + b)³ = (a + b) . (a + b) . (a + b) = 
= (a² + a . b + a . b + b²) . (a + b) = 
= ( a² + 2 . a . b + ²2 ) . ( a + b ) = 
= a³ +2. a² . b + a . b² + a² . b + 2 . a . b² + b³ = 
= a³ +3 . a² . b + 3. a . b² + b³ 
Reduzindo a expressão, obtemos o produto notável: 
(a + b)³ = a³ + 3 . a² . b + 3 . a . b² + b³ 
O cubo da soma de dois termos é dado pelo cubo do primeiro, mais três 
vezes o primeiro termo ao quadrado pelo segundo termo, mais três vezes o 
primeiro termo pelo segundo ao quadrado, mais o cubo do segundo termo. 
Exemplo: (3c + 2a)³ = 
= (3c)³ + 3 . (3c)² .2a + 3 . 3c . (2a)² + (2a)³ = 
= 27c³ + 54 . c² . a + 36 . c . a² + 8a³ 
Quinto caso: Cubo da diferença de dois termos 
Cubo = expoente 3; 
Diferença de dois termos = a – b; 
Logo, o cubo da diferença de dois termos é: ( a - b )³. 
Efetuando os produtos, obtemos: 
(a - b)³ = (a - b) . (a - b) . (a - b) = 
= (a² - a . b - a . b + b²) . (a - b) = 
= (a² - 2 . a . b + b²) . (a - b) = 
= a³ - 2. a² . b - a . b² - a² . b + 2 . a . b² - b³ = 
a³ - 3 . a² . b + 3. a . b² - b³ 
Reduzindo a expressão, obtemos o produto notável: 
(a - b)³ = a³ - 3 . a² . b + 3 . a . b² - b³ 
O cubo da diferença de dois termos é dado pelo cubo do primeiro, menos 
três vezes o primeiro termo ao quadrado pelo segundo termo, mais três vezes o 
primeiro termo pelo segundo ao quadrado, menos o cubo do segundo termo. 
Exemplo: (x - 2y) ³ = 
= x³ - 3 . x² . 2y + 3 . x . (2y)² – (2y)³ = 
 
X³ - 6 . x² . y + 12 . x . y² – 8y³1 
5 FATORAÇÃO 
 
Fonte: www.pt.dreamstime.com 
Fatorar uma expressão algébrica significa transformá-la em um produto 
de fatores. 
5.1 Tipos de Fatoração 
5.2 Diferença de quadrados: 
Relembre que (a + b)(a – b) = a² – b². Registre também que foi feita a 
fatoração da expressão, ou seja, que a mesma pode ser escrita na forma de um 
produto. 
 
1 Texto adaptado de: www.brasilescola.uol.com.br 
 
Exemplo: 
X² – 4 = (x + 2)(x – 2) 
Nota: Para fatorarmos, basta extrairmos a raiz quadrada de ambos os 
termos, tendo o produto da soma pela diferença dos termos. 
5.3 Trinômios quadrados perfeitos: 
(a + b)² = a² + 2ab + b² 
(a – b)² = a² – 2ab + b² 
Com um exemplo para cada tipo de trinômio, proponha a fatoração e, em 
seguida, a resolução da equação. 
Exemplo 01: Fatore a expressão: x² + 6x + 9 
Resolução: De acordo com a definição, concluiu-se que: 
 X² + 6x + 9 = (x + 3) ² 
Nota: Para fatorarmos trinômios quadrados perfeitos, basta tirarmos a raiz 
quadrada do primeiro e terceiro termo, observando o sinal do segundo termo, 
elevando o termo ao quadrado. 
5.4 Trinômio do segundo grau: 
Para fatoração de um trinômio do segundo grau, utilizaremos o conceito da 
soma e produto de uma equação do segundo grau, onde: 
X² – Sx + P = (x – a)(x – b), em que S = a + b e P = ab 
Exemplo: x² – 5x + 6 = 0 
Solução: Primeiramente devemos encontrar números cujas somas sejam 
-5 e o produto 6. Conclui-se que os números são -2 e -3, pois: 
Soma: (-2) + (-3) = -5 
Produto: (-2)*(-3) = 6 
Logo: x² – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3) 
 
