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Instituto Superior Te´cnico 1o Semestre 2011/2012
Departamento de Matema´tica 29 de Novembro de 2011
Durac¸a˜o: 45 minutos
2o TESTE DE A´LGEBRA LINEAR
CURSOS: LMAC, MEBiom, MEFT
1) Considere a matriz 4× 3 dada por:
A =

1 0 0
−2 0 0
1 −3 0
0 0 0
 .
a) (1.0) Calcule dim(N (A)) e determine uma base para N (A).
b) (1.0) Prove que C(A) = {(x, y, z, w) ∈ R4 : 2x+ y = 0, w = 0}.
2) (1.0) Considere a base cano´nica B1 = {(1, 0), (0, 1)} de R2, B2 outra base de R2 tal que a matriz
mudanc¸a de base SB1→B2 de B1 para B2 seja
SB1→B2 =
[
cos(θ) −sen(θ)
sen(θ) cos(θ)
]
.
Calcule o vector v ∈ R2, sabendo que as coordenadas vB2 do vector v emB2 sa˜o vB2 =
(
cos(θ), sen(θ)
)
.
3) (1.0) Seja V = L({(1, 1, 1), (3, 0,−1), (−1, 2, 3)}). Calcule dim(V + V ).
4) Seja A ∈Mn×n(R).
a) (0.5) Prove que N (Ap) ⊆ N (Ap+1), para todo o p ∈ N.
b) (0.5) Prove que N (As) = N (As+1), para algum s ∈ N.
FIM
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