Livro Analise Estrutural - Sussekind/VOL1

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CURSO DE 
ANÁLISE ESTRUTURAL 
Volume I 
Estruturas Isostaticas 
O (lum de Análise Estnitural compreende os volumes: 
1 - Estruturas isostáticag 
11 - Deformações em estruturas Mbtodo das forças. 
111 -Método das deformapes Processo de Cross. 
CIP-Brasil Cataiogação-na-konlc 
Câmara Brasileira do Livro, SP 
Siisseklnd, 3 0 6 Carlos, 1947- 
S963c Curso de análise estnitural/ José Carlos Siissekind. - 
v.1-3 6. ed. - Porto Alegre -Rio de Janeiro : Globo, 1981. 
v. ilust. (EnciolopMia tbcniui unfversal Globo) 
Bibiiogmííí. 
Conteiido: -v. 1. Estnitiuas isostáticar -2. Deforma- 
ções em estruturas. Método das forps. -3. Método das 
deformaç6es Processo de Cross. 
I 1. EstruturaçAnáüse. (Engenharia) I. Tftulo. U. Tftu- 10 : Estrutu~as isostáticar IU. Sene. 
hdloes parn catálogo slstedtim: 
1. Análise estrutural : Engenharia 624.171 
2. Estruturas: Análise: Engenhada 624.171 
Enciclopédia Técnica Universal Globo 
JOSE CARLOS SUSSEKIND 
CURSO DE 
ANÁLISE ESTRUTURAL 
Volume I 
Estruturas Isostáticas 
6? Edição 
E O i I O R A GLOBO 
Porto Alegre 0 Rio de Janeiro 
1981 
l? Edição -dezembro de 1975 
2? Edição - juiho de 1977 
3? Edição - março de 1979 
4? Ediçáo -maio de 1979 
S? Edlçáo - março de 1980 
Capa: 
Ruben H e m a n n 
A primeira edição desta obra foi realizada em convênio com a 
Universidade de São Paulo 
Direitos exclusivos de edição, em língua portuguesa, 
da Editora Globo S A. 
Av. Getúlio Vagas, 1271 - 90000 P o r t o Alegre, RS 
Rua Sarg. Sllno Hollenbach, 350 - 21510 - Rio de Janeiro, R1 
I Apresentacão 
A idéia de escrever este Curso de Análise Estrutural nasceu da necessi- 
dade encontrada de um texto que nos servisse de'suporte para o ensino da 
Isosiática e da Hiperestática aos futuros engenheiros civis, idéia esta que 
cresceu com o estímulo recebido da parte de diversos colegas de magistério, 
que se vèm deparando com o mesmo problema, e cuja concretização se tomou 
possível a partir do interesse demonstrado pela Editora Globo em editá-lo. 
O Curso de Análise Estmturd será dividido em três volumes, no primei- 
ro dos quais estudaremos os esforços nas estmturas isostáticas, ficando o es- 
tudo dos esforços nas estruturas hiperestáticas e das deformações em estru- 
turas em geral para ser feito nos segundo e terceiro volumes. Nestes últimos, 
incluiremos também o estudo de alguns tbpicos especiais, cujo conhecimento 
julgamos indi~pensável ao engenheiro civil. 
Na apresentação deste Curso, é dever de gratidão mencionar o nome do 
extraordinário professor que é o Dr. Domício Falcão Moreira e Silva, a quem 
devemos nossos conhecimentos de Mecãnica Racional e de Mecânica das 
Estruturas, e por iniciativa de quem fomos lançados no magistério superior, 
I na Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. 
Agradecemos antecipadamente aos nossos leitores e colegas quaisquer 
comentários, sugestões ou críticas que nos venham a enviar através da Editora 
Globo, pois, a partir deles, estaremos em condições de tentar sempre melhorar 
este trabalho, no sentido de torná-lo cada vez mais útil ao nosso estu- 
dante - objetivo final de nossos esforços. 
Rio de Janeiro, 1Q de abril de 1974 
José Carlos Sussekind 
Sumário 
CAmULO I - CONCEITOS FUNDAMENTAIS 
1 - Domínio de estudo da Análise Estmtunl 1 
2 - As grandezas fundzmentais: Força e Momento 2 
2.1 - Força 2 
2.2 - Momento 3 
2.2.1 - Propriedades do momento 4 
2.2 1.1 - Momento de uma força em relaçáo a um ponto 4 
2.2.1.2 - Momentos de uma força em relação a diversos pontos 5 
2.2 1.3 - Momento de uma força em relação a um eua 6 
2.2.1.4 - Momento constante de um sistema de duas forças paralelas, 
de mesmo módulo e sentidos opostos 9 
2.3 - Redução de um sistema de forças a um ponto. Conceito físico 10 
3 - Condições de equilíbrio 10 
3.1 - Casos particulares importantes 12 
3.1.1 - Sistema de forças concorrentes no espaço 12 
3.1.2 - Sistema de forças paralelas no espaço 12 
3.1.3 - Sistema de forças coplanares 14 
4 - Graus de liberdade. Apoios. Estaticidade e Estabilidade 16 
4.1 - Graus de liberdade 16 
4.2 - Apoios 17 
4.2.1 - Estruturas planas canegadas no próprio plano 18 
4.2.2 - Cálculo das reaçóes de apoiÒ 20 
4.3 - Estaticidade e Estabilidade 23 
5 - Esforps simples 25 
5.1 - Caso particular importante: estruturas planas canegadas no próprio plano 34 
6 - Cargas 40 
6.1 - Cargas mncentradas 41 
6.2 - Cargas distribuídas 41 
6.3 - Cargas-momento 45 
CAPITULO U - ESTUDO DAS VIGAS ISOSTÁTICAS 
1 - As equações fundamentais da Estática 48 
2 - Vigas biapoiadas 50 
2.1 - Carga concentrada 50 
2.2 - Carga uniformemente distribuída 53 
2.3 - Carga triangular 55 
2.4 - Carpa-momcnto 59 
2.5 - Casa geral de carregamento 62 
3 - Vigas engastadas e livres 67 
4 - Vigas biapoiadas com balanços 69 
5 - Vigas Gerber 73 
5.L - Introdução 73 
5.2 - Exemplos de decomposição 77 
6 - Vigas inclinadas 79 
6.1 - viga submetida a carregamento distribuído vertical 79 
6.2 - Viga submetida a carregamento distribuído horizontal 81 
6.3 - Viga submetida a carregamento distribuído perpendicular a scu eixo 82 
7 - Problemas resolvidos 84 
8 - F'roblemas propostos 98 
9 - Solução dos pmblemas propostos 104 
CAPfiULO 111 - ESTUDO DOS QUADROS ISOSTATICOS PLANOS 
1 - Quadros simplm 110 
1.1 - Quadro biapoiado 110 
1.2 - Quadro engastado c livre 115 
1.3 - Quadro triarticulado 117 
1.4 - Quadro biapoiado, com articulação L tuante (ou escora) 121 
2 - Quadros com banas c u m 123 
3 - Quadros compostos 130 
3.1 - Introdução 130 
3.2 - Exemplos de decoml,osiçáo 131 
3.3 - Exemplos de resolução 135 
4 - Estudo dos arcos triarticulados 140 
4.1. - Estudo dos arcas triarticulados para carrwamanto vertical em função 
da viga de substituição 141 
4.2 - Definição e determinação da linha de pressões 143 
4.3 - Aplicações 146 
6 - Problemas propostos 156 1 i 
7 - Solução dos problemas pmps tos 170 
2 - Cbdieação das treliças 192 
2.1 - Qiianta à estatiçidde 192 
2.2 - Quanta à lei de formação 195 
3 - Método de Ritter 195 
3.1 - As bases do método 195 
3.2 - Exemplos de aplicação 198 
3.3 - Resolução das treliças de altura constante em f u n ~ ã o 
da viga de substituição 202 
3.3.1 - Treliça com uma diagonal por paiiiel 202 
3.3.2 - Treliças com duas diagonais por painel (Vi@sH:ssler) 214 
4 - Método de Cremona 220 
4.1 - Introdução 220 
4.2 - Apresentação do método 223 
4.2.1 - Notacão das cargas e dos esforço? normais 223 
4.2.2 - Roteiro do método 223 
4.3 - Exemplos 226 
5 - Treliças compostas 231 
5.1 - Conceituação 231 
5.2 - Método dc resoluqão 233 
5.3 - Aplicaçóes 236 
6 - Treliças complexas 241 
6.1 - Conceituação 241 
6.2 - Método geral de resolução das treliças complexas Método de Henneberg) 241 
6.3 - Aplicações 246 
7 - Treliças com cargas fora dos nó? 251 
7.1 - Método de resolução 251 
7.2 - Aplicações 253 
8 - Intmdufão ao estudo das treliças espaciais 258 
9 - Problemas propostos 263 
10 - &l@o dos problemas PrOPOStOS 270 
1 - Estudo das grelhas isostáticas 275 
1.1 - Introdução 275 
1.2 - Definição 276 
1.3 - Aplicações 279 
1.4 - Vigas-balcão 286 
2 - Estudo dos quadros espaciais isostáticos 289 
3 - hohlcrnas propostos 292 
4 - Solu@o dos pmblemaa prnposios 295 
CAP~TULO VI - ESTUDO DAS CARGAS M6VEIS EM 
ESTRUTURAS ISOSTATICAS 
I - lnhoduçáo 298 
1.1 - Classificação das cargas que atuam nas estruturas 298 
1.2 - Definivão das cargas móveis. Trons-tipo 299 
1.3 - O pmblcma a resolver. Forma de resolução 300 
2 - Linhas de influência 301 
2.1 - Dcfinição 301 
2.2 - Fascs dc resolução do problcma 302 
2.3 - Obtençãodos efeitos, conhecidos o trem-tipo i. a linha dc influência 302 
2.4 - Obtenção das linhas de influência para 2s estruturas isostáticas 304 
2.4.1 - Viga engastada e livre 304 
2.4.2 - Viga biapoiada 305 
2.4.2.1 - Pesquisa dos valores máximos 311 
2.4.3 - Viga biapoiada com balanços 320 
2.4.4 - Vigas Gerber 325 
2.4.5 - Sistemas triarticulados 328 
2.4.5.1 - Tcnsões nos bordos das seçõçs 330 
2.4.5.2 - Tensóes nos bordos dos encontros 332 
2.4.6 - Treliyas 342 
2.4.6.1 - Caso particular: treliças de altura constante 346 
3 - Roblemas propostos 351 
4 - solu@Q dos problemas pmpartos 357 
Introducão - ao primeiro volume 
O primeiro volume, em que fazemos o estudo estático das estruturas 
isostáticas, para cargas permmentes e móveis, foi dividido em seis capítulos, 
comentados a seguir. 
O primeiro capitulo (Conceitos Fundamentais) visa a fiwaçãodos c m 
ceitos de Mecãnica Racional que julgamos base imprescindível à boa com- 
preensão da Análise Estrutural; nele d e f k o s as condições estáticas do 
equilíbrio, introduzimos as noções de vínculos, graus de liberdade e estati- 
cidade de uma estrutura e definimos os esforços simples que a t u m numa 
seção de uma estrutura. 
No segundo capítulo (Estudo das vigas isostáticas), apresentamos as 
equações diferenciais fundamentais de Estática, estudando a seguir, para os 
diversos tipos de carregamentos que podem ocorrer na prática, as vigas 
biapoiada, engastada e livre, biapoiada com balanços e Gerber. Durante este 
estudo, são apresentadas ao leitor, pouco a pouco, as idéias básicas para o 
traçado dos diagramas solicitantes, que ao fm deste capítulo, não deverá 
mais encontrar qualquer dificuldade neste setor. 
O terceiro capitulo aborda em detalhes os quadros isostáticos simples e 
compostos. Queremos chamar a atenção para a enorme importância deste 
estudo, pois, embora os quadros isostáticos ocorram com pequena incidência 
I na prática, seu perfeito conhecimento é absolutamente indispensável ao 
estudo das estruturas hiperestáticas. (Este é um problema com o qual nos 
deparamos, constantemente, no ensino de Hiperestáticq motivo pelo quaI 
demos uma grande ênfase ao tratamento dos quadros isostáticos em nosso 
Curso.) 
O quarto capitulo trata do estudo das treliças isostáticas planas (simples, 
compostas e complexas), sendo discutida sua lei de formação è apresentados 
seus dois grandes métodos de resolução (Ritter e Cremona). São feitas 
aplicações para os tipos usuais de treliças da prática. Entre eles, ênfase 
especial mereceu o caso das treliças cujo estudo pode ser feito recair no de 
uma viga de substituição (muito comuns em pontes). 
No final do capitulo, apresentanos as idiias básicas para a geração e o 
estudo das treliças isostáticas no espaço, mostrando como obedecem às 
inesmasidéias básicas válidas para treliças planas. 
O quinto capítulo estuda os quadros isostáticos espaciais, recebendo 
ênfase maior o caso das grelhas. Este estudo não aparece, normalmente, nas 
obras clássicas sobre Estática, o que, a nosso ver, tem contribuído para criar 
quase que um tabu a respeito destas estruturas, que julgamos poder evitar 
começando a estudii-las paralelamente ao estudo das estruturas planas. Este 
procedimento vem sendo adota'do, com grande êxito, nas cadeiras de Análise 
Estrutural na Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, o que nos 
levou à colocação do assunto no primeiro volume deste Curso. 
Finalmente, o sexto capítulo estuda os efeitos estáticos das cargas 
móveis atuantes nas estruturas isostáticas, através do processo das linhas de 
influência. O processo é aplicado para todos os tipos de estruturas isostáticas, 
obtendo-se as envoltórias necessárias ao projeto das pontes, viadutos, vigas 
de rolamento etc. 
Ao fun de cada capítulo apresentamos uma lista de problemas p r o 
postos, cuja resolução é indispensável à sedimentação da teoria e exemplos 
apresentados durante a exposição de cada assunto e que representam a 
parcela de trabalho individual que cada leitor precisa realiia~para atingir 
um bom domínio da Isostática- base sólida e indispensável para o prossegui- 
mento no estudo da Análise Estmtural. 
Na oportunidade, queremos deixar registrados nossos agradecimentos ao 
amigo José de Moura Villas Boas, pelo trabalho de revisão deste volume, e aos 
demais amigos que, com suas sugestões, estímulo e ajuda no traçado das figu- 
ras, colaboraram para elaboração deste trabalho. 
Rio de Janeiro, 3 de Junho de 1974 
CONCEITOS FUI NDAN 
1 - DOMmIO DE ESTUDO DA ANÁLISE ESTRUTURAL 
A Anáiise Estrutural é a parte da Mecânica que estuda as estruturas, consis- 
tindo este estudo na determinação dos esforços e das deformações a que elas 
ficam submetidas quando solicitadas por agentes externos (cargas, variações 
térmicas, movimento de seus apoios, etc.). 
As estruturas se compõem de uma ou mais peças, ligadas entre si e ao 
meio exterior de modo a formar um conjunto estável, isto é, um conjunto 
capaz de receher solicitações externas, abso~ê-Ias internamente e transmiti-las 
até seus apoios, onde estas solicitações externas encontrar50 seu sistema 
estático equilibrante. 
As peças que compõem as estruturas possuem, evidentemente, três diien- 
sões. Três casos podem ocorrer: 
a) duas dimensões são pequenas em relação à terceira; 
h) uma dimensão é pequena em relação às outras duas; 
c) as três dimens8es são consideráveis. 
No l? caso, que corresponde ao da maioria das estruturas da prática, a 
dimensão maior é o comprimento da peça, estando as duas outras dimensães 
nadas no plano a ele perpendicular (plano da seção transversal da peça). 
:ste caso, o estudo estático da peça, que será denominada barra, pode ser 
ito considerando-a unidimensional, isto é, considerando-a representada pelo 
u eixo (lugar geométrico dos centros de gravidade de suas seções trans- 
rsais). Uma barra será dita reta ou curva, conforme seu eixo seja reto ou 
INO. Conforme os eixos das diversas barras que compõem a estrutura este- 
m ou não contidos no mesmo plano, a estrutura será chamada estrutura 
ana ou espacial 
O 2P e o 39 casos são aqueles, respectivamente, das placas; das cascas 
uja espessura 6 pequena em presença da superfície da peça, superfície esta 
2 Curso de analise estrutural 
plana para as placas e curva para as cascas) e dos blocos (caso das barragens) 
e não serão abordados neste Ciifiau de Análise Estrutural; são estudados, a par- 
tir da teoria da Elasticidade, erri Cadeiras próprias (em nível & especialização 
ou pós-graduação, dependendo da Universidade). 
Nosso Curso de Análise Estrutural será, então, um curso da Análise Estni- 
tural das barras. A teoria que aqui desenvolveremos tem precisão excelen- 
te para barras cuja relação do comprimento para a altura seja superior a 
10 : 1, apresentando precisáo ainda boa para relações até 5 : 1. Estas relações 
englobam a esmagadora maioria das barras da prática (Nos casos em que esta 
relação se torne inferior, a peça não mais poder6 ser classificada como barra, 
devendo ser estudada como placa, casca ou bloco, conforme o caso.) 
2 - AS GRANDEZAS FUNDAMENTAIS: FORÇA E MOMENTO' 
..l - Força 
A noção de força é das mais intuitivas possfveis: podemos exercer uma 
força sobre um corpo por meio de um esforço muscular; uma locomotiva 
exerce força sobre os vagões que ela reboca; uma mola esticada exerce forças 
sobre as peças que fotam suas extremidades; etc. Em todos estes casos, O 
corpo que exerce a força está em contato w m aquele sobre o qual ela é exer- 
cida - tratam-se, pois, de forças de contato. Há, também, forças que a t u m 
através do espaço, sem contato, chamadas, por esta razão, forças de ação à 
distância - são as forças devidas à existência de campos agindo sobre o 
corpo. É o caso das forças elhtricas, magnéticas, das forças de gravitação e, 
no caso da Terra, das forças devidas àgravidade (que são os pesos dos corpos). 
Estas últimas serão as mais importantes da Análise Estrutural, c o n f m e 
veremos em seu desenvolvimento. E wmum chamar-se b forças que aluam 
numa estrutura de cargas, denominação esta que manteremos em nosso Curso. 
As forças são grandezas vetoriais, caracterizadas por direçáo, sentido e 
intensidade. Sua unidade, no sistema MT*S, que é o adotado em Engenharia 
Estrutural, é a tonelada-força, cujo símbolo B t*, ou, mais simpmcadarnente, 
t.2 
I Não é nosso objetivo, neste tbpiw, escrever um tratado sobre Estática Abstrata, 
já estudada nas Cadeiras de Mecânica Racional que antecedem àr de Análise Estrutural. 
Faremos, apenas, uma ~~apresentaqão, à nossa maneira, dos conceitos basiws, a respeito 
dos quais, muitas vezes, o aluno que se inicia no estudo da Análise Estrutural apresenta 
dúvidas, mnforme tem demonstrado nossa experiência, bem como a de diversos colegas 
de magistério. 
Não confunair esre Ultimo com a unidade de massa do sistema MTS. 
Conceitos fundamentais 3 
No caso mais geral, que é o das forças situadas no espaço, elas ficam de- 
fuiidas por um ponto de passagem e por suas componentes X, Y e Z segundo 
os eixos triortogonais x , y. z, a partir das quais podemos expressá-las pela 
igualdade 1.1 : 
Não nos deteremos no estudo das propriedades das forças, para as quais 
valem as propriedades dos vetores, já estudadas em Cálculo Vetorial. 
2.2 - Momento 
Seja a barra da Fig. 1-1, suportada em Cpor um cutelo sem atrito e tendo 
um peso de 10 kg suspenso em B, que se deseja contrabalançar por um peso 
suspenso em 
L 4m 2m 1 
Fig. 1-1 
E fácil ver que o peso a ser colocado em A, a fm de contrabalançar o 
efeito da rotação da barra em tomo do cutelo C, deve ser inferior a 10 kg, 
por estar mais afastado de C do que este último; por tentativas, veríamos que 
seu valor deve ser de 5 kg. Este exemplo simples foi escolhido para ilustrar o 
fato de que o efeito de rotação de uma força em torno de um ponto depende 
do valor da força e também de sua distância ao ponto, sendo diretarnente pro- 
porcional a ambos. Se desejarmos, então, criar uma nandeza física, através da 
qual queiramos representar a tendência de rotação em torno de um ponto, 
provocada por uma força, esta grandeza deverá ser função da força e de sua 
distância ao ponto. 
Esta grandeza é o momento, que será defmido da maneira a seguir. 
+ Chama-se mome$o de uma força F em relação a um ponto O ao produto 
vetorial do vetzr OM (sendo+M um ponto qualquer situado sobre a Iinlia de 
ação da força F ) pela força F, conforme indica a Fig. 1-2. 
--t -t Temos: 5 = OMA F (1.2) 
4 Cuno de análise esbutural 
Representaremos o vetor-momento 
* 
m por um vetor com seta dupla (a 
fm de não confundi-lo com uma for- 
ça). Sua direção é perpendicular ao 
plano 5 que contém a reta-suporte da 
força F e o ponto 0; seu sentido é da- 
do, a ~ a f t i r do sentidoba rotação do 
+ L - &\ 3: \ \/ vetor no mesmo, OM para a pjartir o vetor do sentido F ou, o da que rota- dá çio da força F em tomo do ponto 0, 
1 \ pela regra da mão direita, conforme 
indica a Fig. 1-2, fazendo a mão direi- 
ia girar no sentido desta rotação e 
obtendo-se o sentido do vetor-momen- 
to pela posição ocupada pelo polegar 
durante esta rotação (o polegar aponta 
para o lado em que está situada a 
seta dupla do v e t o ~ m o m ~ t o ) p u m6- 
dulo é dado por I ml = i OMi IFlsen a = 
= Fd, isto 6 , i q a l ao produto do mó- 
\ dulo da força F pela menor distância 
do ponto O à sua linha de ação. 
A unidade de momento, no sistema 
Pig. 1-2 MT*S, é o mt (ou tm). 
2.2.1 - Propriedades do momento 
Estudaremos, a seguir, algumas propriedades do momento, que conduzirão 
a conclusóes importantes no estudo da Análise Estrutural. 
2.2.1.1 - O momento m' de uma força ?em r$ação a um ponto 0' é 
igual à soma vetoribdo momento da força F em relação ao ponto O 
com o momento de F, suposta aplicada em O, em relação ao ponto 0 ' . 
Conceitos fundamentais 5 
A partir da definição de momento, temos: 
Como, a partir da Fig. 1-3, temos: 
-I-- O'A = 0 ' 0 t OA, podemos escrever: 
) + - I 
m3= (0'0 ~ O A ) A F = O ' O A F ~ GAF= iii to'Ci~? (1.9, 
ficando demonstrada nossa propriedade. 
+ 
2.2.1.2 - Os momentos de uma força F em relação a diversos pontos 
situados sobre um mesmo eixo têm projeção idêntica sobre este eixo. 
/ 
v'' 
Pig. 1-4 
-, Seja uma força F e um eixo r, definido pelos ponfps O e O', conforme 
indica a Fig. 1.4. Calculado o momento da força F em relação ao pon- 
to 0 , podemos determinar sua projecão sobre a reta r, à qu~chamaremos p 
Calculemos, agora, a projeção do momento m' da força F em relação ao 
ponto O', sobre a reta r. 
A partir da igualdade 1.3, podèmos escrever que: 
6 Cursa de anblise estrutural 
4 + * 
proj, 2 = proj, %.+ proj, (O'OAF) = P + proj, ( 0 3 ~ F) 
+ + 
Ora, sabemos, pela definição de produto vetorii&que+O'O A F é um 
vetar perpendicular à reta r e que, portanto, proj,(O'OAF) = 0. 
.. .. .. 
Com isto temos: proj, m = proj, m' = proj, m" = . . . . . . . . . = p. 
* 
2.2.1.3 - O momento iii de uma força F em relação a um ponto O pode 
ser representado por suas projeções M,, My e Mz na direção de 3 eixos 
cartesianos triortogonais, conforme indica a Fig. 1-5, a partir das quais pode 
ser definido pela igualdade L4: 
Z 
A As projeções M,, My e M, são cha- 
I madas momentos da força ?em rela- 
I ção aos eixosx, y e z, respectivamente. f:,] O um momento eixo é, então, de uma uma força grandeza em relação emi- a 
? - nentemente escalar, cujo sinal 6 posi- 
I tivo ou negativo conforme a dupla seta 
I O --- - v /' 5, do momento resultante & tenha sua I 
---L / projeção sobre o eixo acompanhando 
/Mx ou não seu sentido positivo, ou, o que 
/ dá no mesmo, verificando, pela regra 
da máo direita, se a rotação da força 
em torno do eixo d i um momento no Fig. 1-5 
sentido positivo ou negativo do eixo. 
Levando.se em conta a pypriedade 2.2.1.2 deste tópico, podemos definir 
o momento de uma força F em relação a um eixo como sendo a projeçáõ, 
sobre esse eixo, do momento desta força em relação a qualquer ponto desse 
eixo. 
Observações: a) Calculemos o momento de uma força em relação a 
um eixo que lhe seja coplanar, conforme indica a Fig. 1-6: O momento )m 
desta forç~em+relação a um ponto genérico O deste eixo, send+o dado 
por & = OMA F , é perpendicular ao plano P definido pela força F e pelo 
eixo r. Sua projeção sobre r seráentão, nula. 
Podemos, pois, afirmar que o momento de uma força em relação a um 
eixo que lhe seja concorrente ou paralelo 6 nulo (nos dois casos a forqa e o 
eixo são coplanares). Esta propriedade seri de grande importância no nosso 
estudo. 
onceitos fundamentais 
Fig. I 4 Fig. 1-7 
b) O momento resultante de um sistema de forças coplanares em relação 
a qualquer ponto situado no plano destas forças será sempre perpendicular 
a este plano, pois, a partir da obse~ação anterior, imaginando ser este plano 
o que contém os eixos x e y, leríamos M, = My = O e o momento resultante 
.. 
m ficaria dado por % = M, k, sendo z o eixo perpendicular ao plano das 
forças, conforme indica a Fig. 1-7. Usaremos esta propriedade no estudo das 
estruturas planas, carregadas no próprio plano. 
c) O m6dulo do momento resultante de uma força em relação a um eixo 
pode ser obtido diretamente, sem ser necessário calcular o momento resul- 
tante para, após, achar sua componente na direçzo do eixo: 
Fig. 1-8 
+ * Seja calcular o momento+da forpa F em relação ao eixo z. A força F pode 
:r decomposta nas forças F, e F, indicadas na Fig. 1-8, a primeira paralela 
o eixo z e a segunda situada num plano P a ele perpendicular. A componente 
8 Curso de análise estrutural 
Ex. 11; Calcular os momentos M,, M, e Mz em relaçdo aos eixosx. y z z , 
daforça F , de origem no poiito A(1, 4, O), direçáo e sentido do vetor A 5 e 
cujo mbdulo, em toneladas. é igual ao módulo da distância AB. Verificar, a 
partir de sua definição. que o inoinento % da força3eni relação ao ponto O é 
dado por: 
I F I , por ser paralela a z. não dari momeiito em relação a este eixo, sobrando + apenas o da componente F 2 , cujo módulo é igual ao do momento desta 
força em relação ao p2nto O em que o eixo iiitercepta o plano P. O módulo 
-3 
-, 
Pefa Fi&I-9,godemos ver que a força F pode ser expressa pela igualdade 
F = F, + F, + F,, em que cada uma destas últimas forças é paralela a um 
dos eixos coordenados. Calculemos os momentos de cada uma delas em 
relação aos eixos x, y e z. 
i 
Temos: Para a força Fl : Mx = O (F, 6 paralela a Ox) 
My = O (F, é concorrente com Oy) 
M, = - 4 X F i = - 1 2 m t 
do momento da foiça F em relaqáo ao eixo z será, então. igual a I M, I = F 2 d = 
= Fd sen a, sendo d a menor distância do suporte da força F ao eixo z, 
conforme indica a figura (no caso, o momento seri positivo, pela regra da 
mão direita). Podemos afirmar, então, que o módulo do momento de uma 
força em relação a um eixo é igual ao produto do módulo da força pela menor 
distincia entre a reta suporte da força e o eixo e pelo seno do ângulo 
formado pela força e o eixo: seu sinal é obtido pela regra da mão direita, 
definida anteriormente. 
A aplicação seguinte esclarecera. 
Conceitos fundamentais 9 
Para a força F, : M, = O (F2 é concorrente com Ox) 
My = O (F1 é paralela a Oy) 
M , = - l X F , = - 4 m t 
Para a força F,: M, = 4 X F, = 16 m t 
M Y = - I X F , = - 4 m t 
M, = O (F3 B paralela a Oz) 
4 
Os momentos da força F em relação aos eixos x, y e z serão, então, por 
superposição de efeitos: 
C M x = O + O + 1 6 = 1 6 m t My = O + + - 4 4 - 4 m t M, = - 1 2 - 4 + O = - 1 6 m t +. -, 
Calculemos o momento m da força F em relação ao ponto 0: 
+ ? + ' 
Temos: F = (B - A) = 31 - 4j + 4k e então: 
valor este que já sabiamos a priori, a partir dos valores já calculados para 
Mx, My e M,. 
Obsem~ o leitor a enorme simplicidade com que calculamos os momentos 
da força F em relação aos eixos x , y e z, trabalhando com suas componentes 
nas direçees dos 3 eixos coordenados (não foi necessário calcular menor 
distância entre+a reta AB e cada um dos eixos nem os senos dos ingulos 
form$os por F com cada um dos eixos, porque não trabalhamos diretamente 
com F). Tal procedimento deve ser sempre empregado, a fim de simplificar 
a resolução numérica dos problemas. 
2.2.1.4 - Um sistema de duas forças paralelas, de mesmo módulo e sen- 
tidos opostos, conforme indicado na Fig. 1-10, tem a propriedade de possuir 
momento constante em relaqão a qualquer ponto do espaço, senão vejamos. 
-+ 
O momento das duas forpas F em + 
relaçãú ao ponto genérico O será da- o F 
~ O ~ O ~ : ~ = O ~ , ~ - O ~ A P = -. 
. 
.+ 
F 
= MM'A 2 independendo, portanto, 
da posição de O. Dtzemos, neste caso, 
que as 2 forças formam um binirio, 
que é, conforme vimos, uin invariante 
em relar;ão a qualquer ponto do espa- 
++. 
'o. Fig. 1-10 
10 Curso de análise estrutural 
2.3 - Reduyão de um sistema de forças a um ponto. Conceito físico 
Seja a força indicada lia Fig. 1-1 1.1, que qucremos reduzir ao ponto 0. 
isto 6. cujos efeitos em relação ao ponto O desejamos conliecer. 
Nada se alter+a, sob+o ponto de vista estatico, se acrescentarmos, no ponto 
0. duas forças F e (- F), conforme indicado em 1-1 1.2. Analisando o esquemz 
indicado nesta figura, podemos encará-lo como constit2'do por uma força[ 
aplicada em O e pelo binário formado pelas forças (- F) a g l i c a ~ e m ~ e F 
aplicada em A , que pode ser :.ubstituidz pelo momento m = OA A F, que 
se confunde com o momento da força F em relação ao ponto 0 , conforme 
indica 1-1 1.3. Podemos, então, afirmar que, para reduzir uin sistema de forças 
a um determinado ponto do espaço, basta transferir todas as forças para 
este ponto, acrescentandc, para cada uma delas, seu momento em relação a es- 
te ponto. 
-, 
Um sistema de forças 6, então, redutivel a uma resultante H e a um 
momento resultante %em relação a qualquer ponto O do espaço, nos casos 
mais gerais, iguais, respectivamente, à soma vetorial de todas as forças e à 
soma vetorial dos momentos de todas estas forças em relação ao ponto 0. 
A resultante simboliza a tendência de translação do sistema e o momento 
resultante, sua tendência de rotação em-relação a um eixo passando por 0. 
3 - CONDIÇÓES DE EQUILíBRIO 
Para um corpo, submetido a um sistema de forças, estar em equilíbrio, 
é necessário que elas não provoquem nenhuma tendência de translação nem 
rotação a este corpo. Como a tendência de translação é dada pela resultante 
-+ 
R das forças e a tendência de rotação, em tomo de qualquer ponto, 6 dada 
pelo momento resultante % destas forças em relação a este ponto, basta que 
* 
estes dois vetores R e sejam nulos para que o corpo esteja em equilíbrio. 
A condição necessária e suficiente para que um corpo esteja em equilíbrio, 
Conceitos fundamentais 11 
submetido a um sistema de forqas, C que estas forças sattsfaçam às cquaq6es 
vetoriais: 
- 
-t 
em que R é a resultante das forças e seu momeiito resultante em relayão a 
qualquer ponto do espaço. 
Levando-se em conta que: 
r as 2 equações vetoriais de equilíbrio (1.5) podeni ser substituídas, cada uma 
delas, por trEs equações escalares de equilíürio, obtendo-se o grupo das seis 
equaçóes (I.6), que são as seis equações universais da Esthtica, regendo o 
equilibrio de um sistema de forças, o mais geral, no espaço. 
-i 3E IIcito afirmar que, se para um dado ponto O do espaço temos R = O e R = 0, 
as mesmas igualdades se repetirão para todos os demais, senão vejamos. 
Sejaum sistema de forças que, reduzido a 
uni ponto ü+ do espaço, nos forneceu uma 
resultante R e um momento resultante X , 
conforme indica a Pig. 1.12. Reduzindo es- 
tas solicitações p%,a o ponto O', teremos, 
por infi+uCncia de R, a aparecimento de uma O ' O A R 
forçaR e de um momento dado por^^^^ 
aplicados em O'e, por influência do momen- 
to E , um momento adicional de Z em O' -+ 
(iá que uma carga-momento, por poder ser R 
substitulda por uni binário, é um invariante 
em relaqão a qualquer ponto do espae). 
No ponto 0' temos então, uma força R c 
um monicntoi(Z + %'A 2). Logo, s c z e O 
"morrem nu$s num dado ponto, t;irnb&ni o 
Serão par* todos os demais, iisscgrirando o 
1:ig. 1-12 
12 Curso de análise estrutural 
3.1 - Casos particulares importalites 
3.1.1 - Sistema de forças concorrentes no espaço 
Seja o sistema de forças no espaço, concorrentes no ponto 0, indicado na 
Fig. 1-13, Seu equili%rio 6 , conforme 
sabemos, ditado pelo grupo de equa- 
I ções (1.6). Por se tratarem de forças 
I concorrentes no ponto 0, as três ú1- timas equações do grupo, que simboli- 
zam o momento resultante nulo, de- 
generam em meras identidades (pois 
uma força não dá momento em relação 
/ a um ponto situado sobre sua linha de 
/ 
-I 
qão), perdendo, pois, sua expressão 
x ~ ' Fn como equações. Tal caso será, então, 
regido apenas pelas equações que ca- 
Fig. 1-13 
racterizam a resultante nula, ou seja, 
pelas equações (1.7). 
Observação: Este caso de sistema de forças ocorrerá no estudo do equili- 
brio dos 116s das treliças espaciais, conforme veremos no Cap. IV deste 
volume. 
3.1.2 - Sistema de forças paralelas no espaço 
Seja o sistema de forças paralelas no espaço indicado na Fig. 1-14, Por 
z serem todas as forças paralelas ao eixo 
I Oz, as equações C X = O, C Y = O e ZM, = O degeneram em identidades, 
pois não há componentes de forças 
F3 1 I': 1- paralelas a um dos eixos coordenados nas direções dos dois demais, bem co- L - - - - + v mo não existe momento de uma força 
/'O emrelação a um eixo que Lhe seja 
/ ' th lh paralelo. Permanecerão válidas, então, 
X 
como equações, as indicadas no grupo 
(1.8). que regerão o equilíbrio de um 
kig. 1-14 sistema de forças paralelas ao eixo Oz. 
Conceitos fundamentais 13 
Obse~açóes: a) A equação C Z = O pode ser substituida por uma terceira 
equação de somatóno de momentos nulo em relação a um 3P eixo r, situado 
sobre o plano xy, mas não-concorrente com estes 2 eixos em 0, conforme 
indica a Fig. 1-15, senão vejamos: 
Se temos CM, = EMy = 0, isto 
1s garante que o sistema de forças 
ío apresenta um momento resultante 
em relação ao ponto O (pois CMx = 
= C M y = C M , = O). Um sistema de 
forças paralelas, que satisfaça a estas 
duas primeiras condições, poderia ser 
apenas redutível a uma resultante pas- 
sando por 0; para indicar que esta 
resultinte deve também ser nula, pode- 
mos empregar a equação C Z = O, j5 
Fig. 1-15 discutida anteriormente, ou uma equa. 
qão de somat6rio de momentos nulo 
em relação a um em0 t não-concorrente com os eixos x e y em O. O gmpo 
de equações (1.9) ,poderia ser, então, empregado para estudo do equilíbrio 
deste sistema de forças. em ve7 do grupo (1.8): 
O equilíbrio de um sistema de forças paralelas no espaço pode ser estuda- 
do, então, a partir de três equações de somat6rio de momentos nulo em tela. 
ção a 3 eixos, não-concorrentes os três no mesmo ponto, nem paralelos os 
três entre si, e situados num plano perpendicular ao das forças (não existe 
obrigação de dois desses três eixos serem ortogonais, pois basta eles serem 
>ncorreutes num ponto e termos somat6rio de momentos nulo em relação a 
es, para podermos afirmar que o momento resultante é nulo em relação a 
;se ponto, recaindo-se no raciocínio que introduziu o gmpo de equações 
1.9). 
b) Este tipo de sistema de forças ser4 abordado em detalhe no estudo das 
grelhas, que se far5 no Cap. V deste volume. 
14 Curso de análise esrutural 
3.1.3 - Sistema de forças coplanares 
Seja o sistema de forças situadas 110 plano xy indicado na Fig. 1-16, 
' t 
As equações Z Z =O, Z M , = O e 
Z M , = O se transformam em meras 
I -, + identidades, pois sabemos que um sis- F1. , 1 1 ,..).,:y tema de forças situado no plano xy 
I não possui componentes na direçáo Oz nein dá inoinentos em relação aos eixos 
I x e y , por lhe serem coplanares. Per- 
I maneceiii, então. válidas como equa- 
O C - - - - - - - x ções as duas outras equações de pmje- 
Fig. 1-16 ções Z X = O e Z Y = O e aou t ra 
equação de somatório de momentos 
nulo ZM, = O (que, no caso, coincidirá com Z m o = O, pois todos os momen- 
tos terão a direção 02). O grupo de equações (1.10) regerá, entáo, o equili- 
brio dos sistemas de forças coplanares: 
sendo M o o momento de cada uma das forças em relação a um ponto O 
inteiramente arbitrário, situado no plano das forças. 
Observações: a) As duas equações de projeções Z X = O e Z Y = O 
podem ser substituídas por duas equaçdes de somatSrio de momentos nulo 
em relaqão a dois outros pontos 0' e O" do plano xy, desde que 0 , O'e O" 
não sejam colineares, conforme indica a Fig. 1-17; ou por uma equação de 
somatório de momentos nulo em relação ao ponto 0' e outra de somatório 
de projeções nulo segundo um eixo t que não seja perpendicular a OO', 
conforme indica a Fig. 1-18: 
Fig. 1-17 ng. 1-18 
Conceitos fundamentais 15 
De fato, se temos M o = O e Mo, = 0, isto quer dizer que a única possibi- 
lidade do sistema de forças não estar em equilíbrio seria a dele ser redutível 
a uma resultante cuja linha de ação fosse 0 0 ' ; para amarrar o valor nulo 
dessa resultante, podemos empregar ou uma equação de somatório de momen- 
tos nulo emrelação a uin ponto0': situado fora da reta OO', ou uma equação 
de somat6rio de projeções nulo em relação a um eixo t que não seja per- 
pendicular à reta 00'. Sendo assim, as equações do grupo (1.1 1) (referindo-se 
ao esquema da Fig. 1-17) e do grupo (1.12) (referindo-se ao da Fig. 1-18) 
podem, tambéin, ser empregadas para reger o equilibrio dos sistemas de forças 
coplanares: 
C Z M o = O Z M o = O EMO' = o (I. 12) ZMo,v = O Z T = O 
b) O caso de sistema de forças coplanares é o mais frequente na Análise 
Estmtural, pois a grande maioria das estruturas que se nos apresentam são 
estruturas planas submetidas a carregamentos atuantes no seu próprio plano. 
c) Abordaremos, agora, dois casos particulares dos sistemas de forças 
wplanares, que são o caso de todas as forças serem concorrentes num mesmo 
ponto 0 , conforme indica a Fig. 1-19, e o de todas as forças serem paralelas 
entre si, conforme indica a Fig. 1-20. 
Fig. 1-19 Fig. 1-20 
Para o caso da Fig. 1-19. em que todas as forças passam pelo ponto 0, a 
luação EMo = O perde, evidentemente, a expressão, transformando-se nu- 
-ia identidade. Permanecem apenas, então, as duas equações de projeções 
Z X = O e Z Y = O que regerão, pois, o equilibrio de um sistema de forças 
~p lanares e concorrentes num mesmo ponto (este será o caso do estudo do 
equilíbrio dos nós de uma treliça plana, conforme veremos no Cap. IV 
:ste volume). 
1 16 Curso de análise esbutural 
Para o caso ,da Fig. 1-20, em que todas as forqas sao paralelas ao eixo 
Oy, perde a e>tpressão a equação Z X = O que se transforma em mera identi- 
dade, permanecendo válidas como equações Z:Y = O e Z M o = 0, que rege- 
rão o equilíbrio de um sistema de forças paralelas e coplanares. A equação 
Z Y = O pode ser substituída por uma equação de somatório de momenCos 
nulo em relação a um 2P ponto O', desde que a reta 00' não seja paralela à 
direção das forças (pois, caso o fosse, restaria a possibilidade do sistema ser 
redutível a unia resultante passando por esta reta). O caso de um sistema 
de forças paralelas no plano ocorre no estudo das vigas, que será feito, em 
detalhe, no Cap. I1 deste volume. 
I Resumindo:- um sistema de forças coplanares e concorrentes é regido pe- lo grupo de equações (L13), a seguir: 
I! L - um sistema de forças coplanares e paralelas 6 regido por um dos dois grupos de equações (1.14 ou I.15), a partir do esquema da Fig. 1-20: 
4 - GRAUS DE LIBERDADE. APOIOS. ESTATICIDADE 
E ESTABILIDADE 
4.1 - Graus de liberdade 
Já sabemos que a ação estitica de um sistema de forças no espaço, em 
relação a um dado ponto, &.igual a de sua resultante e $ de seu momento 
resultante em relação àquele ponto; provocando, a primeira, uma tendência 
de translação e, o segundo, uma tendência de rotação. Como, no espaço, uma 
iranslação pode ser expressa por suas componentes segundo 3 eixos triortogo- 
nais e, uma rotação, como a resultante de três rotações, cada uma em torno 
de um desses eixos, dizemos que uma estrutura no espaço possui um total de 
6 graus de liberdade (3 translações e 3 rotações, segundo 3 caos triorto- 
gonais). * 
6 evidente que- estes 6 graus de liberdade precisam ser restringidos, de 
modo a evitar toda tendência de movimento da estrutura, a fm de ser possi- 
vel seu equilíbrio. Esta restrição é dada por apoios, que devem impedir as 
diversas tendências possíveis de movimento, através do aparecimento de 
reações destes apoios sobre a estrutura, nas direções dos movimentos que 
Conceitos fundamenta* 17 
5les impedem, isto é, dos graus de liberdade que eles restringem. Estas reações 
de apoio se oporão às cargas aplicadas a estrutura, formando este conjunto de 
cargas e reações um sistema de forças em equllibrio, e regidas, portanto, pelos 
caupos de equações deduzidos no item anterior, para os diversos tipos de 
sistemas de forças que podem ocorrer na prática. 
4.2 - Apoios 
A função dos apoios, conforme vimos em 4.1,B a de restringir graus de 
liberdade das estruturas, despertando com isto reações nas direções dos 
movimentos impedidos. Eles serão classificados em função do número de 
graus de liberdade permitidos (ou do númerode movimentos impedidos), po- 
dendo ser, então, de 6 tipos diferentes (isto é, podendo permitir 5,4,3,2, 1 
ou nenhum grau de liberdade). Os exemplos seguintes esclarecerão. 
a) Seja o apoio representado na Fig. 1-21, em que temos a estrutura 
apoiada sobre uma esfera perfeitamente lubrificada. O único movimento 
que ela será capaz de Unpedir é a translação na direção vertical Oz, aparecendo 
com isto uma reação R, agindo sobre a estrutura, conforme indica a 
Fig. 1-21. O apoio será dito, então, um apoio com 5 graus de liberdade (ou 
w m I movimento impedido). 
b) Seja, agora, o apoio aa Fig. 1-22. constituído por très esferas ligadas 
?ntre si por três hastes, de modo a ficar formado um conjunto rígido. Ficam 
18 Curso de analise estrutural 
impedidas, no caso. além da translação na direção i. as rotações em torno dos 
eixos .v e y , O apoio será dito, então. um apoio com 3 graus de liberdade 
(que são. no caso, a rotação em torno do eixo Oi e as translações nas direções 
dos eixos 0.i e Oj,) ou com 3 movimentos impedidos. Aparecerão, agindo 
sobre a estrutura, as reaçóes M,, My e R, indicadas na figura. 
C) O esquema da Fig. 1-23 representa a ligação rígida entre a estrutura e 
seu apoio, de dimensões tão maiores que as da estrutura, que podem ser consi- 
deradas infinitas em presença daquelas. Neste caso, o apoio impedirá todos 
os movii~~eiitos possíveis, sendo dito um apoio sem grau de liberdade (ou 
coni todos os movin~entos impedidos). Correspondendo a cada um dos movi- 
mentos impedidos. aparecem, agindo sobre a estrutura, as reaçóes R,, Ry. R,, 
M,. M, e iZ1, indicadas na figura. Este tipo de apoio é chamado engaste. 
Fig. 1-23 
4.2.1 - Estruturas planas carregadas no próprio plano. 
Para o caso das estruturas planas carregadas no próprio plano, que é o 
mais frequente da Análise Estrutural, existem 3 graus de liberdade a combater, 
senão vejamos. 
Supondo a estrutura situada no pla- 
no xy, conforme indica a Fig. 1-24, os 
graus de liberdade a combater são as 
+ 
translaçóes nas direçóes Ox e Oy e a 
Fq rotação em torno de um eixo perpen- 
- dicular ao plano (no caso, Oz), pois L-- -- - -- estas são as iinicas tendências de movi- 
o 
mento capazes de serem produzidas 
t'ig. 1-24 pelo sistema de forças indicado. 
Conceitos fundamentais 19 
são os seguintes os apoios utilizáveis para impedir estes movimentos: 
a) Apoio do 1P gênero ou charrioi 
. que 
Rei 
pel: 
.~.. 
1-25.1 1-25.2 1-25.3 
Fig. 1-25 
O apoio do 1P genero pode ser obtido por uma das duas formas represen- 
tadas nas Figs. 1-25.1 e 1-25.2; na primeira, temos a estratura apoiada so- 
bre um rolo lubrificado que impede apenas o deslocamen& na direção y, 
permitindo livre rotação em torno dele, assim como livre deslocamento na 
direção x ; na segunda, a rotação é assegurada por um pino sem atrito e a 
translação, na direção x, pelos rolos diretamente em contato com o plano 
: serve de apoio, continuando impedido o deslocamento na direção y. 
