Raciocinio lógico aula (8)

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AULA 06: Problemas Geométricos 
SUMÁRIO PÁGINA 
1. Resolução das questões da Aula 05 1 
2. Geometria Plana 14 
3. Geometria Espacial 31 
4. Exercícios Comentados nesta aula 46 
5. Exercícios Propostos 48 
6. Gabarito 51 
1 - Resolução das questões da Aula 05 
(Texto para as questões de 229 a 231) Uma equipe de 10 profissionais, 
composta por 2 juízes, 4 promotores e 4 defensores públicos, atuou durante 
4 dias em julgamentos de processos em determinado tribunal. A cada dia 
atuaram 1 juiz, 1 promotor e 1 defensor público. Na escala de trabalho, conta 
que Gerson, Marta e Julia atuaram na segunda-feira; Luiz, Paula e Carlos 
atuaram na terça-feira; Bianca e Adalberto atuaram na quarta-feira; Luiz e 
Diogo atuaram na quinta-feira. 
Nessa situação, sabendo que Edna é defensora pública e atuou na quarta ou 
na quinta-feira, que a juíza Marta atuou em 2 dias, que Gerson e Bianca são 
promotores e que 3 promotores são do sexo masculino, julgue os itens 
seguintes: 
229 - (TJ/RR - 2011 / CESPE) Diogo e Carlos são promotores. 
Solução: 
Vamos começar organizando as informações: 
Segunda-feira: Gerson, Marta e Julia 
Terça-feira: Luiz, Paula e Carlos 
Quarta-feira: Bianca e Adalberto 
Quinta-feira: Luiz e Diogo 
Sabe-se ainda que: 
- Edna é defensora pública 
- Edna atuou na quarta ou na quinta-feira 
- Marta é juíza 
- Marta atuou em 2 dias 
- Gerson é promotor 
- Bianca é promotora 
- 3 promotores são do sexo masculino 
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Para facilitar a explicação, os juízes serão marcados pela cor vermelha, os 
promotores pela cor azul e os defensores pela cor verde. Assim: 
 
Segunda-feira: Gerson, Marta e Julia Terça-
feira: Luiz, Paula e Carlos Quarta-feira: 
Bianca e Adalberto Quinta-feira: Luiz e 
Diogo 
 
Olhando para a segunda-feira, podemos concluir que Júlia é defensora, pois já 
temos um promotor e uma juíza atuando nesse dia. 
 
Segunda-feira: Gerson, Marta e Julia 
Terça-feira: Luiz, Paula e Carlos Quarta-
feira: Bianca e Adalberto Quinta-feira: Luiz e 
Diogo 
 
Podemos perceber, também, que Luiz está atuando em dois dias (terça e quinta- 
feira), o que nos leva a concluir que ele é Juiz, já que temos apenas dois juízes 
para atuar nos quatro dias e Marta atua em apenas 2 dias. 
 
Segunda-feira: Gerson, Marta e Julia 
Terça-feira: Luiz, Paula e Carlos Quarta-
feira: Bianca e Adalberto Quinta-feira: Luiz 
e Diogo 
 
Agora, podemos concluir que Marta atua na quarta-feira, já que temos Luiz (que é 
juiz) atuando na terça e na quinta-feira. 
 
Segunda-feira: Gerson, Marta e Julia 
Terça-feira: Luiz, Paula e Carlos Quarta-
feira: Bianca, Adalberto e Marta Quinta-
feira: Luiz e Diogo 
 
Podemos concluir, agora, que Adalberto é defensor, pois já temos uma promotora 
e uma juíza atuando na quarta-feira. 
 
Segunda-feira: Gerson, Marta e Julia 
Terça-feira: Luiz, Paula e Carlos 
Quarta-feira: Bianca, Adalberto e Marta 
Quinta-feira: Luiz e Diogo 
 
Sabemos, também, que Edna é defensora e que ela atuou na quarta ou na quinta- 
feira. Como na quarta nós já temos 3 pessoas atuando, podemos concluir que 
Edna atuou na quinta-feira. 
 
Segunda-feira: Gerson, Marta e Julia 
Terça-feira: Luiz, Paula e Carlos 
Quarta-feira: Bianca, Adalberto e Marta 
Quinta-feira: Luiz, Diogo e Edna 
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Como na quinta-feira nós já temos um juiz e uma defensora, podemos concluir que 
Diogo é promotor. 
 
Segunda-feira: Gerson, Marta e Julia 
Terça-feira: Luiz, Paula e Carlos 
Quarta-feira: Bianca, Adalberto e Marta 
Quinta-feira: Luiz, Diogo e Edna 
 
Por fim, falta sabermos as profissões de Paula e Carlos. Já sabemos quem são os 
dois juízes (Marta e Luiz), três promotores (Bianca, Gerson e Diogo) e três 
defensores (Adalberto, Julia e Edna). Portanto, faltam um promotor e um defensor. 
Sabendo que 3 promotores são do sexo masculino, podemos concluir que Carlos 
é o promotor e que Paula é a defensora que faltam. Assim: 
 
Segunda-feira: Gerson, Marta e Julia Terça-
feira: Luiz, Paula e Carlos Quarta-feira: 
Bianca, Adalberto e Marta Quinta-feira: 
Luiz, Diogo e Edna 
 
Portanto, concluímos que o item está correto. 
 
 
 
230 - (TJ/RR - 2011 / CESPE) Os 2 juízes são do sexo feminino. 
 
Solução: 
 
Vimos na resolução da questão anterior que os dois juízes são Marta e Luiz. 
Portanto, apenas um dos juízes é do sexo feminino. Item errado. 
 
 
 
231 - (TJ/RR - 2011 / CESPE) Adalberto e Paula são defensores públicos. 
 
Solução: 
 
Novamente, utilizando as informações obtidas anteriormente, vimos que Paula e 
Adalberto são defensores públicos. Item correto. 
 
 
 
232 - (TRE/ES - 2010 / CESPE) Em determinado município, há, cadastrados, 
58.528 eleitores, dos quais 29.221 declararam ser do sexo feminino e 93 não 
informaram o sexo. Se, entre os eleitores que não informaram o sexo, o 
número de eleitores do sexo masculino for o dobro do número de eleitores 
do sexo feminino, então, nesse município, os eleitores do sexo masculino 
são maioria. 
 
Solução: 
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Primeiramente, devemos encontrar a quantidade de eleitores que declararam ser 
do sexo masculino (x): 
 
29221 + 93 + x = 58528 
 
x = 58528 – 29221 – 93 
 
x = 29214 
 
Agora, chamando de y o número de eleitores do sexo feminino entre os 93 que 
não informaram o sexo, e, supondo que a quantidade de homens é o dobro da 
quantidade de mulheres, temos: 
 
y + 2y = 93 
3y = 93 
y = 
93 
= 31 
3 
 
Assim, considerando que entre os eleitores que não informaram o sexo, o número 
de eleitores do sexo masculino é o dobro do número de eleitores do sexo 
feminino, temos: 
 
Total do sexo masculino: 29214 + 2.31 = 29214 + 62 = 29276 
 
Total do sexo feminino: 29221 + 31 = 29252 
 
Portanto, há mais homens que mulheres. Item correto. 
 
 
 
(Texto para as questões de 233 a 235) As atividades de manutenção, 
operação e instalação na área de informática de um escritório são 
desenvolvidas por Edson, Humberto e Danilo; cada um é responsável por 
uma única atividade. Os seus salários são: R$ 2.300,00, R$ 2.400,00 e 
R$ 2.500,00. Sabe-se que o responsável pela instalação de sistemas, que é 
irmão de Danilo, não tem o maior salário; Edson é o operador de sistemas; o 
responsável pela manutenção tem o menor salário. 
 
Com base nessa situação hipotética, julgue os itens seguintes. 
233 - (TJ/RR - 2011 / CESPE) Danilo é o operado de sistemas. 
Solução: 
Para facilitar a resolução dessa questão, vamos montar a seguinte tabela: 
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 Manutenção Operação Instalação 2.300,00 2.400,00 2.500,00 
Edson 
Humberto 
Danilo 
 
Agora, a partir das informações da questão, vamos preencher a tabela: 
 
 
 
Edson é o operador de sistemas. 
 
 Manutenção Operação Instalação 2.300,00 2.400,00 2.500,00 
Edson Não Sim Não 
Humberto Não 
Danilo Não 
 
 
O responsável pela instalação de sistemas é irmão de Danilo. 
 
 Manutenção Operação Instalação 2.300,00 2.400,00 2.500,00 
Edson Não Sim Não 
Humberto Não 
Danilo Não Não 
 
Com isso, podemos concluir que Danilo é o responsável pela Manutenção e que 
Humberto é o responsável pela instalação. 
 
 Manutenção Operação Instalação 2.300,00 2.400,00 2.500,00 
Edson Não Sim Não 
Humberto Não Não Sim 
Danilo Sim Não Não 
 
 
O responsável pela manutenção tem o menor salário. 
 
 Manutenção Operação Instalação2.300,00 2.400,00 2.500,00 
Edson Não Sim Não Não 
Humberto Não Não Sim Não 
Danilo Sim Não Não Sim Não Não 
 
 
O responsável pela instalação de sistemas não tem o maior salário 
 
 Manutenção Operação Instalação 2.300,00 2.400,00 2.500,00 
Edson Não Sim Não Não Não Sim 
Humberto Não Não Sim Não Sim Não 
Danilo Sim Não Não Sim Não Não 
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Com isso, podemos concluir que Danilo não é o operador de sistemas. Item 
errado. 
 
