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Capítulo 6 1. Para evitar que as caixas deslizem, é preciso que a desaceleração a seja menor ou igual à força máxima de atrito (Eq. 6-1, com FN = mg neste caso). De acordo com a Segunda Lei de Newton, temos: a = fs,max /m = μsg . A distância pode ser calculada com o auxílio da Eq. 2-16: x - x0 = v2/2a = 36 m. Antes de realizar este cálculo, é preciso converter a velocidade de 48 km/h para 13 m/s. 2. Aplicando a Segunda Lei de Newton ao movimento horizontal, temos F – μkmg = ma, em que usamos a Eq. 6-2, supondo que FN = mg (o que equivale a desprezar a força vertical exercida pela vassoura). A Eq. 2-16 relaciona a distância percorrida à velocidade final e à aceleração: v2 = 2a(x - x0). Substituindo os valores conhecidos de v e (x - x0), obtemos a = 1,4 m/s2. Voltando à equação da força, obtemos (para F = 25 N e m = 3,5 kg) um valor para o coeficiente de atrito cinético μk = 0,58. 3. PENSE Como existe atrito entre a cômoda e o piso, a cômoda só começa a se mover se a força horizontal aplicada for maior que um determinado valor. FORMULE A figura mostra o diagrama de corpo livre da cômoda. Va- mos chamar de F a força horizontal aplicada à cômoda, de sf a força de atrito estático, de NF a força normal exercida pelo piso, e de mg a força gravitacional. Aplicando a segunda lei de Newton às componentes x e y do movimento, obtemos as equações respectivamente. A segunda equação nos dá a força normal FN = mg. Como, de acordo com a Eq. 6-1, fs,máx = μsFN, a primeira equação se torna em que fizemos a = 0 para levar em conta o fato de que a força de atrito estático ainda é capaz de equilibrar a força aplicada, embora esteja prestes a ser superada. ANALISE (a) Para μs = 0,45 e m = 45 kg, a equação anterior nos dá Para colocar a cômoda em movimento, é preciso aplicar uma força horizontal maior que esse valor. Arredondando para dois alga- rismos significativos, podemos dizer que a força mínima necessária para fazer a cômoda entrar em movimento é F = 2,0 H 102 N. (b) Substituindo m = 45 kg por m = 45 - 17 = 28 kg, obtemos F = 1,2 H 102 N, o mesmo raciocínio do item (a). APRENDA Os valores aqui calculados representam a força mínima necessária para vencer o atrito estático. Uma vez vencido o atrito estático, o corpo entrará em movimento e a força de atrito passará a ser a força de atrito cinético, que é menor que a força de atrito estático. Assim, se o valor da força aplicada permanecer o mesmo, o corpo sofrerá aceleração. 4. O diagrama a seguir mostra as forças que agem sobre o porco. O ângulo de inclinação da rampa é θ. M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R 1 9 3 Aplicando a Segunda Lei de Newton aos eixos x e y, temos: sen cos 0. k N mg f ma F mg θ θ − = − = Resolvendo esse sistema de equações e usando a Eq. 6-2 (fk = μkFN), temos: ( )sen cos .ka g θ µ θ= − Para calcular o tempo que o porco leva para percorrer uma distância l, usamos a Eq. 2-15: = + ⇒ =v t at t a0 21 2 2 . Chamando de tʹ o tempo que o porco leva para percorrer a mesma distância l em uma rampa sem atrito e de aʹ a aceleração correspondente, temos: 2 / 2 / t a a t aa ′ = = ′ ′ o que nos leva a concluir que se t/tʹ = 2, aʹ = 4a. Como, de acordo com a Segunda Lei de Newton, aʹ = g sen θ, temos: ( )sen 4 sen cos .kg gθ θ µ θ= − Resolvendo a equação acima para θ = 35°, obtemos μk = 0,53. 5. Além das forças mostradas na Fig. 6-17, um diagrama de corpo livre incluiria uma força normal para cima NF exercida pela superfície sobre o bloco, uma força gravitacional mg para baixo exercida pela Terra sobre o bloco, e uma força de atrito cinético ou estático horizontal f . Escolhemos o sentido do eixo x como positivo para a direita e o do eixo y como positivo para cima. Aplicando a Segunda Lei de Newton a esses eixos, obtemos: 0N F f ma P F mg − = + − = em que F = 6,0 N e m = 2,5 kg é a massa do bloco. (a) Nesse caso, P = 8,0 N e FN = (2,5 kg)(9,8 m/s2) – 8,0 N = 16,5 N. De acordo com a Eq. 6-1, isso significa que ,max 6,6 Ns s Nf Fµ= = , que é maior que a força de 6,0 N para a direita. Assim, o bloco, que estava inicialmente em repouso, permanece em repouso. Fazendo a = 0 na primeira equação, obtemos uma força de atrito estático f = P = 6,0 N. (b) Nesse caso, P = 10 N e FN = (2,5 kg)(9,8 m/s2) – 10 N = 14,5 N. De acordo com a Eq. 6-1, isso significa que ,max 5,8 Ns s Nf Fµ= = , que é menor que a força de 6,0 N para a direita. Assim, o bloco entra em movimento e passamos a ter um atrito cinético entre o bloco e a superfície, que, de acordo com a Eq. 6-2, é dado por 3,6 N.k k Nf Fµ= = (c) Nesse caso, P = 12 N, FN = 12,5 N e ,max 5,0 Ns s Nf Fµ= = , que, como era de se esperar, é menor que a força de 6,0 N para a direita. Assim, o bloco entra em movimento e a força de atrito cinético é 3,1 N.k k Nf Fµ= = máx máx máx 1 9 4 M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R 6. A figura mostra o diagrama de corpo livre do jogador. NF é a força normal que o campo exerce sobre o jogador, mg é a for- ça da gravidade e f é a força de atrito. A força de atrito está relacionada à força normal através da equação f = μkFN. Usamos a Segunda Lei de Newton, aplicada ao eixo vertical, para determinar a força normal. Como a componente vertical da aceleração é zero, FN – mg = 0 e FN = mg. Assim, 2 470 N 0,61. (79 kg)(9,8 m/s )k N f F µ = = = 7. PENSE Uma força está sendo usada para acelerar um caixote na presença de atrito. Podemos usar a segunda lei de Newton para calcular a aceleração. FORMULE A figura mostra o diagrama de corpo livre do caixote. Vamos chamar de F a força horizontal que a pessoa exerce sobre o caixote, de f k a força de atrito cinético, de NF a força normal exercida pelo piso, e de mg a força gravitacional. O mó- dulo da força de atrito é dado pela Eq. 6-2: fk = μkFN. Aplicando a segunda lei de Newton às componentes x e y do movimento, obtemos as equações respectivamente. ANALISE (a) Como, de acordo com a segunda equação, a força normal é FN = mg, a força de atrito cinético é (b) Substituindo fk pelo seu valor na primeira equação, obtemos o que nos dá APRENDA Para que o caixote seja acelerado, a condição k kF f mgµ> = deve ser satisfeita. Como mostra a equação anterior, para a mesma força aplicada, quanto maior o valor de ,kµ menor a aceleração. M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R 1 9 5 8. Para manter a pedra em movimento, é preciso que exista uma força horizontal (no sentido +x) para cancelar o efeito do atrito cinético. Aplicando a Segunda Lei de Newton aos eixos x e y, temos: 0 k N F f ma F mg − = − = A segunda equação nos dá FN = mg, de modo que, de acordo com a Eq. 6-2, fk = μk mg. Assim, a primeira equação se torna 0kF mg maµ− = = em que fizemos a = 0 porque estamos supondo que a velocidade horizontal da pedra é constante. Para m = 20 kg e μk = 0,80, obtemos F = 1,6 H 102 N. 9. Escolhemos um eixo +x horizontal para a direita, um eixo +y vertical para cima e observamos que as componentes da força aplicada são Fx = F cos θ e Fy = – F sen θ. (a) Aplicando a Segunda Lei de Newton ao eixo y, temos: o 2sen 0 (15 N)sen 40 (3,5 kg)(9,8 m/s ) 44 N.N NF F mg Fθ− − = ⇒ = + = Para μk = 0,25, a Eq. 6-2 nos dá fk = 11 N. (b) Aplicando a Segunda Lei de Newton ao eixo x, temos: o 2(15 N)cos 40 11 Ncos 0,14 m/s 3,5 kgk F f ma aθ −− = ⇒ = = Como o resultado é positivo, o bloco acelera para a direita. 10. (a) O diagrama de corpo livre do bloco é mostrado na figura a seguir, em que F é a força aplicada, NF é a força normal, mg é a força da gravidade e f é a força de atrito. Escolhemos um eixo +x horizontal para a direita e um eixo +y vertical para cima. Aplicando a Segunda Lei de Newton aos eixos x e y, temos: cos sen 0 x y N F F f ma F F F mg θ θ = − = = + − = Como f = μkFN, e a segunda equação nos dá FN = mg – F sen θ, ( sen )kf mg Fµ θ= − . Substituindo fpor essa expressão na primeira equação, obtemos F cos θ – μk (mg – F sen θ) = ma, e, portanto, (cos sen ) .k k Fa g m θ µ θ µ= + − (a) Para 0,600sµ = e 0,500,kµ = o módulo de f tem um valor máximo ,max (0,600)( 0,500 sen 20 ) 0,497 .s s Nf F mg mg mgµ= = − ° =máx 1 9 6 M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R Por outro lado, cos 0,500 cos 20 0,470 .F mg mgθ = ° = Assim, ,maxcos sF fθ < e o bloco permanece parado. (b) Para 0,400sµ = e 0,300,kµ = o módulo de f tem um valor máximo ,max (0, 400)( 0,500 sen 20 ) 0,332 .s s Nf F mg mg mgµ= = − ° = Nesse caso, ,maxcos 0,500 cos 20 0,470 .sF mg mg fθ = ° = > Assim, o bloco sofre uma aceleração dada por 2 o o 2 2 (cos sen ) (0,500)(9,80 m/s )[cos 20 (0,300)sen 20 ] (0,300)(9,80 m/s ) 2,17 m/s k k Fa g m θ µ θ µ= + − = + − = 11. PENSE Como o caixote está sendo submetido a uma força que não é horizontal nem vertical, precisamos analisar o movimento ao longo dos eixos x e y. FORMULE A figura mostra o diagrama de corpo livre do caixote, em que T é a força exercida pela corda, NF é a força normal, mg é a força gravitacional e f é a força de atrito. Vamos tomar o sentido positivo do eixo x como para a direita e o sentido positivo do eixo y como para cima. Vamos supor também que o caixote está inicialmente em repouso. Aplicando a segunda lei de Newton às componentes x e y do movimento, obtemos, respectivamente, em que θ é o ângulo entre a corda e a horizontal. A primeira equação nos dá cosf T θ= e a segunda equação nos dá FN = mg – T sen θ. Para que o caixote permaneça em repouso, devemos ter f < μsFN, ou seja, T cos θ < μs (mg – T sen θ). Quando a força aplicada pela corda está prestes a colocar o caixote em movimento, T cos θ = μs (mg – T sen θ). ANALISE (a) Explicitando a tração da corda na equação anterior, obtemos (b) As equações da segunda lei de Newton para o caso do caixote em movimento são Uma vez que f = μkFN, e a segunda equação nos dá FN = mg - T sen θ, a força de atrito é fornecida por f = μk(mg - T sen θ). Subs- tituindo f pelo seu valor na primeira equação, obtemos e, portanto, a aceleração é máx máx M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R 1 9 7 APRENDA Fazendo θ = 0 nessa equação, obtemos as expressões já conhecidas para uma força horizontal, sT mgµ= e ( ) /ka T mg mµ= − . 