?resentaremos esquematicamente, em nosso Curso, o apoio do 1P gênero 
a forma indicada na Fig. 1-25.3. Na direção do iinfco movimento impedido, 
aparecerá uma reação de apoio R, conforme indica 1-25.3. 
b) Apoio do 2P gênero, articulação ou rótula 
x Pino 4 V A v 
Se, no apoio da Fig. 1-25.2, substituirmos os rolos por uma chapa presa 
completamente ao plano-suporte. conforme indica 1-26.1. estaremos impedin- 
do todas as translações possíveis, permanecendo livre apenas a rotaçáo, 
assegurada pelo pino lubrificado indicado na figura. A este apoio, capaz de 
restringir todas as translações possíveis no plano, chamamos apoio do 2P 
gênero. Ele será representado esquematicamente, em nosso Curso, por uma 
20 Curro de análise estrutural 
das 2 formas indicadas em 1-26.2 e 1-26.3. Na direção das translações impe- 
didas, aparecerão as reações H e V indicadas na figura, cuja composição 
vetorial nos dará a reação de apoio resultante no apoio do ZP gênero. 
Observaçáo: Não somos obrigados a decompor a reação de apoio resul- 
tante em direções ortogonais4, conforme fizemos na Fig. 1-26; podemos 
decompô-la em duas direções quaisquer (não-paralelas, evidentemente), a 
partir das quais obteremos a reação resultante. Escolheremos sempre o ca- 
minho que mais simplifique o cálculo das reações de apoio. 
c) Apoio do 3P gênero ou engaste 
4 Y Estrutura 
Engaste 
_C H& 
t v 
1-27.1 1-27.2 
Pig. 1-27 
Se ancorarmos a estruma num bloco de dimensões que possam ser 
consideradas infmitas em presença das dimensões da estrutura, conforme 
indica a Fig. 1-27.1, na seção de contato entre ambos o bloco estará impe- 
d ido , por sua enorme rigidez, todos os movimentos possíveis da estrutura e 
dizemos então que ele engasta a estrutura. Um engaste será representado, es- 
quematicamente, da forma indicada em 1-27.2, aparecendo, na direção de 
cada um dos 3 movimentos impedidos (2 translações e 1 rotação), as reações 
de apoio H, V e M indicadas. 
4.2.2 - Cálculo das reações de apoio 
Definidos os apoios, o cálculo de suas reações B imediato, pois elas são 
forças (ou momentos) de ponto de aplicação e direção conhecidas e tais que 
equilibrem as cargas aplicadas à estrutura. Serão calculadas, então, a partir 
das equapões de equilíbrio instituidas no item 3 deste capitulo. Os exemplos 
seguintes esclarecem. 
%er explicação para esta observação no item 4.1 do Cap. iil. 
I 
I Ex. I .Z - Calcular as reaçóes de apoio para a estrutura da Fig. 1-28. 
Aplicando nos apoios do 29 gênero A e do 1P gênero D suas reações, nas 
direções que já conhecemos, e arbitrando para elas um sentido, conforme 
indica a Fig. 1-29, teremos, a partir das equações de equilíbrio 1.10, que 
:em o equilíbrio de um sistema de forças coplanares: 
A 
- 
Fig. 1-29 
Por EMA = 0: 8Vo + 8 - 6 X 4 - 4 X 6 = 0 :. VD = 5 t 
Por XY = O: VA + VD = 6 :. VA = I3 
Por Z X = O: H* = 4t 
Os sinais positivos encontrados confirmam os sentidos arbitrados para 
forças. Caso tivéssemos encontrado algum sinal negativo, isto quereria dizer 
ie o módulo da reação seria o encontrado, e o sentido correto o inverso do 
bitrado, não sendo necessário refazer qualquer cálculo. 
22 Curso de análise estrutural 
Ex. L3 - Calcula1 as reações de apoio no engaste A da estrutura espacial 
da Fie. 1-30. cujas bairas formam, em todos os nós, ângulos de 90". 
k - 3 m 4 
Fig. 1-30 
Como um engaste impede todos os movimentos possíveis, nele aparecerão 
as reações de apoio indicadas na Fig. 1-31, que serão calculadas a partir do 
grupo de equações 1.6 que regem o equilibno de um s~stema de forças no 
espaçr Teremos: 
Por XX = O : X A = I t 
Por I! Y = O: YA = -1 t 
Por X Z = O : ZA = -1 t 
Por Z M , = O : ( M x ) ~ + 2 X 4 - 4 X 3 + 5 X 3 - 3 X 4 = 0 .'. 
.'. (M,)A = 1 mt 
Por ZM,, = O: - 1 X 4 + 5 X 2 = O :. ( M y ) ~ = -6 mt 
por XM, = O: @I,),, + I x 3 - 3 X 2 = 0 :. (MZ)a = 3 mt 
nceims fundamentais 23 
As reaçóes de apoio no engaste A são, entao, as indicadas na I'ig. 1-33. 
Itk' I,, 
"Y A 
Fig. 1-32 
Ohselvações: a) Não exercitaremos mais profundamente, agora, o cálculo 
das reaçóes de apoio porque este assunto será retomado, ao longo de todo 
este volume, para cada um dos tipos estruturais que estudareinos. 
b) Os apoios sZo os vínculos externos da estrutura, isto é, seus vínculos 
em relação a seus suportes (solo o u outra estrutura). Podem existir. também. 
vínculos internos nas estruturas; preferimos não apresentá-los já. a fim de 
não confundir o leitor principiante com um excesso de conceitos tiovos, 
deixando para defini-los nos próximos capítulos, quando aparecerão de Iòrma 
espontãnea. 
4.3 - Estaticidade e Estabilidade 
Acabamos de ver que a função dos apoios 6 limitar os graus de liberdade 
de uma estrutura. Três casos podem então ocorrer: 
a) Os apoios sáo em número estritamente necessáriopara impedir todos os 
movimentos possíveis da estrutura. 
Neste caso. o número de reações de apoio a determinar B igual ao número 
de equações de equilíbrio disponíveis (isto é: número de incógnitas = número 
de equaçóes), chegando-se a um sistema de equações determinado que 
resolverá o problema. (Foi o caso dos exemplos L2 e 1.3 anteriores.) 
Diremos, entáo, que a estmtura é isostática, ocorrendo uma situação de 
equilíbrio estável. 
b) Os apoios sdo em número inferior ao necessário para impedir todos os 
~vimentos possíveis da estrutura. 
Neste caso, evidentemente, teremos mais equações que incógnitas, che- 
gando-se a um sistema de equações impossível, nos casos gerais. A estrutura 
será dita hipostática e será, entáo, instável. (Pode ocorrer uma situação de 
carregamento tal que o próprio carregamento consiga impedir os graus de 
liherdade que os apoios não forem capazes de impedir; será, entao, um 
24 CUM de an&lise estrutural 
caso de equilíbrio, mas de equilíbrio instável, pois qualquer que seja a 
deformação imposta à estrutura, ela tenderá a prosseguir até a Sua mim). 
As estrut~~ras hipostáticas são, então, inadmissíveis para as construções. 
c) Os apoios sáo em número superior ao necessário para impedir todos os 
movimentos possíveis da estrutura. 
Neste caso, teremos menor número de equações que de incógnitas, 
conduzindo a um sistema indeterminado. As equações univenais da Estática 
não serão, então, suficientes para a determinação das reaçóes de apoio, 
sendo necessárias equações adicionais de compatibilidade de deformaçóes, 
conforme veremos no Vol. I1 deste Curso. A estrutura seri dita hiierestática, 
continuando o equilibrio a ser estável (aliás, poderíamos dizer, um pouco 
impropriamente, que o equilibrio é mais que estável). 
ObservaçBes: a) A partir do exposto neste item, pode o leitor ser tentado 
a estabelecer o seguinte critério para classificar uma estrutura (sem vínculos 
internos) como externamente5 isostática, hipostática ou hiperestática: contar 
o número de apoios e ver se é igual, menor ou maior que o número de 
graus de liberdade da estrutura. Este critério 6 perfeito no caso das estruturas 
hipostáticas, mas, no caso das estruturas isostáticas e hiperestáticas, fornece 
apenas uma condição necessária, mas não suficiente, conforme esclarecem 
os exemplos das Figs. 1-33 e 1-34. 
No caso da estrutura plana da Fig. I 3 3 que, como tal, possui três graus 
de liberdade, temos um apoio do 20 gênero e um apoio do l'? gênero, dando 
um total de três reaçóes de apoio a determinar. Isto sugeriria que a estrutura 
fosse isostática, fato que não ocorre, entretanto, pois o apoio A impede 
translaçóes nas direçóes Ax e Ay e o apoio B translação também na 
'A r z ã o desta palavra "externamente" será vista quando estudarmos, no VOl. I1 
deste Curso, a determinação do grau hiperestático de uma estrutura 
Conceitos fundamentais 25 
direção Ax. A rotação do sistema não está, pois, impedida e a estrutura é, 
então, hipostdtica (embora aparentemente isostática). 
Analogamente, a estrutura plana da Fig. 1-34 é aparentemente hiperestá- 
tica, pois temos três graus de liberdade para cinco reaçóes de apoio a 
erminar. Entretanto, 6 fácil ver que nenhum dos apoios impede a 
islação na direção ABCDE; com isto, a estrutura é hipostática (embora 
rentemente hiperestática). 
Portanto, para classificar uma estrutura (sem v i n d o s internos) como 
externamente isostática ou hiperestática, não basta comparar o número de 
reaçóes de apoio a determinar com o de graus de liberdade da estrutura; 6 
necessário nos certificarmos também que os apoios restringem, de fato, 
,dos os graus de liberdade da estrutura em questão (com isto 6 que 
oderemos afastar completamente a possibilidade da estrutura ser hipostática). 
kte assunto será retomado ao longo deste volume, no estudo dos diversos 
pos estruturais que serão abordados. 
b) As estruturas isostáticas serão estudadas neste volume, ficando o 
studo da Hiperestática para os Vols. I1 e 111 deste Curso. 
5 - ESFORÇOS SIMPLES 
Já vimos como um sistema de forças, atuando sobre um corpo, encontra 
seu equilfino através das reaçóes de apoio que provocam. Vejamos, agora, 
quais os efeitos estáticos que estas cargas e reações provocam em cada uma 
das seçóes do corpo. 
Para tal, consideremos o corpo representado na Fig. 1-35, submetido ao 
Wnjunto de forças em equilibrio indicadas (não importa quais são as forças 
aplicadas e quais as reaçóes de apoio; importa, sim, que elas wnstituam 
um todo em equilibrio). Seccionemos o corpo por um plano P, que o 
intercepta segundo uma seção S, dividindo-o nas duas partes @ e @ 
indicadas nas Figs. 1-36.1 e 1-36.2. 
1-36.1 1-36.2 
Pig. 1-36 
Para ser possível esta diviso, preservando o equilibrio destas duas partes, 
basta que apliquemos, na seçáo S da parte 0, um sistema estático equi- 
valente ao das forças que ficaram na parte da direita -já que estas iiltimas 
podem ser encaradas como sendo as forças tais que equilibram as forças 
situadas na parte da esquerda, pois o conjunto de forças da esquerda e da 
direita está em equilíbrio - e, analogamente, na seção S da parte @, 
um sistema estático equivalente ao das forças situadas na parte da esquerda. 
Esses esquemas estdticos equivalentes são obtidos, evidentemente, reduzindo 
as forças à esquerda e à direita da sego S a um ponto qualquer situado 
nesta seçáo S. Este ponto, pelas raz8es que ficarão claras quando do estudo 
da Resistência dos Materiais, será sempre o centro de gravidade G da seção. 
Assim, teremos, reduzindo as forcas situadas na parte @ ao cyt ro de 
gravidade G da seção S da parte 0, o aparecimento da resultante R destas 
forças e de seu momento resultante ?I em relação ao ponto G. Reduzindo 
as forças situadas na parte @ ao c ~ t r o de gravidade G da seçãõ S da 
parte D, obteremos uma resultante R e um momento resultante de 
mesmo módulo e sentidos opostos aos encontrados pela redução &sforça+ 
situadas na parte @ ao ponto G, o que 6 evidente, pois, no I? caso, R 
um sistema estático equivalente às forças existentes na 
20 caso, um sistema equivalente às forças existentes na 
parte Q, que se equilibram, o mesmo acontecendo, então, com os 
vetores R e indicados em 1-36.1 e 1-36.2. 
-+ 
Resumindo, a resdtante R que atua na parte da esquerda foi obtida 
pelas forças da dieita, e viee-vem; o momento resultante % que atna 
na parte da esquerda foi obtido pelas f o v da direita, e vicevena 
Conceitos fundamaiais n 
Podemos, então, dizer que uma seção S de umzorpo+ern equilíbrio 
está, em equilíbrio, submetida a um par de forças R e (-R) e a um par 
de momentos % e (-m), aplicados no seu centro de gravidade e resultantes 
da redução, a este centro de gravidade, 
das forças atuantes, respectivamente, 
à esquerda e à direita da seção S. 
Na Fig. 1-37 está feita esta represen- 
tação, respeitando-se os sentidos indi- 
cados na Fig. 1-36, para um elemento 
do corpo de comprimento infhitesimal 
que contém a seçáo S como seção 
transversal Fig. 1-37 
+ Façamos um estudo detalhado dos efeitos estáticos provocados por R 
e na seção S. I 
I 
a s 
sen 
for 
dic 
vet 
1-38.1 1-38.2 
Pig. 1-36 
-+ Decompondo os vetores R e % em duas componentes,uma perpendiculac 
eção S (tendo, portanto, a direção do eixo da barra, que representaremos 
npregor x) e outra situadgno próprio plano da sego S, ob+temos as 
ças N (perpenAicular a S) e Q (pertencente a S) e osmomentos T (perpen- 
ular a S) e M (pertencente a S). Façamos a análise de cada um desses 
ores, aos quais chamaremos esforças simples atuantes na seção S. 
(Observafão: Pelo exposto, vemos que 6 indiferente calcular os esforços 
simples atuantes numa seção, entrando com as forças da parte A esquerda 
ou da parte à direita da seção. Na prática, usaremos as forças do lado que 
nos conduzir ao menor trabalhode cálculo.) 
a) 3 
Repysentando duas seçaes infmitamente próximas, a tendência das 
forças N será a de promover uma variação da distância que separa as seçdes, 
manecendo as mesmas paraleias uma à outra6, conforme indica a 
6 O esiudo do valor desta vmiaçáo de distancia é feito na Resistência dos Mate~iais. I 
28 Curso de an8lise estrutural 
Fig. 139.2, Por acarretar, entãó, uma tendência de movimento da sego 
normalmente à mesma (que é a direção do eixo), chamaremos a N de 
esforço normal atuante na seção. Podemos, então, definir esforço normal 
atuante numa seção como sendo a soma algébrica das componentes, na 
direção normal h seção, de cada uma das forças atuantes de um dos lados 
desta seção, O esforço normal ser8 positivo quando de traçáo (isto é, 
quando tender a afastar duas seçóes infiitamente próximas ou, em linguagem 
mais simples, quando estiver "saindo" da seçáo), sendo negativo em caso 
contrário (caso da compressáo). 
ObservaçZo: O sentido de esforço normal representado na Fig. 1-39 6 
o positivo, isto 6, o de tnçáo. 
b) e 
Rep~sentando duas seçóes infiitamente próximas, a tendência das duas 
forças Q 6 a de promover um deslizamento relativo de uma em relação & 
outra, conforme indica+a Fig. 1-40.2, aparecendo, então, uma tendência de 
corte. Por esta razão, Q 6 chamada de esforço cortante. 
Conceitos fundamentais 29 
NSo 6 usual, entretanto (por requerer uma soma vetorial), calcular direta- 
mente o esforço cortante atuante na sego; preferimos calcular suas compo- 
nentes Qy e Q, segundo 2 eixos ortogonais y e z arbitrários, situados no 
plano da seçáo, conforme indica a Fig. 1-41, pois que, para efetuar tal 
cAlculo, basta efetuar uma soma algarica de projeçóes, o que 6 bem mais 
cômodo que uma soma vetorial. 
Assim sendo, podemos d e f i esforço cortante atuante numa seçáo, na 
direçáo de um eixo pertencente a esta seção, como sendo igual à soma 
alg6brica das projeções das forças situadas de um dos lados da seçáo 
segundo a dueçáo deste eixo. Orientando os eixos y e z nos sentidos 
arbitrários indicados na Fig. 1-42 (o eixo x tem sempre a direçáo normal 
à seção), diremos que um esforço cortante Q,, ou Q, 6 positivo quando, 
calculado pelas forças situadas do lado esquerdo da seçáo, tiver o sentido 
positivo dos eixos y e z ou, o que dá no mesmo, quando for caleuIado 
pelas forças situadas do lado direito da sego, tiver o sentido oposto ao 
sentido positivo dos eixos y e z. Em caso contrário, diremos que o esforço 
cortante 6 negativo. 
Defmmios, então, esforço cortante atuante nnma se@o como sendo ignal 
r3 sana vetorial das componentes, sobre O piano da sepio, das forças 
situadas de um dos iados desta seção. 
30 Cuim de analise estrutural 
A razão desta coiivenção de sinais ficará clara no desenvolvimento dos 
demais capítulos deste volunie, de modo que, por ora, não faremos maiores 
coineiitários sobre ela. 
()bsrn,o@o: Note o leitor que os sinais obtidos para os esforços cor- 
tatites e,. e Q, são fuiição das sentidos que arbitramos para os e ixos j e z. 
~onhecidos Q,, e Q... O esforço cortante resultante na seção é imediatamente 
obtido a do esquema da Fig. 1-41, 
c) T 
Representando duas seções mfmita- 
mente rbximas, a tendência do mo- 
&? 
mento $ 6 a de promover umarotaçáo 
relativa destas duas seções em torno 
de um eixo que hes é perpendicular, 
passando pelo seu centro de gravidade 
- 
T (exo x, portanto). Podemos dizer, em 
linguagem simplista, que o momento ? 
está torcendo a peça e ele 4, pois, 
denominado momento torçor atuante 
Fig. 143 na seçáo. 
Defuimios, então, momento torçor atuante numa seção S como sendo 
a soma algébrica dos momentos das forças situadas de um dos lados desta 
seção em relação ao eixo nomal a seção que contém o seu centro de 
gravidade. 
A convenção de sinais que adotaremos para o momento torçor 6 inteira- 
mente análoga i do esforço nomial. Diremos que um momento torçor € 
positivo quando o vetor de seta dupla que o representa está como que 
tracionando a seção em questão, sendo negativo em caso contrário (no caso 
da Fig. 1-43, o momento torçor indicado é positivo). 
d) X 
Reprzentando duas seções infinitamente próximas, a tendência do mo- 
mento M, conforme a regra da mão direita, é a de provocar uma rotaçáo 
da seção em torno de um eixo situado no seu próprio plano. 
Como um momento pode ser substituído por um binário, vemos que O 
efeito de 2 pode ser assimilado ao do binário indicado na Fig. 1-44.2, 
que provoca uma tendência de alongamento em uma das partes da seção 
e uma tendência de encurtamento na outra parte. A peça ficará então 
fletida, sendo, por isto, denominado $de momento fletor. 
~nceitos fundamentais 31 
Fig. 144 
Definimos, então, como momento fletor atuante numa seção, à soma 
vetonal das componentes, sobre o plano da seção, dos momentos de todas 
as forças situadas de um dos lados da seção em relação ao seu centro de 
gravidade. 
Náo é usual, entretanto, por requerer uma soma vetorial, calcular direta- 
mente o momento fletor atuante numa seção; preferimos calcular suas 
componentes My e M, segundo ,2 eixos ortogonais arbitrários (os mesmos 
idotados para o cálculo de Qy e Q,) y e r , situados no plano da seção, 
:onfonne indica a Fig. 1-45. pois que, 
>ara tal cálculo, basta efetuar uma z 1 
soma algébrica de valores, ao invés de 
uma soma vetorial. Cgnhecidos My e 
M,, a obtenção de M é imediata, a 
partir do esquema da Fig. 1-45, Assim 
sendo, definimos momento fletor atn- 
ante numa seçáo, na direção de um 
eixo contém pertencente o seu centro a esta de seção gravidade, e que @Ly 
como sendo a soma algébrica dos 
momentos das forças situadas de um Fig. 145 
dos lados desta seção em relação a 
esse eixo. 
Para o momento fletor, desejamos sempre conhecer que fibras estão 
tracionadas e que fibras estão comprimidas (para, no caso das vigas de 
concreto amado, por exemplo, sabemos de que lado devemos colocar as 
barras de aço, que são o elemento resistente à traçáo). Náo terá, então, 
sentido físico algum estabelecemos uma convenção de sinais baseada em 
orientação dos eixos y e z, de modo que não agiremos desta forma, 
preferindo calcular o módulo do momento fletor, acrescendo-o da infor- 
mação de que fibras ele traciona (para obter que fibras da seção estão 
tracionadas pelo momento em questão, basta substitui-lo por um binário 
de mesmo sentido que ele, ficando a parte tracionada defuiida pela força 
do binário que tiver o sentido de traçáo). Assim, para o caso da Fig. 1-45. 
o momento MI traciona as fibras do lado esquerdo da seção (em perspec- 
tiva, na Fig. 1-46.1, correspondendo as fibras da frente) e o momento My 
traciotia as fibras da parte superior, conforme se pode verificar pelo esquema I da Fie. 1-46.2. 
(As setas, nas fmras, indicam o sentido em que as fibras da seçáo 
, tendem a se deformar.) 
Resumindo, podemos dizer que, numa seção+atuam, no caso mais ger% 
quatro esforços simples: um esforço normal N, um esforço cortante Q 
(definido por suas componentes Q.,, e Qcsegundo 2 eixos ortogonais y e z 
per t enFes ao plano da seção), um momento torçor 7 e um momento 
fletor M (definido por suas componentes My e Mr segundo estes mesmos 
eixos y e z). Estes esforços simples são obtidos pelas forças atuantes de 
um dos lados da seção, trabalhando-se, em geral, com aquele que conduzir 
ao menor trabalho de cálnilo numérico. 
EX. 1.4 - Obter os esforços simples atuantes na se@ S indicada p m a 
estrutura da Fig. 1-47, cujas barras formam, em todos OS nós, ângulos de 90"- 
~nceitos fundamentais 33 
I 
Entrando, no caso, com as forças situadas à direita da seção (o que é 
muito mais simples, pois, se quiséssemos entrar com as forças da esquerda, 
teríamos que fazer o d a d o previ0 das reaçóes de apoio no engaste A), 
obtemos, reduzindo-as à seção S, os esforços indicadosna Fig. 1-48. 
A partir do esquema da Fii. 1-48 temos, levando em conta as definiçóes 
e convenç6es de sinais dadas para esforços simples neste item, os esforços 
seguintes na sego S: . 
Esforço normal: N = -2 t (comprime a seção) 
Esforços cortantes: Qy = -1 t (calculado pelas forças da direita tem o 
mesmo sentido que o sentido positivo 
de OY) 
Q, = , 4 t (calculado pelas forças da direita tem 
sentido oposto ao sentido positivo Oz) 
Momento torçor: T = -12 mt (o vetor de dupla seta está como que 
"comprimindo" a seçáo) 
Momentos fletores: My = 8 mt, tracionando as fibras superiores 
M, = 8 mt, tracionando as fibras da frente. 
Qbsewações: a) A identificação das fibras tracionadas pelos momentos 
M, e M, 6 imediata a partir dos binários equivalentes indicados na Fig. 1-49 
tas fibras tracionadas esttio hachuradas). 
1-49.1 Pig. M 9 i-49.2 
34 Curso de análise estrutural 
b) Pela composição vetorial de Q, com Q, e de M." com M, podemas 
obter o esforço cortante Q e o momento resultante -fletbr M resultantes 
atuantes na seção, que são iguais a: 
Não d usual, entretanto, fazermos este cálculo,pois trabal!Iamos diretamente 
com as componentes Qy, Q,, MY e M,, conforme se verá no Cap. V deste 
volume e no Vol. 11 deste Curso. 
C) Recomendamos ao leitor, como exercício, refazer o cálculo destes 
esforços simples entrando com as forças do lado esquerdo (que são as 
reaçòes de apoio iio engaste). Chegar-se$, evidentemente, aos mesmos 
resultados. 
d) Como os eá ldos de esforços simples são feitos para o centro de 
gravidade das seçòes, representaremos daqui para a frente as estruturas 
compostas de barras pelo seu eixo (lugar geom6trico dos centros de gravidade 
das seçóes). 
I/ 5.1 - Caso particular importante: estmturas planas carregadas no próprio I/ 1 plano 
Seja a estrutura representada na Fig. 1-50.1, que admite um plano P de 
simetria, estando todas as cargas aplicadas nesse plano. 
I 
Destacando o traço da estrutura neste plano de simetria P, que contkn 
o eixo da estrutura, obtemos o esquema representado na Fig. 1-50.2, em 
que a linha tracejada representa o eixo da estrutura. Trata-se, então,' de 
um sistema de forças coplanares, caso partinilar de um sistema de forças 
Conceitos fundamentais 
I 35 
1 
no espaço. Os esforços simples sao, então, um caso particular do caso do 
1 espaço e teremos, chamandoxy ao plano da estrutura, os seguintes esforços 
nulos: My = O, T = O (pois ambos seriam momentos das forças situadas 
1 de um dos lados da seção em questão em relação a eixos situados no mesmo plano das forças, momentos estes nulos, conforme vimos em 2.2.13 - 
observação a) e Q, = O (po~s não há carregamento na direção 2). Sobram, 
então N, M, e Qy, que serão, respectivamente, o esforço normal, o 
momento fletor e o esforço cortante atuantes na seção em estudo. No 
I caso da estrutura plana carregada no próprio plano, o momento M, se 
confunde com o momento resultante M das forças situadas de um dos 
lados da seção em relação ao seu centro de gravidade e 6 preferível 
representá-lo por uma curva que indica seu sentido de rotação, conforme 
mostra a Fig.1-51, ao invds de um vetor de dupla seta, puis a curva 
pertence ao plano das cargas, ao passo que o vetor de dupla seta seria a 
ele perpendicular, o que nos obrigaria a representar uma terceira dimensão 
perpendinilar ao plano. O momento fletor será defmido, como sempre, 
pelas fibras que está tracionando. 
O esforço cortante Qy se confunde, também, com o esforço cortante 
iultante na seção (pois Q, = O) e representá-lo-emos, entzo, por Q. Sua 
nvenção de sinais 6 a m e w a do caso do espaço, mas, apenas para evitar 
grau de iiberdade na escolha da orientação dos eixos, orientaremos o 
:o y para cima7 (a direção x d sempre a do eixo da barra em estudo) e 
demos, então, dizer que o esforço cortante é positivo quando, calculado 
Ias forçds da esquerda, for voltado para cima, ou, quando calculado pelas 
r p da direita, for voltado para baixo. 
Quanto ao esforço normal, nada há a acrescentar, valendo tudo que foi 
dito no caso do espaço tridimensional. 
Na Fig. 1-51, representamos os esforços simples M, N, Q, que podem 
atuar numa seção S de uma estrutura plana. Notar que os esforços indicados 
como atuando na parte da direita (Fig. 1-51.2) foram calculados com as, 
I 
I 
"ver observaçáa h deste item. 
36 Cursa de análise esiruemutural 
forças existentes na parte da esquerda e vice-versa. No caso da Fig. 1-51. 
os esforços cortante e normal indicados são positivos e o momento fletor 
traciona as fibras de baixo, conforme mostra o esquema da Fig. 1-52, em 
que substituímos MS por um binário equivalente, indicado em pontilhado. 
Pig. 1-52 
Resumindo, podemos d e f ~ da maneira seguinte os esforços simples 
atuantes numa seção de uma estrutura plana, carregada em seu próprio 
plano: 
- Esforço nonnal: L! a soma algébrica das projeç6e.s das forças atuantes 
de um dos lados da seção na direção do eixo da estmtura (direção normal 
à seção); 
- Esforço cortante: B a soma alg&rica das projeçóes das forças atuantes 
de um dos lados da seção na diieção perpendicular ao eixo da estrutura; 
- Momento fletor: é a soma alg6brica dos momentos das forças atuantes 
de um dos lados da seção em relação a seu centro de gravidade. 
As convenções de sinais para esforço nomal e esforço cortante já foram 
explicadas anteriormente e o momento fletor deve ser acrescido da infor- 
mação de que fibras da seção ele traciona. 
Observações: a) Muitos autores, a de eliminar a necessidade de se 
escrever, com palavras, que fibras da seção o momento fletor traciona, 
adotam para ele a seguinte convenção de sinais: 
Pontilhando um dos fados da estru- 
tura, conforme indica a Fig. 1-53, diie- 
mos que o momento fletor é positivo l - - - - - - l 
quando traciona as fibras do lado 
pontilhado, sendo negativo em caso 1 I mntririo. de se dizer, E através m forma, de um como sinal, se quais vê, I I são as fibras tracionadas pelo momento 
fletor e que nós adotaremos também. 
Fig. 1-53 No caso de todas as barras serem 
horizontais (caso das vigas, que estuda- 
remos no Cap. 11) suporemos sempre 
Concaitoa fundamentais 37 
que o pontilhado esteja do iado de baixo, isto 6, suporemos positivo o 
momento fletor que tracionar as fibras inferiores da estmtnra.' 
Para as estruturas espaciais, não 6 interessante a adoção desses pontilhados, 
pois, devido ao fato de existirem momentos fletores em 2 planos distintos, 
seríamos obrigados a pontilhar 2 lados da estmtura, representação esta que, 
feita em perspectiva, poderia trazer o perigo de um entendimento errado 
no caso da perspectiva não ser suficientemente clara. Por esta razão d que, 
nas estmturas espaciais, preferimos dizer, com palavras, quais sáo as fibras 
tracionadas pelos momentos fletores. 
b) Na furaçffo da convenção de sinais de esforços cortantes, falamos em 
forças da esquerda, em forças da direita e em orientação do eixo perpen- 
dicular ao eixo da barra para cima. No caso de uma barra vertical, poderíamos 
ficar em dúvida quanto a esta classificação. Tal problema é, no entanto, 
facilmente solucionável, bastando que nós olhemos a barra por uma posição 
tal que ela fique horizontal (at6,no principio, caso o leitor tenha dificuldades, 
aconselhamos que ele gire o papel at6 tornar a barra horizontal), recaindo-se 
então na situação de defuiição. 
Seja, por exemplo, a estrutura da Fig. 1-54, submetida ao carregamento 
autoequilibrado indicado, para a qual desejamos determinar o esforço 
cortante em S. Olhando a barra na posição indicada pelo observador 0, a 
força P, aplicada em A, se comporta como força esquerda e o esforço 
cortante será P, para baixo, e igual, portanto, a QS = -P (cortante para 
baixo pelas forças da esquerda é negativo). Note o leitor que d inteiramente 
indiferente o lado pelo qualolhamos para a barra: se estivéssemos oihando-a 
na posição do observador O', a. força P aplicada em A seria uma força à 
direita e o cortante, para cima, calculado pelas forças A direita é negativo, 
com o que obteríamos o mesmo valor. 
8 As razões para isto ficará0 claras a partu da d h s & dos iesultados daintegração 
d=M equago diferencial 
= -q, feita no Cap. ii deste volume. 
I ds 
38 Curso de análise estrutural 
Coiicluindo. para fins de obtenção de esforço cortante, devemos olhar 
cada uma das barras de uma posição tal que elas se comportem como 
horizontais, aplicando então a convenção de sinais já definida 
Ex. 1.5 Obter os esforços simples atuantes nas seçóes SI e S2 da 
estrutura da Fig. 1-55, submetida ao carregamento indicado. 
I 
Conceitos fundamentais 
Fig. 1-55 
Para obtermos os esforços simples, necessitamos inicialmente calcular as 
reaçòes dk apoio, iudicadas na Fig. 1-55, A partir das equações de equilíbrio, 
temos: 
Por Z M A = O : 9 X 2 + 9 X 6 - 9 V g = O : V g = B t 
Por Z Y = O : V , + V D = 9 . V, = I t 
Por ZX = O : H ~ = 9 t 
(Os sinais positivos encontrados indicam que os sentidos arbitrados para as 
reações na Fig. 1-55 estão corretos.) 
Temos, então: 
a) seção SI 
Calculando pelas forças à esquerda, temos o esquema indicado na 
Fig. 1-56.1, a partir do qual, obtemos: 
Ns, = -1 t (compresGo) 
Qsi = 0 
MsI = + I R mt (o sinal positivo indica que as fibras tracionadas são as do 
lado pontilhado, conforme indica a Fig. 1-56.2). 
1x4 - 9x2=18mt 
1-56.1 Pig. 1-56 
lbservaffio: Os esforços poderiam também ser calculados pelas forças 
iireita, obtendo-se os mesmos valores, evidentemente, conforme indica 
ig. 1-57. 
Fig. 1-57 
:alculando pelas torças à esquerda temos, conforme o esquema da 
1-58: 
40 Curso de analise estrutural 
Ex. 1.6 - Calcular os esforços simples atuantes na seção S da estmtura 
da Fig. 1-59. 
+ 10m + 
Fig. 1-59 
Estando a estrutura submetida a um carregamento autoequilibrado, as 
reações de apoio são nulas (pois não 6 necessária força adicional alguma para 
equilibrar o carregamento atuante) e os esforços simples na seção S, calculados 
pelas forças à esquerda da sego valem, a partir do esquema da Fig. 1-60: 
Fig. 1-60 
\ 
(Os'sentidos dos esforços indicados na Fig. 1-60 estáo corretos; os sinais 
são negativos em obediência às nossas convenções de sinais.) 
1 Conceitos fundamentais 41 
6.1 - Cargas concentradas 
Suponhamos uma roda de um caminhão descarregando uma reação P sobre 
uma ponte, conforme simboliza a Fig. 1-61. 
Esta reação P será descarregada ao 
longo da área de contato da roda com 
1 
a ponte, que é bastante pequena (ca- 
racterizada por o ) , mas não nula. Não 
haverá, então, a aplicação, rigorosa- 
mente falando, de uma carga concen- 
trada P na estmtura; haverá, sim, a 
aplicação de uma carga distribuída, 
mas segundo uma área tão pequena u a 
que podemos considerá-la nula em Fig. 1-41 
nresença das dimensões da estmtura. 
As cargas concentradas a o , entáo, uma forma aproximada de tratar 
rgas distribuídas segundo áreas tão pequenas (em presença das dimensões 
da estmtura), que podem ser consideradas nulas. Neste caso, o erro cometido, 
por esta razão, 6 absolutamente desprovido de significado e, portanto, 
inteiramente tolerável, tendo em vista a simplificação de trabaiho de cálculo 
-"e ele possibilita. 
6.2 - Cargas distninídas 
Ate agora, só lidamos com cargas concentradas em nossos exemplos. 
Façamos, então, um estudo das diferentes leis de distribuição de cargas 
que podem ocorrer na Análise Estmtural. 
g~shidaremos neste item a classificaçáo das cargas apenas quanto B sua lei de 
distribuição. Não estudaremos, por ora, a classificação das cargas quanto à sua owirência 
em relação ao tempo (cargas permanentes e cargas andentais), nem quanto à forma com 
que carregam as estruturas (cargas diretas e cargas induetas); este estudo será feito no 
Cap. VI deste volume. 
Suponhamos que a estmtura 0, indicada na Fi. 1-62, supor4e o corpo 
@ indicado, cujo peso especifico é 7'. Este peso introduzirá, evidentemente, 
um carregamento na estmtura 0, carregamento este distribuído e contínuo, 
ja taxa de distribuição vamos calcular. 
Fig. 1-42 
42 Curso de análise estrutural 
O volume do corpo que carrega um trecho de com rimento ds da estrutura 
6 ~ d s , sendo s a área da seção determinada em 6 C por um plano perpen- 
dicular ao eixo da estrutura. O peso deste volume será: dP = ySds e a 
taxa de distribuição de carregamento q(s) ao longo do eixo da estrutura 
vale, entáo, q(s) =% = yS, conforme indica a Fig. M3, variando então 
proporcionalmente com a variaçáo do valor da área S. 
Fig. 1 6 3 
Os tipos mais usuais de cargas distribuídas que ocorrem na prática são 
as cargas uniformemente distribuídas (S = constante) e as cargas triangulares 
(casos de empuxos de terra e de água,principalmente), indicadas na Fig. 1-64. 
M A 1 -Orna uniformemente distribuída 
u 
- 
164.2 - Carga triangular 
Pig. 1-64 
Com menor frequéncia, ocorrem ainda carregamentos parab6licos e, em 
casos mais excepcionais, carregamentos de forma inteiramente aleat6ria. 
Os diversos tipos de cargas distribuídas serão estudados, em detalhe, no 
Cap. I1 deste volume. Um problema, no entanto, precisa ser resolvido desde 
já: o da determinação da resultante de um carregamento distribuído em 
módulo, direçáo e sentido, a fm de sermos capazes de calcular reaçÍ3es de 
apoio e esforços simples em estmturas submetidas a carregamentos distri- 
buídos. Sua soluçZo d simples, senáo vejamos. 
Como uma carga distribuída pode ser encarada wmo uma soma infinita 
de cargas concentradas infinitesimais, qds, conforme indica a Fig. 1-65, a 
resultante do car~egamento distripuido ser6 igual a: 
R =[ qds, 
Conceitos fundamentais 43 
ou seja, será igual à área S2 Imitada entre a curva que detine a lei de variaçáo 
do carregamento e o eixo da estmtura. 
Fig. I45 
Para obtermos a posição desta resultante, basta lembrarmos que, como 
ela 6 a força tal que d capaz de substituir estaticamente o carregamento 
distribuído atuante, ela deverá dar, em relação a qualquer ponto do espaço, 
o mesmo momento que o dasforças da qual ela 6 resultante. Assim, chamando 
-. 
s a distância da resultante a um ponto gendrico 0, temos: 
Momento da resultante = R: = X 1" qds 
B 
Soma dos momentos das componentes =i (qds)s I" qsds 
Igualando, obtemos: 7 = 
Pela expressão obtida para F, podemos encarar esta distância como sendo 
a razão entre o momento estático da área C2 em relação ao eixo z e o valor 
C2 desta área. Isto, a partir da defdçáo de centro de gravidade de uma 
área C21°, indica que S 6 a distância do centro de gravidade da área C2 ao 
eixo z e podemos escrever, ent%o, fmalmente, que a resultante de um 
carregamento distniuido é igual i área compreendida entre a linha que 
defuie este carregamento e o eixo da barra sobre a qual está aplicado, 
sendo seu ponto de apLicaçáo o centro de gravidade da referida ârea. 
''ver em livros de Cálailo Integral, Mecânica Racional ou Resistência dos Materiais. 
44 Curso de an8lise estrutural 
Ex. 1.7 - Obter as reações de apoio para a estrutura da Fig. 1-66. 
G 6 m 4 
Fig. 1-66 
Para obter as reações de apoio devemos, inicialmente, substituir as cargas 
distribuídas por suas resultantes (que produzem os mesmos efeitos estáticos 
que elas). Assim, temos, levando em conta as conclusóes obtidas para 
carregamento distribuído neste item, a partir do esquema da Fig. 1-67, as 
seguintes reaçóes de apoio: 
Por Z M A = O : 6 V ~ t l X 2 - 4 X 2 - 6 X 4 = 0 :. V B = 5 t 
Por Z Y = O : V ~ = 6 - V a = l t 
Por X = O : H A = ~ - 1 = 3 t 
(Os sinais positivos confirmam os sentidos arbitrados na Fig. 1-67,) 
Conceitos fundamentais 45 
Ex. 1.8 - Obter os esforçossimples atuantes na seção S da Fig. 1-66, 
Entrando, por exemplo, com as forças atuantes à esquerda da seção e 
ue se encontram indicadas na Fig. 1-68, obtemos, substituindo o carrega- 
lento distribuído atuante nesse trecho por sua resultante (que vale 2 t, 
i posição indicada): 
Fig. 1-66 
Note o leitor que, para fins de determinação dos esforços simples atuantes 
numa seção, devemos substituir por sua resultante, apenas, as cargas distri- 
buídas atuantes de um dos lados da seção. 
Uma estrutura pode, alkn de estar solicitada por cargas-força (concen- 
tradas e ou distribuídas), estar solicitada por cargas-momento. As cargas- 
momento, cujo tratamento estático não apresenta dificuldade adicional 
alguma, ocorrem mais raramente como carregamento realmente atuante na 
estrutura, mas têm importância fundamental como ferramenta de resoiuçxo 
das estruturas hiperestáticas, conforme 
veremos nos volumes correspondentes 
de nosso Curso, de modo que dedica- M 
remos a elas a máxima ênfase neste 
volume. Uma carga-momento é, evi- 5 i 
dentemente, caracterizada pelo seu A t 
módulo, direçzo, sentido e ponto de 
aplicação, conforme exemplifica o caso 
da Fig. 1-69, ~ i g . 1-69 
46 Curso de anslise estrutural 
Ex. 1.9 - Obter as reaç6es de apoio para a estrutura da Fig. 1-70. 
41,5m& 3m A - 2 m 4 1 . 5 m J F 
Fig. 1-70 
- 8 m d 
Pig. 1-71 
Temos duas formas de encarar este problema. 
A primeira consiste na utilização pura e simples das equações da Estática, 
conduzindo, a partir do esquema da Fig. 1-71 aos seguintes resultados: 
Por CMA=O: 8 V g t 7 - 3 - 8 = O : V B = 0 , 5 t 
Por C Y = O : V ~ = V ~ = 0 , 5 t 
Por C X = O : HA = O 
A outra forma - muito mais elegante - de encarar o problema é verificar 
que existe uma carga-momento resultante de (3 t 8 - 7) = 4mt , que só 
pode ser equilibrada por um binário de sentido oposto, formado pelas 
reações verticais, cujo% sentidos devem ser, então, os indicados na Fig. 1-71 
e cujos módulos valem VA = V' = $ = 0,s t. 
Observações: a) Podem ocorrer, tambkn, cargas-momento distriiuídas; 
esta ocorrência é, no entanto, raríssima na Análise Estmtural das estruturas 
compostas por barras, cujo estudo estamos iniciando. Não daremos, pois, 
ênfase especial a tais cargas em nosso Curso (embora seu estudo não apresente 
dificuldade alguma, pois elas são regidas pelos memos princípios a que 
obedecem as demais). 
Conceitos fundamentais 47 
b) Neste Cap. I, nosso objetivo foi o de apenas apresentar conceitos 
básicos, limitando a exemplificação ao número mínimo necessário à boa 
compreensão destes conceitos, cuja sedimentação se fará ao longo dos 
próximos capítulos, onde os assuntos aqui introduzidos serão estudados, 
em detalhe, para os diversos tipos estruturais que ocorrem na prática. 
Seja a viga biapoiada da Fig. 11-1, submetida ao carregamento indicado. 
* x d 
t 'A 
+s& 
Fig. ü-1 
Os esforços simples em S são dados por: 
Derivando as expressóes acima em relação à abscissa s que define a seção, 
obtemos, levando em conta que 
qdx = s- $ [ s i s ] :hs qdx *hs qdx = S ~ B ) + hs q d ; 
Estudo das vigas irostáticas 49 
os valores: 
Em resumo, temos: 
val 
seç 
dic 
Demonstramos, então, que a derivada do momento fletor atuante numa 
seção S de uma viga reta, submetida a um carregamento a ela perpendicular, 
em relação à abscissa que defme esta seção é igual ao esforço cortante nela 
atuante e que a derivada deste em relqão a esta abscissa 6 igual ao valor da 
taxa de carga aplicada na seçáo S com o sinal trocado. As igualdades (11.1) 
- '112) são as equaqoes fundamentais da Estdtica, pois nos permitem obter 
esforços solicitantes nas diversas seçoes da viga em função do carrega- 
nto q(x) atuante. 
A partir de q(x) obteremos, então, as funçoes Ms e QS que nos dão os 
ores dos momentos fletores e esforços cortantes atuantes em qualquer 
I ão da viga. Representando graficamente estas funções MS e QS perpen- 
I ularmente ao eixo da viga, teremos seus assim chamados diagramas de 
momentos fletores e de esforços cortantes atuantes, que iremos agora estudar 
para os diversos tipos de carregamentos que ocorrem na prática. 
Observações: 
1. A partir de 11.1, temos que o coeficiente angular da tangente ao diagrama 
de momentos fletores numa seção S é igual ao esforço cortante nela atuante. 
2. A partir de 11.2, temos que o coeficiente angular da tangente ao diagrama 
de esforços cortantes numa seç5o S 6 igual ao valor da taxa de carga atuante 
nesta seção com o sinal trocado. 
50 Curso de análise ertrutural Estudo das vigas isostáticas 51 
3. Adotandoae como positivo o carregamento distribuído de cima para 
baixo (o que é usual), por integração das equações (11.1) e 01.2) obtemos 
que um esforço cortante é positivo quando, calculado pelas forps da 
esquerda, der para cima (ou, quando calculado pelas forças da direita,der 
para baixo) e que um momento fletor é positivo quando tracionar as fibras 
inferiores da viga. Tais sáo as convenções de sinais que adotaremos, embora 
dispensemos a colocação do sinal no diagrama de momentos fletores, como 
pleonástico, pois que o desenharemos sempre do lado das fibras por ele 
tncionadas. 
4. Uma observação importante, sob o ponto de vista conceitual, 6 que, após 
carregada a viga, ela se deformará e os esforços estão sendo calculados para 
sua posição indeformada primitiva. Nosso estudo se baseia, então, nesta 
simplificação (de precisão excelente, pois as deformações das peças usuais 
são muito pequenas em presença. de suas diimensóes, conforme veremos no 
Vol. I1 deste Curso) e a Estática que estamos desenvolvendo é, pois, a 
Estática das pequenas deformações. 
2 - VIGAS BIAPOIADAS 
2.1 - Carga concentrada 
Seja a viga biapoiada da Fig. 112, submetida a uma carga concentrada P, 
atuante na seção S. 
I @ Fig. '-2 
I - Pa b 
I I I 
I 
I 
Das equações de equilibrio da Estgtica @Ma = O e riMg = O, por 
1 exemplo), obtemos as equações de apoio indicadas em 11-2. Passemos ao 
traçado dos diagramas solicitantes. 
Por força de (11.1) e (ILZ), sabemos que, num trecho descarregado (q = O), 
o diagrama de esforços cortantes será uma reta horizontal (pois $ = -q) 
d2M I diagrama de momentos fletores uma reta (pois= = -q). Assim, no 
cho AS, bem como no trecho BS, o diagrama de momentos fletores será 
~ ~ ~ i l í n e o . 
Como sabemos que em A e em B os momentos são nulos, bastará 
conhecer seu valor em S para termos defmido o diagramaM. Imediatamente, 
obtemos: 
Pab Ms =- I . 
Q 
sof 
nel 
Quanto ao diagrama de esforços cortantes, será dado no trecho AS por 
Pb 
= + Va = - e, no trecho SB, por Q = - Vg = - Na seçáo S, ele i 1 ' 
rerá uma descontinuidade igual a ($-+I) = P, valor da carga concentrada 
a aplicada, : 
Obsemções: a) O diagrania M possui um ponto anguloso em S, o que 
dM era de se esperar, pois, a partir de (II.l), temos que (ds)seq = Qsesq 
d M e (ds)Sdir = Qsdir e, no caso, Qsesq Z QSdir. 
Na seção S, nZo se define esforço cortante; ele 6 defmido à esquerda e 
à direita da seção sofrendo nela uma descontinuidade igual a P. 
Podemos a fmar então que, sob uma carga concentrada, o diagrama de 
momentos fletores apresenta um ponto anguloso e o diagrama de esforços 
cortantes apresenta uma descontinuidade igual ao d o r desta carga. 
b) Calmlemos as integrais Qds. Temos: 
B , 0 que é evidente em face de 11.1. 
Os valores acima ilustram a obtenção do diagrama de momentos fletores 
a partir do diagrama de esforços cortantes. 
1 A condi((*[ Qds = O permite a verificação do equilibrio da viga, 
c) Caldemos os d o r e s de tg a e tg a. 