 
 
234 - (TJ/RR - 2011 / CESPE) O salário do instalador de sistemas é igual a 
R$ 2.400,00. 
 
Solução: 
 
A partir das informações da questão anterior, podemos concluir que o salário do 
instalador de sistemas (que é Humberto) é igual a R$ 2.400,00. Item correto. 
 
 
 
235 - (TJ/RR - 2011 / CESPE) Edson tem o maior salário. 
 
Solução: 
 
Mais uma vez, a partir do que vimos anteriormente, Edson tem o maior salário. 
Item correto. 
 
 
 
236 - (TRE/ES - 2010 / CESPE) Se em um município que tem 2.500 eleitores, a 
votação dura 10 horas, cada seção eleitoral possui apenas uma urna, todos 
os eleitores votam e cada eleitor leva 1 minuto e meio para votar, então, 
nesse município serão necessárias, no mínimo, 7 seções eleitorais. 
 
Solução: 
 
Vamos organizar as informações: 
Total de eleitores: 2.500 eleitores 
Duração da votação: 10 horas 
Quantidade de urnas por seção eleitoral: 1 
Tempo de votação por eleitor: 1 minuto e meio 
Bom, com as informações da questão, vamos, primeiro, calcular quantos eleitores 
votam em um dia de votação com uma única seção eleitoral: 
 
Duração da votação: 10 horas = 10 x 60 minutos = 600 minutos 
 
 
Nº de eleitores / seção / dia de votação: 
600 min utos 
1 min uto e meio 
= 
600 
= 400 eleitores 
1,5 
 
Assim, o total de seções necessárias para que 2500 eleitores votem num dia é 
dado por: 
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2.500 
400 
 
= 6,25 
 
Agora, como o número de seções não pode ser um número fracionário, devemos 
arredondar esse número para cima, pois, com apenas 6 seções, 100 pessoas 
deixam de votar. 
 
Portanto, serão necessárias, no mínimo, 7 seções eleitorais neste município para 
que os 2.500 eleitores desta cidade possam votar. Item correto. 
 
 
 
237 - (TRE/ES - 2010 / CESPE) Se, em um município, as seções eleitorais X, Y 
e Z têm, juntas, 1.500 eleitores; os tempos médios de votação nessas seções 
são 1 minuto e 30 segundos, 2 minutos e 1 minuto por eleitor, 
respectivamente; o tempo médio de votação nas três seções é de 2.175 
minutos; e o número de eleitores da seção Y é igual à metade da soma do 
número de eleitores das seções X e Z, então, nesse caso, a seção eleitoral 
que tem o maior número de eleitores é a X. 
 
Solução: 
 
Nessa questão, vamos chamar de x, y e z o número de eleitores das seções X, Y 
e Z. Assim: 
 
As seções eleitorais X, Y e Z têm, juntas, 1.500 eleitores 
 
x + y + z = 1.500 (equação 1) 
 
O número de eleitores da seção Y é igual à metade da soma do número de 
eleitores das seções X e Z 
 
y = 
( x z) 
2 
 
2.y = x + z (equação 2) 
 
Substituindo o valor de x + z da equação 2 na equação 1, temos: 
x + y + z = 1.500 
y + 2.y = 1.500 
3.y = 1.500 
y = 
1500 
= 500 eleitores 
3 
 
Voltando para a equação 1, temos: 
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x + y + z = 1.500 
 
x + 500 + z = 1.500 
x + z = 1.500 – 500 
x + z = 1.000 
z = 1000 – x (equação 3) 
 
 
 
Os tempos médios de votação nessas seções são 1 minuto e 30 segundos, 
2 minutos e 1 minuto por eleitor, respectivamente; o tempo médio de votação 
nas três seções é de 2.175 minutos 
 
1,5.x + 2.y + 1.z = 2175 
 
1,5.x + 2.(500) + z = 2175 
 
1,5.x + 1000 + z = 2175 
 
1,5.x + z = 2175 – 1000 
 
1,5.x + z = 1175 (equação 4) 
 
Agora, substituindo o valor de z da equação 3 na equação 4, temos: 
1,5.x + z = 1175 
1,5.x + 1000 – x = 1175 
 
0,5.x = 1175 – 1000 
 
0,5.x = 175 
 
x = 
175 
= 350 
0,5 
 
Voltando para a equação 3, temos: 
z = 1000 – x 
z = 1000 – 350 = 650 
 
Portanto, a seção que tem o maior número de eleitores é a seção Z. Item errado. 
 
 
 
(Texto para as questões 238 e 239) Um banner da Corregedoria Regional 
Eleitoral do Espírito Santo, parcialmente reproduzido abaixo, alerta a 
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população acerca de possíveis irregularidades no processo de alistamento e 
cadastro de eleitores. 
 
 
 
De acordo com o panfleto apresentado, João, José, Pedro, Marta e Lurdes 
tenham cometido crimes, cada um por motivo diferente do outro. Sabe-se 
que: 
 
- os homens não transferiram domicílio de forma fraudulenta; 
 
- as mulheres não omitiram declaração em documento; 
 
- uma dessas pessoas aliciou e induziu outra pessoa do grupo, do sexo 
oposto, a alistar-se eleitor(a) de forma fraudulenta; 
 
- Pedro ou Marta deram declaração falsa; 
 
- José e João se alistaram de forma não fraudulenta. 
 
Considerando o banner e as informações hipotéticas apresentadas acima, 
julgue os itens seguintes. 
 
238 - (TRE/ES - 2010 / CESPE) A pessoa responsável pelo aliciamento é do 
sexo feminino. 
 
Solução: 
 
Para resolver esta questão, vamos preencher a seguinte tabelinha: 
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Alistar-se de 
forma 
fraudulenta 
Transferir 
domicílio 
de forma 
fraudulenta 
Aliciar / Induzir 
eleitor a alistar- 
se de forma 
fraudulenta 
 
Dar 
declaração 
falsa 
 
Omitir 
declaração em 
documento 
João 
José 
Pedro 
Marta 
Lurdes 
 
Agora, a partir das informações da questão, vamos preencher a tabelinha: 
 
- os homens não transferiram domicílio de forma fraudulenta; 
 
 
Alistar-se de 
forma 
fraudulenta 
Transferir 
domicílio 
de forma 
fraudulenta 
Aliciar / Induzir 
eleitor a alistar- 
se de forma 
fraudulenta 
 
Dar 
declaração 
falsa 
 
Omitir 
declaração em 
documento 
João Não 
José Não 
Pedro Não 
Marta 
Lurdes 
 
- as mulheres não omitiram declaração em documento; 
 
 
Alistar-se de 
forma 
fraudulenta 
Transferir 
domicílio 
de forma 
fraudulenta 
Aliciar / Induzir 
eleitor a alistar- 
se de forma 
fraudulenta 
 
Dar 
declaração 
falsa 
 
Omitir 
declaração em 
documento 
João Não 
José Não 
Pedro Não 
Marta Não 
Lurdes Não 
 
- José e João se alistaram de forma não fraudulenta. 
 
 
Alistar-se de 
forma 
fraudulenta 
Transferir 
domicílio 
de forma 
fraudulenta 
Aliciar / Induzir 
eleitor a alistar- 
se de forma 
fraudulenta 
 
Dar 
declaração 
falsa 
 
Omitir 
declaração em 
documento 
João Não Não 
José Não Não 
Pedro Não 
Marta Não 
Lurdes Não 
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- Pedro ou Marta deram declaração falsa; 
 
 
Alistar-se de 
forma 
fraudulenta 
Transferir 
domicílio 
de forma 
fraudulenta 
Aliciar / Induzir 
eleitor a alistar- 
se de forma 
fraudulenta 
 
Dar 
declaração 
falsa 
 
Omitir 
declaração em 
documento 
João Não Não Não 
José Não Não Não 
Pedro Não 
Marta Não 
Lurdes NãoNão 
 
Podemos perceber que só restou a José e a João terem aliciado e induzido outra 
pessoa a alistar-se de forma fraudulenta ou omitido declaração em documento, 
pois eles não se alistaram, não transferiram domicilio nem deram declaração falsa. 
Assim: 
 
 
Alistar-se de 
forma 
fraudulenta 
Transferir 
domicílio 
de forma 
fraudulenta 
Aliciar / Induzir 
eleitor a alistar- 
se de forma 
fraudulenta 
 
Dar 
declaração 
falsa 
 
Omitir 
declaração em 
documento 
João Não Não Não 
José Não Não Não 
Pedro Não Não Não 
Marta Não Não 
Lurdes Não Não Não 
 
- uma dessas pessoas aliciou e induziu outra pessoa do grupo, do sexo 
oposto, a alistar-se eleitor(a) de forma fraudulenta; 
 
Como quem aliciou e induziu foi um homem (José ou João), podemos concluir que 
quem alistou-se de forma fraudulenta foi uma mulher. Assim: 
 
 
Alistar-se de 
forma 
fraudulenta 
Transferir 
domicílio 
de forma 
fraudulenta 
Aliciar / Induzir 
eleitor a alistar- 
se de forma 
fraudulenta 
 
Dar 
declaração 
falsa 
 
Omitir 
declaração em 
documento 
João Não Não Não 
José Não Não Não 
Pedro Não Não Não Não 
Marta Não Não 
Lurdes Não Não Não 
 
O que nos leva a concluir que Pedro deu a declaração falsa: 
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Alistar-se de 
forma 
fraudulenta 
Transferir 
domicílio 
de forma 
fraudulenta 
Aliciar / Induzir 
eleitor a alistar- 
se de forma 
fraudulenta 
 
Dar 
declaração 
falsa 
 
Omitir 
declaração em 
documento 
João Não Não Não 
José Não Não Não 
Pedro Não Não Não Sim Não 
Marta Não Não Não 
Lurdes Não Não Não 
 
Portanto, a pessoa responsável pelo aliciamento é do sexo masculino (José ou 
João). Item errado. 
 
