Aula010 Teoremas de Redes

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CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
Aula 11 
Prof. Humberto Abdalla Jr 
abdalla@ene.unb.br 
Universidade de Brasília 
Teoremas de Redes 
(Técnicas Adicionais de Análise) 
Aula 11 
Universidade de Brasília 
 Reduzir a complexidade do circuito 
para facilitar a sua análise 
 
 Saber como utilizar o PSPICE (software) 
para análise de circuitos 
OBJETIVO 
Aplicável somente a circuitos lineares 
Universidade de Brasília 
 Introducão 
Propriedade da Linearidade 
Superposição 
Transformação de Fonte 
Teorema de Thevenin 
Teorema de Norton 
Maxima Transferência de Potência 
Análise D.C. com o software PSPICE 
Teorema 
de Redes 
Circuito 
 Complexo 
Simplificar 
a Análise 
Universidade de Brasília 
O QUE FAZEMOS PARA... 
Eq
u
iv
al
ê
n
ci
a 
Aplicáveis somente a circuitos lineares 
Circuito 
 Complexo 
Simplificar 
a Análise 
Universidade de Brasília 
O QUE Iremos FAZER PARA... 
Teoremas de 
Circuitos 
‧Linearidade de Circuitos ‧ Teorema de Thevenin 
‧Superposição ‧ Teorema de Norton 
‧Transformação de Fonte ‧ Max. Transferência 
 de Potência 
• Elemento (componente) Linear: tem uma relação linear 
entre causa e efeito 
Aplicável somente a circuitos lineares 
+ - 𝑣𝑠 R 𝑖 Causa: 𝑣𝑠 efeito 𝑖 
Rivs Relação Linear entre causa e efeito 
 
Circuitos Lineares 
Propriedade da Linearidade 
Superposição 
Transformação de Fonte 
Teorema de Thevenin 
Teorema de Norton 
Maxima Transferência de Potência 
Análise D.C. com o software PSPICE 
Teorema de Redes 
Vamos fazer 
uma aplicação 
Exemplo: Calcular 𝑖1 para as fontes de tensão dadas e..., 
Para o caso em que seus valores são dobrados 
6 𝑖1 − 3 𝑖2 = 30 
−3𝑖1 + 9 𝑖2 = −15 
6 −3
−3 9
 𝑖1
𝑖2
 
 30
−15
 = 
Solução: 
Homogeneidade 
(Escalonamento) 
Circuito Linear R
v
kkikv
R
v
iv 
Analise de Malhas 
∆= 6𝑥9 − 9 = 45 
𝑖1 =
225
45
= 5𝐴 ∆1= 
30 −3
−15 9
 = 225 
∆2= 
6 30
−3 −15
 = 180 𝑖2 =
180
45
= 4𝐴 
Calculo de 𝑖1, para o caso em que os valores da Fonte são dobrados 
Quando os valores das fontes são dobrados 
os valores de 𝑖1 & 𝑖2 são também dobrados 
Propriedade da Homogeneidade (Escalonamento) R
v
kkikv
R
v
iv 
𝑖1 = 5𝐴 
𝑖2 = 4𝐴 
𝑖1 = 10𝐴 
𝑘 = 2 
𝑖2 = 8𝐴 
𝑖1 = 5𝐴 𝑖2 = 4𝐴 
Exemplo: 
Uma Boa Aplicação 
Use a linearidade para achar valor de I0 
Causa: 
efeito S 
Solução: 
𝐼𝑜 = 𝑆𝐼𝑆 𝐼𝑠 =
1
𝑆
𝐼𝑜 Vou arbitrar um valor para 𝐼𝑜 (𝐼𝑜 =1) 
Se para 𝐼𝑜 =1 encontrei 𝐼𝑠=B Para 𝐼𝑠 =15, 𝐼𝑜 valerá X Escalonamento 
Para um valor arbitrado 𝐼𝑜 posso via Lei de OHM + LCK achar 𝐼𝑠 
Solução: 
?1 10  vIe A,S A,24/11  vI V8)53( 01  Iv A3012  III V14682 212  IVV
A2
7
2
3 
V
I
A5234  III
A5SI
A510  SIAI
3AA133x5AA15s  xII o
𝐼2 𝐼4 
PASSO 1: Achar 𝑣1 PASSO 2: Achar 𝐼1 
PASSO 3: Achar 𝐼2 Conheço 𝐼𝑜 
Conheço 𝐼𝑜 & 𝐼1 
PASSO 4: Achar 𝑉2 PASSO 5: Achar 𝐼3 
Conheço 𝐼3 & 𝐼2 Conheço 𝐼4 
(𝐼4= 𝐼𝑠) 
1 2 
3 
1 
2 
3 
Universidade de Brasília 
 Introducão 
Propriedade da Linearidade 
Superposição 
Transformação de Fonte 
Teorema de Thevenin 
Teorema de Norton 
Maxima Transferência de Potência 
Análise D.C. com o software PSPICE 
Superposição 
• Obs: uso da propriedade da linearidade 
𝑖1 + 𝑖2 
R 
Rivi 111 
Rivi 222 
21212121 )( vvRiRiRiiii 
Aditividade 
 
