Álgebra Linear e Vetorial (MAD13) Avaliação Final (Objetiva) Individual e sem Consulta

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Disciplina:
	Álgebra Linear e Vetorial (MAD13)
	Avaliação:
	Avaliação Final (Objetiva) - Individual e sem Consulta 
	
	
	
	
	
	
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	1.
	Sobre as aplicações do cálculo dos autovetores e autovalores de uma matriz, podemos colocar as soluções de equações diferenciais que são de interesse físico, como, por exemplo, frequências naturais de vibração de um instrumento musical, ou de uma simples corda esticada. Contudo, anteriormente a isto, devemos compreender corretamente este conceito para que as futuras aplicações sejam corretas. Sendo assim, assinale a alternativa CORRETA que apresenta o conceito de autovetor de transformação:
	 a)
	É um vetor que, após aplicado à transformação, resulta num múltiplo de si mesmo.
	 b)
	É um número real que multiplica o vetor após a transformação.
	 c)
	É um vetor que gera uma base do núcleo da transformação.
	 d)
	É um número real que anula a transformação.
	2.
	Existem várias técnicas utilizadas para calcular o determinante de uma matriz, entre elas estão: Regra de Sarrus, Teorema de Laplace, Teorema de Jacobi, entre outras. Todas essas técnicas podem ser facilitadas se aplicarmos as propriedades dos determinantes, lembrando que os determinantes, bem como suas propriedades, são aplicados apenas em matrizes quadradas. Sendo assim, quanto à possibilidade de o valor do determinante ser nulo, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) O determinante possui duas linhas iguais.
(    ) O determinante possui duas colunas iguais.
(    ) Todos os elementos de uma linha são iguais.
(    ) Uma linha é combinação de outras.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	 a)
	F - V - V - F.
	 b)
	V - V - F - V.
	 c)
	F - F - V - V.
	 d)
	V - V - F - F.
	3.
	A normalização de um vetor é a simples transformação dele em um vetor unitário caso não seja. Este é um dos processos utilizados para delimitar vetores que são ortonormais (como nos estudos no Processo de GRAM-SCHMIDT), ou seja, além de serem ortogonais entre si, possuem comprimento igual a 1. Determine qual dos itens a seguir apresenta a normalização do vetor v = (4, 1, -8) e assinale a alternativa CORRETA:
	
	 a)
	Somente a opção III está correta.
	 b)
	Somente a opção I está correta.
	 c)
	Somente a opção IV está correta.
	 d)
	Somente a opção II está correta.
	4.
	Uma matriz diagonal é a representação matricial mais simples possível. No entanto, não é possível encontrar para toda transformação linear uma base em que a transformação é representada por uma matriz diagonal e, por este motivo, é bastante importante conhecer a estrutura e as propriedades das matrizes diagonais. Imagine então uma matriz quadrada diagonal, cujos autovalores são reais. Sobre o que garantidamente pode se afirmar sobre esta matriz, analise as seguintes sentenças:
I- É simétrica. 
II- Todos os seus autovalores têm multiplicidade algébrica 1. 
III- Tem determinante diferente de 0. 
IV- Pode ter um único autovalor distinto.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	 a)
	Somente a sentença IV está correta.
	 b)
	Somente a sentença II está correta.
	 c)
	Somente a sentença I está correta.
	 d)
	Somente a sentença III está correta.
	5.
	Podemos construir uma matriz de acordo com uma lei de formação baseada em situações com aplicações práticas variadas. Cada uma destas situações poderá representar (ou modelar) algo que necessite da utilização das matrizes para sua resolução. Baseado nisto, dada a matriz a seguir, assinale a alternativa CORRETA que apresenta o termo a23:
	