 
 
239 - (TRE/ES - 2010 / CESPE) Pedro deu declaração falsa. 
 
Solução: 
 
Vimos na questão anterior que foi Pedro quem deu a declaração falsa. Item 
correto. 
 
 
 
(Texto para as questões 240 e 241) Um cliente contratou os serviços de 
cartão pré-pago de uma financeira e, em seguida, viajou. Esse cliente gastou 
 
metade do limite do cartão com hospedagem, 
 
alimentação. Nesse caso, 
1 
com combustível e 
3 
1 
com 
9 
 
240 - (Assembléia Legislativa/CE - 2011 / CESPE) o cliente gastou todo o 
limite do cartão contratado com hospedagem, combustível e alimentação. 
 
Solução: 
 
Essa é uma questão bem simples. Vamos chamar de x o limite total do cartão. 
Assim: 
 
 
Gasto com Hospedagem = 
 
 
 
Gasto com Combustível = 
 
 
 
Gasto com Alimentação = 
1 
de x = 
x 
2 2 
1 
de x = 
x 
3
 
3 
1 
de x = 
x 
9 9 
Assim, apenas com hospedagem, combustível e alimentação o cliente gastou: 
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Total gasto = 
x 
+ 
x 
+ 
2 3 
x 
= 
9.x 6.x 2.x 
9 18 
= 
17.x 
18 
Total que sobrou = x – 
17.x 
18 = 
18.x 17.x 
= 
x 
18 18 
Com isso, concluímos que ainda restou 
1 
do limite do cartão. Item errado. 
18 
 
 
 
241 - (Assembléia Legislativa/CE - 2011 / CESPE) se o gasto do cliente com 
hospedagem utilizando o cartão pré-pago atingiu o montante de R$ 1.500,00, 
então, nesse cartão, o seu gasto com combustível foi de R$ 1.000,00. 
 
Solução: 
 
Sabemos que metade do limite do cartão foi gasto com hospedagem, ou seja, 
50% do limite corresponde a R$ 1.500,00. Assim: 
 
x 
= 1.500 
2 
 
x = 2 x 1.500 
 
x = R$ 3.000,00 
 
Portanto, o limite total é igual a R$ 3.000,00. Com isso, podemos calcular o gasto 
com combustível: 
 
 
Gasto com combustível = 
x 
= 
3000 
= R$ 1.000,00 
3 3 
 
Item correto. 
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r 
Como tratar hoje dos ―Problemas Geométricos‖. Antes, vamos relembrar um pouco 
da Geometria Básica. Vamos lá: 
 
2 - Geometria Plana 
 
 
Ponto, reta e plano 
 
O conceito de ponto é um conceito primitivo, pois não existe uma definição aceita 
de ponto, temos nesse caso que aceitar sua existência e indicaremos um ponto 
por uma letra maiúscula do alfabeto (A, B, C, P, ...). 
 
Podemos definir uma reta como sendo um número infinito de pontos em 
sequência. É possível perceber que sobre um ponto passa um número infinito de 
retas, porém sobre dois pontos distintos passa apenas uma reta distinta, a qual 
passaremos a chamar por uma letra minúscula do alfabeto (s, t, q, r, ...). Além 
disso, chama-se de semirreta aquela que começa em um ponto qualquer de uma 
reta e não tem fim. Já o segmento de reta é aquele que começa em um ponto 
qualquer da reta e termina em outro ponto desta mesma reta. 
 
 
Reta 
Semirreta 
Segmento de reta 
 
O plano será definido por três pontos não-colineares (que não estão na mesma 
reta). Todas as retas que passam por dois desses pontos que definem o plano 
estão contidas nele. Denominaremos o plano por uma letra grega minúscula 
qualquer (α, β, γ, ...). 
 
 
Posições relativas entre retas, semirretas, segmentos e planos 
 
Duas retas distintas podem assumir diferentes posições no espaço. Elas podem 
ser: paralelas, coincidentes, concorrentes, perpendiculares ou reversas. 
 
s 
 Retas Paralelas r 
 
 
Duas retas serão paralelas se pertencerem ao mesmo plano (coplanares) e não 
possuírem ponto de intersecção ou ponto em comum. 
 
 Retas Coincidentes s 
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Duas retas são ditas coincidentes se pertencem ao mesmo plano e possuem 
todos os pontos em comum. 
 
 Retas Concorrentes . s 
r 
 
Retas concorrentes são aquelas que possuem apenas um ponto comum, elas se 
tocam apenas uma vez. 
 
 
 
 Retas Perpendiculares .. s 
 
r 
 
Duas retas perpendiculares são um caso particular de retas concorrentes. Sua 
peculiaridade é que o ângulo formado por essas duas retas é igual a 90°. 
 
 
 
 
 Retas Reversas s 
 
r 
 
 
 
Duas retas serão ditas reversas se, ao mesmo tempo, elas não forem paralelas e 
não possuírem nenhum ponto em comum. 
 
Podemos, também, definir outras posições relativas das retas, semirretas, 
segmentos e planos: 
 Semirretas Opostas .O 
 
Duas semirretas são denominadas opostas se elas estão numa mesma reta, 
possuem um mesmo ponto de origem e possuem sentidos opostos (na figura 
acima o ponto ―O‖ divide a reta em duas semirretas opostas). 
 
 Segmentos Consecutivos . . B A 
 
C 
 
Dois segmentos de reta são ditos consecutivos se a extremidade de um dos 
segmentos é também a extremidade do outro, ou seja, se uma extremidade de um 
coincide com uma extremidade do outro. Na figura acima, os segmentos AB e BC 
são consecutivos. 
 
 Segmentos Colineares 
A. B. C. .D 
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Dois segmentos de reta serão colineares se eles pertencerem a uma mesma reta. 
Na figura acima, os segmentos AB e CD são colineares. 
 
 Segmentos Congruentes A. .B 
C. .D 
 
5 cm 
5 cm 
 
Dois segmentos serão congruentes se eles tiverem as mesmas medidas. Na 
figura acima, os segmentos AB e CD são congruentes, pois ambos medem cinco 
centímetros. 
 
 
 Segmentos Adjacentes A. .B .C 
 
Dois segmentos serão ditos adjacentes se eles forem consecutivos e colineares, 
e ainda, se possuírem apenas uma extremidade em comum e não tiverem outros 
pontos em comum. Na figura acima,AB e BC são adjacentes. 
 
 Reta paralela a um plano 
 
 
 
 
Uma reta será paralela a um plano se eles não tiverem nenhum ponto em comum. 
 
 Reta contida num plano 
 
 
 
Uma reta estará contida num plano se todos os seus pontos pertencerem a este 
plano. 
 
 Reta secante (ou concorrente) a um plano 
 
 
 
 
 
 
 
Uma reta será secante (ou concorrente) a um plano se ambos só tiverem um 
ponto em comum. 
 
Se o ângulo que se formar entre a reta e o plano for 90°, dizemos que eles são 
perpendiculares. 
 
 
Ângulos 
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. 
Podemos definir um ângulo como sendo uma região formada pela abertura de 
duas semirretas que possuem uma origem em comum. A origem dessas duas 
semirretas chama-se vértice do ângulo. 
 
 
O 
s 

 
r 
 
Existe uma semirreta importante no estudo dos ângulos que é a bissetriz. Ela tem 
origem no vértice de um ângulo qualquer e o divide em dois ângulos iguais. 
 
s 
 
/2 
/2 
 
Bissetriz 
 
 
r 
 
As unidades de medida mais comuns para os ângulos são radianos ou graus. 
Existem outras unidades, porém, muito pouco usadas e não merecem que 
percamos nosso tempo com elas. 
 
A medida em radianos de um ângulo é o comprimento do arco cortado pelo 
ângulo, dividido pelo raio do círculo. Já a medida em graus de um ângulo é o 
comprimento desse mesmo arco, dividido pela circunferência do círculo e 
multiplicada por 360. 
 
 
 
(em radianos) = 
L
 
R 
 
 
 
(em graus) = 
L 
2..R 
 
.360 
 
 
Obs: Veremos mais na frente que o comprimento da circunferência vale 2..R. 
 
Agora, vamos verificar as seguintes classificações dos ângulos: quanto à medida, 
quanto à posição e quanto à complementação. 
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 Classificação quanto à medida 
Os ângulos podem ser: 
Nulo: O ângulo nulo é aquele que mede 0°(ou 0 radianos ). 
 
Agudo: O ângulo será agudo, se sua medida valer mais que 0° (ou 0 radianos) e 
menos que 90°(ou 
2 
radianos). 
 