𝐼1 
CIRCUITO 
𝐼2 
CIRCUITO LINEAR 
Superposição 
 O teorema da superposição estabelece que em um 
circuito linear podemos determinar a resultante em 
qualquer elemento fazendo-se a soma dos efeitos 
de cada fonte analisada individualmente; 
A tensão sobre (A corrente através de) um elemento 
em um circuito linear é a soma algébrica das tensões 
sobre o (correntes através do) elemento devido a cada 
fonte independente atuando sozinha. 
• Obs: uso da propriedade da linearidade 
Teorema da Superposição 
– Trocar cada fonte de tensão por 0V – curto circuito 
 
– Trocar cada fonte de corrente por 0A – circuito aberto 
 
• Para aplicar o princípio da superposição 
devemos: 
1. Considerar uma fonte independente por vez, enquanto todas 
as outra fontes independentes devem estar desligadas. 
2. As fontes dependentes não devem ser alteradas, pois 
elas são controladas por variáveis do circuito 
circuit
+ -
VS
IS
+
VL
_
IL
Devido a Linearidade 
V a V a IL S S 1 2
Considere o CIRCUITO 
Com apenas duas Fontes 
SV de ÃOCONTRIBUIÇ
1
LV
SI de ÃOCONTRIBUIÇ
2
LV
circuito 
𝑉𝐿 
2 𝑉𝐿 
1 
+ = 
circuit
+ -
VS
IS
+
VL
_
IL
Devido a Linearidade 
V a V a IL S S 1 2
Considere o CIRCUITO 
Com apenas duas Fontes 
SV de ÃOCONTRIBUIÇ
1
LV
SI de ÃOCONTRIBUIÇ
2
LV
circuito 
V L
1
Como encontrar V L1
Pode ser encontrado fazendo a Fonte de corrente 
igual a ZERO (Circuito Aberto) e Resolvendo o Circuito 
𝑉𝐿 
1 
circuit
+ -
VS
IS
+
VL
_
IL
Devido a Linearidade 
V a V a IL S S 1 2
Considere o CIRCUITO 
Com apenas duas Fontes 
SV de ÃOCONTRIBUIÇ
1
LV
SI de ÃOCONTRIBUIÇ
2
LV
circuito 
V L
2
Pode ser encontrado fazendo a Fonte de Tensão igual 
a ZERO (Curto-circuito) e Resolvendo o Circuito 
𝑉𝐿 
2 
Circuito com Fonte de 
Corrente Cancelada (ABERTA) 
1
LI
1
LV
Circuito com Fonte de Tensão 
Cancelada (Curto Circuitada) 
2
LI
2
LV
SUPERPOSIÇÃO de FONTE 
= + 
Devido a Linearidade 
2121
LLLLLL VVVIII 
Princípio da Superposição das Fontes 
Use o Teorema da Superposição para achar 𝑣 Exemplo: 
Solução: 
= + 
V2)6(
84
4
1 

