Capacitores Física III

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F´ısica III Sobral
EU PENSO, LOGO EXISTO.
CAPACITORES E RESISTORES :
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F´ısica III Sobral
ELETROSTA´TICA
Carga ele´trica : A mate´ria e´ constitu´ıda de a´to-
mos. Os a´tomos, por sua vez, sa˜o constitu´ıdo de
va´rias part´ıculas elementares. As principais sa˜o:
Ele´trons, pro´tons e neˆutrons
O comportamento t´ıpico dessas part´ıcula sa˜o :
(A) Pro´tons em presenc¸a de pro´tons - repelem-se( ← ⊕ ⊕ → )
(B) Ele´trons em presenc¸a de ele´trons - repelem-se( ← 	 	 → )
(C) Pro´tons em presenc¸a de ele´trons - atraem-se( ⊕ → ← 	 )
(D) Neˆutrons em presenc¸a de neˆutrons - na˜o observa-
se nem repulsa˜o nem atrac¸a˜o.
Para diferenciar os comportamentos das relac¸o˜es acima,
dizemos que os pro´tons e os ele´trons sa˜o portadores
de uma propriedade f´ısica especial, que pode ser facil-
mente medida, denominada carga ele´trica.
Observe que os pro´tons e ele´trons possuem com-
portamentos opostos (A, B, C). Portanto fica claro
que existe dois tipos distinto de carga ele´trica.
Por convenc¸a˜o foi definido que:
1 – Pro´tons possuem carga ele´trica positiva.
2 – Ele´trons possuem carga ele´trica negativa.
3 – Neˆutrons na˜o possuem carga ele´trica.
Observac¸o˜es delicada nos informa que a quantidade
de carga transportada pelo ele´tron e´ exatamente igual
a quantidade de carga transportada pelo pro´ton, dife-
renciando-se apenas no tipo de carga, isto e´, os pro´tons
possuem carga positiva enquanto os ele´trons pos-
suem carga negativa, cujo valor da carga elementar,
indicada pela letra e.
e = 1, 602 10−19Coulomb = 1, 602 10−19C
Coulomb ( C ) e´ a unidade com que se medem as
cargas ele´tricas no sistema Internacional de Unidades
(SI).
Assim, indicaremos por qp as cargas transportadas
pelo pro´ton e qe as cargas transportadas pelo ele´tron.
qp = +1, 602 10
−19C qe = −1, 602 10−19C
Embora, as cargas dos pro´tons e dos ele´trons seja
iguais em modulo, as suas massas sa˜o bastantes difer-
entes: veja tabela abaixo.
Part´ıcula Massa (kg) Carga el’etrica
ele´tron m = 9, 108.10−31 - e
Pro´ton 1836 m + e
neˆutron 1839 m zero
Corpo - Um corpo qualquer e´ constitu´ıdo de
pro´tons, ele´trons e neˆutrons. Seja np o nu´mero
total de pro´tons de um corpo e ne o nu´mero total de
ele´trons. Enta˜o dizemos que:
(I) se np > ne: O corpo esta´ eletrizado positiva-
mente.
(II) se np < ne : O corpo esta´ eletrizado negativa-
mente.
(III) se np = ne : e´ eletricamente neutro.
Para finalizar, dizemos que a carga ele´trica total
de um corpo Q em modulo e´:
Q = n.e
Onde n e´ o nu´mero de ele´trons em falta ou excesso
no corpo.
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Conservac¸a˜o das cargas ele´tricas:
Chamaremos de sistema isolado aquele que na˜o
troca cargas ele´tricas com o meio exterior.
Em um sistema eletricamente isolado a soma alge´-
brica das cargas positivas e negativas e´ sempre cons-
tante. Ex.
antes
QA = +5; QB = −3 enta˜o
QA +QB = +5 − 3 = +2
depois
QA = +7; QB = −5 enta˜o
QA +QB = +7 − 5 = +2
Condutores e Isolantes Ele´tricos
Condutor Ele´trico - E´ todo meio material que
permite as part´ıculas eletrizadas se movimentarem
com facilidade. Em geral os metais sa˜o bons con-
dutores, pois nas camadas mais externa do a´tomo,
os ele´trons livres que por estarem fracamente ligados
ao nu´cleo atoˆmico, podem passar facilmente de um
a´tomo para o outro, formando um verdadeira nuvem
eletroˆnica no interior do metal.
Ex. em um fio de cobre, ha´ uma quantidade
enorme de ele´trons livres, os quais se movimenta de
maneira cao´tica (desordenada). Existe condutores
ele´tricos nos estados so´lidos, l´ıquidos e gasoso. E´ im-
portante saber distinguir quais sa˜o os portadores de
carga ele´trica.
(A) Nos condutores so´lidos - por exemplo os metais
- os portadores de carga ele´trica sa˜o ele´trons.
(B) Nos condutores l´ıquidos - soluc¸o˜es ioˆnicas -
os portadores de carga ele´trica sa˜o ions ( ca´tions e
aˆnions )
(C) Nos gases condutores ou gases ionizados os por-
tadores sa˜o ions e ele´trons.
Isolante Ele´trico - E´ aquele tipo de material que
na˜o apresenta facilidade ao movimento das part´ıculas
eletrizadas. Os na˜o metais, vidros, mica, ebonite
sa˜o bons isolantes. Isto e´ a quantidade de ele´trons
livres sa˜o insuficiente para permitir a passagem das
part´ıculas atrave´s de si ( dos a´tomos).
ELETRODINAˆMICA
Corrente Ele´trica
Em um condutor cujos ele´trons livres esta˜o em movi-
mento cao´tico.
Um dispositivo, no qual possuem duas regio˜es A
e B com permanente falta de ele´trons (po´lo posi-
tivo) e B com permanente excesso de ele´trons (po´lo
negativo) e´ denominado de Gerador Ele´trico. Ex.
Pilha, Bateria etc.
Quando ligamos o condutor aoGerador Ele´trico
os ele´trons livres entram em movimento ordenado ao
longo do condutor no sentido de B para A.
O movimento ordenado das part´ıculas eletrizadas
constitui a corrente ele´trica.
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Intensidade de Corrente Ele´trica
Seja Q a quantidade de carga ele´trica que atravessa
a secc¸a˜o S (superf´ıcie transversal do cilindro) em um
intervalo de tempo ∆t. Portanto, defini-se intensi-
dade me´dia de corrente ele´trica nes-se condutor a
relac¸a˜o
I =
Q
∆t
No sistema Internacional de Unidades, a quanti-
dade de carga ele´trica Q e´ dada em C (Coulomb) e
o tempo em s (segundo), portanto, a unidade de in-
tensidade de corrente ele´trica e´ expressa em (C/s) e
denomina-se Ampe`re A.
1 A =
1 C
1 s
Obs.: e´ comum usar os submutiplos de ampe`re. Tais
como:
10−3A = 1mA = miliampe`re
10−6A = 1µA = microampe`re
Sendo n o nu´mero de ele´trons que constituem a quan-
tidade de carga ele´trica Q e a carga ele´trica elemen-
tar, enta˜o:
Q = n . e ⇒ i = n . e
∆t
Observac¸a˜o: No caso dos condutores ioˆnicos, partici-
pam da corrente ele´trica tanto cargas ele´tricas positi-
vas (ca´tions) como negativa (aˆnions) o valor absoluto
de Q (da quantidade de carga ele´trica que atravessa
uma secc¸a˜o transversal de um condutor em um certo
intervalo de tempo ∆t, e´ dado pela soma dos valores
absolutos das cargas ele´tricas dos ca´tions e aˆnions.
