Apostila Miraglia - Logica e Teoria dos Conjuntos

Prévia do material em texto

L
o´
g
ic
a
e
T
eo
ri
a
d
o
s
C
o
n
ju
n
to
s
F
.
M
ir
ag
li
a
Z
ar
a
I.
A
b
u
d
1
J
u
lh
o,
19
99
1
P
ro
fe
ss
or
es
d
o
In
st
it
u
to
d
e
M
a
te
m
a´t
ic
a
d
a
U
S
P
,
S
a˜o
P
au
lo
V
am
os
u
ti
li
za
r,
m
u
it
as
ve
ze
s,
a
ex
p
re
ss
a˜o
“s
e
e
so
m
en
te
se
”,
ab
re
v
ia
d
a
p
or
“s
se
”.
E
la
si
gn
ifi
ca
q
u
e
o
q
u
e
ve
m
an
te
s
d
el
a
p
o
d
e
se
r
su
b
st
it
u
id
o
p
el
o
q
u
e
es
ta´
d
ep
oi
s;
q
u
e
to
d
a
ve
z
q
u
e
u
m
la
d
o
ac
on
te
ce
,
o
ou
tr
o
ta
m
b
e´m
;
e
v
ic
e-
ve
rs
a.
T
em
u
n
s
m
oc¸
o
m
et
id
o
a
sa
bi
do
Q
u
e
u
sa
u
m
ta
r
de
“s
e
e
so
m
en
te
se
”
P
’r
a
di
zeˆ
co
m
o
as
co
is
a
de
vi
a
seˆ
.
D
ep
o
is
de
m
u
it
a
ex
pl
ic
ac¸
a˜o
N
’u
m
se
i
p’
ra
qu
e
ta
n
ta
co
n
fu
sa˜
o
:
E
ra
so´
fa
la´
qu
e
po
de
bo
ta´
u
m
n
o
lu
ga´
do
ou
tr
o,
O
u
o
ou
tr
o
n
o
lu
ga´
do
u
m
,
C
on
fo
rm
e
go
st
o
ou
pr
ec
is
a˜o
.
C
o
n
te
u´
d
o
P
re
fa´
ci
o
4
I
In
tr
o
d
u
c¸
a˜
o
a`
T
e
o
ri
a
d
o
s
C
o
n
ju
n
to
s
e
a
o
C
a´
lc
u
lo
P
ro
p
o
si
ci
o
n
a
l
5
1
U
m
P
o
u
co
d
e
T
e
o
ri
a
d
o
s
C
o
n
ju
n
to
s
6
2
O
C
a´
lc
u
lo
P
ro
p
o
si
ci
o
n
a
l
1
4
2.
1
A
E
st
ru
tu
ra
P
ro
p
os
ic
io
n
al
d
e
u
m
E
n
u
n
ci
ad
o
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
14
2.
2
L
in
gu
ag
em
F
or
m
al
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
16
2.
3
In
te
rp
re
ta
c¸o˜
es
.
L
ei
s
L
o´g
ic
as
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
18
2.
4
F
or
m
as
G
er
ai
s
d
as
L
ei
s
L
o´g
ic
as
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
29
2.
5
In
te
rp
re
ta
c¸o˜
es
co
m
D
oi
s
V
al
or
es
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
43
II
R
e
la
c¸
o˜
e
s
e
F
u
n
c¸
o˜
e
s
4
8
3
R
e
la
c¸o˜
e
s
4
9
3.
1
P
ar
es
O
rd
en
ad
os
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
49
3.
2
P
ro
d
u
to
C
ar
te
si
an
o
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
51
3.
3
R
el
ac¸
o˜e
s
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
53
4
F
u
n
c¸
o˜
e
s
6
1
4.
1
A
D
efi
n
ic¸
a˜o
d
e
F
u
n
c¸a˜
o
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
61
4.
2
O
p
er
ac¸
o˜e
s
co
m
F
am
ı´l
ia
s
d
e
C
on
ju
n
to
s
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
71
4.
3
Im
ag
em
e
Im
ag
em
In
ve
rs
a
co
m
o
F
u
n
c¸o˜
es
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
73
4.
4
P
on
to
s
F
ix
os
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
74
2
3
4.
5
In
fl
ac¸
a˜o
e
D
efl
ac¸
a˜o
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
77
4.
6
P
ro
d
u
to
s
e
U
n
io˜
es
D
is
ju
n
ta
s
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
83
4.
7
F
ec
h
o
p
or
O
p
er
ac¸
o˜e
s
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
91
4.
8
S
u
b
ob
je
to
s
e
O
b
je
to
s
Q
u
o
ci
en
te
s
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
10
0
4.
9
F
u
n
c¸o˜
es
C
ar
ac
te
r´ı
st
ic
as
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
10
4
4.
10
In
d
u
c¸a˜
o
n
os
N
at
u
ra
is
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
11
0
4.
11
In
d
u
c¸a˜
o
n
a
C
om
p
le
x
id
ad
e
d
e
P
ro
p
os
ic¸
o˜e
s
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
11
7
4.
12
Q
u
an
ti
fi
ca
d
or
es
em
T
reˆ
s
D
im
en
so˜
es
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
12
5
4.
13
S
eq
u¨
eˆn
ci
as
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
12
9
4.
14
O
rd
en
s
P
ar
ci
ai
s
e
P
ri
n
c´ı
p
io
s
G
er
ai
s
d
e
In
d
u
c¸a˜
o
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
13
4
4.
15
B
oa
s
O
rd
en
s
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
14
6
4.
16
O
rd
in
ai
s
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
15
3
4.
17
B
or
el
ia
n
os
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
16
6
5
T
o
p
o
lo
g
ia
s
1
7
3
5.
1
N
oc¸
o˜e
s
B
a´s
ic
as
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
17
3
5.
2
S
u
p
re
m
os
e
I´n
fi
m
os
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
17
8
5.
3
C
om
p
le
m
en
to
T
op
ol
o´g
ic
o
e
D
en
si
d
ad
e
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
17
9
5.
4
Im
p
li
ca
c¸a˜
o
T
op
ol
o´g
ic
a
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
18
2
5.
5
L
ei
s
D
is
tr
ib
u
ti
va
s
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
18
4
5.
6
F
u
n
c¸o˜
es
C
on
t´ı
n
u
as
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
18
6
P
re
fa´
ci
o
E
st
e
e´
li
v
ro
e´
u
m
a
te
n
ta
ti
va
d
e
co
n
st
ru
ir
u
m
ca
m
in
h
o
q
u
e
le
va
d
a
T
eo
ri
a
E
le
m
en
ta
r
d
os
C
on
ju
n
to
s
p
ar
a
as
in
te
rp
re
ta
c¸o˜
es
d
o
In
tu
ic
io
n
is
m
o
em
p
re
fe
ix
es
so
b
re
to
p
ol
og
ia
s.
N
a
l´ı
n
gu
a
p
or
tu
gu
es
a.
N
a˜o
p
o
d
em
os
d
iz
er
q
u
e
te
n
h
a
p
re
re
q
u
is
it
os
,
al
e´m
e´
cl
ar
o,
d
e
al
gu
m
a
m
at
u
ri
d
ad
e
in
te
le
ct
u
al
.
M
es
m
o
as
si
m
,
al
gu
m
a
fa
m
il
ia
ri
d
ad
e
co
m
o
co
n
te
u´
d
o
u
su
al
m
en
te
in
cl
u´
ıd
o
n
os
cu
rr´
ıc
u
lo
s
d
os
p
ri
m
ei
ro
s
d
oi
s
an
os
d
a
gr
ad
u
ac¸
a˜o
em
M
at
ea´
ti
ca
p
o
d
em
a
ju
d
ar
.
A
le
it
u
ra
e
p
ri
n
ci
p
al
m
en
te
o
ap
re
n
d
iz
ad
o
ex
ig
e
p
a
rt
ic
ip
a
c¸a˜
o
.
Id
ea
lm
en
te
o
te
x
to
se
rv
ir
ia
co
m
o
ro
te
ir
o
d
e
d
es
co
b
er
ta
p
ar
a
o
le
it
or
.
H
a´
u
m
a
b
oa
q
u
an
ti
d
ad
e
d
e
in
fo
rm
ac¸
a˜o
,
co
n
ce
it
os
e
id
e´i
as
es
p
al
h
ad
as
em
q
u
as
e
to
d
o
lu
ga
r.
A
s
p
ri
m
ei
ra
s
d
u
as
p
ar
te
s
fo
ra
m
ex
p
er
im
en
ta
d
as
em
u
m
a
d
is
ci
p
li
n
a
d
e
T
eo
ri
a
d
os
C
on
ju
n
to
s
m
in
is
tr
ad
a
p
or
u
m
d
os
au
to
re
s
n
a
L
ic
en
ci
at
u
ra
n
ot
u
rn
a
em
M
at
em
a´t
ic
a
n
a
U
S
P
.
N
os
so
s
m
ai
s
si
n
ce
ro
s
ag
ra
d
ec
im
en
to
s
ao
s
al
u
n
os
,
q
u
e
fi
ze
ra
m
su
ge
st
o˜e
s
e
a
ju
d
ar
am
n
a
co
rr
ec¸
a˜o
d
e
es
ti
lo
e
gr
afi
a.
4
P
a
rt
e
I
In
tr
o
d
u
c¸a˜
o
a`
T
e
o
ri
a
d
o
s
C
o
n
ju
n
to
s
e
a
o
C
a´
lc
u
lo
P
ro
p
o
si
ci
o
n
a
l
5
C
a
p´
ıt
u
lo
1
U
m
P
o
u
co
d
e
T
e
o
ri
a
d
o
s
C
o
n
ju
n
to
s
V
am
os
as
su
m
ir
q
u
e
o
le
it
or
te
n
h
a
fa
m
il
ia
ri
d
ad
e
co
m
a
te
or
ia
el
em
en
ta
r
d
os
co
n
ju
n
to
s,
co
m
o
e´
ap
re
se
n
ta
d
a,
p
or
ex
em
p
lo
,
n
o
en
si
n
o
m
e´d
io
.
M
es
m
o
as
si
m
,
d
es
en
vo
lv
er
em
os
u
m
p
ou
co
d
es
sa
te
or
ia
,
re
gi
st
ra
n
d
o
al
gu
n
s
fa
to
s
im
p
or
ta
n
te
s
q
u
e
se
ra˜
o
u
ti
li
za
d
os
co
m
fr
eq
u¨
en
ci
a.
A
re
la
c¸a˜
o
d
e
p
er
ti
n
eˆn
ci
a
e´
in
d
ic
ad
a
p
or
∈
(e´
p
si
lo
n
,
o
“e
”m
in
u´
sc
u
lo
cu
rt
o
d
o
gr
eg
o1
).
A
ex
p
re
ss
a˜o
“x
∈
A
”s
ig
n
ifi
ca
“x
e´
el
em
en
to
d
e
A
”o
u
“x
p
er
te
n
ce
a
A
”.
C
om
o
d
e
h
a´b
it
o,
“x
6∈
A
”q
u
er
d
iz
er
q
u
e
x
n
a˜o
e´
el
em
en
to
d
e
A
ou
q
u
e
x
n
a˜o
p
er
te
n
ce
a
A
.
S
e
A
e
B
sa˜
o
co
n
ju
n
to
s,
d
iz
em
os
q
u
e
A
es
ta´
co
n
ti
d
o
em
B
ou
q
u
e
A
e´
su
b
co
n
ju
n
to
d
e
B
–
e
es
cr
ev
em
os
A
⊆
B
–
se
to
d
o
el
em
en
to
d
e
A
e´
el
em
en
to
d
e
B
.
E
m
s´ı
m
b
ol
os
:
A
⊆
B
⇐⇒ ︸ ︷︷︸ def
∀
x
(x
∈
A
−→
x
∈
B
).
L
em
b
re
-s
e
q
u
e
d
oi
s
co
n
ju
n
to
s
sa˜
o
ig
u
ai
s
se
,
e
so
m
en
te
se
,
p
os
su
em
os
m
es
m
os
el
em
en
to
s.
T
al
afi
rm
ac¸
a˜o
eq
u
iv
al
e
a
d
iz
er
q
u
e A
=
B
⇐⇒
A
⊆
B
e
B
⊆
A
;
es
ta
p
ro
p
ri
ed
ad
e
e´
co
n
h
ec
id
a
co
m
o
A
x
io
m
a
d
a
E
x
te
n
si
on
al
id
ad
e.