Reto: O ângulo reto é aquele que mede exatamente 90°(o u 
2
 
 
radianos). 
 
Obtuso: O ângulo será obtuso, se sua medida valer mais que 90° (ou 
2 
radianos) e menos que 180°(ou radianos). 
 
Raso: O ângulo raso é aquele que mede 180°(ou radianos). 
 
 
 
 Classificação quanto à posição 
 
Congruentes: Dois ângulos são classificados como congruentes, quando eles 
possuem a mesma medida. 
 
Consecutivos: Dois ângulos são chamados consecutivos se um dos lados de um 
deles coincide com um dos lados do outro ângulo. Na figura abaixo, e  são 
consecutivos. 
 
 
 
 
 
 


 
 
Adjacentes: Dois ângulos são classificados como adjacentes quando são 
consecutivos e não possuem pontos internos comuns. Na figura abaixo, e são 
adjacentes. 
 
 
 
 
 
 
Opostos pelo vértice: São ângulos formados por duas retas concorrentes e que 
possuem seus dois lados nas mesmas retas. Na figura abaixo, e são opostos 
pelo vértice. 
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2 
 
 
 

 
 
 
 Classificação quanto à complementação 
 
Complementares: Dizemos que α e β são complementares quando a soma de 
suas medidas é igual a 90°. Assim, dizemos que α é o complemento de β e vice- 
versa. 
 
Suplementares: Dizemos que α e β são suplementares quando a soma de suas 
medidas é igual a 180°. Assim, dizemos que α é o suplemento de β e vice-versa. 
 
 
Circunferência 
 
Podemos definir uma circunferência como o lugar geométrico dos pontos de um 
plano que possuem a mesma distância (raio) de um ponto fixo (centro). 
 
O segmento de reta que passa pelo centro e une dois pontos da circunferência é 
chamado de diâmetro (D). Esse diâmetro vale o dobro do raio (R). 
 
 
 
D = 2.R 
 
 
 
R 
 
D 
 
 
O comprimento da circunferência, ou perímetro (P), é igual a: 
 
P = 2..R ou P = .D 
 
 
 
A área de uma circunferência é dada pela seguinte expressão: 
 
Área = .R2 ou Área = . 
D
 
4 
 
 
Polígonos 
 
O polígono é uma figura plana formada por três ou mais segmentos de reta que se 
interceptam dois a dois. Os segmentos de reta são denominados lados do 
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polígono. Os pontos de interseção são denominados vértices do polígono. Os 
polígonos podem ser: Convexo ou Côncavo. 
 
O Polígono Convexo é aquele construído de modo que os prolongamentos dos 
lados nunca ficarão no interior da figura original. Se dois pontos pertencem a um 
polígono convexo, então todo o segmento de reta tendo estes dois pontos como 
extremidades, estará inteiramente contido no polígono. 
 
 
A 
 
B 
 
 
 
 
O Polígono Côncavo é aquele construído de modo que existam dois pontos 
contidos no polígono de forma que o segmento de reta com esses dois pontos nas 
extremidades possua pontos fora do polígono. 
 
 
A 
 
 
 
B 
 
 
 
 
Triângulos 
 
Os triângulos são polígonos que possuem três lados e a soma de seus ângulos 
internos vale 180°. Para podermos garantir a exist ência de um triângulo, devemos 
garantir que cada lado seja menor que a soma dos outros dois lados. Além disso, 
devemos garantir que cada lado seja maior que o módulo da diferença entre os 
outros dois lados e que os seus três vértices não estejam numa mesma reta: 
 
 
c b a < b + c 
a > |b - c| 
 
a 
Eles podem ter as seguintes classificações: 
 
- Quanto à medida dos ângulos (acutângulo, retângulo e obtusângulo) 
- Quanto à medida dos lados (equilátero, isósceles e escaleno) 
 
 
 
Classificação dos triângulos quanto à medida dos seus ângulos 
 
 Triângulo Acutângulo 
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O triângulo é classificado como acutângulo, quando ele possui todos os ângulos 
menores que 90°. 
 
 Triângulo Retângulo 
 
Classificamos o triângulo como retângulo, quando ele possui um ângulo medindo 
exatamente 90°. Nesse triângulo, os lados que forma m o ângulo reto denominam- 
se catetos, e o lado oposto ao ângulo reto denomina-se hipotenusa. 
 
Cabe destacar logo agora o Teorema de Pitágoras. Esse teorema estabelece que 
o quadrado da hipotenusa é igual a soma do quadrado dos catetos: 
 
 
Cateto 2 
. 
Hipotenusa 
Cateto 1 
 
(Hipotenusa)2 = (Cateto 1)2 + (Cateto 2)2 
 
 
 
 
 Triângulo obtusângulo 
 
O triângulo é classificado como obtusângulo, quando possui um ângulo medindo 
mais de 90°. 
 
 
 
Classificação dos triângulos quanto à medida dos seus lados 
 
 
 
 Triângulo equilátero 
 
O triângulo é classificado como equilátero, quando todos os seus lados possuem 
a mesma medida. Este triângulo também possui todos os seus ângulos medindo 
60°(é dito equiângulo). 
 
 Triângulo Isósceles 
 
O triângulo é classificado como isósceles, quando possui dois lados de mesma 
medida. Pode-se dizer que o triângulo equilátero é um caso particular do triângulo 
isósceles, quando o terceiro lado também apresenta a mesma medida dos outros 
dois. 
 
 Triângulo Escaleno 
 
Classificamos o triângulo como escaleno se todos os seus lados possuírem 
medidas diferentes. 
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Existem algumas medidas dos triângulos que devem ser destacadas 
 
 
 
Mediatriz, Altura, Medianae Bissetriz 
 
 Mediatriz 
 
A mediatriz de um triângulo é a semirreta perpendicular a um lado do triângulo, 
traçada a partir do seu ponto médio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
x 
As três mediatrizes de um triângulo se encontram em um único ponto, chamado de 
circuncentro, que é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo (o 
triângulo fica dentro da circunferência). O circuncentro pode ficar dentro ou fora do 
triângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Altura 
 
A altura é medida em relação a qualquer um dos seus lados. Ela é o segmento de 
reta que liga um vértice ao seu lado oposto, ou ao prolongamento do seu lado 
oposto, formando um ângulo reto com esse lado, que é chamado de base dessa 
altura. Na figura abaixo, ―h‖ é a altura relativa à base ―a‖. 
 
 
h 
. 
a 
 
O ponto de encontro das três alturas de um triângulo denomina-se ortocentro. No 
triângulo acutângulo, o ortocentro é interno ao triângulo; no triângulo retângulo, é o 
vértice do ângulo reto; e no triângulo obtusângulo é externo ao triângulo. 
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 Mediana 
 
A mediana de um triângulo é o segmento de reta que une o vértice do triângulo ao 
ponto médio do lado oposto. 
 
 
 
 
 
 
x x 
O ponto de interseção das três medianas é chamado de baricentro do triângulo. 
O baricentro divide a mediana em dois segmentos. O segmento que une o vértice 
ao baricentro vale o dobro do segmento que une o baricentro ao lado oposto deste 
vértice 
a 
2.a 
 
 
 
 
Num triângulo retângulo, a mediana relativa à hipotenusa mede metade desta 
hipotenusa. 
 
 Bissetriz 
 
A bissetriz interna de um triângulo corresponde ao segmento de reta que parte de 
um vértice, e vai até o lado oposto do vértice em que partiu, dividindo o seu ângulo 
em dois ângulos congruentes. 
 
 
 
α α 
 
 
 
O ponto de encontro das três bissetrizes internas do triângulo chama-se incentro. 
O círculo que tem o incentro como centro e é tangente aos três lados do triângulo 
é denominado círculo inscrito. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aqui, cabe destacar que os dois segmentos de reta que ligam um vértice do 
triângulo aos pontos em que o circulo inscrito tangencia os lados do triângulo, 
possuem a mesma medida. 
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a 
 
 
 
 
 
 
 
 
Área do triângulo 
 
Para se calcular a área de um triângulo, devemos primeiro saber quem é a altura 
do triângulo. A altura é medida em relação a qualquer um dos seus lados. Na 
figura abaixo, ―h‖ é a altura relativa à base ―a‖. Pode-se calcular a área de um 
triângulo multiplicando-se um lado qualquer desse triângulo por sua altura relativa 
e dividindo o resultado por dois. 
 
 
 
 
. 
h Área = 
a 
a . h 
2 
 
 
Num triângulo retângulo, as alturas relativas às bases que formam o ângulo reto 
coincidem com os lados desse triângulo, conforme figura abaixo. Assim, para 
calcular a área desse triângulo basta multiplicar esses dois catetos e dividir o 
resultado por dois. 
 
