CALCULO de CONCRETO I - compressão axial em pilar

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Concreto Armado I 
Prof.: Diogo Kropf 
INTRODUÇÃO 
Principal norma brasileira para projeto de estruturas de Concreto 
Armado e Concreto Protendido: 
 
NBR 6118/2014 “Projeto de Estruturas de Concreto – 
Procedimento”. 
3 
Argamassa = pasta + agregado miúdo 
 
 
 
 
 
Concreto simples = argamassa + agreg. graúdo 
 
4 
Elementos de concreto simples estrutural 
 
X 
 
Elementos de concreto armado estrutural 
“elementos estruturais elaborados com concreto 
que não possui qualquer tipo de armadura ou que 
a possui em quantidade inferior ao mínimo exigido 
para o concreto armado.” 
5 
“Elementos de concreto simples estrutural” 
Concreto armado é a junção do concreto com 
estrutura de aço em seu interior, por isso se diz 
'armado'. Normalmente ele é usado para 
fundação, pilares, vigas e laje. 
6 
“Elementos de concreto armado estrutural” 
CONCEITO DE CONCRETO ARMADO 
 Alta resistência às tensões de compressão; 
 Baixa resistência à tração (cerca de 10 % da resistência à 
compressão); 
 Obrigatório combinar armadura (aço) ao concreto. 
 
 O concreto absorve as tensões de compressão 
e as barras de aço, convenientemente dispostas, 
absorvem as tensões de tração. 
 
Porém, é imprescindível a aderência entre os dois 
materiais: real solidariedade entre o concreto e o 
aço, para o trabalho conjunto, tal que: 
s = c 
 
 
7 
 
“aqueles cujo comportamento estrutural 
depende da aderência entre concreto e 
armadura, e nos quais não se aplicam 
alongamentos iniciais das armaduras antes da 
materialização dessa aderência”. 
 
 
“Armadura passiva”: 
“qualquer armadura que não seja usada para 
produzir forças de protensão, isto é, que não seja 
previamente alongada”. 
 
 “Elementos de Concreto Armado”: 
A resistência à tração do concreto está situada 
na ordem de 10% de sua resistência à 
compressão, sendo geralmente desprezada nos 
cálculos estruturais. Encontrar meios de fazer 
o concreto ganhar força neste quesito é uma das 
eternas batalhas da engenharia, que tem como 
uma de suas grandes armas a protensão do 
concreto. 
 CONCRETO PROTENDIDO: 
CONCEITO DE CONCRETO PROTENDIDO 
Ideia básica: 
Aplicar tensões prévias de compressão nas 
regiões da peça que serão tracionadas pela 
ação do carregamento externo aplicado. 
 
Objetivo: 
 Diminuir ou anular as tensões de tração. 
 
 São diversos os sistemas de protensão. 
 
“aqueles nos quais parte das armaduras é 
previamente alongada por equipamentos especiais 
de protensão, com a finalidade de, em condições 
de serviço, impedir ou limitar a fissuração e os 
deslocamentos da estrutura, bem como propiciar o 
melhor aproveitamento de aços de alta resistência’’ 
“Elementos de concreto protendido”: 
“Armadura ativa (de protensão)”: 
“armadura constituída por barras, fios isolados ou 
cordoalhas, destinada à produção de forças de 
protensão, isto é, na qual se aplica um pré-
alongamento inicial.” 
O aço de protensão é fixado numa das 
extremidades da pista de protensão, e na outra 
extremidade um cilindro hidráulico estira (traciona) o 
aço, nele aplicando uma tensão de tração pouco 
menor que a tensão correspondente ao limite elástico. 
Em seguida, o concreto é lançado na fôrma, envolve 
e adere ao aço de protensão. Após o endurecimento 
e decorrido o tempo necessário para o concreto. 
12 Sistema de pré-tensão: 
 Adquirir resistência, o aço de protensão é 
solto (relaxado) das ancoragens e, como o aço 
tende elasticamente a voltar à deformação inicial 
(nula), ele aplica uma força (de protensão) que 
comprime o concreto de parte ou de toda a seção 
transversal da peça. Esse processo de aplicação 
da protensão é geralmente utilizado na produção 
intensiva de grandes quantidades de peças, 
geralmente em pistas de protensão. 
13 Sistema de pré-tensão: 
14 
cilindro hidráulico
("macaco")
armadura
de protensão
fôrma
da peça
pista de
protensão
bloco de
reação
ancoragem
passiva
Figura – Aplicação de protensão com pré-tensão. 
 Na pós-tensão primeiramente é fabricada a peça 
de concreto, contendo dutos (bainhas) ao longo do 
comprimento da peça, para serem posteriormente 
preenchidos com o aço de protensão, de uma 
extremidade a outra da peça. Quando o concreto 
apresenta a resistência suficiente, o aço de protensão, 
fixado numa das extremidades da peça, é estirado 
(tracionado) pelo cilindro hidráulico na outra 
extremidade, com o cilindro apoiando-se na própria 
peça. 
15 Sistema de pós-tensão: 
 Esta operação provoca a aplicação de uma 
força que comprime o concreto de parte ou de toda a 
seção transversal na peça. Terminada a operação de 
estiramento, o próprio cilindro hidráulico fixa o aço na 
extremidade da peça. Posteriormente a bainha pode 
ser preenchida com nata de cimento para criar 
aderência entre o aço e o concreto da peça. 
16 Sistema de pós-tensão: 
17 
Figura – Aplicação de protensão com pós-tensão. 
a) Peça concretada
duto
vazado
Ap
Ap
b) Estiramento da armadura de protenção
c) Armadura ancorada e dutos preenchidos 
com nata de cimento
FISSURAÇÃO NO CONCRETO ARMADO 
- Eliminar completamente as fissuras seria 
antieconômico, pois teria que aplicar tensões de tração 
muito baixas na peça e na armadura. As fissuras devem 
ser limitadas a aberturas aceitáveis ( 0,3 mm) em 
função do ambiente, e que não prejudiquem a estética 
e a durabilidade. 
FISSURAÇÃO NO CONCRETO ARMADO 
- Dispor barras de diâmetros pequenos e distribuídas 
(fissuras capilares, não levando ao perigo de corrosão 
ao aço). 
- Retração também origina fissuras. Fazer cuidadosa 
cura nos primeiros dez dias de idade do concreto e 
utilizar armadura suplementar (armadura de pele) 
quando necessário. 
ASPECTOS POSITIVOS DO CONCRETO ARMADO 
a) Custo: especialmente no Brasil, os seus componentes são facilmente 
encontrados e relativamente a baixo custo; 
b) Adaptabilidade: favorece à arquitetura pela sua fácil modelagem; 
c) Resistência ao fogo: As estruturas de concreto, sem proteção externa, tem 
uma resistência natural de 1 a 3 horas. 
d) Resistência a choques e vibrações: os problemas de fadiga são menores; 
e) Conservação: em geral, o concreto apresenta boa durabilidade, desde 
que seja utilizado com a dosagem correta. É muito importante a execução 
de cobrimentos mínimos para as armaduras; 
f) Impermeabilidade: desde que dosado e executado de forma correta. 
 