Pb Temos: tg a =- = Qea AS I 
Pa tgp = --= Q ttechoSE 
Os valores acima ilustram a obtenpo do diagrama de esforços cortantes 
a partir do diagrama de momentos fletores. 
d) O caso de mais de umacarga concentrada seri resolvido de maneira 
inteiramente análoga ao caso de uma s6 carga concentrada, conforme 
esclareced o exemplo a seguir. 
Ex. U.1 - Obter os diagramas solicitantes para a viga da Fig. 11-3. 
Pi 11-3 u 
-1lt 
Das equações da Estitica, obtemos as reaçBes de apoio: 
tudo das vigas iiwothicar 53 
As ordenadas necessárias à determinaçáo do d i a m a M são: 
Os esforços cortantes vaiem: 
Seja a viga biapoiada da Fig. 11-4, submetida a uma carga unifarmemente 
distribuída q. 
' 54 Curso de análise Wruiural 
Sendo as reações de apoio as indicadas na figura, teremos os seguintes 
esforços simples numa seção genérica S: 
O diagrama de esforços cortantes seri uma linha reta, que fica deter- 
minada pelos seus valores extremos, correspondentes a x = O e a x = 1, 
que ao : QA =$-e QB = -%. (Estes valores poderiam ser obtidos diieta- 
mente a partir das reações de apoio.) 
O diagrama de momentos fletores será dado por uma parábolado 20 grau, I passando por zero em A e B e passando por um máxmio2em x =T (seção I 
onde Q = % = O), de valor Mm& = 4: (3 - +) = % . Para obtenção 
dos valores de M numa seção gengrica, empregaremos a equação 
sendo WR = E - € 2 , (II.4) 
X 
onde E =- I 
A função W R , introduzida na Análise Estrutural pelos autores alemães, 
encontra-se tabelada na tabela I para seçóes nos 1/12 do vão. 
Observações: a) Temos Q& = O, o que veritica o equillbrio da viga. LB 
b) Sendo a taxa de carregamento constánte (grau zero), o diagrama de 
esforços cortantes 6 retilineo (grau um) e o de momentos fletores 6 para- 
bólico (grau 2), conforme ji sabiamos por (11.1) e (11.2). 
Podemos afmar, então, que, sob carga unifomemente diitribuída, o 
diagrama de momentos fletores é parabólico do 2P grau e o diagrama de 
esforços cortantes é retilineo. 
c) Apresentamos, na Fig.II-5, uma constniçáo geom6trica que nos dá 
excelente preciso no traçado do diagrama de momentos fletores. 
Sendo MM, = q12/8, marcamos MIM2 = MM,. Dividimos os segmentos 
AM2 e BM, em 4 partes iguais; obtemos os pontos I, 11, III, I', 11', e IIP, 
que, ligadas alternadamente, nos dão tangentes externas i parábola que 6 
então facilmente obtida. Se quisermos aumentar nossa precisão, dividimos 
AM2 e BM2 em 8, 16, ... partes ao invés de 4, repetindo o mesmo tipo 
de traçado. 
Estudo dar vigas irostatioas 
Fig. 11-5 
d) Um valor notivel no diagrama de momentos fletores é o valor para as 
yBes com E = 0,25 e e = 0,75, que 6: 
h usual, no caso de traçado de diagramas de moment? fletores com 
I sgas uniformemente distribuídas, cotar apenas o valor $ 
f ) Calculemos a inclinaeo do diagrama de esforços cortantes. 
ql rir 
-- -- 
Temos tg a = = -q, conforme IL2. 
1 2.3 - Carga tri@ 
Seja a viga biapoiada da Fig. II.6, submetida a uma carga triangular, de 
taxa máxima igual a p, no apoio da direita. Sendo as reações de apoio as 
indicadas na figura,temos os seguintes esforços simples numa seção genkrica S: 
1 Ou, simplificando: 
I 
56 Cursa de analise estruiural 
O diagrama de esforços cortantes será, então, parabblico do 20 grau, 
com tangente horizontal em A (pois dQ/ds = -q = O), tendo seus valores 
extremos iguais aos valores conhecidos (t V A ) e (-VB) e passando por zero 
para x = 1 ~ 3 3 = 0,577 1, conforme pode ser obtido imediatamente a 
partir de sua equação. Por ser uma meia parábola do segundo grau, podemos, 
para seu traçado gráfico, aproveitar o tipo de construção apresentado em 2.2. 
Estudo das vigas isoríáticas 57 
Para obtenção dos valores de Q numa seção gengrica, empregaremos a 
equação Q =% U M ( 3 .5 ) 
sendo w ~ = 1 - 3 ~ 2 (II.6), tabelada na tabela I . 
O diagramr de momentos fletores será uma parábola do 30 grau, que 
passa por um máximo em x = 1 6 1 3 = 0,577 1 bois dM/ds = Q = O), 
de valor Mm& =g2 X 9 (1 - 7) = p12/9 \/3 = 0,064p12, e cnjos 
valores, numa seção genbrica, sáo dados por 
P ) = M = - w D 6 01.6) 
ido w ~ = E - P (II.7), tabelado na tabela I. 
Observações: 
a) Temos Qdx = O, o que verifica o equilibrio da viga. L" 
b) Sendo a taxa de carregamento uma função linear (grau um), o diagrama 
de esforpi cortantes 6 parabdlico do 20 grau e o diagrama de momentos 
fletores 6 parabólico do 30 grau, o que verifca (ii.1) e (11.2). 
PU 
tri: 
ter 
Apresentamos, na Fig. 11-7, uma 
nstrupo geométrica que nos auxilia 
traçado do diagrama de momentos 
tores, através da obtenção de suas t 2 l l 3 ~ 4 / 3 * 
igentes externas. 
Marcando, a partir da sego M , 
sição da resultante do carregamento 
angular, o segmento MN = pZ2 /9, 
nos tga = MN/AM = p1/6 = QA 
tgP = -MT/MB = -o: = QB 
------l!f ., 
8. 
Logo, AN e BN são tangentes ao Fig. 11-7 diagrama de momentos fletores em 
m s origens. 
E usual, no caso de traçado de diagramas de momentos fletores com 
d g a triangular, proceder a este traçado por pontos. Uma ordenada genbrica 
12 10 diagrama seria dada, conforme (iI.61, por'^ =% w ~ . 
:) 6 caso de carregamento indicado na Fig. il-8 recai imediatamente no 
tenor. Temos: 
58 Curso de análise esirutural 
P[ I - x 2 Q s =- - [ I - 3 (-) ] 6 I 
p12 z - x 1 - x 3 Ms =- [- 6 1 - (7) I 
I - x x ' 
- Fazendo - -- = e', temos: 1 1 
As funções wM e w b estão tabeladas na tabela I. 
f ) O caso de carregamento indicado em 11-9 é resolvido imediatamente, 
empregando-se o princípio de superposiçiio de efeitos, somandole uma 
carga unifome pA com uma carga triangular de taxa máxima (pB - pA) 
em E. Obtemos: 
Estudo das vigas isostáticas 59 
que B traçado por pontos. De maneira análoga, agiríamos para a obtenção 
do diagrama de esforços cortantes. 
Poderíamos ter resolvido o mesmo problema encarando o carregamento 
como a soma de 2 carregamentos triangulares de taxas máximas pA em A 
e pB em E , obtendo 
g) Com menor frequência, podem ocorrer carregamentos com leis de variação 
parabólica. Tais casos são resolvidos dentro da mesma metodologia empre- 
gada em 2.2 e 2 3 e conduzem i s expressões e funções w tabeladas na 
tabela I. 
Seja a viga biapoiada da Fig. 11-10, submetida à carga-momento indicada. 
As reaç6es de apoio devem ser tais que formem um binário de módulo M 
e sentido oposto ao do momento aplicado e são, portanto, as indicadas 
na Fipura. 
A partir delas, temos imediatamente os diagramas solicitantes. 
O o o 
ZZ80'0 EE80'0 ~ O I Z ' O 
Z8S1'0 6S91'0 I I SECO 
LZZZ'O 19PZ'O 9EEP'O 
91 LZ'O OIZE'O 169P'O 
1 ZOE'O S98E'O SL9P'O 
oooo'z- 
6EZS'I- 
SE80'1- 
SL89'0- 
EEEE'O- 
8020'0- 
00SZ'O 
Z6LP'O 
9999'0 
SZ18'0 
L9 16'0 
Z6L6'0 
0000' 1 
,a£ - 1 = Nm 
0000'I + 
Z6L6'0 + 
L916'0 + 
SZ18'0 + 
9999'0 + 
Z6LP'O + 
OOSZ'O + 
80ZO'O - 
EEEE'O - 
SL89'0 - 
SE80'1 - 
6EZS‘l- . 
oooo'z - 
,.3E - 1 = ?m 
SZIE'O 
I ZOE‘O 
91Lt0 
LZZZ'O 
Z8S1'0 
- ZZSO'O 
o 
*3+ z t Z - 3 = $ m 
Z1 
11 
O1 
6 
8 
L 
9 
S 
P 
E 
Z 
I 
o 
0 ~ 5 a s 
o 
8280'0 
OZ91'0 
PPEZ'O 
£962'0 
EWE'O 
OSLE'O 
898E'O 
WLE'O 
18ZE'O 
9PSZ'O 
P9PI'O 
o 
E<3 - '3 = qm 
dm 
SLEP'O 
SL9P'O 
169P'O 
9EEP'O 
I ISE'O 
901Z'O 
o 
pr3 - P = <m 
SLEP'O 
S98E'O 
OIZF'O 
19Pf 0 
6S91'0 
EE80'0 
o 
*3 - 3 = dm 
o 
WPI'O 
9PSZ'O 
I8ZE'O 
WLE'O 
8%E'O 
OSLE'O 
EPPE'O 
E96Z'O 
MEZ'O 
OZ91'0 
8280'0 
o 
- 3 = Um 
o 
P9~0'0 
68EI'O 
SL81'0 
ZZZZ'O 
IEPZ'O 
M)SZ'O 
IEPZ'O 
ZZZZ'O 
SL81'0 
68E1'0 
P9LO'O 
o 
z3 - 3 = Xm 
ZI 
11 
O I 
6 
8 
L 
9 
S 
P 
E 
Z 
I 
o 
o e 5 a ~ 
62 Curso de analise estrutural 
Este valor não reproduz o momento fletor atuante em B, que d nulo e, 
aliás, não tinha nenhuma obrigação de reproduzir, pois as equações (11.1) e 
(11.2) foram deduzidas para uma viga com carga vertical continuamente 
distribuída, o que não é o caso de uma carga momento. De qualquerforma, podemos afirmar que o valor da área do diagrama de esforços 
cortantes de uma viga biapoiada é igual ao valor da resultante de todas 
8s cargmmomento apiicadas na viga (o sinal positivo correspondendo ao 
sentido anti-horário). 
b) O diagrama de momentos fletores em S sofre uma descontinuidade igual 
a @a/l) + (Mbll) = M e podemos afirmar, então, que, na seção de apiicaçáo 
de uma carga-momento numa viga, o diagrama de momentos fletores sofre 
uma descontinuidade igual ao seu valor, no seu sentido. 
c) Como casos particulares interessantes, apresentamos na Fig. 11-11 dia- 
gamas de momentos fletores para algumas posições notáveis da carga- 
momento. 
2.5 - Caso geral de carregamento 
Seja a viga biapoiada da Fig. II-12, submetida ao carregamento indicado: 
Fig. 11-12 
Estudo das vigas isostáticas 63 
O problema novo que se nos depara 6 o da resolução de uma viga 
submetida a uma carga continuamente distribuída, que não abrange todo 
o seu vão. 
Para o fazermos recair num problema já conhecido, romperemos a viga 
em B e C , o que 6 lícito fazer, desde que apliquemos nestes pontos seus 
esforços simples, mantendo entâo o equilíbrio de cada trecho assim obtido. 
Assim, os esforços cortantes que a tum nas extremidades de cada trecho 
(Qa, QB, Qc, Qo) podem ser encarados como as forças que equilibram 
as outras cargas e momentos atuantes no trecho, podendo ele então ser 
considerado como uma viga biapoiada independente, submetida ao carrega- 
mento externo que lhe está diretamente aplicado e a cargas-momento em 
seus apoios iguais aos momentos fletores atuantes nestes pontos na viga 
dada inicialmente, de imediata determinação. Recairemos, então, no problema 
de obtenção do diagrama de momentos fletores em vigotas do gênero BC, 
que, por superposição de efeitos, é imediatamente obtido conforme mostra 
a Fig. 11-13, 
)tfq 
qa2 
- 
8 
Fig. 11-13 
A linha reta pontihada representa o diagrama de momentos fletores 
devido somente a ME e Mc. Marcando-se, na vertical, a partir desta reta 
a parábola do 20 grau que 6 o diagrama devido apenas à carga distribuída, 
teremos então o diagrama fmal no trecho. 
O diagrama de momentos fletores na viga AD será, então, o da Fig. 11-14, 
úotar que existe, no caso, concordância em B e em C entre a parte 
:tilínea e a parte parabólica, o que já era de se esperar, pois não existem 
cdrgas concentradas aplicadas nestes pontos). 
64 Curso de análise estrutural 
.A obtenção do diagrama de esforços cortantes não apresenta maiores 
problemas, sendo imediata a partir do conhecimento das reações de apoio. 
Extrapolando as conclusões deste exemplo, podemos afirmar que, para 
t rapr o diagrama de momentos fletores numa viga submetida a um carrega- 
mento qualquer, basta marcar os momentos fletores nos pontos onde muda 
a lei de variação do carregamento, Ligá-los por segmentos de retas e, a 
partir da linha a& obtida, pendurar, perpendicularmente ao eixo da viga, 
os diagramas de viga biapoiada para cada uma das cargas distribuídas 
atuantes, em seus respectivos trechos. 
Os diagramas de esforços cortantes são obtidos imediatamente a partir 
do conhecimento das reações de apoio. 
O exemplo 11.2, a seguir, esclarecerá. 
Ex. 11.2 - Obter os diagramas solicitantes para a viga da Fig. ii-15. 
Substituindo-se as cargas distniuídas por suas resultantes, assinaladas em 
pontilhado na figura, obtemos: 
ZMB=O ........ 1 6 V , = 4 X l 4 t l X 1 0 + 3 X 6 - 4 :. V ~ = 5 t 
ZY = O ........ V s = ( 4 + 1 + 3 ) - 5 = 3 t 
Estudo das vigas isostáticas 65 
-3 
Fig. 11-15 
Os momentos fletores atuantes nos pontos de transição de carga são: 
M c = 5 X 4 - 4 X 2 = 12mt 
M ~ = 5 X 6 - 4 X 4 = 14mt 
M ~ . = S X 8 - 4 X 6 - 1 X 2 = 1 4 m t 
M F = ~ X 11 - 4 X 9 - 1 X 5 - 3 X 1 = l l m t 
M $ q = 5 X 1 3 , s - 4 X 1 1 , 5 - 1 X 7 , 5 - 3 X 3 , 5 = 3 , 5 m t 
M$ = 3,s t 4 = 7,s rnt 
66 Curso de análise estrutural 
Ligando estes pontos por linhas retas no diagrama, passamos então à 
fase de pendurar, a partir destas linhas retas, os diagramas devidos somente 
às cargas distribuídas atuantes: temos a pendurar, então, uma parábola do 
20 grau no trecho AC, cuja ordenada na seção mddia do trecho 6 1 X 4'18 = 
= 2 mt, valendo, para seu traçado, a construção apresentada em 2.2 e, no 
trecho EF, uma parábola do 30 grau, cuja ordenada gendrica d dada por 
Não havendo mais outras cargas distribuídas, os diagramas finais nos 
demais trechos são as linhas retas já traçadas. 
Para obtenção do diagrama de esforços cortantes, raciocinemos trecho a 
trecho: 
- no trecho AC, será retilíneo pois o carregamento d uniforme, variando de 
5 t em A até 1 t em C; 
- no trecho CD d constante (trecho descarregado) e igual a 1 t; 
- em D, a carga concentrada acarreta uma descontinuidade igual a seu valor, 
caindo o cortante então para zero, valor este que se mantem no trecho DE; 
- no trecho EF, ser8 uma parábola do 2P grau (carregamento triangular), 
que começa do valor zero, com tangente horizontal (pois dQ/ds = -q = O), 
terminando com -3 t , com tangente inclinada (pois dQ/ds = -q = 2 tlm); 
- o valor -3 t se mantém constante no trecho FB (sem cargas verticais), 
subindo a zero no apoio B. 
Observações: 
a) Nas seçóes C, E, F, existe concordância dos trechos parabólicos com os 
trechos retilíneos no diagrama de momentos fletores, pois não existem 
cargas concentradas nestes pontos. 
b) Na seção D existe um ponto anguloso no diagrama de momentos fletores 
devido à existência da carga concentrada. Notar que o ponto anguloso está 
no sentido da carga. 
c) Os diagramas de momentos fletores nos trechos FG e GB são paralelos 
entre si, pois o esforço cortante nestes dois trechos € constante e igual a -3 t. 
d) Na regi80 de momento fletor miximo (trecho DE), o esforço cortante 
C? nulo. 
e) Qualquer ordenada do diagrama de esforços cortantes no trecho EFpode 
ser obtida com auxíiio da função U M , conforme indica a Fig. 11-15, 
f) Calculemos o valor da área do diagrama d e esforços cortantes: 
Estudo das vigas isoítáticas 67 
~ Q d r = 3 X 4 + l X 2 - ( 1 / 3 ) X 3 X 3 - 5 X 3 = - 4 m t . 
Este valor 6 igual ao valor da carga-momento atuante (o sinal negativo 
indica que seu sentido 6 o horário). 
g) Na seção G, o diagrama de momentos fletores apresenta uma descontinui- 
dade de 4 mt, valor da carga-momento nela aplicada. 
h) Notar que as parábolas devidas ao carregamento distribuído são sempre 
marcadas na direção perpendicular à barra (portanto, no caso, na direção 
vertical). 
3 - VIGAS ENGAfXADAS E LNRES 
Seja a viga engastada e livre AB da Fig. 11-16, 
No engaste, aparecerão evidentemente uma reaçlio vertical e uma reação- 
>mente, que equilibrará0 o carregamento atuante. Isto posto, passemos à 
tenção dos diagramas solicitantps. 
O diagrama de momentos fletores se obter8 imediatamente a partir das 
nclusóes tiradas em 2.5, bastando marcar osmomentos fletores (de cálculo 
ediato) nas seçóes em que muda a lei de variação de carregamento (no 
caso, A, C, B. D), ligá-los por segmentos de reta, e, a partir da linha assim 
obtida, pendurar os diagramas de viga biapoiada para cada uma das cargas 
distribuídas atuantes (no caso, no trecho CD). 
O diagrama de esforços cortantes se obter6 imediatamente a partir do 
'regamento e reaçóes de apoio atuantes. 
O exemplo I13 esclareceri. 
Ex. 11.3 - Obter os diagramas solicitantes para a viga da Fig. 11-17. 
Sendo o carregamento atuante equivalente estaticamente a uma resultante 
de 16 t em C, as reações de apoio no engaste B sáo as indicadas na figura. 
68 Curso de análise estrutural 
Os momentos fletores atuantes nos pontos de transição de carga, todos 
tracionando as fibras superiores, sgo: 
Ligando-se estes valores por linhas retas e pendurandoae, na vertical, a 
partir delas as parábolas iguais a 3 X Z2 18 = 1,5 mt,temos determinado o 
diagrama de momentos fletores. O diagrama de esforços cortantes indicado 
na figura 6 obtido sem maiores problemas. 
a) Na seção A , o diagrama de momentos fletores tem tangente horizontal 
(QA = O) e, na seção C, acrescenta um ponto anguloso (presença da carga 
concentrada de 4 t). 
Estudo das vigas isostáticas 69 
b) Calculemos a área do diagrama de esforços cortantes: 
que 6 o valor do momento fletor atuante no engaste, funcionando, sob este 
aspecto, como se fosse uma cargamomento aplicada numa viga biapoiada AB, 
com reaçóes verticais VA = O e VB = 16 t. 
c) Se tivéssemos a mesma viga, com o mesmo carregamento, mas com o 
engaste à esquerda, conforme indica a Fig. 11-18, o diagramade momentos 
fletores sena o mesmo (bastando girar o da Fig. 11-17 de 180°), mas o 
diagrama de esforços cortantes teria seu sinal trocado, pois as convenções 
de sinal para esforço cortante são opostas, conforme sejam usadas as forças 
à esquerda ou à direita da seção. 
d) E fácil ver que, no caso das vigas engastadas e livres, podemos traçar 
seus diagramas solicitantes sem necessidade de determinar as Ieações de apoio. 
4 - VIGAS BIAPOIADAS COM BALANÇOS 
Seja a viga biapoiada com balanços da Fig. 11-19: 
I I vc 
Fig. 11-19 
70 Curso de analise emutural 
A obtençáo dos diagramas solicitantes nos balanços AB e CD 6 imediata 
a partir do que vimos em 3, pois podemos obter os esforços no trecho AB 
entrando com as forças da esquerda e no trecho CD entrando com as forças 
da direita, e eles se comportam, então, como se fossem vigas engastadas e 
livres AB e CD, confome indica a Fig. 11-19. 
Passemos, então, 2 análise do trecho BC: rompendo a viga em B e q e 
C d U e aplicando os esforços simples atuantes nestas seções, nada ter6 se 
alterado sob o ponto de vista estático. Teremos, então, uma viga biapoiada 
BC, submetida ao carregamento que lhe está diretamente aplicado, a cargas- 
momento MB em i3 e MC em C, iguais aos momentos fletores atuantes 
nestas seções devidos aos balanços, e a cargas verticais (P, + P2) em B e 
(P4 + P,) em C , iguais às resultantes das cargas atuantes em cada balanço 
e que, estando diretmente aplicadas sobre os apoios, serão imediatamente 
absorvidas por eles, não influenciando no cálculo dos esforços simples em 
BC. Recaúnos, então, para o trecho BC no estudo de uma viga biapoiada, 
já feito, sob sua forma mais geral, em 2.5. 
Podemos então afirmar que, para traçar o diagrama de momentos Uetores 
numa viga biapoiada com balanços, tratamos os balanços como vigas engas- 
tadas e livres, Ligamos os momentos atuantes nos apoios por uma linha reta 
e, a partir dela, penduramos o diagrama de viga biapoiada devido As cargas 
atuantes no trecho entre os apoios. 
Como nos casos anteriores, a obtenção do diagrama de esforços cortantes 
€ imediata, a partir do carregamento e das reações de apoio. 
Os exemplos a seguir esclarecerão. 
Ex. ii.4 - Obter os diagramas solicitantes para a estrutura da Fig. ii-20. 
Calculemos as reações de apoio, empregando o princípio de superposição 
de efeitos: 
- devido às cargas distniuídas, temos, por simetria: 
- devido à carga concentrada de 2 t , temos: 
Por Z M g = O 4 V c = 2 X 6 .' V c = 3 t 
Por Z Y = O VB = -1 t (de cima para baixo, portanto) 
As reações finais serzo, então: VB = 5 t e Vc = 9 t 
Os momentos fletores necessários i obtenção da linha de fechamento do 
diagrama são os momentos atuantes nos apoios, que tracionam as fibras 
superiores e valem 
Estudo das vigas isostáticas 71 
-5 
Pig. U-20 
A partir da linha de fechamento, penduramos as parábolas de cada um 
s trechos, conforme indica a Fig. 11-20. 
72 Curso de andlise estrutural 
O diagrama de esforços cortantes não apresenta novidades em relação a 
casos anteriores. 
Observaçóes : 
a) O diagrama de momentos fletores tem tangente horizontal em A (pois 
Qa = O), o mesmo não acontecendo em D, devido à presença da carga 
concentrada (QD = 2 t). 
b) Nos apoios, o diagrama de momentos fletores apresenta pontos angulosos 
no sentido das reaçóes de apoio e o diagrama de esforços cortantes apresenta 
descontinuidades iguais a estas reaçóes de apoio. 
c) O momento fletor miximo tracionando as fibras inferiores da viga não 
ocorre no meio do a o , mas, sim, na seção de cortante nulo, que 8 aquela 
a 3,s m de A . Seu valor pode ser obtido diretamente (isto 8, calculando-se 
o momento fletor atuante na seçao a partir do carregamento e das reaçóes 
de apoio), ou através da expressão 11.1. Usemos este Último processo. 
Teremos: 
M,,,- =r Qdx = -(1/2) X 2 X 2 t (112) X 3 X l,5 = 0,25 mt. 
d) O diagrama de esforços cortantes passa, em suas descontinuidades devidas 
às reaçóes de apoio, pelo valor zero, o que indica que nos dois apoios 
temos m h o s não analíticos (sem tangente horizontal) no diagrama de 
momentos fletores, o que se constata facilmente na Fig. 11-20. 
e) A área total do diagrama de esforços cortantes é igual a zero, indicando 
a inexistência de cargasmomento aplicadas. 
Ex. IL5 - Obter os diagramas solicitantes para a viga da Fig. ii-21. 
Sendo o carregamento atuante equivalente a um momento total de 
3 + 4 t 3 = 10 mt, as reaçóes verticais deverão formar um momento de 
igual valor e sentido oposto e a o , portanto, iguais a 1014 = 2,5 t, nos 
sentidos indicados na figura. Os diagramas soiicitantes estão traçados na 
Fig. 11-2 1. 
Observação: A área do diagrama de esforços cortantes é - lOmt ,dor 
este indicando que existem cargas-momento aplicadas, nija resultante nos 
dá um momento de 1Omt no sentido hori(fi0. 
Estudo das vigas irostáticas 73 
5 - VIGAS GERBER 
I 
I I I I I 
I 
I I 
I 
I 
I 
I c3 
Seja a estrutura representada na Fig. ii-22.1, estando o detaihe da secão C 
ampliado em iI-22.2: 
O lem t) 
-2.5 -2.5 
pig. 11-21 
74 Curso de análise estrutural 
Suponhamos carregado o trecho CD: este trecho não tem evidentemente 
estabilidade própria, pois as cargas, para serem equilibradas, necessitarão de 
reações de apoio em C e em D. Este último ponto é um apoio do I? gênero 
e pode absorver uma força vertical; caberia, então, ao ponto Cabsorver uma 
força vert~cal e uma horizontal, o que ele não é capaz de fazer, mas é 
capaz, entretanto, de transmitir estas forças ao trecho ABC. Fica, entào, a 
estabilidade do trecho CD condicionada à estabilidade do trecho ABC que, 
em se tratando de uma viga biapoiada com balanço, é estável, o sendo 
entao o conlunto ABCD. 
Se tivermos carregado o trecho ABC, a carga solicitará apenas este trecho, 
pois, em se tratando de um trecho com estabilidade própria, nele mesmo 
encontrara o carregamento suas reaçóes equilibrantes. 
O ponto C 6, então, um ponto de transmissão de forças, não transmitindo 
momento algum (pois não impede nenhuma rotação A estmtura) e é repre- 
sentado, pois, por uma rótula, ficando o esquema estático da estrutura 
representado conforme indica a Fig. 11-23.1. 
Estudo das vigas irostáticas 75 
O trecho ABC será resolvido, a seguir, com as cargas que lhe estão dueta- 
mente aplicadas, acrescidas das forças Vc e Hc transmitidas pela rótula C. 
Recaímos, então, na resolução de uma viga biapoiada CD e de uma viga 
biapoiada com balanço ABC, problemas estes já resolvidos nos tópicos 
anteriores. 
Consta, então, uma viga Gerber, de uma associação de vigas com estabili- 
dade própria com outras apoiadas sobre as primeiras, que dão a estabilidade 
ao conjunto. Para resolvê-la, basta fazer sua decomposição nas vigas que a 
constituem, resolvendo inicialmente aquelas sem estabilidade própria e, após, 
as dotadas de estabilidade própria, para as cargas que lhe estão diretamente 
aplicadas, acrescidas, para estas Últimas, das forças transmitidas pelas rótulas. 
Observações: 
a) Em se tratando de vigas Gerber isostáticas, as vigas que as constituem 
.ão vigas biapoiadas,vigas biapoiadas com balanços ou vigas engastadas 
livres. 
As vigas Gerber tiveram seu aparecimento ditado por motivos de ordem 
eskniturd e de ordem constmtiva, conforme esclarecerá o exemplo da 
Fig. 11-24: 
11-24.1 
Fig. 11-24 
U-23.2 Suponhamos seja nossa funçgo constniir uma ponte de concreto, que 
Fie U-23 i deverá se apoiar sobre pilares A, B, C, D, escolhendo uma das duas solupões 
'"dicadas na Fig. 11-24. 
Para resolver a viga ABCD, para a qual indicamos um carregamento atuante 
na Fig. 11-23, basta resolvermos inicialmente o trecho CD (trechosem esta- Suponhamos adotada a soluçXo indicada na Fig. 11-24.1. 
bilidade própria), transmitindo para o trecho ABC (trecho com estabilidade 
própria) as forças HC e VC necessárias ao equilíbrio do trecho CD. 
Para a execução da superestnitura da ponte, seríamos obrigados a escorar 
~unultaneamente todo o volume compreendido sob o tabuleiro da ponte, 
76 Cursa de análise estrutural 
escoramento este que, dependendo da velocidade do rio e de sua profundi- 
dade, pode tomar-se extremamente dificil, caro e, at6 mesmo, arriscado no 
trecho BC. 
Suponhamos, agora, adotada a soluçZo em viga Gerber indicada na 
Fig. 11-24.2. 
Esta solução permite a execução em separado dos trechos ABE, EF, 
FCD, com o que poderíamos escorar inicialmente o trecho ABE e concretá-10; 
a seguir, transferiríamos o escoramento para o trecho FCD que seria poste- 
riormente concretado e, finalmente, usando os próprios trechos ABE e FCD, 
já executados, como apoios, concretaríamos a vigota EF, encerrando a 
execução da estmtura (poderíamos, tambkn, pd-fabricar a viga EF, lan- 
çando-a através de uma treliça). 
Não resta a menor dúvida que, sob o ponto de vista constmtivo, a segunda 
solução será mais adequada no caso, pois não envolverá risco algum no vão 
BC durante a constmção, alkn de reduzir o volume de material para escora- 
mento a quase 113 do necessário para a primeira solução. 
A solução da Fig. 11-24.2 trará ainda, sob o ponto de vista estmtural, 
a vantagem de reduzir as forças horizontais nos pilares devidas a variações 
de temperatura e à retração do concreto (a este respeito, não teceremos 
maiores considerações por ora, pois este tema é objeto de estudo nas cadeiras 
de Pontes). 
As vigas Gerber têm lugar de grande Importância na Engenharia Estrutural, 
e a tendência desta importância é aumentar, tendo em vista o desenvolvi- 
mento das têcnicas de pr€-ÇabricaçZo e montagem de estmturas. 
c) Diversos autores adotam um metodo puramente algébrico para análise e 
resolução de vigas Gerber, que apresentamos a seguir. 
Seja a viga Gerber da Fig. 11-25. 
Fig. n-2s 
Para determinar as quatro reações de apoio, dispomos das trds equações 
da EstBtica no plano (ZX = 0, ZY = O e ZM = O) e, devido à existência da 
rótula em C (o que significa n%o haver transmissão de momento em C), 
Estudo das vigas isostáticas n 
temos uma quarta equação dizendo que o momento fletor em C 6 nulo 
@íc = O). Resolvendo-se este sistema de 4 equações a 4 incógnitas, teremos 
as reaç6es HA, VA, Vg, VC e, a partir delas, os diagramas solicitantes na 
viga Gerber. 
Tal método náo nos parece interessante, pois aumenta em muito a difi- 
culdade algebrica de obtenção das reaçoes de apoio, dificuldade esta que 
pode se tornar muito grande para vigas Gerber com maior número de apoios 
e rótulas e, portanto, não receberá ênfase maior neste Curso. 
5.2 - Exemplos de decomposição 
Conforme Wnos em 5.1, para resolver uma viga Gerber, basta decompó-la 
nas vigas que a constituem. Para tal, devemos destacar as vigas que já 
possuem estabilidade própria, apoiando sobre elas as demais através das 
rótulas, que indicam a transmissão de carga das vigas que não possuem 
estabilidade própria para as que a possuem. 
Desta forma, obtemos as decomposições das vigas Gerber indicadas nos 
exemplos da Fi. U-26. 
Os números indicam a sequência de resoluçZo e as setas a transmissão de 
cargas. 
Queremos chamar a atenção para o fato de que um dos apoios da viga 
Gerbei deve ser capaz de absorver forças horizontais, que irão diretamente 
ara ele através das rótulas, provocando esforços normais na viga ao longo 
78 Curso de análise estrutural Estudo das vigas isostátícas 79 
de sua trajetória. As cargas verticais,somente, serão as responsáveis pelos 
momentos fletores e esforços cortantes atuantes na viga Gerber, e 6 para 
obté-10s que necessitamos fazer a sua decomposição. !2 por esta razão que 
nesta decomposição não nos preocupamos se o apoio 6 do I? ou 20 gènero, 
pois, para as cargas verticais, todos funcionarão como se fossem do l ? gênero. 
Observação: Notar que a viga Cerber da Fig. 11-26.3, devido ao fato 
de ter a rótula sobre o apoio internediário (o que significa que os trechos 
AB e BC têm momento fletor nulo em B), funciona como se fossem duas 
vigas biapoiadas AB e BC independentes, que têm como única particularidade 
o fato das reaçóes em B se somarem no apoio único existente. 
Ex. Ii.6 - Obter os diagramas solicifantespara aviga Gerber da Fig. 11-27. 
Obtida a decomposição indicada na figura, o problema não apresenta maio- 
res novidades e obtemos imediatamente os diagramas solicitantes indicados 
na Fig. 11-27. 
Observaçóes: 
a) ~ e m o s i ~ Qdx = O, pois não existe carga-momento aplicada 
b) ~ e m o g ~ Qdx =lE Qdx =/* Qdx = O, o que 6 evidente. pois 
A A 
E, E e F são rótulas e nelas devemos ter M = 0. 
6 - VIGAS INCLINADAS: 
6.1 - Seja a viga da Fig. 11-28. submetida ao carregamento distribuído 
vertical indicado. 
Sendo as reações de apoio as indicadas na Fig. iI-28, passemos ao estudo 
de seus diagramas solicitantes. 
O momento fletor atuante numa seção gen6rica S será dado por 
Comparando esta expressão- com (11.3), vemos que, para fins de momen- 
tos fletores, a viga se comporta como se fosse uma viga horizontal (perpendi- 
cular ao carregamento) de vão a e o diagrama 6 o indicado na figura (notar 
que as ordenadas do diagrama são sempre marcadas perpendicularmente ao 
eixo da barra). 
Os demais esforços atuantes nesta seção são dados por: 
qa Qs = (-- qx) cos cr e 2 
qa 
. Ns = - (- - qx) sen a, 2 
Fig. ii-27 
express6es estas que definem linhas retas, a partir das quais obtemos seus 
diagramas representados na Fig. 11-25. 
Curso de analise estrutural Estudo das vigas isosthticas 81 
6.2 - Seja, agora, a viga da Fig. 11-29, submetida ao carregamento distri- 
buído horizontal. 
qb2 + - rena 
za 
Fig. 11-29 
Obtenhamos suas reaçóes de apoio: 
Por Z X = O . . . . . . . . HA = qb 
b 4bZ Por EMB = O . . . . . . . qb X- = VA X a .'. VA =- 
2 ' qb2 2a POrZY=O . . ..... VB= VA =- 
2a 
O momento fletor amante numa seção genbrica será dado por: 
xz 42 qb2 a qb qx2 - qb2 (+ - b2) Ms = qbx - (-) - c-)(-) 2 2a b X = - X - - - - 2 2 2 
82 Curso de análise estrutural 
Comparando esta expressão com n.3, vemos que, para fins de momentos 
fletores, a viga se comporta como se fosse uma viga vertical (perpendicular 
ao carregamento atuante), de vão b e O diagrama 6 o indicado na figura. Os I 
demais esforços atuantes em S são dados por: I 
4b1 Qs = - (-) cos 0 t (qb - qx)sen ru Za 
N , = (qb - qx) cos a + (e) sen a 2n 
expressões estas que nos permitem o traçado dos diagramas, feito na Fig. 
11-29, 
6.3 -Seja, finalmente, a viga da Fig. 11-30, submetida ao carregamento 
distribuído perpendicular a seu eixo. 
Fig. 11-30 
Conforme indica a Fig. 11-30, é fácil ver que este caso nada mais é que 
uma superposição dos casos 6.1 e 6.2 e os diagramas solicitantes para ele 
serão, então, iguais à soma dos diagramas indicados nas Figs. 11-28 e 11-29, 
Em particular, o diagrama de momentos fletores seri uma parábola do 
2P graii de valor máximo igual a (qa2 18) + (qb2 18) = q A 7 18, comportando-se 
entZo a alga como perpendicular ao carregamento atuante,com vão AB. 
Dos exemplos apresentados em 6.1, 6.2 e 6.3, podemos concluir então 
que uma viga biipoiada inclinada AB se comporta, para fms de diagrama de 
momentos fletores, como se fosse uma viga biapoiada de vão igual i projeção 
de seu comprimento sobre uma reta perpendicular ao carregamento atuante, 
sendo o diagrama de momentos fletores marcado, sempre, perpendicularmente 
ao eixo da viga. 
Os diagramas de esforços cortantes e esforços normais são obtidos imedie 
tamente, em qualquer caso, a partir do carregamento e das reações de apoio. 
Estudo das vigas iwstdticar 83 
Ex. ii.7 - 
11-31, 
Obter os diagramas solicitantes para a viga inclinada da Fig. 
84 Curso de análise estrutural I 
As reaç6es de apoio são: I 
A linha de fechamento do diagrama de momentos fletores é defmida 
pelo valor 6 mt tracionando as fibras superiores em A e pelo valor 2 mt tra- 
cionando as fibras inferiores em E . A partb dela, penduramos o diagrama 
devido i carga distribuída existente, indicado na Fig. 11-31. 
Sendo retilineos os diagramas de esforços cortantes e esforços normais, 
eles serão definidos por suas ordenadas em A e B, que valem: 
QA = 5 c o s a = 4 t 
QB = - 3 c o s a = - 2 , 4 t 
N A = - 5 s e n a = - 3 t 
NB = 3 sen a = 1,8 t 
Observa$Zoao: A área do diagrama de esforços cortantes é igual a 8 mt, 
valor da resultante das cargas-momento aplicadas. 
7 - PROBLEMAS RESOLVIDOS I 
.7.1 - A equação dos esforços cortantes atuantes numa viga biapoiada de 
6 m de vão 8 Q(x) = 8 - 2x - x2 16, sendo x a distância do apoio esquerdo à 
seção genbrica que descreve a viga. Sabendo-se que, se houver carga-momento 
atuante, ela estará aplicada no apoio direito, pede-se: 
a) reconstituir o carregamento atuante; 
b) obter o momento fletor máximo atuante. 
&lup-o 
a) A partir de ii.1, temos que: 
Para o apoio esquerdo: q(0) = 2 tlm I 
Para o apoio direito: q(6) = 4 t/m 
Estudo das vigas isortáticas 85 
6 x2 X' 6 Qdx =/ (8 - k -$dx = (Ex - xz - -) 1 = 
O 18 0, 
o que indica não existir carga-momento atuante. 
O carregamento atuante 8, pois, o indicado na Fig. 11-32, 
4 t h 
- 1 6 m 1 
Fig. U-32 
b) A seçáo de momento fletor máximo é aquela em que Q(x) = 8 - 2r - 
.'/6 = O, ou seja, x = 3,16 m. (A outra raiz da equação é negativa e des- 
>vida, portanto, de significado físico). 
O momento fletor máximo será dado por: 
3,1Cí3 =i l J 6 ~ d x = 8 X 3,l6 - 3.16'--= 18 13,5 mt (tracionando as fi- 
bras inferiores). 
7.2 - Obter os esforços solicitantes da viga AB da Fig. ii-33, submetida 
ao carregamento distribuído segundo uma lei parabólica do 2P grau, come- 
çando com tangente horizontal e terminando com um valor máximo igual a 
P. 
Verifiquemos se existe carga-momento aplicada em i?: 
86 Cursa de analise emutural 
soiuçno 
A equação do carregamento será da forma q(x) = ax2. 
Impondo a condição q(1) = p , obtemos: 
P x 2 a = -, com o que q(x) = p(-) . 
i2 i 
i Estudo dar vigas isastáticas 87 
dac 
Para obter as reaç6es de apoio, precisamos conhecer a posição da resultante 
ia vor: 
1 1 O valor da resultante é dado por R q(x)dx = ~p I e as reações de 
>i0 valem, portanto: 
Os esforços atuantes numa seção gen6ricaS são dados conforme aFig.11-35 
1 É fácil ver que o momento máximo atuari na seção que tem Q(x) = O, ou 
seja, na seção 
I x = 0,63 i e vale: 
88 Curso de análise esírutural 
7.3 - O diagrama de esforços cortantes de uma viga biapoiada A F é o 
representado na Fig. 11-36. Sabendo-se que, caso exista carga-momento, ela 
está aplicada em D, reconstituir o carregamento atuante e traçar o diagrama 
de momentos fletores. 
A B C D E F 
A - 
A partir de (II.2), podemos afirmar que: 
a) o carregamento atuante no trecho AB 6 uniforme, de cima para baixo, 
(diagrama de esforços cortantes decrescente) e de taxa igual a?= 2 tlm; 
b) em B existe uma carga concentrada aplicada, de cima para baixo e igual 
a 4 t (valor da descontinuidade no diagrama Q); 
c) no trecho BC o carregamento 6 distribuído uniforme, de cima para 
baixo, de taxa igual a 412 = 2 tlm; 
d) o trecho CE não possui cargas distribuídas ou concentradas aplicadas; 
e) em E existe uma carga concentrada de 2 t para baixo (descontinuidade 
em Q). 
Calculemos a área do diagrama de esforços cortantes: 
S p = 6 X 2 - 2 x 2 - 3 x 4 - 6 X I = - l O m t , 
indicando a existência de uma carga momento em D, atuante no sentido h* 
rário. 
O carregamento atuante 6 , pois, o indicado na Fig. II-37 e, a partir dele, 
obtemos imediatamente o diagrama de momentos fletores indicado na mesma 
figura. 
1 Emdo das vigas isostáticin 89 
7.4 - A viga biapoiada da Fig. 11-38 possui um carregamento tal'que seu 
diagrama de momentos fletores é o indicado na figura. Pede-se reconstituir 
este carregamento. 
I OBS. Existe concordância em i3 entre a parábola do 2P grau e a reta. 
Par. 2.O grau 
Fie. U-38 
90 Curso de an&lise estrutural 
Solução 
A partir da configuração do diagrama M, podemos afirmar que o aspecto 
do carregamento atuante é o da Fig. 11-39. 
Passemos ?i determinação dosvaiores numéricos das cargas atuantes. Temos: 
a) Pelas forças da direita 
b) Pelas forças da direita 
M E = 2mt : - 1 X 4 + 2 P = 2 :. P = 3 t 
Pelas forças da esquerda 
M B = 2 m t :. ( 2 q - 2 ) 2 - 2 q = 2 : q = 3t /m 
O carregamento é, pois, constituído por iima carga uniformemente distri- 
buída de 3 t/m no trecho AB e por uma carga concentrada de 3 t em C, 
nos sentidos indicados na Fig. 11-39, 
7.5 - Uma estaca de seção constante e comprimento L repousa num pla- 
no horizontal. Deseja-se levantá-la por um ponto, girando-a em tomo de uma 
das suas extremidades durante o levantamento. Determinar este ponto de 
modo que ela fique submetida aos menores momentos fletores possíveis 
durante a operação. 
Seja S a seção de suspensão. No instante do levantamento, ela funcionará 
estaticamente, segundo o esquema indicado na Fig. 11-40 e, para que fique 
submetida aos menores momentos fletores possíveis, devemos ter que os 
módulos dos máximos momentos fletores positivo e negativo sejam iguais. 
Impondo as equaçóes da Estática, obtemos: 
qL2 ZMA = O . . . . . . . . VB =- 2x 
qLZ Z Y = O . . . . . . . . V,=qL-- 2x 
Estudo das vigas isostáticas 91 
I A seç& de cortante nulo (posição do momento máximo), sendo a iudicada 
na Fig. 11-40, temos que: 
1 L 
M&. = fT)(qLZ)(l - -)l (área do diagrama de cortantes) 2w 
, O momento máximo negativo atua, evidentemente, na seçáo B e seu mbdu- 
10 é dado por IMih 1 = q (L - ~ ) ~ / 2 . 
Igualando, vem: 
1 L 2 1 
T(qL2)(1 -%) = (-)q(L -x)Z 2 
Simplificando, obtemos: 
92 Curso de andlise estrutural Estudo das vigas isostáticas 93 
L 2 ( I - - = (1 -A)', cuja dnica solução provida de significado físico 6 
72 1, 
x =- = 0,707 L 
2 
7.6 - Obter as equaçbes dos esforços simples atuantes no trecho CD da 
viga da Fig. 11-41. 
I I I 
+ 2 r n ~ ~ r n ~ 4 m d ~ m ~ 
Fig. U-41 
As reaçbes de apoio, calculadas por superposição de efeitos, sáo 
1 2 V, = 2 t (-) 10 X 2 +'(-)6 = 1 6 t 2 3 
Para determinar as equaçbes dos esforços simples atuantes no trecho CD, 
basta escolher uma seção gen6rica do trecho, referi-la por uma coordenada 
independente, e obtemos imediatamente: 
Observação: Cada um dos trechos AB, BC, CD, DE possui diferentes equa- 
çbes paraM e Q, de imediata determinação, conforme mostrou este problema. 
7.7 - Calcular o valor a/ l para que a viga da Fig. 11-42 tenha os menores 
momentos fletores possíveis. 
~ a - 1 d a 4 
Fig. 1142 
Sendo o aspecto do diagrama de momentos fletores o indicado na Fig. 
I143 e sabendo que, para a viga ter os menores momentos fletores possivets, 
os módulos dos máxunos momentos fletores positivo e negativo devem se 
igualar, obtemos: 
Daí vem: 
7.8 - Obter os diagramas solicitantes paraa viga Gerber da Fig. 11-44. 
- 
B m t I 4t 
k - l m ~ l > m ~ 1 , 5 m ~ l m ~ 3 m ~ ~ m ~ ~ m ~ ~ m ~ 
Fig. 11-44 
Sendo a decomposição e as forças de transmissão as mdicadas na Fig. 
1145, obtemos os diagramas a seguir. 
94 Cursa de análise estrutural 
Observações: 
a) Para a obtenção do diagrama de momentos fletores no trecho FI, tanto 
poderiamos, conhecendo os valores dos momentos fletores em F, G, H, I, 
traçar sua linha de fechamento e, a partir dela, pendurar as par6bolas corres- 
Estudo das vigas isosiáticas 85 
pondentes a cada um dos trechos FG, GH, Hi, como fazer diretamente o que 
se fez na Fig. n-45: conhecidos os valores dos momentos em F e I, desenha- 
mos a linha de fechamento e, a partir dela, penduramos o diagrama de 
viga biapoiada para o carregamento do trecho FI (parábola cujo valor na seção 
mBdia = 12,s mt). Esta parábola deve, evidentemente, passar por 
valores nulos em G e H (r6tulas), o que B um bom teste para os momentos ex- 
iremos obtidos no trecho. 
b) Notar que, no trecho entre a carga de 4 t e a r6tula E, o diagrama de 
momentos fletores B uma mesma reta, pois VC = 0. 
c) Notar que os valores dos momentos fletores atuantes à esquerda e à 
direita da rótula E são iguais aos valores das cargas-momento aplicadas à 
esquerda e à direita de E. (Tal fato pode nos simplificar muito o trabalho em 
outros casos, conforme poderemos ver no problema 7.9.) 
d) A área do diagrama de esforços cortantes vale: 
SQ = 8 + 6 - 6 - 16 = - 8 mt, valor da resultante das cargas-momento apli- 
cadas e da reação-momento no engaste. 
e) Suponhamos que, além do carregamento indicado, existisse uma carga 
horizontal H da esquerda para a direita aplicada em C. Tal carga seria absor- 
vida pelo engaste I e a ele chegaria atravBs das rbtulas (notar que a rótula 
E a transfere para o trecho EFG, onde a rótula G a transfere para o trecho 
GH indo daí para o trecho HI, em que 6 absorvida). 