 
 
 
 
Área = 
a . b
 
. 2 
b 
 
 
Outra forma de calcular a área de um triângulo é por meio da medida de seus 
lados. Assim, um triângulo de lados a, b e c, possui a seguinte área: 
 
 
 
Área = 
 
s.(s a).(s b).(s c) , onde s = 
a b c 
2 
 
(semi-perímetro) 
 
 
 
 
Semelhança entre triângulos 
 
Podemos definir a semelhança entre dois triângulos da seguinte forma: 
 
―Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos 
ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais.‖ 
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X A 
 
c b 
z y 2 
1 B a 
C 
Y x Z 
Os triângulos 1 e 2 são ditos semelhantes se: 
 
 
X = A 
 
Y = B 
 
Z = C 
x 

y 

z 
a b c 
 
A semelhança de triângulos possui um teorema fundamental que numa prova 
pode nos ajudar a rapidamente identificar dois triângulos semelhantes: 
 
―Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois 
em dois pontos distintos, então o triângulo que ela determina é semelhante ao 
primeiro‖ 
 
C 
 
 
 
X Y 
r 
 
A B 
 
 
Considerando que a reta r é paralela ao lado AB, os triângulos ABC e XYC são 
semelhantes. 
 
Existem outras formas de se determinar que dois triângulos são semelhantes: 
 
 
 
AA (Ãngulo-Ãngulo): Se dois triângulos possuem dois ângulos internos 
correspondentes iguais, então os dois triângulos são semelhantes. 
 
LAL (Lado-Ângulo-Lado): Se as medidas de dois dos lados de um triângulo são 
proporcionais aos lados homólogos do outro triângulo e os ângulos determinados 
por estes lados são iguais, então os triângulos são semelhantes. 
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LLL (Lado-Lado-Lado): Se as medidas dos lados de um triângulo são 
respectivamente proporcionais às medidas dos lados homólogos de outro 
triângulo, então os dois triângulos são semelhantes. 
 
 
Quadriláteros 
 
O quadrilátero é o polígono que possui quatro lados e a soma de seus ângulos 
internos vale 360°. As diagonais do quadrilátero sã o segmentos de reta que unem 
seus vértices opostos. 
 
Concentraremos o estudo nos quadriláteros que possuem dois lados opostos 
paralelos. Eles se dividem em dois grupos: os paralelogramos e os trapézios. 
 
Os paralelogramos possuem os lados paralelos dois a dois (lados opostos 
paralelos) e suas diagonais se encontram no ponto médio. Eles se dividem em: 
Quadrados, Retângulos, Losangos e Paralelogramos obliquângulos. 
 
Os trapézios possuem apenas dois de seus lados paralelos, mas o comprimento 
dos seus lados e a medida de seus ângulos variam sem nenhuma relação uns 
com os outros. Eles se dividem em: trapézio retângulo, trapézio isósceles e 
trapézio escaleno. 
 
 
 
Quadrado: É um quadrilátero que possui todos os lados do mesmo tamanho e 
todos os ângulos iguais a 90°. 
 
 
 
 
Retângulo: É um quadrilátero que possui todos os ângulos iguais a 90°, seus 
lados paralelos com o mesmo tamanho e seus lados adjacentes com tamanhos 
diferentes. 
 
 
 
 
 
 
Losango: É um quadrilátero que possui todos os lados de mesmo tamanho, seus 
ângulos oposto com a mesma medida e seus ângulos adjacentes com medidas 
diferentes. 
 
 
 
 
 
 
 
Paralelogramo obliquângulo: É um quadrilátero que possui seus lados paralelos 
com o mesmo tamanho e seus lados adjacentes com tamanhos diferentes. Seus 
ângulos opostos são congruentes e os adjacentes de medidas diferentes. 
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Trapézio Reto: É um quadrilátero que possui dois lados paralelos com tamanhos 
diferentes, e dois ângulos adjacentes medindo 90°. 
 
 
90° 
 
90° 
 
 
 
Trapézio Isosceles: É um quadrilátero que possui dois lados paralelos com 
tamanhos diferentes, e dois lados opostos não paralelos de mesmo tamanho. Num 
trapézio isósceles, os ângulos adjacentes à mesma base são iguais. 
 
 
 
 
 
Trapézio Escaleno: É um quadrilátero que possui dois lados paralelos com 
tamanhos diferentes e dois lados não paralelos, também de tamanhos diferentes, 
sem nenhum ângulo reto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Polígonos de “n” lados 
 
Além dos triângulos e dos quadriláteros, os polígonos podem ter 5, 6, 7, ..., n 
lados. Segue uma tabelinha com algumas de suas nomenclaturas: 
 
Nº de ladosNomenclatura Nº de lados Nomenclatura 
3 lados Triângulo 7 lados Heptágono 
4 lados Quadrilátero 8 lados Octógono 
5 lados Pentágono 9 lados Eneágono 
6 lados Hexágono 10 lados Decágono 
 
Uma informação importante a respeito dos polígonos, é a quantidade de diagonais 
que possui cada polígono. Vamos ver alguns exemplos: 
 
Triângulo: Não possui nenhuma diagonal 
Quadrilátero: Possui duas diagonais 
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d1 d2 
 
 
Pentágono: Possui cinco diagonais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hexágono: Possui nove diagonais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Percebam que fica cada vez mais difícil contar a quantidade de diagonais do 
polígono. Mas existe uma lógica que nos permite estabelecer uma ―fórmula‖ para o 
seu cálculo. Para um polígono convexo de n lados, o número de diagonais é dado 
por: 
 
 
D = 
n.(n 3) 
2 
 
 
Vamos testar a fórmula com os exemplos que vimos acima: 
Quadrilátero: 
D = 
n.(n 3) 
=
 
2 
4.(4 3) 
2 = 
4.(1) 
= 2
 
2 
 
Pentágono: 
 
D = 
n.(n 3) 
=
 
2 
5.(5 3) 
2 = 
5.(2) 
= 5
 
2 
 
Hexágono: 
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D = 
n.(n 3) 
=
 
2 
6.(6 3) 
=
 
2 
6.(3) 
= 9
 
2 
 
 
É interessante, também, sabermos como calcular a soma dos ângulos internos de 
um polígono convexo qualquer. Já sabemos que a soma dos ângulos internos do 
triângulo é igual a 180º e do quadrilátero é igual a 360°. Isso se deve ao fato de 
podermos dividir o quadrilátero em dois triângulos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si = 2 x 180°= 360°(S i é a soma dos ângulos internos) 
Para o pentágono, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si = 3 x 180°= 540° 
 
Para um polígono de n lados também podemos fazer a mesma coisa, mas pode 
dar muito trabalho e nos levar a errar na prova. Assim, para um polígono de n 
lados, existe uma expressão que resume o que fizemos: 
 
 
 
Si = (n – 2) x 180° 
 
 
 
 
Perímetro 
 
O perímetro de uma figura plana qualquer é o comprimento de seu contorno. 
Assim, o perímetro de um polígono qualquer é igual à soma das medidas de seus 
lados. 
 
 
Áreas de regiões planas 
 
Já vimos como calcular a área de uma circunferência e a área de um triângulo 
qualquer. Vamos ver agora, como encontrar a área dos outros polígonos. 
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Área dos paralelogramos: A área de um paralelogramo é dada pelo produto da 
base por sua altura relativa. 
 
 
 
Área = base x altura 
 
 
 
No caso do quadrado, a base e a altura coincidem com seus lados (L). Como os 
lados do quadrado são iguais, temos: 
 
 
 
Área do quadrado = L2 
 
 
 
No caso do retângulo, a base e a altura também coincidem com seus lados (L1 e 
L2). Assim: 
 
 
 
Área do retângulo = L1 x L2 
 
 
 
No caso do losango, é possível demonstrar que sua área é igual à metade do 
produto de suas diagonais. Assim: 
 
 
 
 
Área do losango = 
D1. D2 
2 
 
 
Por fim, no caso de um trapézio qualquer, é possível demonstrar que a sua área é 
igual ao produto da média de seus lados paralelos por sua altura relativa: 
 
 
 
Área do trapézio = 
(Base1 Base2) 
Altura 2 
 
 
Ainda, cabe destacar que para calcular a área de qualquer polígono, podemos 
dividi-lo em triângulos, calcular suas áreas e somá-las. 
 
 
 
1 2 
 
1 
2 4 
 
3 3 
 
 
 
Área do pentágono = A1 + A2 + A3 Área do hexágono = A1 + A2 + A3 + A4 
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3 - Geometria Espacial 
 
 
 
A Geometria Espacial é o estudo da geometria no espaço, onde estudamos as 
figuras que possuem mais de duas dimensões. Essas figuras recebem o nome de 
sólidos geométricos ou figuras geométricas espaciais e são conhecidas como: 
prisma (cubo, paralelepípedo), pirâmides, cone, cilindro e esfera. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cada plano do sólido é chamado de face. 
 
As arestas são os segmentos de reta que unem duas faces do sólido. 
 
Os vértices são os pontos onde mais de duas arestas do sólido se encontram. 
 
 
Prisma 
 
O prisma é um sólido geométrico delimitado por faces planas, no qual as bases se 
situam em planos paralelos. Quanto à inclinação das arestas laterais, os prismas 
podem ser retos ou oblíquos. O prisma cujas bases são paralelogramos é 
chamado de paralelepípedo. 
 
Prisma reto 
 
As arestas laterais têm o mesmo comprimento, são perpendiculares ao plano da 
base e as faces laterais são retangulares. O prisma reto que possui em todas as 
faces um quadrado é chamado de cubo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prisma oblíquo 
 
As arestas laterais têm o mesmo comprimento, são oblíquas ao plano da base e 
as faces laterais não são retangulares. 
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 Altura do prisma 
 
A altura do prisma é a medida da distância entre sua base inferior e sua base 
superior. 
 