20 
ASPECTOS NEGATIVOS DO CONCRETO ARMADO 
a) Baixa resistência à tração; 
b) Fôrmas e escoramentos dispendiosos; 
c) Baixa resistência por unidade de volume 
Peso próprio elevado relativo à resistência: 
conc = 25 kN/m³ = 2,5 tf/m³ = 2.500 kgf/m³ 
 
d) Alterações de volume com o tempo; 
e) Reformas e adaptações de difícil execução; 
f) Transmite calor e som. 
 
21 
 Classe do concreto de acordo com a NBR6118/14 
 
• Os concretos são classificados em grupos de resistência, grupo I e grupo II, 
conforme a resistência característica à compressão (fck) 
Classes de resistência do grupo I 
Grupo I de 
Resistência 
Resistência 
característica à 
compressão (MPa) 
C10 
C15 
C20 
C25 
C30 
C35 
C40 
C45 
C50 
10 
15 
20 
25 
30 
35 
40 
45 
50 
Classes de resistência do grupo II 
Grupo II de 
Resistênci
a 
Resistência 
característica à 
compressão (MPa) 
C55 
C60 
C70 
C80 
55 
60 
70 
80 
Tipos de cimento Portland produzidos no Brasil 
Denominação Tipo de AdiçãoSigla Tipo – Classe 
 
Cimento Portland Comum 
 
Escória, pozolana ou filer (até 5%) 
CP I-S – 32 
CP I-S – 40 
 
 
 
Cimento Portland Composto 
 
escória (6 – 34%) 
CP II-E – 32 
CP II-E – 40 
pozolana (6 – 14%) CP II-Z – 32 
 
filer (6 – 10%) 
CP II F – 32 
CP II-F – 40 
Cimento Portland de Alto- 
Forno 
 
escória (35 – 70%) 
CP III – 32 
CP III – 40 
 
Cimento Portland Pozolânico 
 
pozolana (15 – 50%) 
 
CP IV – 32 
Cimento Portland de Alta 
Resistência Inicial 
material carbonático 
(até 5%) 
CP V – ARI 
Cimento Portland Resistente a 
Sulfatos 
estes cimentos são designados pela sigla original acrescida de “RS”. 
Ex. CP V-ARI-RS, CP III-32 RS 
Cimento Portland de Baixo 
Calor de Hidratação 
estes cimentos são designados pela sigla original acrescida de “BC”. 
Ex. CP IV-32 BC 
 
Cimento Portland Branco 
estrutural CPB – 32 
não estrutural CPB 
Prof.: Diogo 
Krop f 
DURABILIDADE DO CONCRETO 
Agressividade do Ambiente 
 
“A agressividade do meio ambiente está relacionada às ações 
físicas e químicas que atuam sobre as estruturas de concreto, 
independentemente das ações mecânicas, das variações 
volumétricas de origem térmica, da retração hidráulica e outras 
previstas no dimensionamento das estruturas.” 
 Nos projetos das estruturas correntes, a agressividade 
ambiental deve ser classificada de acordo com a localidade da 
estrutura e pode ser avaliada, simplificadamente, segundo as 
condições de exposição da estrutura ou de suas partes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Classes de agressividade ambiental 
: 2014) 
DURABILIDADE DO CONCRETO 
 Segundo a NBR 6118 (item 7.4), a “... durabilidade das 
estruturas é altamente dependente da qualidade, das 
características e espessura do concreto e do cobrimento da 
armadura.” 
 