12. Como não há aceleração, a soma das forças de atrito estático (que são quatro, uma para cada polegar e uma para cada conjunto dos outros quatro dedos) é igual à força da gravidade. Assim, de acordo com a Eq. 6-1, temos: 24 (79 kg)(9,8 m/s )s NF mgµ = = que, para μs = 0,70, nos dá FN = 2,8 H 102 N. 13. Chamamos de F o módulo da força exercida pelo operário. O módulo da força de atrito estático pode variar de 0 a fs,máx ,maxs s Nf Fµ= . (a) Nesse caso, aplicando a Segunda Lei de Newton na direção vertical, temos NF mg= . Assim, fs,máx 2 ,max (0,37)(35 kg)(9,8 m/s ) 127 N.s s N sf F mgµ µ= = = = (b) O engradado não se move, já que F = 110 N < fs,máx = 127 N. (c) Aplicando a Segunda Lei de Newton na direção horizontal, temos fs = F = 110 N. (d) Chamando a força para cima exercida pelo segundo operário de F2 e aplicando a Segunda Lei de Newton na direção vertical, obtemos FN = mg – F2, o que nos dá fs,máx ,max 2( )s s N sf F mg Fµ µ= = − . Para que o engradado se mova, F deve satisfazer a condição F > fs,máx = μs (mg – F2) o que nos dá 2 2110 N (0,37) (35 kg)(9,8 m/s ) .F > − Como o menor valor de F2 que satisfaz essa desigualdade é um valor ligeiramente maior que 45,7 N, podemos dizer que F2, mín = 46 N. (e) Nesse caso, a força horizontal total tem que ser maior que o valor de fs,máx calculado no item (a), ou seja, 2 , max 2110 N 127 NsF F f F+ > ⇒ + > fs,máx 2 , max 2110 N 127 NsF F f F+ > ⇒ + > o que nos dá F2, mín = 17 N. 14. (a) Vamos supor que o bloco está em repouso e que o ângulo de mergulho tem o valor θmáx para o qual a força de atrito estático é a maior possível, fs,máx. Aplicando a Segunda Lei de Newton na direção paralela e na direção perpendicular à encosta, temos: max ,max max sen 0 cos 0 s N mg f F mg θ θ − = − = Resolvendo o sistema de equações acima e usando a Eq. 6-1, fs,máx = μsFN, obtemos: θmáx 1 1max tan tan 0,63 32 .sθ µ − −= = ≈ ° Como esse ângulo é maior que o ângulo de mergulho dado (24o), o bloco não desliza. (b) Aplicando novamente a Segunda Lei de Newton, obtemos: ,maxsen 0 cos 0 F mg f F mg + − = − = fs,máx fs,máx θmáx θmáx 1 9 8 M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R Resolvendo o sistema de equações acima, usando a Eq. 6-1 (fs, máx = μsFN) e fazendo 24θ = ° e m = 1,8 H 107 kg, obtemos: ( ) 7cos sen 3,0 10 N.sF mg µ θ θ= − = × 15. De acordo com o resultado obtido no item (a) do problema anterior, 1 1tan tan 0,04 2 .sθ µ − −= = ≈ ° 16. (a) Nesta situação, supomos que sf aponta ladeira acima e está com o valor máximo, s NFµ . Aplicando a Segunda Lei de Newton a um objeto de massa m, nas direções paralela e perpendicular à encosta, temos: min1 sen 0 cos 0 s N N F mg F F mg θ µ θ − + = − = Resolvendo o sistema de equações acima, obtemos: Fmín 1 = mg(sen θ – μs cos θ) que, para m = P/g = 8,2 kg, θ = 20° e μs = 0,25, nos dá Fmín 1 = 8,6 N. (b) A única diferença em relação ao item anterior é que agora supomos que sf aponta ladeira abaixo. Nesse caso, o sistema de equações é Fmín 2 – mg sen θ – μs FN = 0 FN – mg cos θ = 0 Resolvendo o sistema de equações acima, obtemos Fmín 2 ( )min 2 sen cos 46 N.sF mg θ µ θ= + = Na verdade, será necessário um valor ligeiramente maior que o valor calculado para fazer o trenó começar a subir a ladeira. (c) Como agora estamos lidando com o atrito cinético (que aponta para baixo), o sistema de equações se torna sen cos 0 k N F mg f ma F mg θ θ − − = − = Resolvendo o sistema de equações acima, obtemos (sen cos )kF mg θ µ θ= + que, para m = P/g = 8,2 kg, θ = 20° e μk = 0,15, nos dá F = 39 N. 17. Se o bloco começar a se mover, a força de atrito será a força de atrito cinético, dada pela Eq. 6-2; se permanecer em repouso, será a força de atrito estático, de módulo igual à soma do módulo da força P com a componente do peso do bloco paralela à su- perfície do plano inclinado. Antes de mais nada, portanto, é preciso saber se o bloco vai se mover quando a força P for aplicada, o que depende da força máxima de atrito estático, dada pela Eq. 6-1. Para calcular essa força, aplicamos a Segunda Lei de Newton na direção perpendicular à superfície do plano inclinado, o que nos dá cos 0NF P θ− = em que P = 45 N é o peso do bloco e θ = 15° é o ângulo do plano inclinado. Assim, FN = 43,5 N, o que significa que a força máxima de atrito estático é fs,max = (0,50) (43,5 N) = 21,7 N. mín1 máx M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R 1 9 9 (a) Para ˆ( 5,0 N)iP = − , a Segunda Lei de Newton, aplicada à direção paralela à superfície do plano inclinado, nos dá | | sen .f P mg maθ− − = Ao escrever essa equação, estamos supondo que a força f aponta para cima; se a força apontar para baixo, o valor obtido para f será negativo. Se f = fs, a = 0 e a equação se torna fs = | P | + mg senθ = 5,0 N + (43,5 N)sen15° = 17 N. Como sf é menor que fs, max, o bloco permanece em repouso e a força de atrito é ˆ(17 N)isf = . (b) Para ˆ( 8,0 N)iP = − , obtemos (usando a mesma equação) fs = 20 N, que também é menor que fs, máx, de modo que o bloco permanece em repouso e a força de atrito é ˆ(20 N)isf = . (c) Para ˆ( 15 N)iP = − , obtemos (usando a mesma equação) fs = 27 N, que é maior que fs, máx. A conclusão é que, nesse caso, o bloco entre em movimento e temos que usar o coeficiente de atrito cinético em vez do coeficiente de atrito estático. O resultado é o seguinte: ˆ ˆ ˆi (0,34)(43,5 N) i (15 N) ik k Nf Fµ= = = . 18. (a) Aplicando a Segunda Lei de Newton ao carro A na direção “ladeira abaixo”, temos:mg senθ – f = ma em que, de acordo com a Eq. 6-11, f = fk =μkFN =μk mg cosθ Assim, com μk = 0,600, temos: a = gsenθ – μk cosθ = –3,72 m/s2 o que significa, como escolhemos como sentido positivo o sentido “ladeira abaixo”, que o vetor aceleração aponta “ladeira acima”, ou seja, que a velocidade do carro A estava diminuindo. Para 0 18,0 m/sv = e (x – x0) = d = 24,0 m, a Eq. 2-16 nos dá 2 0 2 12,1 m/s.v v ad= + = (b) Nesse caso, a aceleração calculada é a = +1,1 m/s2 e a velocidade no momento do choque é 19,4 m/s. 19. (a) A figura mostra o diagrama de corpo livre do bloco. F é a força aplicada, NF é a força normal que a parede exerce sobre o bloco, f é a força de atrito e mg é a força da gravidade. Para verificar se o bloco vai 2 0 0 M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R se mover, calculamos o módulo f da força de atrito necessária para mantê-lo em repouso e calculamos também o módulo da força normal FN que a parede exerce sobre o bloco. Se f < μsFN, o bloco permanece em repouso, mas se f > μsFN, o bloco desliza para baixo. Como não existe aceleração na direção horizontal, F – FN = 0, FN = F = 12 N e μsFN = (0,60)(12 N) = 7,2 N. Na direção vertical, para que f – mg = 0, f = mg = 5,0 N. Como f < μsFN, o bloco não se move. (b) Como o bloco não se move, f = 5,0 N e FN = 12 N. A força que a parede exerce sobre o bloco é ˆ ˆ ˆ ˆi j (12 N)i (5,0 N) jp NF F f= − + = − + em que os eixos são os que aparecem na Fig. 6-26 do livro. 20. Tratando as duas caixas como um único sistema de massa total mC + mW =1,0 + 3,0 = 4,0 kg, sujeito a uma força de atrito total (para a esquerda) de módulo 2,0 N + 4,0 N = 6,0 N, aplicamos a Segunda Lei de Newton (com o sentido positivo do eixo x para a direita): total total 12,0 N 6,0 N (4,0 kg) ,F f m a a− = ⇒ − = o que nos dá uma aceleração a = 1,5 m/s2. Tratamos a força F como se fosse conhecida com precisão de décimos de newton, de modo que a aceleração foi calculada com dois algarismos significativos. Aplicando a Segunda Lei de Newton apenas à caixa maior (a caixa de Wheaties, de massa mW = 3,0 kg) e chamando de F ′ a força de contato que a caixa de Cheerios exerce sobre a caixa de Wheaties, temos: 2 W W 4,0 N (3,0 kg)(1,5 m/s )F f m a F′ ′− = ⇒ − = , o que nos dá F’ = 8,5 N. 21. Vamos usar o mesmo sistema de coordenadas da Fig. 6-4 do livro. (a) Aplicando a Segunda Lei de Newton aos eixos x e y, temos: : cos : sen 0 N x T f ma y T F mg θ θ − = + − = Fazendo a = 0 e f = fs,máx = μsFN, calculamos a massa total do sistema caixa + areia (em função do ângulo θ): cos sen s Tm g θθ µ = + que é a função que deve ser maximizada (para calcular o ângulo μm que permite puxar a maior quantidade possível de areia). Derivando a equação acima em relação a θ, temos: sen cos 0mm s dm T d g θ θ θ µ = − = o que nos dá tan θm = μs. Para 0,35sµ = , θm = tan–1(0,35) = 19o. (b) Substituindo o valor de μm calculado no item (a) na equação de m, obtemos m = 340 kg, o que corresponde a um peso de (340 kg)(9,80 m/s2) = 3,3 H 103 N. 22. A figura mostra o diagrama de corpo livre do trenó, em que F é a força aplicada, NF é a força normal, mg é a força da gra- vidade e f é a força do atrito. Tomamos o eixo x paralelo à superfície do plano inclinado e o eixo y perpendicular à superfície. Aplicando a Segunda Lei de Newton aos eixos x e y, temos: : cos : sen 0 N x T f ma y T F mg θ θ − = + − = M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R 2 0 1 sen 0 cos 0N F f mg F mg θ θ − − = − = Como f = μFN, e a segunda equação nos dá FN = mg cos θ, cosf mgµ θ= . Substituindo f por seu valor na primeira equação, obtemos (sen cos ).F mg θ µ θ= + De acordo com o gráfico da Fig. 6-28, 2,0 NF = para 0µ = . Isso significa que sen 2,0 N.mg θ = Vemos também que 5,0 NF = para 0,5µ = , o que nos dá: 5,0 N (sen 0,50cos ) 2,0 N 0,50 cos ,mg mgθ θ θ= + = + ou seja, cos 6,0 N.mg θ = Combinando os dois resultados, obtemos 2 1 tan 18 . 