	 a)
	5
	 b)
	10
	 c)
	6
	 d)
	13
	6.
	A discussão dos sistemas lineares consiste em analisar parâmetros dos coeficientes em relação ao determinante da matriz que representa os coeficientes das equações e, através desses parâmetros, classificar os sistemas quanto às suas soluções. Sendo assim, realizando a discussão do sistema apresentado, analise as sentenças a seguir:
I- O sistema é impossível, para todo k real diferente de -21.
II- O sistema é possível e indeterminado, para todo k real diferente de -63.
III- O sistema é possível e determinado, para todo k real diferente de -21.
IV- O sistema é possível e indeterminado, para todo k real diferente de -3.
Assinale a alternativa CORRETA:
	
	 a)
	Somente a sentença IV está correta.
	 b)
	Somente a sentença II está correta.
	 c)
	Somente a sentença I está correta.
	 d)
	Somente a sentença III está correta.
	7.
	A Imagem de uma Transformação Linear é o conjunto de vetores de um espaço vetorial W, que são imagens de pelo menos um vetor v que pertence a V (espaço de partida). Esta imagem deve satisfazer a lei de formação da transformação e atingir assim um vetor de W. Analise as sentenças abaixo para a transformação:
T(x, y, z) = (x + y, y, z + x) 
Classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) O vetor v = (1, -2, 3) tem como imagem w = (-1, -2, 4).
(    ) O vetor v = (3, -1, 4) tem como imagem w = (5, -1, 1).
(    ) O vetor v = (1, 0, 1) tem como imagem w = (2, 0, 0).
(    ) O vetor v = (2, -4, 0) tem como imagem w = (0, 0, -2).
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	 a)
	V - F - F - V.
	 b)
	F - V - V - F.
	 c)
	F - F - V - V.
	 d)
	V - F - F - F.
	8.
	Os vetores têm aplicação em várias áreas do conhecimento, tanto técnico quanto científico, como física, engenharia e economia, por exemplo. No entanto, são necessárias definições de operações e propriedades para dar respaldo a essas aplicações. Algumas das definições e propriedades tratam-se da soma de vetores e da multiplicação por escalar. Então, resolva 2u + 7v, considerando u = (-3, 2, 1, -1) e v = (-4, 8, -3, 2), e assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	A soma é: (-6, 4, 2, 0).
	 b)
	A soma é: (-7, 9, -2, 2).
	 c)
	A soma é: (-34, 60, -19, 12).
	 d)
	A soma é: (-34, 53, -19, 14).
	9.
	Quando trabalhamos com vetores do espaço vetorial R³, pode-se combinar o produto escalar com o produto vetorial para definir uma nova operação entre três vetores. A esta operação damos o nome de produto misto, porque o resultado é uma quantidade escalar. Em particular, o módulo deste resultado nos calcula o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores. Baseado nisto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) O volume do paralelepípedo formado por (2,-1,3), (0,2,-5), (1,-1,-2) é igual à 19.
(    ) O volume do paralelepípedo formado por (2,-1,3), (0,2,-5), (1,-1,-2) é igual à 38.
(    ) O volume do paralelepípedo formado por (2,-1,3), (0,2,-5), (1,-1,-2) é igual à 15.
(    ) O volume do paralelepípedo formado por (2,-1,3), (0,2,-5), (1,-1,-2) é igual à 12.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	 a)
	F - F - F - V.
	 b)
	F - V - F - F.
	 c)
	V - F - F - F.
	 d)
	F - F - V - F.
	10.
	Além dos conceitos teóricos e processuais vistos a respeito da Álgebra Linear e Vetorial, temos que saber que Transformações lineares são usadas para descrever vários tipos de mudanças geométricas, como: rotação, homotetia, cisalhamento, reflexão, além de outras deformações no plano ou no espaço. Baseado nisto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) T(x,y) = (2x,2y) é uma transformação de expansão.
(    ) T(x,y) = (x/2,y/2) é uma transformação de expansão.
(    ) T(x,y) = (-x,y) é uma transformação de reflexão sobre X.
(    ) T(x,y) = (x,-y) é uma transformação de reflexão sobre X.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	 a)
	F - V - V - F.
	 b)
	V - F - F - V.
	 c)
	F - F - F - V.
	 d)
	V - F - V - F.
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