Correspondência entre classe de agressividade e qualidade do 
concreto 
 Devido à existência de uma forte correspondência entre a 
relação água/cimento e a resistência à compressão do concreto e 
sua durabilidade, permite-se que sejam adotados os requisitos 
mínimos. 
DURABILIDADE DO CONCRETO 
 Requisitos mínimos: 
2014) 
Correspondência entre classe de agressividade e qualidade do 
concreto 
DURABILIDADE DO CONCRETO 
 Define-se cobrimento de armadura a espessura da camada de 
concreto responsável pela proteção da armadura num 
elemento. Essa camada inicia-se a partir da face 
mais externa da barra de aço e se estende até a 
superfície externa do elemento em contato com 
o meio ambiente. Em vigas e pilares é comum a 
espessura do cobrimento iniciar na face externa dos 
estribos da armadura transversal. 
Correspondência entre classe de agressividade e 
cobrimento nominal 
DURABILIDADE DO CONCRETO 
 A NBR 6118 define o cobrimento mínimo da armadura como “o 
menor valor que deve ser respeitado ao longo de todo o elemento 
considerado.” 
 Para garantir o cobrimento mínimo (cmín), o projeto e a execução 
devem considerar o cobrimento nominal (cnom), que é o cobrimento 
mínimo acrescido da tolerância de execução (Dc). As dimensões das 
armaduras e os espaçadores devem respeitar os cobrimentos 
nominais. 
Nas obras correntes o valor de Dc deve ser maior ou igual a 10 mm. 
DURABILIDADE DO CONCRETO 
Correspondência entre classe de agressividade e 
cobrimento nominal 
 A NBR 6118 (itens 7.4.7.5 e 7.4.7.6) ainda estabelece que o 
cobrimento nominal de uma determinada barra deve sempre ser: 
 A dimensão máxima característica do agregado graúdo (dmáx) 
utilizado no concreto não pode superar em 20 % a espessura nominal 
do cobrimento, ou seja: 
Correspondência entre classe de agressividade e cobrimento 
nominal 
DURABILIDADE DO CONCRETO 
Prof.: Diogo Kropf 
Correspondência entre classe de agressividade e cobrimento 
nominal 
DURABILIDADE DO CONCRETO 
2014) 
Pilar 
 - “São elementos lineares de eixo reto, usualmente dispostos na 
vertical, em que as forças normais de compressão são 
preponderantes”. 
- Transmitem as ações às fundações, mas podem também 
transmitir para outros elementos de apoio. 
- As ações são provenientes geralmente das vigas, bem como de 
lajes também. 
- São os elementos estruturais de maior importância nas 
estruturas (capacidade resistente dos edifícios e segurança). 
- Comumente fazem parte do sistema de contraventamento 
responsável por garantir a estabilidade global dos edifícios às 
ações verticais e horizontais. 
33 
Figura – Armadura de pilar. 
 
34 
 
Figura – Pilar de edifício. 
35 
 
Figura – Pilar de edifício. 
Concreto Armado 
Base para cálculo 
Dimensionamento de pilar – 
compressão simples 
Segurança e Estado Limites 
Prof.: Diogo Kropf 
 Todos os tipos de estrutura devem possuir uma margem de 
segurança contra o colapso e deformações, vibrações e fissurações 
excessivas, sob o risco de perdas de vidas humanas e danos materiais 
de grande valor. 
 Deverá existir, portanto, uma folga de resistência da estrutura, 
isto é, para ocorrer a ruína a estrutura teria que estar submetida a 
carregamentos muito superiores àqueles para os quais foi projetada. 
Em resumo: “Todo o conjunto da estrutura, bem como as 
partes que a compõe, deve resistir às solicitações externas 
na sua combinação mais desfavorável, durante toda a vida 
útil, e com uma conveniente margem de segurança”. 
Segurança e Estado Limites 
Prof.: Diogo Kropf 
 Esta segurança está condicionada à verificação dos estados 
limites, que são situações em que a estrutura apresenta desempenho 
inadequado à finalidade da construção, ou seja, são estados em que a 
estrutura se encontra imprópria para o uso. Os estados limites podem 
ser classificados em estados limites últimos ou estados limites de 
serviço. 
Segurança e Estado Limites 
Prof.: Diogo Kropf 
 Estados Limites Últimos 
 São aqueles que correspondem à máxima capacidade portante 
da estrutura, ou seja, sua simples ocorrência determina a paralização, 
no todo ou em parte, do uso da construção. 
 O dimensionamento da estrutura é feito no Estado Limite Último 
(ELU), isto é, na situação relativa ao colapso. Entretanto, os 
coeficientes de ponderação fazem com que, em serviço, as estruturas 
trabalhem “longe” da ruína. 
 Os coeficientes de ponderação majoram as ações (ou os 
esforços solicitantes) e minoram a resistência dos materiais. 
 
Segurança e Estado Limites 
Prof.: Diogo Kropf 
 Estados Limites Últimos 
 É o “estado-limite relacionado ao colapso, ou a qualquer outra 
forma de ruína estrutural, que determine a paralisação do uso da 
estrutura.” (NBR 6118/14, 3.2.1). 
 