6 3 θ θ= = ⇒ = ° 23. Vamos chamar a tensão da corda que liga o bloco 1 ao bloco 2 de T12 e a tensão da corda que liga o bloco 2 ao bloco 3 de T23. Aplicando a Segunda Lei de Newton (e a Eq. 6-2, FN = m2g neste caso) ao sistema como um todo, temos: 3 23 3 23 2 12 2 12 1 1 k m g T m a T m g T m a T m g m a µ − = − − = − = Somando as três equações e fazendo 1 2 3e 2m M m m M= = = , temos: 2Mg – 2μk Mg – Mg = 5Ma . Para a = 0,500 m/s2 essa equação nos dá μk = 0,372. Assim, o coeficiente de atrito cinético é, aproximadamente, μk = 0,37. 24. Podemos calcular a aceleração a partir da inclinação do gráfico da Fig. 6-30: a = 4,5 m/s2. De acordo com a Segunda Lei de Newton, F – μk mg = ma, em que F = 40,0 N é a força horizontal constante aplicada. Para m = 4,1 kg, obtemos μk = 0,54. 25. PENSE Para que o sistema permaneça em repouso, é preciso que a força de atrito entre o bloco B e a superfície da mesa seja igual à força exercida pela corda sobre o bloco B. FORMULE A figura adiante mostra os diagramas de corpo livre do bloco B e do nó verticalmente acima do bloco A. 1 T é a força de tração que a corda 1 exerce sobre o bloco B e sobre o nó, 2 T é a força de tração que a corda 2 exerce sobre o nó, f é a força de atrito estático que a superfície da mesa exerce sobre o bloco B, NF é a força normal que a superfície da mesa exerce sobre o bloco B, m gA é a força que a corda 3 exerce sobre o nó, e m gB é a força gravitacional a que está submetido o bloco B. 2 0 2 M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R Vamos tomar o sentido positivo do eixo x como para a direita e o sentido positivo do eixo y como para cima. Aplicando a segunda lei de Newton às componentes x e y do movimento do bloco B e fazendo o mesmo para as componentes do movimento do nó, obtemos o seguinte sistema de equações: em que WB = gmB é o peso do bloco B, e WA = gmA é o peso do bloco A. De acordo com as três primeiras equações anteriores e a Eq. 6-1, T1 = μsFN, FN = WB e T1 = T2 cos θ. ANALISE Substituindo os valores conhecidos na quarta equação e explicitando WA, obtemos APRENDA Como era esperado, o peso máximo do bloco A é proporcional ao peso do bloco B e ao coeficiente de atrito estático. Além disso, WA é proporcional a tanθ (quanto maior o ângulo, maior a componente vertical de 2T que sustenta o peso do bloco A). 26. (a) Aplicando a Segunda Lei de Newton ao sistema como um todo (com M = 60 kg) e usando a Eq. 6-2 (com FN = Mg neste caso), obtemos: F – μkMg = Ma ⇒ a= 0,473 m/s2. Aplicando a Segunda Lei de Newton apenas ao bloco 3, obtemos F32 = m3(a + μkg) = 147 N. Combinando os dois resultados, encontramos uma relação interessante: 32 3( / )F m M F= (que não depende do atrito!). (b) Como foi comentado no item anterior, o resultado não depende do atrito. Assim, o valor de F32 seria o mesmo do item (a). 27. Primeiro, vamos verificar se os blocos se movem. Supomos que permanecem em repouso e calculamos a força de atrito (es- tático) que os mantém em repouso, para compará-la com a força máxima de atrito estático μsFN. A figura mostra os diagramas de corpo livre dos dois blocos. M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R 2 0 3 T é o módulo da tensão da corda, f é o módulo da força de atrito que age sobre o bloco A, FN é o módulo da força normal que age sobre o bloco A, m gA é a força da gravidade que age sobre o bloco A (de módulo PA = 102 N) e m gB é a força da gravidade que age sobre o bloco B (de módulo PB = 32 N). θ = 40° é o ângulo do plano inclinado. Não conhecemos o sentido de f , mas vamos supor que é para baixo. Se obtivermos um sinal negativo, isso significará que o sentido de f é para cima. (a) No caso do bloco A, vamos tomar o eixo x encosta acima e o eixo y na direção da força normal. Aplicando a Segunda Lei de Newton aos eixos x e y, temos:sen 0 cos 0 A N A T f P F P θ θ − − = − = Tomando o sentido positivo como para baixo para o bloco B, a Segunda Lei de Newton nos dá 0 .BP T− = Resolvendo esse sistema de equações, obtemos sen 32 N (102 N)sen 40 34 NB Af P P θ= − = − °= − (o que mostra que a força de atrito é para cima) e cos (102 N)cos 40 78 NoN AF P θ= = = o que nos dá fs,max = μsFN = (0,56) (78 N) = 44 N. Como o módulo f da força de atrito que mantém os blocos em repouso é menor que fs,máx, os corpos permanecem em repouso. (b) Se o bloco A está subindo a rampa, a força de atrito é para baixo, com módulo k k Nf Fµ= . Aplicando a Segunda Lei de Newton aos mesmos eixos do item (a), obtemos: sen cos 0 k A A N A B B T f P m a F P P T m a θ θ − − = − = − = Resolvendo esse sistema de equações, obtemos: 2 2 sen cos 32 N (102 N)sen 40 (0,25)(102 N)cos 40 (32 N 102 N) / (9,8 m/s ) 3,9 m/s o o B A k A B A P P P a m m θ µ θ− − − − = = + + = A aceleração é para baixo: 2 ˆ( 3,9 m/s )ia = − . Isso significa (já que a velocidade inicial é para cima) que a velocidade dos blocos está diminuindo. Note que a relação m = P/g foi usada para calcular as massas usadas na equação acima. (c) Se o bloco A está descendo a rampa, a força de atrito é para cima, com módulo k k Nf Fµ= . Aplicando a Segunda Lei de Newton aos mesmos eixos dos itens (a) e (b), obtemos: sen cos 0 k A A N A B B T f P m a F P P T m a θ θ + − = − = − = o que nos dá 2 2 sen cos 32 N (102 N)sen 40 (0,25)(102 N)cos 40 (32 N 102 N) / (9,8 m/s ) 1,0 m/s o o B A k A B A P P P a m m θ µ θ− + − + = = + + = − 2 0 4 M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R A aceleração é para baixo: 2 ˆ( 1,0 m/s ) ia = − . Nesse caso, isso significa (já que a velocidade inicial é para baixo) que a velocidade dos blocos está aumentando. 28. A figura mostra os diagramas de corpo livre dos dois blocos. T é o módulo da tensão do fio, f é o módulo da força de atrito que age sobre o bloco A, FN é o módulo da força normal que a rampa exerce sobre o bloco A, m gA é a força da gravidade sobre o bloco A, m gB é a força da gravidade sobre o bloco B, e θ é o ângulo da rampa. No caso do bloco A, escolhemos um eixo x rampa acima e um eixo y na direção da força normal; no caso do bloco B, escolhemos um eixo y para baixo. Como o bloco A está descendo, a força de atrito é para cima, com módulo fk = μkFN. Aplicando a Segunda Lei de Newton aos blocos A e B, temos: sen 0 cos 0 0 k A N A B T f m g F m g m g T θ θ − + = − = − = Resolvendo esse sistema de equações, obtemos:. ( )sen cos 3,3 kg.B A km m θ µ θ= − = 29. (a) A figura mostra diagramas de corpo livre dos blocos A e C, considerados como um único objeto, e do bloco B. T é o módulo da tensão da corda, FN é o módulo da força normal que a mesa exerce sobre o bloco A, f é o módulo da força de atri- to, PAC é o peso total dos blocos A e C (o módulo da força g ACF mostrada na figura) e PB é o peso do bloco B (o módulo da força g BF mostrada na figura). Supomos que os blocos estão em repouso. Para os blocos que estão sobre a mesa, escolhemos um eixo x orientado para a direita e um eixo y orientado para cima. De acordo com a Segunda Lei de Newton, temos: componentes x: T – f = 0 componentes y: FN – WAC = 0. No caso do bloco B, escolhemos um eixo y orientado para baixo. Nesse caso, a Segunda Lei de Newton nos dá PB – T = 0. De acordo com a terceira equação, T = PB e, de acordo com a primeira, f = T. A segunda equação nos dá FN = PAC. Para que o sistema permaneça em repouso, f deve ser menor que μs FN , o que significa que PB < μs PAC. O menor valor que PAC pode ter sem que os blocos se movam é M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R 2 0 5 PAC = PB/μs = (22 N)/(0,20) = 110 N. Como o peso do bloco A é 44 N, o menor peso que o bloco C pode ter é (110 – 44) N = 66 N. (b) Se o bloco C é removido, as equações do item (a) se tornam T – f = (PA/g)a FN – WA = 0 PB – T = (PB/g)a. Além disso, f = μkFN. A segunda equação nos dá FN = PA, e, portanto, f = μkPA. A terceira equação nos dá T = PB – (PB/g)a. Substi- tuindo essas duas expressões na primeira equação, temos: PB – (PB/g)a – μkPA = (PA/g)a. Assim, ( ) ( )( )( )2 2(9,8 m/s ) 22 N 0,15 44 N 2,3 m/s . 44 N + 22 N B k A A B g P P a P P µ −− = = = + 30. Escolhemos um eixo x horizontal orientado para a direita e um eixo y vertical orientado para cima. Supomos que a massa da corda é desprezível, de modo que a força F exercida pela criança é igual à tensão da corda. As componentes x e y de F são Fcosθ e Fsenθ, respectivamente. A força de atrito estático aponta para a esquerda. (a) Aplicando a Segunda Lei de Newton ao eixo y e supondo que a aceleração vertical é nula, temos: sen 0NF F mgθ+ − = o que mostra que o atrito estático máximo é μs(mg – F sen θ). Supondo que fs = fs, máx, a aplicação da Segunda Lei de Newton ao eixo x (para o qual a aceleração também é nula se a caixa de brinquedos está na iminência de se mover), temos: cos cos ( sen ) 0.s sF f ma F mg Fθ θ µ θ− = ⇒ − − = Fazendo θ = 42° e μs = 0,42, obtemos F = 74 N. (b) Explicitando F e chamando de P o peso da caixa de brinquedos, temos: (0, 42)(180 N) 76 N . cos sen cos (0,42) sen cos (0,42) sen s s P F µ θ µ θ θ θ θ θ = = = + + + (c) Para determinar o valor de θ para o qual F é mínimo, derivamos a expressão obtida no item (b) em relação a θ e igualamos o resultado a zero: 2 (sen cos ) 0, (cos sen ) s s s WdF d µ θ µ θ θ θ µ θ − = = + o que nos dá θ = tan–1 μs = 23°. (d) Fazendo θ = 23° na expressão de F, com μs = 0,42 e P = 180 N, obtemos 70 NF = . 