6 CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
Fonte: www.centralexatas.com.br 
6.1 Números Naturais (N) 
O conjunto dos números naturais é constituído por números inteiros 
positivos, inclusive o zero. 
N = {0, 1, 2, 3, · · ·} 
6.2 Números Inteiros (Z) 
Os números inteiros são formados por números naturais e seus opostos 
(negativos). 
Z = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, · · ·} 
6.3 Números Racionais (Q) 
Números racionais são aqueles que podem ser escritos na forma razão 
(ou fração) de dois números inteiros. Eles se dividem em inteiros ou fracionários. 
Os números (1/3, 4/5, 1, 2, 3,333...) são alguns exemplos de números racionais. 
 
No caso dos números fracionários, é possível que tenham infinitas casas 
decimais, desde que a parte fracionária seja repetida indefinidamente. 
6.4 Números Irracionais (I) 
Esse conjunto é representado pela letra maiúscula I, é formado pelos 
números decimais infinitos não periódicos, ou seja, números que possui muitas 
casas decimais, mas que não tem um período. Entenda período como sendo a 
repetição de uma mesma sequência de números infinitamente. 
I = { 2,3556465....; 3,454564879....; 4,31234644....} 
Além do número PI que é igual a 3,14159265…, e as raízes não exatas. 
6.5 Conjunto dos Números Reais 
Representado pela letra maiúscula R, compõem esse conjunto os 
números: naturais, inteiros, racionais e irracionais. O conjunto dos números reais 
pode ser representado por diagramas, nele fica claro a relação de inclusão em 
relação aos conjuntos dos números: naturais, inteiros, racionais e irracionais. 
Acompanhe a seguir a representação do diagrama de inclusão dos números 
reais. 
2 
 
2 Texto adaptado de: www.estudopratico.com.br/conjuntos-numericos/ 
 
7 PROPORCIONALIDADE 
Grandezas 
Definimos grandeza como tudo aquilo que pode ser medido (sendo 
contagem um caso particular de medida). Podemos exemplificar:idade, 
comprimento, tempo, temperatura, massa, preço, entre outras. 
Grandezas que variam com mesmo sentido 
Duas grandezas que se relacionam são ditas grandezas que variam com 
mesmo sentido quando uma variação em uma delas implica uma variação ou 
mudança na outra, da seguinte forma: se uma cresce a outra cresce também; se 
uma decresce, a outra decresce também. 
Grandezas que variam com sentidos contrário 
Duas grandezas que se relacionam são ditas grandezas que variam com 
sentidos contrários quando uma variação em uma delas implica uma variação ou 
mudança na outra, da seguinte forma: se uma cresce a outra decresce; se a 
primeira decresce, a segunda cresce. 
Grandezas Diretamente Proporcionais: 
Duas grandezas que se relacionam – e que aqui vamos denotar por x e y 
- são ditas diretamente proporcionais se, ao variar o valor de x, o correspondente 
valor de y também varia, mas de tal forma que o quociente y/x se mantém 
constante. Mais precisamente, de tal forma que x=0 se e só se y=0 e existe uma 
constante k tal que y/x = k, para qualquer valor não nulo da grandeza x e o valor 
de y que lhe corresponde. 
Grandezas Inversamente Proporcionais: 
Duas grandezas que se relacionam – e que aqui vamos denotar por x e y 
– são ditas inversamente proporcionais se, ao variar o valor de x, o 
correspondente valor de y também varia, mas de tal forma que o produto x.y se 
mantém constante. Ou seja, de tal forma que existe uma constante k tal que y.x 
= k, para qualquer valor da grandeza x e o valor de y que lhe corresponde. 
 