S
e
P
e´
u
m
a
ce
rt
a
p
ro
p
ri
ed
ad
e
e
A
e´
u
m
co
n
ju
n
to
,
e´
co
m
u
m
in
d
ic
ar
m
os
p
or
{x
∈
A
:
x
sa
ti
sf
az
P
}
o
su
b
co
n
ju
n
to
d
e
A
fo
rm
ad
o
p
el
os
el
em
en
to
s
q
u
e
ve
ri
fi
ca
m
a
p
ro
p
ri
ed
ad
e
P
.
S
e
U
e´
u
m
co
n
ju
n
to
,
d
en
ot
am
os
p
or
P(
U
)
o
co
n
ju
n
to
d
as
p
ar
te
s
d
e
U
,
is
to
e´,
o
co
n
ju
n
to
cu
jo
s
el
em
en
to
s
sa˜
o
ex
at
am
en
te
os
su
b
co
n
ju
n
to
s
d
e
U
:
P(
U
)
=
{A
:
A
⊆
U
}.
A
ss
im
,
p
ar
a
to
d
o
co
n
ju
n
to
A
,
A
∈
P(
U
)
⇐⇒
A
⊆
U
,
d
e
m
an
ei
ra
q
u
e
A
∈
P(
U
)
e
A
⊆
U
sa˜
o
afi
rm
ac¸
o˜e
s
si
n
oˆn
im
as
.
E
n
tr
e
os
el
em
en
to
s
d
e
P(
U
),
h
a´
d
oi
s
q
u
e
m
er
ec
em
d
es
ta
q
u
e
:
o
co
n
ju
n
to
va
zi
o
–
in
d
ic
ad
o
p
or
∅–
e
o
p
ro´
p
ri
o
U
;
∅e´
o
m
en
or
1
O
“e
”
m
in
u´
sc
u
lo
lo
n
go
d
o
gr
eg
o
e´
in
d
ic
ad
o
p
or
η
,
a
le
tr
a
“e
ta
”
6
7
su
b
co
n
ju
n
to
d
e
U
,
en
q
u
an
to
q
u
e
U
e´
o
m
ai
or
,
is
to
e´
:
P
ar
a
to
d
o
A
∈
P(
U
),
∅⊆
A
⊆
U
.
E
x
e
m
p
lo
1
.1
:
a)
S
ej
a
U
=
{0
,1
,2
}.
Q
u
em
e´
P(
U
)
?
O
s
su
b
co
n
ju
n
to
s
d
e
U
p
o
d
em
se
r
d
es
cr
it
os
d
a
se
gu
in
te
fo
rm
a
:
–
S
u
b
co
n
ju
n
to
s
co
m
0
(z
er
o)
el
em
en
to
s
:
so´
h
a´
u
m
:
o
co
n
ju
n
to
va
zi
o
∅;
–
S
u
b
co
n
ju
n
to
s
co
m
1
el
em
en
to
:
{0
},
{1
},
{2
};
–
S
u
b
co
n
ju
n
to
s
co
m
d
oi
s
el
em
en
to
s
:
{0
,
1}
,
{0
,
2}
,
{1
,
2}
;
–
S
u
b
co
n
ju
n
to
s
co
m
tr
eˆs
el
em
en
to
s
:
so´
h
a´
u
m
d
es
te
s
:
o
p
ro´
p
ri
o
U
=
{0
,1
,2
}.
P
or
ta
n
to
,
P(
U
)
e´
u
m
co
n
ju
n
to
co
m
8
=
23
el
em
en
to
s,
d
ad
o
p
or
:
P(
U
)=
{∅
,
{0
},
{1
},
{2
},
{0
,
1}
,
{0
,
2}
,
{1
,
2}
,
U
}.
b
)
E
se
U
=
∅?
Q
u
em
e´
P(
U
)
?
A
go
ra
,
∅e´
o
u´
n
ic
o
su
b
co
n
ju
n
to
d
e
U
.
P
or
ta
n
to
,
e´
o
u´
n
ic
o
el
em
en
to
d
e
P(
U
).
A
ss
im
,
P(
U
)
=
{∅
}.
3
A
s
op
er
ac¸
o˜e
s
fu
n
d
am
en
ta
is
en
tr
e
su
b
co
n
ju
n
to
s
d
e
U
sa˜
o
:
–
a
u
n
ia˜
o,
in
d
ic
ad
a
p
or
∪
:
d
ad
os
A
,
B
⊆
U
,
A
∪
B
=
{x
∈
U
:
x
∈
A
ou
x
∈
B
};
–
a
in
te
rs
ec¸
a˜o
,
in
d
ic
ad
a
p
or
∩
:
p
ar
a
A
,
B
⊆
U
,
A
∩
B
=
{x
∈
U
:
x
∈
A
e
x
∈
B
};
–
o
co
m
p
le
m
en
to
:
se
A
⊆
U
,
o
co
m
p
le
m
en
to
d
e
A
em
U
se
es
cr
ev
e
co
m
o
U
−
A
,
se
n
d
o
d
efi
n
id
o
p
or
U
−
A
=
{x
∈
U
:
x
6∈
A
}.
Q
u
an
d
o
n
a˜o
h
ou
ve
r
p
er
ig
o
d
e
co
n
fu
sa˜
o
e
o
co
n
ju
n
to
U
es
ti
ve
r
cl
ar
o
n
o
co
n
te
x
to
,
es
cr
ev
em
os
si
m
p
le
sm
en
te
A
c
p
ar
a
in
d
ic
ar
U
−
A
.
A
s
tr
eˆs
op
er
ac¸
o˜e
s
so
b
re
co
n
ju
n
to
s
p
o
d
em
se
r
re
p
re
se
n
ta
d
as
gr
afi
ca
m
en
te
:
U
&
%
'
$
A
B
A
a´r
ea
m
ai
s
es
cu
ra
e´
A
∪
B
U
&
%
'
$
A
B
A
a´r
ea
m
ai
s
es
cu
ra
e´
A
∩
B
U
&
%
'
$
A
A
a´r
ea
m
ai
s
es
cu
ra
e´
A
c
D
ad
o
u
m
co
n
ju
n
to
U
,
P(
U
)
e´
o
co
n
ju
n
to
q
u
e
co
n
te´
m
su
b
co
n
ju
n
to
s
d
e
U
co
m
o
el
em
en
to
s.
E
q
u
e
d
iz
er
so
b
re
u
m
co
n
ju
n
to
q
u
e
co
n
te
n
h
a
to
d
os
os
co
n
ju
n
to
s
?
8
P
oi
s
b
em
:
a
ex
is
teˆ
n
ci
a
d
e
u
m
ta
l
co
n
ju
n
to
or
ig
in
a
u
m
a
co
n
tr
ad
ic¸
a˜o
.
E
st
a
ob
se
rv
ac¸
a˜o
e´
d
ev
id
a
a
B
er
tr
an
d
R
u
ss
el
,
n
o
in´
ıc
io
d
es
te
se´
cu
lo
,
q
u
an
d
o
tr
ab
al
h
av
a
em
C
am
b
ri
d
ge
,
n
a
In
gl
at
er
ra
,
se
n
d
o
or
ig
in
a´r
ia
d
e
se
u
es
tu
d
o
cr´
ıt
ic
o
d
os
es
cr
it
os
d
e
G
ot
tl
ob
F
re
ge
(u
m
lo´
gi
co
al
em
a˜o
m
u
it
o
im
p
or
ta
n
te
d
o
fi
n
al
d
o
se´
cu
lo
19
).
O
ar
gu
m
en
to
e´
u
m
a
b
el
ez
a
:
T
e
o
re
m
a
1
.2
:
N
a˜o
ex
is
te
o
co
n
ju
n
to
de
to
do
s
os
co
n
ju
n
to
s.
P
ro
v
a
:
S
u
p
on
h
am
os
q
u
e
ex
is
ta
o
co
n
ju
n
to
V
d
e
to
d
os
os
co
n
ju
n
to
s.
C
on
si
d
er
e
en
ta˜
o
o
se
gu
in
te
su
b
co
n
ju
n
to
d
e
V
:
B
=
{x
∈
V
:
x
6∈
x
}.
A
ss
im
,
B
e´
u
m
co
n
ju
n
to
d
efi
n
id
o
p
el
a
p
ro
p
ri
ed
ad
e
”x
6∈
x
”.
C
om
o
B
e´
u
m
co
n
ju
n
to
,
el
e
p
ro´
p
ri
o
e´
u
m
el
em
en
to
d
e
V
.
E
x
is
te
m
,
p
oi
s,
ap
en
as
d
u
as
p
os
si
b
il
id
ad
es
:
ou
B
∈
B
ou
B
6∈
B
.
Q
u
al
q
u
er
u
m
a
d
es
sa
s
h
ip
o´t
es
es
d
a´
or
ig
em
a
u
m
a
co
n
tr
ad
ic¸
a˜o
.
S
en
a˜o
,
ve
ja
m
os
:
1.
S
e
B
∈
B
en
ta˜
o
B
sa
ti
sf
a
z
a
p
ro
p
ri
ed
ad
e
q
u
e
d
efi
n
e
B
.
C
om
o
es
sa
p
ro
p
ri
ed
ad
e
e´
(x
6∈
x
),
co
n
cl
u
im
os
q
u
e
B
6∈
B
!
2.
S
e
B
6∈
B
en
ta˜
o
B
n
a˜
o
sa
ti
sf
a
z
a
p
ro
p
ri
ed
ad
e
q
u
e
d
efi
n
e
B
.
L
og
o,
n
a˜o
e´
ve
rd
ad
e
q
u
e
(B
6∈
B
),
is
to
e´,
B
∈
B
!
Q
u
al
e´
a
or
ig
em
d
a
co
n
tr
ad
ic¸
a˜o
?
E´
a
h
ip
o´t
es
e
d
a
ex
is
teˆ
n
ci
a
d
o
co
n
ju
n
to
d
e
to
d
os
os
co
n
ju
n
to
s
!
S
om
os
fo
rc¸
ad
os
a
co
n
cl
u
ir
q
u
e
es
se
ob
je
to
n
a˜o
p
o
d
e
ex
is
ti
r.
3
N
o
ar
gu
m
en
to
ac
im
a,
e´
m
u
it
o
im
p
or
ta
n
te
q
u
e
B
∈
V
;
ca
so
co
n
tr
a´r
io
,
n
a˜o
ob
te
m
os
co
n
-
tr
ad
ic¸
a˜o
al
gu
m
a
:
se
B
6∈
V
,
en
ta˜
o,
co
m
o
B
⊆
V
,
e´
cl
ar
o
q
u
e
B
6∈
B
(s
e
B
n
a˜o
es
ta´
em
V
,
n
a˜o
p
o
d
e
es
ta
r
em
n
en
h
u
m
su
b
co
n
ju
n
to
d
e
V
!)
;
m
as
es
se
ar
gu
m
en
to
te
rm
in
a
a´ı
,
n
a˜o
le
va
n
d
o
a
q
u
al
q
u
er
co
n
cl
u
sa˜
o
in
co
n
si
st
en
te
.
A
id
e´i
a
d
a
p
ro
va
d
o
T
eo
re
m
a
1.
2
p
o
d
e
se
r
ad
ap
ta
d
a
p
ar
a
p
ro
va
r
ou
tr
o
re
su
lt
ad
o
in
te
re
ss
an
te
.
T
e
o
re
m
a
1
.3
:
S
e
A
e´
u
m
co
n
ju
n
to
e
B
=
{x
∈
A
:
x
6∈
x
}e
n
ta˜
o
B
⊆
A
e
B
6∈
A
.
P
ro
v
a
:
P
or
d
efi
n
ic¸
a˜o
,
te
m
os
B
⊆
A
.
S
u
p
on
h
a
ag
or
a
q
u
e
B
∈
A
.
E
n
ta˜
o,
ou
B
∈
B
ou
B
6∈
B
.
A
d
is
cu
ss
a˜o
d
os
ca
so
s
(1
)
e
(2
)
n
a
p
ro
va
d
o
T
eo
re
m
a
1.
2
se
ap
li
ca
,
ip
si
s
li
tt
er
is
,
m
os
tr
an
d
o
q
u
e
sa˜
o
am
b
os
im
p
os
s´ı
ve
is
.
A
“b
ob
ag
em
”s
o´
ap
ar
ec
eu
p
or
q
u
e
su
p
u
se
m
os
q
u
e
B
er
a
el
em
en
to
d
e
A
.