Q = Qca´tions +Qaˆnions
Resistores:
Resistor e´ todo elemento de um circuito cuja func¸a˜o
exclusiva e´ efetuar a conversa˜o de energia ele´trica em
energia te´rmica. Na pratica, tais elementos sa˜o uti-
lizados nos aparelhos que leva a denominac¸a˜o geral
de aquecedores. Por ex. ferro ele´trico, foga˜o ele´trico
chuveiro ele´trico etc. Quando um Resistor e´ per-
corrido por corrente ele´trica, ocorre a transformac¸a˜o
de energia ele´trica em energia te´rmica, devido ao
choque dos ele´trons livres com os a´tomos do con-
dutor. Esse fenoˆmeno e´ denominado efeito te´rmico
ou efeito Joule.
As cargas ele´trica ao atravessar um condutor, sofrem
por parte do condutor, uma forte oposic¸a˜o ao seu
movimento. A dificuldade que o condutor oferece a
passagem da corrente ele´trica e´ denominada de re-
sisteˆncia ele´trica R. Nos circuitos ele´tricos os resis-
tores sa˜o representados por um dos s´ımbolos:
Primeira Lei de OHM:
Seja U = VA − VB a tensa˜o ele´trica aplicada aos
terminais de um Resistor e i A intensidade de cor-
rente ele´trica que o atravessa. Enta˜o verifica-se que a
uma temperatura constante, a tensa˜o e´ diretamente
proporcional a corrente ele´trica. Isto e´:
U = R i
Onde R e´ a resisteˆncia ele´trica do resistor.
Os resistores que obedecem a Lei de OHM (U =
R i), com R constante, sa˜o denominados resistores
oˆhmicos. No sistema internacional, a unidade de
resisteˆncia ele´trica e´ o OHM simboliza-do por Ω.
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Segunda Lei de OHM Resistividade
Um resistor R depende das caracter´ısticas geome´-
tricas. Assim, seja ` o comprimento de um resistor
de secc¸a˜o transversal de a´rea A constante de formaque
R = ρ
`
A
ρ e´ uma caracter´ıstica do material com que e´ feito o
fio resistor chamado de resistividade ele´trica.
Associac¸a˜o de Resistores:
Para atender a fins pra´ticos, os resistores sa˜o as-
sociados em se´rie, em paralelo ou em grupos mis-
tos. Com isso, visa-se obter um valor espec´ıfico de
resisteˆncia, o qual se denomina Resisteˆncia Equiva-
lente da associac¸a˜o.
Associac¸a˜o em se´rie:
Propriedades:
(1) Todos os resistores sa˜o percorridos pela mesma
corrente.
(2) A tensa˜o total (U), na associac¸a˜o, e´ a soma das
tenso˜es parciais:
U = U1 + U2 + U3
(3) A resisteˆncia equivalente ( Req ) da associac¸a˜o e´
a soma das resisteˆncias parciais.
Req = R1 + R2 + R3 .
Demonstrac¸a˜o:
U = Req.i = (R1 + R2 + R3).i
= R1.i+R2.i+R3.i = U1 + U2 + U3
Associac¸a˜o em Paralelo:
Propriedades:
(1) Todos os resistores associados suportam a mes-
ma tensa˜o, pois eles esta˜o ligados aos mesmos fios
(A e B).
(2) A intensidade de corrente total i da associac¸a˜o
e´ a soma das intensidade parciais: i = i1 + i2 + i3
(3) O inverso da resisteˆncia equivalente e´ igual a
soma dos inversos das resisteˆncias parciais.
i1 =
U
R1
; i2 =
U
R2
; i3 =
U
R3
como i = i1 + i2 + i3 temos
i =
U
R1
+
U
R2
+
U
R3
=
U
Req
onde
1
Req
=
1
R1
+
1
R2
+
1
R3
donde
Req =
R1 R2 R3
R1 R2 +R1 R3 +R2 R3
ou
Req =
∏3
i=1 Ri∑3
i6=j
∏
RiRj
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generalizando esse resultado para n resitores em par-
alelo
Req =
∏n
i=1 Ri∑n
i6=j
∏
RiRj
No caso de n resitores iguais, temos:
Req =
R
n
Interruptores
Interruptores sa˜o dispositivos atrave´s dos quais
abrimos ou fechamos um circuito ele´trico. Tipos de
interruptores: fus´ıveis, chave, reostatos etc.
Curto circuito - curto circuito se estabelece quando
ligamos um fio de resisteˆncia ele´trica desprez´ıvel r en-
tre dois pontosA e B tornando-se assim a resisteˆncia
equivalente nula.
Req =
R.r
r+R = 0
Isto e´, esta resisteˆncia na˜o faz parte do circuito.
Fus´ıveis - Os fus´ıveis sa˜o dispositivos que asse-
guram protec¸a˜o aos circuitos ele´tricos. Eles devem
ser ligados em serie com a parte do circuito ele´trico
que deve ser protegida. Os fus´ıveis sa˜o constitu´ıdos
de condutores de baixo ponto de fusa˜o, como estanho
ou chumbo, que ao serem atravessado por uma cor-
rente ele´trica de intensidade maior do que a ma´xima
permitida, funde-se, interrompendo o circuito.
Reostatos - sa˜o resistores cuja resisteˆncia ele´trica
pode ser variada. Existe dois tipos de reostatos. Re-
ostato de cursor e reostato de Pontos: E seu s´ımbolo
utilizado para representa-lo e´:
Amper´ımetro - O amper´ımetro e´ um instru-
mento destinado a medir intensidade de corrente ele´trica.
Sua resisteˆncia interna e´ muito pequena em relac¸a˜o
aos valores a serem medidos. O amper´ımetro ideal
e´ aquele cuja resisteˆncia interna e´ considerada nula..
ele deve ser colocado em se´rie com o elemento do cir-
cuito cuja corrente se quer medir. E seu s´ımbolo e
representado por:
Volt´ımetro - O volt´ımetro e´ um instrumento
destinado a medir tensa˜o ele´trica entre dois pontos de
um circuito. Sua resisteˆncia ele´trica interna deve ser
muito grande em relac¸a˜o aos valores das resisteˆncias
habituais. Um volt´ımetro ideal e´ aquele cuja re-
sisteˆncia interna seja considerada infinita. Ele deve
ser colocado em paralelo com o elemento do circuito,
cuja tensa˜o queremos medir. E seu s´ımbolo utilizado
e´:
Galvanoˆmetro - Ale´m do amper´ımetro e do volt´ı-
metro, costuma-se tambe´m usar o galvanoˆmetro, um
aparelho detetor de corrente de grande sensibilidade.
O galvanoˆmetro acusa a presenc¸a de correntes, mesmo
que seja de intensidade muito pequenas e seu s´ımbolo
e´ o seguinte:
Geradores Ele´trico
Geradores Ele´trico - Denomina-se gerador ele´tri-
co a um elemento capaz de transformar em energia
Ele´trica uma outra modalidade de energia. Na re-
alidade o gerador na˜o gera energia, como se poderia
supor pelo seu nome. Ele apenas transforma energia
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na˜o ele´trica em energia ele´trica. Portanto a func¸a˜o
ba´sica do gerador e´ abastecer energeticamente o cir-
cuito ele´trico. Aumentando a energia potencial das
cargas que o atravessa.. Um gerador ideal e´ aquele
capaz de fornecer as cargas que o atravessa toda en-
ergia ele´trica gerada. A tenc¸a˜o ele´trica medida en-
tre seus po´los recebe o nome de forc¸a eletromotriz
(f.e.m.). A f.e.m do gerador ideal corresponde a
quantidade de energia ele´trica que cada unidade de
carga recebe ao atravessa-lo. Sendo a F.e.m. uma
tensa˜o ele´trica, enta˜o ela e expressa em volt. Assim,
quando dizemos que a f.e.m. e´ igual a 1V , significa
que para cada quantidade de carga de 1C, o gerador
forneceu 1Joule de energia ele´trica.