 
 
 Área Lateral e Área Total 
 
A área lateral do prisma é dada pela soma das áreas de cada quadrilátero de 
suas faces laterais. No caso de um prisma com base triangular, teremos que sua 
área lateral será igual à soma das áreas dos três quadriláteros que formam suas 
faces laterais. 
 
A área total do prisma é igual à soma de sua área lateral com a área de suas 
duas bases, a inferior e a superior. 
 
 
 
 Volume 
 
O volume do prisma é calculado multiplicando-se a área de sua base pela medida 
de sua altura: 
 
 
 
 
V = Área da base x Altura 
 
 
 
 
Pirâmide 
 
Uma pirâmide é todo um sólido formado por uma face inferior (base) e um vértice 
que une todas as faces laterais. As faces laterais de uma pirâmide são regiões 
triangulares, e o vértice que une todas as faces laterais é chamado de vértice da 
pirâmide. O numero de faces laterais de uma pirâmide corresponde ao número de 
lados do polígono da base. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Altura da pirâmide 
 
A altura da pirâmide é a medida da distância entre o vértice e sua base inferior. 
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 Área Lateral e Área Total 
 
A área lateral da pirâmide é dada pela soma das áreas de cada triângulo de suas 
faces laterais. No caso de uma pirâmide com base quadrada, teremos que sua 
área lateral será igual à soma das áreas dos quatro triângulos que formam suas 
faces laterais. 
 
A área total da pirâmide é igual a soma de sua área lateral com a área de sua 
base. 
 
 
 
 Volume 
 
O volume da pirâmide é calculado multiplicando-se a área de sua base pela 
medida de sua altura e dividindo-se o resultado por 3: 
 
 
 
 
Vpirâmide = 
Área da Base  
Altura 3 
 
 
Pose ser cobrado numa prova o volume, a área lateral ou alguma outra medida de 
um tronco de pirâmide. Mas o que é isso? Simples, o tronco de uma pirâmide é 
obtido ao se traçar uma seção transversal em uma pirâmide, conforme mostrado 
abaixo: 
 
 
 
 
Pirâmide 
maior 
Pirâmide 
menor 
 
 
 
 
Tronco da 
pirâmide 
 
 
 
O tronco da pirâmide está representado pelo sólido limitado pelas arestas azuis. 
 
Normalmente o que é cobrado é o tronco de pirâmide formado a partir de um corte 
paralelo à base. Assim, para calcular o volume do tronco dessa pirâmide, temos: 
 
 
 
Vtronco = Vpirâmide maior – Vpirâmidemenor 
 
 
 
O mesmo serve para a área lateral do tronco. 
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Cilindro 
 
O cilindro é semelhante a um prisma, sendo que sua base é um círculo. Ele pode 
ser formado pela rotação de um quadrado ou retângulo em torno de um de seus 
lados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Altura do cilindro 
 
A altura do cilindro é a medida da distância entre sua base inferior e sua base 
superior. 
 
 
 
 Área Lateral e Área Total 
 
A área lateral do cilindro é dada por: 
 
Alateral = 2..R.h 
 
 
 
A área total do prisma é igual à soma de sua área lateral com a área de suas 
duas bases, a inferior e a superior. 
 
 
 
Atotal = 2..R.h + .R
2 + .R2 = 2..R.(h + R) 
 
 
 
 Volume 
 
O volume do cilindro é calculado multiplicando-se a área de sua base pela medida 
de sua altura: 
 
 
 
V = Abase x Altura = .R
2
.h 
 
 
 
 
Cone 
 
Aqui, só iremos tratar dos cones circulares retos, que são os cones onde a 
projeção do vértice na sua base coincide com o centro da circunferência. Um cone 
é semelhante a uma pirâmide, sendo que sua base é um círculo. Ele pode ser 
formado pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos. 
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A hipotenusa desse triângulo é chamada de geratriz (ou apótema), que é a medida 
do segmento de reta que liga o vértice do cone à borda da sua base. 
 
geratriz 
 
 
 
 
 Altura do cone 
 
A altura do cone é a medida da distância entre o vértice e sua base inferior. Para 
um cone onde a geratriz é igual ao diâmetro da base (cone equilátero), a altura 
vale: 
 
 
h = R. 3 
 
 
 
 Área Lateral e Área Total 
 
A área lateral do cone é dada por: 
 
 
 
Alateral = .R.g 
 
 
 
A área total do cone é igual à soma de sua área lateral com a área de sua base. 
 
 
 
Atotal = .R.g + .R
2 = .R.(R + g) 
 
 
 
 
 Volume 
 
O volume do cone é calculado multiplicando-se a área de sua base pela medida 
de sua altura e dividindo-se esse resultado por 3: 
 
 
 
V = 
Abase Altura 
=
 
3 
p. R 2 
.h 3 
 
 
Semelhante ao que vimos para a pirâmide, pode ser cobrado numa prova as 
medidas de um tronco de cone. Utilizaremos os mesmo conceitos vistos lá em 
cima. 
 
 
Esfera 
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A esfera é um sólido formado por uma superfície curva onde todos os seus pontos 
possuem a mesma distância de um outro ponto denominado centro. Ela pode ser 
formada pelo giro de uma semi-circunferência em torno de um eixo. 
 
 
R 
R 
 
 
 
 
 
 Área 
 
A área da superfície de uma esfera é dada por: 
 
 
 
Área = 4..R2 
 
 
 
 
 Volume 
 
O volume de uma esfera é dado por: 
 
 
 
 
Volume = 
4..R 3 
3 
 
 
Ufa! Agora vamos às questões! 
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(Texto para as questões de 242 e 243) Três crianças costumam brincar de 
caça ao tesouro, em local plano, na praia, da forma descrita a seguir: de 
posse de uma bússola, elas fixam um ponto P na praia com uma 
bandeirinha, uma delas esconde um brinquedo sob a areia e, depois, passa o 
mapa e a bússola para que as outras duas tentem encontrar o tesouro. O 
mapa consiste em uma sequência de instruções formadas pelo número de 
passos em linha reta e um sentido — a partir da bandeirinha —, que deve ser 
observada para se encontrar o tesouro. 
 
A partir do texto acima e considerando que a medida do passo de todas as 
crianças seja idêntica e que as instruções do mapa sejam seguidas na ordem 
apresentada, julgue os itens seguintes. 
 
242 - (MEC - 2011 / CESPE) Se as crianças se unirem no ponto P e a primeira 
caminhar 2 passos para o norte, a segunda, 2 passos para o sudoeste e a 
terceira, 2 passos para o sudeste, o triângulo cujos vértices corresponderão 
às posições finais das crianças será equilátero. 
 
Solução: 
 
Vamos, primeiro, tentar desenhar o triângulo da questão: 
 
 
 
No desenho acima, os traços azuis representam os caminhos e o triangulo 
vermelho é o que devemos analisar se é equilátero ou não. Com um desenho bem 
feito nós já podemos perceber que o triângulo é isósceles e não equilátero, haja 
vista que um dos lados é menor do que os outros dois. Uma forma de provar isso 
é que num triângulo equilátero seus ângulos internos são iguais. Observe que os 
 
ângulos dos vértices SO e SE possuem 
3 
da circunferência cada um, enquanto 
8 
 
que o ângulo do vértice N possui 
figura abaixo: 
2 
da circunferência, conforme demonstrado na 
8 
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Assim, o item está errado. 
 
 
 
243 - (MEC - 2011 / CESPE) O mapa contendo as instruções ―4 passos para o 
norte, 5 passos para o sudeste e 5 passos para o oeste‖ conduzirá ao 
mesmo ponto que o mapa com a instrução ―2 passos para o oeste‖. 
 
Solução: 
 
Nessa questão, vamos desenhar os caminhos indicados pelos dois mapas: 
 
5 
4 
5 
2 
P P 
 
Mapa 1 Mapa 2 
 
Novamente, com um desenho bem feito, podemos perceber que a questão está 
errada. De qualquer forma, vamos analisar os mapas. Percebam que a última 
instrução do mapa 1 é para oeste, assim como o mapa 2. Com isso, podemos 
concluir que, para os mapas levarem ao mesmo lugar, é necessário que a última 
instrução do mapa 1 faça o menino cruzar o ponto de partida quando faltarem 
ainda 2 passos para oeste, ou seja, após o terceiro passo. 
 
 
4 5 
 
2 3 
 
P 
 
Mapa 1 
 
Agora, percebam que andar para o norte e andar para oeste são direções 
perpendiculares, ou seja, formam um ângulo de 90º entre si. Além disso, andar 
para o norte e andar para sudeste formam um ângulo de 45º, da mesma forma 
que andar para sudeste e andar para oeste também formam. Assim, podemos 
concluir que o triângulo formado pelo mapa 1 é isósceles, já que possui 2 ângulos 
de 45º e um ângulo de 90°. A base desse triângulo i sósceles é a segunda 
instrução do mapa, portanto, ela mede 5 passos. Assim: 
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90º 
 
 
45º 45º 
 
5 
 
Por fim, percebam que há uma contradição nos dois últimos desenhos, pois no 
primeiro desenho os lados do triângulo são 3, 4 e 5, e no segundo desenho dois 
dos lados do triângulo possuem a mesma medida. 
 
Portanto, o item está errado. 
 
