Aula 06 Momento de Um Binario 08 11 2018

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Aula 6: Mecânica para Engenharia
Momento de Um Binário
Profº Jodilson A. Carneiro
Aula 6: Mecânica para Engenharia
• Duas forças F e –F de mesma intensidade, linha de
ação paralelas e sentidos opostos formam um
binário.
• A soma das forças em qualquer
direção é zero.
• A soma dos momentos das
duas forças em relação
a um dado ponto é diferente
de zero.
Momento de Um Binário
Fonte: Mecânica vetorial para 
engenheiros, 2013.
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Momento de Um Binário
• As duas forças não irão transpor o corpo, mas
tenderão a fazê-lo girar.
Fonte: Engenharia Mecânica: Estática, 2013.
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Momento de Um Binário
• Se rA e rB representam os vetores posição dos
pontos de aplicação das forças F e –F, o momento
das duas forças em relação a O, é
• Se r é o vetor que une os pontos de aplicação das
forças, r = rA – rB, e temos que a soma dos
momentos de F e –F em relação a O é
representada pelo vetor
    FrrFrFr BABA


FrM


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Momento de Um Binário
• O vetor M é denominado momento do binário, e
sua intensidade é dada por
• onde d é a distância perpendicular entre as linhas
de ação de F e –F.
FdrFsenM  
Fonte: Mecânica vetorial para 
engenheiros, 2013.
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Momento de Um Binário
Dois binários, formado pelas forças F1 e –F1 e outro
por F2 e –F2, terão momentos iguais se
e se os dois binários estiverem em planos paralelos
(ou no mesmo plano) e tiverem iguais sentidos.
2211 dFdF 
Fonte: Mecânica vetorial para 
engenheiros, 2013.
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Binário Equivalentes
• Binários diferentes podem atuar sobre um mesmo
corpo e produzir o mesmos momento M.
Fonte: Mecânica vetorial para 
engenheiros, 2013.
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Adição de Binário
• Considere dois planos que se interceptam P1 e P2.
• Há um binário atuando em cada plano,
perpendicular a linha de interseção dos planos.
• As forças resultantes R de F1 e F2, e –R de –F1 e –F2
formam um binário.
Fonte: Mecânica vetorial para 
engenheiros, 2013.
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Adição de Binário
• Sendo r o vetor que liga B a A, podemos
escrever o momento do binário
• e, pelo teorema de Varignon
• O primeiro termo da expressão representa o
momento M1 do binário em P1 e o segundo p
momento M2 do binário em P2. Então, temos
 21 FFrRrM


21 FrFrM


21 MMM


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Binários Representados por 
Vetores 
• Um binário é um vetor que pode ser representado
por uma seta acrescida do símbolo.
Fonte: Mecânica vetorial para 
engenheiros, 2013.
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Substituição de Uma Força Por 
Uma Força em O e Um Binário
• Considere uma força F que atue em um ponto 
A sobre um corpo.
• A força F deve atuar no ponto O.
• Podemos mover F ao longo de sua linha de 
ação, mas não ao ponto O que não atua sobre 
sua linha de ação.
Fonte: Mecânica vetorial para 
engenheiros, 2013.
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• Podemos aplicar duas forças F e –F no ponto 
O.
• A força –F e a força F que atua sobre o ponto A
formam, agora, um binário de momento
FrMO


Substituição de Uma Força Por 
Uma Força em O e Um Binário
Fonte: Mecânica vetorial para 
engenheiros, 2013.
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• Considere um sistema de forças F1, F2, F3, ..., nos 
pontos A1, A2, A3, ..., definidos pelos vetores r1, r2, 
r3, etc.
• Podemos substituir uma força F1 por uma força e 
O e um binário. 
Substituição de Uma Força Por 
Uma Força em O e Um Binário
Fonte: Mecânica vetorial para 
engenheiros, 2013.
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Redução de um sistema de força 
por uma força em O e um binário
• As forças, agora concorrentes, podem ser somadas 
vetorialmente e substituídas pela resultante R.
• Do mesmo modo os vetores binários, podem ser 
somadas vetorialmente e substituídos por um 
único vetor MO
R.
Fonte: Mecânica vetorial para 
engenheiros, 2013.
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Redução de um sistema de força 
por uma força em O e um binário
• Qualquer sistema de forças pode ser reduzido a 
sistema força-binário equivalente atuando em um 
ponto O.
• Devemos observar que cada um dos vetores 
binários, é perpendicular à sua força 
correspondente, mas a força resultante R e o vetor 
binário MO
R não são em geral, perpendiculares 
entre si.
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Redução de um sistema de força 
por uma força em O e um binário
• O sistema força-binário equivalente é definido pelas 
equações
 FR

   FrMM ORO

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• Um sistema força-binário em um ponto O, reduzido
de um sistema de força, pode ser reduzido a um
outro sistema força-binário em um ponto O’.
• A força resultante R permanece inalterada, mas o 
novo momento resultante MO
R,
será igual à soma de MO
R e do 
momento em relação a O’ da 
força R ligada a O.
Redução de um sistema de força 
por uma força em O e um binário
RsMM RO
R
O

' Fonte: Mecânica vetorial para 
engenheiros, 2013.
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• Na prática, a redução de um dado sistema de forças 
a uma força única R em O e um vetor binário MO
R
será efetuado em termos de suas componentes.
• Decompondo cada vetor posição r e cada força F do 
sistema 
kzjyixr ˆˆˆ 

kFjFiFF zyx
ˆˆˆ 

Redução de um sistema de força 
por uma força em O e um binário
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• Então, os vetores resultantes da força e do 
momento são escritos como:
kRjRiRR zyx
ˆˆˆ 

kMjMiMM Rz
R
y
R
x
R
O
ˆˆˆ


Redução de um sistema de força 
por uma força em O e um binário
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Exemplo 01
• Determine os componentes do binário único 
equivalente aos binários indicados abaixo.
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Exemplo 02
• Substitua o binário e a força mostrados na figura
abaixo por uma força única equivalente aplicada à
alavanca. Determine a distância do eixo ao ponto
de aplicação dessa força equivalente.