1 V =
1 J
1 C
.
O s´ımbolo de um gerador ideal e dado por:
Obs.: a corrente ele´trica no interior do gerador
na˜o e´ espontaˆnea, mas forc¸ada. Por este motivo ela
percorre no sentido do menor para o maior potencial.
Assim a tensa˜o (U) entre os po´los A e B do gerador
ideal, e´ igual a´ sua f.e.m. (E) ou seja.
U = VA − VB = E
Gerador Real - Na pratica, os geradores ideais
na˜o existe. Quando uma corrente ele´trica atravessa
um gerador, ela encontra uma certa resisteˆncia in-
terna por parte dos elementos condutores que compo˜em
o gerador. Vamos denominar de ( r ) a medida dessa
resisteˆncia interna. Assim, a representac¸a˜o simbo´lica
do Gerador Real e representado pela seguinte figura:
Equac¸a˜o do gerador - E´ evidente que, estando
o gerador real em funcionamento. A tensa˜o (U) en-
tre os po´los A e B e´ menor que sua f.e.m. devido a´
sua resisteˆncia interna, portanto havera´ uma perda
de tensa˜o no seu interior igual ao produto r.i. assim
a tensa˜o ( U ) entre os po´los do gerador real sera´:
U = E −R.i U = VA − VB < E ⇒ (i 6= 0)
Gerador em curto-circuito - Quando os po´los
de um gerador estiver ligado por um fio de resisteˆncia
ele´trica nula. Este estara´ em curto-circui-to. Nestas
condic¸o˜es, a diferenc¸a de potencial (ddp) U entre
os po´los A e B do gerador e´ nula, pois o fio tem
resisteˆncia zero. A corrente ele´trica que atravessa
o gerador e´ dominada corrente de curto-circuito (
icc) e e´ a mis intensa poss´ıvel. Fazendo U = 0 em
U = E − r.i, tiramos icc.
U = E − r.i = 0 ⇒ icc = E/r
Gerador em Circuito Aberto - Um gerador
esta´ em circuito aberto quando na˜o alimenta nenhum
circuito externo. Nestas condic¸o˜es i = 0 e U = E.
Curva Caracter´ıstica de um Gerador
Para um gerador ideal, temos U = E (constante)
e, neste caso, o gra´fico U em func¸a˜o de i e´ uma reta
paralela ao eixo i ( fig. (A) )
(A) (B)
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No caso de um gerador Real, sendo U = E − r.i,
com E e r sa˜o constante do gerador, o gra´fico de U
em func¸a˜o de i e´ uma reta inclinada decrescente em
relac¸a˜o aos eixos ( fig. (B) ). O ponto A do gra´fico
corresponde ao gerador em circuito aberto ( i = 0
e U = E ) o ponto B corresponde ao gerador em
curto-circuito ( U = 0 e i = icc ).
tg(α) = E/icc ⇒ tg(α) = EE
r
ou seja tg(α) = r
Circuito Simples - circuito simples e´ aquele que
oferece um so´ caminho para a circulac¸a˜o da corrente
ele´trica. Portanto o circuito mais simples e´ con-
stitu´ıdo por um gerador ligado a um resistor. Suas
equac¸o˜es:
Para o gerador, temos:
U = E − r.i e para o resistor, U = R.i
substituindo a u´ltima expressa˜o na primeira temos:
R.i = E − r.i ⇒ i(r +R) = E enta˜o:
i =
E
r+R Lei de Pouillet
Graficamente, temos:
O ponto T, intersec¸a˜o das duas retas, e´ denomi-
nado ponto de trabalho. Ele indica a tensa˜o comum
U aos dois aparelhos e a corrente comum i que os
percorre.
Efeito Joule - Quando os ele´trons caminham no
interiorde um condutor, eles se chocam contra os
a´tomos do material de que e´ feito o fio. Nestes choques,
parte da energia cine´tica de cada ele´tron se trans-
fere ao a´tomo, que comec¸am a vibrar mais intensa-
mente. O aumento de vibrac¸a˜o provocam um au-
mento de temperatura no material. Esse aqueci-
mento provocado pela vibrac¸a˜o dos a´tomos e´ de-
nominado de efeito joule. E devido ao efeito joule
que a laˆmpada de filamento emitem luz, assim como
a existeˆncia do chuveiro ele´trico, do ferro ele´trico,
fus´ıveis, etc.
A energia ele´trica dissipada (Ed) num condutor
oˆhmico, num dado intervalo de tempo e´ diretamente
proporcional ao quadrado da intensidade da corrente
ele´trica que o percorre(lei de Joule).
Ed = R . i
2 . t = R . i . i . t = U . i . t
A poteˆncia dissipada (P)
P = R . i2
enta˜o
Ed
t
= U . i = P ≡ R i2
CAPACITORES
A capacitaˆncia e´ definida como a raza˜o entre a carga
ele´trica e a diferenc¸a de potencial. Isto e´
C =
Q
∆V
onde
∆V = VB − VA = −
∫ B
A
~E. ~dS
Capacitores depende da geometria. Por Ex. a ca-
pacitaˆncia de um corpo esfe´rico.
∆V = −k0
∫ R
0
Q
r2
dr = k0
Q
R
Assim
C =
Q
k0Q
R
=
R
k0
= 4piε0R
Para duas placas paralelas o campo ele´trico e´ dado
por
E =
σ
ε0
=
Q
ε0 A
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onde σ e´ a densidade de carga superficial donde a
ddp ∆V = E . d onde d e´ a distaˆncia entre as
placas. Assim temos
∆V =
Q d
ε0 A
enta˜o
C =
Q
∆V
=
Q
Q d
ε0 A
=
ε0 A
d
Capacitor cil´indrico
∆V = −
∫ b
a
~E. ~dS =
∫ a
b
Er dr
=
∫ a
b
(2k0 λ)
dr
r
= 2k0 λ `n | a
b
|
onde λ e´ a desidade linear de carga (λ = Q/`)
∆V =
2k0 Q
`
`n | a
b
|
donde
C =
Q
∆V
=
Q
2k0 Q
`
`n | a
b
| =
`
2k0
`n | a
b
|
Obs. Um cabo coaxial possui uma semelhanc¸a com
este tipo de capacitor - o qual serve como protec¸a˜o
de sinal.
Capacitores em Paralelo
Quando existe uma combinac¸a˜o de capacitores
em um circuito, em geral podemos substituir por
um capacitor equivalente. Isto e´ por um u´nico ca-
pacitor que tenha a mema capacitaˆncia que a com-
binac¸a˜o real dos capacitores, com tal capacitaˆncia
podemos simplificar os circuitos e, assim, determi-
nar mais facilmente as grandezas desconhecidas do
circuito.
Quando conectamos, por exemplo, treˆs capacitores
em paralelo nos terminais de uma bateria a diferenc¸ade
potencial U entre os terminais dos capacitores sa˜o a
mesma da bateria. Enta˜o as cargas que cada capac-
itor adquirem sa˜o :
q1 = C1 U ; q2 = C2 U ; q3 = C3 U
de forma que a carga total e´ dada por
q = q1 + q2 + q3 = C1 U + C2 U + C3 U
= ( C1 + C2 + C3 ) U = Ceq U
onde Ceq e´ a capacitaˆncia do circuito
Ceq = C1 + C2 + C3
Assim, para uma combinac¸a˜o de n capacitores conec-
tados em paralelo a capacitaˆncia equivalente e´ dada
por:
Ceq =
n∑
i=1
Ci
Capacitores em Se´rie
Quando conectamos um conjunto de capacitores
em se´rie em uma Bateria a diferenc¸ade potencial da
bateria U se subdivide entre os capacitores de tal
forma que a ddp da Bateria passa a ser igual a soma
dos potencias de cada capacitor. Por exemplo, seja
o mesmo conjunto de treˆs capacitore do ememplo
anterior conectados em se´rie, a ddp e´ dada por:
U = U1 + U2 + U3
Neste caso, cada capacitor tem a mesma carga q.