31. PENSE Este problema envolve dois blocos, ligados por uma corda, com diferentes coeficientes de atrito cinético, que deslizam para baixo em um plano inclinado. FORMULE A figura que se segue mostra os diagramas de corpo livre dos dois blocos. T é o módulo da força de tração da corda, NAF é a força normal que a superfície do plano inclinado exerce sobre o bloco A (o bloco da frente), NBF é a força normal que a superfície do plano inclinado exerce sobre o bloco B, f A é a força de atrito cinético que age sobre o bloco A, f B é a força de atrito cinético que age sobre o bloco B, mA é a massa do bloco A, mB é a massa do bloco B, e θ é o ângulo do plano inclinado. 2 0 6 M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R Vamos tomar o sentido positivo do eixo x como sendo para a direita e o sentido positivo do eixo y como sendo para cima. Apli- cando a segunda lei de Newton às componentes x e y do movimento dos blocos A e B, obtemos o seguinte sistema de equações: em que WA = gmA é o peso do bloco A, e WB = gmB é o peso do bloco B. Combinando essas equações com a Eq. 6-2 (que, no caso, nos dá fA = μkAFNA e fB = μkBFNB, podemos descrever o comportamento do sistema. ANALISE (a) De acordo com as equações anteriores, a aceleração dos blocos é (b) De acordo com as equações anteriores, a tração da corda é APRENDA A tração da corda é proporcional a μkB - μkA, a diferença entre os coeficientes de atrito cinético dos dois blocos. Quando os coeficientes são iguais (μkB = μkA), os blocos se movem de forma independente, e a tração da corda é zero. Quando o coeficiente do bloco da frente é maior que o coeficiente do bloco de trás (μkB < μkA), a tração da corda também é zero porque o bloco de trás desce mais depressa que o bloco da frente e, portanto, a corda permanece frouxa o tempo todo. Nesse caso, porém, as equações de movimento devem ser modificadas para levar em conta o fato de que as acelerações dos dois blocos são diferentes. 32. O diagrama de corpo livre do bloco é mostrado na figura. F é a força aplicada ao bloco, é a força normal que o piso exerce sobre o bloco, mg é a força da gravidade e f é a força de atrito. Tomamos o eixo x como horizontal, orientado paraa direita, e o eixo y como vertical, orientado para cima. Aplicando a Segunda Lei de Newton aos eixos x e y, temos: cos sen 0 x y N F F f ma F F F mg θ θ = − = = − − = M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R 2 0 7 Como f =μkFN e a segunda equação nos dá FN = mg + F sen θ, temos: ( sen )kf mg Fµ θ= + . Substituindo f por seu valor na primeira equação, obtemos F cos θ – μk (mg + F sen θ) = ma e, portanto, a aceleração é ( )cos senk k Fa g m θ µ θ µ= − − . De acordo com o gráfico, 23,0 m/sa = para 0kµ = . Isso nos dá 23,0 / cos . Fm s m θ= O gráfico também mostra que 0a = para 0,20kµ = e, portanto, 2 2 2 2 0 (cos (0,20)sen ) (0,20)(9,8 m/s ) 3,00 m/s 0,20 sen 1,96 m/s 1,04 m/s 0,20 sen F F m m F M θ θ θ θ = − − = − − = − o que nos dá 5,2 m/s2 = 25, 2 / senFm s m θ= . Combinando os dois resultados, obtemos 2 2 5, 2 m/s tan 1,73 60 . 3,0 m/s θ θ = = ⇒ = ° 33. PENSE Neste problema, como a força de atrito varia com a velocidade, precisamos usar uma integral para calcular a velocidade em função do tempo. FORMULE Vamos chamar o módulo da força de atrito de αv, em que α é uma constante, e supor que o barco está se movendo no sentido positivo do eixo de referência. Nesse caso, de acordo com a segunda lei de Newton, Integrando ambos os membros da equação anterior, obtemos em que v0 é a velocidade no instante em que o motor é desligado, e v é a velocidade no instante t. Resolvendo a integral, podemos calcular o tempo necessário para que a velocidade do barco diminua para 45 km/h, ou seja, para v0/2, já que v0 = 90 km/h. ANALISE Resolvendo a integral, obtemos a equação 2 0 8 M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R Para v = v0/2 e m = 1000 kg, temos APRENDA A velocidade do barco é dada por /0( ) t mv t v e α−= ; isso mostra que a velocidade diminui exponencialmente com o tempo. Quanto maior o valor de α, mais depressa a velocidade diminui com o tempo. 34. A figura mostra os diagramas de corpo livre da prancha e do bloco. F é a força aplicada ao bloco, NpF é a força normal aplicada à prancha pelo piso, NbF é o módulo da força normal entre a prancha e o bloco, f é a força de atrito entre a prancha e o bloco, mp é a massa da prancha e mb é a massa do bloco. Para os dois objetos, o eixo x é horizontal, orientado para a direita, e o eixo y é vertical, orientado para cima. Aplicando a Segunda Lei de Newton aos eixos x e y dos dois objetos, obtemos quatro equações: 0 0 p p Np Nb p b b Nb b f m a F F m g f F m a F m g − = − − = − = − = De acordo com a quarta equação, a maior força de atrito estático possível entre o bloco e a prancha é 2(0,60)(10 kg)(9,8 m/s ) 59 N .p Nb p bF m gµ µ= = = Vamos verificar se o bloco desliza sobre a prancha. Supondo que isso não aconteça, ap = ab (que vamos chamar simplesmente de a). Nesse caso, a força de atrito é (40 kg)(100 N) 80 N 40 kg 10 kg p p b m F f m m = = = + + que é maior que fs,máx. Isso mostra que o bloco desliza sobre a prancha, de modo que temos que usar o coeficiente de atrito cinético. (a) Fazendo f = μk NbF nas equações acima, temos: 2 2(0,40)(10 kg)(9,8 m/s ) 100 N 6,1 m/s . 10 kg k b b b m g F a m µ − − = = = − O sinal negativo mostra que a aceleração do bloco é para a esquerda, ou seja, M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R 2 0 9 2 ˆ( 6,1 m/s )i.ba = − (b) Temos também: 2 2(0,40)(10 kg)(9,8 m/s ) 0,98 m/s . 40 kg k b p p m g a m µ = − = − = − O sinal negativo mostra que a aceleração da prancha também é para a esquerda, ou seja, 2 ˆ( 0,98 m/s )i.pa = − 35. Os diagramas de corpo livre dos dois blocos são mostrados na figura a seguir. Fʹ é a força de contato entre os dois blocos e a força de atrito estático sf está com o valor máximo (de modo que, de acordo com a Eq. 6-1, fs = fs,máx = μsFʹ). Tratando os dois blocos como um sistema único (que desliza no piso sem atrito), usamos a Segunda Lei de Newton para obter uma expressão para a aceleração: total FF m a a m M = ⇒ = + Aplicando a Segunda Lei de Newton ao bloco m e substituindo a pelo valor calculado acima, obtemos as seguintes equações: ' ' 0 ' 0s s FF F ma F F m m M f mg F mgµ − = ⇒ = − + − = ⇒ − = Eliminando Fʹ nas equações acima, obtemos: F mg m m Ms = − + F HG I KJµ 1 = 24,9 10 N× . 36. Explicitando a área da seção reta efetiva na Eq. 6-16, obtemos a equação 2 2 g t F A C vρ = , segundo a qual a área é inversamente pro- porcional à velocidade ao quadrado. Assim, dividindo a área na posição de menor velocidade pela área de maior velocidade, temos: 2 2 menor maior 310 km/h 3,75. 160 km/h maior menor A v A v = = = 37. Na solução do Problema 8, vimos que a força do vento sobre a pedra teria que ser pelo menos F = 160 N para manter a pedra em movimento. (a) Fazendo F = D (a força de arrasto), podemos usar a Eq. 6-14 para calcular a velocidade do vento em relação ao solo (na verda- de, deveria ser a velocidade do vento em relação à pedra, mas a velocidade da pedra é tão pequena que a diferença é desprezível): 2 1 0 M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R 3 2 2 2(157 N) 90 m/s 320 km/h. (0,80)(1,21 kg/m )(0,040 m ) FV C Aρ = = = = (b) Multiplicando por 2 o resultado do item anterior, obtemos uma velocidade de 6,4 H 102 km/h. (c) Não, não é razoável. O vento de um furacão da categoria 5 (a maior de todas) é da ordem de 260 km/h. 38. (a) De acordo com a Eq. 6-14, 21 2 D C Avρ= em que C é o coeficiente de arrasto, ρ é a massa específica do ar, A é a seção reta efetiva do conjunto piloto + assento e v é a veloci- dade do avião no momento da ejeção. Como no enunciado é dito que o coeficiente de arrasto é o mesmo que o de um paraquedista, podemos escrever, com base na Eq. 6-16, 2 2 2gt t F mgv C A C A v ρ ρ = ⇒ = em que, de acordo com a Tabela 6-1, vt = 60 m/s no caso de um paraquedista. Substituindo na primeira equação, obtemos: 2 2 2 1 2 2 6060 mg vD v mg = = Convertendo a velocidade do avião para unidades do SI, temos: v = (1300)(1000)/3600 H 360 m/s. Supondo que a massa do piloto é 70 kg, obtemos: D = (70 kg)(9,8 m/s2)(360/60)2 ≈ 2 H 104 N. (b) Supondo que a massa do assento é igual à massa do piloto, a Segunda Lei de Newton nos dá 2 18 . 2 2 60 D g va g m = = = 39. No caso de um avião a jato, 21 12j jD C Avρ= , enquanto para um avião a hélice 21 22h hD C Avρ= , na qual 1ρ e representam a massa específica do ar a 10 km e 5,0 km de altitude, respectivamente. Assim, a razão pedida é ( )( ) ( )( ) 232 1 2 23 2 0,38 kg/m 1000 km/h 2,3. 0,67 kg/m 500 km/h j j h h D v D v ρ ρ = = = 40. (a) A força que age sobre o esquiador é [ ]2 sen sen cos (sen cos ) (85,0 kg)(9,80 m/s ) sen 40,0 (0,04000)cos 40,0 510 N. g NF mg F mg mg mgθ µ θ µ θ θ µ θ= − = − = − = °− ° = Assim, a velocidade terminal do esquiador é 3 2 2 2(510 N) 66,0 m/s. (0,150)(1,20 kg/m )(1,30 m ) g t F v C Aρ = = = (b) Derivando tv em relação a C, obtemos 3/2 3/2 3 2 2 21 1 2(510 N) (0,150) 2 2 (1,20 kg/m )(1,30 m ) (2, 20 10 m/s) . g t F dv C dC dC A dC ρ − −= − = − = − × M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R 2 1 1 41. De acordo com as Eqs. 4-35 e 6-23, temos: μs = (2πR/T )2/gR = 4π2R/gT 2. o que, para T = 6,0 s e R = 5,4 m, nos dá μs = 0,60. 