v
A2)3(
84
8
3 

i
V84 32  iv
V108221  vvv
Divisor de Corrente 
Tenho que 
achar 𝑖3 
21 vvv 
= 
Use a superposição para achar a corrente ix Exemplo: 
Fonte Controlada 
Solução: 
= + 
A fonte de tensão controlada pela corrente ix é sempre incluida 
= + 
(b) 𝑖𝑥2 + 3 = 2𝑖𝑥2/1 (c) 3𝑖𝑥1 + 2𝑖𝑥1=10 
5𝑖𝑥1=10 
𝑖𝑥2 = 3𝐴 𝑖𝑥1=2A 
𝑖𝑥 = 𝑖𝑥1 +𝑖𝑥2=5A 
𝑖𝑥 = 𝑖𝑥1 +𝑖𝑥2 = 
2𝑖𝑥2 2𝑖𝑥1 
𝑖𝑥2 𝑖𝑥1 
+ + - - 
Ache 𝑖0 usando superposição Exemplo: 
+ 
Fonte Controlada 
Solução: 𝑖𝑜 = 𝑖𝑜1 +𝑖𝑜2 
𝑖1=4 
6𝑖2 − 3𝑖1 − 𝑖3 = 5𝑖𝑜1 
6𝑖2 − 12 − (4 − 𝑖01) = 5𝑖𝑜1 
10𝑖3 − 5𝑖1 − 1𝑖2 = −5𝑖𝑜1 
10(4 − 𝑖01) − 20 − 𝑖2 = −5𝑖𝑜1 
𝑖2 = 20 − 5𝑖𝑜1 
6(20 − 5𝑖01) − 16 + 𝑖01 = 5𝑖𝑜1 
120 − 30𝑖01 − 16 + 𝑖01 = 5𝑖𝑜1 
104 = 34𝑖𝑜1 𝑖𝑜1=3,058A 
2) Escrever as Correntes de Nó em 
função das Correntes de Laço 
𝐼1 
𝐼2 𝐼3 
𝐼4 
𝐼5 
𝐼6 
𝐼1 = 𝑖1=4A 
𝐼2 = 𝑖2 
𝐼3 = 𝑖1 −𝑖2 
𝐼4 = 𝑖3 
𝐼5 = 𝑖2-𝑖3 
𝐼6 = 𝑖1-𝑖3 
𝑖𝑜1 
Observe que: 
𝐼6 = 𝑖𝑜1 
𝑖1=4A 
𝑖𝑜1= 4− 𝑖3 
1) Associar a Fonte de Corrente a 
Corrente de Laço 1 
5𝑖𝑜1 
4A 
Eq. Auxiliar 
LTK - 2 
LTK - 3 
LTK - 1 𝑖1=4A 
Substituindo em (2): 
(𝑖2) 
Eq. Auxiliar 
6𝑖2 − 16 + 𝑖01 = 5𝑖𝑜1 
Eq. Auxiliar 
= 𝑖1-𝑖3 
+ 
LTK - 5 
6𝑖4 − 1𝑖5 = 5𝑖𝑜2 6𝑖4 − 𝑖5 = 5𝑖𝑜2 
+ 
10𝑖5 − 1𝑖4 = 20 − 5𝑖𝑜2 
Equação Auxiliar: 
𝑖𝑜2 = − 𝑖5 
−10𝑖02 −
2
3
𝑖02 = 20 − 5𝑖02 
6𝑖4 + 𝑖02 = 5𝑖𝑜2 
𝑖4 = 
2
3
𝑖02 
−30𝑖02 − 2𝑖02 = 60 − 15𝑖02 
−17𝑖02= 60 𝑖02 = −3, 5𝐴 
5𝑖𝑜2 
𝑖𝑜2 
1 
2 
3 
𝑖𝑜1=3,058A 
LTK - 4 
? 𝑖02 = 
Solução: 
+ 𝑖02 = −3,5𝐴 = 𝑖0 = −0,42𝐴 
= 
𝑖𝑜1=3,058AUse o Teorema da Superposição para achar 𝑣 Exemplo: 
Divisão de tensão: 
Solução 
321 vvvv 
Solução 
3 resistores em paralelo: 
321 vvvv 
Vv 41 
Solução 
3 W // 2 W em série com 6 W: 
321 vvvv 
Vv 41 
Vv 22  Vv 5324 
Vv 33 
Divisor de Tensão 
Exemplo: Circuito com uma fonte dependente. Qual a Potência entregue a R = 3 W ? 
A potência não é uma combinação linear de tensões ou correntes 
Superposição não pode ser diretamente aplicada para a potência. 
Solução: 
Mas... superposição pode ser aplicada para a tensão. 
𝑝 = 
 (𝑣1 + 𝑣2)
2
3
 