 
8 REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA 
 
Fonte:www.fotos-imagens.net 
A regra de três é usada na proporção, para medir a relação entre 
grandezas que são diretamente proporcionais, ou seja, que o aumento de uma 
implica no aumento da outra, ou ainda que são inversamente proporcionais, 
quando o aumento de uma implica na redução da outra. 
8.1 Regra de três simples 
Na regra de três simples, conhecemos três valores e desconhecemos 
apenas um. Multiplicamos cruzado e chegamos ao resultado. É preciso, no 
entanto, analisar se são diretamente proporcionais ou inversamente 
proporcionais. 
Exemplo 01: Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma 
lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora 
de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia 
produzida? 
Solução: Montando a tabela: 
Área (m2) Energia (Wh) 
 
1,2 400 
1,5 x 
 
Identificação do tipo de relação: 
 
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª 
coluna). 
 Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta. 
 Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos 
afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, 
colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª 
coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
 
 
 
Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora. 
Exemplo 02: Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 
400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse 
mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h? 
Solução: montando a tabela: 
Velocidade (Km/h) Tempo (h) 
400 3 
480 x 
 
 Identificação do tipo de relação: 
 
 
 
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x 
(2ª coluna). 
 Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. 
Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que 
as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma 
outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção 
e resolvendo a equação temos: 
 
 
 
 
Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos. 
8.2 Regra de três composta 
A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas 
grandezas, direta ou inversamente proporcionais. 
Exemplo01: Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m³ de areia. Em 
5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m³? 
Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de 
mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se 
correspondem: 
Horas Caminhões Volume 
8 20 160 
5 x 125 
 Identificação dos tipos de relação: 
 Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x 
(2ª coluna). 
 
 
 
 
A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x. 
 Observe que: 
Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o 
número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta 
para cima na 1ª coluna). 
Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de 
caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª 
coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das 
outras razões de acordo com o sentido das setas. 
Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
 
 
Logo, serão necessários 25 
caminhões. 
 
 
Exemplo02: Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos 
em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias? 
 Solução: montando a tabela 
Homens Carrinhos Dias 
8 20 5 
4 x 16 
Observe que: 
Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. 
Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). 
Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. 
Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter 
a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das 
outras razões. 
Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
 
 
Logo, serão montados 32 carrinhos.3 
9 EQUAÇÃO DO 1º GRAU COM UMA INCÓGNITA 
 
Fonte: www.porvir.org 
A equação do 1º grau com uma incógnita é uma expressão numérica que 
possui números conhecidos, uma incógnita e uma igualdade. 
Utilizamos uma equação para calcular o valor de um termo desconhecido, 
que geralmente é representado por uma letra. As equações possuem sinais 
operatórios como adição, subtração, multiplicação, divisão, radiciação 
e igualdade. O sinal de igualdade divide a equação em dois membros, os quais 
são compostos de elementos de dois tipos: 
Elemento de valor constante: representado por valores numéricos; 
Elemento de valor variável: representado pela união de números e 
letras. 
Exemplos de equações do primeiro grau 
Observe exemplos de equações do 1º grau com uma incógnita: 
 
3 Texto adaptado de: www.somatematica.com.br 
 
a) x + 1 = 6 
b) 2x + 7 = 18 
c) 4x + 1 = 3x – 9 
d) 10x + 60 = 12x + 52 
9.1 Solução de equações do primeiro grau 
Para resolver uma equação, precisamos conhecer algumas técnicas 
matemáticas. Vamos, por meio de resoluções comentadas, demonstrar essas 
técnicas. 
 
Exemplo 01: 4x + 2 = 8 – 2x 
Em uma equação, devemos separar os elementos variáveis dos 
elementos constantes. Para isso, vamos colocar os elementos semelhantes em 
lados diferentes do sinal de igualdade, invertendo o sinal dos termos que 
mudarem de lado. Veja: 
4x + 2x = 8 – 2 
Agora aplicamos as operações indicadas entre os termos semelhantes. 
6x = 6 
O coeficiente numérico da letra x do 1º membro deve passar para o outro 
lado, dividindo o elemento pertencente ao 2º membro da equação. Observe: 
X=6/6 
X= 1 
Portanto, o valor de x que satisfaz a equação é igual a 1. A verificação 
pode ser feita pela substituição do valor de x na equação. Observe:Todas as equações, de uma forma geral, podem ser resolvidas dessa 
maneira. 
Exemplo 02: 10 – (8x – 2) = 5x + 2(– 4x + 1) → aplicar a propriedade 
distributiva da multiplicação: 
 