Isso e´ valido, mesmo que os capacitores possua ca-
pacitaˆncia diferentes. Portanto, o potencial em cada
capacitor e´ dado por:
U1 =
q
C1
; U2 =
q
C2
; U3 =
q
C3
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F´ısica III Sobral
de forma que o potencial e´:
U = U1 + U2 + U3 =
q
C1
+
q
C2
+
q
C3
= (
1
C1
+
1
C2
+
1
C3
) q =
q
Ceq
onde
1
Ceq
= (
1
C1
+
1
C2
+
1
C3
)
donde
Ceq =
C1 C2 C3
C1 C2 + C1 C3 + C2 C3
ou
Ceq =
∏3
i=1 Ci∑3
i6=j
∏
CiCj
generalizando esse resultado, para o caso de n capaci-
tores conectados em se´rie, a capacitaˆncia equivalente
e´ dada por:
Ceq =
∏n
i=1 Ci∑n
i6=j
∏
CiCj
para n capacitores iguais.
Ceq =
C
n
Energia Acumulada no Capacitor
dW = ∆U dq =
q
C
dq ⇒ W = 1
C
∫ Q
0
q dq =
Q2
2C
Portanto o trablho e´:
W =
Q2
2C
Denominaremos esse trabalho de energia potencial
armazenada no capacitor de Ec ou seja
Ec =
Q2
2C
como Q = C ∆U temos:
Ec =
( C ∆U )2
2C
=
C ( ∆U )2
2
Obs. Esse resultado independe da geometria do ca-
pacitor.
Quando introduzimos um Diele´trico entre as pla-
cas de um capacitor, a leitura do voltimetro diminue
por um fator kd ou seja:
∆U =
∆U0
kd
⇒ kd > 1
como a carga Q na˜o muda enta˜o conclui-se que:
C =
Q0
∆U
=
Q0
∆U0
kd
= kd
Q0
∆U0
= kd C0
Portanto a capacitaˆncia aumenta de um fator k Por
Ex. a capacitaˆncia de um capacitor formado por
duas placas paralelas antes e depois de preenche-la
com um diele´trico.
C0 =
ε0 A
d
⇒ C = kd ε0 A
d
onde d e´ a distaˆncia entre as placas e A a a´rea da
placa.
Carregando Capacitor
Quando ligamos um circuito com apenas uma re-
sisteˆncia R, a tensa˜o se eleva instantaneamente ao
seu valor ma´ximo. Mas quando inserimos um capac-
itor neste circuito, a tensa˜o no capacitor demora um
certo tempo para assumir seu valor ma´ximo Uo.
O circuito da figura seguinte conte´m uma fonte
de tensa˜o Uo, um resistor R, e um capacitor C, em
se´rie.
Inicialmente, o capacitor esta´ descarregado; quando
ligamos o circuito, a carga q do capacitor na˜o se es-
tabelece de maneira instantaˆnea.
Pela lei de Ohm temos que
U0 = UR + UC
como
UR = R i ; i =
dq
dt
; e UC =
q
C
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F´ısica III Sobral
temos
U0 = R
dq
dt
+
q
C
enta˜o:
dq
dt
=
U0
R
− q
RC
=
1
RC
( U0 C − q )
donde
dq
U0 C − q =
dt
RC
ou
dq
q − U0 C = −
dt
RC
fazendo a integrac¸a˜o∫ Q
0
dq
q − U0 C = −
1
RC
∫ t
0
dt
`n | q − U0 C |Q0 = −
t
RC
ou
`n | Q− U0 C | −`n | −U0 C |= − t
RC
`n | Q− U0 C−U0 C |= −
t
RC
usando mais uma vez as propriedade dos logar´ıtmos
temos:
Q− U0 C
−U0 C = e
− t
RC
donde
Q = C U0 ( 1− et/RC ) = C U0 ( 1− e−t/τ )
Quando τ = R C temos:
Q = C U0 ( 1− 1
e
) = 63 % Q0
onde Qo e´ a carga ma´xima do capacitor.
A grandezaRC = τ , que tem dimensa˜o de tempo,
e´ chamada de constante de tempo capacitiva. Ela
representa o tempo necessa´rio para que a carga ou a
tensa˜o atinja, no capacitor, um valor igual a 63% do
seu valor ma´ximo. O comportamento da tensa˜o U e´
obtido a partir do comportamento de Q, pois
UC =
Q
C
= U0 ( 1 − e−t/RC )
Observe que dependendo do valor de R, a tensa˜o
demora um tempo infinito para atingir o seu valor
ma´ximo.
Como i = dq
dt
podemos escrever a expressa˜o acima
em func¸a˜o da corrente.
I(t) = I0 e
−t/RC
DESCARGA DO CAPACITOR:
Suponha agora que, o capacitor esta´ carregado e
em seguida e´ conectado em se´rie com um resistor R -
dessa forma o capacitor vai descarregar simplesmente
sobre o resistor R ou seja:
UR + UC = 0
substituindo as relac¸o˜es UR e UC temos:
R i +
q
C
= 0
ou ainda
R
dq
dt
+
q
C
= 0
rearrumando a equac¸a˜o, obtemos:
dq
q
= − dt
R C
fazendo a integrac¸a˜o obtemos:
Q = Q0 e
−t/RC
Onde Qo e´ a carga inicial ou carga ma´xima no
capacitor.
Derivando esta expressa˜o com respeito a t tere-
mos a corrente I.
I =
dQ
dt
= (− Q
R C
) e−t/RC
O sinal negativo na equac¸a˜o acima representa que
o sentido da corrente possui sentido contra´rio ao que
nos convencionamos inicialmente.
R I = ( −Q0
C
)e−t/RC
Ruivaldo Sobral 11
F´ısica III Sobral
Ou
UC = U0 e
−t/RC = U0 e−t/τ
A equac¸a˜o acima fornece o valor da tensa˜o U da
descarga do capacitor em func¸a˜odo tempo.
Aplicac¸a˜o
Capacitores Carregado
seja dois capacitore C1 e C2 carregados a mesma
ddp ∆Vi onde C1 > C2 suponhamos que inicial-
mente eles estejam desconectados da bateria e enta˜o
conectamos os dois capacitores em paralelo, vide figura.