 Estados Limites Últimos a serem verificados: 
a) Resistência ultrapassada: ruptura do concreto; 
b) Escoamento excessivo da armadura: εs > 10%o; 
c) Aderência ultrapassada: escorregamento da barra; 
d) Flambagem. 
Segurança e Estado Limites 
Prof.: Diogo Kropf 
 Estados Limites Últimos 
 “Em relação aos ELU, além de se garantir a segurança 
adequada, isto é, uma probabilidade suficientemente pequena de ruína, 
é necessário garantir uma boa ductilidade, de forma que uma eventual 
ruína ocorra de forma suficientemente avisada, alertando os usuários.” 
Segurança e Estado Limites 
Prof.: Diogo Kropf 
 Estados Limites de Serviço 
São aqueles que correspondem a condições precárias em serviço. Sua 
ocorrência, repetição ou duração causam efeitos estruturais que não 
respeitam condições especificadas para o uso normal da construção ou 
que são indícios de comprometimento da durabilidade. 
“São aqueles relacionados ao conforto dousuário e à durabilidade, 
aparência e boa utilização das estruturas, seja em relação aos 
usuários, seja em relação às máquinas e aos equipamentos 
suportados pelas estruturas.” (NBR 6118/14, item 10.4). 
Segurança e Estado Limites 
Prof.: Diogo Kropf 
 Estados Limites de Serviço definidos são: 
a) Estado limite de formação de fissuras (ELS-F): estado em que se 
inicia a formação de fissuras. Admite-se que este Estado Limite é 
atingido quando a tensão de tração máxima na seção transversal for 
igual a resistência do concreto à tração na flexão (fct,f); 
b)Estado limite de abertura das fissuras (ELS-W): este estado é 
alcançado quando as fissuras tem aberturas iguais aos valores 
máximos especificados por norma. 
Segurança e Estado Limites 
Estados limites de serviço - garantir que sejam mantidas as 
características apropriadas ao bom funcionamento da obra, tais como 
flecha limitada nas vigas e abertura admissível de fissuras no concreto 
armado. 
 Convém lembrar que o não atendimento aos estados limites de 
serviço pode inviabilizar o uso da construção: 
 - fissuração com aberturas excessivas em caixas d'água de 
concreto podem comprometer a sua estanqueidade 
 - em pontes a deformação exagerada pode até impedir a 
passagem. 
Estados limites últimos - garantia de que não ocorra o esgotamento da 
capacidade portante da estrutura ou de suas partes componentes. 
Segurança e Estado Limites 
Prof.: Diogo Kropf 
A NBR 6118/14 estabelece que “as resistências não podem ser 
menores que as solicitações e devem ser verificadas em relação a 
todos os estados-limites e todos os carregamentos especificados para 
o tipo de construção considerado, ou seja, em qualquer caso deve ser 
respeitada a condição:” 
Rd ≥ Sd 
Rd = resistência de cálculo; 
Sd = solicitação de cálculo. 
AÇÕES 
Prof.: Diogo Kropf 
 Ações são causas que provocam esforços ou deformações 
nas estruturas. 
 Na análise estrutural deve ser considerada a influência de 
todas as ações que possam produzir efeitos significativos para a 
segurança da estrutura em exame, levando-se em conta os possíveis 
estados limites últimos e os de serviço. 
 As ações a considerar classificam-se de acordo com a ABNT 
NBR 8681 em: 
 permanentes; 
 variáveis; 
 excepcionais. 
AÇÕES 
Prof.: Diogo Kropf 
AÇÕES PERMANENTES 
 Ações permanentes são as que ocorrem com valores 
praticamente constantes durante toda a vida da construção. Também 
são consideradas como permanentes as ações que crescem no 
tempo, tendendo a um valor limite constante. 
 As ações permanentes devem ser consideradas com seus 
valores representativos mais desfavoráveis para a segurança. 
 As ações permanentes são constituídas pelas: 
 ações permanentes diretas; 
 ações permanentes indiretas. 
AÇÕES 
Prof.: Diogo Kropf 
AÇÕES PERMANENTES DIRETAS 
 - peso próprio da estrutura ou de elementos construtivos 
permanentes (paredes, pisos e revestimentos, por exemplo), 
 - peso dos equipamentos fixos, etc. 
 
 
 
AÇÕES PERMANENTES INDIRETAS 
 
 - retração, recalques de apoio, protensão. 
 
* Em alguns casos particulares, como reservatórios e piscinas, o 
empuxo de água pode ser considerado uma ação permanente direta. 
AÇÕES 
Prof.: Diogo Kropf 
AÇÕES VARIÁVEIS 
 São aquelas cujos valores têm variação significativa em torno 
da média, durante a vida da construção. Podem ser fixas ou móveis, 
estáticas ou dinâmicas, pouco variáveis ou muito variáveis. 
 
 - cargas de uso (pessoas, mobiliário, veículos etc 
 - vento, 
 - variação de temperatura, 
 - alguns casos de abalo sísmico etc. 
AÇÕES 
Prof.: Diogo Kropf 
AÇÕES EXCEPCIONAIS 
 Correspondem a ações de duração extremamente curta e 
muito baixa probabilidade de ocorrência durante a vida da construção, 
mas que devem ser consideradas no projeto de determinadas 
estruturas. 
 