42. O módulo da aceleração do carro ao fazer a curva é v2/R, na qual v é a velocidade do carro e R é o raio da curva. Como a curva não é compensada, apenas o atrito com a estrada torna possível essa aceleração. Aplicando a Segunda Lei de Newton à força de atrito, temos: f = mv2/R. Se FN é a força normal e m é a massa do carro, o equilíbrio de forças na direção vertical nos dá FN = mg. De acordo com a Eq. 6-1, o valor máximo do atrito estático é fs,max = μs FN = μsmg. Para que o carro não derrape, devemos ter f ≤ μsmg.Isso significa que 2 .s s v g v Rg R µ µ≤ ⇒ ≤ Assim, a velocidade máxima com a qual o carro pode fazer a curva sem derrapar é 2 max (0,60)(30,5 m)(9,8 m/s ) 13 m/s 48 km/h.sv Rgµ= = = ≈ 43. Usando o mesmo raciocínio do problema anterior, chegamos às relações 2 2 .s s v vg R R g µ µ ≤ ⇒ ≥ Assim, o raio mínimo da curva que o ciclista pode fazer sem derrapar é 2 2 min [(29)(1000) / 3600] 21 m. (0,32)(9,8)s vR gµ = = = 44. Para v = 96,6 km/h = 26,8 m/s, a Eq. 6-17 nos dá 2 2 2(26,8 m/s) 94,7 m/s 7,6 m va R = = = que podemos expressar em unidades de g: 2 2 94,7 m/s 9,7 . 9,80 m/s aa g g g g = = = 45. PENSE O movimento da roda-gigante é um movimento circular em um plano vertical; o peso aparente de um passageiro varia de forma periódica. FORMULE A figura a seguir mostra os digramas de corpo livre do estudante no ponto mais alto e no ponto mais baixo do per- curso da roda-gigante. 2 1 2 M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R No ponto mais alto do percurso, o assento exerce sobre o estudante uma força de módulo FN,a, enquanto a Terra exerce sobre o estudante uma força de módulo mg. De acordo com a segunda lei de Newton, No ponto mais baixo do percurso, o assento exerce sobre o estudante uma força de módulo FN,b, enquanto a Terra exerce sobre o estudante uma força de módulo mg. De acordo com a segunda lei de Newton, Supondo que a velocidade angular da roda-gigante é constante, o valor da força centrípeta Fc = mv2/R é constante. O peso aparente do estudante é FN. ANALISE (a) De acordo com o enunciado do problema, no ponto mais alto do percurso, FN,a = 556 N e mg = 667 N. Isso significa que o assento exerce sobre o estudante uma força menor que o seu peso e, portanto, ele se sente mais leve que o normal. (b) De acordo com o resultado do item (a), a força centrípeta é Assim, a força normal no ponto mais baixo do circuito é Isso significa que o assento exerce sobre o estudante uma força maior que o peso e, portanto, ele se sente mais pesado que o normal. (c) Se a velocidade for multiplicada por dois, a nova força centrípeta será Portanto, no ponto mais alto do percurso, (d) No ponto mais baixo do percurso, APRENDA O peso aparente do estudante é máximo no ponto mais baixo do percurso e mínimo no ponto mais alto. Se a velocidade tangencial da roda-gigante fosse ,v gR= FN,a = 0 e, portanto, o estudante se sentiria sem peso no ponto mais alto do percurso. 46. (a) Uma velocidade de 80,0 km/h equivale a aproximadamente 22,2 m/s em unidades do SI. A força horizontal que impede que a policial escorregue do assento é igual à força centrípeta (Eq. 6-18) e a força vertical é igual ao seu peso, mg. Assim, Fres = √(mg)2 + (mv2/R)2 = 547 N. (b) O ângulo é tan–1[(mv2/R)/(mg)] = tan–1(v2/gR)= 9,53º (em relação à vertical). 47. (a) De acordo com a Eq. 4-35, T = 2πR/v = 2π(10 m)/(6,1 m/s) = 10 s. M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R 2 1 3 (b) A situação é semelhante à do Problema 45. No ponto mais alto do percurso, FN = m(g – v2/R) = 486 N. (c) No ponto mais baixo do percurso, FN = m(g + v2/R) = 1081 N. 48. Como a situação é semelhante à do problema anterior (quando a roda-gigante está no ponto mais alto do percurso), a força normal é dada por FN = m(g – v2/R) (a) Para m = 1200 kg, v = 11 m/s e R = 18 m, obtemos FN = 3,7 H 103 N. (b) NF aponta para cima. (c) Para v = 14 m/s, FN = –1,3 H 103 N, ou | FN | = 1,3 H 103 N. (d) O fato de que o valor de FN é negativo significa que, nesse caso, NF aponta para baixo. 49. No alto do vale, a situação é semelhante à do problema anterior e a força normal é dada por FN = m(g – v2/R). que, para FN = 0, nos dá v2/R = g. No fundo do vale, a situação é semelhante à do item (c) do Problema 47 e a força normal é dada por FN = m(g + v2/R) que, para v2/R = g, nos dá FN = 2mg = 1372 N ≈ 1,37 H 103 N. 50. Sabemos que o gráfico da Fig. 6-40a representa uma função da forma F = mv2/r. (a) A inclinação do gráfico para 8,30 m/sv = é 8,30 m/s 8,30 m/s 2 2(85,0 kg)(8,30 m/s) 403 N s/m. 3,50 mv v dF mv dv r= = = = = ⋅ (b) Como o período do movimento é T = 2πr/v, 22 2 2 2 4 , mv m r mrF r r T T π π = = = e a inclinação do gráfico da Fig. 6-40b para T = 2,50 s é 2 2 3 3 3 2,50 s 2,50 s 8 8 (85,0 kg)(3,50 m) 1,50 10 N/s. (2,50 s)T T dF mr dT T π π = = = − = = − × 51. PENSE Um avião está descrevendo um movimento circular com as asas inclinadas, e devemos calcular o raio da circunferência a partir da força centrípeta. 2 1 4 M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R FORMULE Na figura, que é o diagrama de corpo livre do avião, mg é a força gravitacional e lF é a força de sustentação aerodinâmica. Vamos tomar o sentido positivo do eixo x como sendo para a direita e o sentido positivo do eixo y como sendo para cima. Aplicando a segunda lei de Newton às componentes x e y do movimento do avião, obtemos o seguinte sistema de equações: A segunda equação nos dá m = (Fl cos θ)/g. Substituindo m por seu valor na primeira equação e explicitando R, obtemos a relação R = v2/(g tan θ). ANALISE Para v = 480 km/h = 133 m/s e θ = 40°, temos APRENDA Observe que a abordagem que usamos para resolver o problema é a mesma do Exemplo 6.06 do livro. 52. A situação é semelhante à do Problema 45, com a força normal FN substituída pela força da haste FH. Assim, no ponto mais alto da trajetória, FH = mv2/r - P, em que P é o peso do carro com os passageiros. (a) Para v = 5,0 m/s, r = 10 m e P = 5000 N, FH = 3,7 H 103 N. (b) O sentido de HF é para cima. (c) Para v = 10,0 m/s, r = 10 m e P = 5000 N, FH = -2,3 H 103 N. (d) O sinal negativo indica que o sentido de HF é para baixo. 53. O diagrama de corpo livre de uma das alças foi traçado do ponto de vista que um passageiro teria se estivesse olhando para a frente e o bonde fizesse uma curva para a direita. Note que a = v2 /R, na qual v = 16 km/h = 4,4 m/s. Aplicando a Segunda Lei de Newton aos eixos do problema (x para a direita e y para cima), temos: sen cos . T m T mg Resolvendo esse sistema de equações, obtemos: 2 1tan v Rg θ − = que nos dá θ = 12°. 54. A força centrípeta experimentada pelos passageiros é 2 /F mv r= . M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R 2 1 5 (a) A variação de F com r sem que v varie é 2 2 mvdF dr r = − . (b) A variação de F com v sem que r varie é 2mvdF dv r = . (c) O período de uma trajetória circular é 2 /T r vπ= . Assim, 22 2 2 2 4 , mv m r mrF r r T T π π = = = e a variação de F com T sem que r varie é 32 3 2 3 2 8 8 . 2 mr v mvdF dT mr dT dT rT r π π π π = − = − = − 55. Note que, como o período T é oito vezes maior que o intervalo entre os lampejos (1/2000 s), T = 0,0040 s. Combinando a Eq. 6-18 com a Eq. 4-35, temos: 2 2 3 2 2 4 4(0,030 kg) (0,035 m) 2,6 10 N. (0,0040 s) m RF T π π = = = × 56. Podemos usar diretamente o resultado do Problema 53: 2 1tan v gR θ − = com v = 60(1000/3600) = 17 m/s e R = 200 m. O ângulo de compensação é, portanto, θ = 8,1°. Considere um carro que entre na curva com uma velocidade vʹ = 40(1000/3600) = 11 m/s. A aceleração (horizontal) é 2 /a v R′ ′= , que possui uma componente paralela e uma componente perpendicular à superfície da estrada: 2 | | 2 cos cos sen sen . va a R va a R θθ θθ⊥ ′ ′= = ′ ′= = De acordo com a Segunda Lei de Newton (escolhendo um eixo paralelo à superfície da estrada, apontando para o centro da curva, como eixo x e um eixo perpendicular à superfície da estrada, apontando para cima, como eixo y), temos: | |sen cos s N mg f ma F mg ma θ θ ⊥ − = − = o que nos dá 2 2 sen cos / . cos sen / s N f mg mv R F mg mv R θ θ θ θ ′− = ′+ Cancelando a massa e substituindo os valores numéricos, obtemos fs/FN = 0,078. Como o coeficientede atrito pedido é o menor para o qual os carros não derrapam, fs = fs,max e μs = 0,078. 57. Para que o disco permaneça em repouso, o módulo da tensão T do fio deve ser igual ao peso Mg do cilindro. Como a tensão do fio é a força centrífuga que mantém o disco em uma trajetória circular, T = mv2/r. Assim, Mg = mv2/r. Explicitando a velocidade, temos: 2 1 6 M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R 2(2,50 kg)(9,80 m/s )(0,200 m) 1,81 m/s. 1,50 kg Mgrv m = = = 58. (a) De acordo com a Eq. 2-16, a velocidade do carro é dada por 2 20 2 .v v ad= + Fazendo v = 0, v0 = 35 m/s e d = 107 m, obtemos 25,72 m/sa = − como a aceleração mínima necessária para que o carro pare a tempo. Assim, a força de atrito mínima necessária para que o carro pare a tempo é 2 3| | (1400 kg)(5,72 m/s ) 8,0 10 N.f m a= = ≈ × (b) O valor máximo possível do atrito estático é 2 3 ,max (0,50)(1400 kg)(9,80 m/s ) 6,9 10 N.s sf mgµ= = ≈ × (c) Se 0,40kµ = , k kf mgµ= e a aceleração é ka gµ= − . Assim, a velocidade com a qual o carro se choca com o muro é 2 2 2 0 2 (35 m/s) 2(0,40)(9,8 m/s )(107 m) 20 m/s ou 72 km/h.v v ad= + = − ≈ (d) A força necessária para que o carro descreva a trajetória circular que evitaria o choque é 2 2 40 (1400 kg)(35,0 m/s) 1,6 10 N. 107 mr mv F r = = = × (e) Como ,maxr sF f> , a manobra não é possível. 