L
og
o,
is
to
d
ev
e
se
r
fa
ls
o,
o
q
u
e
co
m
p
le
ta
a
p
ro
va
.
3
C
on
si
d
er
e,
p
or
ex
em
p
lo
,
o
co
n
ju
n
to
A
=
{2
,
{2
},
3}
.
T
em
os
q
u
e
{2
}⊆
A
(p
oi
s
2
∈
A
)
e
{2
}
∈
A
,
o
q
u
e
si
gn
ifi
ca
q
u
e
p
o
d
em
ex
is
ti
r
su
b
co
n
ju
n
to
s
d
e
A
q
u
e
sa˜
o
ta
m
b
e´m
el
em
en
to
s
d
e
A
.
P
or
su
a
ve
z,
{2
,
{2
}}
⊆
A
,
m
as
{2
,
{2
}}
6∈
A
.
O
T
eo
re
m
a
1.
3
m
os
tr
a
q
u
e
o
u´
lt
im
o
fa
to
q
u
e
ac
ab
am
os
d
e
ci
ta
r
ac
on
te
ce
se
m
p
re
:
d
ad
o
q
u
al
q
u
er
co
n
ju
n
to
A
,
se
m
p
re
ex
is
te
u
m
su
b
co
n
ju
n
to
d
e
A
q
u
e
n
a˜o
e´
seu
el
em
en
to
.
S
ab
en
d
o
d
is
so
,
e´
fa´
ci
l
co
n
cl
u
ir
q
u
e
n
a˜o
ex
is
te
o
co
n
ju
n
to
d
e
to
d
os
os
co
n
ju
n
to
s.
S
e
ex
is
ti
ss
e
o
co
n
ju
n
to
A
d
e
to
d
os
os
co
n
ju
n
to
s,
p
ar
a
el
e
ta
m
b
e´m
va
le
ri
a
o
T
eo
re
m
a
1.
3,
e
p
or
ta
n
to
ex
is
ti
ri
a
B
⊆
A
ta
l
q
u
e
B
6∈
A
;
n
o
en
ta
n
to
,
co
m
o
A
co
n
te´
m
to
d
os
os
co
n
ju
n
to
s,
ta
m
b
e´m
d
ev
em
os
te
r
B
∈
A
.
E
st
a
co
n
tr
ad
ic¸
a˜o
m
os
tr
a
q
u
e
o
co
n
ju
n
to
em
q
u
es
ta˜
o
n
a˜o
p
o
d
e
ex
is
ti
r.
O
ra
ci
o
c´ı
n
io
q
u
e
ac
ab
am
os
d
e
fa
ze
r
im
p
li
ca
q
u
e
o
T
eo
re
m
a
1.
2
e´
co
n
se
q
u¨
eˆn
ci
a
d
e
1.
3
:
co
st
u
m
am
os
d
iz
er
q
u
e
1.
3
e´
m
ai
s
fo
rt
e
d
o
q
u
e
1.
2,
ja´
q
u
e
es
te
e´
d
ec
or
re
n
te
d
aq
u
el
e.
A
lg
u
m
as
p
ro
p
ri
ed
ad
es
d
e
co
n
ju
n
to
s
q
u
e
p
re
ci
sa
re
m
os
m
ai
s
ta
rd
e
ap
ar
ec
em
n
a
se
gu
in
te
p
ro
p
os
ic¸
a˜o
.
9
P
ro
p
o
si
c¸a˜
o
1
.4
:
S
ej
am
A
,
B
e
C
co
n
ju
n
to
s.
a)
S
e
A
⊆
B
e
B
⊆
C
en
ta˜
o
A
⊆
C
.
b)
A
∩
B
⊆
A
e
A
∩
B
⊆
B
.
c)
A
⊆
A
∪
B
e
B
⊆
A
∪
B
.
d)
S
e
A
⊆
C
e
B
⊆
C
,
en
ta˜
o
A
∪
B
⊆
C
.
e)
S
e
C
⊆
A
e
C
⊆
B
,
en
ta˜
o
C
⊆
A
∩
B
.
f)
S
e
A
⊆
B
en
ta˜
o
A
∩
C
⊆
B
∩
C
e
A
∪
C
⊆
B
∪
C
.
g)
A
⊆
B
se
e
so
m
en
te
se
A
∩
B
=
A
se
e
so
m
en
te
se
A
∪
B
=
B
.
P
ro
v
a
:
a)
S
u
p
on
h
a
q
u
e
x
e´
u
m
el
em
en
to
d
e
A
.
A
p
ri
m
ei
ra
h
ip
o´t
es
e
(A
⊆
B
)
ga
ra
n
te
q
u
e
x
e´
el
em
en
to
d
e
B
,
en
q
u
an
to
q
u
e
a
se
gu
n
d
a
(B
⊆
C
)
n
os
d
iz
q
u
e
x
∈
C
.
M
os
tr
am
os
q
u
e
to
d
o
el
em
en
to
d
e
A
ta
m
b
e´m
e´
d
e
C
,
is
to
e´,
A
⊆
C
,
co
m
o
d
es
ej
ad
o.
O
s
it
en
s
(b
)
e
(c
)
ve
m
d
ir
et
am
en
te
d
a
d
efi
n
ic¸
a˜o
d
e
in
te
rs
ec¸
a˜o
e
u
n
ia˜
o.
d
)
S
ej
a
x
u
m
el
em
en
to
d
e
A
∪
B
.
P
el
a
d
efi
n
ic¸
a˜o
d
e
u
n
ia˜
o,
te
m
os
q
u
e
x
∈
A
e
/
o
u
x
∈
B
.
S
e
x
∈
A
en
ta˜
o
a
p
ri
m
ei
ra
h
ip
o´t
es
e
(A
⊆
C
)
ga
ra
n
te
q
u
e
x
∈
C
;
se
x
∈
B
,
e´
a
se
gu
n
d
a
h
ip
o´t
es
e
(B
⊆
C
)
q
u
e
ga
ra
n
te
q
u
e
x
∈
C
.
D
e
to
d
o
m
o
d
o,
x
d
ev
e
es
ta
r
em
C
,
p
ro
va
n
d
o
q
u
e
A
∪
B
⊆
C
.
e)
S
ej
a
x
u
m
el
em
en
to
d
e
C
.
A
p
ri
m
ei
ra
h
ip
o´t
es
e
(C
⊆
A
)
ga
ra
n
te
q
u
e
x
es
ta´
em
A
,
en
q
u
an
to
q
u
e
a
se
gu
n
d
a
(C
⊆
B
)
n
os
d
iz
q
u
e
x
∈
B
.
A
ss
im
,
x
∈
A
∩
B
,
co
m
o
q
u
er´
ıa
m
os
p
ro
va
r.
f)
V
am
os
fa
ze
r
o
ca
so
d
a
u
n
ia˜
o,
d
ei
x
an
d
o
a
in
te
rs
ec¸
a˜o
p
ar
a
o
le
it
or
.
S
u
p
on
h
a
q
u
e
x
∈
A
∪
C
.
E
n
ta˜
o,
sa
b
em
os
q
u
e
va
le
x
∈
A
e
/
o
u
x
∈
C
.
–
S
e
x
∈
A
en
ta˜
o
A
⊆
B
ga
ra
n
te
q
u
e
x
∈
B
.
C
om
o
B
⊆
B
∪
C
,
ob
te
m
os
x
∈
B
∪
C
.
–
S
e
x
∈
C
,
co
m
o
C
⊆
B
∪
C
,
co
n
cl
u´
ım
os
,
ta
m
b
e´m
n
es
te
ca
so
,
q
u
e
x
∈
B
∪
C
.
g)
S
u
p
on
h
a
q
u
e
A
=
A
∩
B
.
P
el
o
ı´t
em
b
),
A
∩
B
⊆
B
.
P
or
ta
n
to
,
ob
te
m
os
A
⊆
B
.
A
go
ra
su
p
on
h
a
B
=
A
∪
B
.
D
o
ı´t
em
c)
,
A
⊆
A
∪
B
.
R
es
u
lt
a
en
ta˜
o
q
u
e
A
⊆
B
.
P
ar
a
te
rm
in
ar
a
p
ro
va
,
fa
lt
a
m
os
tr
ar
q
u
e
A
⊆
B
im
p
li
ca
A
=
A
∩
B
e
B
=
A
∪
B
.
D
ev
id
o
a
(b
)
e
(c
),
e´
su
fi
ci
en
te
m
os
tr
ar
q
u
e
A
⊆
A
∩
B
e
A
∪
B
⊆
B
.
(I
)
P
o
d
em
os
p
ro
va
r
(I
)
d
ir
et
am
en
te
;
n
o
en
ta
n
to
,
p
re
fe
ri
m
os
u
sa
r
o
ı´t
em
(f
),
d
an
d
o
u
m
ex
em
p
lo
d
e
su
a
u
ti
li
d
ad
e.
C
om
o
A
⊆
B
,
o
ı´t
em
(f
)
ga
ra
n
te
q
u
e,
ao
to
m
ar
m
os
a
in
te
rs
ec¸
a˜o
co
m
A
d
os
d
oi
s
la
d
os
d
es
ta
re
la
c¸a˜
o,
ob
te
m
os
A
=
A
∩
A
⊆
A
∩
B
,
ex
at
am
en
te
a
p
ri
m
ei
ra
re
la
c¸a˜
o
em
(I
).
D
o
m
es
m
o
m
o
d
o,
se
to
m
ar
m
os
a
u
n
ia˜
o
co
m
B
d
os
d
oi
s
la
d
os
d
e
A
⊆
B
e
u
sa
rm
os
(f
),
ob
te
m
os
A
∪
B
⊆
B
∪
B
=
B
,
10
q
u
e
e´
a
se
gu
n
d
a
re
la
c¸a˜
o
em
(I
).
Is
to
en
ce
rr
a
a
p
ro
va
.
3
A
p
ro´
x
im
a
p
ro
p
os
ic¸
a˜o
n
os
d
iz
q
u
e
as
op
er
ac¸
o˜e
s
d
e
u
n
ia˜
o
e
in
te
rs
ec¸
a˜o
sa˜
o
co
m
u
ta
ti
va
s
e,
al
e´m
d
is
so
,
u
m
a
e´
d
is
tr
ib
u
ti
va
em
re
la
c¸a˜
o
a`
ou
tr
a.
P
ro
p
o
si
c¸a˜
o
1
.5
:
S
ej
am
A
,
B
e
C
co
n
ju
n
to
s.
E
n
ta˜
o
a)
A
∩
B
=
B
∩
A
;
A
∪
B
=
B
∪
A
.
b)
A
∩
(B
∩
C
)
=
(A
∩
B
)
∩
C
;
A
∪
(B
∪
C
)
=
(A
∪
B
)
∪
C
.
c)
A
∩
(B
∪
C
)
=
(A
∩
B
)
∪
(A
∩
C
).
d)
A
∪
(B
∩
C
)
=
(A
∪
B
)
∩
(A
∪
C
).
e)
A
∩
∅=
∅;
A
∪
∅=
A
.
P
ro
v
a
:
V
am
os
fa
ze
r
so´
(c
).
O
s
ou
tr
os
ı´t
en
s
sa˜
o
se
m
el
h
an
te
s.
O
q
u
e
p
re
ci
sa
m
os
m
os
tr
ar
?
P
el
a
d
efi
n
ic¸
a˜o
d
e
ig
u
al
d
ad
e,
d
ev
em
os
p
ro
va
r
d
u
as
co
is
as
:
i)
A
∩
(B
∪
C
)
⊆
(A
∩
B
)
∪
(A
∩
C
);
ii
)
(A
∩
B
)
∪
(A
∩
C
)
⊆
A
∩
(B
∪
C
).
P
ro
va
d
e
(i
)
:
S
u
p
on
h
a
q
u
e
x
∈
A
∩
(B
∪
C
);
en
ta˜
o
x
es
ta´
em
A
ex
es
ta´
em
B
∪
C
.
T
em
os
,
p
or
ta
n
to
,
d
oi
s
su
b
-c
as
os
:
C
as
o
1
:
x
es
ta´
em
A
e
x
es
ta´
em
B
.
Is
to
si
gn
ifi
ca
q
u
e
x
∈
A
∩
B
,
q
u
e
e´
su
b
co
n
ju
n
to
d
e
(A
∩
B
)
∪
(A
∩
C
);
C
as
o
2
:
x
es
ta´
em
A
e
x
∈
C
.