A iníiuhcia desta carga horizontal seria, então, a de adicionar à viga um 
d i a m a de esforços normais, no trecho CI, de compressão igual a H. 
7.9 - Obter, sem calcular as reações de apoio, os diagramas de momentos 
fletores para as vigas da Fig. n-46. 
A partir da observação c feita no problema anterior, obtemos os diagra- 
mas desejados, desenhados na Fig. 11-47: 
96 Curso de anzílire estrutural Esiudo dar vigas isoJtiiticna 97 
7.10 - A Fig. 11-48 representa o diagrama de esforços cortantes numa viga 
Gerber que possui uma rópla a ser determinada. Pede-se determinar a posição 
desta rótula, reconstituir o carregamento e traçar o diagrama de momentos 
fletores. 
OBS.: A viga não tem carga-momento aplicada. 
A partir do diagrama de esforços cortantes dado, obtemos imediatamenfe 
o carregamento atuante e reaçóes de apoio, indicados na Fig. 11-49, 
O valor da reação-momento no engaste 6 dado pela área do diagrama de 
esforços cortantes, que vale: 
1 SQ= - 2 X 2 t 2 X 4 + ? X 2 X 2 - 4 X 2 = - 2 m t (osentido6,pois,ho- 
rário). 
As posiçóes possfveis para r6tula são aquelas em que a irea do diagrama de 
esforços cortantes se anula e são dadas por x , = 2 m ou x, = 7.59 m 
(indicamos uma posição em linha cheia e a outra em tracejado). 
O diagrama de momentos fletores esta traçado na Fig. 11-49, 
7.1 1 - Obter os diagramas solicitantes para a viga Gerber da Fig. 11-50, 
1 . 1 I I 1 I I I 
Ç 1 r n ~ 3 r n ~ 2 , 5 ~ ~ l m ~ 1 , 5 m f 1,5m+l,5m+ 
Pig. 11-50 
Trata-se, evidentemente, de uma viga Gerber hipostática, sem estabilidade, 
pôis o trecho EFG é instável (viga biapoiada com rótula) e não há o que 
calcular, então. 
OBS.: O objetivo deste problema foi chamar a atenção do leitor sobre o 
seguinte fato: suponhamos fosse feita uma anáIise da estaticidade da viga 
por via algdbrica. 
A quantidade de incógnitas a determinar d seis (três apoios do 1P gênero 
e um engaste). 
A quantidade de equaçbes disponiveis B seis (três equaçbes universais da 
Estática mais três equaç6es de momentos fletores nulos nas rótulas). 
A conclusão seria, então, que a viga é isostática, o que sabemos ser falso, 
por ser seu trecho EFG hipostático. 
(A interpretação do resultado algébrico é que a superposição do trecho 
uma vez hiperestático AE, com o trecho isostático GH e com o trecho hipos- 
tático EFG acarretou uma isosticidade aparente para o conjunto.) e por-esta razão que não apresentamos neste Curso fórmulas destinadas2 
verificaçao da estaticidade de estruturas compostas pois elas sáo falíveis, sb 
sendo seus resultados confirmados quando fuermos a decomposição correta 
da estrutura, que dará a última palavra, e que é o que fazemos para todos os 
casos. 
8 - PROBLEMAS PROPOSTOS 
Par. grau 8.1 - Obter as equaçóes doses- 
forços simples atuantes na viga da 
Fig. 11-51. 
Estudo das vigas iaartáticas 99 
8.2 - Obter as equações dos esforços simples atuantes na viga da Fig. 
I 11-52, (Sugere-se tentar fazer o carregamento recair numa superposição de 
I carga uniforme com carga triangular.) 
8.3 - Idem para a viga da Fig. ii-53. 
ph par. 2? grau 
8.4 - Obter os diagramas solicitantes para a viga da Fig. 11-54. 
1 t lm 
8.5 - Determinar o valor da carga P que deve ser aplicada 2 viga da 
Fig. 11-55, para que ela fique submetida aos' menores momentos fletores 
rsíveis. 
1 W Cuno de anhlise estrutural 
I 1 1 1 
Fig. li-55 
8.6 - Idem para a viga da Fig. 11-56, 
8.7 - Obter os diagramas soiicitantes para a viga da Pig. 11-57, 
8.8 - Idem para a viga da FLg. II-58. 
A;:: 1 2 . 5 m t 
f 
n 
I - I I 
+I . 5 m + 3 m ~ 3 r r ; + 1 , 5 m + 
Pig. li-58 
~ w d o das vigas isostáticas 101 
I 8.9 - Idem para a viga da Fig. 11-59, 
8.10 - Idem para a viga da Fig. 11-60. 
8.11 - Traçar os diagramas solicitantes para a barra homogênea ABC, de 
130 kg de peso total, indicada na Fig. LI-61. 
1 8.12 - Calcula o menor valor de a para que a viga da Fig. 11-62 possua iomentos fletores tracionando, em todas as seções, as fibras superiores. 
102 Curso de análise estrutural 
8.13 - Traçar os diagramas solicitantes para a viga da Fig. 11-63, 
+f t t t l m 
A a - \ -, 
- - - A 
3 
. 6 4 m - + ~ m t 4 m ~ 2 m & 4 m ~ 
Fig. n á 3 
8.14 - Idem para a viga da Fig. 11-64, 
$-3rn+1 m&4m+-lm+ 
Pig. 11-64 
8.15 - Sem cálculo pr6vio das reações de apoio, obter o diagrama de mo- 
mentos fletores para a viga da Fig. 11-65. 
& - a + b ~ - c 4 d ~ f - e + 2 m 1 
Pig. 11-63 
8.16 -Para a viga da Fig. U-66, obter os diagramas solicitantes. 
Estudo das vigas isostáticas 103 
8.17 - Obter o diagrama de momentos fletores para a viga da Fig. 11-67. 
8.18 - Calcularx para a viga da Fig. 11-68, de modo que ela fique subme- 
tida aos momentos fletores menores possíveis. 
8.19 -Para a viga da Fig. 11-64, obter as equações dos momentos fle. 
tores atuantes em seus diversos trechos. 
8.20 - A Fig. U-69 representa o DMF numa viga Gerber de simples 
apoios em A, E, C, um dos quais é do 2P gênero. 
Pede-se: 
a) reconstituir o carregamento e as reações de apoio; 
b) traçar o diagrama de esforços cortantes; 
c) calcular as posiçóes possíveis para a rótula. 
104 Curso de análise estrutural 
9 - so~uçAo üOS PROBLEMAS PROPOSTOS 
Pp pl ( 1 - 6 ~ ' + 4 e ~ ) 8.1 - M(*) =- (&E3 + E 4 ) ; Q ( x ) = - 3 3 
8.5 - P = 2q1(2- 4) , produzindo ~MmáuI = 0,086 q12 
8.6 - P= ql (a-1) , produzindo IMrnáx~ = 0,086 qlz 
citudo das vigas isostáticas 105 
106 Curso de andlise estrutural istudo dar vigas isostáticas 
107 
Curso de análise estrutural 
8.18 - x = ( ( 3 - 2&), produzindo IMmáxl= 0,086 qlz 
Estudo das vigas isostáticas 
rj.19 - M(x)= 3 - x 1 para x E [O ;41 
~ ( ~ ) = - 3 6 +I&-x2 para x E [4;81 
~ ( x ) = - 108 + 2 l x - x 2 para x e i8 ; 91 
CAPITULO II I 
ESTUDO DOS 
QUADROS ISOSTÁTICOS PLANOS 
1 - QUADROS SIMPLESExistem quatro tipos fundamentais de quadros isost8ticos planos, aos 
quais cliarnamos quadros simples, quando ocorrem isoladamente e que, 
associados entre si, da mesma forma com que associamos vigas simples 
para constituir as vigas Gerber, formam os assim chamados quadros 
compostos, que estudaremos no tópico n? 3 deste capítulo. 
Sao os seguintes os tipos estáticos de quadros simples isost3ticos. 
1.1 - Quadro biapoiado 
Seja o quadro da Fig. 111-1. Para obtermos as reações de apoio H A , LIA e 
I'D dispomos das trEs equações uni- 
?\ i' versais da Estática no plano. Trata-se, . pois, de estrutura isostática. Conheci- 
/*< 
das as reações de apoio, passetnos à 
obtençáo dos diagramas solicitaiiies. 
Fig. 111-1 
Emido dos quadros irostáticos planos 111 
Estamos diante de um problema novo, que faremos recair em problema 
já conhecido (resoluçXo de vigas biapoiadas), da maneira seguinte. 
p2 s, h P7 
VI> 
111-2.1 111-2.2 
Fig. lil-2 
Rompendo a quadro em seus nós intermediários B e C , podemos destacar 
umas das outras as barras que o constituem, desde que apliquemos nesses 
nós, em cada uma das barras, os esforços sunples neles atuantes, que 
manterão o equilibrio de d a barra AB, BC e CD, conforme indica a 
Fig. 111-2.1. 
Analisemos, agora, cada uma dessas barras. Seja, por exemplo a barra BC, 
indicada na Fig. 111-2.1 ,submetida ao carregamento em equilibrio constituído 
por HB, VB, M E , Pl, P3, Hc, VC, MC. Como estas cargas estáo em 
equilibrio, podemos encarar, por exemplo, Hg, VB e VC como sendo as 
forças que equilibram as demais cargas atuantes e a barra BC pode, então, 
ser considerada como uma viga biapoiada, submetida ao carregamento que 
lhe está diretamente apiicado, acrescido de cargas-monento em suas extre- 
midades iguais aos momentos fletores atuantes nestas seções e de uma carga 
horizontal no apoio do i? gênero, igual ao esforço normal ztiiante nesta 
seção. A igual conclusão chegaríamos para as demais barras e o estudo do 
quadro recai, então, no estudo das três vigas biapoiadas AB, BC e CD com 
os carregamentos indicados na Fig. 111-2.2. 
As conclusiies tiradas para este caso podem ser extrapoladas para lodos 
os demais e podemos, então, afirmar que, para se traçar o diagrama dos 
momentos fletores atuantes num quadro, basta marcar os momentos fletores 
atuantes em seus nós, iigMos por uma linha reta tracejada, a partir da qual 
penduramos os diagramas de viga biapoiada devidos aos carregamentos 
atuantes sobre cada uma das barras que constituem o quadro. 
112 Curso de análise estrutural 
Os diagramas são marcados, como no caso das vigas, perpendicularmente 
ao eixo de cada barra. 
A obtenção dos diagramas de esforços cortantes e esforços normais d 
imediata, a partir do conhecimento das reações de apoio. 
O exemplo 111.1 esclarece. 
Ex. 111.1 - Obter os diagramas solicitantes para o quadro da Fig. 111-3. 
Fig. iil-3 
Substituindo o carregamento distiibuído por sua resultante, indicada em 
pontilhado na Fig. 111-3, passemos à obtenção das reaçóes de apoio: 
Por C Y = 0, temos: V , = 20 t. 
Por CMs=O, temos: 2 0 X 5 t 2 X 2 - 2 0 X 8 t 1 6 t 4 f ~ A = 0 :. 
.': -HA = IOt. 
Por ZX = 0, temos: Hg = 12t. 
Conhecidas as reações de apoio, estamos em condições de traçar os 
diagramas solicitantes,que começaremos pelo diagrama de momentos fletores. 
Os momentos fletores atuantes nos nós intermediários, valem: 
a) Nó D: - Para a barra AD: M B ~ A D = 10 X 8 + 4X 4 = 96 mt, tra- 
cionando as fibras da esquerda. 
- Para a barra CD: MP = 2 X z2 12 = 4 mt, tracionando 
as fibras superiores. 
- Para a barra DE: 
Estudo dos quadros isostáticos planos 113 
Para a barra DE, podemos obter o momento fletor atuante'em D a partir 
de sua defmição, isto 6, entrando com as forças atuantes num dos lados 
da sepão (por exemplo, entrando com as forças atuantes à esquerda, obtemos: 
tracionando as fibras superiores) ou podemos, o que é muito mais prático, 
no caso, obter seu valor a partir do equilibrio do nó D, conforme se segue. 
mc 
est 
da 
cio 
Rompendo todas as barras que concorrem no nó D e aplicando os 
imentos fletores nelas atuantes, eles têm que estar em equilibrio, pois a 
mtura o está. Temos então, o esquema da Fig. 111-4, a partir do qual 
temos: 
hfDbDE = 100 mt (tracionando as fibras ãuperiores). 
Nó E: - Para a barra EF: M P E F = 16 mt, tracionando as fibras 
direita. 
- Para a barra BE: = 12 X 4 + 2 X 2 = 52 mt, tra- 
nando as fibras da direita. 
- Para a barra DE, temos, a partir do equilibrio do nó E, 
V-.,forme indica a Fig. 111-5: M F D E = 36 mt (tracionando as fibras 
superiores). 
114 Curso de anailise estra~tural 
Marcando os valores obtidos para os nós, temos definidas 2s linhas de 
fechamento, a partir das quais penduramos os diagramas de viga biapoiada, 
obtendo então, o diagrama final indicado na Fig. 111-6.1. 
100 
Fig. 111-6 
A obtenqáo dos diagramas de esforços cortantes e de esforços normais 6 
imediata, a partir do carregamento e das reações de apoio indicadas na 
Fig.111-3, chegando-se aos valores indicados nas Figi. 111-6.2 e 111-6.3, 
respectivamente. 
Estudo dos quadros isost6ticos planos 115 
Observuçóes : 
a) OS diagramas de momentos fletores nas barras verticais poderiam, também, 
I ser obtidos calculando seus valores nas seções de aplicação das cargas 
concentradas (4 t para a barra AD e 2 t para a barra BE), ligando-os a zero 
nos apoios e aos valores obtidos nos nós (96 mt para o nó D e 52 mt para 
o nó E). 
b) Para o traçado do diagrama de esforços cortantes. obedecemosis mesmas 
convenções de sinais adotadas no caso das vigas. 
c) A área do diagrama de esforços cortantes vale: 
S Q = - l 0 X 4 - 1 4 X 4 - 4 + 1 6 X 4 + 1 4 X 2 + 1 2 X 2 = + 1 6 m t , v a l o r 
da carga-momento aplicada (sentido anti-horário). 
d) No traçado do diagrama de esforços normais, é indiferente o iado para o 
qual marcamos os valores, interessando apenas o sinal (positivo se o esforço 
é de tração e negativo no caso de compressão). 
e) A fim de evitar confusão com as linhas que definem o eixo do quadro e 
com linhas auxiliares usadas para o traçado dos diagramas, podeae hachurar, 
se julgado Útil para maior clareza, a área compreendida entre o diagrama 
final e o eixo do quadro. 
f) Notar, no diagrama de momentos fletores, os pontos angulosos nos pontos 
de aplicação e nos sentidos das cargas concentradas aplicadas (iclusive as 
reaçóes de apoio). 
1.2 - Quadro engastado e Livre 
Seja o quadro da Fi. 111-7. Suas três reaçóes de apoio H A , VA, M A 
são ùnediatamente obtidas empregan- 
do.se as três equações universais da Es- 
tática e, a partir dai, chegamos, sem 
maiores problemas, a seus diagramas 
solieitantes, conforme ilustra o exem- 
plo 111.2. 
4 
ri i Dr-E 
116 Curso de análise estrutural 
E*. 111.2 - Obter os diagramas solicitantes para o quadro da Fig. 111-8. 
eaçóes de apoio valem: 
X X = U .................... H ~ = i t 
Por ZY = O .................... VA = 8 t 
Por ZM*=O .................... M ~ + 3 X : ! t l X 2 = 1 X 1 + 4 X 2 :. 
.: MA = l m t 
Os diagramas solicitantes são os indicados na Fíg. 111-9. 
I 
Fi. 111-9 
Observaç5es: 
a) Não indicamos cálculo auxiliar algum, pois todos os valores necessários 
ao traçado dos diagramas podem ser obtidos de cabeça, no caso. 
6) A área do diagrama de esforços cortantes vale, no caso, 1 mt, valor da 
reação-momento no engaste (sentido anti-horário). 
Estudo dos quadros ilat8tix.s Mana 317 
I 1.3 - Quadro triarticulado 
'seja o quadro triarticulado (articulações em A, G e g) da $ig. 1i1-10. 
Para determinar suas 4 reaçbes de apoio (HA, V*. HB e VB), dispomos 
das três equaçOes universais da Estática no plano e, por haver uma rótula 
em G (o que indica que em G $6 há transmissão de forças, não havendo 
+ransmissão de momentos),temos uma quarta equaçao indicando que o 
momento fletor em G deve ser nulo. 
Obtidas as reações de apoio, o problema está resolvido, levando-se em 
conta o que jd estudamos nos itens anteriores. 
ObsewaçrM: Caso os dois apoios do 20 gênero e a rótula intermediária 
estejam aliiados, a estrutura será hipostatica, seMo vejamos. Seja o quadro 
da Fig. 111-11. Para que tenhamos satisfeita a condição do momento fletor 
ser nulo em G, as reações de apoio HA e VA em A e HB e VB em R 
devem ter suas resultantes R* e RB segundo a direçso da reta AR, conforme 
esquematizado na figura. 
118 Curso de análise estrutural 
Calculemos a soma das projeções de todas as forças na direçáo perpendi- 
cular ê reta AB: ela valerá X Y = -P coso (e náo zero, como deveria valer, 
caso. houvesse o equilibrio). Coilcluhos entào que, nestas circunstãncias, o 
equilhrio 6 impossivel e estamos, por conseguinte, diante de uma estrutura 
hipostática. 
Podemos afirmar, pois, que um quadro tnarticulado é uma estmtura 
isost4tica. desde que suas 3 rótulas não estejam alinhadas. 
Ex. 111.3 -- Obter os diagramas solicitantes para o quadro da Fig. 111-12: 
I"' 
i 'i" 
Fig. 111-12 
As reações de apoio são dadas por 
ZMB=O 8VA = ? X 6 + 8 X l X 4 + 4 X 2 - ? X 2 :. V' = 6 t . 
X Y = O V ~ = 2 + 2 + 4 + S X i -VA = IOt. 
Mc = 0, pelas forças da esquerda: 
6 X 4 + 6 - 6 H A - 2 X 2 - 4 X I X 2 = 0 . HA = 3 t . 
ZX = O H g = 3 t . 
Passemos $ obtenção d a diagrama de momentos fletores. 
Os momentos fletores atuantes nos nós do quadro valem: 
- nó C: Mc = 3 X 3 = 9mt , tracionando as fibras externas; 
- nó G: MEYi = M? = 6 mt, valor das cargas-momento aplicadas, tracio- 
nando as fibras externas; (observação: Em C temos, evidentemente MC = 0; 
o diagrama sofre descontinuidades de 6 mt à esquerda e à direita da rótula); 
Estudo dos quadros isostáticos plana 119 
I - nó F: M"" = 2 X 2 = 4 mt. tracionando as fibras externas: 
1 M"~' = 3 X 6 - 4 X 2 = 10mt. tracionando as fibrasexternas; 
M" "F = 14 mt, tracionando as fibras externas, obtido a partir 
dos valores anteriores, por equilibrio do nó E, conforme mostra a 
F1g. 111-13; 
I 
nó E :MiarraDE = 8 mt, tracionando as fibras superiores; 
 ME^^^ = 3 X 3 = 9 nit, tracionando as fibras externas; 
~ , b ~ ~ ~ = I mt, tracionando as fibras externas. obtido a oartir 
dos valores anteriores, por equilibrio do nó E, conforme mo'stra a 
Fig. 111-14. 
I Marcando os valores obtidos para os nós, temos definidas as linhas de 
fechamento, a partir das quais penduramos os diagramas de viga biapoiada 
obtendo, então, o diagrama indicado na Fig. 111-15.1. 
As cotas bdsicas para o traçado dos diagramas de esforços cortantes e de 
esforços nomais podem ser obtidas de cabeça, a não ser no trecho inciinado 
CG, onde valem: 
120 Curso de analise emutural 
~ ~ ~ ~ ~ = 6 c o s a - 3 s e n a = 6 X 0 , 8 - 3 X 0 , 6 = 3 i 
N : ~ ~ ~ = -6 sen u - 3 cos u = -6 t 
QJP' = 4cosu - 3 s e n a = 1,4t 
eJd" = 1,4 - 2 cosa = -0,2 t 
NJ" = -4 sen a - 3 cosa = -4,s t 
N? = -4,8 + 2 sen a = -3,6 t 
= -3senu = -1,St Qc 
N"" = -3cosu = -2,4t 
Os diagramas estão desenhados, a partir desses valores, nas Figs. 111-15.2 
e 111-15.3. 
-do dos quadros isostáticos planos 121 
Observaq5es: 
a) Notar como a escolha adequada das equações de equilibrio, bem como 
de sua ordem de emprego facilitou o trabalho algébrico de obtenção das 
reações de apolo. Em qualquer outrò caso, o leitor deve guardar esta iddia 
em mente, pois esta escolha adequada tornará a resolução da estrutura muito 
menos trabalhosa e, consequentemente, muito menos passível de erros 
numéricos. 
b) O diagrama de momentos fletores de viga biapoiada a ser superposto i 
linha de fechamento na barra CG, em vista às conclusões tiradas no item 
do Cap. 11, tem seu valor, em J , igual a q12 18 + Pabl I = 1 X 4'18 + 
+ 2 X 2 X 214 = 4 mt. Este valor será marcado evidentemente na perpendi- 
ilar à barra CG, a partir da linha de fechamento. 
1.4 - Quadro biapoiado, com articula@io e t i i t e (ou escora) 
Seja o quadro da Fig. UI-16.1, biapoiado em A e E , com uma r6tula 
em G e com uma barra CD descarregada, roiulada em suas extremidades. 
Se a barra CD 6 descarregada e rotulada nas extremidades, ela tem, em 
todas as suas seções, M = Q = 0, podendo estar submetida, apenas, a um 
esforço normal constante (no caso de ser de traçáo, a barra será denominada 
tirante e, no caso de ser de compressão, será dita uma escora). Nada se 
alterará, entZo, sob o ponto de vista estático, se rompermos a barra CD, 
substituindo-a por um par de esforços normais N, de sentidos opostos e 
aplicados no quadro ACDB em cada uma das extremidades C e D da barra 
CD, conforme indica a Fig. 111-16.2. 
122 Curso de análise estrutural 
Para resolver a estrutura precisaremos, por conseguinte, conhecer os 
" valores das reações de apoio VA, HA e VB e do par de forças N, num 
total de quatro incógnitas. Sendo igual o numero de equações de que 
dispomos (três equações universais da Estática e mais a equação de momento 
fletor nulo na rótula), trata-se de uma estrutura isostática. 
Obtidas as reações de apoio e o valor de N, o traçado dos diagramas 
solicitantes será unediato, a partir do que estudamos nos tópicos anteriores 
deste capitulo. O exemplo 111.4 esclarecerá. 
Obseri3apio: Dependendo da posição relativa dos vínculos, o quadro 
biapoiado, com articulação e tirante, pode se tomar hipostático, conforme 
é o caso da estrutura da Fig. 111-17, incapaz de absorver forças horizontais 
atuantes no trecho GB bois acarretariam o aparecimento de momentos 
fletores na rótula, o que é impossível). Deve-se fazer, pois, neste sentido, 
uma análise de cada caso. 
\ Fig. 111-17 W 
Ex. 111.4 Obter os diagramas soticitantes para o quadro da Fig. UI-18. 
Fig. 111-18 Fig. 111-19 
Estudo dos quadros isonáticos planos 123 
Temos, para obtençáo das reaçdes de apoio e do esforço normal atuante 
na barra CD, o esquema da Fig. 111-19, a partir do qual obtemos: 
Por ZX = O ......................... HA = O 
Por ~ M B = O ....................... 4v.4 = 2 X 4 X 2 .'. v A = 4 t 
Por Z Y = O ......................... V g = 8 - v A = 4 t 
Por Mc = 0, pelas forças da direita: 2 N - 4 = O :. N = 2 t 
Conhecidos estes valores, obtemos, sem maiores problemas, os diagramas 
solicitantes traçados na Fig. 111-20. 
Fig. 111-20 
2 - QUADROS COM BARRAS CURVAS 
Os tipos de quadros simples estudados no tópico anterior podem aparecer, 
evidentemente, com barras curvas ao invés de barras retas, conforme o caso, 
por exemplo, da Fig. UI-21. 
Nenhuma alteraçao quanto à forma de tratamento sofrerá, entretanto, o 
problema, conforme esclarecem os exemplos a seguir. 
I Fig. iii-22 
Ex. In.5 - Obter os diagramas solicitantes para o quadro da Fig. 111-22. 
Por simetria, as reações verticais em A e B são iguais aP/2 e temos, então, 
numa seção genérica S, definida pelo ângulo 8, os seguintes esforços simples: 
P J- Qs = Va sen e = sen O -. E \I2;,: --gy 
- 
n j ie 
studo dos quadros isost6tim planos 195 
Y8. Estas equações são válidas, apenas, para seções no trecho AC, pois em C 
surge uma carga concentrada que modificaria estadexpressões para O > n12. 
Devido à simetria existente, não precisamos, entretanto, instituir as equações 
para o trecho CB, obtendo então os diagramas indicados na Fig. 111-23, 
todos eles marcados perpendicularmente ao eixo da barra (estes diagramas 
são traçados, evidentemente, por pontos). 
Observação importante: notar que para este exemplo, em que temos 
uma estrutura plana simétrica, com carregamento simétrico (pois HA = 01, - -- 
os diagramas de momentos fletores e esforços normais são sim6tncos e o 2 2 
de esforços cortantes é anti-simétrico (duas seç6es simétricas em relação a0 
eixo dc simetria da estrutura têm cortantes de mesmo módulo, comsinais Fig. 111-23 
>postos). 
Esta é uma conclusâo dlida para qualquer estrutura plana simétrica com 
arregamento simétrico. 
Ex. 111.6 Para a estrutura da Fig. 111-22, desenhar o diagrama de 
momentos tletores a partir de uma reta horizontal. 
126 Curro de análise estrutural 
Marcando os valores dosmomentos fletores a partir de uma reta horizontal, 
o diagrama seri retilíneo, conforme indica a Fig. 111-24, pois os momentos 
fletores crescem linearmente segundo o valor .de AM = R (1 - cos 0 ) . Daí a 
idéia, no caso, de desenhar o diagrama a partir de uma reta horizontal e 
não a partir do eixo curvo da barra. Tal idéia 6 válida, pois existe uma 
correspondência biunívoca entre sepo da barra e cota do diagrama de 
momentos fletores, marcado a partir de uma reta horizontal. 
Pig. 111-24 
No caso das barras curvas podemos, entáo, traçar diagramas a partir de 
uma Linha reta auxiliar, e 15 interessante faz&-lo quando tal procedimento 
simplificar o seu traçado. 
Os próximos exemplos completaráo o esclarecimento do assunto. 
Ex. 111.7 - Desenhar o diagrama de momentos fletores para a estmtura 
da Fig. 111-25. 
Fig. 111-25 
Estudo dos quadros isostátiws planos 127 
Desenhando o diagrama a partir da reta horizontal AB, levando-se em 
conta que o momento atuante numa seção gentrica vale 1 X y = y, tracio- 
nando as fibras superiores, ele seri delimitado pelo próprio eixo da barra, 
conforme indica a Fig. 111-26. (Notar que, como os momentos fletores 
tracionam as fibras superiores, seus valores sáo marcados para cima da 
reta AB.) 
- 
Fig 111-26 
Ex. Iii.8 - Trapr o diagrama de momentos fletores para a estrutura 
da Fig. 111-27. 
As reaçóes de apoio valem: 
Por 'ZX = O .................... HA = 2 t; 
Por XMg = O .................... V* = 4 t; 
Por XY = O .................... V' = 8 t, conforme indica a Fig. 111-27. 
128 Cuno de análise estrutural 
A obtenção dos diagramas nasbarras ACe BD 6 imediata; concentremo-nos 
na barra CD, para a qual desenharemos o diagrama a partir da reta horizontal 
CD, pelas razoes que transpareceráo a seguir. 
Para estudar a bana CD isoladamente, rompamos a estrutura em C e em 
D, aplicando nestas seções seus esforços simples, a frn de preservar seu 
equilibrio. (Isto equivale a transferir para C as cargas aplicadas no trecho 
AC e, para D, as cargas aplicadas no trecho BD.) 
Temos, entao, o esquema da Fig. 111-28.1, que pode ser decomposto na 
superposiçáo dos casos indicados na Fig. 111-28.2 (só cargas verticais e 
momentos) e na Fig. 111-283 (só cargas horizontais). 
Para o caso indicado na Fi. 111-28.2, correspondente à influência apenas 
das cargas verticais e momentos, a barra curva se comporta como se fosse 
uma viga reta CD, pois, para se obter os momentos atuantes numa seçáo 
gen6rica S. s6 interessam as distâncias horizontais. Marcando então 0s 
momentos, a partir da reta CD, o diagrama para o caso esta indicado na 
Fig. 111-29.1. 
Estudo dor quadros ironbtiuis planos 129 
Para o caso indicado na Fig. 111-28.3, correspondente à influencia apenas 
' ~ ; cargas horizontais, o momento íietor atuante numa qçáo gengrica vale, 
ifoqne indica esta figura, Sy, tracionando as fibras supeiores; desenhando 
iiagrama a partir da reta CD, ele será, então, da mesma lei matemática 
: o eixo da barra (pois o momento é proporcional a y), sendo, pois, a 
dbola do 2? grau indicada na Fig. 111-29.2. 
$L*-$,", 
O diagrama fmal, para a barra curva CD, desenhado a partir da reta CD 
é, então, o indicado na Fig. 111-293 e o diagrama de momentos fietores 
no quadro 6 o da Fig. 11130. 
130 Curso de an6lise estrutural 
1) Aconselhamos seja sempre usadn, para as barras curvas, o mdtodo de 
análise empregado neste último exemplo, por ser a forma mais simples de 
resolvê-las. 
2) Resumindo o que vimos neste exemplo, para o traçado do diagrama de 
momentos fletores na barra curva CD, a partir da reta horizontal CD, 
marcamos sua linha de fechamento e, a partir dela, penduramos a soma do 
diagrama de viga biapoiada com o diagrama devido apenas às forças 
horizontais, conforme indica a Fig. IIMO. 
Estudo dor quadros iwsthticw planos 131 
E fhcil ver, então, que o quadro composto está para o quadro simples 
da mesma fonna que a viga Cerber est4 para as vigas simples. 
A resoluçíio de um quadro composto não apresenta, então, mistério algum, 
I bastando resolver inicialmente os quadros sem estabilidade própria (no caso, o triarticulado DEFGH) para as cargas que a t u m sobre eles e, a seguir, os 
quadros dotados de estabilidade própria (e que, por isto, dão a estabilidade 
ao conjunto) para as cargas que a t u m diretamente sobre eles, acrescidas das 
forças transmitidas pelas rótulas. 
Pata o caso da Fig. 111-31, teríamos que resolver, então, os tr&s quadros 
imples indicados na Fig. IIM2, para os carregamentos indicados. 
3 - QUADROS COMPOSTOS 
3.1 - Introdução 
Seja o quadro da Fig. 111-3 1. Analisemos o trecho DEFGH: trata-se de 
um triarticulado, sem estabilidade própria, pois as rótulas D e H são capazes 
apenas de transmitir forças às estmturas que as suportam. Sua estabilidade 
fica, entao, condicionada à capacidade ou não que tenham os quadros 
ACDB e JHIK de absonier estas forças. 
p3 p4 
Sendo estes dois últimos quadros estruturas isostáticas (quadros biapoi- 
ados) dotados de estabilidade própria, eles sáo capazes de absorver as forças 
transmitidas pelas rótulas D e H, acrescidas das forças que a t u m diretamente 
sobre eles, sendo o corjunto, então, uma estrutura isostitica composta por 
dois quadros biapoiados, dotados de estabilidade própria, que suportam um 
triarticulado, dando a ele, pois, estabilidade. A este conjunto, formado pela 
associação de quadros simples, chamamos quadro composto. 
Para resolver um quadro composto devemos, enfio, decomp&lo nos 
1 quadros simples que o constituem, resolvendo, inicialmente, aqueles sem 
I estabilidade própria, e, após, os dotados de estabilidade própria, para o carregamento diretamente atuante sobre eles, acrescido, pata estes últimos, 
das forps transmitidas pelas rótulas. 
O problema recai, pois, na resolução de quadros simples, já-estudada em 
tópico anterior. A única novidade será, então, a decomposição do quadro 
I composto nos quadros simples que o constituem, de que trataremos a seguir. I 3.2 - Exemplos de decomposição 
Para decompor um quadro composto, devemos procurar, iniciaimente, os 
quadros simples dotados de estabilidade própria que o constituem e, sobre 
132 Cuno de análise estmtuial 
eles, atravds das rótulas, apoiamos, a seguir, os quadros simples seni estabili- 
dade própria. 
Os exemplos a seguir esclarecerão. 
a) c F G 
Fig. 111-33 
Os quadros dotados de estabilidade própria são: o quadro engastado e 
livre AB e o quadro triarticulado EFGH A partir dai, temos a decomposiçáo 
indicada na Fig. 11134. Os números indicam a ordem de resolução e as 
setas em pontdhado a transmissão de carga. 
t E Fig. 111-35 
Estudo dm quadros iwstátims planos 133 
Sendo AGFE um quadro biapoiado, dotado de estabilidade própiia, o 
esquema de decomposição 6 o da Fig. 111-36. 
B 
A izjF I I Fig. 111-36 
ObservaçZo inicial: 
Seja o quadro da Fig. 111-38.1. 
nl-38.1 111-38.2 
Fig. 111-35 
Para ele, identificamos, unediatamente, os quadros engastados e livres AB 
e FI e o quadro triarticulado GDH, dotados de estabilidade própria, e sua 
decomposição é, então, a indicada na Fig. 11138.2. Nào C usual, entretanto, 
representar, para o quadro da Fig. 111-38.1, O nó D da forma pela qual foi 
representado; prefere-se, para este fun, indicá-lo como na Fig. 11137, o que 
134 Curso de anhlise estrutural 
é lícito fazer sem qu? haja nenhuma mudança em seu funcionamento, pois, 
tanto num caso com0 no outro, não há transmissão de momentos fletores 
de uma barra para a outra, bem comonos dois casos as diversas banas 
concorrendo no nó podem girar independentemente uma da outra. 
O quadro da Fig. 11137 é, então, i.4Entico ao da Fig. 111-38.1 e aprimeira 
forma de representação será, sempre, a adotada. Sua dempos içáo 6 a da 
Fig. 111-38.2. 
E fácil,poís, notar que, quando temos - conforme foi o caso do exemplo - 
quatro barras rotuladas num nó, a estrutura se comporta como tendo, neste 
nó, três rótulas distintas (duas barras, cada uma delzs rotulada em relação 
às duas outras, rotuladas estas entre si e indivisiveis, por fazerem parte de 
um quadro simples, que constituem o quadro composto). 
Generalizando, quando temos n barras rotuladas num nó, a estrutura se 
comporta como tendo, neste nó, (n - 1) rótulas distintas. 
Ex. Di.9 - Decompor os quadros das Figs. 11139.1, fn-40.1 e 111-41 . l , 
numeiando a ordem de resolução dos quadros componentese indicando com 
setas as transmissões de cargas. 
A partir dos comentdrios anteriores, temos imediatamente as dewmpo- 
siçaes indicadas nas Figs. 11139.2, 111-40.2 e 111-41.2. 
1 Estudo d w quadros isostátims planos 135 
Pig. 1-41 
3.3 - Exemplos de solução 
I Ex. IILIO - Traçar os diagramas solicitantes para o quadro da Fig. 111-42. 
~ ' m ~ c _ % - + 
Fig. I1142 
A decomposição, a ordem de resoluçZo, ss forps de transmissão e as 
reações de apoio são as indicadas na Fig. 111-43. / \ , 
Fig. 11143 
136 Curso de analise estrutural 
Observaçüu: As reações de apoio e as forças de transmissão para o 
quadro 1 foram obtidas por superposição de efeitos (carga distribuída e 
carga concentrada), conforme indicado na Fig. 111-43.1. Para o quadro 2, 
é mais prático obter as reaçõos de apoio empregando, diretamente, as 
equaçoes de equilibrio, devido à maior qdaiitidade de carregamentos atuantes, 
C temos: 
Por ZMc= O ........... R V D + ~ X ~ - ~ , ~ S X ~ - Z X ~ - ~ X I X 4 = 0 : . 
:. VD = 6,5 t 
Por ZY = O ........... V c = 3 . 2 5 t Z + X X 1 - 6 , s = 6 , 7 5 t 
Poi M c = 0, calculadci pelas forças da esquerda: HD = O 
Por C X = O ........... Hc = 3 t 
Podemos passar, então, imediatamente ao traçado dos diagramas solici- 
tantes, feito na Fig. 111-44. 
@I i.", i, 
Fig. 111-44 
Estudo dos quadros isost8ticos planos 137 
Ex. 111.11 - Traçar os diagramas de momentos f le tor~s e de csforços 
normais para o quadro da Fig. 111-45. 
+- 2 r n - 7 J L - 2 r n A ~ r n - 4 
Fig. 111-45 
A decomposição, a ordem de resolução, as forras de transmisso e as 
reações de apoio S o as indicadas na Fig. 111-46. 
vn-2, t v,,-21 
Fig. 111-46 
1 Observa~ãu: As Rações de apoio e forças de transmissão, no caso deste 
exemplo, podem ser, todas elas, obtidas de cabeça, mediante o emprego, 
em ordem adequada, das equações de equilibrio, para cada um dos quadros 
simples componentes. Foi o que fizemos, sugermdo ao leitor fazer o mesmo. 
A partir da Fig. 111-46, temos imediatamente os diagramas pedidos, 
traçados na Fig. 111-47. 
138 Curso de analise estrutural Esíudo dos quadros irostáticos planos 139 I 
@ iam ",,I 
Fig. 11147 
Ex. Iii.12 - Desenhar o diagrama de momentos fletores para a estrutura 
da Fig. 111-48, sendo que, para os trechos curvos, que são parábolas do 
20 grau, fazê-lo a partir das retas horizontais de substituição. 
- + - 4 m i - 4 d 
Fig. 11148 
A decomposiqão, a ordem de resolução, as forças de transmissão e as 
reações de apoio, obtidas de cabeça mediante o emprego da superposição 
de efeitos, são as indicadas na Fig. 111-49. 
A partir destes valores e das conclusões tiradas para barras curvas, no 
emplo 111.8, temos o diagrama de momentos fletores traçado na Fig. 111-50. 
Fig. 111.50 
Ex. 111.13 - Obter os diagramas de momentos fletores para os qiuadrol 
das Figs. 111-51.1, 111-51.2 e 111-513, submetidos aos carregamentos auto- 
equilibrados indicados: 
Estando todas as estruturas isostáticas dadas submetidas a carregamentos 
auto-equilibrados, não são necessárias outras forças para equilibrar o canega- 
mento atuante (não há, pois, reaçi5es de apoio) e podemos passar imzdiata- 
mente ao traçado dos diagramas solicitantes. 
Obs. : Por serem nulas as reações de apoio, estes apoios não foram sequer 
indicados para as estruturas da Fig. 111-51. Onde quer que estivessem, não 
teriam influência alguma para os carregamentos autoequilibrados indicados. 
Os diagramas de momentos fletores estão traçados nas Figs. 111-52.1, 
111-52.2 e 111-523. 
140 Curso d e análise estrutural Estudo dos quadros isostáticos planos 141 
Fig. 111-52 
4 - ESTUDO DOS ARCOS TRIARTICULAWS 
O estudo dos arcos triarticulados para carregamento vertical pode ser feito 
recair inteiramente no estudo de uma viga biapoiada, conforme veremos a 
seguir. 
O estudo dos arcos triarticulados para carregamentos atuantes ern todas as 
direçóes não possui tal simplificação e se fará obedecendo aos priiicipios 
gerais de Esiática, já estudados, sendo seus diagramas solicitantes obtidos por 
pontos. 
4.1 -Estudo dos arcos hiarticulados para carregamento vertical em fun- 
çán da viga de substituição 
Seja o triarticulaio da Fig. 111-53.1, submetido ao carregamento vertical 
indicado, para o qual desejamos determinar as reações de apoio e os esforços 
simples atuantes. 
Sendo A e i7 apoios do 2P gênero, existirão neles reaçóes R* e R8 que 
podemos decompor em duas direçóes quaisquer para fins de facilitar o seu 
cálculo (usualmente decompomos nas direçóes horizontal e vertical, mas, no 
caso, preferimos, a direção vertical e a direção AB, pelas razões que ficarão 
claras no decorrrr do desenvolvimento), conforme indica a Fig. 111-53.2. 
142 Curso de análise estrutural 
Calculemos estas componentes: 
Por I: X = 0. temos que as reações em A e B na direção AB devem ser 
iguais coiiforme iiidica a Fig 111-53.1. 
Por ZM,q = 0, obtemos V4, igualando seu momento em relação a B à 
soma dos momentos em relação a B de todas as cargas verticais aplicadas no 
triarticulado. C fácil ver que esta 5 a mesma equação que nos dá a reação 
vertical V,, da viga biapoiada ab da Fig. 111-53.2, de mesmo váo que o triar- 
ticulado e submetida ao mesmo carregamento, à qual cliamamos de viga de 
substituição. Podemos escrever, cntão, que VA = V, (reação vertical iio triar- 
ticulado é igual à reação vertical na viga de substituição). 
Aiialogamente, empregando a equação Z M A = O (ou, também, C Y =O), 
tenios que VB = V b . 
As reações H', na direçáo AB são obtidas da condição de momento fletor 
iiulo na rótula G. que nos fornece, empregando as forças da esquerda, por 
exemplo, 
1 
VA I, - C P i ( l i - x i ) - H Y c o s a = O 
I = I 
O ternio VA I I - Z Pi (I , - x i ) pode ser imediatamente identificado como 
o momento fletor Mg que atua na viga de substituiçáoab da Fig. 111-53.2 na 
seção g. projeção da rbtula G do triarticulado, e temos então que 
O cálculo das reações de apoio do triarticulado AGB recaiu, pois, no cál- 
culo da viga de substituição ab e elas são fornecidas pelas expressões a 
seguir: 
VA = V , (111. I) 
l'~ = v b (111.2) 
Ms H' = - 
f cos a 
Nestas expressões, os índices minúsculos referem-se sempre à viga de 
substituição e os maiúsculos ao triarticulado. 
Conhecidas as reaqões de apoio, passemos ao cálculo dos esforços simples 
atuantes no triarticulado. 
Escolliendo uma seção genérica S, definida pela abscissa horizontal x , medi- 
da a partir do apoio da esquerda, e por uma abscissa vertical y , medida a 
partir da lui1m de fichainento AB, temos 
Estudo dos quadros isostáticos planos 
i 
MS = V A x - 2 P:(x - xi) - H > cos a 
, = I 
i 
Qs = (Va - C Pi) cos q - H'sen (q - a ) 
i = l 
i 
N s = - (VA - 7 Pi) sen p - H'cos (ip - a ) 
i ='I 
Sendo os termos 
identificáveis coino, respectivamente, o momento fletor M, e o esforço cor- 
tante Q, atuantes,na seçáo s da viga de substituição, o cálculo dos esforqos 
simples atuantes numa seção S de uin triarticulado AGE recai no cálculo de 
sua viga de substituição ab e eles são dados pelas expressões seguintes: 
M s = M,- H> cos a 
Q s = Q, cos q - H'sen ( ip - a) 
N s = - Qs sei1 ip - H' cos (q - a) 
As expressões (IILI) a (111.6) resolvem, então, o problema, fazendo-o 
recair no cálculo de uma viga biapoiada de substituição. 
Observação: 
As expressões instituídas permanecem todas válidas se ocorrerem também 
cargas verticais distribuídas. 
4.2 - Definição e determinaçáo da linha de pressões 
Suponhamos O segutnte problema: seja determinar qual a forma de um 
triarticulado AGB tal que, para um dado carregamento, todas as suas se<;ões 
tenham momento fletor nulo, isto é, adotando-se a notação empregada em 
4.1, obter y para cada seção S, a fim de que nela tenhamos MS = 0. seiido da- 
dos l , , 11, f. a. 
Igualando a expressão (111.4) a zero, vem imediatamente: 
Ms (111.7), expressão que resolve o problema. 
= H'cos a 
144 Curso de anAlise estrutural 
Cdleulenios os demais esforços solicitantes para esta configuração do 
triarticulado definida por (111.7). 
Derivando a expressão (111.7) em relação a x, temos: 
que se transforma, levando-se em conta que 
y = Y - y * , conforme indica a Fig. 111-54 em: 
- 
Introduzindo este valor em (111.5), obtemos: 
Qs = H'cos a(tg 9 - tg a ) cos p - H'sen (p - a) O, 
isto é, se temos MS = O teremos xambém Qs = O. 
O ún~co esforço atuante, então, será o esforço normal Ns, igual, levando-se 
em conta que QS = 0, à resultante de todas as forças atuantes de um dos lados 
da seção, sendo, portanto, igual à composição vetorial da soma das projeçiies 
verticais de todas as forças atuantes de um dos lados da seção com a soma 
das projeçóes hori7ontais das mesinas forças. 
Valendo estas somas, respectivamente, (QS + H'sen a ) e (H'cosrr), confor- 
me indica a Fig. 111-55, temos: 
I N ~ i = J(Q, t ff'sen a)' + ( ~ ' c o s a)= (111.8) 
A natureza do esforço normal 6 obtida, também, da Fig. 111-55, sendo, 
no caso, de compressüo. 
E m d o dos quadros isostátims planos 
Fig. 111-55 
Ainda, da Fig. 111-55 obtemos a inclinação da tangente ao eixo do 
tnarticulado na seção S dada por: 
Qs + H'sen a 
t8 v = H'cos 
Quando um triarticulado AGB, para um dado carregamento, esta submeti- 
do apenas a esforços normais, dizemos que sua forma d a da linha de pressóes 
deste carregamento, que 6 definida, conforme já vimos por: 
I Q, t H'sen a 
I tg 9 = H'cos a I ME sendo H' = - f cos a I Os esforços normais atuantes valem, em cada seção: i Ns i = J(Q, + H'sen a)' + (H'cos a)2 (111 8) 
Observações: 
a) No caso da reta AB, que une as rbtulas extremas, ser horizontal (isto é, 
a = O), as expressões anteriores se simplificam para: 
Curso de análise estrutural Estudo dos quadros irostátiws planos 
b) Para os triarticulados com a coiicavidade voltada para baixo (em que a 
rótula G está acima da reta AB) e o carregamento 6 de cima para baixo (caso 
usual), os esforços norniais são sempre de conipressão , 
c) Os esforços normais será0 de tração, quando a estrutura se deseiivolver 
para baixo da reta AB. coin carregamento de cima para baixo. kste é o caso 
dos cabos. que serão estudados com detalhes no Vol 111 deste Curso. 
d) A linha de pressões é, evidentemente, a forina ideal para um triarticula- 
do, pois que correspoiide H sua forma mais econômica de trabailio estmtural. 
e) A liiiha de pressões para carregamento uniforme é, segundo (111.1 1). 
uma parábola do 2P grau. 
f) Não podemos deixar de fazer menqão à notável intuição estática dos 
construtores da Antiguidade Clássica, que venceram os grandes vão? com 
arcos e abóbadas de alvenarias de pedra, evitando, desta forma, os momentos 
fletores que originariam tensões de tração impossíveis de serem resistidas 
por aquelas alvenarias, tudo isto desconliecendo os principias básicos da 
Estática. 
g) Muito embora os arcos triarticulados ocorram frequentemente na prá- 
tica, mais utilizados ainda são os arcos biengastados (hiperestáticos). para os 
quais também constitui poiito de partida a determinação da linha de pressões 
do carregamento atuante. 
