AP1 GP 2018.1 Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Geometria Plana – AP1 – Gabarito
Questa˜o 1 [2 pts]: Justifique suas respostas.
a) Dada a figura ao lado, determine
as medidas dos aˆngulos a, b, c, m e p.
b) Dada a figura ao lado, onde
GM̂K = x, GĤK = y, MĜA = a e HK̂B = b.
Mostre que a + b = x + y.
Atenc¸a˜o: As retas
←−→
MB e
←→
AH na˜o sa˜o paralelas!
Soluc¸a˜o:
a) Denote A, B, C, D e E na figura dada :
Temos no triaˆngulo ACE, pelo Teorema angular de Tales que:
28◦ + 47◦ + b = 180◦ ⇒ b = 180◦ − 75◦ = 105◦. Mas c e´
aˆngulo externo de ΔACE, logo c = 28◦ + 47◦ = 75◦.
Assim como b e´ aˆngulo externo de ΔABE, logo
b = m + 45◦ ⇒ m = b− 45◦ = 105◦ − 45◦ = 60◦.
De maneira ana´loga b = p + 82◦ ⇒ p = b − 82◦ = 105◦ − 82◦ = 23◦. Como a e c sa˜o aˆngulos
opostos pelo ve´rtice, logo sa˜o congruentes, portanto a = c = 75◦. Logo os aˆngulos a, b, c, m e p sa˜o,
respectivamente, 75◦, 105◦, 75◦, 60◦ e 23◦.
b) Dada a figura ao lado, denote:
m(GM̂H) = c, m(HM̂K) = d, enta˜o
x = m(GM̂K) = m(GM̂H) + m(HM̂K) = c + d.
m(GĤM) = e, m(MĤK) = f , enta˜o
y = m(GĤK) = m(GĤM) + m(MĤK) = e + f.
Geometria Plana – Gabarito AP1 2
Da propriedade de aˆngulo externo, temos que a = c + e e b = d + f . Assim
a + b = c + e + d + f = (c + d) + (e + f) = x + y.
Questa˜o 2 [2 pts]: A soma dos (n − 1) aˆngulos internos de um pol´ıgono convexo de n lados e´
1900◦. Determine a medida do aˆngulo interno que na˜o foi dado, do pol´ıgono de n lados. Qual e´ o
nu´mero de lados desse pol´ıgono?
Justifique suas respostas.
Soluc¸a˜o: A soma dos aˆngulos internos de um pol´ıgono convexo de n lados e´ Si = 180◦(n−2), n ≥ 3.
Note que a soma dos aˆngulos internos e´ sempre mu´ltiplo de 180◦. Sabe-se que o menor mu´ltiplo de
de 180◦ superior a 1900◦ e´ 1980◦, pois 180◦ ∙ 10 = 1800◦ e 180◦ ∙ 11 = 1980◦.
Assim o aˆngulo na˜o dado do pol´ıgono convexo de n lados e´ 80◦. E o pol´ıgono pedido tem 13 lados,
pois Si = 1980
◦ = 180◦ ∙ 11 = 180◦( 13− 2).
Questa˜o 3 [2 pts]: Dados a medida do aˆngulo m(AQ̂B) = 50◦ e uma circunfereˆncia de centro
O, onde os pontos A e B sa˜o pontos tangentes como mostra a figura. Uma segmento de reta CD
tangencia a circunfereˆncia em E.
Calcule as medidas do aˆngulo CÔD e do arco
_
AEB .
Justifique suas respostas.
Soluc¸a˜o: Considere os dados da questa˜o na figura.
Temos que ΔOCE ≡ ΔOAC, pois
OC hipotenusa - lado em comum
m(OÊC) = m(OÂC) = 90◦
OE = OA (raio da circunfereˆncia)
pelo Caso especial, logo os aˆngulos AÔC e EÔC
sa˜o congruentes. Denote α = CÔE.
De maneira ana´loga temos que ΔOED ≡ ΔOBD e denote β = DÔE. Logo no quadrila´tero
AOBQ temos que a soma dos aˆngulos internos e´ igual a 360◦ :
50◦ + 90◦ + 2α + 2β + 90◦ = 360◦ ⇒ 2α + 2β = 360◦ − 230◦ = 130◦ ⇒ α + β = 65◦
Logo m(CÔD) = 65◦. Como AÔB e´ aˆngulo central e m(
_
AEB) = m(AÔB) = 2α + 2β = 130◦.
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Geometria Plana – Gabarito AP1 3
Questa˜o 4 [2 pts]: Dado que o quadrila´tero GHKM e´ um paralelogramo e m(MQ) = m(HP ),
conforme figura. Mostre que GK e PQ se dividem ao meio. Ou seja, R e´ ponto me´dio de GK e
PQ.
Dica: Use congrueˆncia de triaˆngulos. Justifique suas respostas.
Soluc¸a˜o: Considere a figura com os dados do enunciado. Denote m(MQ) = m(HP ) = a e
m(MK) = m(GH) = x, enta˜o m(QK) = m(GP ) = x− a.
Temos que ΔRQK ≡ ΔRPG, pelo crite´rio LAAo, pois
QK = GP = x− a
RK̂Q = RĜP, MK//GH(aˆngulos alternos internos)
QR̂K = PR̂G (aˆngulos opostos pelo ve´rtice)
Logo PR = QR e GR = KR.
Questa˜o 5 [2 pts]: Na figura, sabe-se que D e´ o pe´ da bissetriz do aˆngulo reto BÂC do triaˆngulo
retaˆngulo ABC. Se DE e´ perpendicular a BC, determine a medida do aˆngulo DB̂E, denotado por
x. Justifique suas respostas.
Soluc¸a˜o: Observe que todo quadrila´tero inscrito em uma circunfereˆncia possui aˆngulos opostos su-
plementares e vice-versa.
Note que m(BÂC) = 90◦ e m(BD̂E) = 90◦,
enta˜o os aˆngulos opostos sa˜o suplementares.
Portanto m(AB̂D) + m(AÊD) = 180◦.
Como os aˆngulos inscritos DÂE e DB̂E correspondem ao mesmo arco
_
DE da circunfereˆncia,
logo x = m(DB̂E) = m(DÂE) = 45◦, ja´ que m(BÂC) = 90◦ e AD e´ bissetriz desse aˆngulo.
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