ou seja
Q1i = C1 ∆V1 = C1 ∆Vi
Q2i = C2 ∆V2 = C2 ∆Vi
pois
∆V1 = ∆V2 = ∆Vi
enta˜o
Qt = Q1i +Q2i = ( C1 + C2 ) ∆Vi
por outro lado temos
Q1f = C1 ∆Vf
Q2f = C2 ∆Vf
Q1f
Q2f
=
C1 ∆Vf
C2 ∆Vf
=
C1
C2
⇒ Q1f = C1
C2
Q2f
donde
Qt = Q1f +Q2f =
C1
C2
Q2f +Q2f =
C2 + C1
C2
Q2f
Qt =
C2 + C1
C2
Q2f
Assim temos:
Q2f =
C2
C1 + C2
Qt
De forma semelhante encontramos Q1f
Q1f =
C1
C2
Q2f =
C1
C2
C2
C1 + C2
Qt =
C1
C1 + C2
Qt
enta˜o
∆V1f =
Q1f
C1
=
Qt
C1
C1+C2
C1
=
Qt
C1 + C2
e
∆V2f =
Q2f
C2
=
Qt
C2
C1+C2
C2
=
Qt
C1 + C2
Portanto
∆V1f = ∆V2f = ∆Vf
Antes de conectarmos os capacitores em paralelo
a energia total armazenada nos capacitores era:
Ui =
C1
2
( ∆Vi )
2 +
C2
2
( ∆Vi )
2 =
C1 + C2
2
( ∆Vi )
2
Depois que os capacitores sa˜o conectados em par-
alelo a sua energia total final armazenada e´:
Uf =
C1
2
( ∆Vf )
2+
C2
2
( ∆Vf )
2 =
C1 + C2
2
( ∆Vf )
2
como
∆Vf =
Qt
C1 + C2
temos
Uf =
C1 + C2
2
(
Qt
C1 + C2
)2 =
1
2
Q2t
C1 + C2
mas sabemos que Qt = ( C1 − C2 ) ∆Vi enta˜o a
energia final e´
Uf =
1
2
Q2t
C1 + C2
=
1
2
( C1 − C2 )2
C1 + C2
( ∆Vi )
2
Assim, a raza˜o entre a energia final e inicial e´
Uf
Ui
=
1
2
( C1−C2 )2
C1+C2
( ∆Vi )
2
C1+C2
2
( ∆Vi )2
= [
C1 − C2
C1 + C2
]2
Donde, observamos que a energia final e´ menor
que a energia inicial. As perdas e´ devido as radiac¸o˜es
eletromagne´tica pois o nosso sistema e´ isolado assim,
Ruivaldo Sobral 12
F´ısica III Sobral
a transfereˆncia de energia para o exterior deve-se a
estas radiac¸o˜es .
Exerc´ıcios:
(A) Determine a capacitaˆncia equivalente da com-
binac¸a˜o de capacitores abaixo. Sabendo-se que C1 =
12, 0µF ; C2 = 5, 3µF ; C3 = 4, 5µF
(B) Se aplicarmos uma ddp = 12,5 Volts. Quais as
cargas sobre C1 e C2?
Soluc¸a˜o : (A)
C12 = C1 + C2 e
C123 =
C12 C3
C12 + C3
=
C3 ( C1 + C2 )
C1 + C2 + C3
= 3, 57µ F
(B) A carga equivalente e´ dada por:
q123 = C123 U = 3, 57 . 12, 5 = 44, 6 µ C
Como C12 encontra-se em se´rie com C3, isto quer
dizer que a carga em C12 e´ igual a carga em C3 = C123
ou seja: o Potencial em C12 e´
U12 =
Q12
C12
=
Q123
C12
=
44, 6
17, 3
= 2, 58V
como C1 e C2 esta˜o em paralelo a ddp em C1 e´ igual
a ddp em C2. Portanto
Q1 = C1 U1 = 12, 0µF . 2, 58V = 31, 0µ C
e
Q2 = C2 U1 = 5, 3µF . 2, 58V = 13, 7µ C
(Q156) Um capacitor de 2, 0 µF e´ ligado aos termi-
nais de uma bateria de f.e.m. = ε = 6, 0 V e
resisteˆncia interna r = 0, 5Ω. Calcule a carga e a
energia ele´trica armazenada no capacitor.
Sol: Qdo o capacitor esta´ carregado na˜o ha´ movi-
mento de carga dq/dt = i = 0. Enta˜o U = � donde
Q = C U = 6, 0 .2, 0 µ F.V = 12, 0 µ C
Em = Q U/2 = 12, 0 .6, 0µC V/2 = 36 µJ
(Q357) Para o circuito abaixo, calcule a carga ele´trica
armazenada no capacitor de 3, 0pF . Dados: ε =
30, 0V r = 1, 0Ω R = 4, 0Ω
Sol: Aplica-se a lei de Pouillet
i =
ε
r +
∑
R
=
30, 0
1 + 9
= 3, 0A
Logo a tensa˜o Uab = R . i = 4, 0 . 3, 0 = 12, 0V Por-
tanto a carga sera´ de:
Q = C Uab = 3, 0pF . 12, 0V = 36pC
Obs. para determina Uab desconecta-se o capacitor.
(Q361) a carga adquirida pelo capacitor no circuito
abaixo e´ de:
Dados: ε = 100, 0V R1 = 12Ω R2 = 8, 0Ω R3 =
20, 0Ω C = 500nF
⇒
Ruivaldo Sobral 13
F´ısica III Sobral
Como na˜o temos resisteˆncias inernas a corrente e´:
i =
ε∑
R
=
100
40
= 2, 5A
logo Uab = 8, 0Ω 2, 5A = 20, 0V Portanto
Q = C Uab = 500, 0nF . 20, 0V = 10µC
(Q362) Calcule a carga no condensador de 5µF no
circuito seguinte. Dados: ε = 10, 0V , R1 = 20, 0Ω
R2 = 30, 0Ω
Sol:
i =
ε∑
R
=
10
50
= 0, 2A ⇒ Uab = 0, 2 . 30, 0 = 6, 0V
Q = 5, 0µF . 6, 0V = 30, 0µC
(Q363) Considere o circuito a seguir onde Ca = 0, 2µF
e Cb = 0, 1µF onde ε = 90V , R1 = 10, 0Ω,
R2 = 10, 0Ω , R3 = 10, 0Ω determine as cargas dos
capacitores?
Sol. Quando os capacitores esta˜o carregados na˜o ha´
movimento de de cargas nos capacitores, logo de-
sconectamos estes e determinamos a corrente no cir-
cuito em seguida determinamos o potencial da ca-
pacitancia equivalente Cab = Ca + Cb = 0, 3µF
⇒
i =
ε∑
R
=
90
30
= 3, 0A ⇒ Uab = 3, 0A . 10, 0Ω = 30, 0V
Como os capacitores esta˜o em paralelo, o potencial
e´ o mesmo para cada capacitor. Assim, temos:
Qa = Uab . Ca = 30, 0V . 0, 2µF = 6, 0µC
Qb = Uab . Cb = 30, 0V . 0, 1µF = 3, 0µC
Qab = Uab . Cab = 30, 0V . 0, 3µF = 9, 0µC
Pois Qab = Qa +Qb = 6, 0µC + 3, 0µC = 9, 0µC
(Q366) No circuito seguinte determinar as cargas de
cada capacitor assim como suas polaridade. Dados
ε1 = 6, 0V ε2 = 12, 0V R1 = 5, 0Ω R2 = 5, 0Ω e
C1 = 2, 0µF C2 = 2, 0µF
⇒
Sol. Como os capacitores esta˜o em se´rie a carga sera´
a mesma em cada capacitor.