N
es
te
ca
so
,
te
m
os
x
∈
A
∩
C
,
q
u
e
ta
m
b
e´m
e´
su
b
co
n
ju
n
to
d
e
(A
∩
B
)
∪
(A
∩
C
).
A
ss
im
,
em
q
u
al
q
u
er
ca
so
,
se
x
∈
A
∩
(B
∪
C
),
en
ta˜
o
x
e´
el
em
en
to
d
e
(A
∩
B
)
∪
(A
∩
C
),
co
m
p
le
ta
n
d
o
a
p
ro
va
d
e
(i
).
P
ro
va
d
e
(i
i)
:
V
am
os
u
ti
li
za
r
al
gu
n
s
d
os
re
su
lt
ad
os
an
te
ri
or
es
.
O
b
se
rv
e
q
u
e
os
ı´t
en
s
(b
)
e
(c
)
d
a
a
P
ro
p
os
ic¸
a˜o
1.
4
fo
rn
ec
em A
∩
B
⊆
A
e
A
∩
B
⊆
B
⊆
B
∪
C
.
A
ss
im
,
p
el
o
ı´t
em
(e
)
d
a
P
ro
p
os
ic¸
a˜o
1.
4,
te
m
os
A
∩
B
⊆
A
∩
(B
∪
C
).
(I
)
D
e
fo
rm
a
an
a´l
og
a,
(b
)
e
(c
)
d
a
P
ro
p
os
ic¸
a˜o
1.
4
n
os
fo
rn
ec
em
A
∩
C
⊆
A
e
A
∩
C
⊆
C
⊆
B
∪
C
.
O
u
tr
a
ve
z,
o
ı´t
em
(e
)
d
a
P
ro
p
os
ic¸
a˜o
1.
4
ga
ra
n
te
q
u
e
A
∩
C
⊆
A
∩
(B
∪
C
).
(I
I)
A
go
ra
,
ap
li
ca
n
d
o
o
ı´t
em
(d
)
d
a
P
ro
p
os
ic¸
a˜o
1.
4
a`s
re
la
c¸o˜
es
(I
)
e
(I
I)
,
ob
te
m
os
(A
∩
B
)
∪
(A
∩
C
)
⊆
A
∩
(B
∪
C
),
co
m
o
q
u
er´
ıa
m
os
p
ro
va
r.
3
11
A
lg
u
m
as
p
ro
p
ri
ed
ad
es
d
a
co
m
p
le
m
en
ta
c¸a˜
o
es
ta˜
o
d
es
cr
it
as
n
a
P
ro
p
o
si
c¸a˜
o
1
.6
:
S
ej
am
A
e
B
su
bc
on
ju
n
to
s
de
u
m
co
n
ju
n
to
U
.
E
n
ta˜
o
a)
A
∩
A
c
=
∅;
A
∪
A
c
=
U
.
b)
(A
c
)c
=
A
.
(O
co
m
pl
em
en
to
do
co
m
pl
em
en
to
de
A
e´
o
pr
o´p
ri
o
A
.)
c)
A
⊆
B
se
e
so
m
en
te
se
A
∩
B
c
=
∅
se
e
so
m
en
te
se
B
c
⊆
A
c
.
d)
(A
∪
B
)c
=
A
c
∩
B
c
.
(O
co
m
pl
em
en
to
da
u
n
ia˜
o
e´
a
in
te
rs
ec¸
a˜o
do
s
co
m
pl
em
en
to
s.
)
e)
(A
∩
B
)c
=
A
c
∪
B
c
.
(O
co
m
pl
em
en
to
da
in
te
rs
ec¸
a˜o
e´
a
u
n
ia˜
o
do
s
co
m
pl
em
en
to
s.
)
f)
A
c
∪
(A
∩
B
)
=
A
c
∪
B
.
P
ro
v
a
:
a)
P
or
d
efi
n
ic¸
a˜o
,
n
a˜o
p
o
d
e
h
av
er
el
em
en
to
co
m
u
m
a
A
e
ao
se
u
co
m
p
le
m
en
to
.
L
og
o,
A
∩
A
c
d
ev
e
se
r
va
zi
o.
S
e
x
e´
u
m
el
em
en
to
d
e
U
,
en
ta˜
o
ou
es
ta´
em
A
ou
es
ta´
fo
ra
d
e
A
.
N
ot
e
q
u
e
es
ta
r
fo
ra
d
e
A
(e
em
U
)
si
gn
ifi
ca
pe
rt
en
ce
r
a
A
c
.
A
ss
im
,
to
d
o
el
em
en
to
d
e
U
es
ta´
em
A
ou
em
A
c
,
o
q
u
e
p
ro
va
A
∪
A
c
=
U
.
b
)
Q
u
em
es
ta´
fo
ra
d
o
co
m
p
le
m
en
to
d
e
A
?
E
x
at
am
en
te
os
el
em
en
to
s
d
e
A
.
P
ro
n
to
!
c)
S
e
A
es
ta´
co
n
ti
d
o
em
B
,
to
d
o
el
em
en
to
d
e
A
es
ta´
em
B
.
P
or
ta
n
to
,
u
m
el
em
en
to
d
e
A
n
a˜o
p
o
d
e
p
er
te
n
ce
r
a
B
c
,
e
A
∩
B
c
d
ev
e
se
r
o
co
n
ju
n
to
va
zi
o.
R
ec
ip
ro
ca
m
en
te
:
su
p
on
h
a
q
u
e
A
∩
B
c
=
∅.
Is
to
si
gn
ifi
ca
q
u
e
n
a˜o
h
a´
el
em
en
to
d
e
A
fo
ra
d
e
B
;
m
as
en
ta˜
o,
d
ev
em
es
ta
r
to
d
o
s
em
B
,
is
to
e´,
A
⊆
B
.
A
ou
tr
a
eq
u
iv
al
eˆn
ci
a
e´
co
n
se
q
u¨
eˆn
ci
a
d
a
q
u
e
fo
i
p
ro
va
d
a
e
d
o
ı´t
em
(b
)
(d
es
cu
b
ra
co
m
o)
.
d
)
E
st
a´
fo
ra
d
a
u
n
ia˜
o
d
e
A
co
m
B
ex
at
am
en
te
q
u
em
es
ti
ve
r
fo
ra
d
e
A
e
fo
ra
d
e
B
!
e)
E
st
a´
fo
ra
d
a
in
te
rs
ec¸
a˜o
d
e
A
co
m
B
ex
at
am
en
te
q
u
em
ou
n
a˜o
es
ta´
em
A
ou
n
a˜o
es
ta´
em
B
.
f)
E´
p
os
s´ı
ve
l
fa
ze
r
a
p
ro
va
m
os
tr
an
d
o
q
u
e
u
m
la
d
o
es
ta´
co
n
ti
d
o
n
o
ou
tr
o
e
v
ic
e-
ve
rs
a.
V
am
os
se
gu
ir
ou
tr
o
ca
m
in
h
o,
so´
p
ar
a
va
ri
ar
.
P
ri
m
ei
ro
ob
se
rv
e
q
u
e
A
c
∪
(A
c
∩
B
)
=
A
c
,
(1
)
p
oi
s
A
c
∩
B
⊆
A
c
(P
ro
p
os
ic¸
a˜o
1.
4.
(g
))
.
D
e
(a
)
te
m
os
q
u
e
U
=
A
c
∪
A
.
(2
)
S
e
to
m
am
os
a
in
te
rs
ec¸
a˜o
d
os
d
oi
s
la
d
os
d
e
(2
)
co
m
B
,
a
le
i
d
is
tr
ib
u
ti
va
(P
ro
p
os
ic¸
a˜o
1.
5.
(c
))
fo
rn
ec
e
B
=
B
∩
U
=
B
∩
(A
c
∪
A
)
=
(B
∩
A
c
)
∪
(B
∩
A
).
(3
)
T
om
an
d
o
a
u
n
ia˜
o
co
m
A
c
d
os
d
oi
s
la
d
os
d
e
(3
)
e
u
sa
n
d
o
(1
)
ve
m
A
c
∪
B
=
A
c
∪
(A
c
∩
B
)
∪
(A
∩
B
)
=
A
c
∪
(A
∩
B
),
co
m
o
q
u
er´
ıa
m
os
m
os
tr
ar
.
3
A
s
P
ro
p
os
ic¸
o˜e
s
1.
4,
1.
5
e
1.
6
co
n
te´
m
to
d
a
a
in
fo
rm
ac¸
a˜o
so
b
re
co
n
ju
n
to
s
q
u
e
p
re
ci
sa
re
m
os
p
ar
a
d
es
co
b
ri
r
as
le
is
d
a
L
o´g
ic
a
C
la´
ss
ic
a.
N
o
en
ta
n
to
,
go
st
ar´
ıa
m
os
d
e
en
ce
rr
ar
es
ta
se
c¸a˜
o
m
en
ci
on
an
d
o
d
u
as
ou
tr
as
op
er
ac¸
o˜e
s
en
tr
e
co
n
ju
n
to
s,
d
en
om
in
ad
as
d
if
e
re
n
c¸a
si
m
e´
tr
ic
a
e
im
p
li
ca
c¸a˜
o
.
12
P
ri
m
ei
ro
a
d
if
er
en
c¸a
si
m
e´t
ri
ca
.
D
e
fi
n
ic¸
a˜
o
1
.7
:
S
e
A
e
B
sa˜
o
su
bc
on
ju
n
to
s
de
u
m
co
n
ju
n
to
U
,
a
di
fe
re
n
c¸a
si
m
e´t
ri
ca
en
tr
e
A
e
B
,
e´
da
da
po
r
“o
qu
e
es
ta´
em
A
e
n
a˜o
es
ta´
em
B
,
ju
n
to
co
m
o
qu
e
es
ta´
em
B
e
n
a˜o
es
ta´
em
A
”.
E
m
s´ı
m
bo
lo
s
e
di
ag
ra
m
as
A
△
B
=
(A
∩
B
c
)
∪
(B∩
A
c
)
U
&
%
'
$
A
B
A
a´r
ea
m
ai
s
es
cu
ra
e´
A
△
B
Q
u
al
e´
a
d
is
ti
n
c¸a˜
o
en
tr
e
a
d
if
er
en
c¸a
si
m
e´t
ri
ca
e
a
u
n
ia˜
o
?
E´
a
in
te
rs
ec¸
a˜o
!
A
in
te
rs
ec¸
a˜o
d
e
d
oi
s
co
n
ju
n
to
s
e´
p
ar
te
d
a
su
a
u
n
ia˜
o
m
as
n
a˜o
d
a
su
a
d
if
er
en
c¸a
si
m
e´t
ri
ca
.
O
b
se
rv
e
q
u
e
te
m
os
A
∪
B
=
(A
△
B
)
∪
(A
∩
B
).
A
d
if
er
en
c¸a
si
m
e´t
ri
ca
co
rr
es
p
on
d
e
a
u
m
a
a
lt
e
rn
a
ti
v
a
e
x
cl
u
si
v
a
,
ta
m
b
e´m
ch
am
ad
a
d
e
“
ou
ex
cl
u
si
ve
”.
A
u
n
ia˜
o
co
rr
es
p
on
d
e
a
u
m
a
al
te
rn
at
iv
a
q
u
e
in
cl
u
i
am
b
as
as
p
os
si
b
il
id
ad
es
,
ch
am
ad
a
“o
u
in
cl
u
si
ve
”,
q
u
e
in
d
ic
am
os
p
el
o
tr
ad
ic
io
n
al
“e
/o
u
”d
as
co
n
ta
s
b
an
ca´
ri
as
.
A
lg
u
m
as
d
as
p
ro
p
ri
ed
ad
es
fu
n
d
am
en
ta
is
d
a
d
if
er
en
c¸a
si
m
e´t
ri
ca
sa˜
o
d
es
cr
it
as
p
el
a
p
ro
p
os
ic¸
a˜o
ab
ai
x
o,
cu
ja
d
em
on
st
ra
c¸a˜
o
d
ei
x
am
os
p
ar
a
o
le
it
or
.
P
ro
p
o
si
c¸
a˜
o
1
.8
:
S
ej
am
A
,
B
e
C
su
bc
on
ju
n
to
s
de
u
m
co
n
ju
n
to
U
.