59. PENSE Como mostra a Fig. 6-45, o problema envolve uma bola ligada por dois fios a uma haste giratória. Podemos analisar o sistema usando as equações do movimento circular uniforme. FORMULE A figura a seguir mostra o diagrama de corpo livre da bola. cT é a força que a corda de cima exerce sobre a bola, bT é a força que a corda de baixo exerce sobre a bola, e m é a massa da bola. Note que a força da corda de cima deve ser maior que a da bola de baixo, já que ela deve equilibrar, além da força da corda de baixo, a força gravitacional a que a bola está submetida. Vamos tomar o sentido positivo do eixo x como sendo para a direita (na direção do centro da órbita circular) e o sentido positivo do eixo y como sendo para cima. Uma vez que o módulo da aceleração é a = v2/R, a aplicação da segunda lei de Newton à com- ponente x do movimento nos dá Tc em que v é a velocidade da bola, e R é o raio do movimento circular. máx máx M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R 2 1 7 A aplicação da Segunda Lei de Newton à componente y do movimento circular nos dá Explicitando Tb na segunda equação, obtemos / sen .b aT T mg θ= − ANALISE (a) Como, de acordo com os dados do problema, o triângulo formado pelas duas cordas e a distância entre os pontos em que estão presas à haste é equilátero, θ = 30,0°; portanto, (b) Como a força resultante na direção do eixo y é zero, o módulo da força resultante é dado por (c) O raio do movimento circular é De acordo com a equação Fres = mv2/R, a velocidade da bola é (d) A força resF aponta na direção do centro da órbita circular. APRENDA Como a corda de cima está submetida a uma força cerca de quatro vezes maior que a corda de baixo (Tc ≈ 4Tb), a probabilidade de que ela arrebente é maior. 60. A figura mostra os diagramas de corpo livre das duas caixas. T é o módulo da força exercida sobre a haste (se T > 0, dizemos que a haste está sob tração; se T < 0, dizemos que a haste está sob compressão), 2NF é a força normal sobre a caixa 2 (a caixa com formigas pretas), 1NF é a força normal sobre a caixa 1 (a caixa com formigas vermelhas), 1f é a força de atrito cinético sobre a caixa 1, 2f é a força de atrito cinético sobre a caixa 2, m1 é a massa da caixa 1 e m2 é a massa da caixa 2. Para cada bloco, escolhemos um eixo x encosta abaixo (na direção do canto inferior direito, nas figuras) e um eixo y na direção da força normal. Aplicando a Segunda Lei de Newton aos eixos x e y das duas caixas, obtemos quatro equações: 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 sen cos 0 sen cos 0 N N m g f T m a F m g m g f T m a F m g θ θ θ θ − − = − = − + = − = que, combinadas com a Eq. 6-2 (fk = μkFN), descrevem totalmente a dinâmica do sistema. 2 1 8 M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R (a) Resolvendo o sistema de equações acima, obtemos: 2 1 1 2 2 1 ( ) cos 1,05 N. m m gT m m µ µ θ = − = + (b) A solução para a aceleração é 22 2 1 1 2 1 sen cos 3,62 m/s . m ma g m m µ µ θ θ + = − = + (c) Inverter a posição das caixas equivale a trocar os índices. A equação obtida no item (a) mostra que essa troca leva a um valor negativo para T, com o mesmo módulo de antes. Assim, a situação permanece a mesma, exceto pelo fato de que a haste passa a estar sob compressão e não sob tração, como na situação anterior. 61. PENSE O sistema é formado por dois blocos, um em cima do outro. Se empurrarmos o bloco de baixo com muita força, o bloco de cima deslizará. Estamos interessados em calcular a maior força que pode ser aplicada ao bloco de baixo, sem que os blocos deixem de se mover juntos. FORMULE A figura que se segue mostra os diagramas de corpo livre dos dois blocos. Em primeiro lugar, calculamos o coeficiente de atrito estático da superfície entre os dois blocos. Quando a força aplicada ao bloco de baixo é a maior possível, a força de atrito estático entre os dois blocos também deve ser a maior possível. Como uma força Fc = 12 N deve ser aplicada ao bloco de cima (com o bloco de baixo mantido fixo) para que o bloco de cima entre em movimento, usando as relações Fc = fs,máx = μsFN,c = μsmcg, obtemos Usando o mesmo raciocínio para a situação em que os dois blocos se movem juntos, obtemos ANALISE (a) Substituindo μs pelo valor calculado anteriormente, obtemos (b) A aceleração máxima é APRENDA O bloco de cima começará a deslizar se a força aplicada exceder 27 N. Na ausência de atrito entre os blocos (ou seja, se 0sµ = ), qualquer força aplicada ao bloco de baixo fará o bloco de cima deslizar. M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R 2 1 9 62. O diagrama de corpo livre da pedra é mostrado na figura. F é a força aplicada à pedra, NF é a força normal para baixo que o teto exerce sobre a pedra, mg é a força de gravidade e f é a força de atrito. Escolhemos um eixo x para a direita e um eixo y para cima. Aplicando a Segunda Lei de Newton aos eixos x e y, temos: cos sen 0 x y N F F f ma F F F mg θ θ = − = = − − = Como k Nf Fµ= , e a segunda equação nos dá senNF F mgθ= − , ( sen )kf F mgµ θ= − . Substituindo essa expressão na primeira equação, obtemos F cos θ – μk (F sen θ – mg ) = ma. Para 0a = , a força é cos sen k k mg F µ θ µ θ − = − Para μk = 0,65, m = 5,0 kg e θ = 70º, obtemos F = 118 N. 63. (a) A figura mostra o diagrama de corpo livre da alpinista (representada por um bloco em forma de L). A força que a alpinista exerce sobre a pedra não é mostrada (já que o diagrama mostra apenas as forças que são exercidas sobre ela), mas está relacionada às forças normais 1NF e 2NF exercidas horizontalmente sobre os sapatos e sobre as costas da alpinista, respectivamente. Como vamos mostrar no item (b) que FN1 = FN2, não está errado dizer que o módulo da força que a alpinista exerce sobre a pedra é FN2. A força total para cima exercida pela força (máxima) de atrito estático é 1 2f f f= + , em que 1 1 1s Nf Fµ= e 2 2 2s Nf Fµ= . 2 2 0 M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R (b) Aplicando a Segunda Lei de Newton aos eixos x e y (x para a direita e y para cima), e como não há aceleração em nenhuma direção, 1 2 1 2 0 0 N NF F f f mg − = + − = De acordo com a primeira equação, as forças normais são iguais: FN1 = FN2 = FN. Assim, de acordo com a Eq. 6-1, 1 s 1 2 s 2 N N f F f F µ µ = = e, portanto, s 1 1 2 s 2 .f f µ µ = Assim, a segunda equação, f1 + f2 – mg = 0, nos dá s 1 2 s 2 1 f mg µ µ + = que (para m = 49 kg) nosdá f2 = 192 N. Portanto, 2 2/ 240 NN sF f µ= = é o módulo da força que a alpinista exerce sobre a pedra. (c) De acordo com os cálculos acima, 1 s1 288 NNf Fµ= = , o que significa que ( ) ( ) 1 288 0,60, 49 9,8 f P = = ou seja, 60% do peso da alpinista é sustentado pelo atrito dos sapatos. 64. (a) A força para cima exercida pelo vagão sobre o passageiro é igual ao peso do passageiro; assim, a força resultante não possui uma componente vertical. Isso significa que a força resultante é igual à componente horizontal (força centrípeta). Assim, res 210 N.F F= = (b) De acordo com a Eq. 6-18, temos: (210 N)(470 m) 44,0 m/s. 51,0 kg FRv m = = = 65. A massa da camada de gelo é ( )3 5gelo 917 kg/m (400 m 500 m 0,0040 m) 7,34 10 kg.m = × × = × Somando a esse valor à massa de cem pedras (com 20 kg cada uma), obtemos m = 7,36 H 105 kg. (a) Fazendo F = D (a força de arrasto), podemos usar a Eq. 6-14 para calcular a velocidade do vento em relação ao solo (na verda- de, deveria ser a velocidade do vento em relação à pedra, mas a velocidade da pedra é tão pequena que a diferença é desprezível). ( )( )( ) ( )( )( ) 5 2 3 2 gelo gelo 0,10 7,36 10 kg 9,8 m/s 19 m/s 69 km/h. 4 4 0,002 1,21 kg/m 400 500 m k mgv C A µ ρ × = = = ≈ × M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R 2 2 1 (b) Multiplicando por 2 o resultado do item anterior, obtemos uma velocidade de 138 km/h. (c) Sim, é razoável. O vento de um furacão da categoria 5 (a maior de todas) é da ordem de 260 km/h. 66. Como o coeficiente de atrito estático não é mencionado, concluímos que a força resultante é maior que fs,máx. Aplicando a Segunda Lei de Newton ao eixo x dos blocos, que para o bloco 1 é positivo para a direita e para o bloco 2 é positivo encosta abaixo, obtemos: T – fk = m1a m2g senθ – T = m2a Somando as equações, obtemos a aceleração: 2 1 2 sen km g fa m m θ − = + Para fk = μkFN = μk m1g, obtemos 2 2 2(3,0 kg)(9,8 m/s )sen 30 (0,25)(2,0 kg)(9,8 m/s ) 1,96 m/s 3,0 kg 2,0 kg a °−= = + . Substituindo esse valor em uma das equações, obtemos T = 8,8 N. 67. Cada lado da vala exerce uma força normal sobre o caixote. A figura da esquerda mostra uma seção reta do conjunto. A força resultante tem a direção na reta tracejada. Como as duas forças normais fazem um ângulo de 45° com a reta tracejada, o módulo da força resultante é 2 cos 45 2Nr N NF F F= °= . A figura da direita é o diagrama de corpo livre do caixote. (Trata-se de uma vista “lateral”, como a que é mostrada no desenho da esquerda da Fig. 6-51.) rN F é a força normal resultante, mg é a força da gravidade e f é a força de atrito. Escolhemos um eixo x encosta abaixo e um eixo y da direção de NrF . Aplicando a Segunda Lei de Newton aos eixos x e y, temos: x: mg sen θ – f = ma y: FNr – mg cos θ = 0. Como o caixote está em movimento, os dois lados da vala exercem uma força de atrito cinético, e o módulo da força de atrito resultante é dado por 2 2 / 2 2k N k Nr k Nrf F F Fµ µ µ= = = Combinando essa expressão com FNr = mg cos θ e substituindo na equação para o eixo x, obtemos sen 2 cosmg mg maθ θ− = . 2 2 2 M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R Assim, (sen 2 cos )ka g θ µ θ= − . 