 - as ações decorrentes de explosões, 
 - choques de veículos, 
 - incêndios, 
 - enchentes. 
VALORES DAS AÇÕES 
 - PERMANENTES 
Esses valores estão definidos na ABNT NBR 6118 ou em Normas 
Brasileiras específicas, como a ABNT NBR 6120. 
 Alguns valores apresentados na ABNT NBR 6120, para peso 
específico de materiais de construção, correspondem a: 
blocos de argamassa ........................................................... 22 kN/m3 
lajotas cerâmicas .................................................................. 18 kN/m3 
tijolos furados ........................................................................ 13 kN/m3 
tijolos maciços ...................................................................... 18 kN/m3 
argamassa de cimento e areia............................................. 21 kN/m3 
concreto simples ............................................................ 24 kN/m3 
concreto armado ................................................................. 25 kN/m3 
VALORES DAS AÇÕES 
 - VARIAVEIS 
Esses valores estão definidos na ABNT NBR 6118 ou em Normas 
Brasileiras específicas, como a ABNT NBR 6120. Alguns valores 
apresentados na ABNT NBR 6120, para valores mínimos de cargas 
verticais, correspondem a: 
ginásios de esportes ........................................................... 5,0 kN/m2 
lojas ....................................................................................... 4,0 kN/m2 
restaurantes.......................................................................... 3,0 kN/m2 
escritórios .............................................................................. 2,0 kN/m2 
forros ..................................................................................... 0,5 kN/m2 
edifícios residenciais ........................................................... 1,5 kN/m2 
despensa, área de serviço e lavanderia ....................... 2,0 kN/m2 
COEFICIENTES DE PONDERAÇÃO DAS AÇÕES 
Os valores de cálculo Fd das ações são obtidos a partir dos valores 
representativos, multiplicando-os pelos respectivos coeficientes de 
ponderação f . 
 As ações devem ser majoradas pelo coeficiente f : 
f = f1 . f2 . f3 
Combinações 
de ações 
Ações 
Permanentes 
(g) 
Variáveis 
(q) 
Protensão 
(p) 
Recalques de 
apoio e 
retração 
D F G T D F D F 
Normais 1,41 1,0 1,4 1,2 1,2 0,9 1,2 0 
Especiais ou 
de 
construção 
1,3 1,0 1,2 1,0 1,2 0,9 1,2 0 
Excepcionais 1,2 1,0 1,0 0 1,2 0,9 0 0 
onde: D é desfavorável, F é favorável, G representa as cargas variáveis em geral, T é 
temperatura. 
1. “Para as cargas permanentes de pequena variabilidade, como o peso próprio das 
estruturas, especialmente as pré-moldadas, esse coeficiente pode ser reduzido para 1,3.” 
Tabela - Coeficiente f = f1 . f3 no ELU (NBR 6118, Tabela 11.1) 
COEFICIENTES DE PONDERAÇÃO DAS AÇÕES 
 As ações devem ser majoradas pelo coeficiente f : 
f = f1 . f2 . f3 
Tabela - Coeficiente f = f2 (NBR 6118, Tabela 11.1) 
Ações Variáveis 
γf2 
ψo 
Cargas acidentais de 
edifícios 
Locais em que não há predominância de pesos de equipamentos 
que permanecem fixos por longos períodos de tempo, nem de 
elevadas concentrações de pessoasa 
0,5 
Locais em que há predominância de pesos de equipamentos que 
permanecem fixos por longos períodos de tempo, ou de elevada 
concentração de pessoasb 
0,7 
Biblioteca, arquivos, oficinas e garagens 0,8 
Vento Pressão dinâmica do vento nas estruturas em geral 0,6 
Temperatura 
Variações uniformes de temperatura em relação à média anual 
local 
0,6 
a. Edifícios residenciais. 
b. Edifícios comerciais, de escritórios, estações e edifícios públicos.” 
COMBINAÇÔES DAS AÇÕES - ELUA equação para o cálculo de solicitações considerando o 
possível esgotamento da capacidade resistente de elementos 
estruturais de concreto armado pode ser representada por: 
Sd: é o valor de cálculo das ações para combinação última. 
Fgk: representa as ações permanentes diretas (valor característico): 
•peso próprio da estrutura; 
FƐgk: representa as ações permanentes indiretas (valor característico): 
•retração do concreto; 
•fluência do concreto; 
Fqjk representa as ações variáveis diretas (valor característico): 
•ação do vento; e 
•ação da água. 
FƐqk representa as ações variáveis indiretas (valor característico): 
•variações uniformes de temperatura e variações não uniformes de temperatura. 
Sd = 
COMBINAÇÔES DAS AÇÕES 
 g: representa o coeficiente de ponderação para ações permanentes diretas; 
Ɛg: representa o coeficiente de ponderação para ações permanentes indiretas ; 
q: representa o coeficiente de ponderação para ações variáveis diretas; 
Ɛq: representa o coeficiente de ponderação para ações variáveis indiretas ; 
Ѱ0j : representa o fator de redução de combinação para ações variáveis diretas. 
Sd = 
COMBINAÇÔES DAS AÇÕES 
 Uma viga de 6m de comprimento e de seção 12X40 de um edifício 
comercial está sujeita a diferentes cargas: 
 Peso próprio de estrutura de concreto – 25kN/m³ 
 Peso de outros elementos permanente - 50kN 
 Ocupação da estrutura - 30kN 
 Vento - 20kN 
 Sd = ??? 
Sd = 
Fg = 25 . (6.0,12.0,40) = 7,2 kN (Permanente  1. 3 = 1,4 ) 
Fg = 50 kN (Permanente  1. 3 = 1,4 ) 
Fq = 30kN (Variável  1. 3 = 1,4 ; 2 = 0,7) 
Fq = 20kN (Variável  1. 3 = 1,4 ; 2 = 0,6) 
Sd = (7,2 . 1,4) + (50 . 1,4) + (30 . 1,4 . 0,7) + (20.1,4) = 137,48 kN 
Sd = (7,2 . 1,4) + (50 . 1,4) + (30 . 1,4) + (20 . 1,4 . 0,6) = 138,88 kN 
Sd 
b 
h 
As 
L 
A A 
Equilíbrio em 
na seção A-A CG 
sc 
+ 
ss 
= 
Sd dd RS  sdcdd RRR = ssccd AAR ss =
DIMENSIONAMENTO – COMPRESSÃO SIMPLES 
Prof.: Diogo Kropf 
DIMENSIONAMENTO – COMPRESSÃO SIMPLES dd
RS  açoconcretoRd = sscc AA ss 
2 ‰ 3,5 ‰
 s
 f
0,85 fcd
ck
c
c 
O fator ac é devido ao efeito Rüsch 
- Considera que a resistência do concreto diminui com o aumento 
do tempo na aplicação da carga 
ccdc Afa
Resistência do Concreto 
acfcd 
Prof.: Diogo Kropf 
Valor de ac para o tipo de 
concreto 
MPa50fpara85,0 ckc =a
 