E
n
ta˜
o
:
a)
A
△
(B
△
C
)
=
(A
△
B
)
△
C
;
A
△
B
=
B
△
A
b)
A
△
∅=
A
;
A
△
U
=
A
c
.
c)
A
△
A
c
=
U
;
A
△
A
=
∅.
d)
A
∩
(B
△
C
)
=
(A
∩
B
)
△
(A
∩
C
).
e)
A
△
B
⊆
A
∪
B
;
A
△
B
=
A
∪
B
se
e
so
m
en
te
se
A
∩
B
=
∅.
f)
A
c
△
B
c
=
A
△
B
.
g)
S
e
A
△
C
=
B
△
C
,
en
ta˜
o
A
=
B
.
3
A
go
ra
in
tr
o
d
u
zi
m
os
a
n
oc¸
a˜o
d
e
im
pl
ic
ac¸
a˜o
.
D
e
fi
n
ic¸
a˜
o
1
.9
:
S
e
S
,
T
sa˜
o
su
bc
on
ju
n
to
s
de
u
m
co
n
ju
n
to
U
,
de
fi
n
im
os
S
→
T
=
S
c
∪
T
,
li
da
co
m
o
“S
im
pl
ic
a
T
”
(e
m
U
).
13
E
x
e
rc´
ıc
io
1
.1
0
:
P
ro
ve
q
u
e,
p
ar
a
A
,
S
,
T
,
R
⊆
U
:
(1
)
A
⊆
(S
→
T
)
ss
e
A
∩
S
⊆
T
.
(2
)
S
→
∅=
S
c
.
(3
)
A
⊆
S
im
p
li
ca
{ (S
→
T
)
⊆
(A
→
T
);
(T
→
A
)
⊆
(T
→
S
).
(4
)
S
→
(T
→
R
)
=
(S
∩
T
)
→
R
=
(S
→
T
)
→
(S
→
R
).
(5
)
S
→
(T
∩
R
)
=
(S
→
T
)
∩
(S
→
R
).
(6
)
S
→
(T
∪
R
)
=
(S
→
T
)
∪
(S
→
R
).
3
E
x
e
rc´
ıc
io
1
.1
1
:
S
ej
a
U
u
m
co
n
ju
n
to
e
se
ja
O
=
{∩
,
∪,
(·)
c
,
→
,
△
}o
co
n
ju
n
to
d
as
op
er
ac¸
o˜e
s
st
an
d
ar
d
en
tr
e
su
b
co
n
ju
n
to
s
d
e
U
.
M
os
tr
e
q
u
e
to
d
as
as
op
er
ac¸
o˜e
s
em
O
p
o
d
em
se
r
d
efi
n
id
as
a
p
ar
ti
r
d
e
a)
In
te
rs
ec¸
a˜o
e
co
m
p
le
m
en
ta
c¸a˜
o
((
·)c
);
b
)
U
,
d
if
er
en
c¸a
si
m
e´t
ri
ca
(△
)
e
in
te
rs
ec¸
a˜o
;
c)
∅e
im
p
li
ca
c¸a˜
o
(→
).
3
O
b
se
rv
a
c¸a˜
o
1
.1
2
:
S
e
U
e´
u
m
co
n
ju
n
to
,
as
op
er
ac¸
o˜e
s
d
e
u
n
ia˜
o
e
in
te
rs
ec¸
a˜o
p
o
d
em
se
r
fe
it
as
co
m
q
u
al
q
u
er
su
b
co
n
ju
n
to
d
e
P(
U
)2
.
P
ar
a
S
⊆
P(
U
),
te
m
os
∗⋃
S
=
{x
∈
U
:
x
p
er
te
n
ce
a
al
gu
m
el
em
en
to
d
e
S
}.
(U
n
ia˜
o
d
e
S
)
∗⋂
S
=
{x
∈
U
:
x
p
er
te
n
ce
a
to
d
os
os
el
em
en
to
s
d
e
S
}.
(A
in
te
rs
ec¸
a˜o
d
e
S
).
A
s
p
ro
p
ri
ed
ad
es
fu
n
d
am
en
ta
is
d
es
ta
s
op
er
ac¸
o˜e
s
sa˜
o
p
ar
ec
id
as
co
m
as
d
a
u
n
ia˜
o
e
in
te
rs
ec¸
a˜o
fi
n
it
as
.
E
la
s
ap
ar
ec
em
,
p
ar
a
fa
m
ı´l
ia
s,
n
a
P
ro
p
os
ic¸
a˜o
4.
28
e
n
a˜o
va
m
os
re
p
et´
ı-
la
s
aq
u
i,
em
p
ar
ti
cu
la
r,
p
or
q
u
e
n
a˜o
p
re
ci
sa
re
m
os
d
el
as
n
a
P
ar
te
I.
3
E
x
e
rc´
ıc
io
1
.1
3
:
S
ej
am
A
e
B
su
b
co
n
ju
n
to
s
d
e
u
m
co
n
ju
n
to
U
.
a)
P
ro
ve
q
u
e
as
se
gu
in
te
s
co
n
d
ic¸
o˜e
s
sa˜
o
eq
u
iv
al
en
te
s
:
(1
)
B
=
A
c
;
(2
)
B
ve
ri
fi
ca
as
eq
u
ac¸
o˜e
s
{ A
∩
B
=
∅
A
∪
B
=
U
.
b
)
U
ti
li
za
n
d
o
(a
),
d
es
cu
b
ra
u
m
a
p
ro
va
d
os
ı´t
en
s
(d
)
e
(e
)
d
e
1.
6.
3
2
N
a˜o
ap
en
a
s
p
a
ra
su
b
co
n
ju
n
to
s
d
a
fo
rm
a
{A
,
B
}..
.
C
a
p´
ıt
u
lo
2
O
C
a´
lc
u
lo
P
ro
p
o
si
ci
o
n
a
l
2
.1
A
E
st
ru
tu
ra
P
ro
p
o
si
ci
o
n
a
l
d
e
u
m
E
n
u
n
ci
a
d
o
O
es
b
oc¸
o
d
e
te
or
ia
d
os
co
n
ju
n
to
s
q
u
e
ac
ab
am
os
d
e
ap
re
se
n
ta
r,
em
b
or
a
“t
el
eg
ra´
fi
co
”,
co
n
te´
m
al
gu
n
s
d
os
in
gr
ed
ie
n
te
s
fu
n
d
am
en
ta
is
d
a
li
n
gu
ag
em
fo
rm
al
m
at
em
a´t
ic
a.
D
is
cu
ti
re
m
os
aq
u
i
a
p
ar
te
d
a
L
o´g
ic
a
q
u
e
li
d
a
co
m
a
ch
am
ad
a
e
st
ru
tu
ra
p
ro
p
o
si
ci
o
n
a
l
d
os
en
u
n
ci
ad
os
,
is
to
e´,
aq
u
el
a
q
u
e
d
ep
en
d
e
d
a
ar
ti
cu
la
c¸a˜
o
d
e
se
n
te
n
c¸a
s
d
ec
la
ra
ti
va
s,
at
ra
v
e´s
d
e
ex
p
re
ss
o˜e
s
co
m
o
“o
u
”,
“e
”,
“n
a˜o
”
e
“s
e
··
·e
n
ta˜
o
··
·,
ch
am
ad
as
d
e
co
n
e
ct
iv
o
s
lo´
g
ic
o
s.
N
a˜o
va
m
os
tr
at
ar
d
as
re
gr
as
p
ar
a
os
q
u
an
ti
fi
ca
d
or
es
–
aq
u
el
es
m
es
m
os
q
u
e
vo
ceˆ
co
n
h
ec
e
–
o
ex
is
te
n
ci
al
(∃
)
e
o
u
n
iv
er
sa
l
(∀
).
F
al
ar
em
os
so
b
re
el
es
m
ai
s
ta
rd
e,
n
o
C
ap´
ıt
u
lo
?
?
.
A
lg
u
n
s
ex
em
p
lo
s
p
o
d
em
ac
la
ra
r
a
si
tu
ac¸
a˜o
.
C
on
si
d
er
e
o
T
eo
re
m
a
1.
2
:
n
a˜o
ex
is
te
o
co
n
ju
n
to
d
e
tod
os
os
co
n
ju
n
to
s.
O
se
u
en
u
n
ci
ad
o
e´
a
n
eg
ac¸
a˜o
d
a
se
n
te
n
c¸a
P
:
“E
x
is
te
u
m
co
n
ju
n
to
ta
l
q
u
e
to
d
o
co
n
ju
n
to
e´
se
u
el
em
en
to
”.
E
m
s´ı
m
b
ol
os
:
(∃
x
∀
y
(y
∈
x
))
.
A
su
a
es
tr
u
tu
ra
p
ro
p
os
ic
io
n
al
e´
“n
a˜o
P
”.
S
e
te
n
ta
rm
os
ir
ad
ia
n
te
e
fa
ze
r
u
m
a
an
a´l
is
e
m
ai
s
ap
ro
fu
n
d
ad
a
d
e
su
a
es
tr
u
tu
ra
,
te
re
m
os
q
u
e
le
va
r
em
co
n
ta
a
co
n
fi
gu
ra
c¸a˜
o
d
a
se
n
te
n
c¸a
P
,
a
q
u
al
en
vo
lv
e
os
q
u
an
ti
fi
ca
d
or
es
∃
e
∀.
R
et
om
em
os
o
T
eo
re
m
a
1.
3
:
“S
e
A
e´
u
m
co
n
ju
n
to
e
B
=
{x
∈
A
:
x
6∈
x
},
en
ta˜
o
B
⊆
A
e
B
6∈
A
”.
S
e
d
en
ot
ar
m
os
p
or
P
(A
)
a
p
ro
p
ri
ed
ad
e
“A
e´
u
m
co
n
ju
n
to
”;
Q
(A
,
B
)
a
afi
rm
ac¸
a˜o
“B
=
{x
∈
A
;
x
6∈
x
}”
q
u
e
d
ep
en
d
e
d
e
A
e
d
e
B
;
R
(A
,
B
)
n
o
lu
ga
r
d
e
“B
⊆
A
”;
e
S
(A
,
B
)
n
o
lu
ga
r
d
e
“B
6∈
A
en
ta˜
o
o
en
u
n
ci
ad
o
1.
3
p
o
d
e
se
r
en
te
n
d
id
o
co
m
o
u
m
re
su
lt
ad
o
d
a
fo
rm
a
∀
A
∀
B
(s
e
P
(A
)
e
Q
(A
,
B
)
en
ta˜
o
R
(A
,
B
)
e
S
(A
,
B
))
.
“T
ir
an
d
o
fo
ra
”
os
A
’s
e
os
B
’s
,
ob
te
m
os
a
es
tr
u
tu
ra
p
ro
p
os
ic
io
n
al
d
o
T
eo
re
m
a
1.
3,
d
ad
a
p
or
“S
e
P
e
Q
,
en
ta˜
o
R
e
S
”,
14
15
q
u
e
e´
a
p
ar
te
q
u
e
p
o
d
e
se
r
co
n
st
ru´
ıd
a
so´
co
m
co
n
ec
ti
vo
s
lo´
gi
co
s.
A
s
P
ro
p
os
ic¸
o˜e
s
1.
4,
1.
5
e
1.
6
p
o
d
em
se
r
an
al
is
ad
as
d
e
m
o
d
o
se
m
el
h
an
te
.
V
ej
am
os
m
ai
s
u
m
ex
em
p
lo
.
C
on
si
d
er
e
o
se
gu
in
te
re
su
lt
ad
o
:
T
e
o
re
m
a
2
.1
:
S
e
u
m
n
u´
m
er
o
n
at
u
ra
l
e´
di
vi
s´ı
ve
l
po
r
2
e
po
r
3,
en
ta˜
o
e´
di
vi
s´ı
ve
l
po
r
6.
C
om
o
d
es
cr
ev
er
a
a
es
tr
u
tu
ra
p
ro
p
os
ic
io
n
al
d
es
te
en
u
n
ci
ad
o
?
S
e
d
efi
n
im
os
–
P
(x
)
p
or
“x
e´
u
m
n
u´
m
er
o
n
at
u
ra
l
–
”Q
(x
)
co
m
o
“x
e´
d
iv
is´
ıv
el
p
or
2”
,
–
R
(x
)
se
n
d
o
“x
e´
d
iv
is´
ıv
el
p
or
3”
–
e
S
(x
)
a
fr
as
e
“x
e´
d
iv
is´
ıv
el
p
or
6”
en
ta˜
o
o
en
u
n
ci
ad
o
2.
