O NÚMERO DE OURO - MARIA RAQUEL MIOTTO

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O Número de Ouro
Profa. Dra. Maria Raquel Miotto Morelatti
Departamento de Matemática, Estatística e Computação – DMEC
FCT/UNESP/ Presidente Prudente - SP
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O número áureo
(ou razão áurea)
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Qual a relação existente entre estas figuras?
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 número
(leia-se “fi”)
O mais irracional dos números regula a estética e a natureza 
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Razão Áurea
A designação adotada para este número, (Phi maiúsculo), é a inicial do nome de Fídias que foi escultor e arquiteto encarregado da construção do Pártenon, em Atenas.
Esta preocupação teve início há cerca de 2.500 anos, com a busca do modo mais harmonioso e simétrico de dividir um segmento em duas partes.
Seria pelo seu ponto médio?
A questão preocupou Euclides (330-275 a.C.), o matemático grego autor de Os Elementos, obra fundamental da geometria. 
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O resultado dessa misteriosa divisão, simbolizado pela letra grega (lê-se "fi") é sempre 1,618034..., que ficou conhecida como razão áurea. 
A proporção associada a ela foi também estudada pelo monge Luca Pacioli, de Veneza, no livro De Divina Proportione (Sobre a proporção divina), de 1509.
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Durante séculos, a secção áurea foi usada por pintores, matemáticos e arquitetos.
Hoje sabemos que fi regula também a espiral que aparece na natureza, como na margarida, no girassol, na concha do molusco náutilo. 
A espiral fornece o padrão matemático para o princípio biológico que regula o crescimento da concha: o tamanho aumenta, mas o formato não se altera
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Se dividirmos as medidas dos lados maiores pelas medidas dos lados menores desses retângulos, obteremos números próximos da razão = 1,618034... 
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Calculando a razão divina
Seja u = AB e v = BC, pelo estudo das proporções podemos estabelecer que:
 
Substituindo, 
temos:
ou ainda
Essa equação apresenta duas raízes reais, que são:
Considera-se o número positivo, pois representa a razão entre os comprimentos dos segmentos. 
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Seqüência de Fibonacci
1; 1; 2; 3, 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89, 144....
É fácil ver que cada termo da seqüência acima é a soma dos anteriores;
Mas existe uma outra curiosa relação: o quociente de entre cada termo e seu antecessor, vai se aproximando, cada vez mais, para o número “fi” (o número áureo -1,618039....)
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Vídeo sobre o número áureo
 (exibir para os alunos)