MPaeMPaentrefpara
f
ck
ck
c
9055
200
50
0,185,0 




 
=a
Prof.: Diogo Kropf 
c = coeficiente de ponderação da resistência do concreto. 
c
ck
cd
f
f

=
a) “quando a verificação se faz em data j igual ou superior a 28 
dias:” 
RESISTÊNCIA DE CÁLCULO DO CONCRETO 
O valor de c varia acordo com os estados limites e com as combinações de 
ações 
Tabela - Valores dos coeficientes de ponderação  c. 
 (NBR 6118/14, Tabela 12.1). 
Prof.: Diogo Kropf 
 Segundo a NBR 61183 (item 12.4.1): “Para a execução de 
elementos estruturais nos quais estejam previstas condições 
desfavoráveis (por exemplo, más condições de transporte, ou 
adensamento manual, ou concretagem deficiente por concentração de 
armadura), o coeficiente c deve ser multiplicado por 1,1. 
 Para elementos estruturais pré-moldados e pré-fabricados, deve 
ser consultada a ABNT NBR 9062. Admite-se, no caso de testemunhos 
extraídos da estrutura, dividir o valor de c por 1,1. 
açoRd = ssAs=
CA-25; CA-50; CA-60 
Diagrama simplificado para cálculo nos estados-limites de serviço e 
último: 
Figura - Diagrama tensão-deformação para aços de armaduras passivas com ou sem 
patamar de escoamento. 
yd f
yk f
 ss
s 
 yd 10 ‰
 a
Diagrama simplificado para cálculo nos estados-limites de serviço e 
último: 
Figura - Diagrama tensão-deformação para aços de armaduras passivas com ou sem 
patamar de escoamento. 
yd f
yk f
 ss
s 
 yd 10 ‰
 a
 Deformação de início de escoamento: 
s
yd
yd
E
f
=
CA-25: yd = 1,04 ‰ 
CA-50: yd = 2,07 ‰ 
CA-60: yd = 2,48 ‰ 
Es = tg a = 2.100.000 kgf/cm
2 = 210.000 MPa 
açoRd = ssAs=
Prof.: Diogo Kropf 
S = coeficiente de ponderação da resistência do AÇO. 
RESISTÊNCIA DE CÁLCULO DO AÇO 
O valor de S varia acordo com os estados limites e com as combinações de 
ações 
s
yk
yd
f
f

=
Prof.: Diogo Kropf 
Para determinar a tensão da armadura longitudinal ss, é 
necessário avaliar os três tipos de aços disponíveis no 
mercado 
Aços ≤50MPa 90≥fck(MPa)≥55 
CA-25 
yd=1,04‰ 
c2 
‰ 
2,0 2,0 2,3 2,4 2,42 2,5 2,52 2,56 2,6 
ss fyd 
CA-50 
yd=2,07‰ 
ss Tensão de acordo com o início de escoamento do concreto 
CA-60 
yd=2,40‰ 
ss Tensão de acordo com o início de escoamento do concreto 
c2 > yd então s = fyd 
 
 
ssAs
Prof.: Diogo Kropf 
DIMENSIONAMENTO 
DADOS: 
fck, fyd, Sd 
Observa-se que aparece uma equação e 
duas incógnitas. 
ssccdd AARS ss =
Fixando a área de concreto, determina-se a 
área de aço 
s
ccdcd
s
AfS
A
s
a
=
1. As≤0 A força é menor que a resistência do concreto; 
2. As>0 A seção necessita armadura para resistir a força 
atuante. 
INCOGNITAS: 
 Ac; As 
Prof.: Diogo Kropf 
VERIFICAÇÃO 
DADOS: 
fck, fyd, Nsd, Ac e As 
 
dd RS :
1. Sd>Rd O pilar necessita ser redimensionado ou 
reforçado, se está construído; 
2. Sd ≤ Rd O pilar está bem dimensionado. 
Prof.: Diogo Kropf 
Elementos Submetidos Tração Axial Simples 
Existem dois casos possíveis: 
1) Elementos onde a fissuração não é um ponto importante; 
2) Elementos onde a peça não deve ter fissuração. 
No primeiro caso há necessidade somente de dimensionar 
a peça o tensor no Estado Limite ultimo (ELU) 
ydsud fARS =
Prof.: Diogo Kropf 
Elementos Submetidos Tração Axial Simples 
No segundo caso há necessidade além de dimensionar a 
peça o tensor no Estado Limite ultimo (ELU), também no 
Estado Limite de Serviço (ELS). 
sscctkkk
skckkk
AAfRS
RRRS
s=
=
𝑓𝑐𝑡𝑘 = 0,21. 𝑓𝑐𝑘²
3
 (MPa) 
σs = de acordo com a deformação do 
 concreto a tração. 
Prof.: Diogo Kropf 
Elementos Submetidos Tração Axial Simples 
scctkkk
scts
AAfRS
emresultaosubtituind
MPaE
5,31
:,
5,31210000*00015,0
=
=== s
Prof.: Diogo Kropf 
Elementos Submetidos Tração Axial Simples 
DIMENSIONAMENTO 
-ELU- determina-se a área de aço longitudinal 
 