1
p
o
d
e
se
r
es
cr
it
o
co
m
o
“∀
x
(S
e
P
e
Q
e
R
en
ta˜
o
S
)”
.
A
ss
im
,
su
a
es
tr
u
tu
ra
p
ro
p
os
ic
io
n
al
e´
:
“S
e
P
e
Q
e
R
en
ta˜
o
S
”.
P
or
u´
lt
im
o,
co
n
si
d
er
e
o
en
u
n
ci
ad
o
:
T
e
o
re
m
a
2
.2
:
T
od
o
n
u´
m
er
o
ra
ci
on
al
di
st
in
to
de
ze
ro
te
m
in
ve
rs
o
m
u
lt
ip
li
ca
ti
vo
.
V
am
os
id
en
ti
fi
ca
r
P
(x
)
=
“x
e´
u
m
n
u´
m
er
o
ra
ci
on
al
”,
Q
(x
)
=
“x
6=
0”
e
R
(x
)
=
∃y
(x
·y
=
1)
.
E
m
p
ar
ti
cu
la
r,
R
(x
)
d
iz
q
u
e
“x
te
m
u
m
in
ve
rs
o”
,
is
to
e´,
ex
is
te
u
m
n
u´
m
er
o
y
q
u
e,
q
u
an
d
o
m
u
lt
ip
li
ca
d
o
p
or
x
,
d
a´
1.
O
T
eo
re
m
a
2.
2
se
es
cr
ev
e
en
ta˜
o
co
m
o
“∀
x
(s
e
P
e
Q
en
ta˜
o
R
)”
.
O
b
se
rv
e
q
u
e,
d
o
p
on
to
d
e
v
is
ta
p
ro
p
os
ic
io
n
al
,
n
a˜o
p
o
d
em
os
d
iv
id
ir
∃y
(x
·y
=
1)
em
p
ro
p
os
ic¸
o˜e
s
m
ai
s
el
em
en
ta
re
s,
p
oi
s
en
co
n
tr
am
os
o
q
u
an
ti
fi
ca
d
or
ex
is
te
n
ci
al
.
A
es
tr
u
tu
ra
p
ro
p
os
ic
io
n
al
d
o
T
eo
re
m
a
2.
2
e´,
p
oi
s,
“S
e
P
e
Q
,
en
ta˜
o
R
”.
E
st
u
d
ar
as
re
gr
as
d
a
L
o´g
ic
a
p
ar
a
os
co
n
ec
ti
vo
s
co
n
st
it
u
i
u
m
p
as
so
im
p
or
ta
n
te
p
ar
a
en
te
n
-
d
er
co
m
o
fu
n
ci
on
am
as
p
ro
va
s
em
M
at
em
a´t
ic
a.
E
st
e
es
tu
d
o
d
en
om
in
a-
se
C
a´
lc
u
lo
P
ro
p
o
si
-
ci
o
n
a
l.
A
d
is
ci
p
li
n
a
q
u
e,
al
e´m
d
as
re
gr
as
p
ro
p
os
ic
io
n
ai
s,
d
is
cu
te
os
q
u
an
ti
fi
ca
d
or
es
,
d
en
om
in
a-
se
C
a´
lc
u
lo
d
e
P
re
d
ic
a
d
o
s.
E
m
u
m
a
p
ro
va
m
at
em
a´t
ic
a,
se
m
p
re
u
ti
li
za
m
os
as
le
is
d
a
L
o´g
ic
a
e
m
ai
s
p
ro
p
ri
ed
ad
es
es
p
ec´
ıfi
ca
s
d
os
ob
je
to
s
q
u
e
es
ta
m
os
es
tu
d
an
d
o.
S
e
fo
re
m
co
n
ju
n
to
s,
se
ra˜
o
as
p
ro
p
ri
ed
ad
es
ou
ca
ra
ct
er´
ıs
ti
ca
s
p
ro´
p
ri
as
d
e
co
n
ju
n
to
s;
se
fo
re
m
n
u´
m
er
os
,
as
p
ro
p
ri
ed
ad
es
d
es
te
s,
e
as
si
m
p
or
d
ia
n
te
.
D
e
q
u
al
q
u
er
fo
rm
a,
o
ar
ca
b
ou
c¸o
co
m
u
m
q
u
e
h
a´
em
to
d
as
es
ta
s
p
ro
va
s
e´
fo
rm
ad
o
ju
st
am
en
te
p
el
as
re
gr
as
d
a
L
o´g
ic
a.
O
q
u
e
va
m
os
es
tu
d
ar
sa˜
o,
p
oi
s,
as
re
gr
as
q
u
e
p
o
d
em
se
r
u
ti
li
za
d
as
em
q
u
a
lq
u
e
r
co
n
te
x
to
e
e
m
q
u
a
lq
u
e
r
p
ro
v
a
.
E´
cl
ar
o
q
u
e
es
te
es
tu
d
o
e´
ab
st
ra
to
.
M
as
ab
st
ra
to
n
a˜
o
e´
si
n
oˆn
im
o
d
e
in
co
m
pr
ee
n
s´ı
ve
l
!
C
ad
a
as
su
n
to
q
u
e
es
tu
d
am
os
re
q
u
er
u
m
a
li
n
gu
ag
em
q
u
e
lh
e
e´
p
ro´
p
ri
a.
P
or
su
a
ve
z,
as
le
is
d
a
L
o´g
ic
a
p
re
te
n
d
em
es
ta
b
el
ec
er
p
ro
ce
d
im
en
to
s,
co
n
cl
u
so˜
es
e
“g
ra
u
s
d
e
ve
rd
ad
e”
em
q
u
al
q
u
er
m
at
e´r
ia
q
u
e
es
te
ja
se
n
d
o
ab
or
d
ad
a.
E´
ra
zo
a´v
el
,
p
oi
s,
es
p
er
ar
q
u
e
to
d
as
es
sa
s
li
n
gu
agen
s,
em
b
or
a
es
p
ec´
ıfi
ca
s,
te
n
h
am
u
m
a
b
as
e
co
m
u
m
fo
rm
al
e
ob
je
ti
va
–
“u
m
a
li
n
gu
ag
em
b
a´s
ic
a”
–
on
d
e
as
se
n
te
n
c¸a
s
n
a˜o
d
eˆe
m
m
ar
ge
m
a
in
te
rp
re
ta
c¸o˜
es
ar
b
it
ra´
ri
as
.
D
ep
oi
s
d
e
es
ta
b
el
ec
er
ta
l
li
n
gu
ag
em
,
d
efi
n
ir
em
os
o
si
gn
ifi
ca
d
o
d
e
“i
n
te
rp
re
ta
c¸a˜
o”
,
fo
rn
ec
en
d
o
u
m
cr
it
e´r
io
u
n
if
or
m
e
p
ar
a
a
in
te
rp
re
ta
c¸
a˜
o
m
a
te
m
a´
ti
ca
d
e
u
m
a
fr
as
e.
E
sp
er
am
os
te
r
co
n
ve
n
ci
d
o
o
le
it
or
d
e
q
u
e
se
ra´
n
ec
es
sa´
ri
o
es
ta
b
el
ec
er
u
m
a
li
n
gu
ag
em
fo
rm
al
e
d
ep
oi
s
d
efi
n
ir
,
m
at
em
at
ic
am
en
te
,
o
si
gn
ifi
ca
d
o
d
e
in
te
rp
re
ta
c¸a˜
o.
E´
d
es
sa
in
te
ra
c¸a˜
o
q
u
e
su
rg
ir
a˜o
as
le
is
d
a
L
o´g
ic
a
C
la´
ss
ic
a.
T
al
m
e´t
o
d
o
se
ap
li
ca
ta
n
to
p
ar
a
o
C
a´l
cu
lo
d
e
P
re
d
ic
ad
os
q
u
an
to
ao
n
os
so
ca
so
aq
u
i,
o
d
o
C
a´l
cu
lo
P
ro
p
os
ic
io
n
al
.
E
st
e
d
es
en
vo
lv
im
en
to
se
ra´
o
te
m
a
d
o
q
u
e
ve
m
a
se
gu
ir
.
16
2
.2
L
in
g
u
a
g
e
m
F
o
rm
a
l
A
n
te
s
d
e
co
n
st
ru
ir
u
m
a
li
n
gu
ag
em
fo
rm
al
co
m
a
q
u
al
d
es
cr
ev
er
as
le
is
d
a
L
o´g
ic
a,
fa
c¸a
m
os
u
m
b
re
ve
co
m
en
ta´
ri
o
so
b
re
o
as
su
n
to
ac
er
ca
d
o
q
u
al
es
sa
li
n
gu
ag
em
d
ev
e
tr
at
ar
.
Q
u
er
em
os
d
is
cu
ti
r
as
le
is
d
o
ra
ci
o
c´ı
n
io
q
u
e
en
vo
lv
em
se
n
te
n
c¸a
s
d
ec
la
ra
ti
va
s,
ch
am
ad
as
d
e
p
ro
p
o
si
c¸o˜
e
s.
S
er
a´
n
ec
es
sa´
ri
o,
e´
cl
ar
o,
in
d
ic
a´-
la
s
d
e
al
gu
m
m
o
d
o.
E
m
ge
ra
l,
u
sa
re
m
os
le
tr
as
la
ti
n
as
m
ai
u´
sc
u
la
s
co
m
o
P
,
Q
,
R
,
et
c.
E
ve
n
tu
al
m
en
te
p
o
d
er
em
os
u
ti
li
za
r
ı´n
d
ic
es
e
fa
la
r
so
b
re
a
p
ro
p
os
ic¸
a˜o
P
1
,
ou
a
p
ro
p
os
ic¸
a˜o
Q
2
,
et
c.
C
om
o
n
a
l´ı
n
gu
a
p
or
tu
gu
es
a,
p
ro
p
os
ic¸
o˜e
s
p
o
d
em
se
r
co
m
b
in
ad
as
p
ar
a
fo
rm
ar
ou
tr
as
.
S
e
P
e
Q
sa˜
o
p
ro
p
os
ic¸
o˜e
s,
en
ta˜
o
p
o
d
em
os
fa
la
r
d
e
“n
a˜o
P
”,
“P
e
Q
”,
“P
ou
Q
”,
“s
e
P
,
en
ta˜
o
Q
”.
(I
)
E
v
id
en
te
m
en
te
,
h
a´
ou
tr
as
co
n
st
ru
c¸o˜
es
p
er
fe
it
am
en
te
le
g´ı
ti
m
as
.
U
m
ex
em
p
lo
e´
a
p
ro
p
os
ic¸
a˜o
“n
em
P
,
n
em
Q
”.
V
o
ceˆ
p
o
d
er
a´
ce
rt
am
en
te
p
en
sa
r
em
al
gu
m
as
m
ai
s.
T
om
ar
em
os
co
m
o
b
a´s
ic
as
as
op
er
ac¸
o˜e
s
q
u
e
ap
ar
ec
em
em
(I
),
d
en
om
in
ad
as
re
sp
ec
ti
va
m
en
te
d
e
n
eg
ac¸
a˜o
,
co
n
ju
n
c¸a˜
o,
d
is
ju
n
c¸a˜
o
e
im
p
li
ca
c¸a˜
o.
P
ar
a
ca
d
a
u
m
a
d
es
sa
s,
p
re
ci
sa
m
os
d
e
u
m
si
n
al
li
n
gu´
ıs
ti
co
fo
rm
al
:
–
A
n
e
g
a
c¸
a˜
o
se
ra´
in
d
ic
ad
a
p
or
¬;
as
si
m
,
¬P
e´
a
ex
p
re
ss
a˜o
fo
rm
al
d
a
n
eg
ac¸
a˜o
d
a
p
ro
p
os
ic¸
a˜o
P
;
–
A
co
n
ju
n
c¸
a˜
o
se
ra´
in
d
ic
ad
a
p
or
∧;
P
∧
Q
re
p
re
se
n
ta
a
fr
as
e
“P
e
Q
”,
ch
am
ad
a
d
e
co
n
ju
n
c¸a˜
o
d
e
P
e
Q
.
–
A
d
is
ju
n
c¸a˜
o
se
ra´
in
d
ic
ad
a
p
or
∨;
P
∨
Q
re
p
re
se
n
ta
a
d
ec
la
ra
c¸a˜
o
“o
u
P
,
ou
Q
”;
–
A
im
p
li
ca
c¸a˜
o
se
ra´
in
d
ic
ad
a
p
or
→
;
P
→
Q
re
p
re
se
n
ta
fo
rm
al
m
en
te
“s
e
P
,
en
ta˜
o
Q
”.