 
 
(Texto para as questões 244 e 245) Nas retas paralelas, R e S, que distam 
10 cm uma da outra, marcaram-se 4 pontos na reta R e 5 pontos na reta S; 
dois pontos adjacentes em uma mesma reta distam 7 cm um do outro. 
Julgue os itens que se seguem, acerca dos triângulos cujos vértices são 
escolhidos entre esses 9 pontos. 
 
244 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) Nenhum desses triângulos tem área superior 
138 cm2. 
 
Solução: 
 
Vamos, primeiro, desenhar o que o texto nos informa: 
 
R 
 
 
10 cm 
 
 
S 
 
 
 
7 cm 
 
Bom, agora devemos analisar se algum dos triângulos formados pelos nove 
pontos marcados nas retas pode ter uma área superior a 138 cm2. Sabemos que a 
área de um triângulo é dada por: 
 
 
 
. 
h Área = 
a 
a x h 
2 
 
 
Com isso, podemos ver que a área do triângulo será maior, quando sua base e 
sua altura forem as maiores possíveis. Assim, se a base for formada pelos pontos 
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extremos da reta ―S‖, teremos uma base de 28 cm, que é a maior possível. 
Ligando essa base a qualquer um dos pontos da reta ―R‖, teremos uma altura de 
10 cm. Assim: 
 
R 
 
 
10 cm 
 
 
S 
 
 
 
28 cm 
 
 
Área = 
a x h 
2 = 
28 x 10 
=
 
2 
280 
= 140 cm2 
2 
 
Portanto, como existe a possibilidade de a área de um triângulo formado pelos 
pontos das retas ―R‖ e ―S‖ possuir mais do que 138 cm2, o item está errado. 
 
 
 
245 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) Todos esses triângulos têm área superior a 
32 cm2. 
 
Solução: 
 
Para formarmos os triângulos necessariamente teremos que utilizar pontos das 
duas retas, pois três pontos numa mesma reta não formam um triângulo. Assim, o 
menor triângulo possível de ser formado com esses pontos terá uma base de 7cm 
e uma altura de 10 cm: 
 
R 
 
 
10 cm 
 
 
S 
 
 
7 cm 
 
 
 
Área = 
a x h 
2 = 
7 x 10 
=
 
2 
70 
= 35 cm2 
2 
 
Portanto, se o menor triângulo possível de ser formado com esses pontos possui 
35 cm2, podemos concluir que todos os triângulos têm área superior a 32 cm2. 
Item correto. 
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246 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) Considerando 20 pontos sobre uma 
circunferência, em posições distintas, o polígono que tem vértices nesses 20 
pontos tem 170 diagonais. 
 
Solução: 
 
Bom, para resolver essa questão, devemos nos lembrar de como encontrar o 
número de diagonais de um polígono qualquer. Para isso, vamos utilizar a 
seguinte equação: 
 
 
D = 
n.(n 3) 
, onde D é a quantidade de diagonais e n o número de lados do 
2 
polígono. 
 
No nosso caso, como o polígono possui 20 vértices, ele também possui 20 lados. 
Assim: 
 
D = 
n.(n 3) 
2 
 
D = 
20.(20 3) 
2 
 
D = 10 x 17 = 170 
 
Item correto. 
 
 
 
(Texto para a questão 247) A figura abaixo ilustra uma quadra de basquete 
correspondente a um retângulo com 28 m de comprimento e 15 m de largura. 
O círculo central tem diâmetro de 3,6 m, e o ponto O, seu centro, coincide 
com o centro do retângulo. O ponto A está sobre o círculo central, no ponto 
de interseção deste com a reta que une o centro da quadra com o vértice B, 
conforme apresentado na figura. Durante a partida, um jogador marca 
pontos para sua equipe se, depois de arremessar a bola, acertá-la no cesto 
que fica no campo adversário. Dependendo da distância do arremesso e da 
circunstância da partida, um acerto da bola no cesto pode valer 1, 2 ou 3 
pontos. 
 
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Com base nessas informações e tomando 15,88 como valor aproximado de 
252,25 , julgue os itens seguintes. 
 
 
247 - (IFB - 2010 / CESPE) O comprimento do segmento AB é superior a 
14,2m. 
 
Solução: 
 
Nessa questão, vamos começar encontrando o comprimento do segmento OB. 
Vejamos: 
 
 
 
Podemos ver na figura acima que o segmento OB é a hipotenusa do triângulo 
vermelho. Assim: 
 
OB2 = 142 + 7,52 
 
OB2 = 196 + 56,25 
 
OB2 = 252,25 
 
OB = 252,25 = 15,88 m 
 
Assim, podemos desenhar o segmento OB da seguinte forma: 
 
O A B 
 
 
 
 
Sabemos que OB mede 15,88 m. Além disso, sabemos que OA é igual ao raio do 
círculo central, que possui 3,6 m de diâmetro. Com isso, temos: 
 
OA = R 
 
OA = 
D
 
2 
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OA = 
3,6 
2 
 
= 1,8 m 
 
Por fim, podemos encontrar o comprimento de AB: 
AB = OB – OA 
AB = 15,88 – 1,8 
AB = 14,08 m 
Portanto, o item está errado. 
 
 
(Texto para as questões 248 e 249) A área de um retângulo é 23 m
2 
e a soma 
das medidas de seus 4 lados é 20 m. Com relação a esse retângulo, julgue os 
itens seguintes. 
 
248 - (PM/ES - 2010 / CESPE) As diagonais do retângulo em apreço são 
medidas, em metros, por números não fracionários. 
 
Solução: 
 
Nessa questão, sabemos que a soma das medidas dos lados do retângulo vale 
20 m: 
 
A 
 
B B 
 
A 
 
A + B + A + B = 20 
2.A + 2.B = 20 
Dividindo tudo por 2, temos: 
A + B = 10 
A = 10 – B 
 
Além disso, temos a informação de que a área do retângulo vale 23 m2: 
 
A.B = 23 
 
Substituindo o valor de A que encontramos logo acima, temos: 
 
A.B = 23 
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(10 – B).B = 23 
 
10.B – B2 = 23 
 
B2 – 10.B + 23 = 0 
 
Agora, devemos resolver esta equação do segundo grau: 
 
= b2 – 4.a.c 
 
= (–10)2 – 4.1.23 
 
= 100 – 92 = 8 
 
B = 
(10) 
2.1 
 
 
B = 
10 8 
2 
 
 
B = 
10 2. 2 
2 
 
B = 5  2 
 
Para B = 5 + 2 , temos: 
A = 10 – B 
A = 10 – (5 + 2 ) 
 
 
A = 10 – 5 – 2 
 
 
A = 5 – 2 
 
 
Para B = 5 – 2 , temos: 
A = 10 – B 
A = 10 – (5 – 2 ) 
 
 
A = 10 – 5 + 2 
 
 
A = 5 + 2 
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5 + 2 
 
5 – 2 
D
 
 
 
 
5 – 2 
 
5 + 2 
 
Assim, podemos calcular a medida da diagonal do retângulo utilizando Pitágoras: 
D2 = (5 + 2 )2 + (5 – 2 )2 
D2 = 52 + 2.5. 2 + ( 2 )2 + 52 – 2.5. 2 + ( 2 )2 
 
 
D2 = 25 + 10. 2 + 2 + 25 – 10. 2 + 2 
 
D2 = 25 + 2 + 25 + 2 
 
D2 = 54 
 
 
D = 54 = 3. 6 
 
 
Assim, como 6 é um número irracional, concluímos que o item está correto, já 
que 3. 6 também é um número irracional, e, portanto, não é um número 
fracionário. 
 
Item correto. 
 
 
 
249 - (PM/ES - 2010 / CESPE) As medidas dos lados desse retângulo, em 
metros, são números fracionários. 
 
Solução: 
 
Utilizando as informações que obtivemos na questão anterior, os lados do 
retângulo medem 5 + 2 e 5 – 2 . Com isso, podemos concluir que os lados do 
retângulo não são números fracionários pois 2 é um número irracional, e, 
portanto, não fracionário. 
 
Item errado. 
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(Texto para as questões de 242 e 243) Três crianças costumam brincar de caça 
ao tesouro, em local plano, na praia, da forma descrita a seguir: de posse de uma 
bússola, elas fixam um ponto P na praia com uma bandeirinha, uma delas 
esconde um brinquedo sob a areia e, depois, passa o mapa e a bússola para que 
as outras duas tentem encontrar o tesouro. O mapa consiste em uma sequência 
de instruções formadas pelo número de passos em linha reta e um sentido — a 
partir da bandeirinha —, que deve ser observada para se encontrar o tesouro. 
 
A partir do texto acima e considerando que a medida do passo de todas as 
crianças seja idêntica e que as instruções do mapa sejam seguidas na ordem 
apresentada, julgue os itens seguintes. 
 
242 - (MEC - 2011 / CESPE) Se as crianças se unirem no ponto P e a primeira 
caminhar 2 passos para o norte, a segunda, 2 passos para o sudoeste e a 
terceira, 2 passos para o sudeste, o triângulo cujos vértices corresponderão às 
posições finais das crianças será equilátero. 
 
 
 
243 - (MEC - 2011 / CESPE) O mapa contendo as instruções ―4 passos para o 
norte, 5 passos para o sudeste e 5 passos para o oeste‖ conduzirá ao mesmo 
ponto que o mapa com a instrução ―2 passos para o oeste‖. 
 