 
Verificação: 
 
Obs: Em síntese, uma equação do primeiro grau, se divide em dois 
membros, sendo, primeiro e segundo membro. Os termos aos quais 
acompanham as incógnitas devem sempre permanecer no primeiro membro da 
equação (antes do sinal da igualdade), já os termos independentes (os números) 
devem permanecer no segundo membro. Toda vez que um termo for “trocado” 
de membro inverte seu sinal. 
 
10 SISTEMA DE EQUAÇÃO DO 1º GRAU 
 
Fonte: www.wikihow.com 
Para encontrarmos numa equação de 1º grau com duas incógnitas, por 
exemplo, 
4x + 3y = 0, os valores de x e de y é preciso relacionar essa equação com outra 
ou outras com as mesmas incógnitas. Essa relação é chamada de sistema. 
Um sistema de equação de 1º grau com duas incógnitas é formado por: 
duas equações de 1º grau com duas incógnitas diferentes em cada equação. 
Veja um exemplo: 
 
Para encontramos o par ordenado solução desse sistema é preciso utilizar 
dois métodos para a sua solução. 
Esses dois métodos são: Substituição e Adição. 
 
10.1 Método da substituição 
Esse método consiste em escolher uma das duas equações, isolar uma 
das incógnitas e substituir na outra equação, veja como: 
Dado o sistema: 
 , enumeramos as equações. 
 
Escolhemos a equação 1 e isolamos o x: 
x + y = 20 
x = 20 – y 
Agora na equação 2 substituímos o valor de x = 20 – y. 
3x + 4 y = 72 
3 (20 – y) + 4y = 72 
60-3y + 4y = 72 
-3y + 4y = 72 – 60 
 y = 12 
Descobrimos o valor de y, para descobrir o valor de x basta substituir 12 
na equação 
x = 20 – y. 
x = 20 – 12 
x = 8 
Portanto, a solução do sistema é S = (8, 12) 
10.2 Método da adição 
Esse método consiste em adicionar as duas equações de tal forma que a 
soma de uma das incógnitas seja zero. Para que isso aconteça será preciso que 
multipliquemos algumas vezes as duas equações ou apenas uma equação por 
números inteiros para que a soma de uma das incógnitas seja zero. 
Dado o sistema: 
 
 
Para adicionarmos as duas equações e a soma de uma das incógnitas de 
zero, teremos que multiplicar a primeira equação por – 3. 
 
Agora, o sistema fica assim: 
 
Adicionando as duas equações: 
 
Para descobrirmos o valor de x basta escolher uma das duas equações e 
substituir o valor de y encontrado: 
x + y = 20 
x+12=20 
x=20-12 
x=8 
Portanto, a solução desse sistema é: S = (8, 12). 
 
Obs: Se resolver um sistema utilizando qualquer um dos dois métodos o 
valor da solução será sempre o mesmo. 
11 PROBLEMAS ENVOLVENDO SISTEMA DE EQUAÇÕES 
Exemplo: 
Num quintal há galinhas e coelhos num total de 8 cabeças e 22 pés 
quantas galinhas e quantos coelhos existem no quintal? 
 
Galinhas = x coelhos = y 
pés das galinhas = 2x pés dos coelhos = 4x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: no quintal haviam 5 galinhas e 3 coelhos 
 
Exemplo02: Num estacionamento existem automóveis e motocicletas 
num total de 132 veículos e 88 pneus. Determine o número de automóveis e 
motocicletas contidas nesse estacionamento. 
y= automóveis x= motocicletas 
4y= automóveis 2x= motocicletas 
x+y=132 
2x+4y=88 
x=132-y 
2(132-y)+4y=88 
264-2y+4y=88 
-2y+4y=88-264 
2y=-176 
y=-176/2 
y=88 
x=132-88 
x=44 Logo, existe 88 automóveis e 44 motocicletas. 
 