68. (a) Um carro está na iminência de derrapar quando a força de atrito estático atinge o valor máximo. Vamos considerar a soma vetorial F da força (máxima) de atrito com a força normal. Como as duas forças são mutuamente perpendiculares e seus módulos são proporcionais (Eq. 6-1), F faz um ângulo (com a vertical) ϕ = θ + θs, em que tan θs = μs (compare com a Eq. 6-13) e θ é o ângulo de compensação da curva. Como a componente paralela ao plano da estrada da soma vetorial de F com a força da gravidade mg é a força centrípeta, cujo módulo é mv2/R (Eq. 6-18), temos a seguinte relação: tanϕ = 22 max/ vmv R mg Rg = . Explicitando vmáx, obtemos: 1 max (tan ) tan( tan ) 1 tan s s s Rg v Rg θ µ θ µ µ θ − += + = − (b) A figura mostra o gráfico pedido (com θ em radianos): (c) Usando a equação obtida no item (a) ou a curva de cima do item (b), obtemos v = 41,3 m/s = 149 km/h para μs = 0,60 e θ = 10º = 0,175 rad. (d) Usando a equação obtida no item (a) ou a curva de baixo do item (b), obtemos v = 21,2 m/s = 76,2 km/h para μs = 0,050 e θ = 10º = 0,175 rad. 69. As forças verticais que agem sobre o bloco são a força normal exercida pelo teto, a força da gravidade e a componente vertical de P . Como a aceleração da direção vertical é zero, senNF P mgθ= − e, portanto, o módulo da força de atrito cinético é dada por ( sen ).k kf P mgµ θ= − Escolhendo um eixo x para a direita, a Segunda Lei de Newton nos dá cos ( sen ) cos .kk P u P mg P f ma a m θ θ θ − − − = ⇒ = Fazendo θ = 70o, m = 5,0 kg e μk = 0,40, obtemos a = 3,4 m/s2. máx M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R 2 2 3 70. (a) Se o peso descreve uma circunferência de 0,94 m, a distância horizontal entre o peso e o eixo de rotação é dada por R = 0,94/2π = 0,15 m. O ângulo que a corda faz com a horizontal é θ = cos–1(R/L) = cos–1(0,15 m/0,90 m) = 80º. A componente vertical da tensão da corda é T sen θ e deve ser igual à força da gravidade mg. Assim, 0,40 N sen mgT θ = = . Note que estamos usando T para representar a tensão da corda, e não o período do movimento. (b) Como a componente horizontal da tensão da corda é a força centrípeta, cujo módulo é mv2/R (Eq. 6-18), T cos θ = mv2/R, o que nos dá v = 0,49 m/s. Dividindo o comprimento da circunferência pela velocidade, obtemos o período: 0,94/0,49 = 1,9 s. 71. (a) se o bloco está na iminência de deslizar, a força aplicada é igual à força máxima de atrito estático (Eq. 6-1, com FN = mg neste caso): fs,máx = μsmg = 35,3 N. (b) Neste caso, a força aplicada F reduz indiretamente o valor máximo da força de atrito (já que a componente vertical diminui a força normal) e se opõe diretamente à força de atrito (por causa da componente horizontal). Como a força normal é dada por FN = mg – Fsenθ a aplicação da Segunda Lei de Newton à direção horizontal nos dá Fcosθ – fs,máx = Fcosθ – μs(mg – Fsenθ) = 0 39,7 N.F⇒ = (c) Neste caso, a força aplicada F aumenta indiretamente o valor máximo da força de atrito (já que a componente vertical aumenta a força normal) e se opõe diretamente à força de atrito (por causa da componente horizontal). Como a força normal é dada por FN = mg + Fsenθ, a aplicação da Segunda Lei de Newton à direção horizontal nos dá Fcosθ – fs,máx= Fcosθ – μs(mg + Fsenθ) = 0 320 N.F⇒ = 72. Aplicando a Segunda Lei de Newton à direção paralela à rampa e usando a Eq. 6-2 temos: mg senθ – f = ma, f = fk =μk FN = μk mg cosθ Assim, a = 0,75 m/s2 = g(senθ – μk cosθ) o que, para θ = 40o, nos dá μk = 0,74. 73. (a) Aplicando a Segunda Lei de Newton a um eixo orientado “encosta abaixo”: mg senθ – f = ma f = fk = μk FN = μk mg cosθ. Assim, a = g(senθ – μk cosθ) = 7,5 m/s2. 2 2 4 M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R (b) O sentido da aceleração é para baixo. (c) Nesse caso, a força de atrito aponta “encosta abaixo” (no sentido positivo do eixo escolhido) e a aceleração é a = g(senθ + μk cosθ ) = 9,5 m/s2. (d) O sentido da aceleração é para baixo. 74. A figura mostra o diagrama de corpo livre do disco. NF é a força normal exercida pelo gelo, f é a força de atrito e mg é a força da gravidade. Escolhemos um eixo x apontando para a direita e um eixo y apontando para cima. (a) Aplicando a Segunda Lei de Newton ao eixo x, obtemos –f = ma. Como a velocidade final é zero, a Eq. 2-16, 2 20 2v v ax= + , nos dá a = – v02/2x. Combinando os dois resultados, obtemos ( )( ) ( ) 22 0 0,110 kg 6,0 m/s 0,13 N. 2 2 15 m mv f x = = = (b) Aplicando a Segunda Lei de Newton ao eixo y, obtemos FN – mg = 0 e, portanto, FN = mg. Assim, de acordo com a Eq. 6-2, f = μk mg.Explicitando μk, obtemos: ( ) 2 0,13 N 0,12 . 0,110 kg (9,8 m/s )k f mg µ = = = 75. Podemos tratar os 25 vagões como um único objeto de massa m = 25 H 5,0 H 104 kg que (se a velocidade é 30 km/h = 8,3 m/s) está sujeito a uma força de atrito f = 25 H 250 H 8,3 = 5,2 H 104 N. (a) Em uma linha férrea plana, esse objeto experimenta uma força de tração T exercida pela locomotiva e, de acordo com a Se- gunda Lei de Newton, 4 6 5 5, 2 10 (1,25 10 )(0,20) 3,0 10 NT f ma T− = ⇒ = × + × = × . (b) A figura mostra o diagrama de corpo livre do conjunto de vagões, na qual θ é o ângulo de aclive. Escolhemos um eixo x encosta acima (na direção do canto superior direito da figura). M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R 2 2 5 Aplicando a Segunda Lei de Newton ao eixo x, temos: sen = T f mg maθ− − Fazendo a = 0 e substituindo T, f e m por seus valores, obtemos θ = 1,2°. 76. Este problema é conceitualmente análogo ao Problema 30. Usando o resultado do item (c) do Problema 30, temos: 1 1tan tan 0,50 27sθ µ − −= = = ° e, portanto, o ângulo de redução deve ser, no mínimo, ϕ = 45° – 27° ≈ 20°. 77. De acordo com a Eq. 6-16, 2 2 2 2(6)(9,8) 147 m/s (1,6)(1,2) (0,03)t mgv C Rρπ π = = = 78. (a) O coeficiente de atrito estático é μs = tan(θmáx) = 0,577 0,58≈ . (b) Como mg senθ – f = ma f = fk = μk FN = μk mg cosθ e a = 2d/t2 (com d = 2,5 m e t = 4,0 s), obtemos μk = 0,54. 79. PENSE Este problema envolve dois blocos ligados por uma corda. O bloco A desce o plano inclinado arrastando o bloco B. A corda exerce uma força sobre o bloco A que depende da massa dos blocos e do coeficiente de atrito entre o bloco B e a superfície horizontal. FORMULE A figura a seguir mostra os diagramas de corpo livre dos dois blocos. Aplicando a segunda lei de Newton ao movimento do bloco A, temos Aplicando a segunda lei de Newton ao movimento do bloco B, temos em que fk = μkFN,B = μkmBg. Combinando as equações do movimento dos blocos A e B, podemos determinar os valores de T, a tração da corda, e a, a aceleração dos blocos. 2 2 6 M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R ANALISE (a) Combinando as equações anteriores e explicitando T, obtemos (b) A aceleração do sistema de dois blocos é dada por APRENDA Para θ = 90o e μk = 0, o problema se torna o mesmo que foi discutido no Exemplo 5.03 do livro, e os valores da tração da corda e da aceleração se reduzem às expressões obtidas nesse exemplo, que são 80. Usamos a Eq. 6-14, D C Av= 12 2ρ , na qual ρ é a massa específica do ar, A é a área da seção reta do míssil, v é a velocidade do míssil e C é o coeficiente de arrasto. A área da seção reta é πR2, na qual R = 0,265 m é o raio do míssil. Assim, ( ) ( ) ( )2 23 31 (0,75) 1,2 kg/m 0,265 m 250 m/s 6, 2 10 N. 2 D π= = × 81. PENSE A força responsável pelo movimento circular do sistema ciclista-bicicleta é a força de atrito entre os pneus da bicicleta e o piso. FORMULE A figura a seguir mostra o diagrama de corpo livre do sistema ciclista-bicicleta. O módulo da aceleração do sistema é dado por v2/R, em que v é a velocidade do ciclista e R é o raio da curva. Aplicando a segunda lei de Newton à componente horizontal do movimento, obtemos a equação fs = mv2/R, em que fs é a for- ça de atrito estático exercida pelo piso sobre os pneus da bicicleta. Aplicando a segunda lei de Newton à componente vertical do movimento, obtemos a equação FN = mg = 833 N, em que FN é a força normal que o piso exerce sobre o sistema e mg é a soma do peso do ciclista com o peso da bicicleta. ANALISE (a) A força de atrito é 2 2(85,0 kg)(9,00 m/s) 275 N. 25,0 ms mvf R = = = (b) De acordo com o teorema de Pitágoras, como a força de atrito sf e a força normal NF são mutuamente perpendiculares, a força resultante que o piso exerce sobre a bicicleta é APRENDA A força que o piso exerce sobre a bicicleta faz um ângulo 1 otan (275 N/833 N) 18,3θ −= = com a vertical. M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R 2 2 7 82. No alto do morro, as forças verticais que agem sobre o carro são a força normal exercida pela estrada e a força da gravidade. Escolhendo um eixo y orientado para baixo, a Segunda Lei de Newton nos dá 2 N mvmg F R − = Fazendo FN = 0 e explicitando v, temos: 2(9,8 m/s )(250 m) 49,5 m/sv gR= = = = 49,5(3600/1000) km/h = 178 km/h. 83. (a) A força mínima para que o caixote comece a se mover é fs,max = μs FN (Eq. 6-1, com FN = mg neste caso), o que nos dá (0,51) (165 N) = 84,2 N. (b) Depois que o caixote começa a se mover, a força necessária para mantê-lo em movimento com velocidade constante é uma força igual à força de atrito cinético fk = μk FN = μk mg = 52,8 N. (c) Como a massa do caixote é 165/9,8 = 16,8 kg, a aceleração, usando a Segunda Lei de Newton e os resultados dos itens (a) e (b), é a = (84,2 N – 52,8 N)/(16,8 kg) ≈ 1,87 m/s2. 84. (a) A componente horizontal de F empurra o caixote, enquanto a componente vertical aumenta a força de atrito, ao aumentar a força normal. Aplicando a Segunda Lei de Newton nas direções, temos: direção horizontal: Fcosθ – fs = 0 direção vertical: FN – Fsenθ – mg = 0. Dizer que o caixote está “na iminência de se mover” equivale a dizer que fs = fs,máx = μsFN (Eq. 6-1). Combinando as três equações, obtemos cos sen s s F mg µ θ µ θ = − . A figura ao lado mostra um gráfico da razão F/mg em função de θ (com θ em graus). (b) O denominador da expressão de F/mg em função de θ se anula para 1 inf 1 cos sen 0 tans s θ µ θ θ µ − − = ⇒ = Para 0,70sµ = , θinf = 55o. (c) Se o piso for lubrificado, o coeficiente de atrito estático será menor e, portanto, o ângulo θinf será maior que o valor calculado no item (b). (d) Para 0,60sµ = , 1 o inf 1 tan 59 . 0,60 θ − = = 85. O carro começará a escorregar se tan tan 35,0 0,700.sµ θ= = °= Este valor representa uma redução de 3,4% em relação ao valor inicial, 0,725. 