O
s
s´ı
m
b
ol
os
¬,
∧,
∨
e
→
sa˜
o
ch
am
ad
os
co
n
ec
ti
vo
s
lo´
gi
co
s.
C
om
el
es
,
p
o
d
em
os
p
ro
-
d
u
zi
r
n
ov
as
p
ro
p
os
ic¸
o˜e
s
a
p
ar
ti
r
d
e
ou
tr
as
.
V
al
e
a
p
en
a
ch
am
ar
a
at
en
c¸a˜
o
d
e
q
u
e,
n
es
se
p
ro
-
ce
ss
o,
al
gu
n
s
cu
id
ad
os
d
ev
em
se
r
to
m
ad
os
co
m
o
q
u
e
re
al
m
en
te
se
q
u
er
d
iz
er
.
P
or
ex
em
p
lo
:
P
→
(Q
∨
R
)
n
a˜o
e´
a
m
es
m
a
co
is
a
q
u
e
(P
→
Q
)
∨
R
.
C
om
o
se
m
p
re
,
u
ti
li
za
m
os
p
ar
eˆn
te
se
s
p
ar
a
ex
p
li
ci
ta
r
q
u
e
p
ro
p
os
ic¸
a˜o
es
ta
m
os
,
d
e
fa
to
,
co
n
si
d
er
an
d
o.
U
m
in
st
ru
m
en
to
b
a´s
ic
o
p
ar
a
co
n
st
ru
ir
u
m
a
li
n
gu
ag
em
e´
u
m
a
lf
a
b
e
to
.
V
am
os
a
el
e,
es
p
ec
ifi
ca
n
d
o
os
s´ı
m
b
ol
os
q
u
e
o
co
n
st
it
u
em
.
S´
ım
b
o
lo
s
d
o
a
lf
a
b
e
to
:
1.
U
m
co
n
ju
n
to
n
a˜o
va
zi
o
A
t
d
e
s´ı
m
b
ol
os
,
ch
am
ad
os
p
ro
p
o
si
c¸o˜
e
s
a
toˆ
m
ic
a
s,
in
d
ic
ad
as
p
or
le
tr
as
co
m
o
p,
q,
r,
s
..
.
C
om
o
ja´
co
m
en
ta
m
os
an
te
s,
p
o
d
em
os
u
sa
r
ı´n
d
ic
es
e
fa
la
r
so
b
re
a
p
ro
p
os
ic¸
a˜o
at
oˆm
ic
a
p 1
ou
q 3
,
et
c.
2.
S´
ım
b
ol
os
p
ar
a
os
co
n
ec
ti
vo
s
lo´
gi
co
s
:
¬,
∧,
∨,
→
;
3.
P
ar
eˆn
te
se
s
a`
d
ir
ei
ta
e
a`
es
q
u
er
d
a.
A
ri
go
r,
p
re
ci
sa
r´ı
am
os
in
cl
u
ir
,
n
a
n
os
sa
li
st
a
d
e
s´ı
m
b
ol
os
fo
rm
ai
s,
o
es
p
ac¸
o
em
b
ra
n
co
.
J
a´
im
ag
in
ou
se
n
a˜o
ex
is
ti
ss
e
o
si
n
al
li
n
gu´
ıs
ti
co
“e
sp
ac¸
o
em
b
ra
n
co
”e
m
p
or
tu
gu
eˆs
(o
u
em
q
u
al
q
u
er
17
ou
tr
a
l´ı
n
gu
a
v
iv
a)
?
M
as
n
a˜o
p
en
se
q
u
e
fo
i
se
m
p
re
as
si
m
!
H
a´
fo
rm
as
d
e
gr
eg
o
an
ti
go
q
u
e
er
am
es
cr
it
as
se
m
es
p
ac¸
o
em
b
ran
co
en
tr
e
as
p
al
av
ra
s.
N
a˜o
va
m
os
n
os
p
re
o
cu
p
ar
co
m
ta
n
ta
p
re
ci
sa˜
o.
A
es
ta
al
tu
ra
vo
ceˆ
d
ev
e
es
ta
r
ac
h
an
d
o
es
ta
es
to´
ri
a
d
e
“p
ro
p
os
ic¸
a˜o
at
oˆm
ic
a”
m
ei
o
es
tr
an
h
a.
M
as
el
a
e´
ra
zo
a´v
el
.
V
ej
a
p
or
q
u
eˆ
:
Q
u
er
em
os
es
tu
d
ar
as
le
is
d
a
L
o´g
ic
a,
aq
u
el
as
q
u
e
p
o
d
em
se
r
u
ti
li
za
d
as
n
o
tr
at
o
d
e
q
u
al
q
u
er
co
n
te
x
to
co
n
cr
et
o.
Q
u
an
d
o
an
al
is
am
os
a
es
tr
u
tu
ra
p
ro
p
os
ic
io
n
al
d
e
u
m
en
u
n
ci
ad
o
m
at
em
a´t
ic
o,
co
m
o
fe
it
o
n
a
se
c¸a˜
o
an
te
ri
or
,
d
ep
ar
am
o-
n
os
co
m
u
m
co
n
ju
n
to
d
e
p
ro
p
os
ic¸
o˜e
s,
re
la
ci
on
ad
as
en
tr
e
si
p
el
os
co
n
ec
ti
vo
s.
P
oi
s
b
em
:
p
ar
a
ef
ei
to
d
e
n
os
so
es
tu
d
o,
a
p
ar
ti
r
d
e
ce
rt
o
p
on
to
,
n
a˜o
n
os
in
te
re
ss
a
m
ai
s
o
q
u
e
“t
em
d
en
tr
o”
d
e
u
m
a
p
ro
p
os
ic¸
a˜o
:
u
m
a
ve
z
co
n
h
ec
id
as
as
re
gr
as
p
er
m
it
id
as
,
q
u
e
sa˜
o,
n
a
ve
rd
ad
e,
re
gr
as
d
e
si
n
ta
x
e
d
a
li
n
gu
ag
em
,
fi
ca
d
et
er
m
in
ad
a
a
es
tr
u
tu
ra
q
u
e
ta
l
en
u
n
ci
ad
o
p
os
su
i.
O
re
st
an
te
d
a
an
a´l
is
e
–
q
u
e
ta
m
b
e´m
e´
m
u
it
o
im
p
or
ta
n
te
–
d
ep
en
d
e
d
o
si
gn
ifi
ca
d
o
es
p
ec´
ıfi
co
d
os
te
rm
os
e
d
a
p
ar
ti
cu
la
r
te
or
ia
q
u
e
es
ta
m
os
es
tu
d
an
d
o.
D
e
m
o
d
o
ge
ra
l,
as
p
ro
p
os
ic¸
o˜e
s
el
em
en
ta
re
s
a
p
ar
ti
r
d
as
q
u
ai
s
u
m
p
ar
ti
cu
la
r
en
u
n
ci
ad
o
e´
co
m
p
os
to
p
o
d
em
se
r
co
n
si
d
er
ad
as
co
m
o
a
toˆ
m
ic
a
s
(i
n
d
iv
is´
ıv
e
is
)
p
ar
a
aq
u
el
a
si
tu
ac¸
a˜o
.
V
ol
ta
n
d
o
ao
s
ex
em
p
lo
s
d
a
se
c¸a˜
o
an
te
ri
or
:
–
T
eo
re
m
a
1.
2
:
N
a˜o
ex
is
te
o
co
n
ju
n
to
d
e
to
d
os
os
co
n
ju
n
to
s.
T
ra
ta
-s
e
d
e
u
m
en
u
n
ci
ad
o
d
a
fo
rm
a
¬
P
.
–
T
eo
re
m
a
2.
1
:
S
e
u
m
n
u´
m
er
o
e´
d
iv
is´
ıv
el
p
or
2
e
p
or
3
en
ta˜
o
e´
d
iv
is´
ıv
el
p
or
6.
S
ej
am
P
=
n
e´
u
m
n
u´
m
er
o
Q
=
n
e´
d
iv
is´
ıv
el
p
or
2
R
=
n
e´
d
iv
is´
ıv
el
p
or
3
S
=
n
e´
d
iv
is´
ıv
el
p
or
6
E
n
ta˜
o
p
o
d
em
os
d
iz
er
q
u
e
2.
1
p
os
su
i
u
m
a
es
tr
u
tu
ra
d
o
ti
p
o
(P
∧
Q
∧
R
)
→
S
.
P
ar
a
an
al
is
ar
a
es
tr
u
tu
ra
d
o
T
eo
re
m
a
1.
2
e´
su
fi
ci
en
te
u
m
al
fa
b
et
o
co
m
ap
en
as
u
m
a
p
ro
p
os
ic¸
a˜o
at
oˆm
ic
a.
P
ar
a
o
ou
tr
o
T
eo
re
m
a,
se
ri
am
n
ec
es
sa´
ri
as
q
u
at
ro
p
ro
p
os
ic¸
o˜e
s
at
oˆm
ic
as
.
S
e
al
gu
e´m
p
er
gu
n
ta
r-
n
os
o
q
u
e,
d
e
fa
to
,
e´
o
co
n
ju
n
to
A
t
d
as
p
ro
p
os
ic¸
o˜e
s
at
oˆm
ic
as
,
d
ev
em
os
re
sp
on
d
er
q
u
e
p
o
d
e
se
r
q
u
a
lq
u
e
r
co
n
ju
n
to
n
a˜o
va
zi
o.
A
fi
n
al
,
p
o
d
em
os
es
co
lh
er
o
al
fa
b
et
o
q
u
e
d
es
ej
ar
m
os
p
ar
a
fa
ze
r
a
n
os
sa
te
or
ia
d
a
L
o´g
ic
a
!
V
am
os
ag
or
a
d
efi
n
ir
o
q
u
e
co
n
si
d
er
am
os
se
n
te
n
c¸a
s
ou
p
ro
p
os
ic¸
o˜e
s
n
a
n
os
sa
li
n
gu
ag
em
:
D
e
fi
n
ic¸
a˜
o
2
.3
:
S
ej
a
A
t
u
m
co
n
ju
n
to
de
pr
op
os
ic¸
o˜e
s
at
oˆm
ic
as
.
O
co
n
ju
n
to
d
a
s
p
ro
p
o
si
c¸
o˜
e
s
co
n
st
ru´
ıd
as
a
pa
rt
ir
de
A
t,
in
di
ca
do
po
r
L(
A
t)
,
e´
de
fi
n
id
o
da
se
gu
in
te
fo
rm
a
:
[P
1]
:
T
od
a
pr
op
os
ic¸
a˜o
at
oˆm
ic
a
es
ta´
em
L(
A
t)
.
[P
2]
:
S
e
P
e
Q
es
ta˜
o
em
L(
A
t)
,
en
ta˜
o
¬P
,
P
∧
Q
,
P
∨
Q
e
P
→
Q
pe
rt
en
ce
m
a
L(
A
t)
.
[P
3]
:
U
m
a
su
ce
ss
a˜o
de
s´ı
m
bo
lo
s
do
al
fa
be
to
so´
es
ta´
em
L(
A
t)
se
pu
de
r
se
r
co
n
st
ru´
ıd
o
a
pa
rt
ir
18
da
s
pr
op
os
ic¸
o˜e
s
at
oˆm
ic
as
,
at
ra
ve´
s
de
ap
li
ca
c¸o˜
es
su
ce
ss
iv
a
s
da
re
gr
a
[P
2]
.
C
om
o
em
u
m
a
l´ı
n
gu
a
u
su
al
,
n
em
to
d
a
se
q
u¨
eˆn
ci
a
d
e
s´ı
m
b
ol
os
e´
u
m
a
p
al
av
ra
.
A
se
q
u¨
eˆn
ci
a
“a
ab
b
k
lm
ew
y
p
”
n
a˜o
e´
u
m
a
p
al
av
ra
d
a
l´ı
n
gu
a
p
or
tu
gu
es
a.
N
a
n
os
sa
li
n
gu
ag
em
fo
rm
al
,
a
ex
p
re
ss
a˜o
∧
p
q
→
n
a˜o
e´
u
m
a
p
ro
p
os
ic¸
a˜o
p
oi
s,
d
ev
id
o
a
[P
2]
e
[P
3]
,
o
co
n
ec
ti
vo
∧
so´
p
o
d
e
ap
ar
ec
er
en
tr
e
p
ro
p
os
ic¸
o˜e
s
!