= 
+ 
Vamos encontrar 𝑣1 𝑒 𝑣2 
 
por SUPERPOSIÇÂO 
𝑝 = 
 (6 + 9)2
3
=
152
3
= 75 𝑊 
Universidade de Brasília 
Introducão 
Propriedade da Linearidade 
Superposição 
Transformação de Fonte 
Teorema de Thevenin 
Teorema de Norton 
Maxima Transferência de Potência 
Análise D.C. com o software PSPICE 
Teorema 
de Redes 
Transformação de Fontes 
simplificar os circuitos 
para facilitar a análise. 
Um circuito equivalente é aquele cujo 
as característica tensão-corrente são 
idênticas as do circuito original 
equivalência 
Objetivo: 
Conceito básico: 
FONTES de TENSÃO IDEAL & REAL 
Fonte Real 
Não Existe 
Fonte Ideal 
Resistência da Fonte: 
Resistência da Fonte: 
𝑉𝐿 
𝑉𝐿 
𝑹𝒔 = 0𝜴 
NENHUMA 
𝑹𝒔 > 0 𝜴 
Tipicamente 
menor que 1Ω 
Tensão de Carga: 
Divisor de Tensão 
Tensão na carga 
varia com 𝑅𝐿 
Tensão de Carga: Igual a Tensão da Fonte 
𝑉𝐿 = 𝑉𝑆 
L
LS
S
L R
RR
V
V


Insert Figure 7.8 
FONTES de CORRENTE IDEAL & REAL 
Fonte Real 
Não Existe 
Fonte Ideal 
Resistência da Fonte: Resistência da Fonte: 
𝐼𝐿 
𝑹𝒔 = ∞𝜴 
𝑹𝒔 < ∞ 𝜴 
 da ordem de KΩ 
Divisor de Corrente 
Corrente na carga 
varia com 𝑅𝑆 
Corrente na Carga: 
Igual a Fonte 
de Corrente 
𝐼𝐿 = 𝐼𝑆 
S
LS
S
L R
RR
I
I

𝐼𝐿 
Corrente na Carga: 
 Uma fonte de tensão em série com um resistor é equivalente 
a Uma fonte de corrente em paralelo com o mesmo resistor ? 
Transformação de Fontes 
Quando ambos tem a mesma relação 
tensão-corrente nos terminais a e b. 
QUANDO 
a 
b 
Transformação de Fontes 
Fonte de Tensão: 
L
Lg
g
L R
RR
v
V