 
 
(Texto para as questões 244 e 245) Nas retas paralelas, R e S, que distam 
10 cm uma da outra, marcaram-se 4 pontos na reta R e 5 pontos nareta S; dois 
pontos adjacentes em uma mesma reta distam 7 cm um do outro. Julgue os itens 
que se seguem, acerca dos triângulos cujos vértices são escolhidos entre esses 9 
pontos. 
 
244 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) Nenhum desses triângulos tem área superior 138 
cm2. 
 
 
 
245 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) Todos esses triângulos têm área superior a 
32 cm2. 
 
 
 
246 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) Considerando 20 pontos sobre uma circunferência, 
em posições distintas, o polígono que tem vértices nesses 20 pontos tem 170 
diagonais. 
 
 
 
(Texto para a questão 247) A figura abaixo ilustra uma quadra de basquete 
correspondente a um retângulo com 28 m de comprimento e 15 m de largura. O 
círculo central tem diâmetro de 3,6 m, e o ponto O, seu centro, coincide com o 
centro do retângulo. O ponto A está sobre o círculo central, no ponto de interseção 
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46
 
 
deste com a reta que une o centro da quadra com o vértice B, conforme 
apresentado na figura. Durante a partida, um jogador marca pontos para sua 
equipe se, depois de arremessar a bola, acertá-la no cesto que fica no campo 
adversário. Dependendo da distância do arremesso e da circunstância da partida, 
um acerto da bola no cesto pode valer 1, 2 ou 3 pontos. 
 
 
Com base nessas informações e tomando 15,88 como valor aproximado de 
252,25 , julgue os itens seguintes. 
 
247 - (IFB - 2010 / CESPE) O comprimento do segmento AB é superior a 14,2m. 
 
 
 
(Texto para as questões 248 e 249) A área de um retângulo é 23 m2 e a soma das 
medidas de seus 4 lados é 20 m. Com relação a esse retângulo, julgue os itens 
seguintes. 
 
248 - (PM/ES - 2010 / CESPE) As diagonais do retângulo em apreço são medidas, 
em metros, por números não fracionários. 
 
 
 
249 - (PM/ES - 2010 / CESPE) As medidas dos lados desse retângulo, em metros, 
são números fracionários. 
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5 - Questões para praticar! A solução será apresentada na próxima aula 
 
 
 
 
 
(Texto para as questões de 250 a 252) No prisma reto da figura acima, que 
representa, esquematicamente, uma urna eletrônica, as bases são trapézios retos, 
em que a base maior mede 27 cm, a base menor, 14 cm, e a altura, 
13 cm. A altura do prisma é igual a 42 cm. No retângulo da parte frontal do prisma 
mostrado na figura, em um dos retângulos destacados, localizam-se as teclas e, 
no outro, uma tela em que aparece a foto do candidato escolhido pelo eleitor. Para 
atender aos eleitores portadores de deficiência visual, cada tecla possui, além do 
caractere comum, sua correspondente representação na linguagem braille. Cada 
caractere na linguagem braille é formado a partir de seis pontos colocados em 
duas colunas paralelas de três pontos cada. Seguindo as regras da linguagem 
braille, cada caractere é formado levantando o relevo de alguns desses pontos, 
que pode ser apenas um ponto ou até cinco pontos. A partir dessas informações e 
considerando 1,4 como valor aproximado de 2 , julgue os itens que se seguem. 
 
250 - (TRE/ES - 2010 / CESPE) Se duas urnas serão armazenadas, sem sobras 
de espaço, em uma caixa que tem a forma de um paralelepípedo retângulo, então 
a soma das dimensões dessa caixa será igual a 96 cm. 
 
 
 
251 - (TRE/ES - 2010 / CESPE) A área da face da urna onde estão localizados a 
tela e as teclas é superior a 7 dm2. 
 
 
 
252 - (TRE/ES - 2010 / CESPE) O volume do prisma é superior a 11 dm3. 
 
 
 
(Texto para as questões 253 e 254) Sabe-se que as semirretas R e S são 
perpendiculares entre si e possuem a mesma origem e que sobre elas são 
mercados 5 pontos, 3 deles pertencentes à semirreta R e 1 desses 3 pontos 
pertencente também à semirreta S. Sabe-se, ainda, que, em cada semirreta, a 
distância entre pontos adjacentes é de 6 cm. Julgue os itens que se seguem 
acerca dos triângulos que têm vértices nesses pontos. 
 
253 - (TJ/RR - 2011 / CESPE) A proposição ―Entre todos os triângulos formados a 
partir desses 5 pontos, o de menor perímetro tem área superior a 16 cm2‖ é falsa. 
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254 - (TJ/RR - 2011 / CESPE) A proposição ―Se um triângulo formado a partir 
desses 5 pontos é isósceles, então esse triângulo tem um ângulo reto‖ é 
verdadeira. 
 
 
 
(Texto para as questões 255 e 256) Em uma circunferência com raio de 
5 cm, são marcados n pontos, igualmente espaçados. A respeito dessa situação, 
julgue os próximos itens. 
 
255 - (TJ/RR - 2011 / CESPE) Se n = 4, então a área do polígono convexo que 
tem vértices nesses pontos é igual a 60 cm2. 
 
 
 
256 - (TJ/RR - 2011 / CESPE) Se n = 6, então o polígono convexo que tem 
vértices nesses pontos tem perímetro inferior a 32 cm. 
 
 
 
 
(Texto para a questão 257) O artista plástico estadunidense Richard Serra é 
notável por suas enormes esculturas em aço inspiradas em figuras geométricas. A 
figura acima mostra uma das salas do museu Guggenheim, em Bilbao, Espanha, 
com algumas de suas obras em exposição permanente. A escultura apontada pela 
seta, nessa figura, corresponde à superfície lateral de um tronco de cone circular 
reto, cuja área é dada pela diferença entre as áreas das superfícies laterais dos 
cones que o determinam. Com base nessas informações, julgue o item a seguir. 
 
257 - (PREVIC - 2010 / CESPE) Se o diâmetro da base maior medisse 5 m, o 
diâmetro da base menor medisse 3 m e a altura do tronco de cone fosse igual 3 m, 
teriam sido necessários mais de 36 m2 da lâmina de aço para construir essa 
escultura com a superfície lateral completamente fechada. 
 
 
(Texto para as questões 258 e 259) Considerando que os números x, x + 7 e x + 8 
sejam as medidas, em centímetros, dos lados de um triângulo retângulo, julgue os 
próximos itens. 
 
258 - (PM/ES - 2010 / CESPE) A soma das medidas dos lados desse triângulo é 
superior a 28 cm. 
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259 - (PM/ES - 2010 / CESPE) A área desse triângulo é inferior a 32 cm2. 
 
 
 
(Texto para as questões 260 a 262) Três caixas de água têm os seguintes 
formatos: paralelepípedo retângulo, com altura de 1 m e base quadrangular de 2 
m de lado; cilíndrico, com altura de 1 m e base circular de raio igual a 1 m; e cone 
invertido, com base circular de 1 m de raio e altura igual a 3 m. Com referência a 
essas informações, tomando 3,14 como o valor aproximado da constante B e 
desprezando a espessura das paredes das caixas, julgue os itens subsequentes. 
 
260 - (PM/ES - 2010 / CESPE) A caixa com o formato cônico tem um volume de 
3,14 m3. 
 
 
 
261 - (PM/ES - 2010 / CESPE) A caixa com a maior capacidade é a que tem o 
formato de um paralelepípedo retângulo. 
 
 
 
262 - (PM/ES - 2010 / CESPE) A caixa com o formato cilíndrico tem capacidade 
menor que a caixa com formato cônico. 
 
 
 
(Texto para as questões 263 e 264) Considerando que o triângulo ABC seja 
retângulo no vértice A, que a hipotenusa desse triângulo meça 10 cm e que AH 
seja a altura desse triângulo relativa ao vértice A, julgue os itens que se seguem. 
 
263 - (PM/ES - 2010 / CESPE) Se esse triângulo for isósceles, então a altura AH 
medirá 5 cm. 
 
 
 
264 - (PM/ES - 2010 / CESPE) Se o segmento BH medir 2 cm, então as medidas, 
em centímetros, dos catetos desse triângulo serão números fracionários. 
 
 
 
(Texto para as questões 265 e 266) Considere que as retas r e s sejam paralelas e 
que a distância entre elas é de 2 cm; que, na reta r, sejam marcados 4 pontos, de 
forma quea distância de qualquer um deles ao mais próximo seja de 5 cm; que, 
na reta s, sejam marcados 5 pontos, de forma que a distância de qualquer um 
deles ao mais próximo seja de 3 cm. Com base nessas informações e 
considerando, ainda, as áreas dos triângulos de vértices nos pontos marcados nas 
retas r e s, é correto afirmar que 
 
265 - (EBC - 2011 / CESPE) a menor área é igual a 5 cm2. 
 
 
 
266 - (EBC - 2011 / CESPE) a maior área é igual a 15 cm2. 
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6 - Gabarito 
 
242 - E 
243 - E 
244 - E 
245 - C 
246 - C 
247 - E 
248 - C 
249 - E 
250 - C 
251 - C 
252 - C 
253 - E 
254 - C 
255 - E 
256 - C 
257 - C 
258 - C 
259 - C 
260 - C 
261 - C 
262 - E 
263 - C 
264 - E 
265 - E 
266 - C 
 
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