i =
ε2 − ε1∑
R
=
12, 0− 6, 0
10
= 0, 6A
Uab = 0, 6A . 5, 0Ω = 3, 0V
A capacitancia equivalente e´:
C12 =
C1 C2
C1 + C2
=
2, 0 . 2, 0
2, 0 + 2, 0
= 1, 0µC
Q = C12 Uab = 1, 0µC . 3, 0V = 3, 0µC
(Q367) Determinar a carga ma´xima no capacitor do
circuito a seguir, sabendo-se que ele inicialmente esta´
descarregado. Dados: ε1 = 20, 0V , R1 = 2, 0Ω
R2 = 2, 0Ω , ε2 = 2, 0V , C = 2, 0µF
⇒
Ruivaldo Sobral 14
F´ısica III Sobral
Sol.:
i =
20
4
= 5, 0A ⇒ Uab = R1 . i = 2, 0 . 5, 0A = 10, 0V
O potencial no capacitor e´: Uab = Uc+ε2 enta˜o Uc =
Uab−ε2 = 10, 0−2, 0 = 8, 0V . Logo a carga ma´xima
no capacitor e´ Q = Uc . C = 8, 0 . 2, 0µF = 16, 0µC
(Q368) No circuito seguinte calcular a tensa˜o no ca-
pacitor C2 Dados: C1 = 10, 0µF , C2 = 5, 0µF
C3 = 1, 0µF , R1 = 1, 0Ω , R2 = 1, 0Ω , R3 = 2, 0Ω ,
ε = 1, 0V
⇒
R12 =
R1 R2
R1 +R2
=
1, 0 . 1, 0
1, 0 + 1, 0
= 0, 5Ω
i =
ε∑
R
=
1, 0
2, 5
= 0, 4A
Ucb = 0, 4A . 2, 0Ω = 0, 8V
Uab = ε− Ucb = 1, 0V − 0, 8V = 0, 2V
Este e´ o potencial que esta submetido ao conjunto
de capacitores em se´rie. Enta˜o:
C123 =
C1 C2 C3
C1 C2 + C1 C3 + C2 C3
=
10, 0 . 5, 0 . 1, 0
10, 0 . 5, 0 + 10, 0 . 1, 0 + 5, 0 . 1, 0
=
10
13
µC
Como os capacitores esta˜o em se´rie a carga do ca-
pacitor equivalente e´ igual as cargas individuais de
cada capacitor ou seja: Q123 = Q1 = Q2 = Q3 ≡ Q
Assim temos:
Q = C123 . Uab =
10
13
. 0, 2 =
2
13
µC
Donde Calculamos o Potencial no capacitor C2 isto
e´:
UAB ≡ UC2 =
Q
C2
=
2
13
5, 0
' 0, 031V
(Q370) Calcular a energia armazenada na associac¸a˜o
de capacitores indicada no diagrama seguinte.
Dados: Uab = 100V, C1 = 2, 5µF, C2 = 7, 0µF,
C3 = 3, 0µF Sol. Em = CU
2/2 = Q2/2C (Resp.
Em = 1, 1 10
−2J)
(Q339) capacitaˆncia equivalente dos circuitos a seg-
ruir Valem 3µF Qual o valor de C dados: C1 =
9, 0µF, C2 = C C3 = 2 C, C4 = 9, 0µF
Resp. C = 3µF
(Q333) Determine a Capacitaˆncia equivalente nos ex-
tremos do circuito a seguir: Dados C1 = 3, 0pF
C2 = 6, 0pF C3 = 4, 0pF C4 = 4, 0pF
C5 = 12, 0pF
(Resp. 3, 0pF )
(Q340) Dada a associac¸a˜o de capacitores do diagrama
seguinte determine a capacitaˆncia equivalente. Da-
dos: C1 = 2, 0µF C2 = 2, 0µF C3 = 4, 0µF
C4 = 3, 0µF C5 = 3, 0µF C6 = 3, 0µF
Ruivaldo Sobral 15
F´ısica III Sobral
(Resp. 6µF )
(Q76) Determine a resistencia equivalente entre os
terminais AB do circuito abaixo: Dados R1 = 2, 0Ω
R2 = 8, 0Ω R3 = 8, 0Ω R4 = 16, 0Ω R5 = 5, 0Ω
R6 = 2, 0Ω R7 = 4, 0Ω R8 = 4, 0Ω
Resp (6, 0Ω)
Receptor Ele´trico
Denomina-se receptor ele´trico a um elemento do cir-
cuito que consome energia ele´trica e a transforma em
outraforma de energia que na˜o excluisivamente em
energia te´rmica. Um motor ele´trico e´ um exemplo de
receptor, pois transforma energia ele´trica em energia
mecaˆnica e energia termica. Sendo constitu´ıdo de
condutores, os receptores apresentam uma certa re-
sisteˆncia interna ele´trica r, denominada de resisteˆncia
interna do receptor , cuja ddp = r ′ i
Quando um gerador ele´trico aplica a um receptor
uma ddp igual a U , esta divide-se em duas partes:
r ′ i que corresponde a queda de tensa˜o na resistencia
interna do receptor, e ε′ denominada de forc¸acontra
elemotriz (f.c.e.m.), que corresponde a ddp u´til do
receptor. Deste modo, podemos escrever:
U = r ′ i+ ε ′
que constitui a equac¸a˜o caracter´ıstica do recep-
tor.
Nos circuitos ele´tricos, os receptores sa˜o indicados
pelo mesmo s´ımbolo dos geradores, diferindo apenas
no sentido da corrente ele´trica, que flui do po´lo posi-
tivo para o po´lo negativo.
Circuito Gerador - Receptor
Em um circuito contendo um gerador e um recep-
tor, o gerador e´ aquele de maior f.e.m = ε e como
tal impo˜e o sentido da corrente. Suponha que no
circuito a seguir ε > ε ′.
Observe que a ddp nos terminais do gerador e´ a
mesma que nos terminais do receptor U . Enta˜o de-
vemos ter as seguintes equac¸o˜es :
para o gerador - U = ε − r i
para o receptor - U = ε ′ + r ′ i
Donde
ε ′ + r ′ i = ε − r i ⇒ ( r ′ + r ) i = ε − ε ′
ou seja
i =
ε − ε ′
r ′ + r
Considere o seguite circuito
Neste caso UAB = UBC + UCD enta˜o:
ε−r i = R i+ ε ′ + r ′ i ⇒ ( r ′ + r +R ) i = ε− ε ′
donde
i =
ε − ε′
r′ + r + R
Generalizando esse resultado para o caso de n ger-
adores e m receptores com k resistores teremos a
seguinte Equac¸a˜o para a intensidade da corrente ele´trica:
i =
∑n
j=1 εj −
∑m
j ε
′
j∑n
j r
′
j +
∑m
j rj +
∑k
j Rj
Ruivaldo Sobral 16
F´ısica III Sobral
Poteˆncia Ele´trica no Receptor
U = ε ′ + r ′ i ⇒ U i = ( ε ′ + r ′ i ) i
Pc = Pu+Pd ⇒ Pc = U i , Pu = ε ′ i , Pd = r ′ i2
donde Pc = poteˆncia consumida; Pu = poteˆncia u´til e
Pd = poteˆncia dissipada, defini-se de rendimento (η)
a relac¸a˜o entre poteeˆncia u´til e a poteˆncia consumida
η =
Pu
Pc
=
ε ′ i
U i
=
ε ′
U
Aplicac¸a˜o :
(Q212) Determinar a intensidade da corrente e a ddp
entre os pontos x e y do circuito seguinte. Dados:
ε = 80, 0V ε ′ = 40, 0V R = 2, 0Ω r = 5, 0Ω r ′ =
1, 0Ω
Resp. (i = 5, 0A e Uxy = 45V )
(Q266) Qual a ddp e a intensidade da corrente no re-
ceptor do circuito seguinte? Dados : ε = 9, 0V ε ′ =
3, 0V r = 10, 0Ω r ′ = 20, 0Ω
Resp.(0, 2A e 7, 0V )
(Q299) Determine a Poteˆncia dissipada pela bate-
ria do circuito seguinte. Dados ε = 6, 0V R1 =
1, 0Ω R2 = 4, 0Ω R3 = 8, 0Ω R4 = 8, 0Ω
Resp. (P = r i2 = 12, 0W )
(Q301) Determinar a intensidade da corrente em cada
resistores e a potencia dissipada por efeito Joule no
gerador do circuito seguinte. DadosR1 = 7, 8Ω R2 =
7, 8Ω r = 0, 25Ω ε = 9, 0V
Resp. (ir ' 2, 2A , iR ' 1, 1A e
Pd = r i
2 =' 1, 2W )
P27-29. Quando a chave s, no circuito seguinte, e´
girada para a esquerda, as placas do capacitor C1,
adquirem uma diferenc¸ade potencial U0. Os capac-
itores C2 e C3 esta˜o descarregados. A chave em
seguida e´ girada para a direita neste caso as cargas fi-
nais q1, q2 e q3 sobre os capacitores correspondentes
sera´ de?