A
D
efi
n
ic¸
a˜o
2.
3
es
ta
b
el
ec
e
ex
at
am
en
te
q
u
ai
s
sa˜
o
as
p
ro
p
os
ic¸
o˜e
s
em
L(
A
t)
.
E
x
e
m
p
lo
2
.4
:
a)
S
u
p
on
h
a
q
u
e
A
t
=
{p
},
ou
se
ja
,
so´
te
m
os
u
m
a
p
ro
p
os
ic¸
a˜o
at
oˆm
ic
a.
A
s
se
gu
in
te
s
se
q
u¨
eˆn
ci
as
sa˜
o
ex
em
p
lo
s
d
e
p
ro
p
os
ic¸
o˜e
s,
is
to
e´,
d
e
el
em
en
to
s
d
e
L(
A
t)
:
p,
¬p
,
¬¬
¬p
,
p
→
p,
p
→
(p
∧
p)
,
(p
∨
p)
→
¬p
.
N
ot
e
q
u
e
p
→
q
n
a˜
o
e´
u
m
a
p
ro
p
os
ic¸
a˜o
d
e
L(
A
t)
,
p
oi
s
q
n
a˜o
es
ta´
em
A
t.
b
)
S
u
p
on
h
a
q
u
e
A
t
=
{p
,
q,
r}
.
A
s
se
gu
in
te
s
se
q
u¨
eˆn
ci
as
sa˜
o
p
ro
p
os
ic¸
o˜e
s
d
e
L(
A
t)
:
p
→
(q
∧
r)
,
q
→
(p
→
p)
,
((
p
→
q)
∧
(p
→
¬q
))
→
¬p
.
(I
)
C
om
o
p
o
d
em
os
p
ro
va
r
is
to
?
E´
si
m
p
le
s
:
b
as
ta
“m
on
ta
r”a
a´r
vo
re
d
e
fo
rm
ac¸
a˜o
d
e
ca
d
a
u
m
a,
a
p
ar
ti
r
d
as
p
ro
p
os
ic¸
o˜e
s
at
oˆm
ic
as
,
u
ti
li
za
n
d
o
[P
2]
.
V
am
os
fa
ze
r
a
u´
lt
im
a
(e
m
ai
s
co
m
p
ri
d
a)
d
a
li
st
a
(I
)
ac
im
a.
1.
p
e
q
sa˜
o
p
ro
p
os
ic¸
o˜e
s,
p
oi
s
sa˜
o
at
oˆm
ic
as
;
2.
D
e
[P
2]
,
ve
m
q
u
e
¬p
e
¬q
sa˜
o
p
ro
p
os
ic¸
o˜e
s;
3.
D
e
[P
2]
,
ve
m
q
u
e
p
→
q
e
p
→
¬q
sa˜
o
p
ro
p
os
ic¸
o˜e
s.
4.
P
or
ta
n
to
,
(p
→
q)
∧
(p
→
¬q
)
e´
u
m
a
p
ro
p
os
ic¸
a˜o
.
5.
L
og
o,
((
p
→
q)
∧
(p
→
¬q
))
→
¬p
e´
u
m
a
p
ro
p
os
ic¸
a˜o
.
F
a´c
il
,
n
e´
?
3
L
o´g
ic
os
ch
am
am
L(
A
t)
d
e
li
n
g
u
a
g
e
m
p
ro
p
o
si
ci
o
n
a
l
co
n
st
ru´
ıd
a
a
p
ar
ti
r
d
e
A
t.
N
ot
e
q
u
e
L(
A
t)
d
ep
en
d
e
so´
d
e
A
t,
p
oi
s
os
s´ı
m
b
ol
os
re
st
an
te
s
–
co
n
ec
ti
vo
s
e
p
ar
eˆn
te
se
s
–
sa˜
o
co
m
u
n
s
a
to
d
a
li
n
gu
ag
em
p
ro
p
os
ic
io
n
al
.
E´
cl
ar
o
q
u
e
al
fa
b
et
os
d
is
ti
n
to
s
d
a˜o
li
n
gu
ag
en
s
d
if
er
en
te
s.
A
go
ra
q
u
e
te
m
os
li
n
gu
ag
en
s
fo
rm
ai
s,
d
ev
em
os
d
is
cu
ti
r
a
su
a
in
te
rp
re
ta
c¸a˜
o,
is
to
e´,
o
q
u
e
es
ta
s
ex
p
re
ss
o˜e
s
fo
rm
ai
s
q
u
er
em
d
iz
er
.
E
st
a
e´
a
ta
re
fa
d
a
se
m
aˆ
n
ti
ca
,
a
te
or
ia
d
o
si
gn
ifi
ca
d
o.
F
ar
em
os
is
to
n
a
p
o´x
im
a
se
c¸a˜
o.
Q
u
er
em
os
te
rm
in
ar
es
ta
se
c¸a˜
o
in
tr
o
d
u
zi
n
d
o
u
m
s´ı
m
b
ol
o
fo
rm
al
p
ar
a
a
“e
q
u
iv
al
eˆn
ci
a”
ou
o
fa
m
os
o
“s
e
e
so
m
en
te
se
”.
S
e
P
e
Q
sa˜
o
p
ro
p
os
ic¸
o˜e
s,
d
efi
n
im
os
P
↔
Q
co
m
o
ab
re
v
ia
c¸a˜
o
d
e
(P
→
Q
)
∧
(Q
→
P
).
A
ss
im
,
a
eq
u
iv
al
eˆn
ci
a
e´
d
efi
n
id
a
co
m
o
a
co
n
ju
n
c¸a˜
o
d
e
(P
im
p
li
ca
Q
)
e
(Q
im
p
li
ca
P
).
N
a
p
ro´
x
im
a
se
c¸a˜
o
d
ar
em
os
ex
em
p
lo
s
im
p
or
ta
n
te
s
d
es
te
ti
p
o
d
e
p
ro
p
os
ic¸
a˜o
.
2
.3
In
te
rp
re
ta
c¸
o˜
e
s.
L
e
is
L
o´
g
ic
a
s
T
ra
ta
re
m
os
aq
u
i
d
a
in
te
rp
re
ta
c¸a˜
o
d
e
u
m
a
li
n
gu
ag
em
p
ro
p
os
ic
io
n
al
.
C
om
o
en
te
n
d
em
os
u
m
a
afi
rm
ac¸
a˜o
es
cr
it
a
em
L(
A
t)
?
E
q
u
ai
s
as
le
is
lo´
gi
ca
s
q
u
e
re
ge
m
ta
l
in
te
rp
re
ta
c¸a˜
o
?
19
F
ix
em
os
,
p
oi
s,
u
m
a
li
n
gu
ag
em
p
ro
p
os
ic
io
n
al
L(
A
t)
.
Q
u
an
d
o
n
a˜o
h
ou
ve
r
p
os
si
b
il
id
ad
e
d
e
co
n
fu
sa˜
o,
va
m
os
in
d
ic
a´-
la
si
m
p
le
sm
en
te
p
or
L
(a
s
p
ro
p
os
ic¸
o˜e
s
at
oˆm
ic
as
fi
ca
ra˜
o
su
b
en
te
n
d
id
as
).
P
ar
a
ex
p
li
ca
rm
os
o
q
u
e
u
m
a
ex
p
re
ss
a˜o
d
e
L
si
gn
ifi
ca
e´
n
ec
es
sa´
ri
o
in
te
rp
re
ta´
-l
a
em
al
gu
m
co
n
te
x
to
.
In
te
rp
re
ta
r
u
m
a
ex
p
re
ss
a˜o
d
e
L
e´
u
m
m
o
d
o
d
e
m
ed
ir
o
“g
ra
u
d
e
ve
ra
ci
d
ad
e”
d
es
ta
ex
p
re
ss
a˜o
n
u
m
ce
rt
o
co
n
te
x
to
.
C
om
o
es
ta
m
os
co
n
st
ru
in
d
o
u
m
a
te
or
ia
m
a
te
m
a´
ti
ca
d
a
L
o´g
ic
a,
e´
n
at
u
ra
l
q
u
e
u
ti
li
ze
m
os
ob
je
to
s
m
at
em
a´t
ic
os
p
ar
a
es
te
p
ro
p
o´s
it
o.
O
m
o
d
o
m
at
em
a´t
ic
o
d
e
fa
ze
r
is
so
e´
u
sa
n
d
o
co
n
ju
n
to
s
:
fi
x
am
os
u
m
co
n
ju
n
to
U
e
as
so
ci
-
am
os
,
a
ca
d
a
se
n
te
n
c¸a
,
u
m
su
b
co
n
ju
n
to
d
e
U
,
q
u
e
d
a´
ju
st
am
en
te
o
se
u
“g
ra
u
d
e
co
n
fi
ab
il
id
ad
e”
.
F
or
m
al
m
en
te
,
te
m
os
a
se
gu
in
te
D
e
fi
n
ic¸
a˜
o
2
.5
:
S
ej
a
L
u
m
a
li
n
gu
ag
em
pr
op
os
ic
io
n
al
e
U
u
m
co
n
ju
n
to
.
U
m
a
in
te
rp
re
ta
c¸
a˜
o
de
L
e
m
U
e´
u
m
a
fu
n
c¸a˜
o
[·
] U
:
L
−→
P(
U
),
P
7→
[P
] U
,
sa
ti
sf
az
en
do
a`s
se
gu
in
te
s
pr
op
ri
ed
ad
es
,
pa
ra
qu
ai
sq
u
er
p
ro
po
si
c¸o˜
es
P
e
Q
em
L:
1.
[P
∧
Q
] U
=
[P
] U
∩
[Q
] U
;
2.
[P
∨
Q
] U
=
[P
] U
∪
[Q
] U
;
3.
[¬
P
] U
=
([
P
] U
)c
;
4.
[P
→
Q
] U
=
([
P
] U
)c
∪
[Q
] U
.
O
su
bc
on
ju
n
to
[P
] U
de
n
om
in
a-
se
a
in
te
rp
re
ta
c¸
a˜
o
d
a
p
ro
p
o
si
c¸
a˜
o
PP P
e
m
UU U
.
Q
u
an
do
o
co
n
ju
n
to
U
es
ti
ve
r
cl
ar
o
n
o
co
n
te
xt
o,
de
ix
ar
em
os
de
u
sa´
-l
o
n
a
n
ot
ac¸
a˜o
,
es
cr
ev
en
do
[P
]
pa
ra
a
in
te
rp
re
ta
c¸a˜
o
da
pr
op
os
ic¸
a˜o
P
em
U
.
A
ss
im
,
d
ad
a
u
m
a
p
ro
p
os
ic¸
a˜o
P
em
L,
p
o
d
em
os
p
en
sa
r
em
[P
] U
⊆
U
co
m
o
u
m
a
m
ed
id
a
d
e
q
u
an
to
P
e´
ve
rd
ad
ei
ra
.
E
m
p
ar
ti
cu
la
r,
∗[
P
] U
=
U
si
gn
ifi
ca
–
e´
cl
ar
o
!
–
q
u
e
P
e´
ve
rd
ad
ei
ra
n
es
ta
in
te
rp
re
ta
c¸a˜
o,
en
q
u
an
to
q
u
e
∗[
P
] U
=
∅q
u
er
d
iz
er
q
u
e
e´
fa
ls
a,
n
es
ta
in
te
rp
re
ta
c¸a˜
o.
M
as
ta
m
b
e´m
e´
cl
ar
o
q
u
e
o
va
lo
r
[P
] U
p
o
d
e,
em
ge
ra
l,
se
r
u
m
su
b
co
n
ju
n
to
p
ro´
p
ri
o
e
n
a˜o
va
zi
o
d
e
U
.
N
es
te
ca
so
,
P
n
em
e´
fa
ls
a
n
em
ve
rd
ad
ei
ra
,
m
as
co
n
ti
n
ge
n
te
re
la
ti
va
m
en
te
a`
in
te
rp
re
ta
c¸a˜
o
co
n
si
d
er
ad
a.
A
ex
p
er
ieˆ
n
ci
a
co
n
cr
et
a
es
ta´
re
p
le
ta
d
e
ex
em
p
lo
s
d
e
afi
rm
ac¸
o˜e
s
d
es
te
ti
p
o.
20
U
m
a
ve
z
q
u
e
te
m
os
os
va
lo
re