yd
d
s
f
S
A =
-ELS- determina-se a área de concreto 
 ctk
sk
c
f
AS
A
5,31
=
Prof.: Diogo Kropf 
Na seguinte estrutura pertencente a um galpão industrial, 
realize: 
O dimensionamento do Pilar em sua seção mais crítica, 
considerando o esquema de análise apresentado na figura 
abaixo; 
Dados: 
Concreto tipo CP-III, fck=25MPa, s=1,15, c=1,4, g=q=1,4, 
CA-60, 
qsk=0,5kN/m
2(forro), peso especifico do concreto=25kN/m3, 
outras cargas permanentes sobre a viga de 60kN/m 
(Considera também as cargas de peso próprio da laje, 
viga e colunas) 
EXEMPLO: Elemento submetido à compressão axial centrada 
Prof.: Diogo Kropf 
285cm 
Prof.: Diogo Kropf 
Dados: fck = 25 Mpa 
γc = 1,4 
CA – 60 
γ s = 1,15 
qsk = 0,5 kN/m² 
qgk = 60 kN/m 
γ c = 1,4 
1° passo: M.E.L. (segurança) 
2° passo: Cálculo da solicitação (cargas) 
 Sobrecarga (qsd); 
 Laje (peso próprio - qld); 
 Carga na viga (qgd); 
 Viga (peso próprio (qvd); 
 Pilar (peso próprio - qpd). 
Prof.: Diogo Kropf 
1° passo: M.E.L. (segurança) 
Concreto tipo CP-III,fck=25MPa: 
 
 fcd= 
𝑓𝑐𝑘
1,4
 = 
25 𝑀𝑃𝑎
1,4
 
 
Aço CA-60: 
 
 fyd= 
𝑓𝑦𝑘
1,4
 = 
600 𝑀𝑃𝑎
1,4 
Prof.: Diogo Kropf 
2° passo: Cálculo da solicitação (cargas) 
 Sobrecarga (qsd); 
 qsk = 0,5 kN/m² q = 1,4 
 
 qsd = qsk x q, x 5,35m 
Prof.: Diogo Kropf 
2° passo: Cálculo da solicitação (cargas) 
 Laje (peso próprio - qld) 
 . c = 25 kN/m³  q = 1,4 
 
 qld =  c x q, x espessura x 5,35m 
Prof.: Diogo Kropf 
2° passo: Cálculo da solicitação (cargas) 
 qgk = 60 kN/m  g = 1,4 
 
 Carga na viga (qgd) 
 qqd = qgk x q 
Prof.: Diogo Kropf 
2° passo: Cálculo da solicitação (cargas) 
 Viga (peso próprio (qvd); 
 . c = 25 kN/m³  q = 1,4 
 
 qsd =  c x q, x largura x altura 
Prof.: Diogo Kropf 
2° passo: Cálculo da solicitação (cargas) 
 Pilar (peso próprio - qpd). 
 . c = 25 kN/m³  q = 1,4 
 qpd =  c x q, x largura x altura x espessura 
Prof.: Diogo Kropf 
Qd 
Seção crítica 
Reação A (esforço solicitante) 
2° passo: Carga total 
 Qd= (qsd + qld + qgd + qvd) cargas linearmente distribuídas 
Reação B 
Estrutura simétrica: valor da solicitação será igual para os dois pilares! 
Prof.: Diogo Kropf 
Prof.: Diogo Kropf 
Reação (esforço solicitante) : 
Coeficente adicional (n) 
Prof.: Diogo Kropf 
a) DIMENSIONAMENTO 
ssccdd AARS ss =
Prof.: Diogo Kropf 
EXEMPLO 
Prof.: Diogo Kropf 
EXEMPLO 
 
 
 
festribo ≥ 
5mm 
¼ f isolado (utilizando f) 
¼ fAs 
 
 
sestribo ≤ 
20cm 
 menor dimensão do pilar 
24 f CA-25 , 12 f CA-50 
b 
h 
As 
L 
Pilares não esbeltos 
CG 
Prof.: Diogo Kropf 
2° EXEMPLO: 
 
Verificação => 
35cm 
30cm 
4ø16 
Concreto – 30MPa 
CA-50 
Qsd =100kN 
Sd : Rd 
Prof.: Diogo 
Kropf 
1-Um engenheiro que construía uma edificação necessitava determinar a máxima sobrecarga (qsd), 
que poderia colocar acima do pórtico apresentado abaixo: 
Dados: 
fck=25MPa, s=1,15, c=1,4,  g=  q=1,4, CA-25, peso especifico do concreto=25kN/m3, espessura da 
laje=12cm, dimensões da viga (14cm x 25cm) 
3° EXEMPLO: 
Prof.: Diogo 
Kropf 
Dados: fck = 25 Mpa 
γc = 1,4 
CA – 25 
γ s = 1,15 
qsk = 2,5 kN/m² 
γ c = 1,4 
1° passo: M.E.L. (segurança) 
2° passo: Cálculo da solicitação (cargas) 
 Sobrecarga (qsd); 
 Laje (peso próprio - qld); 
 Viga (peso próprio (qvd); 
 Pilar (peso próprio - qpd). 
Prof.: Diogo 
Kropf 
2° passo: Cálculo da solicitação (cargas) 
 Laje (peso próprio - qld) 
 . c = 25 kN/m³ γ q = 1,4 espessura 
da laje=12cm 
 
Prof.: Diogo 
Kropf 
2° passo: Cálculo da solicitação (cargas) 
 Viga (peso próprio (qvd); 
 . c = 25 kN/m³ γ q = 1,4 dimensões da 
viga (14cm x 25cm) 
 
 
Prof.: Diogo 
Kropf 
2° passo: Cálculo da solicitação (cargas) 
 Pilar (peso próprio - qpd). 
 . c = 25 kN/m³ γ q = 1,4 
4,00 m de altura 
Prof.: Diogo 
Kropf 
Seção 
crítica 
Reação (esforço solicitante) 
2° passo: Carga total 
 Qd= (qsd + qld ) + qvd 
Prof.: Diogo 
Kropf 
Reação (esforço solicitante) : 
 