86. (a) O problema é conceitualmente igual ao da roda-gigante (Problema 45), com a tensão T da corda assumindo o papel da força normal FN. Assim, a tensão é dada por T = m(g - v2/r) no ponto mais alto do percurso e por T = m(g + v2/r) (o valor máximo) no ponto mais baixo do percurso. Isso significa que a corda vai arrebentar no ponto mais baixo do percurso. 2 2 8 M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R (b) Quando a corda arrebenta, T = 33 N = m(g + v2/r), em que m = 0,26 kg e r = 0,65 m. Explicitando a velocidade, obtemos v = 8,73 m/s. 87. PENSE A força responsável pelo movimento circular do automóvel é a força de atrito entre os pneus e o piso. FORMULE A figura mostra o diagrama de corpo livre do automóvel. A massa do automóvel é m = (10700/9,80) kg = 1,09 H 103 kg. A força normal é FN = mg, e a força centrípeta necessária para manter o movimento circular é fs = mv2/R. ANALISE (a) Para uma velocidade v = 13,4 m/s e um raio R = 61 m, temos (b) De acordo com a Eq. 6-1, a força máxima de atrito estático é Como o valor calculado no item (a) é menor que este valor, concluímos que o carro consegue fazer a curva sem derrapar. APRENDA De acordo com as expressões anteriores, se o coeficiente de atrito estático entre os pneus de um carro e o piso é sµ , a velocidade máxima com a qual o carro consegue fazer uma curva de raio R sem derrapar é máx .sv gRµ= Na situação do pro- blema, portanto, a velocidade máxima com a qual o carro pode fazer a curva sem derrapar é 88. Aplicando a Segunda Lei de Newton ao bloco 2, temos: 2 2 cos eixo sen 0 eixo k N F T f m a x F F m g y θ θ − − = − − = Combinando essas equações com a relação fk = μk FN, temos: 2 2(cos sen )k kF T m g m aθ µ θ µ− − − = Aplicando a Segunda Lei de Newton ao bloco 1, temos: 1 1 eixo 0 eixo k N T f m a x F m g y ′− = ′ − = Combinando essas equações com a relação fk = μk NF ′ , temos: 1 1kT m g m aµ− = Explicitando a na equação acima,substituindo na equação do bloco 2 e explicitando T, obtemos: , M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R 2 2 9 89. PENSE Para deslocar um armário, é preciso que a força aplicada seja maior que a força de atrito. FORMULE Podemos aplicar ao problema a segunda lei de Newton, na forma Fap – f = ma. Se a força aplicada Fap for menor ou igual à força máxima de atrito estático fs,máx, a conclusão será “o armário não se move”, caso em que a = 0 e f = Fap. Se, por outro lado, Fap > fs,máx, a conclusão será “o armário se move”, caso em que a > 0 e f = fk, em que fk é a força de atrito cinético. Para determinar os valores de fs,máx e fk, podemos usar as Eqs. 6-1 e 6-2, tomando como força normal o peso do armário. A força máxima de atrito estático é e a força máxima de atrito cinético é ANALISE (a) Para Fap = 220 N, Fap < fs,máx e, portanto, f = Fap = 222 N. O armário não se move. (b) Para Fap = 334 N, Fap < fs,máx e, portanto, f = Fap = 334 N. O armário não se move. (c) Para Fap = 445 N, Fap > fs,máx e, portanto, f = fk = 311 N. (d) Para Fap = 456 N, Fap > fs,máx e, portanto, f = fk = 311 N. (e) O armário se move nas tentativas dos itens (c) e (d). APRENDA Para que o armário se mova, é preciso que a força aplicada seja maior que a força máxima de atrito estático, fs,máx. 90. Analisando as forças na direção horizontal (na qual não há aceleração), chegamos à conclusão de que F = FN, ou seja, FN = 60 N. A força máxima de atrito estático é, portanto, fs,máx = μsFN = 33 N e a força de atrito cinético (se o bloco estiver em movimento) é fk = μkFN = 23 N. (a) Nesse caso, P = 34 N para cima. Supondo que f aponta para baixo, a aplicação da Segunda Lei de Newton à direção vertical nos dá P – mg – f = ma. Supondo que a = 0, f = (34 – 22) N = 12 N. Como f < fs, máx, a hipótese de que a = 0 está correta e a força de atrito é sf = 12 N, para baixo. Como foi pedido apenas o módulo da força, a resposta é 12 N. (b) Nesse caso, P = 12 N para cima. Supondo que f aponta para baixo e que a = 0, f = (12 – 22) N = –10 N. Como | fs | < fs, máx, a hipótese de que a = 0 está correta, mas o fato de obtermos um valor negativo para f mostra que a hipótese de que f aponta para baixo está errada. Assim, a força de atrito é sf = 10 N, para cima. Como foi pedido apenas o módulo da força, a resposta é 10 N. (c) Nesse caso, P = 48 N para cima. Supondo que f aponta para baixo e que a = 0, f = (48 – 22) N = 26 N. Como fs < fs, máx, a hi- pótese de que a = 0 está correta e, como obtivemos um valor positivo para f, a hipótese de que f aponta para baixo também está correta. Assim, a força de atrito é sf = 26 N, para baixo. Como foi pedido apenas o módulo da força, a resposta é 26 N. (d) Nesse caso, P = 62 N para cima. Supondo que f aponta para baixo e que a = 0, f = (62 – 22) N = 40 N. Como f > fs, máx, a hi- pótese de que a = 0 não está correta. Como a ≠ 0, f = fk e como a diferença entre a força vertical e o peso é positiva, a aceleração aponta para cima e a hipótese de que f aponta para baixo está correta. Assim, a força de atrito é kf = 23 N, para baixo. Como foi pedido apenas o módulo da força, a resposta é 23 N. (e) Nesse caso, P = 10 N para baixo. Supondo que f aponta para baixo, f = (–10 – 22) N = –32 N. Como | fs | < fs, máx, a hipótese de que a = 0 está correta, mas o fato de obtermos um valor negativo para f mostra que a hipótese de que f aponta para baixo está errada. Assim, a força de atrito é sf = 32 N, para cima. Como foi pedido apenas o módulo da força, a resposta é 32 N. (f) Nesse caso, P = 18 N para baixo. Supondo que f aponta para baixo, f = (–18 – 22) N = –40 N. Como | f | > fs, máx, a hipótese de que a = 0 não está correta. Como a ≠ 0, f = fk e, como a força vertical e o peso apontam para baixo, a aceleração aponta para baixo, e a hipótese de que f aponta para baixo está errada. Assim, a força de atrito é kf = 23 N, para cima. Como foi pedido apenas o módulo da força, a resposta é 23 N. 2 3 0 M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R (g) O bloco se move para cima no caso do item (d). (h) O bloco se move para baixo no caso do item (f). (i) A força de atrito é para baixo nos casos dos itens (a), (c) e (d). 91. PENSE A força de atrito tem sempre o sentido contrário ao do movimento do bloco. FORMULE A figura a seguir mostra o diagrama de corpo livre do bloco na situação da primeira parte do problema, em que o bloco está escorregando para baixo com velocidade constante. De acordo com a segunda lei de Newton, Combinando as duas equações, obtemos a relação A figura mostra o diagrama de corpo livre do bloco na situação da segunda parte do problema, em que o bloco está subindo. De acordo com a segunda lei de Newton e a Eq. 6-12, Note que, de acordo com os sentidos escolhidos para os eixos, o fato de que 0xa > significa que a aceleração aponta para baixo e, portanto, a velocidade do bloco diminui com o tempo. ANALISE (a) Usando as relações μk = tan θ e FN = mg cos θ, obtemos a aceleração ax do bloco paralelamente à superfície do plano inclinado: A distância que o bloco percorre até parar pode ser determinada usando a Eq. 2-16, 2 20 02 ( ),v v a x x= + − que nos dá em que Dx = x - x0. (b) Como foi visto no Módulo 6-1, normalmente μs > μk. O ângulo de repouso (maior ângulo de inclinação do plano inclinado para o qual um bloco em repouso não escorrega para baixo) é dado por μs = tan(θrepouso). Assim, esperamos que θrepouso > θ e, portanto, que o bloco não volte a escorregar para baixo depois de parar. APRENDA Outra forma de mostrar que o bloco não volta a escorregar depois de parar é notar que a componente da força gravi- tacional ao longo do plano inclinado é menor que a força de atrito, ou seja, que ,máxsen .k smg f fθ = < 92. Suponha que o carro está “na iminência de derrapar”, ou seja, que a força de atrito estático está com o valor máximo. Vamos primeiro considerar a soma vetorial F da força (máxima) de atrito estático com a força normal. Como a força de atrito e a força normal são mutuamente perpendiculares e têm módulos proporcionais (Eq. 6-1), o ângulo da força F com a vertical é ϕ = θ + θs, M A T E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R 2 3 1 na qual tan θs = μs (veja a Eq. 6-13) e θ é o ângulo de compensação. Como a componente horizontal da força F deve ser igual à força centrípeta (mv2/R) e a componente vertical deve ser igual à força da gravidade (mg), chegamos a uma relação surpreenden- temente simples: 2 2 max max/tan mv R v mg Rg φ = = , o que nos dá 1 max (tan ) tan( tan ) 1 tan s s s Rg v Rg θ µ θ µ µ θ − += + = − . (a) Para que os carros não “dependam” do atrito estático para não derrapar, a componente da força da gravidade paralela à estrada deve ser suficiente para proporcionar a aceleração centrípeta necessária. Para determinar o ângulo mínimo para que isso aconteça, basta fazer μs = 0 na equação acima, o que nos dá vmáx max tanv Rg θ= . Para vmáx = 60 km/h = 16,67 m/s e R = 150 m, obtemos θ = 11°. (b) Por outro lado, se a curva não é compensada, θ = 0 e a equação acima se torna vmáx max sv Rgµ= Para vmáx = 60 km/h = 16,67 m/s e R = 150 m, obtemos μs = 0,19. 93. (a) Como a caixa não se move até o instante t = 2,8 s, no qual o módulo da força aplicada atinge o valor F = (1,8)(2,8) = 5,0 N, isso significa que fs, máx = 5,0 N. Sabemos também que o módulo da força normal é igual ao peso da caixa: FN = mg = 15 N. Assim, μs = fs, máx/FN = 0,34. (b) Aplicando a Segunda Lei de Newton ao eixo horizontal (e tomando como sentido positivo o sentido do movimento), temos: ( )( )1,8 1,5 1,2 2,4k kF f ma t f t− = ⇒ − = − O que nos dá fk = 3,6 N. Assim, μk = fk / FN = 0,24. 94. Na figura a seguir, m = 140/9,8 = 14,3 kg é a massa da criança. Chamamos de xw e yw as componentes da força gravitacional que a Terra exerce sobre a criança; os