 
12 EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
 
Fonte: www.brasilescola.uol.com.br 
12.1 Definição 
Denomina-se equação do segundo grau, toda a equação do tipo 
ax²+bx+c, com coeficientes numéricos a.b e c com 
Exemplos: 
 
 
Classificação: 
Incompletas: Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos uma 
equação do 2º grau incompleta. 
1º caso: b=0 
Considere a equação do 2º grau incompleta: 
 
2º caso: c=0 
Considere a equação do 2º grau incompleta: x²-9x=0 » Basta fatorar o 
fator comum x. 
 
x(x-9)=0 » logo, x = 0,9 
3º caso: b=c=0 
2x²=0 » x=0 
12.2 RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
A resolução de equações do 2º grau incompletas já foi explicada acima, 
vamos agora resolver equações do 2º grau completas, ou seja, do tipo 
ax²+bx+c=0 com a, b e c diferentes de zero. 
 Uma equação do 2º grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser 
determinadas pela fórmula de Bháskara. 
Como Bháskara chegou até a fórmula de resolução de equações do 
2º grau: 
Considerando a equação: ax²+bx+c=0, vamos determinar a fórmula de 
Bháskara: 
Multiplicamos os dois membros por 4a: 
4a²x²+4abx+4ac=0 
4a²x²+4abx=-4ac 
Somamos b² aos dois membros: 
4a²x²+4abx+b²=b²-4ac 
Fatoramos o lado esquerdo e chamamos de (delta) b²-4ac: 
 
12.3 Fórmula de Bháskara 
 
Utilizando a fórmula de Bháskara, vamos resolver alguns exercícios: 
 
Exemplo01: 3x²-7x+2=0 
a=3, b=-7 e c=2 
 
Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é: 
 
Exemplo 02: -x²+4x-4=0 
a=-1, b=4 e c=-4 
 
Neste caso, tivemos uma equação do 2º grau com duas raízes reais e 
iguais. 
Exemplo 03: 5x²-6x+5=0 
a=5 b=-6 c=5 
 (-6)²-4.(5).(5) = 36-100 = -64 
 Note que e não existe raiz quadrada de um número negativo. 
Assim, a equação não possui nenhuma raiz real. 
 
 
12.4 Propriedades 
 
12.5 Soma e Produto de uma equação do 2º grau: 
 
Vamos provar as relações descritas acima: 
Dado a equação ax²+bx+c=0, com e , suas raízes são: 
 
A soma das raízes será: 
 
Logo, a soma das raízes de uma equação do 2º grau é dada por: 
 
 
O produto das raízes será: 
 
Logo, o produto das raízes de uma equação do 2º grau é dada por: 
 
 
12.6 Obtendo a Soma e Produto de uma equação do 2º grau 
 
Exemplo 01: Determine a soma e o produto da equação: 
x² - 4x + 3=0 
Sendo a=1, b=-4 e c=3: 
 
Exemplo02: 2x² - 6x -8 =0 
Sendo a=2, b=-6 e c=-8 
 
Exemplo03: 4-x² = 0 
Sendo a=-1, b=0 e c=4: 
 
12.7 Resolução de Equações Fracionárias do 2º grau 
Equações fracionárias são as que possuem incógnitas no denominador e 
o processo de resolução destas equações é o mesmo das equações não 
fracionárias. 
Exemplos: 
 pois senão anularia o denominador 
Encontrando o m.m.c dos denominadores: 2x 
Então: 
 
Eliminando os denominadores, pois eles são iguais: 
 
Aplicando a fórmula de Bháskara: 
 
 
 
m.m.c dos denominadores: (x-1).(x+2) 
Então: 
 
 
Eliminando os denominadores: 
 
Note que a solução da equação deve ser diferente de 1 e 2 pois senão 
anularia o denominador, logo a solução da equação será somente: 
x=-1 » S={-1} 
12.8 Resolução de Equações Literais do 2º grau 
Equações literais são as que possuem uma ou mais letras além da 
incógnita. 
 