Ex. ii1.14 - Deseja-se construir uma estrutura cujo eixo coincida com a 
linha de pressões do carregamento indicado na Fig. 111-56. Pede-se: 
a) esboçar esta Iiiilia de pressões; 
b) calcular os esforços normais miximo e minimo atuantes; 
c) calcular a inclinação da tangente ao eixo da estrutura na seção de 
absçissa x = 2,s m. 
Sendo a viga de 'substituiçáo e seus diagramas solicitantes os indicados iia 
Fig. 111-57, temos: 
a) linha de pressões: 
e, conforme a expressão (111.11) obtemos: 
Ms - M,, enpressão esta que define a linha de pressões esboçada na Y =--- H' 15 
Fig. 111-58, cujos trechos AG e GB, coiicordantes em G , são, respectivainente, 
parábolas do 2P e do 3P grzus; 
par. 2.O grau 
Fig. iií-58 
b) sendo os esforços normais dados pela expressão INS I = d w 
(II1.13), eles serão máximos quando l Q, l for máximo e mínimos quando 
IQ, I for mínimo, já que H' é 2onstante; com isto temos que: 
N,& = = 25 t de compressão, ocorrendo em A, 
N,,h = H' = 15 t de compressão, ocorrendo na seção comx = 10, conforme 
indica a Fig. 111-57; 
c) a inclinação da tangente B dada, conforme a expressão III-12 por: 
Ex. iü.15 - Para o triarticulado AGB da Fig. IU-59, que deve trabalhar 
seguindo a linha de pressões para o carregamento indicado e de tal sorte que 
o esforço normal máximo valha 20 t (compressão), calcular o valor de f. 
Para esse valor calculado de f, pede-se também: 
a) aspecto dalinha de pressões; 
b) equações da linha de pressões em todos os trechos, referidas aos eixos 
x e y ; 
Estudo dos quadros isos t i t i as planos 149 
c) esforço normal em G ; 
d) inclinação da linha de pressões no trecho AG; 
e) esforço normal mínimo. 
-C~m--I--2rn+2m+2mL 
Fig. 111-59 
Sendo a viga de substituição e seus diagramas solicitantes os indicados na 
Fig. 111-60, temos: 
-12, -121 
Fig. Iii-60 
150 Curta de analise estrutural 
a) Determiiiação da linha de press5es. Como sabemos que 
IN,& I = \cemh t H" , temos: 20 = 4- :. H' = 16 t. 
Com isto, vem: 
Ms A linha de pressões ser6 dada por: y =-e estk esboçada na Fig. 111-61. 16 
Seu aspecto é, .evidentemente, o do diagrama de momentos iietores na 
viga de substituição, devidamente invertido e dividido por 16 t (valor de 
H'). 
Fig. 1114 1 
b) As equaç6es cartesianas de y são obtidas, imediatamente, a partir de 
Ms y = - esão: 16 
para o trecho AC: 
1 1,5x2 1 Y =- (âx --) = -(8x - 0,75r2) para x E [O, 41 16 2 16 
para o trecho CD: 
1 1 v = - [8x - 6(x - 2)) = -(x + 6), para x c [4, 61 16 8 
para o trecho DB: 
1 Y = - X 12(8 - x), para x c 16, 81 16 
c) O esforço normal em G B dado por 
NG = *H'? = = 16,8 t, de compressão 
d) A inclinação da linha de pressóes no trecho AG C dada por: 
t g v = Qa.g - 8 - 1,5x 
H' 16 , expressão esta tamb6m válida para o trecho GC. 
Estudo dos quadros isott5ticos planos 151 
e) O esforço normal mínimo, correspondendo ao esforço cortante mínimo 
na viga de substituição, ocorrerá no trecho CD e 6 dado por 
N,,,(,, = = 16,l t de compressão. 
I 
I 5. SISTEMASCUINDASTE 
As estruturas representadas nas Figs. 111-62.1 a 111-62.3 receberam de 
diversos autores norte-americanos a denominação de sistemas-gutndaste, que 
vamos manter neste Curso. 
Tratam-se de estruturas formadas pela associação de barras através de pinos 
capazes de transmitir forças (horizontais e verticais) de uma para a outra. 
Fig. 11142 
152 Curso de análise estrutural 
Para sua resolução, desmembraremos o sistema-guindaste nas diversas 
barras que o compõem e estudaremos o equilibrio de cada uma delas, subme- 
tidas ao seu própriocarregamento e, evidentemente, as forças transmitidas 
pelos prnos, conforme ilustra o caso da Fig. 111-63.1. 
nI-63.1 11143.2 
Fi. 11143 
Desmembrando o sistema-guindaste nas três barras @ , @ e @ que 
O compem, temos, para sua resolução. o esquema estático indicado na Fig. 
111-63.2, em que HB, VB. HC, VC. HD e VD são as forças (incbgnitas) 
transmitidas pelos pinos B, C, D e VA, HA e MA as três reações de apoio do 
conjunt~, num total de nove incbgnitas a detemunar. Como a análise do 
equilíbrio de cada barra nos fornece três equações da Estitica teremos, para 
as três barras, um total de 9 equaçaes, que determinarão as 9 uicógnitas, 
resolvendo, então, a estrutura. 
f4cil constatar-se, agora, que os sistemas-guindaste das Figs. 111-62.2 
e 111-62.3 são isostátiws, senão -vejamos. 
Para o primeiro, temos oito forças de transmissão (para seus quatro pinos) 
e quatro reaçóes de apoio (para seus dois apoios do 20 gênero), num total de 
doze incógnitas que serão obtidas pelas doze equações de equilíbrio existentes 
(trêd equaçóes da Estática para cada uma das quatro barras que compõem a 
estmtura); para o segundo, temos seis incógnitas (um pino e dois apoios do 
2P gênero), que serão obtidas a partir das seis equações de equilíbrio exis- 
tentes (análise do equilíbrio de .suas duas barras). 
O exemplo a seguir esclarecer4. 
Ex. Iii.16 - Obter os diagramas solicitantes para o sistema-guindaste da 
Fig. Iii-64. 
Emido dor quadroa isu$táticor planos 153 
Decompondo o sistema-guindaste nas barras que o constituem, temas o 
esquema da Fig. 111-65. 
1 va Fi. l u 4 5 
Começando pela análise do equilibrio da barra BCD, temos: 
Por EMC = O HD = 2 t 
P o r Z X = O Hc= O 
P o r Z Y = O .[ V c + VD = VB 
Analisando, agora, o equilíbrio da bana DE, obtemos: 
H E = 2 t 
VD = 816 HD = 813 t 
VE = VD = 813 t 
154 Cursa de análise esirutural 
A barra ACEF nos fornece, então: 
Por XX = O H A = 2 t 
Por XMA = O 4 X 1 X 12-8 /3X 1 0 - 4 V c = 0 
Vc = 1613 
PorXY= O VA = V C + V E - 4 = 4 t 
Retornando, então à condiçáo X Y = O para a barra verticalBCD, obtemos: 
VB = 8 t . 
Conhecendo todas as incógnitas da Fig. 111-65, a estrutura está resolvida e 
seus diagramas solicitantes, obtidos a partir do esquema da Fig. 111-66, estão 
indicados na Fig. 111-67. 
n I"" a 
-- 
=Te 
I Fig. n1-66 
Estudo d a quadms isastáticor planos 
+ l O l h 
Observações: 
a) No. a importância da análise pr6via da ordem em que d feito o estudo 
I equilíbrio de cada uma das barras que constituem o sistema-guindaste. 
No caso deste exemplo, obtivemos todas as incógnitas, com exceção de 
3 , por equaç6es independentes devido à sequência adotada, facilitando-nos 
enormemente o trabalho algébrico. 
Deve-se agir de maneira análoga nos outms casos 
b) A verikcação da correção dos cálculos pode ser feita calculando-se as 
três reaç6es de apoio HA, VA e VB a partir das equaçses da btiitica aplicadas 
ao conjunto. Temos: 
P o r Z X = O HA = 2 t 
Por EMA = O 4 X l X 1 2 - 8 x 2 - 4 V B = 0 VB= 8t 
PorXY= O v* = 4 t , 
valores estes que repmduzem os obtidos, c o n f i n d o sua correção. 
156 Curso de análise estrutural Estudo dos quadros id t ims planos 
Inversamente, poderíamos ter iniciado o exemplo pelo cálculo das reaç8es 
de apoio que, no decorrer de sua solução, seriam verificadas pela análise do 
equilíbrio das diversas barras que constituem o sistema-guindaste. 
6 - PROBLEMAS PROPOSTOS 
Traçar os diagramas solicitantes indicados para os quadros simples das figu- 
ras 111-68 a 111-77. 
158 -1 Curso de análise estrutural Estudo dos quadros isoatátiai. pbnm 159 
I 
6.11 - Calcular o valor das cargas-momento M simétricas, que devemos 
aplicar em A e B para que o quadro auto-equilibrado da Fig. 111-78 fique 
submetido aos menores momentos fletores possíveis. 
6.7 M 
6.12 -.Para a estrutura da Fig. 111-79, determinar o valor de M para que a 
barra W fique submetida apenas a esforços normais, indicando também o 
vaior desses esforços normais. 
6.13 - Dewmpor os quadros wmpostos da Fig. iiI-80 nog quadros sun. 
pies que os wnstituem. 
I I I I 
* 4 m A 4 m + 4 m 1 
Pie. ül-74 
1mt 
/\ 1. l l4 t 
L / + 114, 
l m t 
! 
160 Curso de análise estrutural Estudo dos quadros imstáticos planos 161 
"A 
Fig 111-80 
Traçar os diagramas solicitantes indicados para os quadros compostos das 
Figs. 111-81 a 111-95. 
6.14 M ,m7 
Fig. 111-81 
Pig. 111-82 
6.17 M 
Irnt 
Fig. 111-84 
Fig. 111-85 
6.19 h4.N 
- - _ - I _ - - - 
Fig. 111-86 
L- I - 
I 
i I I 
c~zc.+.--Can?C 
162 Curso de analise estrutural Estudo dos quadros isostdticos planos 163 
----- 
Fig. IU-87 
1 I 
I I I 
Pi. 111-89 
6mt 6mf 
---T 
- 
I 
I I 
I I I 
I I 
I I I T I 
+lm?lL3m+3m+lmi 
Pi. 111-91 
Fig. 111-93 
I \ 
184 - 
'\ Cuno de an8lise estrutural 
Pig. 111-94 
I 
I 
I I I 
Fig. 111-95 
u.29 - Traçar osDMF a partir da reta AB para as estruturas da Fig. 111-96. 
Estudo dos quadros isost8ticos planos 165 
6.30- Traçar o diagrama de momentos fletores para a estrutura auto-erlui- 
librada da Fig. 111-97, a partir de seu diâmetro vertical. 
Traçar os diagramas de momentos fletores para os quadros das Figs. 111-98 
a 111-101, sendo que, para as barras curvas, a partir de retas horizontats de 
substituiqão. 
pi. 2.0arr 
1"f 1m 
I 
I I 
R#. 111-96 Pig. 111-100 
166 Curso de análise estrutural 
(2 Para a estrutura da Fig. 111-101. pedem-se: 
'\a)_traFar os diagramas de momentos fletores e esforços cortantes: 
b) determinar a equação dos esforços cortaiites lia barra curva. 
6.36 - Deseja-se construir um sistema triarticulado A(;B que coincida 
com a linha de pressões do carregamento indicado na Fig. 111-103. Pedem-se: 
a) equa'çóes da linlia dc pressões: 
b) esforço normal mdximo atuante. 
studo dos quadros isostátiws planos 167 
6.37 - Para o triartieulado AGB da Fig. 111-104. que deve trabalhar se- 
gundo a linha de pressões para o carregamento indicado. de tal forma que o 
esforç'o normal mínimo seja 10 t. (compressáo). pedem-se: 
a) equação das inclinações da linha de pressões: 
b) abscissa da seção que terá este esforvo iiormal mínimo. 
&sm-sm+ 
Fig. 111-104 
6.38 - Deseja-se coiistriiir uiii triarticulado AGE que trabalha segundo a 
linha de pressões para o carregarneiito indicado lia Fig. 111-105 e de tal forma 
que o esforço iiornial iiiásinin atiiarite seja de 25 t (compressão). Pede-se: 
a) valor de 11 
b) equação .da liiilia de pressões 
c) abscissa da sevão que tcni esforço nornial minjmo 
d ) equação das iiicli~ia~ões da linlia de pressões. 
Curso de analise estrutural 
I 
A I 01- 1 1 - x 
1 0 m ~ 1 0 m L 
Fii 111-105 
6.39 - Reconstituir o carregamento tal que o triarticulado da Fig. 111-106 
esteja na sua linha de pressões. Sabe-se que o'esforço n o d mínimo atuante 
é de 4 t, de compressãó. 
Fig. til-106 
I 
6.40 -Demonstrar que a semicircunferência de círculo AGE 6 a linha de 
pressões para o carregamento indicado na Fig. 111-107, de taxa constante e 
igual a p e atuante sempre segundo a normal ao arco. 
~ m d o dor quadros inistátims planos 169 
Obter os diagranas solicitantes para os sinemas-guindaste das Figs. 111-108 
e 111-109. 
170 Curso de anilise estrutural 
6.1 
23 
imtl 
Estudo dos quadros isostáticos planos 
6 3 
172 Curso de análise emutural ~studo dos quadros isostiticos planos 173 
6.11- M = 0,25 qa2. tracionando fibras inferiores. 
6.12- M = 7 m t ; NcD=+8t 
174 Curso de análise estrutural imdo dos quadros iwstáticos planos 175 
176 Curso de análise estrutural ~studo dos quadros ioostáticos planos 177 
- 
_iC 
CUM de análise estrutural Estudo dos quadros irostátiws planos~studo dos quadros isost&tiws planos 
6.32 
Cuno de análise esirutural Estudo dos quadros isosáticos planos 183 
6.36 a) y = 1,286 x - 0,0686 xa x E l0;151 
y = 15,428 - 0,7714~ x e [15;201 
b) Compressão de 11,88t 
184 Curso de análise estrutural 
I ' - INTRODUÇÃO 
Seja a estrutura da Fig. IV-1, submetida a carregamento apenas nos nós A , 
5, C. Como as barras 0, @ e @ que a constituem sáo barras retas e 
-egidas, portanto, pelas equações diferenciais (11.1) e (11.2) instituídas no 
:ap. 11, levando-se em conta que q = O e que suas extremidades são rotuladas, 
!Ias n8o terão momentos fletores nem esforçoscor&mtes, existindo apenas 
----~ ~ - - - 
- ~ 
- ~ 
%es@rys-yoyais. - -- 
"A t Fig. IV-l 
iezas a determinar para sua resolução são, então, as reaçóes de 
apoio H*, V*. VB e os esforços normais atuantes nas banas 0, 0, @ 
que podem ser obtidos, no caso, pela analise sucessiva do equilíbrio dos 
"6% C. B e A , o equil~hrio de cada um deles nos fornecendo duas equaqaes, 
num número total de seis, sendo o problema, entáo, isostático (igual número 
< s e de incógnitas a determinar). 
186 Cursa de análise esirutual 
Por outro lado, desprezando-se as pequenas deformações elásticas (estas 
deformações elásticas serão objeto de estudo detalhado no Vol. I1 deste 
Curso) que terâo as barras 0, @ e 0, devidas aos esforços normais 
nelas atuantes, podemos dizer que o sistema estrutural da Fig. IV-1 constitui 
uma cadeia rígida (isto 6, indeformável), pois, sendo o trecho AB indeformável 
@or se tratar, isoladamente, de uma viga biapoiada), se lhe acrescentamos as 
duas barras 0 e @ concorrentes em C, conforme indica a Fig. iV-1, este 
último ponto C fica também indeslocável, por estar preso a dois pontos 
indeslocáveis A e E e, com isto, todo o conjunto ABC 6 indefonnável. 
Seja, agora, o sistema reticulado da Fig. IV-2, siibmetido ao carregamento 
nodal indicado. 
Fig. IV-2 
As grandezas a determinar para sua resoluçáo sáo os esforços normais 
nas suas quatro barras componentes e as três reações de apoio, num número 
total de sete. O número de equações de equilíbrio (correspondendo ao 
equilibrio de cada um dos nós) sendo igual ao dobro do número de nós, 
é igual a oito, no caso, e, portanto, superior ao niimero de incógnitas, o 
que caracteriza a hipostaticidade da estrutura. 
Por outro lado, é fácil ver-se que o reticulado dado constitui uma cadeia 
deformável, pois os pontos C e D não estão ligados, cada um deles, a dois 
pontos indeslocáveis do reticulado (no caso, apenas A e B). A forma de 
deformaçáo da cadeia esta indicada na Fig. N-2 e prosseguirá até a queda 
da estrutura. 
As conclusaes deste último caso podem ser extrapoladas e podemos, 
entáo, afirmar que todo sistema retiniiado defonnável é instável (hipostático). 
Como corolário, podemos afirmar que todo sistema eticulado indeformável 
6 estavel (podendo ser isostitico ou hiperesiático, conforme veremos no 
próximo tópico deste capítulo). 
Estudo das treliças isost6ticar 187 
Os sistemas reticulados indeformáveis isostáticos serão estudados cuidado- 
samente neste capítulo, ficando o estudo dos sistemas hiperestáticos para o 
Vol. I1 deste Curso. 
Chamaremos treliça ideal ao 9stema reticulado nijas banas têm todas as 
~~. ~ .... ., - 
extipmidides rotuladase & Í b r g a i é S f ã o ~ aplicadas ápeiãs em seus nbs. 
. 
- 
- 
-~ 
Observações: 
a) Os casos das treliças isosiáticas com cargas fora dos nós,por náo atenderem 
às condições da definição anterior, náo podem ser classificadas como treliças 
ideais, mas serão também estudadas no item 7 deste capítulo. 
b) É fácil concluir-se, por generalização dos dois exemplos jâ abordados, 
que qualquer sistema retinilado constituído por um polígono fechado 
rotulado em seus vkrtices é deformável (e, poctanto, hipostático), exce- 
tuando-se o caso do triângulo. 
c) As treliças surgiram como um sistema estrutural mais económico que as 
vigas para vencer vãos maiores ou suportar cargas mais pesadas. E claro que 
a palavra economia engloba comparação entre materiais, mãodeobra, eqnipa- 
I mentos de execução, etc., usados nos dois casos, podendo assumir, por esta razão, facetas diversas de região para regiáo e de época para Lpoca. 
d) Devemos, desde já, fazer uma crítica, no sentido de alertar o leitor para 
o caráter aproximado (se bem que de aproximação excelente) da teoria que 
vamos desenvolver, a seguir, para as treliças. 
I Imaginamos as barras rotuladas em suas extremidades (isto é, sendo livre 
sua rotação relativa nos nós)porpinos sem atrito,wnforme indica a Fig. N-3. 
Fig. [V-3 
Náo 6 frequente, no entanto, a união desta forma (e, mesmo quando 
adotada, 6 difícil garantir a condição de atrito nulo no pino), sendo mais 
comum Ligar as barras nos n6s atrads de chapas auxiliares, nas 
rebitamos, soldamos ou parafusamos as barras neles concorrentes, Conforme 
indica a Fig. iV-4. Estas ligações criará0 sempre pequenas restriçaes i livre 
rotaçáo relativa das barras nos n6s, com o aparecimento, entáo, de pequenos 
momentos nas barras, de reduzido significado, entretanto, de acordo com 
os estudos e cálculos rigorosos feitos levando em conta sua influência. 
Estes estudos demonstraram que, desde que todas as barras tenham seus 
eixos no mesmo plano e que estes eixos se encontrem num Único ponto 
em cada nó, os resultados reais pouquíssimo diferem dos resultados obtidos 
pela teoria que vamos desenvolver, sendo ela, portanto, válida sob o ponto 
de vista prático. 
e) ~ 8 d e parecer ao leitor, a princípio,muito restritiva a condiçgo de definição 
de treliça ideal do carregamento atuar somente nos nós; no entanto, é o 
que ocorre comumente na prática, pois as cargas chegam às treliças através 
de outras peças estmturais, que nelas se apóiam nos nós (para que só 
provoquem esforços normais), conforme ilustram os exemplos das Figs. IV-5 
e N-6. A primeira representa uma ponte ferroviária com duas treliças 
extremas, que recebem, nos nós, as cargas atrav6s das vigas trankversais T 
(por isto chamadas transversinas), que a elas chegaram atravbs das vigas 
longitudinais L, sobre as quais caminha o trem. A segunda representa uma 
cobertura constituída por diversas treliças paralelas, que recebem, nos nós, 
a carga das telhas, vindas através das terças T. 
E s ~ d o das treliw isostáticas 189 
Fig IV-6 
Em todos os casos reais existirão, entretanto, pequerias flexóes nas barras, 
devidas a seu peso próprio, cujo cálculo será estudado no item 7 deste 
capítulo. Estas flexóes devidas a peso próprio costumam ter, nos casos 
usuais, diminuta influência no dimensionamento das peças, prevalecendo 
como dimensionantes seus esforgos normais. 
f) Conforme verificamos, a partir do exemplo da Fig. N-1, uma treliça 
biapoiada, constituída por três barras formando um triângulo, 6 isostáti~a. 
Se, a partir desta configuraçâo básica, fc,rmamos novas treliças, acrescentando 
à existente duas a duas novas barras, concorrentes cada duas delas num novo 
nó, a nova treliça será também isostática, pois a cada duas novas incógnitas 
(esforços normais nas duas novas barras) correspondem duas novas equaçnes 
\ de equilibrio (equilfirio do novc nó). Os exemplos das Figs. N-7 e IV-8 
ilustram esta lei de formação de treliças isostáticas. 
Fig, IV-7 
140, Curso de andlise w u t u r a l 
E 
Pig. IV-8 
Nestes exemplos, partindo da treliça biapotada ABC, chegamos ao nó D 
pelas barras @ e O, ao nó E pelas barras @ e @. ao nó F pelas 
barras @ e @ e, finalmente, ao nó Ç pelas barras @ e 
. 
Os apoios não precisam, é claro, estar no triângulo a partir do qual 
iniciamos a lei de formação, pois, onde quer que estejam, fornecem as 
mesmas três incógnitas. Falando sob o ponto de vista de cadeia ngida, 
uma treliça que tem esta lei de formação das barras é internamente rígida 
e, tendo apoios externosque impeçam todos os movimentos possíveis (para 
o caso de treliça plana, duas translaçóes e uma rotação), será também 
externamente rígida, sendo, pois, rígida em conjunto. 
Por esta razão são, tambkn, isostáticas as treliças das Figs. N-9 e N-10. 
Estudo das treliças isostáticas 191 
(Dizemos que estas treliças são internamente isostiticas, por terem a lei de 
formação que acabamos de definir e que são, tambkn, externamente isostá- 
ticas, por terem apoios no número estritamente necessário para impedir 
todos os movimentos no plano, sendo o conjunto, pois, isostático.) 
(O exemplo da Fig. IV-10 serve para lembrar que uma estrutura plana, 
apoiada sobre três apoios do l? gênero, 6 estável desde que as reaçOes 
destes apoios não sejam paralelas entre si nem concorrentes, todas elas, 
no mesmo ponto.) 
Outro tipo de freliça isostática d a treliça triarticulada da Fig. N-11, 
para a qual temos seis incógnitas (quatro reações de apoio e esforços 
normais em duas barras) e seis equaçóes de equilibrio (equilibrio dos nós 
A. E, C). Partindo desta nova configuração básica, podemos também formar 
treliças isostáticas, da mesma foima com que as formamos a partir da 
configuração da Fig. N-1 . 
Chamamos treliças simples às treliça isostiticas, obtidas a partir das 
onfigurações fundamentais das Figs. N-1 e N-11, pela adição de duas 
a duas barras, partindo de nós já existentes para novos nós (um novo nó 
para cada duas novas barras). Seus métodos de resolução serão tratados 
nos itens 3 e 4 deste ca~ítulo. 
\ 
g) As treliças, por terem esforços normais de tração e de ~ompressáù~~são 
-- - 
e&i~nt~--d~-mmãdeira ou de aço, por serem mat*q"tpo?-am bem 
& m c = t a m b é m , embora com m e n T 6 i n 
quência, treliças de concreto, porque, como sabemos, o concreto não 
trabalha bem à tração, al6m de sermos obrigados a executá-las de uma só 
vez (ao passo que as demais podem ser montadas peça a peça). 
h) Queremos chamar a atenção do leitor para o fato de que, ao contrário 
do caso dos quadros - que ocorrem, em sua grande maioria, hiperestáticos, 
Jendo o estudo dos quadros isostáticos base para o estudo daqueles, conforme 
veremos no Vol. l l deste Curso - a grande maioria das treliças da prática é 
lSO?iátl~a. 
492 Cursa de análise estrutual 
As treliças hiperestáticas serão tratadas no Vol. I1 deste Curso. 
i) As treliças isostáticas possuem dois grandes mdtodos de resolução: um, 
analítico, que é o m6todo de Ritter e, outro, gráfico, que 6 o método de 
Cremona. Existem ainda outros métodos de resolução, d t menor importância, 
e que não serão, portanto, abordados neste Curso. 
j) As treliças comportam ainda um processo espontâneo de resolução, que 
consiste no estudo,um aum, do equilibrio de seus-nós, iniciado e prosseguido 
pelos nós que só possuam duas incógnitas a determinar, at6 termos abrangido 
todos os nós da treliça. No caso de treliças com geometria bem simples, 
este processo pode se tomar at6 aconselhável. 
2 - CLASSIFICAÇÃO DAS TRELIÇAS 
2.1 - Quanto à estaticidade 
Quanto à estaticidade, uma treliça (assim como qualquer outra estrutura) 
pode ser hipostática. ~ isostática w t i c a 
As incógnitas do problema são em número de (r + h), sendo r o número 
-.-- 
de reações de apoio a determinar e h o númeocaras (e, portanto, o 
& & ó v r m i n a r ) e _ - o l u ~ e q i i i l i b r i o eni 
número igual a 212, sendo n o número total de nós incluindo osnós de 
-.--___I---.--.- ~.L - - 
apxo>=axa@ois cada nó nos dá duas eqnaçõesda Estática, corres- 
pondentes ao equilibrio de um ponto material). 
Três casos podem ocorrer: 
l?) _r-+ b < 2n, ou seja, o número de incógnitas é inferior ao de equações; 
poderemos afirmar, então, que a treliça é hi~s tá t ica ; -- 
20) L ~ - r + b = 2-n . ,~~gpsug-e tratar-se de uma t-liça-Esta simples 
igualdade não nos permite, e&etanto, afirmar que %-treliça seja isostática, 
pois podemos ter a associaçáo, internamente, de trechos hiperestáticos com 
trechos hipostáticos,'conduzindo a uma isostaticidade interna aparente, bem 
como pode ocorrer a associação de hiperestaticidade interna com Iiipostatici- 
&de externa (ou vice-versa), conduzindo também a unia isostaticidade 
aparente para o conjunto. O diagnóstico final só poderá ser dado ap»s a 
análise dos apoios externos e da lei de formaqão interna da treliça em que-stào: 
Emido das treliças iaostáticas 193 
para o conjunto. Analogamente ao caso anterior, o diagnóstico fmal só poderá 
ser dado após a análise de cada caso. Se a treliça for, de fato, hiperestática, 
seu grau hipeiestático ser8 igual, evidentemente, a (r + b - 2n). 
Em resumo, podemos a f i a r que: 
a) r + b < ? n é condição uma treliça seja 
S / - - .~ h i p q , , . 
b) yt b = 2 n e r + b > 2 n são condiçó~-apeape~asasne~ssirias (mas não_ 
sufici- seja isostática ou hip'etática, ~ respectiva- 
&&;te. A palavra final será dada a p ó i ~ o exáme específico de~cada caso. 
Os exemplos seguintes esclarecerão. 
Ex. N.1 - Trata-se de uma treliça externamente isostática e, tendo a lei 
de formação de uma treliça simples (sendo,portanto, internamente isostitica), 
' então isostática, o que é confirmado pela relaçáo r + b = 3 + 15 = 18 = 2n. 
Ex. N.2 - A treliça tem a mesma quantidade de nós, barras e apoios 
ue a da Fig. N-12, sendo, portanto, satisfeita a relação r + b = 2n. 
A treliça é também externamente isostática (biapoiada), mas, como seu 
eciio (DEF 6 dcformável (ver observação do tópico anterior), ela e 
ipostáfica i~iternainente, sendo o conjunto, portanto, hipostático. 
30) ~ q u e s ~ ~ r ~ t r a t a n e de uma @liga - - hiperestática ~~. ~-. (maior 
'I irii1:ir número de incógnitas que de equações). Não podemos, eritrctanto, . I 
que a treliça seja hiperestática, pois a associaçáo de um trecho hiperestdtico 
com outro hipostático (sendo o grau hiperestático de ~m trecho superior 
ao grau hipostático do outro)pc.de coiiduzir a uma hiperestaticidade aparente 
194 Curso de análise esirutural 
Ex. N.3 - A treliça tem r + b = 4 + 14 = 18 e tem 2 n = 16, o que 
sugere que ela seja duas vezes hiperestática, o que de fato 6, pois não há, 
no caso, hipostaticidade interna nem externa. 
Poderíamos chegar, também, a esta conclulusão da forma seguinte 
Externamente a treliça é uma vez hiperestática (quatro incógnitas, reaçáo 
de apoio contra três equações universais da Estática); internamente, partindo 
do triângulo hachurado, nós percorremos todos os nós da treliça e todas as 
suas barras, exeeto uma, quando propagamos a lei de formação de treliça 
sunples, o que indica existir uma incógnita ( u m barra) além das que podem 
ser determinadas pelas equações de equilibrio de nós, caracterizando o grau 
hiperestático interno da treliça igual a um. Seu grau hiperestático total será, 
portanto, igual a bois (há um apoio a mais e uma barra a mais em relação 
à quantidade que tomaria isostática a treliça). 
Observação: C conceito utilizado neste Último exemplo, de igualar o 
grau hiperestático de uma treliça a soma de seus graus hiperestáticor externos 
e internos, é perfeitamente lícito, pois o grau hiperestático externo indica 
a quantidade de apoios superabundantes e o grau hiperestático intemo a 
quantidade de barras superabundanies, cuja soma nos fornece o número de 
incógnitas (r + b - 212) que não podemos determinar com o auxilio das 
equações de equilibrio estático igual, por definição, ao grau hiperestático 
da treliça. 
Ex. N.4 - A treliça'tem r + b = 4 + 19 = 23- e 2 n = 20, o que sugere 
que seja três vezes hiperestática. No entanto, uma análise sua nos mostra 
que se trata de uma treliça hipostática, pois, tanto externamente (todos os 
apoios do l? gênero paralelos, com o que não está impedido o movimento 
na direçáo horizontal) como internamente (painel ABCD d deformável) a 
treliça é hipostática. 
Estudo das treliças isostáticas195 
2.2 - Quanto à lei de formaç8o 
Quanto à sua lei de formação, as treliças são classificadas em simples, 
- 
compostas e - comqlexas, - 
- 
A lei de formaçáo das treliqas simples já foi estudada no tópico anterior 
deste capítulo; a das treliças compostas e complexas será estudada nos 
tópicos 5 e 6 do mesmo. 
3.1 - As bms do método 
Seja a treliça isostática da Fig. N-16,submetida ao carregamento indicado, 
para o qual as reaçóes de apoio, calmladas com o emprego das equações 
universais da Estitica, $50 as inditadas na Fig. N-16. 
196 Curso de análise estrutural 
Suponhamos querer determinar,por exemplo, os esforços normais atuantes 
nas barras 0, @ e @. 
Rompendo a treliça nestas barras atrav6s da seção S-S indicada na 
Fig. N-17, nada se alterará sob o ponto de vista estático se substituirmos 
as barras rompidas pelos esforços normais nelas atuantes, que serão deter- 
minados como sendo as forças tais que promovam o equilibrio do trecho 
assim secionado da treliça, já que ele deve estar em equilíbrio, por pertencer 
a uma peça em equilíbrio. 
E evidentemente indiferente analisar-se o equilibtio da parte da esquerda, 
indicada na Fig. N-17 o u da parte da direita, indicada na Fig. TV-18. 
1 ~ r t u d o das treliças isostáticas 197 
! 
Escolheremos, de preferência, aquela que acarretar menor trabalho numé- 
rico na obtenção dos esforços normais desejados. Como observação de 
caráter conceitual, queremos frisar que, na Fig. N-17, as forças N,, NI3 e 
N7 representam as ações da parte da direita da treliça sobre a parte da 
esquerda; na Fig. N-18 representam as ações da parte da esquerda sobre 
a parte da direita. 
Podemos, eiitão, passar à determinação de N3 , N I J e N 7 , que será feita 
a partir da: equações universais da Estática no plano, devendo ser escolhidas 
e usadas numa ordem tal que permita a determinaçâo direta de cada uma 
das incógnitas, a fun de simplificar o trabalho algébrico do problema. 
No caso (usando-se o esquema da Fig. N-17 ou N-18), a partir de 
\',II, = O obtemos N3; por X& - 0, obtenios N, e, finalmente, por 
Y = O obtenios N i 3 . 
As forças obtidas cmn sinal positivo confirmarão os sentidos arbitrados 
nas Figs. IV-17 e IV-18 (e serão de tração, portanto, no caso), invertendo-os 
caso contrário (sendo, eiitão, no caso, de compressáo). 
I Este método, emhora obedecendo apenas às ideias gerais da Estática, 
levou o nome de Ritter por ter sido ele o seu lançador. As seções S-S 
usadas para a obtenção dos esfqrços normats desejados levam também o 
seu nome, sendo denominadas seçóes de Ritter. 
a) Deveinos escollier srções de Ritter que interceptem três barras não 
paralelas nem concorrentes no mesmo ponto, a fim de que possamos 
determinar seus esforços noimais pelas equaçóes universais da Estática. 
Podem. entretanto. ocorrer seções de Ritter que interceptem mais de très 
barras e a partir das quais consigainos determinar os esforços normais em 
alguma (s) das bairas. coiifonne ilustra o exemplo IV-7. 
b) As seções de Ritter podem te r formasquaisquer (não precisando scr retas), 
h desde que sejam contínuas,pois sua única obrigação é atravessar toda a treliça. 
C) Quando, após dada a seção de Ritter, f o h o s arbitrar os sentidos dos 
esforços normais iiic0gnitos, no caso de nossa sensibilidade estática não nos 
fazer antever seu sentido corrcto, aconselhamos sejam todos colocados no 
sentido de tração, pois, assim, os sinais obtidos já serão os sinais dos esforços 
atuantes. (O sinal positivo, confirmando o sentido arbitrado, indicará tração 
e o negativo, negando-o, indicará a compressão.) 
d) No caso de barras próximas As extremidades da treliça (por ~xemplo, as 
barras @ e @ no exemplo da Fig. N-16). pode ocorrer que a seção de 
k t t e r imaginada para atravesá-las só intercepte duas barras; isto quererá 
liler, apenas, que seus esforços normais podem ser obtidos ditetamente Por 
análise do equilibrio dos nós extremos (no caso, do nó A para a barra a 
e do nó 8 para a barra 0). Neste caso, o método de Ritter terá degene- 
rado na análise do equilii~rio de um nó da treliça. 
e) O método de Ritter se presta admiravelmente ao cdlculo das treliças de 
altura constante, fazendo* recair até no cálculo de uma viga de substituição, 
conforme veremos em 3.3, quando o carregamento é vertical. 
fi tainbkm o método adotado quando só desejamos conhecer os esforços 
normais em algumas das barras da treliça. (Por esta razão, será fundamental 
no inicio do estudo das treliças compostas, confoime veremos no item 5 
deste capítulo.) 
Para treliças de geometria mais complicada, será preferível o método 
gráfico de Cremona, que estudaremos 110 item 4 deste capitulo. 
3.2 . Exemplos de aplicação 
Obter, para as treliças isostáticas seguintes, os esforços iiormais nas harras 
indicadas. 
Estudo das treliças isostaticas 199 
Pela seção Si-Si, podemos obter os esforços normais em O,, V, 
e, também, na barra inferior CD (que nao 6 pedido neste exemplo), a partir 
do esquema da Fig. N-20, obtendo: 
For X M D = O 2 0 , + 6 X 2 + 5 X 4 = 0 : . 0 1 = - L 6 t ( c o m p r e s s ã o ) 
Por X Y = O V, t 6 - 5 = 0 :. V, = -1 t (compressão) 
Caso desejássemos o valor de U,, poderíamos obtê-lo, ou a partir de 
ZMJ = O ou de ZX = 0, chegando ao valor U2 = + 16 t. 
A partir da seçáo S,-S, , obteremos U3, que 6 dado, conforme o esquema 
da Fig. IV-2 1, por: 
ZMj = O 6 X 2 + 5 X 6 - 6 X 2 - 2 U3 = O :. LI, = t 15 t (tração). 
Ex. IV.5 - 
Sendo as reaçóes de apoio as indicadas iia Fig 1V-19. passemos à obtenção 
dos esforços normais pedidos. 
61 
Fig. IV-22 
A partir da seção 3,-S3, obtemos D4, dado conforme o esquema da 
'Fig. IV-22 por: 
Para a obtenção do esforço nomal na barra V3, não conseguimos nenhuma 
200 Curso de analise estrutural 
seção de Ritter que, juntamente com V,, atravesse tr6s 'ornas não con- 
correiites no mesmo ponto. É fácil ver, no caso, que a forma mais simples 
de obtenção de V , é a partir do equilibrio do nó E da treliça, obtendo-se, 
conforme o esquema da Fig. Pf-23, o valor V, = +4 t , por ZY = 0. 
Analogamente, por consideração do equilibrio do nó E , obtemos, por 
ZY = o: 
1:ig. IV-24 
Fig. 1V-23 
Ex. N.6- A partir da sego SI -SI indicada na Fig. IV-76, temos: 
Por CMr = O 4 X 6 + 4 X 3 + 4 N , = O : N , = -9 i (compres~ão) 
Por ZMD = O 4 X 3 - 4N6 = 0 . N6 = +3 t (traqao) 
4 Por CX = O N s X-5- - 8 = O :. N8 = t10 t (traçao) 
Estudo das treliças isonfaticas 201 
A partir da seçzo S2-S2 indicada na Fig. Pf-27, obtemos, por CX = 0: 
:,v5 = -8 t (compressão) 
Observação: 
No caso deste exemplo, Mo foi necessario calcular as reaç8es de apoio, 
pois ficaram no lado da treliça não utilizado para os cálculos. 
Ex. N.7 - a) A partir da sevão SI-SI, temos, conforme o esquema da 
Fig. IV-29: 
.i A C 
I I 
I I I 
& 7 , n m + * s m 4 
Fig IV-28 
202 Curso de anhlise estrutural 
Por ZMF = O : 4 X 2 - 3N9 = O :. N9 = +2,67 t (tração) 
Por ZY = O : NI, = -2,67 t (compressão) 
Por èsta seçáo S I - S I , iião podemos obter os esforços normais N, e Ng; 
eles s6 serão obtidos a partir de outras seçõts adeqiiadas., 
h) A partir da seção S2-S2, ternos. conforme o esquema da Fig. IV-30, 
levando-se em conta que as barras @ e @ têm esforços normais de 
mesmo módulo e de naturezas opostas (por força da condição Z Y = 0): 
2 X = O 2N10 X 315 - 8 = O :. Nio = Nl, = 6,67 t, 
o que quer dizer, conforme a Fig. N-30, que a barra @ possui uma 
tração de 6,67t e a barra @) uma compressão de mesmo valor. 
3.3 - ResoluçSo das treliças de altura constante em fungo da viga de 
substituição 
3.3.1 - Treliça com uma diagonal por painel 
Seja a treliça da Fig. N-31,.de altura constante h , submetida ao carrega- 
mento vertical superior indicado nesta figura. 
Fig. N-31 1 
~studo das treliças isostáticasDetenniiiemos os esforços atuantes nas barras O 3 , D , e U , (simbolizando 
elas as barras superior. inferior e diagonal genéricas da treliça). 
Fig. 1V-32 
A partir da seçáo verticalSI-SI temos, conforme indica a Fig. IV-33, que: 
Fig. IV-33 
a) O valor de ( 1 , será obtido por ZMG = O. Notando que as forças que 
nos dão momento em relação a G a o , além de U,, as forças verticais VA, 
P , , P, . P, e que o momento destas Últunas em relação a G se coiifunde 
com o momento fletor atuante na seção g da viga de substituição da 
Fig. N-32 (de mesmo vão e submetida ao mesmo carregamento que a 
treliça), tem s Mg - U 3 X h = O :. Li, = +Mp/h s: 
h) O valor de O 3 ser5 obtido por 2 M p = O. Por analogia com o caso anterior, 
teremos: O3 X h + M f = O : O 3 = - M f / h , sendo Mf o momento fletor, 
em f, na viga de substituição. 
c) O valor de D 3 será obtido por 2 Y = O 
Notando que as forças que contribuem para esta condiçáo são, alem da 
componente vertical de D 3 , as forças verticais V*, PI. PI. P 3 , temos: 
VA -Pi - P , - P 3 + D 3 s e n q = 0 . 
204 Curso de análise ezirutural 
O termo (I> - - 1% - P3) pode ser imediatamchte identificado como 
sendo o esforfo cortaii:e na viga de substituição no trecliotg interceptado 
pela seção rle I<ittcr e temos então que: 
1 o3 = ---C) 
. se i ,q , 
Coiivém notar que bastaria a diagonal D, ter sua inclinação contraria 
(isto é, bastaria que ela fosse paralela a LI2) para o sinal da úlfima relação 
ser trocado. Para termos, então, uma expressão que resolva o caso de 
qualquer diagonal, escreveremos que: 
IQ no trecho interceptadol. IDI = -- 
sei1 $C 
Concluímos, então, que: 
- Os esforços normais atuantes nas barras horizontais (superior e iiiferinr) 
MO iguais, afetados do fator I h , aos momentos fleiores na vigade 
substituição no ponto onde as 2 outras barras interceptadas pela seçào 
de Ritter se encontram. Os sinais dos esforços normais em barras 
inferiores acompanham as sinais desses momentos fletores; já as barras 
superiores têm seus esforços normais com sinais opostos aos deles. 
(No caso de treliças biapoiadas com carga de cima para baixo, as barras 
superiores estarão sempre comprimidas e as inferiores tracionadas, ocor- 
rendo o inverso para as treliças em balanço.) 
Os esforços normais nas diagonais são, em módulo, iguais, afetados do 
fator I/sen i~, 'aos esforços cortantes na viga de substituição no trecho 
interceptado pela seçào de Ritter. Seus sinais, obtidos por análise d o 
equilíbrio do trecho interceptado pela seção de Ritter, deverão ser 
estudados em cada caso. 
Obseivaçüo: Os esforços normais nas barras horizontais e nas diagonais 
Mo os mesmos, quer seja o carregamento superior quer seja inferior, o que 
pode ser constatado a partir da análise da Fig. IV-33. 
Passemos, agora, A análise das barras verticais. 
Elas são resolvidas, em geral, por seçóes de Ritter como aS2-S, indicada 
na Fig. N-31 (seções inclinadas, interceptando a barra vertical e mais duas 
horizontais). 
No caso, obtemos, a partir do esquema da Fig. N-34, por: 
Z Y = O: VA -PI -P2 -P3 -Pq - V3 = O . 
Sendo (VA - P, - P, - P3 - P4) igual ao esforço cortante na viga de 
substituição no trecho gh, temos: 
Estudo das treliças isostáticas 205 
Convém notar que bastariam as diagoiiais dos painéis adjacentes terem 
sua incliia$So coiitrária a inclinação do caso abordado (seria, por exemplo, 
o caso da barra V,) para que o sinal da Última relaçáo se invertesse. 
Escreveremos, então: I VI = i Q no trecho interceptadol, para as barras 
verticais que podem ser interceptadas por seções de Ritter do tipo das2-S2. 
Quando não for possível se conseguir tal seção para uma barra verttcal 
(caso de interceptar mais, ou menos, de trgs barras), o caso será ainda mais 
sunples e o problema se resolverá por meio de um sunples equilibrio de 
nós, conforme veremos a seguir. (É o caso, para a treliça da Fig. N-31, 
das barras V,, V,, V,, V,). 
O esforço normal em V,, a partir do equilibrio do nó A , será de com- 
piessão e igual a V*; o esforço normal em I.;. a partir do equilibrio do 
nó F, será de compressão e igual a P3; para a barra V; ocorrerá compressão 
e igual a V B , por análise do n6 B e, finalrtiente, em V7 será de compressáo 
e igual a Ps, por análise d o nó K, conforme indica a Fig. N-35. 
Fig. IV-35 
Para simplificação do trabaiho algébrico escolheremos sempre nestes 
Últimos casos de barras verticais (casos da Fig. N-35). para análise de seu 
"quilibrio, os nós com menor número de barras neles concorrentes. 
206 Curm de análise srtruniral 
Concluúnos, então, que: 
-,Para barras verticais tais que ihes possamos dar uma seção de Ritter que 
as atravese e a mais duas barras horizontais somente, seus esforços normais 
são iguais, em módiilo. aos esforços cortantes na viga de substituição no 
trecho, onde o carregameiito esta definido, interceptado pela s e e u de 
Ritter. Seus sinais. obtidos por analise do equilíbrio do trecho interceptado 
pela seção de Ritter, deverão ser estudados em cada caso. 
- Para as barras verticais não abrangidas anteriormente, os esforços noimais 
são obtidos por simples considera@o de equilíbrio de nó. 
Obsrrva~áo: Os esforços normais nas barras verticais variam conforme 
o carregamento seja superior ou iiiferior, o que pode ser constatado a partir 
da análise da Fig. IV-34. (Notar que, se o carregamento fosse inferior, só 
estariam aplicadas, no trecho interceptado, as forças V.,. P,. P, e P3 e o 
cortante seria, então, o do trecho fg, ao inv6s do trecho gh.) 
Os exemplos seguiiitts esclarecerão. 
Ex. IV.8 - Obter os esforços normais nas barras da treliça da Fig. IV-36, 
carregada superiormente. 
Estudo dar treliças -iiortátias 207 
ssikn, teremos: 
barras O 
barras U 
Sendo a viga de substituição e seus diagramas os indicados na Fig. N-37, 
passemos à determinação dos esforços normais. 
a) Barras O. U, D 
Serão resolvidas por seçúes de Ritter verticais, uma em cada painel. 
barras D 
Sabemos que os módulos de seus esforços normais são os dos esforç'os 
ortantes atuantes na viga de substituição em. seus respectivos painéis, 
iultiplicados por llsen p = \/Z, no caso. 
Para obtenção de seus sinais, bastara analisar uma das diagonais. 
Sqa, por exemplo a diagonal D l , cujo esforço normal B obtido da seçáo 
e Ritter S-S indicada na Fig. IV-38. Como o esforço cortante atuante no 
recho cd 6 voltado para cima fposittvo), o esforço normal em D, deve 
star voltado para baixo, a fm de que possa haver equilibrio, sendo, 
208 Curto de anhlirs esirutuml 
portanto, de compressão. Para a diago- 
na1 D2. a situação é a mesma que a de 
D1, pois ela é paralela a primeira e o 
sinal do esforço cortante no trecho de 
-ainda é positivo; ela está, pois, compri- 
mida. Para as diagonais D, e D4, in- 
verte-se o sinal do esforço cortante, A 
mas, como também se inverteu a sua 
inclinação, elas estarão comprimidas. 