Sol. Quando ligamos a chave para o lado es-
querdo o capacitor C1 adquire uma carga ma´xima
(q), depois de um certo intervalo de tempo ∆t, dada
por:
q = C1 U0 .
Quando giramos a chave para direita o capacitor
C1 (que tinha adquirio uma carga q) e´ enta˜o conec-
tado aos dois capacitores em se´ries C2 e C3 (que
inicialmente esta˜o descaregado), a carga q vai em-
igrar para estes capacitores ate´ atingir o equil´ıbrio.
Portanto, a carga resultante em cada capacitor sera´
q = q1+q23 pois q23 sendo a carga equivalente dos ca-
pacitores C2 e C3 (que esta˜o em se´rie), tem o mesmo
valor. ou seja q23 = q2 = q3. Assim, para deter-
minamos os valores das cargas adquiridas por cada
capacitor basta encontramos o potencial entre a com-
binac¸a˜o dos capacitores. isto e´ o capacitor C1 que
adquirio uma carga q esta´ agora, conectado em par-
alelo com o capacitor equivalente C23. Portanto, o
Ruivaldo Sobral 17
F´ısica III Sobral
novo potencial e´ o mesmo para os termiais dos ca-
pacitores C1 e C23. Logo pela lei da conservac¸a˜o das
cargas:
q = q1 + q23 ou seja
C1 U0 = ( C1 + C23 ) U
donde
U =
C1 U0
C1 + C23
.
Portanto, as cargas sera˜o dadas por:
q1 = C1 U =
C21 U0
C1 + C23
e
q2 = q3 = q23 = C23 U = C23
C1 U0
C1 + C23
substituindo o valor de
C23 =
C2 C3
C2 + C3
encontramos:
q1 =
C21 ( C2 + C3 ) U0
C1C2 + C1C3 + C2C3
e
q2 = q3 =
C1 C2 C3 U0
C1C2 + C1C3 + C2C3
R50. Quando a chave s, no circuito seguinte, e´ conec-
tada na posisa˜o b1, o capacitor C1, adquirem uma
carga q. Os demais capacitores esta˜o descarregados
(C2, C3, C4, C5). Apo´s a estabilizac¸a˜o da corrente
giramos a chave para a posic¸a˜o b2. Neste caso, (A)
Qual a carga que o capacitor C4 adquirem. (B) qual
a ddp no capacitor C5? Dados: ε0 = 10, 0V, C1 =
9, 0µF, C2 = C3 = C5 = 2, 0µF, C4 = 1, 0µF
Q51 - Qual a resisteˆncia equivalente entre os ex-
tremos AC do circuito seguinte sabendo-se que no
galvanoˆmetro na˜o e´ registrado passagem de corrente?
Dados: R1 = 5, 0Ω, R2 = 2, 0Ω, R3 = 1, 0Ω, R4 =
2, 0Ω
Q52 - Determine a resisteˆncia equivalente do circuito
seguinte sabendo-se que RG >> R.
Q53 - Qual a intensidade da corrente que atravessa
o resitor de 10, 0Ω no circuito seguinte.
Q54 - Quais as intensidade das corrente do circuito
seguinte.
Q55 - Qual o valor da intensidade da corrente que
passa pelo resistor R ′ do circuito seguinte.
Ruivaldo Sobral 18
F´ısica III Sobral
Regra das Malhas:(Kirchhoff)
A soma alge´brica das variac¸o˜es de potencial encon-
tradas ao longo de uma malha fechada de qualquer
circuito deve ser nula.
Exemplo: Dado o circuito seguinte calcule as inten-
sidade das correntes.
Sabendo-se que ε1 = 12V, ε2 = 24V e ε3 = 6v as re-
sistencias internas sa˜o r1 = 2Ω, r2 = 3Ω e r3 = 10Ω,
com R4 = 4Ω e R5 = 8Ω
Soluc¸a˜o : Vamos definir as malhas ABEFA
Donde extraimos a seguinte equac¸a˜o ( observe que a
corrente percorre o circuito no setido hora´rio):
I1 ( r1 +R4 ) + I2r2 = ε1 + ε2 (1)
Na malha BCDEB o a corrente percorre o circuito
no sentido ante hora´rio
Donde obtemos a seguinte relac¸a˜o :
I3 ( r3 +R5 )− I2r2 = ε3 − ε2 (2)
a terceira equac¸a˜o se obte´m da soma das correntes
que se encontra no no´ B. Isto e´
I1 = I2 + I3 (3)
somando-se as expresso˜es (1)+(2) termos:
I1(r1 +R4) + I3(r3 +R5) = ε1 + ε3
Donde, obtemos I3 em func¸a˜o de I1
I3 =
ε1 + ε3 − I1( r1 +R4 )
r3 +R5
(4)
De (1) extraimos I2 tambe´m en func¸a˜o de I1
I2 =
ε1 + ε2 − I1 ( r1 +R4 )
r2
(5)
substituindo as expresso˜es para I2 e I3 em (3) encon-
tramos a expressa˜o para I1.
I1 =
ε1 + ε2 − I1 ( r1 +R4 )
r2
+
ε1 + ε3 − I1 ( r1 +R4 )
r3 +R5
(6)
Calculando para os valores dado no exercicio temos:
I1 =
12 + 24− I1 (2 + 4)
3
+
12 + 6− I1 (2 + 4)
10 + 8
I1 =
36− 6 I1
3
+
18 − 6I1
18
I1 = 12− 2 I1 + 1− I1
3
= 13− 7I1
3
I1 +
7I1
3
= 13 ∴ 10I1
3
= 13 ∴ I1 = 3, 9A
Substituindo esse valor em (5) determinamos o valor
de I2
I2 =
12 + 24− I1 (2 + 4)
3
=
36− 6 I1
3
= 12− 2I1
(7)
I2 = 12− 2 (3, 9) = 12− 7, 8 = 4, 2A (8)
logo I3 e´
I3 = I1 − I2 =| (3, 9− 4, 2)A |= 0, 3A (9)
Obs. O resultado das correntes devem ser positivo,
um resultado negativo implica que tomamos o sen-
tido da corrente oposto ao sentido real. Assim, as
correntes sa˜o :
I1 = 3, 9A , I2 = 4, 2)A e I3 = 0, 3A (10)
Ruivaldo Sobral 19
F´ısica III Sobral
Resolva o circuito seguinte utilizando a lei das
Malhas:
Sol: Este circuito possui duas malhas. Para cada
malha,estabelecemos uma corrente cujo sentido, ar-
bitrado, e´ o sentido hora´rio, conforme mostrado na
Figura abaixo.
Com relac¸a˜o a primeira malha : O coeficiente da
primeira corrente, i1, e´ a soma dos valores das re-
sisteˆncias que pertencem a sua malha. Enta˜o, a
corrente i1 sera´ multiplicada por (R1 + R3) ja´ que
sa˜o estes os valores das resisteˆncias que pertencem
a sua malha. O coeficiente das correntes de qual-
quer outra malha e´ o negativo da soma dos valores
das resisteˆncias comuns a primeira e a malha con-
siderada. Assim, a corrente da outra malha, i2, sera´
multiplicada por −R3 pois R3 e´ o valor da resisteˆncia
comum as duas malhas. O lado direito da equac¸a˜o e´
formado pela soma alge´brica das fontes de tensa˜o que
pertencem a malha. Desta forma, para esta malha,
temos a equac¸a˜o :
( R1 +R3 ) i1 −R3 i2 = v1 (11)
Com relac¸a˜o a segunda malha : O coeficiente da
segunda corrente, i2, e´ a soma dos valores das re-
sisteˆncias que pertencem a sua malha. Enta˜o, a
corrente i2 sera´ multiplicada por (R2 + R3) ja´ que
sa˜o estes os valores das resisteˆncias que pertencem
a sua malha. O coeficiente das correntes de qual-
quer outra malha e´ o negativo da soma dos valores
das resisteˆncias comuns a segunda e a malha con-
siderada. Assim, a corrente da outra malha, i1, sera´
multiplicada por −R3 pois R3 e´ o valor da resisteˆncia
comum as duas malhas. O lado direito da equac¸a˜o e´
formado pela soma alge´brica das fontes de tensa˜o que
pertencem a malha. Assim, para esta malha, temos
a equac¸a˜o :
−R3 i1 + ( R2 +R3 ) i2 = −v2 (12)
Caso existam outras malhas e, consequentemente,
outras correntes de malha, repete-se estes procedi-
mentos para cada uma delas.