Exemplo: Determine o valor da incógnita x. 
x²-3ax+2a²=0 
Aplicando a fórmula de Bháskara: 
a=1, b=-3a, c=2a² 
 
 
12.9 Resolução de Equações Biquadradas 
Equação biquadrada como o próprio nome diz, são equações nas quais 
estão elevadas ao quadrado duas vezes, sua forma é: 
 
Exemplo: 
 
Fazendo x² = y, temos 
Substituindo os valores na equação, temos: 
y² - 5y + 4 = 0 
Aplicando Bháskara: 
 
Logo, y = 4 e y`= 1 
Voltando a variável x: 
Como y=x², temos: 
 
Então a solução será » S={-2,-1,1,2} ou simplesmente 
4 
 
4 Texto adaptado de: www.matematicapura.com.br 
 
13 FUNÇÕES 
 
Fonte: www.static.wixstatic.com 
13.1 Noção IntuitivaCom frequência em matemática encontramos relações entre duas 
grandezas variáveis. Observe o exemplo abaixo: Seja um quadrado cujo o lado 
mede l . Designando por P= 4l a medida do perímetro desse quadrado, podemos 
estabelecer entre P e l a seguinte relação: 
 
Notamos então, que a medida P do perímetro depende da medida l do 
lado do quadrado, o que pode ser verificado pela seguinte tabela: 
 
 
Pela tabela observamos que: 
 A medida l do lado do quadrado é uma grandeza variável 
 A medida P do perímetro do quadrado é uma grandeza variável 
 Todos os valores de l estão associados a um valor de P 
 A cada valor de l está associado um único valor de P 
Sendo assim, dizemos então: 
A medida P do perímetro do quadrado está dada em função de l 
 A relação P= 4l chama-se lei de associação ou fórmula matemática 
desta função 
 Na lei de associação temos que l é a variável independente e P é 
a variável dependente. 
13.2 A Noção de Função através de Conjuntos 
Vamos agora, estudar função, usando a teoria dos conjuntos, pois as 
colunas vistas na tabela do item anterior representam conjuntos numéricos. 
Veja o exemplo: 
Dados os conjuntos A 0,5,10 e B 0,5,10,15,20,25, seja a relação 
de A em B expressa pela fórmula f(x)= y+5 , com x A y B   , . 
 
DEFINIÇÃO: Sendo A e B dois conjuntos não vazios e uma relação f de 
A em B, essa relação f é uma função de A em B quando a cada elemento x do 
conjunto A está associado um e somente um elemento y de B. 
Pode-se escrever: 
Observação: Podemos usar a seguinte notação para a lei de associação 
que define uma função: 
Y=x+5 ou F(x)= x+5 
 
A lei da função pode ser indicada de uma forma ou de outra, pois y e f (x) 
significam o mesmo na linguagem matemática 
EXEMPLO: Observe os diagramas abaixo, que representam relações de 
A em R, assinale com F aquelas que são funções e com R as que não são 
funções 
 
 
13.3 Domínio, Imagem e Contra – Domínio de uma Função 
Sejam os conjuntos A 0,1,2 e B 0,1,2,3,4,5 ; vamos considerar a 
função f A B :  definida por y x  1 ou f(x)=x+1 
Observando o diagrama da função, vamos definir: 
 
O conjunto A é denominado domínio da função, que indicamos por D. No 
exemplo acima D 0,1,2. O domínio da função também é chamado campo de 
definição ou campo de existência da função. 
 