5 t Os esforços normais atuantes nas dia- 
gonais são, pois: 
t ' 
Dl = - 3 J T t : D2 = - J 2 t ; D3 = - JTt ; Da = - 3 A t 
b) Barras V 
Os esforços normais nas barras Vi e V, são obtidos a partir das seçdes 
de Ritter SI-SI e S2-& indicadas e valem, conforme os esquemas das 
Figs. N-39 e 1V-40, a partir da condição ão Y = 0: 
Fig. IV-39 
Os esforços normais nas banas V,, V2, V4 são obtidos a partir do 
equilibrio dos nós C, E' e C e valem: 
V,= V ,= -2 t e V,= O 
Os esforços normais encontrados estão resumidos na Fig. Iv-41 e são 
evidentemente simétricos, por se tratar de uma treliça simétrica submetida 
a um carregamento simétrico. 
Estudo das treliças isostáticas 209 
Ex. N.9 - @ter os esforços normats para as barras da treliça-marquise 
da Fig. IV-42. 
210 Curso de análise estrutural 
Sendo a %a de substituição e seus diagramas solicitantes os indicadosna Fig. IV-43, obtemos a partir deles: 
Os esforços rormais nas barras D (todas paralelas entre si e com cortantes 
em todos os trechos de mesmo sinal) serao sempre de tração, conforme 
obtemos a partir da seção Si -SI detalhada na Fig. N-44 e valem: 
-1 -5 
D, =- QB-b = j Qa.b = +5 1 
sen io 
Os esforços normais nas barras V,. V3 e Vq, obtidos a partir de seç6es 
de Ritter do tipo Sa-S2, são de compresao conforme mdica o esquema 
da Fig. IV-45 e valem: 
crrudo das treliças isostáticas 21 1 
Para a halia I',. a partir da análise d o equilibrio d o nó A' , obtenios: 
, O 
Os esloiços iioriiiais eiicontrados estão resumidos na Fig N-46 
est; 
a) 
tod 
Ex. lV.10 - A Fig. TV-47 representa uma treliça de altura constante, 
iiido faltatido as diagonais (uma em cada painel). Pedem-se: 
dispor estas diagonais para que, com o carregamento indicado, trabalhem 
as i tração: 
calcular a menor altura / i , de modo que o maior esforço normal atuante 
barras horizontais náo ultrapasse, em módulo, o valor de 8 t; 
para este valor de h , achar os esforços normais nas barras. 
$ - * i n & 2 m L z m - ~ z m 7 C Z m ~ 2 - + 2 m 4 
Fig. IV-47 
A viga dc substituição e seus diagramas solicitantes são os indicados na 
Fig. IV-48. 
212 Curso de analise esirutural 
Pig. IV-48 
a) Coloquemos as diagonais de modo que estejam, todas, tracionadas. 
Começando pela pruneira diagonal, analisemos as duas possibilidades indi- 
cadas nas Figs. N-49.1 e N-49.2. 
Fig. IV-49 
A posiçáo wrreta será a da Fig. IV-49.1. Desta maneira, instituímos a 
posiçZo wrreta de diagonal tracionada para atuaçáo de cortante negativo. 
Bastará mantê-la em todos os trechos de cortante negativo e invertê-la 110s 
trechos de cortante positivo, chegandose. para a treliça, às diagonais tracio- 
nadas indicadas na Fig. IV-50. 
Estudo das treliças itostAticas 213 
Fig. W-50 
b) Sendo os m6dulos dos esfor os normais atuantes nas barras horizontais 
dados por I" '8" d~aubstit~ul@of, os esforços normais máximos atuantes nas 
barras horizontais, em módulo, ocorrerio em U2 e U 3 , conforme indica a 
Fig. N-50 (pois serão função do momento máximo em módulo na viga de 
substituiçáo, que C M e ) e teremos, então: 8 = 12/h :. h = 1,s m. 
c) Os esforços normais atuantes em cada uma das barras, obtidos de maneira 
inteiramente análoga à dos exemplos anteriores, valem: 
Sendo l/sen 9 = 513, temos: 
Observação: Este exemplo trata de um problema técnico bastante real, que 
é O da preocupação em se colocar as diagonais tracionadas para este tipo de 
treliças, pois, sendo elas as peças de maior comprimento, não seria de boa 
214 Cuno de análise estrutural 
tdcnica estarem comprimidas, pois seria mais grave para elas a possibilidade 
de sofrerem o fenômeno de flambagem, só contornado colocando-se peças 
mais pesadas que as necessárias, tendo eni vista apenas o valor do esforço 
atuante (e, portanto, mais caras), conforme verá o leitor quando estudar 
este asunto. E, por isto, desejável que as diagonais, para este tipo de treliça 
! com uma diagonal por painel, estejam tracionadas, sobrando a compressão 
para as barras verticais, de menor comprimento e menos sujeitas ao perigo 
de flambagem (que será, evidentemente, analisado para elas, também). 
3.3.2 - Treliças com duas diagonais por painel (Vigas Hassler) 
Seja a treliça da Fig. N-51, cuja viga de substituição correspondente é 
a da Fig. iY-52. 
rv. 
Pig. 1%'-52 
a) A partir da seçzo SI-SI, obtemos, conforme indica a Fig. N-53: 
Por ZME = O e por XME. = 0 : U3 = M,/h e O, = -M,/h, sendo M, 
o momento fletor em e na viga de substituição. 
Estas expressaes são inteiramente anáiogas As instituídas em 3.3.1, mos- 
trando que os esforços normais atuantes nas barrashorizontak de uma treliça 
b l e r são iguais, a menos do fator 1/l1 e do sinal adequado (positivo para 
Estudo das treliças isostátieas 215 
as barra$ iiiferiores e negativo para as superiores), aos valores algkb,icos dos 
momentos fletores atuantes na viga de subslituiçao no ponto em que a 
seção de Ritter adequada (seção esta que atravessa as duas barras horizontais 
e duas barras verticais) corta as duas barras verticais da treliça. 
I 'A 
Fig. 1V-53 
b) Os eshrços normais nas diagonais Ds e D$ (simbolizando duas diagonais 
genéricas da treliça) sáo obtidos a partir da seção S2-S2 indicada na 
Fig. IV-54. 
Fazendo Z Y = 0, temos que as somas das componentes verticais de Ds 
D: deve equilibrar o esforço cortante atuante no trecho ef (trecho inter- 
b ptado por S,-S,) da viga de substituição (igual, no caso, a V* - Pl - 
P* - P3). 
216 Cuno de adlire estmiual 
Por outro lado, por consideração da condição ZX = O de equilíbrio, 
verificamos que os esforqos normais nas barras Di e D< devem ter mesmo 
módulo e sinais opostos. 
Isto posto, temos então que os móddos dos esforços normais atuantes 
nas barras Ds e D: são iguais a I D: l = ID: l = Qefl? sen v. sendo estes 
esforços normais de naturezas opostas e tais que eqiiilibrem o esforço 
cortante atuante no trecho ef. 
Concluimos, pois, que os esforços normais atuantes nas diagonais de um 
painel de treliça H k l e r l m seus módulos iguais ao do esforço cortante 
atuante, neste trecho, na viga de substituição, afetado do fator 112 sen(o, 
sendo de naturezas opostas e tais que equilibrem o esforço cortante atuante 
no ttecho em questão da viga de substituição. 
c) Os esforços normais atuantes nas barras verticais superiores e inferiores 
podem ser obtidos da maneira seguinte. 
Sejam, por exemplo, as barras verticais 1'; e I r : , simbolizando duas 
barras verticais gen6ricas da treliça. 
A partir da análise da condição Z Y = O de equilíbrio do nó E',coníorme 
indica o esquema da Fig. N-55,.obteremos que I I = lQtrelho dei , 
Seu sinal será evidentemente oposto ao de D; sendo, pois:de obtenção 
imediata. 
Conhecido VI, e impondo-se a condiçao Ç Y = O ao esquema da Fig. IV-53, 
temos que a soma (V: + c) deve equilibrar o esforço cortante atuante no 
trecho ef da viga de substituição, ficando, então, definido V: em módulo 
e sinal. 
Andoganiente agiríamos para qualquer outro caso. 
Observações: 
a) No w o do carregamento ser inferior, calcularíamos inicialmente V: por 
equiliório do nó E obtendo, a seguir, o d o r de V:' a partir da condição 
ÇY = O imposta ao esquema da Fig. N-53. 
Estudo das treliças isostáticas 21 7 
b) Aiialisemos o caso d a barrã I/,. Supondo, na viga de substituição, o 
cortante positivo nos trechos ef e .fg (o que em nada prejudica a generalidade 
da nossa dedução), teremos, a partir da condição X Y = O de equilíbrio 
do nó F' indicado na Fig. IV-56: I V3 I = P 4 / 2 . sendo de compressão, no caso. 
O esforço normal lia barra V3 tem, então, módulo igual metade da 
carga aplicada sobre ela, sendo de compressão no caso de carregamento 
superior e de tração no caso de carregamento inferior (p que seria imediato 
demonstrar). 
Ex. IV.11 - Obter os esforços normais nas barras da treliça Hassler da 
Fig. IV-57, carregada inferiormente. 
218 Curso de análise estrutural Esíudo das treliças isostáticas 219 
Sendo a viga de substituição e seus diagramas solicitantes os indicados 
lia Fig. IV-58, temos: 
-11, = -0, = Mo/h = O 
U; = -0, = M,/l? = +1,5 t 
Li3 = -O3 = Md/h = +4.0 t 
(Sendo simétricos a treliqa e o carregamento, os esforços só precisam ser 
calculados para sua pruneira metade, sendo simétricos para a outra.) 
-5 
Fig. [V-58 
Para obtençáo dos sinais dos esforços normais nas diagonais, analisemos. 
por exemplo, o equilhrio da Fig.lV-59. Para termos Z Y = 0. D: deve 
ser de compreaão e D{ de tração (pois o trecho oc tem cortante positivo). 
O mesmo ocorrerá para as diagonais D2 e D 3 , pois, são paralelas às 
primeiras e os cortantes em seus respectivos trechos na viga de substituição 
são todospositivos. Temos, então: 
Fig. IV-59 
Os esforços normais nas barras verti- 
cais Vi, Vi, V: são obtidos a partir do 
equilíbrio dos nós A', E e C', conforme 
indica a Fig. 1V-60, valendo, então: 
v: = o , 
V : = +2,5t; 
v; = + I ,st. 
Os esforços normais nas barras V:, V: e V; são obtidos a partir da 
ndiçáo Z Y = O de equilhrio para os esquemas da Fig. N-61, valendo: 
= -5 t; V: = -0,5 t; V:' = +0,5 t. 
220 Curso de analise estrutural 
O esforço normal na barra VJ será de tração, valendo 1 t , conforme a 
observaçáo b anterior a este exemplo. 
Resumindo e levando em conta a simetria existente, os esforços normais 
na treliça, em foneladas, estão indicados na Fig. N-62. 
Fig. IV-62 
Observ~ção: T6das as aplicaçóes feitas neste tópico foram para treliças 
simples. O método serve t m b h para as treliças compostas, conforme 
veremos no item 5 deste capítulo. 
Seja a treliça simples, isostática, da Fig. N-63, cujos esforços normais 
desejamos determinar. 
I Os autores amdcanos costumam chamar este método, com muita jiistiqa, de 
M4fodo dos /iguros reciprocas de Maxwell, por ter sido apresentado por J . C. Maxwcll 
no Philadelphia Magazine iie 1864, enquanto L. Cremona só o apresentou, por escrito, 
em 1872, no trabalho Lè figure reciproche nelln Sfotico Grofieo. No entanto, como a 
maioria dos demais autores habituou-se a dar a este método o nome de Cremona, 
denomina$ão esta já muita difundida nos meias técnicos de nosso pais, preferimos 
adotar o mema caminho. 
Estudo das treliças isost&ticas 221 
Em se tratando de uma treliça em equilibrio, todos os seus n6s também 
o estão, o que sugere, para a determinação dos esforços normais atuantes 
em suas barras, seja feita sucessivamente a análise do equilíbrio de cada um 
de seus nós que, conforme sabemos, constitui a analise de um sistema de 
forças aplicadas num ponto material (sendo estas forças as cargas externas 
e os esforços normais nas barras concorrentes no n6 em questao). Fazendo-se 
esta analise por via gráfica, sabemos que as forças e esforços normais atuantes 
sobre o nó devem formar um poligono fechado (condiçao de resultante nula). 
com o que obtemos os esquemas de equilkio dos diversos nos indicados na 
Fig. Br-64. 
A análise deve ser, evidentemente, iniciada por um n6 no qual 86 tenhamos 
duas incógnitas (a f i de poder determiná-las) sendo, sucessivamente, esten- 
dida aos demais, numa ordem tal que tenhamos sempre duas incógnitas a 
determinar em cada n6. 
Observações : 
a) No caso, poderíamos começar a análise de equilibrio pelo nó A ou pelo 
n6 D; preferimos o n6 A, cujo equilíbrio, conforme o esquema da Fig. 
1V-64, nos forneceu os valores dos esforços normais atuantes nas barras @ e @, de compressão, no caso. 
b) Para o traçado do polígono fechado de equilibrio, marcamos inicialmente, 
as forças e (ou) esforços normais já conhecidos e, a seguir, pelas extremidades 
do poligono aberto assim defiido, tiramos paralelas às direçóes dos esforços 
222 Curso de análise estruiural 
normais incógnitos, cuja interseção determmará o polígono fechado de 
equilibrio, a partir do qual obtemos os módulos e sinais dos esforços normais 
desejados. 
Os sinais dos esforços normais desejados podem ser obtidos (sem que 
seja necessário fazer o croqui do n6), verificando-se simplesmente se o 
esforço normal aponta para o n6 analisado (indicando compressão) ou 
foge dele (indicando tração). Isto pode ser facilmente verificado para todos 
os'casos da Fig. IV-64. 
c) No traçado do polígono de equilibrio, dependendo do sentido em que 
percorremw o nó, ele pode assumir duas configurações diferentes (condu- 
zindo, é claro, ao mesmo resultado). Por exemplo, para o nó A , se ele for 
percorrido no sentido horário, o polígono de equilibrio será 6 da Fig. IV-64, 
e, se o sentido for o anti-horátio, ele será o da Fig. N-65 seguinte, sendo 
idênticos, evidentemente, os resultados obtidos por um ou por outro. 
Apenas para evitar este grau de liberdade no traçado dos polígonos de 
equilibrio, adotaremos sempre o percurso do n6 no sentido horário. 
Isto será particularmente importante para o mdtodo de Cremona, que 
exporemos no tópico seguinte deste item. 
d) No exemplo dado, obtivemos duas a duas incógnitas na análise do 
equilibrio dos nós A, E, B, F; quando analisamos o equilibrio do n6 D, 
apenas o esforço normal na barra@ era incógnito (temos nele, portanto, 
duas equaçóes e uma só incógnita) e, com isto, ficaram determinados os 
esforços normais em todas as barras, náo tendo sido necessário analisar o 
equilibrio do n6 C (para o qual temos, então, 2 equaçoes e nenhuma 
incógnita). 
Sobraram, então, três equações de equilibtio, o que já era de se esperar, 
pois elas f o r m empregadas no cálculo das reações de apoio. 
Com isto, a análise do equilibrio dos nós C e D nos permite verificar a 
precisáo do traçado gráfico, bem como a correção das reapes de apoio 
calculadas, constituindo-se então num excelente teste dos resultados obtidos. 
Estudo das treliças irostáticas 223 
r ) Analisatido-se os polígonos de equilibrio da Fig. IV-64, vemos que cada 
esforço normal aparece duas vezes, pois seu valor 6 calculado num polígono 
sendo, depots, na qualidade de valor ~á conhecido, usado na construção do 
polígono de equilibrio de outro n6. Cada esforço normal 6, portanto, traçado 
duas vezes. A partir desse fato, surgiu a iddia de se desenharem todos os 
polígonos de equilibrio numa mesma figura, evitando-se a necessidade de 
transpor esforços normais de um polígono para outro. Esta id6ia 6 a essência 
do método de Cremona, que exporemos a seguir. 
4.2 - Apresentação do método 
4.2.1 - Notação das cargas e dos esforços normais 
Adotaremos, para designar as forças externas (cargas aplicadas e reaçóes 
de apoio) e as forças internas (esforços normais), a notação de Bow. 
Marcamos com letras minúsculas, conforme indica a Fig. N-66, todos 
os espaços compreendidos entre as forças (quer exteriores, quer interiores), 
que seráo designadas pelas duas letras a elas adjacentes. 
Assim, a reação vertical em A serd denominada nb, a carga horizontal 
em F será cd , o esforço iiormal na barra BC será ha (ou ah), o da barra BF 
será gh (ou hg) , e assim sucessivamente. 
4.2.2 - Roteiro do método 
A partir da introdução feita em 4.1, onde expusemos os fundamentos 
do método, que coiisistirá no traçado de uma figura únicaenglobando todos 
Os poligonos de equilibrio de forças e à qual chamaremos cremona, temos 
0 seguinte roteiro para seu emprego: 
a) iniciamos o traçado do cremona analisando o equilibrik de um nó que 
coiitenha apenas duas barras com esforços normais conhecidos; 
224 Cuno de análise estrutural 
b) no traçado do cremona, começaremos pelas forças e (ou) esforços normais 
já conhecidos, deixando as duas incógnitas como duas forças fmais; 
c) todos os dós serão percorridos no mesmo sentido, quando da análise do 
seu equilíbrio. Adotaremos este sentido, sempre, como o sentido horário2 
(isto para não deixar em aberto um grau de liberdade a ter que ser discutido 
em cada problema,com a adoção deste sentido de percurso ou de seu inverso); 
d) prosseguiremos o traçado dos cremonas, sempre, por nós onde só haja 
duas incógnitas a determinar, atc! esgotá-los, encerrando-se então a resoluçáo 
da treliça. 
Como primeira aplicação do moodo de Cremona, refaremos o cálculo da 
treliça da Fig. IV-63, cujo cremona traçado na Fig. N-67.2 vem detalha- 
damente comentado a seguir. 
Escala do cremona 
'pode-se, evidentemente, sdotar o sentido inverso. 
i Estudo das trelips iirostáticas 225 
a) Iiiiciaiido pelo nó A , marcamos, no cremona ab = 2 P e, a seguir, b? = 3P; 
por r tiramos uma paralela à barra AE e por a uma paralela a A B , definindo j 
O poligoiio fechado ahda representa o equilibrio do nó A ; os módulos dos 
esforços normais nas barras A Ee AB são lidos no cremona e iguais a cf e 
fu, sendo ambos de compressão (os vetores cf e fa convergem para o nó A ) . 
I b) A seguir, passamos à análise do nó E , para o qual já conhecemos o esforço 
I normal na barra A E . Percorrendo o nó no sentido horário (o que faremos sempre), temos já desenhado no cremona.0 vetor fc; por c tiramos Irna 
i paralela a EF e por f uma paralela a EB, cuja interseção define g. Os esforços iiormais nas barras EF e EB são, entào, dados por cg (compressão) 
I e gf:(tração), respectivvente. 
C) Na análise do nó B, os esforços normais em A 5 e BE já são conhecidos 
e são representados no cremona por af e fg. Tirando-se, respectivamente, 
por g e por a paralelas a BF e BC, determinamos h; os esforços normais 
nestas duas barras são, então, dados por gh (compressão) e ho (traçáo). 
d) Na análise do nó F, os esforços normais em BF, EF e a carga horizontal 
3P atuante em F estão representados por hgcd no cremona (no caso, os 
pontos b e d do cremona foram coincidentes). Tirando-se, respectivamente 
por d e por h, paralelas a FD e FC, determinamos i; os esforços normais 
stas 7 barras são, então, dados por di (compressão) e ih (traçáo). 
Analisando o nó D, observamos que temos neste nó elementos. de 
rificação, pois a Única incógnita é o esforço normal na barra DC. Seu 
~lígono de equilibrio, de imediata obtenção, 6 idei, sendo o esforço normal 
i barra DC dado por ei (tração). A horizontalidade do segmento ei no 
emona é a verificação a que nos referunos. 
O cquilfirio do nó C (cujas forças internas e externas já são todas 
~nliecidas) pode ser verificado no memona, onde está indicado pelo 
1 
)ligono fechado ahiea. 
I Observações: 
I a) Durante o traçado do cremona, não precisamos nos preocupar se o 
esforço normal obtido é de t r a eo ou de compressão. Faremos esta análise 
I quando 0 cremona jd estiver pronto, análise esta imediata, conforme esclarece 
o exemplo seguinte. 
I Seja obter a natureza do esforço normal atuante na barra BF. 
Analisando o equilibrio do nó F, por exemplo, o esforço na barra será 
I dado por hg (110 sempre percorrido no sentido horário), que converge para 
o nó. sendo, portailto, de compressão. 
O mesmo esforço podena ser obtido pela análise do nó B , sendo dado 
por gh, que converge para o nó, sendo (6 evidente) de compressão. 
b) Os módulos idos esforços normais são lidos em escala no cremona. 
c) O mitodo de Cremona, devido à sua enorme simplicidade, 6 o universal- 
mente adotado na resolução das treliças. !? superado pelo de Ritter apenas 
para treliças de altura constante, para as quais este mbtodo permite uma 
soluç~o muito rápida e elegante, em Função da viga de substituição,para os 
casos de carregamento vertical. 
4.3 - Exemplos 
Ex. N.12 - Resolver a treliça da Fig. IV-68. 
Fig. IV-68 
Adotando-se a notação indicada na Fig. IV-69, teremos o cremona da 
Fig. IV-70, iniciado pelo nó A , que fornece, em toneladas, os esforços 
normais assinalados na Fig. N-71. 
xsnido das treliças isostáticas 
Escala do Crernona 
Fig. IV-70 
Fig. IV-71 
a) Poderíamos ter traçado o cremona para meia treliça apenas, pois sabemos 
que os esforços normais será0 simétricos. Preferimos, entretanto, traçá-lo 
completo, a fm de melhor exercitar o leitor. 
b) O esforço normal nulo na barra GD poderia ser obtido a priori por 
simples análise da condição C Y = O de equilíbrio do nó D. 
Ex. N.13 - Resolver a treliça da Fig. IV-72. 
Sendo as reaçbes de apoio as indicadas na Fig. IV-72 e a notação adotada 
a da Fig. IV-73, teremos o cremona da Fig. [V-74, cujo traçado é iniciado 
pelo nó G. 
Os esforços obtidos encontram-se indicados, em toneladas, na Fig. IV-75. 
228 Curm de análise estrutural Estudo das treliças isostáticas 229 I 
Na treliça deste exemplo, poderíamos ter obtido as reações de apoio 
pelo cremona; preferimos, no entanto, calculá-las previamente, a fun de 
ficarmos em condições de fazer as verificações de equilibrio no cremona 
traçado. 
Fig. IV-75 
Ex. IV.14 - Resolver a treliça da Fig. IV-76 pelo mbtodo de cremona, 
eliminando previamente as barras que têm esforço normal nulo. 
Escala:lcm - l t 
Fig. IV-74 
I Pela análise sucessiva do equilibrio dos n6s D, K, L, E, F, I, N, H, M, 
verificamos que são nulos os esforços normais nas barras DK, KE, EL, 
230 Curso de analise estrutural 
EA, AF, IN, NH, HM e GM, podendo a treliça ser representada sob a 
forma mais simples da Fig. [V-77. 
tudo diw treliças isost6ticas 231 
Escala de cremona: lcm- 4t 
Observações : 
a) Notar a conveniência de se fazer uma análise pr6via da treliça, eliminando 
as barras com esforço normal nulo (no caso, a quantidade de barras foi 
reduzida de 25 para 7) antes do traçado do cremona. Aconseihamos ao 
leitor fazer sempre esta análise prévia. 
b) k? comum existir, numa treliça, uma certa quantidade de barras com 
esforço normal nulo, pois trata-se de um recurso (ewnômico) adotado para 
limitar o comprimento de flambagem de barras comprimidas. No caso, elas 
dividiram por 3 este comprimento de flambagem, que seria d m m 
para as barras AC e BJ. 
5 - TRELIÇAS COMPOSTAS 
Fig. IV-77 
Sendo as reapes de apoio as indicadas na Fig. IV-77 e o cremona o da 
Fig. IV-78, iniciado pelo nó J, obtemos os esforços normais nas barras da 
treliça indicados, em toneladas, na Fig. IV-77. 
Já vimos, i10 item 1 deste capítulo, qual é a lei de formação interna de 
uma treliça simples, que é uma treliça isostática. 
~;~oii l iamos, agora, a aglutinação de duas treliças simples por um sistema 
de ligação isostático, conforme iiidicam as Figs. 1V-79 e IV-80. 
Fig. IV-79 Fig. 1V-80 
Na Fig. 1V-79, temos a ligapo de dois sistemas indeformáveis isostáticos 
(as duas treliças simples hachuradas) por trés barras não paralelas nem 
coiicorrentes no mesmo ponto (barras a, @ e @), ligação esta, pois, 
indeformável e isostática (pois restringe, e estritamente, os três graus de 
liberdade que cada uma das treliças simples teria em relação à outra). 
Trata-se, então, de uma treliça isostática,à qual chamaremos treliça composta, 
'obtida pela ligaçào de duas treliças simples por três barras náo paralelas 
nem concorrentes no mesmo ponto. (Fazendo o teste da isostaticidade, 
temos: r + h = 3 + 29 = 32 = 211, pois o numero de nós é igual a 16.) 
Na Fig. ]V-80, temos a ligação das mesmas duas treliças simples hachuradas 
Por uma róiula (C) e por uma barra 0, não concorrente com a rótula, 
ligaçáo esta tambem indeformável e isostática (pois restringe, e estritamente, 
0s três graus de liberdade de uma treliça simples em relação à outra). 
Trata-se, pois, de uma treliça isostática, à qual chamaremos também treliça 
composta, obtida pela ligação de duas treliqas simples por m a rótula e por 
uma barra não concorrente com esta rótula. (Fazendo o teste da isostatici- 
dade, t'emos r + b = 3 + 77 = 30 - 2 n, pois o número de nós 6 igual a 15.) 
Observaçüo. É claro que poderíamos ligar as treliças simples por maior 
número de barras do aue o indicado nos exemulos das Fies. IV-79 e IV-80. 
- 
Estaríamos, entáo, obtendo treliças compostas hiperestáticas, ao invés de 
isostáticas. 
232 Curso d e an8lise estrutural 
Definiremos, então, treliças compostas isostáticas como sendo aquelas 
obtidas pela Iigação detreliças simples por: 
a) três barras não paralelas nem coiicorrentcs no mesmo ponto; 
b) um nó e uma barra não concorrente com este nó. 
Damos a seguir, na Fig. lV-81, diversos exemplos de treliças compostas, 
obtidas pela ligação de treliças simples pelas três barras 0, e @ 
indicadas: 
Fig. IV-8 I 
Em muitos casos, conforme indicam as Ftgs. IV-82 e IV-83, podem ser 
imaginadas duas diferentes leis de formação para a mesma treliça composta 
(ou por ligação das treliças simples por três barras 0, 0, a ou por 
ligaçao através de um nó C e de uma barra 0). sendoindiferente, para a 
sua resolução, imaginar uma ou outra (o trabalho de resolução será equiva- 
lente). 
Fig. IV-82 
I Emido das treliças isost8ticar 233 
5.2 - Método de resolução 
A resoluçào das treliças compostas pode ser feita recair na das treliças 
simples que a constituem. mediante o cálculo prévio dos esforços nos 
elementos de interligação das treliças simples, o que permitirá isolá-las 
uma da outra para fins de cákulo estático. Os exemplos seguintes esclarecem. 
IV-84.1 IV-84.2 
Fig. IV-84 
Dando-se a seção de Ritter S-S na treliça da Fig. IV-84.1, acharemos, 
a partir dela, os esforços normais nas barras 0, @ e @ da ligação e, 
a partir daí, s u a resolução recair8 na das treligas simples independentes 
indicadas na Fig. IV-84.2. 
b) I "C 
Fig. IV-85 
Kompendo-se a treliça da Fig. IV-85.1 na rótula C e na barra DE, ficamos 
com o esquema indicado na Fig. IV-85.2. Estudando o equilíbrio de uma 
das partes: em que a treliça ficou dividida, obtemos os valores das forças 
de ligação Vc, //C. e N , , a partir das quais podemos resolver, isoladamente, 
as duas treliças simples da Fig. IV-85.2. 
234 Curm de análise estrutural Emdo dar treliças ismt4ticar 235 
a) Supondo que, iiiadvertjdamente, tivéssemos iniciado diretamente a reso- 
lução de uma treliça composta pelo método de Cremona, não conseguiríamos 
chegar ao fim do cremoiia, pois esbanariamos, logo a seguir, com nós com 
três incógnitas a determinar, tendo que interrompê-lo então. 
b) Pelo método de resolução exposto, notar a importância da análise prévia 
da lei de formação da treliça composta, pois é esta análise que nos indicará 
quais as Forças de ligação a determinar, a fim de ser possível a decomposição 
da treliça composta nas treliças simples que a constituem. 
Feita a decomposição, cada uma das treliças simples componentes é 
resolvida, geralmente, pelo método de Cremona (nada unpedindo, entretanto, 
o emprego do método de Ritter, especialmente indicado apenas se a treliça 
for de altura constante). 
c) As seções de Ritter necessárias à obtenção dos esforços normais nas 
barras de ligação em treliças compostas podem assumir, em alguns casos, 
formas curiosas, conforme é o caso das treliças da Fig. IV-81, cujas seções 
de Ritter estão indicadas nas Figs. IV-86 a IV-88. 
IV-86.1 IV-86.2 
Fig. IV-86 
d) 
pa 
inc 
ba 
rel 
Notar que, em todos estes casos, as seções de Ritter atravessam, além das 
rras 0, @ e @ de l igaw, também outras barras da treliça, mas, 
mo estas outras barras são atravessadas 2 vezes, seus esforços normais se 
toequilibram, nno se constituindo em incógnitas adicionais a determinar 
partir da seçáo de Ritter dada. A obtenção dos esforços N, , N1 e N , 
ligação é feita a partir da análise do equilíbrio das forçts indicadas nas 
5s. N-86.2 a N-88.2. 
Embora não seguindo especificamente a lei de formação definida em 5.1 
ra as treliças compostas, classificaremos também como tal as treliças 
iicadas nas Figs. IV-89.1 e N-90.1 que resultaram da substituição das 
rias superiores por treliças secundárias. 
Elas serão resolvidas nomiahente, como se as barras superiores fossem 
.as (sendo nelas obtidos os esforços normais N i e N2 atuantes), conforme 
indicam as Figs. N-89.2 e N-90.2, sendo, após, corrigidos apenas os 
valores encontrados para as barras de substituiçáo das treliças secundárias, 
segundo os esquemas das Figs. N-89.3 e N-903. 
236 Cuno de análise estrutural 
e) Podemos ter também a ocorrência.de vigas Gerber treliçadas, que serao 
classificadas como treliças compostas e resolvidas a partir da viga Gerber 
de substituiçáo segundo os prmcípios estudados no t6pico 3.3 deste capítulo. 
Por exemplo, a treliça da Fig. IV-91.1 será resolvida normalmente, a partir 
da viga Gerber de substitu~çáo da Fig. IV-912. 
Fig. IV-91 
5.3 - Aplicações 
Ex. N.15 - Obter os esforços normais atuantes na treliça da Fig. IV-92. 
Sendo a treliça composta formada pela associação, através das barras 
DE, CJ e HI, das treliças sunples ACDI e EFBJ, a seçso de Ritter 3-S da 
Fig. IV-93 nos fornecerá os esforços normais nestas barras de Iigaçáo, que 
valem. 
Por E Y = O N, = N , 
P o r z M ~ = o : 1 0 X I O - ~ N l = O r. N I = + 2 0 t 
Estudo das treliças isostátim 
Fig. 1%'-92 
Fig. N-93 
( 0 sinal positivo confirma o sentido arbitrado, sendo o esforço, pois, de 
compressáo.) 
Para obtenção dos esforços normais atuantes nas barras da treliça, bastará 
resolver a sua metade, pois ela é simétrica e o carregamento atuante também 
o é. 
A partir do cremona da Fig. IV-94, obtemos os esforços normais atuantes, 
indicados na Fig. IV-95, em toneladas. 
238 Curso de análise estrutural Estudo das treliças isostáticas 239 
Ex. N.16 - Obter os esforços normais atuantes na treliça da Fig. N-96. 
)10t 
Fig. IV-% 
Sendo a treliça formada pela associação de duas treliças simples atraves da 
.,tula C e da barra 0, calculamos, a partir do esquema da Fig, IV-97, as 
forças Ni, Vc e H c de ligação, que valem: 
-20 -20 -20 Por 2 Y = O : VC = O (Notar que, como em C existe uma carga 
concentrada aplicadai podemos dividi-la em dois quinhões arbitrários, um 
para cada uma das treliças simples, servindo o v$or de Vc para corrigir estes 
quinhks arbitrados.) 
P o r Z M c = 0 . 3 X 6 - 2 x 3 - 4 N l = 0 :. N l = 3 t . 
Por 2 X = O : HC = 3t . 
Para obtenção dos esforços normais atuantes nas barras da treliça, bastará 
resolver a sua metade, pois a treliça e o carregamento nela atuante são simé- 
Fig. IV-95 
tricos. 
240 Curso de analisa pmitursl 
A partir do cremona da Fig. IV-98, obtemos 0s esforços normais atuantes 
indicados na Fig. IV-99, em toneladas. 
Estudo das treliças isonáticas 241 
6 - TRELIÇAS COMPLEXAS 
Seja a treliça da Fig. 1V-100. Trata-se de uma treliça que tem r + b = 
= 3 + 11 = 14 e 2n = 2 X 7 = 14 satisfazendo, portanto, a condição 
r + b = 2n (condição necessária de isostaticidade). 
Por outro lado, não identificamos 
nela as leis de formação de treliça 
simples ou composta. Trata-se, pois, 
de uma treliça provavelmente isostáti- 
ca, que não é simples nem composta, 
que classificaremos como treliça com 
plexa. 
P 'ig. N-i00 
~~ . A classificação de uma treliça como complexa 6, então, feita porexclusáo. 
Não podemos afirmar de imediato que ela seja isostática, porque a relação 
r + b = ui é condição apenas necessária, mas não suficiente para garantir a 
isostaticidade, podendo a forma da treliça ser instável, caso em que será 
chamada de forma crítica. O reconhecimento de uma f ~ r m a critica será 
imediato, a partir do método de Henneberg, que é o método geral de resolu- 
ção das treliças complexas, que desenvolveremos a seguir. 
6.2 - Mktodo geral de resolnção das treliças complexas 
(Método de Henneberg) 
Seja a treliça complexa da Fig. IV-101.1. Se, ao inv6s das barras AH e FB, 
tivéssemos as barras CF e DH, conforme indica a Fig. IV-101.2, ela seria um: 
treliça simples, cuja resolução sabemos fazer. 
Esta foi exatamente a idéii de Henneberg, que formulou o problema de 
resoluçáo da treliça complexa dada na Fig. IV-101.1 como sendo o problema 
da obtenção dos valores das forças Xl a aplicar nos nós A e H, com sentidos 
opostos e direção AH, e Xz nos nós,B e F, com sentidos opostos e direçáo 
BF e tais que os esforços normais nas barras CF e DH (que não existem na 
treliça dada) sejam nulos, conforme indica o esquema da Fig. IV-102.1. 
É fácil ver que, se as forças Xl e X, (que agem estaticamente como se 
fossem os esforços normais atuantes nas barras AH e BF) forem tais que os 
esforços normais nas barras CF e DH (que criamos no lugar das barras AH e 
BF) sejam nulos na treliça de substituição, o esquema pstático da Fig. 
N-102.1, reproduzirá fielmente o da treliça complexa dada na Fig. IV- 
101.1, resolvendo-a então. 
Para obter estesvalores de X1 e XZ, é mais ficil proceder-se por super- 
posição de efeitos, conforme indica a Fig. IV-102. 
Obtemos, sucessivamente, os esf0rços normais No, N, e Nz atuantes nas 
barras da treliça de substituiçãg, devidos, respectivamente. ao carregament3 
externo aplicado, a Xi = 1 e a Xz = 1 (Figs. IV-102.2, IV-102.3 e IV- 
102.4). 
Como os esforços normais finais devem ser nulos nas banas CF e DH, r" ter: 
+ N,@x, t dFxZ = O (esforço final em CF é nulo) 
l N ~ ~ + N ~ H x ~ + NfHxZ = O (esforço final em DH d nulo) 
A resolução deste sistema de equaçaes nos fornece os valores de X1 e 
Xz desejados (que representam os esforços normais verdadeiros atuantes nas 
barras AH e BF), sendo os esforços nas demais barras dados, a partir do 
esquema da Fig. N-102, por N = No + NIXi + NzXZ. 
Emido dar treliçar isoatátieas 243 
1 Sendo A o determinante das incógnitas do sistema anterior, a treliça 
complexa será, de fato, isostática se ele for diferente de zero. 
Se o determinante for nulo, isto indicará que a treliça complexa é uma 
forma crítica (instável). 
Generalizando, podemos enunciar o seguinte roteiro para resolução de 
treliças complexas pelo método de Henneberg: 
I?) rompemos barras (o menor número possivel) na treliça complexa dada, 
substituindeas por igual número de barras, de tal modo a obter uma treliça 
simples de substituição; 
20) obtemos os esforços normais na treliça simples de substituiçáo devidos 
a) ao carregamento externo aplicado (No) 
b) a pares de cargas unitárias, de sentidos opostos, colocadas nos nós extre- 
mos e na direção de cada uma das barras rompidas na treliça complexa dada 
( N I , N Z . . . . N ~ ) ; 
30) caiculemos os valores das forças X, tais que façam com que os esforços 
normais, na treliça de substituição, nas barras cnadas no lugar das rompidas, 
sejam nulos, a partir de um sistema de equações da forma: 
(Esforço normal final é 
nulo na barra @ de 
substituiçáo) 
(Esforço normal final é 
nulo na barra @ de 
substituição) 
, , ... 
O L@+ A, : t @xi + + N,, x,, = O [Esforço normal final 6 
nulo na barra @ de 
substituição) 
40) os esforços normais corretos atuantes na treliça complexa são dados, em 
cada barra, por: 
I . . . ... N = No + N, X, + + NiX, + + NnXn, sendo No, Ni, .... Ni, .... N, 
I 0s esforços definidos na 2a fase do método. 
I Obsemções: 
a) Quando forem estudadas as estaturas hiperestáticas (no Vol. I1 deste 
CUBO), o leitor notará a grande semelhança de concep+%o existente entre o 
244 Curso de análise estrutural 
método geral de resolução das estmturas hiperestáticas (método das forças) 
e o método geral de resoluqão das treliças complexas (método de Henneberg). 
A única diferença é que, no caso do método das forças, as equações são de 
compatibilidade elistica e, no método de Henneberg, de compatibilidade 
estática. 
b) A resolução das treliças complexas é, evidentemente, muito mais traba- 
lhosa que a das demais treliças isostáticas, daí o seu nome. 
c) A condição de forma crítica (treliça instável) para uma treliça complexa 
é que o determinante das incbgnitas X do sistema de equações seja nulo. 
d) Na grande maioria dos casos comuns de treliças complexas, basta se 
fazer a substituição de uma de suas barras para transformá-la numa treliça 
simples. Servem como exemplos as treliças complexas das Figs. IV-103.1 a 
N-107.1, cujas treliças simples de substituição estão indicadas nas Figs. IV- 
103.2 a IV-107.2. (As barras de substituição, para melhor identificação, 
estão indicadas em tracelado.) 
Estudo das treliças iroabticsr 246 
e) Em alguns casos de simetria da treliça complexa e do carregamento 
atuante, podemos resolvê-la sem ter que empregar o método de Henneberg, 
conforme ilustra o caso da treliça simétrica da Fig. IV-108 submetida ao 
carregamento indicado. (Esta treliça duma treliça ciássica, denominada treliça 
Wichert, muito usada em pontes.) 
246 Curso de análise estrutural 
Devido à simetria existente, podemos afirmar que as reações em A e B 
são iguais, sendo as reaçóes de apoio, entáo, as indicadas na Fig 1V-108. 
A partir da seçáo de Ritter S-$, temos, conforme indica a Fig. IV-109, 
Por 
CME = O : Vl(li + I,) t-- v2a P I 2 = O 2 cos <r 
(O valor do esforço normal na bana FD foi obtido pela análise do equilibrio 
do nó D.) 
A condição de equilíbrio C Y = 0-das forças da Fig. IV-108, nos permite 
escrever: 
2 V i + v , - 2 P = o O 
\ Fig. IV-109 
As equações e @ formam um sistema qde, resolvido, nos fornece os 
valores das reaçks de apoio, a partir dos quais podemos traçar o cremona 
para a treliça, desta forma, resolvendo-a. 
6.3 - Aplicações 
Ex. IV.17 - Resolver a treliça complexa da Fig. 1V-110. 
I Estudo das treliças isostáticas 247 
Adotando-se a mesma numeração adotada na exposição teórica, temos: 
I?) Treliça de substituição 
Substituindo-se na treliça dada, a barra A F pela barra EC, obtemos a treliça 
de substituiçáo indicada na Fig. IV-I 11. 
20) Esforços normais na treliça de substituiçáo 
a) Para o carregamento externo (No) 
Estando as barras com esforço nulo indicadas em pontilhado, temos, a 
partir do cremona da Fig. IV-112.2, os esforços normais, indicados em tonela- 
das na Fig. IV-112.1. 
I I Escala do cremona : lcm-lt 
TV-II2.l IV-112.2 
248 Curso de análise emutural 
b) Para XI = I 1 (NI) 
Temos, a partir do cremona da Fig. IV-113.2, Os ~?sforços normais, 
indicados em toneladas na Fig. [V-1 13.1. 
Fig. [V-1 13.1 
Escala do cremona : lcm -L 0.4~ 
Fig IV-113 
Observação: No traçado do cremona, supusemos a existência de uma 
rótula no cruzamento das barras CG e RE, a fim de não haver ambiguidade 
na notação de Bow. (Isto não altera a estaticidade da treliça, pois equivale à 
introdução de um novo nó e de duaz novas barras.) 
Estudo das treliças isústáticas 249 
Resumindo, temos: 
30) Cálculo de X, 
Impondo a condição de ser nulo o esforço normal na barra CE, temos: 
yOE+~1xI = O :. -0 ,9-0,6X1 = O Xi = -1 ,s 
40) Esforços finais 
Os esforços finais nas barras valerão, então: 
V = No - 1,5N, 
250 Cuno de andlise emumia1 
Seu cálculo está feito na tabela ar~tenor e os resultados indicados, em 
toneladas, na Fig. 1V-114. 
I 
Ex. N.18 - Mostrar que a treliça complexa da Fig. IV-115 é uma forma 1 
crítica. 
~ ~ d o das treliças ismtáticas 251 
7 - TRELIÇAS COM CARGAS FORA DOS NÓS 
7.1 - Método de resoluçáo 
Seja a treliça da Fig. IV-117, submetida ao carregamento indicado. 
Fig. IV-I15 
Bastará mostrar que o determinante das incógnitas no método de 
Henneberg é nulo. 
Sendo a treliça de substituição a da Fig. IV-116, obtida pela substituição 
da barra EF pela barra FI, temos, fazendo 
X , = l : N P = O 
Fig. IV-1 16 
Sendo este valor, no caso, o determinante da incógnita (Única) X,, con- 
cluímos que a treliça dada é uma forma crítica, sendo então instável. 
Fig. N-117 
A barra FG tem carregamento diretamente nela aplicado, carregamento 
este mdicado em separado na Fig. IV-118.1 e que pode ser encarado como 
a superposição dos carregamentos das Figs. IV-118.2 e IV-118.3,em que as 
forças F, e F2, na Fig. IV-118.2, são duas forças tais que equilibrem o 
carregamento atuante na barra. 
Fig. IV- 11 8 
(Notar que uma das forças pode ter direção inteiramente arbitrária, sendo 
a da outra determinada de tal forma que as suas direções se interceptem com 
a da resultante das cargas atuantes sobre a barra num mesmo ponto.) 
A partir da Fig. IV-118, podemos dizer imediatamente que a resoluçãõ 
da treliça dada é a soma dos dois casos indicados nas Figs. IV-119.2 e 
IV-119.3. 
252 Cursa de analise estrutural 
Fig. IV-119 
A resolução do caso da Fig. IV-119.2 não apresenta dificuldades, pois 
trata-se de uma treliça com cargas nos nós, problema este mja solução já 
foi estudada no itzm anterior; maissimples ainda é o caso da Fig. IV-119.3, 
pois, como o carregamento aplicado é auto-equilibrado, não existirão reaçáes 
de apoio nein esforços normais nas outras barras da treliça que não FG 
trabalhando, para ele, apenas esta última, segundo o esquema da Fig. IV- 
118.2. ' 
Em resumo, os esforços normais (definitivos) em todas as barras descarre- 
gadas serão os obtidos pela resoluçáo da treliça para o carregamento indicado 
na Fig. IV-119.2; a barra carregada FC deverá ser estudada para a superposi- 
ção dos dois casos da Fig. IV-119 (o primeiro fornecendo um esforço normal 
N, e o segundo dado pela Fig. IV-118.2), tendo, então, o esquema de cargas 
indicado na Fig. IV-120, a partir do qual podemos traçar seus diagramas soli- 
citantes. 
Partido das conclusões deste exemplo, podemos estabelecer o seguinte 
roteiro para a resoluç20 de treliças com cargas fora dos nós: 
1) substituímos as cargas atuantes diretamente nas barras por duas forças 
agindo nos 116s que limitam estas b m , forças estas que devem ter a mesma 
;tudo das treliças isastáticas 253 
sultante que a das cargas agindo sobre as barras (as cargas já atuantes nos 
nos são evidentemente mantidas); 
2) resolvemos a treliça para o carregamento assim obtido; 
3) os esforços normais finais, atuantes nas barras primitivamente descarre- 
das, são os obtidos em 2; 
4) as barras primitivamente carregadas ficarão submetidas a diagramas 
~licitaiites, obtidos destacando-as da treliça e aplicando-lhes o carregamento 
sobre elas existente, acrescido das duas forças mencionadas em 1, aplicadas 
com sentido inverso, e de duas forças axiais opostas, aplicadas em suas 
extremidades e iguais aos esforços normais obtidos em 2 para estas banas. 
Observação: Quando todas as forças aplicadas na treliça sáo paralelas, é 
muito mais cõmodo se utilizarem as forças substitutas (a que se refere o 
iteni 1 do roteiro de resolução indicado), paralelas à direção do carregamento 
atuante. 
7.2 - Aplicações 
Ex. IV.19 - Traçar os diagramas solicitantes para a treliça da Fig IV-121. 
Fig. IV-121 
As reaçáes de apoio valem: 
P O r C M A = O . . . ~ V B = l X 3 + 1 X 7 + 6 X 4 + 4 X 1 , 5 X S :. 
.. VB = 1 6 t 
Por 2 Y = O . . VA = 2 t, estando seus sentidos indicados na Fig. IV- 
121. 
Temos duas barras com carregamento diretamente aplicado sobre elas 
(DE e DC). 
254 Cursa de analise emutaiml Estudo das treliças isostáticas 255 
As forças de substituição (Fc, FD, FE) estão indicadas nas Figs. IV-122 
e IV-123; aplicando-as na treliça em sentido inverso (aliadas as forças já 
existentes nos nós), obtemos o esquema da Fig. IV-124, cujos esforços 
normais estão indicados, em toneladas, na própria figura. 