Para o circuito apresentado, o sistema de equac¸o˜es
escrito na forma matricial e´:[
R1 +R3 −R3
−R3 R2 +R3
] [
i1
i2
]
=
[
v1
−v2
]
Exemplo - Utilizando as equac¸o˜es de malha obti-
das para o circuito mostrado na Figura acima, e con-
siderando R1 = 2Ω, R2 = 1Ω, R3 = 4Ω, v1 = 2V e
v2 = 6V , calcular os valores de i1 e i2.[
6 −4
−4 5
] [
i1
i2
]
=
[
2
−6
]
Donde obtemos[
i1
i2
]
=
[ −1
−2
]
Exemplo - Obter as equac¸o˜es de malha para o seguinte
circuito.
 R1 +R2 +R3 −R2 −R3−R2 R2 +R4 +R5 −R5
−R3 −R5 R3 +R4 +R6
 i1i2
i3
 =
 v1−v2
v2

Exemplo - Obter, usando as equac¸o˜es de malha,
as correntes i1 e i2 mostradas no circuito seguinte.
Ruivaldo Sobral 20
F´ısica III Sobral
[
R1 +R2 −R2
−R2 R2 +R4
] [
i1
i2
]
=
[
v1 − v2
−v2
]
considerando R1 = 1Ω, R2 = 6Ω, R3 = 2Ω, v1 = 5V
e v2 = 10V temos[
7 −6
−6 8
] [
i1
i2
]
=
[ −5
−10
]
Donde [
i1
i2
]
=
[ −5
−5
]
Exemplo - Obter, usando as equac¸o˜es de malha, as
correntes i1 e i2 mostradas no circuito da Figura
seguinte
[
R1 +R2 −R2
−R2 R2 +R3
] [
i1
i2
]
=
[
v1 − v2
v2 − v3
]
considerando R1 = 2Ω, R2 = 4Ω, R3 = 6Ω, v1 =
6V, v2 = 4V e v3 = 3V temos[
6 −4
−4 10
] [
i1
i2
]
=
[ −10
1
]
Donde [
i1
i2
]
=
[ −5
−5
]
Princ´ıpio de superposic¸a˜o
Dado o circuito abaixo determine a ddp Veb e a cor-
rente que atravessa o resistor R3.
Dados: ε1 = 25V, ε2 = 12V R1 = 40Ω,
R2 = 60Ω, R3 = 20Ω
Soluc¸a˜o : Parte (1) vamos retirar a fonte �2
Observe que R2 esta´ em paralelo com R3 e em se´rie
com R1 ou seja:
R′p =
R2R3
R2 +R3
e R′eq = R1 +R
′
p
Assim, a ddp equivalente e´ dado por
ε′ =
ε1 R
′
p
R′eq
∴ I ′3 =
ε′
R3
Soluc¸a˜o : Parte (2) vamos retirar a fonte �1
Ruivaldo Sobral 21
F´ısica III Sobral
Observe que R1 esta´ em paralelo com R3 e em se´rie
com R2 ou seja:
R′′p =
R1R3
R1 +R3
e R′′eq = R2 +R
′′
p
ε′′ =
ε2 R
′′
p
R′′eq
∴ I ′′3 =
ε′′
R3
O valor da corrente I3 e´ dado por:
I3 = I
′
3 − I ′′3
pois I ′′3 tem o sentido oposto de I
′
3. Efetuando os
ca´lculos: Parte (1)
R′p =
60 . 20
60 + 20
=
60 . 20
80
= 15Ω
R′eq = (40 + 15)Ω = 55Ω
ε′ =
25 . 15
55
=
75
11
V
I ′3 =
75
11
20
= 0, 341A
Efetuando os ca´lculos: Parte (2)
R′′p =
40 . 20
40 + 20
=
40 . 20
60
=
40
3
Ω
R′′eq = 60 +
40
3
=
220
3
Ω
ε′′ =
12 .40
3
220
3
=
24
11
V
I ′′3 =
24
11
20
=
6
55
A = 0, 109A
I3 = I
′
3 − I ′′3 = ( 0, 341− 0, 109 )A = 0, 232A
Veb = R3 I3 = 20 . 0, 232 = 4, 64V
Me´todo dos Potenciais ou Corrente.
Dado o circuito abaixo determine a ddp Vab e a cor-
rente que atravessa o resistor R3.
Dados: ε1 = 25V, ε2 = 12V R1 = 40Ω,
R2 = 60Ω, R3 = 20Ω
Soluc¸a˜o :
Veb
R3
+
Veb − ε1
R1
+
Veb + ε2
R2
= 0
ou seja:
Veb [
1
R3
+
1
R1
+
1
R2
] =
ε1
R1
− ε2
R2
substituindo os valores
Veb [
1
20
+
1
40
+
1
60
] =
25
40
− 12
60
Veb [
40 . 60 + 20 . 60 + 20 . 40
20 . 40 . 60
] =
25 . 60− 12 . 40
40 . 60
Veb [
40 . 60 + 20 . 60 + 20 . 40
20
] = 25 . 60− 12 . 40
Veb [2 . 60 + 1 . 60 + 1 . 40 ] = 1500− 480
220 Veb = 1020 ∴ Veb =
1020
220
=
51
11
= 4, 64V
I3 =
4, 64
20
= 0, 232A
Exercicios propostos:
(a) Calcule a resisteˆncia equivalente entre os
pontos A e B do circuito seguinte.
Ruivaldo Sobral 22
F´ısica III Sobral
Dados: R1 = 2Ω, R2 = 2Ω, R3 = 3Ω, R4 = 1Ω,
R5 = 4Ω, R6 = 4Ω, R7 = 4Ω e R8 = 1Ω
(b)Calcule a resisteˆncia equivalente entre os pontos
A e B do circuito abaixo.
(c) Suponha que esta laˆmpada tenha sido ligada com
120V .
A1 — Qual a intensidade da corrente que a percorre?
A2 — Qual o gasto mensal de energia, em kWh,
supondo que ela fique ligada 4h por dia? (considere
um meˆs de 30 dias)
A3 — Supondo que o kWh residencial custe R$0,15,
qual sera´ o gasto mensal com essa laˆmpada?
(d) Determine a Tensa˜o no resistor de 27Ω do cir-
cuito sguinte.
(e) Qual a poteˆncia dissipada no resistor de 47Ω do
circuito acima?
(f) Determine a intensidade da corrente no resistor
de 10Ω do circuito a seguir.
(g) Calcule a resisteˆncia equivalente do circuito seguinte.
(g) Calcule a resisteˆncia equivalente do circuito seguinte.
(h) No circuito seguinte, sa˜o conhecidos os valores
de E1, E3, V1, V2 e V4. Calcule os valores de E2 e
V3 para que a Lei de Kirchhoff para as tenso˜es seja
valida. ( Obs. As polaridades de V1, V2 e V4. na˜o
sa˜o conhecidas.
Ruivaldo Sobral 23