 O conjunto 1,2,3, que é um subconjunto de B, é denominado o 
conjunto imagem da função e indicamos por Im 1,2,3   
 O conjunto B, tal que Im  B , é denominado contradomínio da 
função. 
No exemplo acima: 1 é a imagem de 0 pela função; f(0)=1 , 2 é a imagem 
de 1 pela função f(1) =2 ; 3 é a imagem de 2 pela função; f(2)=3 
13.4 Estudo do Domínio de uma Função 
Quando definimos uma função, o domínio D, que o conjunto de todos os 
valores possíveis da variável x, pode ser dado explícita ou implicitamente. Assim: 
Se dado , com , está implícito que o domínio da 
função dada é . 
 Se é dado apenas , sem explicitar o domínio, está implícito 
que x pode ser qualquer número real diferente de 2, com isso, 
Se é dado apenas , sem explicitar o domínio D, está implícito 
. Assim . 
13.5 Função Sobrejetora, Função Injetora, Função Bijetora 
Vamos considerar os seguintes exemplos: 
1- definida por 
 
Você observa que não há elemento de B que não seja imagem de um 
elemento de A, isto é, chegam flechas em todos os elementos de B. O conjunto 
imagem é igual ao contradomínio da função. Neste caso dizemos que a função 
f é sobrejetora. 
2- definida por 
 
 
Você observa que não existe elemento de B que seja imagem de mais de 
um elementos de A, isto é, em cada elemento de B que é imagem de um 
elemento de A chega apenas uma flecha. Neste caso dizemos que a função é 
injetora. 
3- definida por 
 
Você observa que não existe um elemento de B que não seja imagem de 
um elemento de A (f é sobrejetora); cada elemento de B é imagem de um único 
elemento de A (f é injetora). Neste caso, quando a função f, é ao mesmo tempo, 
sobrejetora e injetora, dizemos que f é uma função bijetora. 
13.6 Função Composta 
Dados os conjuntos A  {0,1,2}, B = {0,1,2,3,4}, C = {0,1,4,9,16} e as 
funções e . 
 
Então: 
 
 
 
 
 
 
 
e 
 
 
 
Observamos que: 
 A cada associa-se um único tal que 
  A cada associa-se um único tal que ; 
 A cada associa-se um único tal que ; 
Então podemos afirmar que vai existir uma função h de A em C definida 
por h(x)=4x² que indicamos por (lê-se g composta com f) 
Logo, 
 
A função h(x) chama-se composta de g com f 
 
Exemplo01: Sejam f e g funções reais tais que f[g(x)] = – 10x – 13 e g(x) 
= 2x + 3. Determine qual é a lei que define f(x). 
Como f[g(x)] = – 10x – 13 e g(x) = 2x + 3, então f[2x + 3] = – 10x – 
13. Fazendo 2x + 3 de y, temos: 
 
Então podemos escrever: 
 
 
Portanto, a função procurada é f(x) = – 5x + 2. 
 
Exemplo02: Se f(x) = x5 e g(x) = x – 1, a função composta f[g(x)] será 
igual a: 
Sendo f(x) = x5 e g(x) = x – 1, vamos realizar a composição de 
funções f[g(x)], isto é, onde houver x na função f(x), nós substituiremos por g(x) 
= x – 1: 
 
Portanto, a alternativa correta é a letra d. 
13.7 Função Inversa 
O objetivo de uma função inversa é criar funções a partir de outras. Uma 
função somente será inversa se for bijetora, isto é, os pares ordenados da função 
f deverão pertencer à função inversa f –1 da seguinte maneira: (x,y) Є f –1 (y,x) Є 
f. Dado os conjuntos A = {–2,–1,0,1,2} e B = {3, 4, 5, 6, 7} e a função A→B 
definida pela fórmula f(x) = x + 5, veja o diagrama dessa função abaixo: 
 
 
Então: f = { (–2, 3) ; (–1, 4) ; (0, 5) ; (1, 6) ; (2, 7)} 
Essa função é bijetora, pois cada elemento do domínio está ligado com 
um elemento diferente no conjunto imagem. Assim, podemos dizer que essa 
função, por ser bijetora, admite inversa. 
A sua função inversa será indicada por f –1: B→A, e será preciso realizar 
a troca entre x e y na função y = x + 5, dessa forma temos: x = y + 5 → –y = –x 
+ 5 → y = x – 5, portanto f –1(x) = x – 5. 
Veja o diagrama abaixo: 
 