Fig. 1V-122 
Fii. iV-123 
Para as barras AE, EC e AC (barras primitivamente descarregadas), estes 
esforços normaisjá serão finais;as barras DE e DC (primitivamente carregadas) 
ficarão submetidas a diagramas solicitantes determinados a partir dos esque- 
mas de forças indicados nas Figs. IV-125 e IV-126 (representando a super- 
posição dos esquemas das Figs. IV-122 e IV-123 com os esforços normais 
obtidos na Fig. IV-124). 
Os diagramas solicitantes finais são, então, os indicados na Fig. IV-127. 
258 Cuno de snhlise estrutural 
Obseiw@o: Notar que, para a barra CD (barra com carregamento per- 
pendicular a ela), o diagrama de esforços normais é dado diretarnente, a par- 
tir do esquema da Fig. IV-124 e os diagramas de esforços cortantes e de 
momentos íietores são obtidos a partir do esquema da Fig. IV-123 (esquema 
de viga biapoiada). 
Ex. N.20 - Obter os esforços normais atuantes nas barras @) a @ da 
treliça da Fig. IV-128. 
t v;,, * t 
+ - 3 m + a 4 ~ 1 - 3 m + + 2 ~ ~ 
Fig. N-128 
Conforme a obseivação d contida no tópico 5.2 deste capítulo, a treliça 
dada resulta da substituição das banas EF, FC e CH da treliça da Fig. IV-129 
pelas treliças secundárias indicadas na Fig. IV-128. 
~ ~ t ~ d o das ireiiças isostáticas m 
Resolvendo a treliça da Fig. N-129, temos, devido às cargas de 2 t atuan- 
tes no meio das barras EF, FC e GH, forças de substituição de 1 t atuantes 
nos seus extremos, conforme indica a Fig. 1V-130, conduzindo ao esquema 
de resolução para a treliça dado na Fig. N-131. 
Fig. IV-130 
Fig. IV-131 
A partir do esquema da Fig. IV-131, obtemos na barra FG o esforço 
nonnal 
Os esforços normais nas barras @ a @ são, então, obtidos partindo do 
$quema da Fig. IV-132.1 e seus valores, obtidos do cremona da Fig. 
f-132.2, são: 
Q i i N-129 
''h = Nk) = - 6,08 t e NO = = N~ = O, 
258 Cuno de análise estrutural 
Escala do cremona :lcrn-lt 
Vi. N-132 
~ ~ d o das treligas isostáticas 259 
,,,as), num número total de 12. Sendo 4 o número de nós, o número de 
para determinação dessas incógnitas é também 3 X 4 = 12, tratando- 
%, pois, de uma treliça isostática e indeformável. A partir deste exemplo, 
dizer também que um ponto fica fixo no espaço se estiver ligado, 
através de três barras não-coplaoares todas as três, a três outros pontos fxos. 
Seja, agora, a treliça da Fig. IV-134, constituída internamente por um 
tetraedro ABCD e sendo apoiada externamente sobre seis barras-apoios do 
1 0 gênero, apoios externos esses que são isostáticos (possuímos as seis equa- 
ções universais da Estática no espaço para determinar estas 6 reaçaes de 
apoio), desde que seus eixos não possam ser interceptados, todos, por uma 
mesma reta ou desde que não sejam, todos eles, paralelos entre si. Temos, en- 
tão, no caso, 12 incógnitas (esforços normais nas 6 barras do tetraedro e 
6 reações de apoio) e 12 equações de equilíbrio (nSs A , B, C, D ) sendo ela 
então isostática. 
8 - INTRODUÇ~O AO ESTUW DAS TRELIÇAS ESPACIAIS 
a) Seja a treliça da Fig. N-133, cujas barras AD, BD e CD não são, todas 
as três,coplanares. 
b) A pai 
Ias treliças 
'L ""-& 
'I 
Em se tratando, pois, de uma estmtura no espaço, a análise do equilibno 
de cada nó será regida pelas três equações 2 X = 0, 2 Y = O e Z Z = 0, i 
que regem o equilíbrio de um ponto material no espaço. O número de 
incógnitas do problema é igual a (3 X 3 reações de apoio + 3 esforços flor- 
lares), ten 
reliças sim 
>asso, a f 
r., .-, - 
Fig. lV-134 
'tir destes 
simples na 
: I__ i 
-*. r a ~ ~ ~ i i u u uas duas configurações fundamentais de treliças isostáticas 
no espaço, dadas pelas Figs. IV-133 e IV-134, obtivemos novas treliças, 
obtidas pela adição, a partir da treliça já existente, de três a três novas barras, 
cada tr2s delas concorrentes num novo nó (e não sendo todas as três copla-. 
I rmadas novg treliças isostáticas, % quais chamaremos 
t exemplos das Figs. IV-135 e IV-136 representam, passo a 
1 das treliças simples indicadas nas Figs. IV-135.3 e 
:mos foi 
ples. Os 
armação 
dois exemplos, podemos estabelecer a lei de fo~mação 
I espaço que é, então, a seguinte. 
260 Curso de analise estrutural 
Observação: Para o exemplo da Fig. IV-136, não representamos os seis 
apoios do 19 gênero para não carregar a figura. 
Os esforços normais, numa treliça simples no espaço, serão determinados 
pela analise sucessiva do equilibrio de cada um de seus nós, que deve ser 
iniciada evidentemente pelos nós em que só tenhamos três esforços normais 
a determinar. prosseguindo-se desta maneira até o fim. Estes esforços normais 
podem ser determinados analiticamente (escrevendo-se as equações 2 X = 0, 
ZY = O e XZ = O em relação a 3 eixos triortogonais), ou graficamente 
(utilizando-se a Geometria Descritiva). 
c) Sendo n o número de nós da treliça, b o seu número de barras e r o 
número de reações de apoio a determinar, as condições necessárias para que 
esta treliça seja hipostática, isostática ou hiperestática são, respectivamente: 
b + r < 3 n , b + r = 3 n , b + r > 3 n . 
Por motivos inteiramente análogos aos apontados para astreliças planas 
no item 2 deste capitulo, as condiçóes b + r = 3n e b + r >3n são apenas 
necessárias para que a treliça seja, respectivamente, isostática ou hiperestática; 
apenas a condição b + r < 3n é necessária e suficiente para que a treliça seja 
hipostática. 
Estudo das treliças isostáticas 261 
d) Analogamente também ao caso das treliças planas, as treliças isostáticas 
no espaço podem ser classificadas, quanto à sua lei de formação, em simples, 
compostas e complexas. 
Observação: A lei de formação das treliças simples já foi estudada no tópi- 
co a deste item. 
e) As treliças compostas resultarão, como no caso das treliças planas, da 
associação de treliças simples por uma interligação isostática que, no caso de 
treliça espacial, é dada através de seis barras, não concorrentes todas elas 
no mesmo eixo, nem paralelas, todas elas, entre s i 
O exemplo da Fig. IV-137 esclarece esta lei de formação. 
No caso, temos as duas treliças simples tracejadas, unidas pelas barras 
@ a @ , ficando então constituído um todo internamente rígido, apoia- 
do sobre os seis apoios do 19 gênero indicados, que dão rigidez externa ao 
conjunto. 
Para resolver esta treliça composta, agimos como no caso das treliças 
planas, cortando as barras de ligação por uma seção de Ritter e obtendo 
seus esforços normais a partir da análise do equilíbrio de um dos trechos em 
que a treliça ficou dividida por esta seçáo. Conhecidos os esforços normais nas 
barras de ligação, recai o estudo de treliça composta no das duas treliças 
simples que a constituem. 
f) As treliças complexas são classificadas, por exclusáo, como sendo as 
treliças isostáticas que não são simples nem compostas. Seu método geral de 
resolução é ainda o método de substituição de barras de Henneberg, obedecen- 
'0 ao roteiro indicado no item 5 deste capitulo. Como exemplo de treliça 
262 Curso de analisa emutural 
complexa, apresentamos a treliça auto-equilibrada da Fig. N-138.1, cuja 
análise deverá ser feita a partir da treliça simples de substiniição da Fig. 
IV-138.2, onde indicamos a barra de substituição em tracejado. 
No caso das treliças complexas deverá ser feita sempre a verificação de 
que ela não se trata de uma forma critica, verificação esta feita a partir da 
condição do determinante das incógnitas do método de Henneberg ser 
diferente de zero. 
a) Em muitos casos (que náo trataremos nesta Intmdução ao estudo dar 
treliças no espaço), o estudo da treliça espacial pode ser muito simpluicado a 
partir de considerações de simetria ou a partir da divisão da treliça espacial 
dada, em função do carregamento atuante, em treliças planas que a consti- 
tuam. 
b) Recomendamos ao leitor que desejar se aprofundar um pouco mais no 
estudo das treliças espaciais a leitura do capítulo correspondente no livro 
Theov of Smctures de S. Timoshenko e D.H. Young. 
~ ~ m d o das treliças irortáticas 263 
9 - PROBLEMAS PROPOSTOS 
' 9.1 - Classificar, quanto estaticidade, as treliças da Fig. IV-139. 
.I 
- 
TV-139.1 IV-139.4 
TV - 139.2 N - 139.5 
IV-139.3 N-139.6 
Fig. IV-139 
la$sificar, quanto a lei de formação, as treliças isostáticas da Fig. 
264 Curso de análise esirutural 
9.3 - Obter os esforços normais atuantes na treliça da Fig. IV-141. 
Pig. IV-141 
9.4 - Idem, para a treliça da Fig. IV-142. 
- 
t 
& - a - - - - - & a - a & a 4 
P i i 1V-142 
9.5 - Idem para a treliça da Fig. íV-143. 
Pig. N-143 
~snido dar treliças iratáticas 
9.6 - Idem para a treliça da Fig. 1V-144 
9.7 - Faltani seis diagonais. uma para cada painel retangular, para a treli- 
ça da Fig. IV-145. Pede-se: 
a) dispor estas diagonais de modo que trabalhem h traGZo para o carrega- 
nietito iiidicado: 
b) calcular os esforços' normais em todas as barras para o carregamento in- 
dicado. 
178. IV-145 
9.8 - Determinar os esforços normais atuantes na treliça da Fig. [V-146. 
266 CUM de analise estrutural ~stpdo das treliças isostáticas 267 
9.9 - Idem para a treliça da Fig. IV-147. 
9.10 - Idem para a treliça'da Fig. IV- 148. 
9.1 1 - Idem para a treliça da Fig. IV-149. 
9.12 - Idem para a treliça da Fig. IV-150. 
(Sugere-se verificar previamente que barras têm esforço 
- - - - - 
normal nulo.) 
Fig. IV-150 
9.13 - Idem para a treliça da Fig. IV-151, a j a s barras AB, BC, Ca 
u E , EF e FG constituem um semi-octógono regular. 
9.14 -.Idem para a treliça da Fig. IV-152. 
-a+a+a+a+a+a+ 
Fig. W-152 
9.15 - Idem para a treliça da Fig. N-153. 
+-h-a+a+-k 
Fig. 1V-153 
i' 
9.16 - Idem para a treliça da Fig. IV-154. 
9.17 - Demonstrar que as treliças complexas da Fig. IV-155 sáo formas 
criticas. 
+ .+s+.+.+.+ 
9.18 - Obter os diagramas solicitantes para o reticulado da Fig. IV-156. 
Emido das treliças ioortdticas 269 
9.19 - Idem para o reticulado da Fig. TV-157. 
9.20 - Deteminar os esforços normais atuantes nas barras da treliça da 
Fig. TV-158. Sugerw levar em conta a simetria existente. 
270 Cursa de andlise estrutural Estudo das treliças isortaticas 271 
10 - SOLUÇÃO DOS PROBLEMASPROPOSTOS 3 
9.1 - a) 2 vezes hiperestática; b) isostática; c) hipostática; d) isostitica; 
e) isostática; f) 3 vezes hiperestitica 
9.2 - a) simples; b) simples; c) complexa; d) simples; e) complexa; 
O composia 
9.3 
AS barras de treliça desenhadas em pontilhado nas respostas têm esfoqo normal 
nulo(náo trabalham) para o carregamento indicado. 
272 Curso de analise estrutural Emdo das treliças isonáticas 273 
274 Curto de anáiire anutural 
9.18 - Além dos esforços normais da figura seguinte, a barra horizontal supe- 
dor possui os diagramas suplementares indicados à parte: 
9.19 - O reticulado trabalha exclusivamente ao esforço normal, à exceção da 
bana AB (com a carga de 4t), submetida aos diagramas suplementares indica- 
dos à parte. 
-P& 
9.20 - As 8 barras inclinadas têm N = 7 e as 4 situadas no plano hori- P 
mntal têm N = +-. A 
CAPITULO V 
STUDO DAS ESTRUTURAS 
~OSTÁTICAS NO E S P A ~ 
- ,,. co>o DAS GRELHAS ISO~ATICAS 
Ja sabemos que um sistema de forças no espap, referidas a um sistema 
d, y, z, 6 regido pelas seis equaçoes universais da Estática 
r Z Y = O , X Z = O , Z M x = O , Z M y = O , Z M z = O , 
s três primeiras que a resultante das forças 6 nula e as trés 
seu momento resultante também 6 nulo. 
.cando a 
mas que 
Seja, agora, o caso particular de um 
sistema de forças no espap, todas 
elas paralelas entre si, conforme indica 
a Fig. V-1 . 
Sendo todas as forças paralelas ao 
eixo O,, verificamos que as equaç6es 
da Estátii Z X = O, ZY = O e Z M z =O 
se transformam em meras identidades, 
pois, se todas as forças sao paralelas 
ao eixo 02, elas nao terãõ componentes 
nas direçóes dos eixos Ox e 'Oy nem 
P i i v-1 fornecerão momentos em relaçgo ao 
eixo Oz, por lhe serem paralelas. Per- 
manecerao d i d a s como equaçóes ape- 
Is restantes, isto é., ZZ = O, EMx = O e EMy = 0. ias as tr4 
276 Curso de anáiisa emuhiral 
Podemos afirmar, então, que um sistema de f o r p paralelas no espap é 
regido por três equações da Estitica, sendo duas de momentos nulos em 
relação a dois eixos situados num plano perpendicular ao das forps e a 
terceira da soma das projeçôes de todas as forps igual a zero, segundo um 
&o que lhe seja paralelo.' 
Definiremos como uma grelha a uma estrutura plana submetida a carrega- 
mento perpendicular a seu plano. 
Tendo em vista esta definiçso e a introdugo dada no item anterior, 
supondo que o plano da grelha seja o plano xy, ela ser4 regida pelas três 
equaçóes da Estática ZZ = O, CM, = O e ZMy = 0. 
'Confome vimos no Cap. I deste volume, poderiam ser empregadar também três 
squaçães de somathio de momentos nulo em relação a très eixos situados no planoV 
e não concorrentes, os 1x89, nummesno ponto (ver Cap. I, item 3.1.2). 
uma grelha será então isostática quando tivemos apenas três inc6gnitas 
a determinar. Os tipos mais comuns de grelhas isostdticas sBo os indicados 
nas Figs. V-2.1 e V-2.2. 
NO p h e i r o caso, temos uma grelha engastada e livre, cujas reações de 
apoio TD, MD e VD no engaste são obtidas, respectivamente, pelas equaçóes 
= O , EMY = O e ZZ = O. 
No segundo caso, temos uma grelha triapoiada, cujas reações de apoio 
podem ser determinadas por equaçóes independentes uma da outra, obede- 
tendo-se à sequência a seguir. Tomando, inicialmente ZMretaBC = 0, 
obtemos VD (já que VB e VC interceptam a reta BC); a seguir, a condição 
C M , ~ ~ ~ = O nos fornece VB e, finalmente, por C Z = 0, calculamos Vc, 
ficando de posse de todas as reações de apoio. 
Conhecendo as reaçóes de apoio, passemos à determinação dos esforços 
)licitantes atuantes numa seçáo genérica S de uma grelha. 
Reduzindo as forças atuantes num dos lados desta seção genérica S ao 
:u centro de gravidade, obtemos a força Q (perpendicular ao plano P da 
gelha) e o momento % (situado no 
plano P da grelha, pois o momento 
resultante de um sistema de forças 
paralelas em relação a um ponto qual- 
4' i num plano perpendicular 
a( is) indicados na Fig. V-3. 
m ~ i momento % pode ser decom- 
posto numa componente T, tendo a 
direção do eixo da barra (que é, con- 
fome vimos no Cap. I, o momento 
torço1 atuante na seção) e numa com- 
[/* 
Ponente M2 situada no plano da grelha ~ i g . v-3 
e Perpendicular ao eixo da barra em 
questão (que 6 o momento fletor 
atuante na seção e que produzirá uma 
flexão da barra no plano perpendicular 
ao da greha). 
Podemos afirmar então que, numa sego genérica de uma grelha, podem 
atuar três esforços simples: yn esforp cortante Q, perpendicular ao plano 
da grelha. um momento fletor M, produzindo flexão num plano perpendi- 
cular da grelha e um momento torçor T. 
Isto Posto, a obtençxo dos diagramas solicitantes numa grelha será 
conforme esclarecerão os exemplos do item seguinte. 
uer se situa 
) das força 
n... 
278 Curro de análise estrutural 
Observações: 
a) No caso de uma grelha triapoiada, estes apoios nzo devem estar situados 
sobre uma mesma reta; caso isto ocorra, ela será evidentemente hipostática. 
b) Ainda sobre o caso de uma grelha triapoiada, ela deve ter, al8m dos 
três apoios perpendiculares a seu plano (que garantem sua estabilidade 
como grelha, isto 6 , para carregamentos perpendiculares ao plano da 
estrutura), pelo menos, mais três apoios no próprio plano, que garantam 
sua estabilidade para carregamentos nele atuantes. É o que indica a Fig. V-4, 
na qual os apoios do 19 genero B, C e E, normais ao plano P, funcionaráo 
para carregamentos perpendiculares ao plano P e os apoios A e D, perten- 
centes a P seráo solicitados apenas para carregamentos atuantes no próprio 
plano i? 
& 
Fig. V 4 
Como estes últimos apoios náo funcionarão para carregamento perpendi- 
cular ao plano (caso que estamos estudando), nós náo os desenharemos, em 
geral, para as grelhas triapoiadas, a fim de simplificar sua representação. 
Foi o que fuemos, por exemplo, no caso da Fig. V-2.2. 
c) A resolução de uma estrutura plana submetida a um carregamento o mais 
geral possível, isto é, oblíquo a seu plano, se fará da seguinte maneira: 
decompondo o carregamento oblíquo em componentes perpendiculares ao 
plano e em componentes pertencentes ao plano, o estudo das primeiras será 
o de uma grelha (estrutura plana carregada perpendicularmente a seu plano) 
e o das últimas será o de uma estrutura plana com carregamento atuante no 
próprio plano (estudo este já feito, para os diversos tipos estruturais isostá- 
ticos, nos capítulos anteriores). 
Supondo xy o plano da estrutura, para uma seção S de uma barra paralela 
i direção y, por exemplo, o primeiro caso (grelha) nos fornecerá um esforço 
cortante Q,, um momento torçor T e um momento fletor M,; o segundo 
caso (estrutura plana propriamente dita) nos forneceri um esforço nomalN, 
um esforço cortante Q, e um momento fletor M,, conforme indicam as 
Figs. V-5.1 e V-5.2. 
*do das estruturas imstáticas no arpaço 
1' 
V-5.2 - Estnituia plana 
Ng. v-5 
Todos estes esforps Q,, T, M,, M,, N e Q, sáo finais, pois não M 
esforças de mesmas naturezas e mesmas direçoes nos casos das Figs. V-5.1 
e V-5.2. Desta forma, para se obter diagramas solicitantes numa estrutura 
plana submetida a um carregamento qualquer, resolvemos separadamente os 
dois casos em que este carregamento se decompoe (grelha e estrutura plana 
propriamente dita) e os diagramas solicitantes de cada um destes dois casos 
de carregamento são os finais. 
1.3 - Aplicações 
Ex. V.1 - Obter os diagramas solicitantes para a grelha da Fig. V-6, cujas 
barras formam, em todos os nós, ângulos de 90" 
se tratando de uma grelha engastada e livre, não é necessário fazermos 
0 cálculo prbvio das reações de apoio, pois os diagramas solicitantes podem 
ser obtidos entrando-se com as forps do lado do balanço. 
Faremos sempre a análise das grelhas barra por barra', iniciando, no 
caso, pela barra AB, que funcionará como uma viga engastada em B e livre 
'A análise pode ser feita para a estmtura em conjunto, isto é, .calculando-se os 
esfOr~os simples numa segão, entrando diretamente com as forças atuantes num dos 
preferimos, entretanto, a análise barra s barra, porque nela estaremos sempre 
lidando Com vigas retas (planas), cuja analise é muito mais simples e menos passível 
de erros. 
280 C u m de analise emutural 
e& A, segundo o esquema da Fig. V-7.2. A seguir, podemos estudar a barra 
BC, eliminando a bana AB da estmtura, desde que reduzamos o carrega- 
mento desta para o nó E, o que está feito na Fig. V-7.3. Ela funcionará, 
entxo, como uma viga engastada em C e livre em i?, tendo os diagramas 
de momentos fletores e esforços cortantes dados pelo carregamento vertical 
e o de momentos torçores, constante, dado pela carga momento de 3 mt 
aplicada em E. Finalmente, reduzindo este carregamento BC para o nó C, 
podemos eiiminar a barra BC e restar-nos-á para a viga CD o esquema da 
Fig. V-7.4, em que a carga momento de 3 mt (tracionando as fibras 
superiores, conforme indica a regra da máo direita) e a carga vertical de 
7 t são responsáveis pelos diagramas de momentos fletores e esforços cor- 
tantes e a carga de 12 mt nos dá o diagrama, constante e negativo, de 
momentos torçores na barra CD. Pela análise do equilibrio desta última 
barra, são obtidas as reações de apoio da grelha em D, indicadas na Fig. V-7.4. 
A partir dos esquemas das Figs. V-7.2 a V-7.4, podemos obter imediata- 
mente os diagramas solicitantes para a grelha, que estão representados na 
Fig. V-8: 
 da das esiruturas irostáticar no espaço 281 
aimTi3 
Fig. V 4 
3 Para traçado do diagrama Q, adotouie a mesma convenção de sinais que aquela das 
estmturas planas (o que sempre se fará). As barras (conforme o caso) foram olhadasde 
frente Ou da dùeita para a esquerda. I$ importante furarmos, a priori, de quelado olha- 
lemos as barras, Pois, dependendo do lado escolhido, o sinal poderá ser um ou outro. 
forma, 0 sinal do diagrama é fungo do sentido, mbitdno, com que olhamos ca- 
i barra) 
282 Cursa de andlite estrutural 
Ex. V.2 - Obter os diagramas solicitantes para a g r e h triapoiada da 
Fíg. V-9 cujas banas formam, em todos os 116.7, ângulos de 90". 
\ As reações de apoio valem: 
Por Z M * B ~ = O 4 V E = l X 4 + 3 X 4 + 4 X 2 :. V ~ = 6 t 
Por Z M E t a ~ ~ = O 2 V s + 3 X 2 = 4 X 2 + 1 X 2 : . V g = 2 t 
Por Z Z = 0 Vc = O 
Por meio de raciochio inteiramente análogo ao do exemplo anterior, 
estudaremos barra a barra isoladamente, com os carregamentos indicados 
na Fig.V-10, a partir da qual obtemos os diagramas solicitantes, represen- 
tados na Fig. V-1 1. No caso,o estudo das barras foi feito na ordem DE, 
FE, EC, CB, AB. 
Estudo das estruturas ixistáticas no espaço 283 
8m< 
Fig. V-l l 
Observações: 
a) Para estudo da barra AB, seria evidentemente mais simples entrar-se pelo 
nó A , tratando-a como uma viga engastada em B e livre em A . Preferimos, 
entretanto, manter o mesmo sentido adotado no estudo das demais, a fm 
de podermos, pela analise de seu equil&rio, verificar a correçáo dos cálculos 
feitos (inclusive o das reaçóes de apoio). 
b) Para os exemplos V.l e V.2, a reduqTo dos carregamentos atuantes para 
os diversos nós já nos forneceu dietamente os momentos fletor e torçor 
atuantes nestes nós, pois as barras formaram ângulos de 90' nos nós. Caso 
tal náo suceda, devemos decompor os momentos resultantes desta redução 
ao nó nas direções tangencial (axial) e normal ao eixo da barra que se 
desqa estudar, obtendo, respectivamente, os momentos torçor e fletor no 
nó da barra em estudo. O exemplo V.3 ilustra esta obse~ação. 
Ex. V.3 - Obter os diagramas solicitantes para a grelha da Fig. V-12, 
em que a carga de 2 t B perpendicular ao plano ABC. 
Fig. V-12 
ma para estudo de cada barra se encontra na Fig. V-13 (notar 
que o momento m = 8 f i m t , resultante da redução da carga de 2 t de 
C Para B, forma um ângulo de 135' com a barra AB, no piano da grelha, 
4 ~ s barras foram olhadas, conforme o oso, $e frente ou da direita para a esquerda. Fig. V-I0 
284 Curso de an6lisa ernuiural 
e foi então decomposto nas componentes M e T, normal e tangencial à 
barra AB, respectivamente). 
Fig. V-1 3 
A partir do esquema da Fig. V-13, obtemos os diagramas solicitantes, 
representados na Fig. V-14. 
Iõm, A 
Fig. V-14 
As reações de apoio no engaste A estão representadas na Fig. V-13. 
Ex. V.4 - Obter os diagramas de momentos fletores para a grelha da 
Fig. V-15, a j a s barras formam, em &dos os nós, ângulos de 90'. As barras 
BCD e ADF estão submetidas a um carregamento vertical de 1 t /m de cima 
para baixo e as demais estão descarregadas. 
As incógnitas do problema são em número de oito, quais sejam, as quatro 
reações verticais de apoio (em A , B, G, H ) e as quatro forças verticais 
transmitidas pelas rótulas em C, D, E e F. Como a grelha pode ser decom- 
posta em quatro vigas independentes BCD, ADF, CEH e EFG, cada uma 
delas regida por duas equações de equiliorio (sistema de forças paralelas no 
plano), temos um total de oito equações de equilibrio, através das quais 
determinaremos as oito incógnitas do problema que é, portanto, isostático 
e cuja solução se fará a partir do esquema da Fig. V-16. 
'As banas foram oihadas, mnforme o caso. de frente ou da direita para a esquerda. 
€$tudo dar a t u m irmtáticas no mpaqo 285 
+h&Sm+fim+ 
Fii v-1s 
Fig. V-16 
(Para a barra 1, por ZMB = 0) 
(Para a barra 2, por ZAfA = 0) 
(Para a barra 3, por ZMH = 0) 
(Para a barra 4, por ZMG = 0) 
(Para a barra 1, por Z Z = 0) 
(Para a barra 2, por Z Z = 0) 
(Para a barra 3, por Z Z = 0) 
(Para a barra 4, por Z Z = 0) 
286 Curso de análise esirutural 
Resolvendo, inicialmente, o sistema formado pelas quatro primeiras 
equaçries, obtemos: VC = 2 t , Vu = 6 t , VE = 4 t e VF = 8 t. Introduzindo 
estes valores nas quatro Ultimas equações do sistema, obtemos as reaçoes 
de apoio, que valem: 
O problema esti, entgo, resolvido e o diagrama de momentos fletores, 
obtido a partir do esquema da Fig.V-16, está representado na Fig. V-17. 
Estudo das esttuturas i d t i c a s no espaço 287 
obtençzo dos diagramas solicitantes, que serão determinados por equaçzles, 
no caso, de curvas matematicamente definidas, ou por pontos em caso 
contrário. As grelhas constituídas por barras curvas são denominadas vigas- 
balcão. 
Estudaremos, nos exemplos seguintes, as vigas-balcão circulares, para os 
osos mais usuais de carregamento. 
Ex. V.5 - Obter os diagramas solicitantes para a viga-bala0 semicircular 
da Fig. V-18. 
P 
Fig. V-18 
A 
Nos exemplos estudados até aqui, lidamos sempre com grelhas constituídas 
por barras retas. Se, ao inv6s de termos barras retas, tivermos barras m m s , 
toda a teoria continua, 6 claro, vilida, sendo apenas mais trabalhosa a 
Os esforços h p l e s atuantes numa sego genérica S, definida pelo 
ângulo a, conforme indica a Fig. V-19.1, são obtidos reduzindo-se a força P 
à sepão S, o que é mais simples fazer reduzindo-a, inicialmente, ao ponto C 
(definido na Fig. V-19.2, que representa a viga-balcáo em verdadeira grandeza 
em planta), aparecendo então o momento fletor M (situado na normal à 
sego S) e, após, do ponto C para o ponto S, aparecendo aí o momento 
torcor T. No caso, o momento fletor M traciona as fibras superiores e o 
momento torçor é positivo. 
V-19.1 V-19.2 
Fig. V-19 
A partir da Fig. V-19.2, temos: 
M(a) = i' X E = PR sen a, tracionando as fibras superiores 
T ( a ) = P x C S = P R ( ~ -cosa) 
? (a) = -P 
Os diagramas solidtantes estão, então, representados na Fig. V-20. 
Ex. V.6 - Resolver a viga-balcão semidrcular da Fig.V-21, submetida 
a um carregamento uniformemente distribuído q. 
Os esforços simples atuantes numa seçZo S ser80 obtidos a partir do 
esquema da Fig. V-22, que representa a viga-bala0 em planta, em verdadeira 
grandeza, sendo M o ponto de aplicação da resultante do carregamento 
distribuído atuante no arco AS que 6 , evidentemente, o centro de gravidade 
da linha A S dado a partir do esquema da Fig. V-23, por 
Dai, temos: Q (a) = -qR rr 
a 
IM(a)l = lQ(a)l X E= qRu X 0%~ sen-= 
a 
2 
= 2 qRZ sen2 - , tracionando as fibras superiores 2 a 
T(a) =+lQ(a) l X E = + q R u ( R - ÕjMcos2) = 
' 2 2 u a 
= qR a (1 -- sen - cos -) = qR2 (a - sen a). 
a 2 2 
Emdo das estruturas iwstáticas no espaço 289 
A partir destas expressões, obtemos os diagramas solicitantes, mpresen- 
tados na Fig. V-24. 
bs quadros espaciais isostáticos, que ocorrem na prática com freqiiéncia 
bastante inferior à das estruturas planas e A das grelhas, têm seu equilibrio 
regido evidentemente pelas seis equaçcks universais da Estática 
"x = O, ZY = O, ZZ = O , EM, = O , ZMy = O , EM, = O . 
%o, então, isostáticos, o quadro engastado e livre da Fig.V-25.1 e o 
uadro hexaapoiado (mjos apoios impedem todas as translações p o ~ i v e i ~ 
do conjunto e, também, todas as rotações, por nZo serem, todos eles, 
concorrentes num mesmo eixo) da Fig.V-25.2. Para cada um deles ternos 
as seis reações de apoio indicadas nas-figuras a determinar, o que se fará 
a partir das seis equaçoes universais da Estática. 
290 Curso de andilise estruiural Emido das estruiurat irortdtioas no espaço 291 
Calculadas as reaçPies de apoio, 6 imediata a obtenção dos diagramas 
solicitantes, partindo-se dos conceitos apresentados nos capítulos anteriores. 
O exemplo a seguir esclarecerá. 
Ex. V.7 - Obter os diagramas solicitantes para o quadro espacial engas- 
tado e livre da Fig. V-26, cujas barras formam, todas elas, entre si, ângulos 
de 90'. medindo, todas elas, 4 m. 
Analogamente ao caso das greihas, o estudo da estmtura será feito barra 
por barra, a partir do esquema da Fig. V-27. 
As reaç6es de apoio no engaste E, obtidas pela adiise do equilíbrio da 
barra DE, estão indicadas na Fig.V-27 e os diagramas solicitantes esta0 
representados na Fig. V-28, onde dividimos a estmtuni nas barras ABC, 
- 
FG e CDE, a fun de facilitar a leitura dos mesmos. 
i€+,,, 
Fig. V-28 
Observnções: a) Os diagramas de momentos fletores estão desenhados 
do lado das fibras tracionadas e os sinais dos diagramas de momentos 
torçores, esforços normais e esforços cortantes6 obedecem tis convenções 
apresentadas no Cap. I. 
b) Não apresentaremos exemplificação mais extensa sobre quadros espa- 
ciais isostáticos, devido à baixa frequência com que ocorrem na prática. 
3 - PROBLEMAS PROPOSTOS 
Obteros diagramas solicitantes para as grelhas e vigas-balcão das Figs. V-29 
a V-32. 
.As barras foram olhadas, conforme o caso, de frente ou da direita para a esquerda. 
~ ~ d o das e s í ~ i u r a s imltdlticas no espaço 293 
Fig. V-31 
294 Cursa de anllise esirutural 
3.5 - Obter as equações dos diagramas solicitantes para a viga-balcão se- 
micircular tnapoiada da Fig. V-33, submetida a um carregamento uniforme- 
mente distribuído, q, de cima para baixo. 
Fig. V-33 
, 4 - SOLUCÃO DOS PROBLEMAS PROPOSTOS 
Estudo das estruturas irostáticas no espaço 295 
Noto: pm 0 traçado de Q, as banas foram olhadas de frente ou da direita para a esquer 
da' 
O Caso. Igual procedimento será adotado nos próximos problemas. 
Estudo das astruturas i d t i c a s no asp- 297 
qR lemos: v'=2qR ; V'=T(n-2) 
r As equações são vadas para O á a á - (para a outra metade da viga-balcão, 
2 
conclui-se aue M é simétrico e que Te Q são anti-sim8tricos). 
1.1 - Classifica@o das cargs que atuam nas estruturas 
As caigas que solicitam uma estrutura podem ser classificadas em dois 
grandes grupos: o de cargas permanentes e o de catgas acidentais. 
As cargas ditas permanentes são aquelas que atuam constantemente na 
estrutura, ao longo do tempo, e sào devidas ao seu peso próprio e aos 
revestimentos e matenais de enchunento que ela suporta. O estudo dos 
esforços provocados por elas não apresenta maiores dificuldades, pois 
tratam-se de cargas cuja posição e valor são conhecidos e invariáveis, tendo 
já sido, portanto, estudadas lios capitulas anteriores. 
As cargasditas acidentais, conforme a própria denominação, são aquelas 
que podem ou não ocorrer na estrutura e são provocadas por ventos, 
empuxos de terra ou água, impactos laterais, forças ceiitrífugas, frenagens 
ou acelerações de veículos, sobrecargas (cargas de utilização) em edifícios, 
peso de materiais que váo.preencher a estrutura (caso de reservatórios 
digua, silos, etc.), efeitos de terremoto (de importância fundamental para 
os projetos em regióes sujeitas a abalos sísmicos), peso de neve acumulada 
em regibes frias e, finalmente, pelas assim denominadas cargas móveis, que 
são aquelas devidas a veículos que percorram a estrutura (caso de pontes 
rodoviárias ou ferroviárias, viadutos, pontes rolantes industriais). 
Para fins de análise estática, as cargas acidentais, com exceção das cargas 
móveis, são cargas que têm posição e valor conhecidos na estrutura, podendo 
ou nZo atuar ao longo do tempo. Seus esfoiços são calculados, pois, da 
mesma forma que os devidos a cargas permanentes; trata-se, então, de 
problema já resolvido. 
~ s t u d o das carga5 móveis em etruturar isostáticaa 299 
O mesmo não acontece para as cargas móveis, pois, quando de sua 
ocorrência (embora tenham valores conhecidos), as posiçóes que ocupam 
na estrutura variam à medida que os veículos por elas representados a 
atravessem. Se fôssemos estudá-las pelo processo at6 aqui empregado, 
teríamos que calcular esforços para cada uma das infinitas posiçóes que 
elas podem ter enquanto percorrem a estrutura. Tal forma de tratamento 
é, evidentemente, inadequada e impraticável. Procuraremos, portanto, outra 
forma para resolver o problema das cargas móveis. 
1.2 - DefdçHo das cargas móveis. Trens-tipo 
Feita a conceituação do que seja uma carga móvel, esbarramos na 
complexidade do problema de sua definição nos diversos casos práticos. 
Suponhamos seja nossa missão projetar um viaduto. Que veículos (cargas 
móveis) colocaremos sobre ele? Em que ordem? 
Vemos, logo, que infinitas combinaçóes de veículos nos podem ocorrer; 
qual será a certa, isto 6, qual será a combinapão dentre todas as possíveis, 
que se pode adotar como representativa das diversas situaçóes reais de 
cargas móveis que podem ocorrer durante a vida da estrutura? 
A esta pergunta, diversos pesquisadores, em diversos países, responderam 
com a criação de veículos ideais, denominados trens-tipo (por influencia 
das pontes ferroviárias), definidos pelas normas de projeto de cada país e 
que variam dependendo da natureza e da forma de utilização da estrutura. 
Uma coisa têm, entretanto, os trens-tipo em comum: são constituídos 
por cargas (concentradas e ou uniformemente distribuídas), de valores 
conhecidos e guardando uma distancia conhecida, constante, entre si. Desta 
forma, conhecida a posição de uma das cargas do trem-tipo, conhecemos 
imediatamente a posição de todas as demais. 
Um exemplo representativo de trem-tipo nos é dado pela configuração 
da Fig. V1.1 (note-se que q , , q 2 , P,. P2, ... , Ps, a, ... , f, são grandezas 
conhecidas e de valor c6nstante). 
Fig. VILI 
300 Cursa de análise estruninf 
Devido à possibilidade de tráfego nos dois sentidos, suporemos, em geral, 
que o trem-tipo possa percorrer a estrutura nos dois sentidos (no exemplo 
anterior, estudaríamos as hipóteses das cargas percorrerem a estrutura no 
sentido q l , Pl , ..., q, e no sentido q,, P,, ... , q,) . 
Os trens-tipo mais usuais são aqueles de pontes rodoviárias e de pontes 
ferroviárias. Para obras no Brasil, a o definidos pela NB-6 e pela NB-7 da 
A.B.N.T. e, esquemticamente, são dados pelas Figs. VI-2 e V I 3 para pontes 
rodovigrias e ferroviárias, respectivamente: 
Fig. VI-3 
1.3 - O problema a resolver. Forma de resolução 
O problema que devemos resolver é o da determinação dos esforços 
máximos e mínimos provocados nas estruturas pelas cargas móveis, pois, 
de posse destes valores e conhecendo os esforços devidos as cargas de tipo 
permanente (permanentes propriamente ditas e acidentais não-móveis), sabe- 
remos entre que valores extremos variarão os esforços em cada seção da 
estrutura, tendo, portanto, definida a sua faixa de trabaliio. 
Por exemplo, suponhamos que numa seção de uma viga atue um momento 
fletor de 20 mt devido As cargas tipo permanente e que os momentos máximo 
e mínimo devidos à carga mUvel valliam 60 mt e -40 mt. Esta seção trabalhará, 
portanto, entre os momentos -20 mt e 80 mt, isto é, se for estável para estes 
dois valores, também o será para os demais intermediários. (E por esta razão 
que nosso interesse se concentrará, principalmente, sobre os efeitos máximos 
e mínimos provocados pelas cargas móveis.) 
A forma de resolução do problema será através do processo das linhas 
de influência, que será definido no item a seguir. Este processo terá sempre 
duas fases: suporse$, inicialmente, que o trem-tipo seja constituído por 
uma única carga concentrada unitária (caso mais simples possível para estudo) 
Estudo dar cargas móveis em estruturas isastáticar 301 
e, após, serão feitos os necessários cálculos para se obter os resultados 
levando em conta o trem-tipo real (cálculos estes de enorme simplicidade, 
coiiforme se verá). 
Linha de influència de um efeito elástico E em uma dada sego S B a 
representação gráfica ou analítica do valor deste efeito, naquela seção S, 
produzido por uma carga concentrada unitária, de cima para baixo, que 
percorre a estrutura. 
Por exemplo, suponhamos conhecida a linha de influência de momentos 
fletores na seção S da viga da Fig.VI-4. Baseando-nos na definição anterior, 
podemos escrever que: 
fi = a, para P = I em A 
y = -h, para P = I em E ; 
assim sucessivamente. 
Conforme.se vè, a seção e o efeito estudados são fwos, variando apenas 
a PosiÇãO da carga. Uma linha de influencia não pode, pois, ser confundida 
um diagrama solicitante, visto que uma ordenada de linha de influencia 
Ponto se refere, de modo geral (excetuando-se a ~ossibilidade da carga 
'Obre a própria seção de estudo), ao efeito em outra seção. 
302 Curso de análise earuiural 
Podemos escrever ainda que E = E(2) e, a partir da definição dada, 
estudaremos, para os diversos tipos estruturais com que trabalhamos usual. 
mente, estas funções linhas de influência E@) a fimde, com seu audio , 
conforme veremos a seguir, resolver o problema das cargas móveis atuantes 
em estruturas. 
Observaçáo: E pode ser um esforço, reação ou deformação; em suma, 
um efeito elástico qualquer (deve ser um efeito elástico para que seja válido 
o principio de superposição de efeitos, que será empregado na solução do 
problema, conforme veremos). 
2.2 - Fases de resolução do problema 
A resolução, baseando.se no conceito de linhas de influencia, englobará 
duas fases distintas: 
la fase: dada a estrutura, o efeito 6 e a seção S, obter sua linha de influência, 
2a fase: conhecidos o trem-tipo e a linha de influência (Ia fase), obter os 
efeitos devidos a esse trem-tipo. 
Devido d sua grande simplicidade, resolveremos inicialmente o problema 
da 2a fase. 
2.3 - Obtenção dos efeitos, conhecidos o trem-tipo e a Linha de influência 
a) Seja um trem-tipo constituído pelas cargas eoncentradasp~ , ..., P,, e seja 
a linha de ilifluência da Fig. VI-5. 
L ?i 
Fig. V I S 
O valor do efeito produzido por uma das cargas concentradas P,, a partir 
da definição de linha de ilifluência, 6 P, qj. Pelo principio de superposição 
de'efeitos, quando atuarem todas as cargas. teremos, E s = XPjqi. 
Estudo d a cargas mbveis em estruiurar irostdticas 303 
b) Seja, agora, o caso de um trem-tipo composto por uma carga uniforme- 
mente distribuída q, conforme indica a Fig. VI-6. Teremos: 
ES =Lb (qdz) vi, ou seja 
sendo C2 a área, na i i i a de influência, sob a região ocupada pela carga (a esta 
Irea chamamos área de influencia). 
c) O caso geral será uma superposição dos casos o e b (trem-tipo composto 
de cargas concentradas e distribuídas). Podemos escrever, empregando o 
princípio de superposição de efeitos: 
Para se obter, e~t t io , o efeito produzido por um trem-tipo ocupando 
uma dada posição sobre a l i a de influência (conhecida), basta multiplicar 
cada carga concentrada do trem-tipo pela ordenada da linha de influ8ncia 
sob ela e cada carga distribuída pela respectiva área de influência, somando-se 
0s resultados. 
Observações: a) Os princípios estudados ai6 aqui são válidos para estru- 
turas isostáticas e hiperestáticas. Daqui para frente, estudaremos as estmtwas 
isostáticas. 
b, A partir da expressão VI.1, 6 fácil ver que as unidades das linhas de 
Influência de momeiitos fletores são unidades de comprimento e que as 
Iinhas de influência de esforços cortantes, normais e reações de apoio são 
ad~ensionais. 
304 Curso de an8lise estnitural Estuda das cargas móveis em emuniras isostáticas 3Mi 
2.4 - Obtençáo das linhas de influencia para as estmturas isostáticas 
2.4.1 - Viga engastada e livre + H 
Seja a viga da Fig. VI-7. Estuda- 
remos todos os efeitos estáticos, quais 
sejam, reações de apoio e esforços 
simples. 
Partindo da definiçáo, supomos uma 
carga unitária percorrendo a estrutura, 
definida pela abscissa z. Busquemos 
as diversas linhas de influência, ou 
I 
seja, as diversas funções E(z). Temos: 
a) reações de apoio 
Va = +1 (arbitraremos o sinal @ 
para a reação vertical que for de baixo 
para cima); 
MA = -z (módulo r , 'tracionando as 
fibras superiores). 
b) esforços simples em S. Temos: 
QS- { 0, para z < x +1, para z > x 
M s = { 0, para z Q x 
- (z - x), para r > x 
A representação gráfica das liihas 
de influ6ncia, a partir de suas equações 
E(2). encontra-se na Fig. VI-7. 
Fig. VI-7 
Ex. V1.1 - Obter as reações de apoio máximas para uma viga engastada 
e livre de 10 m de comprimento, provocadas pelo trem-tipo da Fig. VI-8. 
Observaçáo: A carga distribuída interrompida no principio e no fun do 
trem-tipo, indicada na Fig. VI-8, pode ser iniciada e terminada arbitrana- 
mente; ela corresponde à carga de multidão do trem-tipo. Devemos dispô-la 
de modo que ela contribua ao máximo para os efeitos extremos pesquisados. 
I 
De acordo com a Fig.VI-9, temos: 
7 \ 
l t l m 
1 M T ~ = -(20 X 10 + 10 X 7 + a 1 X Z X 10 X 10) = -320 mt (tracionando as 
r r r r r r t t r r f Fig. VI-E 
fibras superiores). I ' 
L. . - t .~ - Viga biapoiada 
/ ) .1 
- 
- ;-' 
\; -. I - . . . De forma análoga ao caso 2.4.1, 
_ 
obtemos as equações E(z) a seguir, 
y - - cuja representação gráfica se encontra I 
va t I th na Fig. VI-10. 
+-i+ 
+ 1 4 L , l , V ~ . 1 : 1 - a) Reaçóes de apoio: 
I 
1 - 2 VA =-. z , , V B = - 1 
I b) Esforços simples: 
I -x, para z > x 
.= { -VB, para z < x VA. para z > x 
306 Curso de analise estrutural 
Observaçdes: a) Conforme vimos nos casos 2.4.1 e 2.4.2, no estudo das 
linhas de influência de esforços simples, devemos examinar sempre separada- 
mente as possibilidades da carga unitária estar A esquerda ou à direita da 
sego em estudo. 
b) A linha de influência de esforço wrtante numa seçXo apresenta sempre 
uma descontiiuidade igual a 1 nesta seção, conforme podemos concluir a 
partir dos casos já estudados. 
Ex. Vi.2 - Para a estrutura da Fig. VI-I I , obter as envoltórias de mo- 
mento fletor e esforço cortante, cotando-as nas seçóes indicadas. São dados: 
I a) Carga permanente: g = 2 tlm 
20t 1 I10t ltlrn 
b) Carga móvel: 5 4 4 4 + 5 
t 3 m + 
c) Estrutura: A @ @ @ B 
I ! 0 
Observação inicial: entende-se por envoltória o lugar geomdtriw dos 
esforços máximos (de ambos os sinais) atuantes em cada s ego da estmtura 
a) A carga permanente atuante provoca os diagramas solicitantes indicados 
nas Figs. VI-12.1 e VI-12.2. 
