Modelagem Matemática e Equações Diferenciais - Resumo

Equações Diferenc iais MODELAGEM MATEM ÁTICA E EQUAÇÕE S DIFERENCIAIS 2 SUMÁRIO Introdução ..................................................................................................................... 3 Objetivos ....................................................................................................................... 3 Conceitos ....................................................................................................................... 3 Modelagem matemática ............................................................................................... 3 Problemas de mistura .................................................................................................. 3 Circuitos elétricos ......................................................................................................... 5 Exercícios ...................................................................................................................... 6 Gabarito ......................................................................................................................... 6 Resumo ........................................................................................................................ 13 3 Introdução Nesta aprenderemos como mod e lar alguns problemas em eq u ações diferenciais e resolvê-las. Objetivos \u2022 Consolidar os conceitos já aprendidos. \u2022 Aplicar os conhecimentos obtidos sobre equações diferenciais. \u2022 Aprender a interpretar um problema para resolvê-lo. Conceitos Conceitos que usaremos nessa aula a respeito das equações diferenciais sã o: \u2022 Definição e classificação das equações; \u2022 Equações Lineares; \u2022 Equações separáveis; \u2022 Equações exatas e fator integrante. Modelagem matemática Nesse tópico aprenderemos como faremos para apli car o nosso conhecimento matemático de maneira a responder algum problema. Quando estamos diante de um problema a primeira coisa a ser feita é a decisão de quais vari áv eis são importantes e quais não para sol ucioná -lo. A segunda coisa a ser feita é traçar relações matemáticas e ntre essas variáveis. Uma dica importante é sempre t entar resolver o problema de maneira geral e de po is ir aperfeiçoando-o conforme a sua necessidade. Após a de fi nição do modelo devemos testá-lo. Dessa forma é interessante ve r se a solução proposta é válida se comparada a algum dado experimenta l. Analisar se as suposições que fizemos para modelar o problema são razoáveis e coerentes. Lembre-se sempre de que o mod elo não é igual a realidade, o modelo é apenas uma representação. Problemas de mi stura 4 Nesse tópico iremos m odelar problemas que envolve a m istura de fluidos, normalmente esse tipo de problema possui o seg uinte formato: (t) taxa de entrada - taxa de saída dx dt = Considere o exemplo abaixo: Exemplo: Considere u m grande tan que mantendo 1 000L de água pura em que uma sol ução de salmoura começ a a fluir numa taxa constante de 6 L /m in. A solução dentro do tanque é mantida a agitada e est á fluindo para fora do taque a uma taxa de 6 L/min. Se a concentração de sal na salmoura entrando no tanque é 0,1 Kg/L, determine quando a concentração do sal no tanque será de 0,05 Kg/L. Reproduzido do livro Equações Diferenciais Solução: Na imagem a cima podemos ver o tanq ue que simula o tanque do problema. Vamos considerar que (t) x representa a massa d e sal em um determinado instante de tempo t , para obtermos a sua c oncentração no tanque basta dividir (t) x pela capacidade do tanque: Concentração de sal no tanque: (t) Kg/ L 1000 x Sabe-se que a salmoura flui para tan que em uma velocidade de 6 L/min e que sua concentração é de 0,1 Kg/L. Consideraremos também que a concentração do sal na solução é uniforme no tanque: Velocidade com que o sal entra no tanque: 6 L / m in 0 ,1 Kg / L 0 , 6 K g/ m in \uf0b4= A taxa de saída do tanque é dada p ela concentração do sal no tanque, multiplicado por sua taxa