Então: f –1(x)= {(3, –2); (4, –1) ; (5, 0); (6, 1) ; (7, 2)} 
O que é domínio na função f vira imagem na f –1(x)e vice e versa. 
Dada uma sentença de uma função y = f(x), para encontrar a sua inversa é 
preciso seguir alguns passos. Observe: 
Exemplo 01: Dada a função f(x) = 3x -5, para determinarmos a sua 
inversa f –1(x) precisamos fazer uma troca x e y na expressão y = 3x – 5. Assim 
teremos x = 3y – 5, logo: 
x = 3y – 5 
–3y = –x –5 (multiplicar por –1) 
 
3y = x + 5 
y = (x + 5)/3 
Portanto, a função f(x) = 3x -5 terá inversa igual a f –1(x) = (x + 5)/3. 
 
Exemplo 02: Considere a função de variável real f(x) = (3x + 8)/2. 
Qual o valor de f-¹(10)? 
Na função f temos que: 
y = (3x + 8)/2 
Para descobrirmos a regra da função inversa, devemos colocar x 
em função de y: 
y = (3x + 8)/2 
2y = 3x + 8 
2y – 8 = 3x 
x = (2y – 8)/3 
Trocando x por y, temos que: 
 
Basta agora calcularmos o valor da inversa quando x = 10: 
 Logo a F-1 (10)= 4. 
14 REFERÊNCIAS 
SILVA, Luiz Paulo Moreira. Expressões numéricas; Disponível em 
<http://brasilescola.uol.com.br/matematica/expressoes-numericas.htm>. Acesso 
em 04 de outubro de 2017. 
 
MOREIRA, Luiz Paulo. Expressões Algébricas; Disponível 
em:<http://escolakids.uol.com.br/expressoes-algebricas.htm> Acesso em 09 de 
outubro de 2017. 
OLIVEIRA, Naysa. Conjuntos Numéricos; Disponível em 
<https://www.estudopratico.com.br/conjuntos-numericos/>. Acesso em 09 de 
outubro de 2017. 
SCHROER, Rodrigo Ernesto. Grandezas Diretas,Inversas, Diretamente e 
Inversamente Proporcionais no Ensino Médio-2013; Disponível em< 
http://www.mat.ufrgs.br/ppgem/produto_didatico/sequencias/67_2013_Produto_
Completo_Rodrigo_Schroer.pdf> Acesso em 03 de outubro de 2017. 
Regra de Três, Disponível em< 
http://www.somatematica.com.br/fundam/regra3c.php> Acesso em 05 de 
outubro de 2017. 
PETRIM. Natália. Regra de três simples e composta; Disponível em 
<https://www.estudopratico.com.br/regra-de-tres-simples-e-composta/> Acesso 
em 05 de outubro de 2017. 
SILVA, Marcos Noé Pedro da. Equação do 1º grau com uma 
incógnita; Disponível em <http://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-
1-o-grau-com-uma-incognita.htm>. Acesso em 05 de outubro de 2017. 
SILVA, Marcos Noé Pedro da. Equação do 1º grau com Duas Incógnitas; 
Disponível em <http://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-1-o-grau-
com-duas-incognitas.htm>. Acesso em 05 de outubro de 2017. 
OLIVEIRA, Naysa. Sistema de Equações; Disponível 
em<http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/sistema-equacao.htm> 
Acesso em 06 de outubro de 2017. 
Produtos Notáveis . Disponível em 
<http://brasilescola.uol.com.br/matematica/produtos-notaveis.htm> Acesso em 
09 de outubro de 2017. 
 
Equação do 2° Grau; Disponível 
em<http://www.matematicapura.com.br/download/material/equacao_do_2_grau
.pdf> acesso em 09 de outubro de 2017. 
ANTON, Howard & BUSBY, Robert. (2006) Álgebra Linear Contemporânea. 
Porto Alegre: Bookman. 
MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Satiko. Matemática: ideias e desafios, 9º ano. – 
17. ed. – São Paulo: Saraiva, 2012. 
SILVA, Pedro Noé. Função Inversa; Disponível em: 
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/funcao-inversa.htm acesso 
em 09 de outubro de 2017.