Estudo das carw móveis em estruturas i d t i c a s 307 
b) Os efeitos máximos da carga móvel nas seçaes indicadas são 
b.1) Seção A 
A partir da Fig. YI-13, temos: 
(+) 1 QAm, = 20 X 1 + 10 X 0.75 + - X 12 X 1 = +33,5 t 2 
(-) 
= 0 
Sendo a seção A o apoio de uma viga biapoiada, temos: MA = O 
b.2) Seção 1: 
Temos, a partir das Figs. VI-14 e VI-15: 
I-) '"H" . I 
' Izm+ p + + ,I? I P.ra 01" - I -1 
I I I 1 ,A-- --- I I Fig. VI-14 
--/i- p2w; +o30 L.1.4 
+I 1---A+0.7-5 I 
308 Cuno de anllire estrutural ~ m i d 0 das cargas mbveis em estruturas irostáticas 309 
C+) 1 Mim, = 20 X 2,25 + 10 X 1,5 + - X 12 X 2-25 = 73,s nii 2 
b.3) Seção 2: 
I / 
L-' 
bn 
Fig. VI-I6 
Como as áreas positiva e negativa da linha de influência da Fig. VI-16.1 
são iguais, temos, para esforços cortantes: 
Para momentos fletores temos, conforme a Fig.Vl-16.1: 
(+), i M 2 m a x = 1 0 X 3 + 1 0 X 1 , 5 + i X 1 2 X : = 0 3 n l t 
- 
b.4) Para seçses simbtricas em relação h seção 2, podemos verificar facil- 
lente que as linhas de influência de momentos fletores são sim6tricas e 
i de esforço cortante sáo anti-simitricas (mesmosmódulos e sinais opostos), 
e modo que podemos escrever imediatamente: 
(+) = 73.5 mt; Qlmax c+), = +5,4t; Qi.,, (-) = -23,4t; 
(+I (-1 9 . = O; Q B ~ ~ ~ = -335 t. max 
) Quadro de valores e envoltórias 
Para momentos fletores temos, a partir do quadro de valores a seguir, a 
involt6ria da Fig. VI-17. 
A 1 2 1 B 
de momentos fletores 
Para esfi 
as en,,i.;. 
Seção Carga 
27 
(Valores em mt) 
Drços cortantes, temos, a partir do quadro de valores a seguir, 
a s indicadas na Fig. VI-18. 
Curso de an8lire esirutural ~studo das wrgas móveis em estruturas ioostáticas 
- 
Carga Móvel Envoltória 
Carga Seção Permanente o O 
1 t 6 +23,4 -5,4 +29,4 (+0,6) 
2 O + 14 - L4 + 14 -14 
1 - 6 +5.4 -23,4 (-0,6) -?9,4 
B - 12 . O -33,5 (- 12) -45.5 
(Valores em t) 
Fig. VI-1 8 
ObservaçZes: a) A faixa de trabalho da estrutura é a delimitada pelas 
envoltórias dos dois sinais ou, no caso da existência de esforços de um 
único sinal (Fig. VI-17), é a delimitada entre o diagrama devido As cargas 
permanentes e a envoltória obtida. 
b) Até o presente instante, lidamos com trens-tipo bastante simples nos 
exemplos feitos, tendo sido, portanto, fácil chegar-se à posição que acarreta 
osefeitosmáximos. Caso, entretanto, os trens-tipo se tornem mais complexos, 
necessitaremos do auxílio de alguns teoremas, que estudaremos 'a seguir, 
para nos indicar a posição que conduz aos efeitos mais desfavoráveis. 
2.4.2.1 - Pesquisa dos valores máxiinos 
2.4.2.1.1 - Teorema geral 
"Ocorrerá um efeito máximo quando m a das cargas concentradas do 
trem-tipo estiver sobre wn dos pontos angulosos da Linha de influência em 
questáo." 
az dr dz dz 
++ .+-c ++ W 
A partir do esquema da Fig.VI-19, usando o procedimentb clássico do 
Cálculo Infinitesimal, damos um acréscimo dz à variável independente; a 
variável dependente E sofrerá um acréscimo dE, e de valor. 
unponao a condição de máximo, sabemos que: 
- antes do máximo: ZPi tgai > O 
- após o máximo: ZPi tg a, < O 
Como os valores P, são constantes, deve haver uma mudança em ai que 
"tisfaça às desigualdades anteriores. Logo, o máximo ocorrerá quando uma 
das cargas concentradas estiver sobre um dos pontos angulosos da linha de 
influência. 
Observação: este teorema 6 inteiramente geral, valendo também para 
as estmturas hiperestáticas. 
2.4.2.1.2 - Obtenção daposigo do ttrm-tipo capaz de produzir momento 
máximo na seçáo S (dada) de uma viga biapoiada, supondo o trem-tipo 
"nStituídO Por cargas concentradas. 
312 Cuno de analise estrutural 
Seja o trem-tipo composto pelas cargas concentradas Pl , P,, ... , P,,, 
indicado na Fig. VI-20. 
\ 
\ I 
\ .J I-% 
F i i VI-20 
Chamando-se R, e Rd às resultantes das cargas do trem-tipo à esquerda 
e à direita da seção dada S, respectivamente, temos: 
Ms = &ti, + Rdíldl 
por semelhança de triângulos, temos: 
l - z t e (z - d ) x . 
- íId = . . %-= 
"Podemos substituir as cargas atuantes num mesmo trecho retilineo de uma linha 
de influência por sua resultante, proposifZo esta de imediita demonstração, conforme 
pode veriiicar o leitor, e que foi aplicada neste caso. 
Emido d a cargas móveis em estruturas iswtáticar 313 
Derivando em relaçáo a a, vem: 
sendo R a resultante de todas as cargas wncentradas do trem-tipo. 
suponhamos seja P k a carga concentrada que, colocada sobre o ponto 
anguloso, nos forneça Ms,,,, (a esta carga chamaremos eixo crítico). 
Temos, entáo: 
d f i k-i antes do máximo: - = R - - Z Pi > O dz 1 1 
x k * = R - - Z : & < O após o máximo: - dz 1 1 
As duas desigualdades, que definem o eixo crítico Pk, podem ser engla- 
badas da forma a seguir: 
Obse>voçães: a) A expressão (VI.2) foi deduzida para um sentido de 
trem-tipo. Podendo o trem-tipo se deslocar nos dois sentidos (o que 6 o 
usual), deverão estes dois sentidos ser tratados como dois trens-tipo dife- 
rentes, prevalecendo o valor máximo dos dois obtidos. 
b) Todo o raciocínio que fizemos só 6 Mlido na hipótese de não saírem 
cargas do conjunto P,, ... , P, da viga quando P k estiver sobre S. Caso 
contrário, deveremos proceder por tentativas, respeitando o teorema geral 
estudado em 2.4.2.1 .l. 
igualdade vale também se, al6m das cargas concentradas, o 
tr 
~ssuir uma carga distiibuída infinita. 
"i n aestgualdade vale para qualquer l i a de infiuência da forma da 
Fig. VI-21. 
314 Curso de anAlise estrutural tudo das cargas móveis em estruturas isostáticas 315 
e) A desigualdade que defme o eixo crítico garante apenas que, caso o 
máximo ocorra w m todas as cargas P,, ..., P,, na yiga, ele se dará com o 
eixo crítico sobre a sego. NZo garante, ent~etanto, '~ue nao possa ocorrer. 
máximo com alguma ou algumas cargas do trem-tipo fora da vjga (ver 
exercício VI.5). 
As aplicaç8es seguintes esclarecem. 
Ex. V1.3 - Para a sego S da viga da Fig. VI-22, percorrida pelo trem-tipo 
indicado (que pode se deslocar nos dois sentidos), obter Ms,, 
Devemos estudar as possibilidades do trem-tip$ se deslocar nos dois 
sentidos. Temos: A 
r 1 87. 
a) l? sentido: st lot lztll 1 s t 8 t 
O momento máximo valerá, a partir do esquema da Fig. VI-23: 
hl 2? sentido: 8 t 15t 12t 10t 5t 
8 < 2 0 < 8 + 1 5 : 15tdoe ixocr í t i co . 
O momento máximo valerá, a partir do esquema da Fig. VI-24: 
Ms = CP,qi = 194,8 mt max 
8 L-'- 
Fig. VI-24 
Prevalece, enrao, o segundo sentido e temos, então: 
%,& = 194,8 mt 
Ex. V1.4 - Mesmo exercício anterior, supondo o trem-tipo da Fig. V1-25. 
5t 10t 12t 15t 8t 
i l ! + J + ! J + ! j i t /m Fig. Vi-25 
lm-+-2m+2m-+2m+ 
iemos escrever, a partir da íig. VI-24: 
: '?_ X 4.8 X 20 = 242.8 rnt 
"1.5 - Obter MSm, para o trem-tipo e a viga indicados na Fig. VI-26. 
316 Curso de análise estrutural 
Rx (30 + 4 + 3 X 10) X 12 = 32t Temos: - = 
1 24 
Como 30 < 32 < 30 + 4, temes que o eixo crítico é dado pela carga 
de 4 t . A partir da linha de influéncia da Fig. VI-27, obtemos: 
6m 
Fig. ~ 1 - i 7 
b) 20 sentido: 1 M 10t 1ot 4t 30t 
1 1 - 1 1 1 
Temos: 10 + 10 + 10 < 32 < 10 + 10 + 10 + 4, sendo a carga de 4 t , 
novamente, o eixo critico. Devido à simetria da linha de influência, náo é 
necessário refazemos os cálculos e, para esta posiqão, teremos também 
Msmáx = 204 nit . 
Com isto temos garantido que, caso o máximo ocorra com todas as 
cargas sobre a viga (nenhuma fora dela), ele valerá 204 mt. Nada nos garante, 
entretanto, que não possa existir.uma posição em que apenas alguma ou 
algumas cargas do trem-tipo saiam fora da viga e que este fato acarrete o 
aparecimento de um momento superior a 204 mt. É o caso deste exercício, 
no qual, testando a carga de 30 t sobre a seção S. obtemos, conforme 
Estudo das cargas móveis em estruturas isostáticas 317 
indica a Fig. VI-28: Ms = TP,qi = 216 mt, prevalecendo então sobre o 
outro valor. 
Logo: Ms,, = 216 mt 
2.4.2.1.3 - Teorema de Barré (obtenção da sego onde ocorre o momento 
fletor mixùno absoluto numa viga biapoiada, provocado por um trem-tipo 
constituído por cargas concentradas). 
Seja S a seçao onde ocorre o Mm&.abs,, cuja abscissa x queremos 
determinar. Chamando-se R à resultante geral das cargas do trem-tipo; 
d à distância do eixo crítico Pk à resultante geral R; 
Re à resultante das cargas à esquerda da seção S; 
e à distância de R, a Pk, obtemos: 
M ~ m & = R ( i - x - d ) x - ~ , e , p o i s , V* = R ( ) - X - 4 
I i 
Eo a x. obtemos: 
318 Curso de. análise estrutural 
Impondo a condição de máximo, vem: 
I - d 1 - 2 x - d = O, ou seja: x = - 2 
Concluímos, então, que Pk e R devem ser simétricos em relapão ao meio 
da viga e podemos, então, enunciar o teorema de Barrd: 
"O momento fletor máximo absoluto numa viga biapoiada ocorre numa 
seção tal e para uma posição do trem-tipo tal que o meio da viga coincida 
com o meio da distância d que vai do eixo crítico Pk at6 a resultante geral 
das cargas do trem-tipo." 
Evidentemente, o teorema de Barrd náo nos fornece o eixo crítico, que 
será obtido por tentativas, conforme ilustra o exemplo V1.6. 
Obse~açUes sobre a validade do teorema de Barrd: 
a) Nenhuma carga do conjunto Pi, ... , P, pode sair da viga. 
- - ~ ~.~ --- - 
b) Não pode existir carga distribuída mfinita no trem-tipo. 
-- -- ~~- - ,- -- 
~ ~- 
~ ~~ 
c) E ne-gssário imas não suficiente), para que a seção critica seja a do 
~1 
meio;$e uma das cargas do trem-tipo d??Zida &m sua resultante. - 
Ex. V1.6 - Obter o momento fletor máximo absoluto para uma viga de 
10 m de vao, percomda pelo trem-tipo da Fig.VI-30. 
Pig. VI-30 
A posição da resultante, de'fácil obtençao, fi& a 2 m das cargas extremas, 
conforme indica a Fig. V13 1 : 
Pig. VI-31 
Para resolver o problema, verificaremos, uma a uma, as diversas cargas, 
constatando se podem ou riso ser eixo critico. LTsando as notações da 
Fig. VI-29, vem: 
Estudo das cargas móveis em esiruturas isostáticas 319 
a) la carga de 8 t 
34 4-13,6t. Te~amosd=2m,oqueacarretar iax=5-1 =4meR-=-- 1 10 
~ o g o , ela não pode ser eixo crítico.b) 2s carga de 8 t 
x 34 X 4,s 
Teríamos d = I m, o que amrretariax = 5 - 0,s = 4,5 m e R -= - - 1 1 o 
= 15,3 t . Como 8 < l5,3 < 8 + 8, esta carga pode ser eixo crítico e teremos. 
neste caso, a partir do esquema da Fig. VI-32. 
, 
" 1 , 2.48~1 
L' Fig. VI-32 
c) Carga de 12 t 
x 34X5.5- 
Tenamosd I m, o que acarretariax = 5 -e 0,s = 5,s m eR-= - 1 
= 18,7t. Como 8 + 8 < i8,7 < 8 + 8 + 12, esta carga pode ser eixo 
crítico. A partir da Fig. VI-33, temos: 
5.5rnp 
x = 5.5m 
Pig. VI-33 
d) Carga de 6 t 
3 4 X 6 - z o , 4 t Teríamosd = 2m, o que acarretariax = 5 + 1 = 6m e R - = F - 
Logo, ela não pode ser eixo crítico. 1 
320 Cursa de analise estrutural 
O momento m á m o absoluto será, então, de 63.1 mt, para a seção a 
5,s m do apoio esquerdo, quando o trem-tipo estiver no sentido indicadona 
Fig. V1730 e, devido à simetria de uma viga biapoiada, para a seção a 4,s m, 
quando o trem-tipo correr no sentido contrário. 
Em suma: M,,,~,,~,, = 63,l mt, para x = 4.5 m e x = 5,s m. 
2.4.3 - Viga biapoiada com balanços 
Conforme fizemos em 2.4.1, temos as seguintes expressões para as linhas 
de influência no caso da viga biapoiada com balanços da Fig. VI-34: 
&Yl.l A 
- 
Fig. VI-34 
1 - 2 VA = - 1 , para qualquer z (positivo ou negativo) 
z V , = - , para qualquer 2 1 
Para uma seção genérica S, pertencente ao vão AB, temos os seguintes 
esforços simples: 
, para z 9 x (positivo ou negativo) 
, para z 7 x 
-VB, para z < x (positivo ou negativo) 
VA, para z > x 
Comparando as expressões anteriores, válidas para z positivo ou negativo 
(carga à direita ou à esquerda, ~es~ectivarnénte, de S) com as expressaes 
tnstituídas para o caso da viga biapoiada em 2.4.2, vemos que são idEnticas 
e daí tiramos as seguintes conclusões: 
a) Para se traçarem linhas de influência de reações de apoio ou de esforços 
simples em uma seção interior aos apoios de uma viga biapoiada coni balanços, 
Estudo das cargas móveis em estruturas isostáticas 321 
traçamos inicialmente as l i a s de influência como se a viga fosse biapoiada, 
prolongando.as, a seguir, para os balanços. 
b) Para seçaes situadas nos balanços, o caso 6 ainda mais simples, pois as 
liiihas de influência só existirão entre a extremidade do balanço e a seçao 
em questão, que se comportará como se fosse o engaste de uma viga engastada 
e livre entre a seçgo e a extremidade do balanço. 
O exemplo da Fig. VI-35 esclarece. 
ilotar qu 
forme se 
- . . 
1 e, devido às convenções de sinais opostos para esforço cortante, 
con iam empregadas as forças da direita ou da esquerda, as linhas de 
influencia de esforço cortante em S2 e S, têm sinais opostos. 
, 322 Curso de an6lise estrutural 
Observação: Caso de mrregamento indireto 
As estnituras podem receber as cargas que devem suportar continuamente, 
Mo €,ao longo de todo o seu comprimento ou através de pontosdiscretizados, 
chamados pontos de transmissão de cargas, conforme o esquema da Fig. VI-36. 
Tais formas de carregamento sáo denominadas, respectivamente, carregamento 
direto e carregamento indireto. 
uinpminm dimm cansglmanm indimto 
VI;36.1 VI-36.2 
Fig. VI-36 
Em todo o nosso estudo de linhas de influência feito até o instante, foi 
sempre suposto o carregamento direto. Vejamos que modificações deveremos 
introduzir para levar em conta o fato de termos um carregamento indireto, 
quando este ocorrer. 
Suponhamos traçada a l i a de influência de determinado efeito 6, 
supondo que o carregamento seja direto sobre a estmtura. Caso o carrega 
mento seja indireto, estando a carga unitária na posiçáo indicada na 
Fig. VI-37, ela chegará à estrutura através dos pontos E , e D, segundo as 
parcelas- em E e em D. u 
O efeito E provocado pela carga unitiria valerá, então: 
Nossa metodologia de trabaiho com linhas de iiifluência até então (caso 
de carregamento direto) era, para a obtenqão do efeito de uma carga 
concentrada, multiplicar o valor desta carga pela ordenada da linha de 
mfluência sob ela. Tentemos manter a mesma forma de trabalho, ou sela, 
Estudo das cargas móveis em Wuturas isostiíticas 323 
tentemos descobrir por que valor fictício q deveríamos multiplicar P = 1 
para obter o efeito correto E = qe + $ q d , isto é, vejamos qual 
seria a linha de influência já levando em wnta o fato do carregamento ser 
indireto e, para a qual, possamos trabalhar como se estivéssemos diante do 
carregamento direto. 
Sendo q a ordenada genérica da linha de influência levando em conta o 
carregamento indireto, ela será defmida por: 
a - e e 1 X q = - 
a V? + 7 Rd, 
que representa a equapo de uma linha reta (funpo linear de e). Calculemos 
pontos de passagem para definir esta reta. 
Para e = O, temos q = qe; 
Para e = a, temos q = qd. 
Podemos, então, concluir imediatamente que, para traçarmos a linha de 
ifluênm de um efeito elástico E, levando já em conta o fato do carrega- 
lento ser indireto, traçamos inicialmente a linha de influência supondo o 
a~~egamento d i t o e, ligando suas ordenadas nos pontos de transmissão 
e cargas por segmentos de reta, obtemos a linha de UifluZncia desejada. 
(SUPUS' 
estrutur 
uída por 
emos que a estrutura que recebe a carga inicialmente, transmitindo-a 
a principal através dos pontos de transmissão de cargas, seja consti- 
vigas biapoiadas conforme indica o esquema da Fig. VI-37. Para 
este caso. é válido o traçado que acabamos de instituir.) 
plos seguintes esclarecem. 
A.cl.. a. linhas de influência indicadas para as estruturas das Figs. V I 3 8 
a Vi-@. 
\ 
324 Curso de análise estrutural 
\ 
Ex. M.8 
+1 
Fig. VI-39 
Ex. M.9 
I I I I 
I 7 I I I ' 1 I i= 
I I I I I I I I p.! I - i L . I . V , 
L-' 
+1 
Fig. VI-40 
Observações: a) Nos exemplos VI.7 a VI.9, indicamos em pontilhado a 
linha de influência supondo o carregamento direto e, em traço cheio, alinha 
de influência já levando em conta o fato do carregamento ser indireto. 
b) Notar, para o exempio da Fig. VI-40, que, quando a estrutura que 
recebe a carga inicialmente é uma viga biapoiada com balanços, a correção 
da linha de influencia é feita ligando-se os valores sob os pontos de transmissáo 
de carga por uma linha reta, prolongada nestes balanços (já que vimos que 
as leis de variação válidas para reação de apoio em vigas biapoiadas se 
estendem as vigas biapoiadas com balanços). 
c) O carregamento indireto ocorre com muita frequência em Engenharia 
nos casos de treliças e de arcos,conforme se verá nos tópicos correspondentes. 
d) A forma mais conveniente de se estudar estruturas com carregamento 
indireto, submetidas a cargas permanentes ou do tipo permanentes (acidentais 
não-móveis), consiste em calcular inicialmente as forças transmitidas pelos 
pontos de transmissão d e cargas e resolver, a seguir, a estrutura principal 
para estas cargas concentradas, situadas nos pontos de transmissão de cargas, 
obtendo-se imediatamente seus diagramas solicitantes. (Existem traçados 
gráficos para obtenção destes diagramas, sem ser necessário calcular as forças 
de transmissáo, mas julgamos a forma de soluçZo apresentada a mais rápida 
e, sobretudo, espontânea, de modo que não nos deteremos nestes traçados 
gráficos em nosso Curso.) 
~ m d o dar cargar móveis em esmiiuras isostáticas 325 
7.4.4 - Vigas Gerber 
O estudo das linhas de influência em vigas Gerber recairá no estudo do 
lndireto, senZo vejamos. 
Seja estudar a linha de influéncia da reaqío de apoio em A na viga Gerber 
da Fig. VI-41. 
Fig. VI-41 
Esta viga Gerber, conforme sabemos, nada mais 6 que uma viga biapoiada 
com balaiiços DABE que, em D e E (pontos de transmissão d e cargas), 
recebe as reaçaes de apoio das vigas CD e EF, respectivamente. Sendo assim, 
poderíamos representar a viga sob a forma da Fig. VI-42, a partir da qual 
o traçadoda linha de influência se torna imediato, obtendo-se a linha de 
influência indicada na Fig. VI-422. 
Ue maneira inteiramente análoga, raciocinaremos em todos 0s Outros 
0 s exemplos a seguir esclareceráo o assunto. 
Traçar aslinhas de influência indicadas para as vigas Gerber das Figs. VI-43 
e V1-44, cups decomposiçoes estão iildicadas nestas mesmas figuras. 
Curso de análise estrutural 
Fig. VI-43 
Obscnação: O roteiro para traçado de qualquer uma das linhas de 
influência em viga Gerber pode ser ilustrado, por exemplo, para o caso da 
L.I.VE. 
a) Verificamos inicialmente em que trechos da viga Gerber a atuago da 
ca&a unitána não dará influência para a seção em questão, ficando definido, 
assim, um trecho. nulo (ou mais de um) da linha de influência desejada 
(no caso, será o trecho HI). 
b) A seguir, analisamos o trecho em que'está situada a seçio, tratando-se, 
no caso, de um apoio de uma viga biapoiada com balanços DEFG, cujalinha 
de influência podemos, então, traçar neste trecho, por tratar-se de problema 
já resolvido por n6s em tópicos anteriores. 
Estudo dm cargas móveis em estruturas irostbticas 327 
c) Finalmente, levando-se em conta os trechos que constituem carrega- 
mento indireto para o trecho que contim a seção em estudo, fazemos a 
complementaçáo da linha de influência, ligando os seus valores sob os 
pontos de transmissHo de cargas por l i a s retas (prolongadas para os 
balanços, caso existam). No caso, estes pontos são A, B, C, D, G, H 
(sendo C e D, G e H pontos de transmissáo dos carregamentos indiretos 
BCD e GH e A e B do carregamento indireto AB). A complementiçSo, no 
nosso caso, está indicada na Fig. VI-43. 
Ex. VI.11 
328 Cursa de análise estrutural €*do das cargas mbveis em estruturas isastáticas 329 
Observação: As linhas de influencia foram traçadas, neste exemplo, m 
pontilhado, supondo o carregamento direto, sendo apbs corrigidas (em traço 
cheio), levando em conta o carregamento indireto indicado. 
'x2.4.5 - Sistemas triartiniiados 
A partir do estudo feito no item 4.1 do Cap. 111, do qual o caso da Fig. 
VI-45 é caso particular (pois existe apenas uma carga concentrada vertical 
unitária), sabemos que: 
Pig. VI45 
va - v. 
VB = i',; 
H ' - 1% 
f ços a 
'1.7 = M, -- H y cos u 
{,- = Q, c o s q - H ' s e n ( 9 - a ) 
= - Q, sen q - H'ços (9 - a) 
Podemos, então, escrever iniediatamente que 
I 
..IH' = f cos a L.IM, 
L I.Ms = L.IM, - (y cos a) L.1.X 
L l.Q3 = cos L.I.Q, - sen (p - a)L.ISI' 
L I N s = -sen p L.l.Qs - coc (9 - a) I..IH' 
Partindo destas últimas expressões, obtivemos os traçados gráficos que se 
encontram na Fig. VI-45. 
OSservações: a) A linha de influência de momento fletor na seçáo S 
foi obtida a partir da soma das duas linhas de influgncia indicadas na Fig. 
VI-46, que são suas parcelas coiistituintes, conforme indica a expressão 
anteriormciite deduzida. 
Fig. VI46 
b) A respeito da L.IMLy, demonstra-se com simplicidade, a partir de consi- 
derações geométncas, que, para os arcos tendo a concavidade voltada para 
bav<o (caso usual da pratica), x - 1, y / j é sempre negativo, para seções entre 
A e G. 
9 Caso desejemos traçar linha de influência de momento fletor numa 
iça0 situada entre G e 8, basta inverter a figura, ou seja, x passará a ser a 
lstãncia da seçáo até B, I, será substituído por I , e as otdenadas-base para 
tratado da linha de influência serão marcadas a partir de B, ao invés de A. 
330 Curso de an6lise estrutural 
d) Como as linhas de influéncia de esforço normal e de esforço cortante 
podem assumir diferentes configurações geométricas em função de valores 
particulares de p e a, e de posições particulares da seção, preferimos não 
traçá-las, ficando seu traçado para ser feito, em cada caso, por soma das 
duas linhas de influência que são suas parcelas, conforme as expressões 
deduzidas neste item. 
e) Chamamos ponto de inversão de cargas ao ponto em que a aplicação 
da carga unitária não acarreta o aparecimento do esforço estudado, na seção 
em questão. A obtenção gráfica do ponto de inversão de cargas na L.I.Ms 
está indicada na Fig. VI45. 
Estudo dar mp móveis em esimiurar irolt6ticas 331 
O traçado das linhas de influência dos momentos nucleares superior e 
inferior, indicado na Fig. VI-48, será análogo ao de momento fletor atuante 
na seção, pois a diferença entre eles é que o momento fletor atuante na 
seção é o momento das forças existentes de um de seus lados em relação ao 
ponto (x, y), enquanto que os momentos nucleares são os momentos das mes- 
mas forças em relação aos pontos (xKs, yKs) e (xKi, yKi). 
2.4.5.1 - Tensões nos bordos das seções 
Sabemos, da Resistência dos Matetia& que as tensões normais atuantes 
nos bordos superior (s) e inferior (13 de uma seção, em uma peça trabalhando 
à flexão composta, são dadas por: 
em que: MKs e M K ~ são os momentos da resultante das forças externas, 
atuantes de um dos lados da seção, em reação aos pontos KS e Ki, denonuna- 
dos, respectivamente, pontos nucleares superior e inferior, e cuja posição 
se encontra indicada na Fig. VI-47; 
v e W' são os módulos de resistência (superior e inferior) da seção; 
o' e o' são as tensões atuantes nos bordos superior e inferior da seção, 
respectivamente (positivas, se de tração). 
Como WS e W' são constantes (só dependem da geometria da s&ão), o 
estudo das tensões máxima e mínima atuantes na seção recair5 no estudo 
de seus momentos nucleares superior e inferior máximos e mínimos. 
332 Curso de análise estrutural 
~ m d o das cargaa m6veis em estniturar irost5ticas 333 
ObservaçBes: a) Os pontos de inversão de cargas para as linhas de influên- 
cia de momentos nucleares podem ser obtidos graficamente, de maneira 
anfloga ao caso do momento fletor. 
b) Para os arcos não muito altos 
(caso da prática), cometer-se-á um erro 
muito pequeno se,,ao invés dos pontos 
nucleares KS e K' verdadeiros, traba- 
lharmos com os pontos kb e kl, obtidos 
conforme indica a Fig. VI-49, em que 
temos:. e K1: teoricamente corretos; @--*Ixo 
kb e ki: aceitáveis na prática 
Pig. VI-49 
2.4.5.2 - Tensóes nos bordos dos encontros 
Sabemos que as tensões normais, atuantes nos bordos esquerdo e direito 
de um encontro, são dadas por: 
em que as notações e convenções são as mesmas adotadas em 2.4.5.1. Para 
determinar estas tensóes, temos, portanto, que estudar as linhas de influència 
de momentos nucleares nos encontros, obtidas a partir do esquema da 
Fig. VI-50, conforme se ségue. 
Sendo H' e V, as reações de apoio em A (ver 2.4.5.1), seja obter o 
momento nuclear em Kd. Temos: 
Para a carga unitária situada entre G e E, esta expressão assume a forma: 
Para a carga unitária entre A e G, ficamos com: 
A partir destas duas expressões podemos traçar a L.IMKd e, com raciocf- 
nio inteiramente análogo, chegaremos i L.IMKe. 
Tais Linhas de influência estão representadas na Fig. VI-50. 
(Notar que os pontos de inversão de cargas podem ser obtidos grafica- 
mente, conforme indica a Fig. VI-50.) Fig. VI-50 
334 C u w de análise enrutural 
Observação Todas as linhas de influência que estudamos até agora neste 
item 2.4.5 foram traçadas supondo o carregamento direto sobre o triarticula- 
do. Nos casos de carregamento indireto, sofrerão evidentemente as correções 
já definidas anteriormente para este caso. 
Ex. V1.12 - A Fig. VI-51 representa um dos dois arcos iguais de concreto 
de uma ponte. Admite-se, com pequeno erro, que a carga permanente seja 
uniformemente distribuída, de 8 t/m, atuando diretamente sobre o eixo de 
cada arco (que coincide com a linha de press6es da carga permanente). O 
peso de cada bloco (incluindo a superesttutura sobre ele) é de 300 t, na 
posição indicada na figura. A carga móvel, para cada arco, é dada pelo trem-ti- 
po a seguir. Pede-se estudar as tensões máximas:a) na seção S (que é um retãngulo de 30 cm de largura por 1,20 m de altura, 
para cada arco); 
b) na base do encontro. 
Trem-tipo para cada arco: 1111111 
Fig. VI-5 1 
Temos, para a seçáo reta S: 
bh2 0 3 X 12' = 0,072 ,,,3 WS = W' =- = 
6 6 
Estudo das cargas móveis em esiruiuar i d t i c a s 335 
Os pontos nucleares kS e ki, obtidos a partir do esquema da Fig. VI-52, 
são dados por: 
Ponto V : x = 12 m; y = 9.22 m 
~ O n t o k': x = 12 m; y = 8,78 m 
Para a base dos encontros, temos: 
S = 6 X 6 = 36mZ 
6 X 62 
w e = wd = - = 36 m3 
6 
a) Estudo da seção S @ara 1 arco): 
19) Carga permanente 
Fii. VI-52 
&izm-Ci2rn+24m---X- 
Fii. VI-53 
A partir do esquema estático da Fig. VI-53, temos: 
z Valor obtido a partir da derivada da equação do eixo do arco ou a p a x ~ da *lago 
''1-12 deduzida para linha de pressas no Cap. 111. 
336 Cursa de análise estrutural Estudo das cargas móveis em estruturas isostáticas 337 
Ng = - d192' + (192 - 96)' = - 214,4 t; conforme 111.13 e, então: 
20) Carga móvel 
Para obtermos as tensões máximas produzidas pela carga móvel, precisamos 
traçar as linhas de influência de momentos nucleares, o que se acha feito 
nas Figs. VI-54 e VI-55, a partir das quais, obtemos: 
Fig. VI-54 
Mks (-1 = - 29,2 X 3,22 X 1 2 = -47 mt max. 
+ = + 18,8 X 4,39 X 1 = 41,3 mt 
'"ksm,. 2 
Dai, obtemos, imediatamente: 
- 
. 1 - = - 28,s X 2-78 X 1 = -39,7 mt 
Mk' m a . 2 
,,,, .(+) = + 1995 X 4,61 X 1 = 45 mt k' max. 2 
Dai, vem: 
Resumo de tensões (valores cm kg/cm2): 
Observaçüo: Não chegam a ocorrer tensões normais de tração na seçáo (O 
Je é desejável, por se tratar de um arco de concreto). 
b) Base do encontro (1 base para os 2 arcos) 
I?) Carga permanente 
A partir do esquema da Fig. VI-56, temos: 
M = 384 X 3 + 300 x 0,5 - 384 X 3 = 150 mt 
N = -684t 
Tensão 
- 
Total 
N M Dai, temos: o = - + - , conduzindo, no caso, a: 
s - W 
Carga 
permanente 
- 58,8 
- 58,8 
(+) 
(-3,6] 
(- 1 , 
Carga móvel 
( - 1 
- 121,2 
- 124,O 
(+I 
+ 55,2 
t 57,4 
(-1 
- 62,4 
- 65.2 
338 Estudo das cargas móveis em estruturas isostáticas Cuno de anuise estrutural 
20) Carga móvel: 
Sendo as linhas de influência de momentos nucleares na base do encontro 
as indicadas nas Figs. VI-57 e Vi-58, obtemos: 
(+) - 3 6 X Z t 4 X 4 = 8 8 m t M K ~ mau. - 
MKd(-LiU, = - 14 X 2 = - 28 mt 
Daí, vem: 
- 88 
- - 2,4 t/m2 
=-= 28 0.8 t/m2 
mau. 36 
- = - M K ~ mau. 
Daí, vem: 
32 8 
= - = 0,9 t/m2 
mau. 36 
Resumo das tensões (valores em kglcm2): 
Observaçõ nforme vemos, não chegam a ocorrer (como, aliás, não 
deveriam) terlbues ae tração na base do encontro. 
b) Notar que, nas linhas de influência traçadas nas Figs. VI-54, VI-55, 
VI-57 e VI-58, foi feita a começão devida ao carregamento indireto. No Caso, 
apenas por coincidência, elas foram idênticas às traçadas inicialmente, supon- 
do 0 carregamento direto. 
Ex. V1.13 - Traçar as M a s de influência indicadas para O pórtico 
triarticulado da Fig. VI-59. 
Tensão 
ae 
ud 
Total 
Carga 
permanente 
- 1,48 
- 2,32 
( + I 
(- 190) 
(- 7-23) 
Carga móvel 
(-1 
- l,72 
- 2 5 8 
(+) 
t 0,08 
+ 0,09 
C - ) 
- 0,24 
-0,26 
340 Curso de análise estrutural Emido dw cargm mbveis 8m astn~hiras isonáticns 341 
Observação: 
O pórtico triarticulado é tratado como se fosse um arco triarticulado AGE 
comum, da maneira seguinte. 
Traçamos as linhas de influência como se se tratasse de um arco AQB, 
aproveitando-as no trecho CD e prolongandoas para os balanços, conforme 
indica a Fig. VI-59. 
Um caso interessante ocorre para as linhas de infiuência de momentos 
fletores nas seções SI e S,, vizinhas ao nó C, senão vejamos. 
Para a seção SI (infuiitamente próxima ao nó C, pertencendo a barra CD), 
a l i a de influência de momento fletor no trecho CD é, evidentemente, igual 
i linha de inffuência de momento fletor em C no triarticulado ACGDB; para 
o trecho EC, ela será a indicada na figura, devido i igualdade estática, em 
termos de momento fletor em Si, dos dois esquemas dados nas figuras 
VI-60.1 e VI-60.2 (para estes dois esquemas, este momento fletor será dado 
ias forças sendo, portanto, iguais seus valores). !das mesn 
Analogamente, para a seção Sz (infinitamente próxima ao nó C, pertencen- 
do a barra AC), a linha de influência de momento fletor no trecho CD 6 
igual à linha de influência de momento fletor em C no triarticulado ACGDB; 
para o trecho EC, ela será, conforme indica o esquema da Fig. VI-61, igual 
diferença entre as linhas de influência de momentos fletores em SI e 8 3 (isto 
6. L.I&sz = L.IMs, - L.IMS,) neste trecho, chegando-se ao traçado indica- 
do na Fig. VI-59 (notar que o trecho EC será o prolongamento do trecho CG, 
s caro). 
342 Curso de análise estrutural 
Iniciaremos nosso estudo pelas treliças de altura variável, particularizan- 
do-o, após, para o caso mais frequente, que é o das treliças de altura constan- 
te. Conforme se verá no desenvolvimento do estudo, dev~mos fazer distinção 
entre os casos de carregamento superior e inferior. 
a) Carregamento inferior 
Fig. V142 
Seja a treliça da Fig. Vi-62, carregada inferiormente (sendo os nós os 
pontos de transmissão de carga), para a qual desejamos estudar as linhas de 
influência de esforços normais em O,+1, Dm e Um (representando os três 
tipos genéricos de barras da treliça). Passando uma seção de Ritter cortando 
estas três banas, obtemos, a partir do esquema da Fig. VI-63: 
Fig. V143 
3 Em todas os exemplos deste tópico, suporemos o carregamento indueto sobre a 
estrutura definido por vigotas biapoiadas sobre os pontos de transmissão de cargas 
Por XM, = 0 : O,+, h, cos a,+l t M, = 0, sendo M, o momento 
fletor na viga biapoiada de substituição em m. Daf, vem: 
1 Por XM,-, = 0 : - Umh,-l cos a, t M,-, = 0, sendo M,-I 
I o momento fletor na viga biapoiada de substituiçáo em m - 1. Dai, obtemos: I 1 LLum= h,-l cos <r, L.I.M,., 
, Passemos ao estudo da diagonal D,. 
Supondo P = 1 h direita de m, temos, tomando momentos nulos em 
relação a O: 
a VAa = Dmdm :. L.I.D, = -j- L.l.Va (P = 1 entre m e B) 
m 
I Supondo P = 1 A esquerda de m - 2, temos, trabalhando com a parte da treliça A direita da seção de Ritter e tomando momentos nulos em relaçáo 
aO: VB (a t I ) = -Dmd,,, 
a t l :. LI.D,,, = -- L.I.Ve (P = 1 entre A e m - 2). 
dm 
Para a carga P = 1 entre m - 2 e m, em se tratando de carregamento in- 
direto e conhecendo-se os pontos extremos da linha de iníiuência neste 
trecho, basta ligá-los por um segmento de reta, completando-se então a 
L.IDm . 
As diversas linhas de influência estudadas estão desenhadas na Fig. VI-66. 
Observação: As linhas de influência de esforços normais nas barras verti- 
C" V, e V,, fogem ao critkrio usado para as três barras genéricas anteriomen- 
te estudadas, mas são facilmente obtidas a partir da consideração doequilibrio 
dos nós A e N, conforme indicam as Figs. VI44 e VI-65. 
Para carga i direita de m - 2, temos: V, = &, 
sendo o esforço de compressão. 
Para carga entre A e .m - 2, trata-se de 
carregamento indiieto, sendo os dois valores 
extremos conhecidos, chegaddese ao traçado 
dado na Fig. VI-66. 
344 Curso de análise estrutural Emdo dar cursas móveis em estruturas irostáticas 345 
"" '\ b) Carregamento superior: 
Temoa, imediatamente: V, = 0. 
A partir das expressões anteriores, 
temos, usando as notaçóes empregadas 
na Fig. VI62: 
Com raciocínio inteiramente anáiogo ao usado no caso do carregamento 
inferior, obtemos as linhas de influência da Fig. VI67: 
346 Curso de análise estrutural 
2.4.6.1 - Caso particular: treliças de altura constante 
As linhas de influência dos esforços normaii atuantes em treliças dealtura 
constante são imediatamente obtidas, em função da viga de substituição,a 
partir das conclusões a que chegamos no Cap. IV (conclusões estas assinaladas 
em grifo). Os exemplos seguintes, em que as explicações sobre o traçado de 
cada linha de influência se encontram, entre parêntesis, a seu lado, escla- 
recerão: 
Ex. M.14 - Obter as linhas de influencia indicadas, para a treliça da 
Fig. vI-68, carregada superiormente. 
Estudo das brgas móveis em estruturas imstáticas 347 
Ex. VI.15 - Traçar as mesmas linhas de influência para a treliça do 
exemplo anterior, agora suposta carregada inferiormente. 
Conforme jfi vimos no item 3.3.1 do Cap. IV deste volume, as iinhas de 
influência de esforços normais nas barras superiores, inferiores e diagonais de 
treliças de altura constante, formadas por painéis retangulares, náo sofrem 
alterações se o carregamento superior passa a ser inferior. Por esta razão, não 
as desenharemos novamente, fazendo-o, apenas, para as barras verticais, que se 
modificarão, conforme indica a Fig. VI-69. 
L i ( \ i v (= + Aqao do ponta da 
10 nanrmisssu de carga sob I I a barra V,,Q. liar aqui 
I I Iib"0 do "O inizl +1 
1 zero I L (.zera. por~quilibrio d o m O) 
a----- 
Linha de influência com laciocinio inteiramente análogo ao empregado Para 
a Obtenção da L.1. v. para a treliça da Fig. VI-62. 
348 Cursa de analise estnitural 
Ex. W.16 - Obter as linhas de influència indicadas para a treliça da Fig. 
VI-70, carregada superiormente. 
Ex. W.17 - Traçar as linhas de influência indicadas para a treliça da 
Fig. VI-71. 
Estudo das cargas móveis em estruturas irostáticar 349 
L I I 1 ~.,.~l-+~.,..!,l 
I',@/--- 
L--- 
+L=*, 
Fig. VI-71 
Ex. V1.18 - Supondo que a carga permanente atuante na treliça do exem- 
plo VI-16 seja de 4 tlm e que o trem-tipo que a percorre seja 
b", 
obter entre que valores extremos variam os esforços normais em V,. 
S.*/. 
I I I I I I I I I I I I I I I I I J t - - l 
350 Curso de análise estrutural Estudo dar cargas mbveis em estruturas isostáticas 
351 
Carregando a linha de influência de V4 com cada um dos três esquemas de 
carregamento indicados na Fig. VI-72, obtemos: 
0 4 X 8 0,4X 10 + 0,4X 1 0 ) = +6,4t C=4(- - 2 2 2 
Os esforços normais em V4 variam, portanto, entre os valores extremos 
- 9,6 t e 25,6 t. 
Ex. VL19 - Traçar as linhas de influência indicadas para a viga Hassler 
simétrica, carregada inferiormente, da Fig. VI-73. 
I I ' 
I 1 1 1 --L-L- I------I , -L h.. 
I ' I I L.~.~:l-:+r.i.% .>,...oni, ,* 
. L I z m v m 1 - - - - f - 
1 , -k-í .deviiarioaona e, 
I l - - I - - l - - l - - - - - - I - ~ 
I \ -I L. I .%i .* f L I . % .,...i.... "li... 
 LI----^-^ 1 1 *n6 Al 
I ! I 1 1 I 
Fig. VI-73 
As explicações sobre o traqado das 
diversas linhas de influência se encon- 
. 
tram, entre parêntesis, ao lado de cada 
uma delas. Merece mençáo à parte o 
caso da bana V;, cuja linha de in- I* fluência, obtida a partir do equilibrio 
+~ ," - , ,~#q 4 + do nó m, conforme indica a Fig. VI- 74, é dada por: 
1 
- L . L V ~ = L . I ( - ~ Q , - ~ , , + R ) , 
m sendoR a carga transmitida pelo ponto 
de transmissão de carga sobre m. Esta 
Pig. VI-74 expressão define o traçado da linha 
de influência, feito na Fig. VI-73. 
3.1 - Os efeitos da carga permanente podem ser desprezados em presen- 
ça da carga móvel, definida pelo trem-tipo 
pua a viga da F ' i VI-75. Pedem-se: 
i) momento Uetor máximo positivo; 
b) momento fletor m k i i o negativo; h i , $ 7 , r ' Ir"+ 
c) módulos dos esforços cortantes -0s. 
3.2 - A viga da Fig. VI-76 é percorrida elo carrinho indicado na figura, 
que pode se deslocar nos dois sentidos. Sendo desprezível a carga permanente 
ahante, esboçar as envoltórias de momentos fletores, cotando-as para as 
"ções nos quartos de vão. 
362 Curto da aná1i.e e u t u r a l 
3.3 - Para a viga Gerber da Fig. Vi-77, traçar as linhas de influência dos 
seguintes efeitos estáticos: M S , , Q D q , Q c q , VD, Ms,. Q s , . 
3.4 - Traçar as tinhas de influência 'de VG, Q,,, QF, Qcd*, Mc e M K , 
para a viga Gerber da Fig. VI-78. 
3.5 - Traçar as linhas de influência de V D , QE,. QcW, ME e QH para 
a viga Gerber da Fig. Vi-79. 
3.6 - Traçar, para a viga Gerber da Fig. Vi-80. carregada indiretamente, 
as linhas de influência de MF. VE, QEq. ME. VC. 
Esiudo das carga móveis em estruturas isostáticas 353 
3.7 - Para a viga Gerber da Fig. Vi-81, obter entre que valores extremos 
irá variar a reação de apoio vertical em E. São dados: 
a) carga permanente: g = 2 t/m 
A B C D E F 
- ., A 
- - 
~ 4 m + 4 m + * n ~ 8 m ~ ~ 
Fig. VI-81 
3.8 - Traçar, para o quadro composto da Fig. VI-82, as linhas de influên- 
a de Ms, VA. QF, V J , M ~ e s q 
A B C D E F G H I 
Fig. VI-82 
3.9 -Traçar as linhas de rnfluência de MBdi, MGdir. Q ~ e q . M s i . Q D ~ 
e N b a r r a G ~ , para o quadro da Fig. VI-83. 
3.10 - Para 0 quadro da ~ i ~ . VI-84, as linhas de influência de 
"SI. Qs,, M S ~ ' M s Z i V c , HD, Qs,, M ~ , , Q ~ , . 
354 Curso de análise estrutural 
Fig. VI-84 
3.11 - Para o pórtico triarticulado da Fig. VI-85, que é percorrido pelo 
trem-tipo h m j 2 um , pedem-se os valores dos seguintes efeitos, 
máximos e mínimos, provocados por esse trem-tipo: 
a) momento fletor, esforço cortante e esforço normal em S, , 
b) tensão no bordo e do encontro da esquerda; 
c) momento fletor em SI. 
I *-,+?+i4 
Pig. VI-85 
3.12 - Para o arco semicircular da Fig. VI-86, desenhar as linhas de 
influência dos esforços simples atuantes na seção S indicada. 
Fig VI-86 
I Estudo dai cargas móveis em estruturas irodticas 355 I 3.13 - Traçar, para a treliça Warren da Fig. VI-87, carregada inferior- mente, as linhas de influência de esforços normais nas barras indicadas. 
Fig. VI-87 
3.14 - Idem, para a treliça Pratt da Fig. VI-88, carregada superiormente. 
3.15 - Idem, nas barras indicadas na treliça da Fig. VI-89, carregada 
inferiormente. 
3.16 - Idem, nas barras da treli~a da Fig. VI-90, carregada inferiormente. 
Cuno de análise estrutural aigar móveis em enruturas ironaticas 357 m d o dar c 
-a,, r 
=.LU - desenhar as linhas de influencia das reaçóes de apoio e dos 
esf ples atuantes na seção S da grelha isostática da Fig. VI-94. . Idem, nas barras indicadas da treliça da fig. Vi-91, carregada inferionnen. 
te. I 
Fig. VI-91 
3.18 
Idem, nas barras indicadas na treliça da fig. VI-92, carregada inferiormente 
em todas os nós. 
Fig. VI-94 
Desenhar as linhas de influência dos esforços simples no engaste da grelha 
da fig. Vi-93. 
358 Cuno de analise e u t u r a l Emdo das cargas m6veis em esirumnu irostáticas 359 
tudo das cargas móveis em estruturas isosiáticas 361 
) Máximos: 
1) Máximo: 
) Máximo: 
+1,33mt; +0,67t; +0,33t. Mínimos: -24mt; - 12t;-12t 
i%t/m2 (tração); mínimo: -i6 t/mz (compressão) 
9 
+4mt; mínimo: -12mt 3 
. .- 
- -v 
362 Curso de a d i r a ermiainl Estudo dar cargas móveis em estruiura, isost4ticas 363 
I 1 1 . 1 1 , 
-7 , I L.I.D, 3.15 
# I 1 I 
L 
I*' LI."* 
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1 
j ----$--- 
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I I I - ------_I*, I 
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LI.",- LI."' 
I O 5 - 
w--- 1 LI.VI 
--_ _ 
---___ 
364 Cursa de análire artmniral ~ m d o das cargas móveis em estruturas isostáticas 365 
366 Curso de análire smuruial 
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