Fonte de Corrente: 
L
Lg
gg
L R
RR
Ri
V


Lg
gg
Lg
g
RR
Ri
RR
v


g
g
g
R
v
i 
ou 
ggg iRv 
= 
Ambos tem que ter a mesma relação 
tensão-corrente nos terminais a e b. 
= 
𝑉𝐿 
𝑉𝐿 
• Para toda Fonte de Tensão existe uma Fonte 
de Corrente Equivalente , e vice-versa. 
Transformação de Fontes 
+ 
Rs 
𝑣𝑠 - Rs 𝒊𝒔 = 
𝒗𝒔
𝑹𝑺
 
Rs 𝒊𝒔 
+ 
Rs 
𝑣𝑠 = 𝑖𝑠𝑅𝑠 - 
A relação entre as fontes deve ser constante e de valor igual ao resistor 
 O teorema também se aplica a fontes de tensão e de 
correntes dependentes. 
 
Transformação de Fontes 
𝒊𝒔 = 
𝒗𝒔
𝑹
 
 Fontes Ideais não podem ser convertidas de um 
tipo para outro. 
 
Todas as Fontes– sejam de Tensão ou Corrente 
têm alguma resistência interna. 
 
 A equivalencia entre as fontes de corrente e tensão 
existe somente nos terminais externos. 
 
Transformação de Fontes 
Exemplo: Encontrar a corrente i. 
Resolução pelo método de troca sucessiva de fontes: Solução: 
𝒊𝒔 = 
𝒗𝒔
𝑹
 𝒗𝒔 = 𝒊𝒔𝑹 ou 
EXEMPLO: Resolver por Transformação de Fontes 
𝒊𝒔 = 
𝒗𝒔
𝑹
 𝒗𝒔 = 𝒊𝒔𝑹 ou 
2kW 
Req = 2W 
+ 
- 
𝑉𝑜 
+ 
- 
𝑉𝑜 
Req = 4W 
Para resolver temos Duas Opções 
1. Fazer mais uma transformação de Fonte 
 e ter um circuito com um simples laço. 
2. Usar um divisor de corrente para encontrar Io 
e Achar Vo usando a Lei de Ohm 
Vamos escolher a opção 1 
𝑖 =
8
16
=
1
2
𝐴 𝑉𝑜 =
1
2
𝑥8 = 4𝑉 
𝒊𝒔 = 
𝒗𝒔
𝑹
 𝒗𝒔 = 𝒊𝒔𝑹 ou 
Req = 12W 
Req = 20W 
Req = 4W 
Exemplo: calcule a potência associada a fonte de 6V 
+ 
- 
+ 
- 
6V 40V 
10W 
30W 20W 
4W 6W 5W 
8A 
6W 
+ 
- 6V 
10W 
30W 20W 
4W 
5W 
32V + 
- 
6V 
10W 
30W 
4W 6W 4W 
+ 
- 
+ 
- 
6V 
30W 
4W 
20W 1,6A 
+ 
- 
6V 
12W 4W 
19,2V + 
- 
𝑃 = −0,825 6 = −4,95𝑊 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑟𝑣𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 
+ 
- 
6V 
12W 4W 
19,2V + 
- 
𝑖 𝑖 =
6 − 19,2
16
 
𝑖 = −0,825 𝐴 
Exemplo: calcule vx usando Transformação de Fonte 
 
Solução: 
𝒊𝒔 = 
𝒗𝒔
𝑹
 𝒗𝒔 = 𝒊𝒔𝑹 ou 
Fonte 
Controlada 
Transformação de Fontes também se aplica a 
fontes de tensão e de corrente dependentes 
1 
2 
1 
3 
2 
Req = 1W 
Aplicando LTK: 
01853  xvi
A5,40184  ii
V5.73  ivx
Equação Auxiliar: 
ivvi xx  3013
Universidade de Brasília 
Introducão 
Propriedade da Linearidade 
Superposição 
Transformação de Fonte 
Teorema de Thevenin 
Teorema de Norton 
Maxima Transferência de Potência 
Análise D.C. com o software PSPICE 
Teorema 
de Redes 
PRÓXIMA 
AULA