 Sd 
2° passo: Cálculo da solicitação (cargas) 
Prof.: Diogo 
Kropf 
a) Determinar qsd 
dd RS 
Prof.: Diogo Kropf 
Prof.: Diogo Kropf 
Um engenheiro que construía uma edificação necessitava decidir qual dos três elementos de 
concreto armado, mostrado abaixo, deverá usar para continuar a construção de sua obra 
(pilares), de forma a se obter melhor economia no consumo de material. Considerando o peso 
próprio do pilar. 
600 cm 
qsd=36,9kN/m 
c = 1,4 
s = 1,15 
Ɣc = 25 kN/m³ 
CA – 25 
Fck = 35 MPa 
450 cm 
Verificação => Sd ≤ Rd 
4° EXEMPLO: 
A Figura a seguir mostra um reservatório de água para abastecer uma 
comunidade em Campos dos Goytacazes. Foi pedido para um engenheiro: 
 
5° EXEMPLO: Elemento submetido à tração axial centrada 
a) Verificar o reservatório para o 
Estado Limite Último (ELU) e o 
Estado Limite de Serviço (ELS); 
b) Dimensionar o pilar da caixa d’água. 
Dados: 
fck=40MPa, s=1,15, c=1,4, g=q=1,4, 
CA-50, água=10kN/m
3, água = 1,2(Coef. 
de ponderação); peso específico do 
concreto=25kN/m3, Área de aço nas 
paredes do reservatório no sentido 
horizontal (As=78cm
2/m) 
(Não considerar carga de vento). 
EXEMPLO: Elemento submetido à tração axial centrada 
Dados: 
fck=40MPa, s=1,15, c=1,4, g=q=1,4, 
CA-50, água=10kN/m
3, água = 1,2(Coef. 
de ponderação); peso específico do 
concreto=25kN/m3, Área de aço nas 
paredes do reservatório no sentido 
horizontal (As=78cm
2/m) 
(Não considerar carga de vento). 
EXEMPLO: Elemento submetido à tração axial centrada 
Carga da água = Qágua= Sd 
Sd 
Sd 
a) Verificar o reservatório para o Estado Limite Último (ELU) e o Estado 
Limite de Serviço (ELS); 
Sd ≤ Rd 
EXEMPLO: Elemento submetido à tração axial centrada 
Sd = ? 
Carga da água = Qágua= Sd 
Sd 
Sd 
 c = 10 kN/m³ água = 1,2 
a) Verificar o reservatório para o Estado Limite Último (ELU) e o Estado 
Limite de Serviço (ELS); 
Sd ≤ Rd 
As=78cm
2/m 
Dimensionar a colunar: 
Dados: fck = 40 Mpa 
γc = 1,4 
Ɣc = 25 kN/m³ 
CA – 50 
γ s = 1,15 
Ɣágua = 10 kN/m³ 
 γágua = 1,2 
 1° passo: M.E.L. (segurança) 
 2° passo: Cálculo da solicitação (cargas) 
 Peso do reservatório (qrd); 
 Peso da água (qad); 
 Pilar (peso próprio - qpd). 
Dimensionar a colunar: 
2° passo: Cálculo da solicitação (cargas) 
 Peso do reservatório (qrd) 
γc = 1,4 
Ɣc = 25 kN/m³ 
Dimensionar a colunar: 
2° passo: Cálculo da solicitação 
(cargas) 
 Pilar (peso próprio - qpd). 
 
γc = 1,4 
Ɣc = 25 kN/m³ 
Dimensionar a colunar: 
2° passo: Carga total 
Qd = qrd + 
qad 
Seção 
crítica 
Sd = Qd + qpd 
DIMENSIONAMENTO 
S d  Rd 
1-No dimensionamento de uma estrutura de deposito de produtos químicos (tanque), 
após a realização do esquema de cálculo, determinou-se que era necessário 
dimensionar um elemento submetido a uma força de tração de cálculo de 400kN, 
determine: 
a)-a largura do tanque para uma faixa de altura de 100cm (as paredes do tanque são 
retangulares) ; 
6° EXEMPLO: Elemento submetido à tração axial centrada 
Dados 
fck=25MPa, c=1,4; produto químico=2 
Aço - CA 60,  s=1,15 
Elemento submetido à tração axial 
1-Faça o dimensionamento do pilar em sua seção mais critica, onde futuramente será 
construída uma biblioteca, considerando o esquema de análise apresentado na figura 
abaixo(considere as cargas de peso próprio da laje, viga e coluna). 
7° EXEMPLO 
Dados 
Utilize concreto tipo CP-II, fck=40MPa, c=1,4 ; Aço - CA 50,  s=1,15 
qsd1=50kN/m² e qsd2= 2kN/m; peso específico do concreto 25 kN/m³. 
5,0m 1,5m 0,15m 
5,0m 
1,5m 0,15m 
1,5m 
0,15m 
1,5m 
0,15m 
4,75m 
0,1m 
0,5m 
4,5m 
2- Após ter dimensionado a estrutura foi pedido para o engenheiro a necessidade de 
colocar em funcionamento a obra aos 15 dias de realizada a concretagem. Ajude ao 
engenheiro a decidir se é possível ou não realizar isto, usando o dimensionamento 
anterior. 
 
*Para avaliação aproximada da resistência do concreto numa idade j (dias), a NBR 
6118/2014 recomenda a relação abaixo: 
𝒇𝒄𝒋= 𝒆
𝒔[𝟏−
𝟐𝟖
𝒋 ]. 𝒇𝒄𝟐𝟖 
s= 0,20 (CPV) 
s= 0,25 (CPI ou CPII) 
s= 0,38 (CPII ou CPIV) 
7° EXEMPLO