de saída: (t) 3 (t) 6 L/ m in Kg/ L Kg/ m in 1000 100 0 xx \uf0b4= Agora iremos aplicar o que extraímos do problema ao mode lo: 5 (t) ta xa d e e ntra da - ta xa de s aída dx dt = (t) dx dt é igual a variação de sal no tanque. A taxa de entrada de sal no tanque, já foi calculada e é: 0 , 6 Kg/ m in E a taxa de saída é dada por: 3 (t) Kg/ m in 1000 x (t) 3 (t) 0 , 6 500 dx x dt =\u2212 Sabe-se que d e início o tanque possuía água pura, então a concentração inicial de sal e ra zero: (0) 0 x = . A eq ua ção acima é uma e quação di fe rencial separável e linear, basta resolver o problema de valor inicial conforme aprendemos nos outros guias e teremos que: \ue754 \uf23a \ue750 \uf23b \ued4c \ue373\ue372\ue372 \ued6c\ued46\ue741 \ueb3f\ueb37\uebe7 \ueb39\ueb34\ueb34 \ued70 \ue754 \uf23a \ue373\ue373\ue377 \ue1e1 \ue377\ue374 \uf23b \ued4c \ue372\ue1e1\ue377 \ue72d\ue743 \ue200\ue72e \uf23b A c oncentração de sal será de 0,05Kg/L quando tivere m se passado 115,52 minutos. Circuitos elétrico s Para criar modelos matemáticos p ara a solução de circuitos elétricos devemos nos lembrar: \u2022 Lei das correntes de Kirchhoff: A soma algébrica das c or rentes que passam em um nó é igual a zero. \u2022 Lei das t ensões d e Kirchhoff : A soma algébrica das te nsões em uma malha fechada é igual a zero. Usaremos a Lei d e Ohm e também das relações dos indutores e capacitores com tensões e correntes: v Ri = , (t) (t) dv iC dt = e (t) (t) di vL dt = 6 Exercícios 1. Uma solução de ácido nítrico flui a uma vaz ão constante de 6L/min em um grande tanque que mantinha de início 200L de uma solução de ácido nítrico a 0,5%. A solução é mantida bem agitada e sai a uma vazão de 8L/min. Se a solução entrando n o tanque é de 20% de ácido nítrico determine o volume do ácido após t minutos. Quando a porcentagem de ácido nítrico no tanque alcança rá 10%? 2. Um circuito RL com um resistor de 5 \uf057 e um indutor de 0 , 05 H carrega um a corrente de 1ª em 0 t = , no momento em que uma fonte de tensão (t) 5 co s 1 20 t V E = é adicionada. Determine a corrente no indutor e a tensão subsequentes. 3. A massa inicial de certa espécie de peixe é de 7 milhões de tonelada. A massa do peixe, se fosse deixada de lado, au mentaria a uma taxa proporcional a ma ssa com uma const ante de p roporcionalidade de 2/ano. Porém a pesca comercial remove a massa de peixe a uma taxa constante de 15 milhões de toneladas por ano. Quando todo o peixe desaparecerá? Se a taxa de pesca for mudada de modo que a massa de peixe permaneça constante, qual deverá ser essa taxa? Gabarito 1. Para resolvermos esse e xercício l embremos que problemas de mistura são sistemas comportamentais e, portanto, têm como modelo matemático a equação ES dx TT dt =\u2212 Onde: Tax a de Entrada Tax a de Saída volume no tanque tempo E S T T x t = = = = Além disso, dada a vaz ão (volume total/tempo) de entrada ou saída ( E V ou S V ) e a concentração (volume do ácido/volume total) de entrada ou saída ( E C ou S C ) podemos calcular a taxa (volume do ácido/tempo): E E E S S S T C V T C V =\uf0d7 =\uf0d7 Para isso, no cálculo da concentração de saída, usa remos: 7 v o lu m e d o á ci do n o ta nq ue v o lu m e t ota l d o ta nq u e S C = Além disso, precisamos saber resolver uma equação diferencial pelo método do fator integrante que diz que se: ( ) ( ) dx P t x Q t dt += Então sua solução é dada por: ( ) ( ) ( ) ( ) t Q t dt C xt t \uf06d \uf06d + = \uf0f2 Onde ( ) ( ) ( ) e xp t P t dt \uf06d = \uf0f2 . Nesse caso específico temos: 6 L /m in 8 L /min 20% 0 , 2 E S E V V C = = == E dado que 6 8 2 ES VV \u2212 = \u2212 = \u2212 , o volume total do tanque após t minutos é dado por 2 00 2 t \u2212 e podemos calcular 200 2 S x C t = \u2212 Assim: 0, 2 6 1 , 2 4 8 200 2 100 E S T xx T tt = \uf0d7 = = \uf0d7 = \u2212\u2212 Além disso, como em 0 t = a concentr ação de áci do no tanque é 0,5%, te mos que ( ) 0 0 , 5% 20 0 1 x = \uf0d7 = , montamos o seguinte problema de valor inicial (PVI): 8 ( ) 4 1 , 2 100 01 dx x dt t x \uf0ec =\u2212 \uf0ef \u2212 \uf0ed \uf0ef = \uf0ee Para sabermos o volume de ácido n o tanque a pós t minutos precisamos resolver o PVI anterior, o que pode ser feito por fator integrante: ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 exp 100 exp 4 ln 10 0 100 t dt t t t \uf06d \u2212 \uf0e6\uf0f6 = \uf0e7\uf0f7 \u2212 \uf0e8\uf0f8 = \u2212 \u2212 =\u2212 \uf0f2 Logo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 3 4 4 4 100 1 , 2 100 100 100 1 , 2 3 1 , 2 100 100 3 0, 4 100 100 t dt C xt t t tC t K t t K t \u2212 \u2212 \u2212 \u2212+ = \u2212 \uf0e6\uf0f6 \u2212 = \u2212 \uf0e7 + \uf0f7 \uf0e7\uf0f7 \uf0e8\uf0f8 = \u2212 + \u2212 = \u2212 + \u2212 \uf0f2 Com isso: ( ) 4 1 0 40 10 0 xK = = + Daí 4 39 1 00 K \u2212 = \u2212 \uf0d7 e assim o volume de ácido no tanque após t minutos é \ue754 \uf23a \ue750 \uf23b \ued4c \ue372\ue1e1\ue376 \uf23a \ue373\ue372\ue372 \ued46 \ue750 \uf23b \ued46 \ue375\ue37b \ue1e4 \ue373\ue372\ue372 \ueb3f\ueb38 \uf23a \ue373\ue372\ue372 \ued46 \ue750 \uf23b \ueb38 A concentração de ácido nítrico no tanque alcan ça 10% quando ( ) 10 % 0, 1 20 0 2 xt t == \u2212 Ou seja: ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 4 4 4 0, 4 100 39 100 100 0,1 200 2 40 0 , 4 39 100 100 20 0, 2 20 0 , 2 39 100 100 0 tt t t t t tt \u2212 \u2212 \u2212 \u2212 \u2212 \uf0d7 \u2212 = \u2212 \u2212 \u2212 \uf0d7 \u2212 = \u2212 \u2212 \u2212 \uf0d7 \u2212 = 9 Usando algum site ou programa de cálculo d e raízes de polinômios, vemos que 19 , 96 t = é uma raiz desse polinômio e, portanto, o te m po no qual o ácido nítrico no tanque alcança 10%. Portanto o volume de ácido no tanque após t minutos é dada por: \ue754 \uf23a \ue750 \uf23b \ued4c \ue372\ue1e1\ue376 \uf23a \ue373\ue372\ue372 \ued46 \ue750 \uf23b \ued46 \ue375\ue37b \ue1e4 \ue373\ue372\ue372 \ueb3f\ueb38 \uf23a \ue373\ue372\ue372 \ued46 \ue750 \uf23b \ueb38 E o tempo no qual o ácido nítrico no tanque alcança 10% será 19 , 96 min t = . 2. Pela lei de Kirchhoff, temos que, para o circuito RL: () RL E t E E di E Ri L dt di R E i dt L L =+ =+ += Substituindo os dados na equação d iferencial encontrada e resolvendo para i, teremos: ( ) ( ) 5 cos 120 5 0, 05 0, 05 100 100 cos 120 t di i dt di it dt d dx += += ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 100 100 100 100 100 100 cos 120 100 6 sin 120 5 cos 120 1220 600 sin 120 500 cos 120 () 1220 tt t t t ie e t e t t ie C tt i t Ce \u2212 = + =+ + =+ ¨ Avaliando a corrente no instante inicial, teremos: (0) 1 500 1 1220 720 1220 i C C = += = Assim, a expressão para a corrente no circuito será: 10 ( ) ( ) 100 1 , 44 1 , 2 sin 120 cos 120 () 2, 44 t e t t it \u2212 ++ = A expressão de tensão no indutor é dada por: ( ) ( ) ( ) ( ) 100 100 1 , 44 1 , 2 sin 120 cos 12 0 0, 0 1 2, 4 4 7, 2 6 sin 120 7, 2 c os 120 2, 4 4 L t L t L di EL dt e t t d E dt e t t E \u2212 \u2212 = \uf0e6\uf0f6 ++ = \uf0e7\uf0f7 \uf0e8\uf0f8 \u2212 \u2212 + = Assim, a expressão p ara a corrente n o circuito será igual a ( ) ( ) 100 1 , 44 1 , 2 sin 120 cos 120 ( ) A 2, 4 4 t e t t it \u2212 ++ = . Enquanto a expressã o para a tensão nos terminais do indutor será de ( ) ( ) 100 7, 2 6 sin 120 7, 2 co s 120 V 2, 4 4 t L e t t E \u2212 \u2212 \u2212 + = . 3. A taxa com que a população d e um peixe no ri o muda com o tempo depende da taxa com que surgem novos peixes e d a taxa c om que eles são pescados. Fazendo então uma análise infinitesimal do sistema, temos a seguinte EDO com o valor inicial, descritos abaixo: 2 15 (0) 7 mil hões de tone lada s in out in out dm mm dt mm m m \uf0ec \u2212= \uf0ef \uf0ef \uf0ef = \uf0ed \uf0ef = \uf0ef = \uf0ef \uf0ee massa da populaçã o dos peixes, em kg kg taxa de cr escime nto da massa dos peixes, em a no kg taxa de dec rescim ento da massa, e m ano tempo, em anos taxa de v ariação da m assa no sistema, co m in out m m m t dm dt = = = = = o tempo Substituindo as taxas de crescimento e d ecr escimento na EDO e resolvendo - a por mudança de variáveis, temos:

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