apostila de mecânica clássica

Prévia do material em texto

Mecaˆnica Cla´ssica
Esmerindo de Sousa Bernardes
DFCM–IFSC–USP
e-mail: sousa@if.sc.usp.br
http: marconi.if.sc.usp.br
26 de Fevereiro de 2002
2
Conteu´do
1 O Formalismo de Hamilton 5
1.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Equac¸o˜es de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.1 O princ´ıpio diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.2 O princ´ıpio integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Lagrangianas e hamiltonianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Simetrias e leis de conservac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 Geometria simple´ctica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6.1 Me´trica simple´ctica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6.2 Transformac¸o˜es simple´cticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6.3 Pareˆnteses de Poisson e de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.7 Transformac¸o˜es canoˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.7.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.7.2 Equac¸a˜o de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.7.3 Evoluc¸a˜o temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.7.4 Teorema de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
A Transformac¸o˜es Lineares 31
A.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
A.2 Transformac¸o˜es lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
A.2.1 Grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
A.2.2 Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
A.3 Transformac¸o˜es infinitesimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
A.4 Transformac¸o˜es especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
A.4.1 Transformac¸o˜es ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
A.4.2 Transformac¸o˜es de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
A.4.3 Transformac¸o˜es simple´cticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
B Rotac¸o˜es Espaciais 39
B.1 Corpo r´ıgido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
B.2 O grupo das rotac¸o˜es espaciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
B.3 A a´lgebra de Lie correspondente ao grupo das rotac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
B.4 Aˆngulos de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
B.5 Relac¸a˜o entre SO(3) e SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
B.6 Polinoˆmios de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
C Relatividade Especial 53
C.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
C.2 Propriedades do espac¸o-tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
C.3 Transformac¸o˜es de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
C.4 Dinaˆmica Relativ´ıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
C.5 Part´ıcula livre em um campo eletromagne´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3
4 CONTEU´DO
D Ca´lculo Variacional 67
D.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
D.2 Deslocamentos virtuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
D.3 Equac¸o˜es de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Cap´ıtulo 1
O Formalismo de Hamilton
1.1 Introduc¸a˜o
A forma anal´ıtica da Mecaˆnica como introduzida por Euler e Lagrange, reformulada mais tarde por Hamilton,
difere consideravelmente da forma vetorial introduzida por Newton. Na formulac¸a˜o vetorial, a lei fundamental
da Mecaˆnica introduzida por Newton, massa × acelerac¸a˜o = forc¸a, va´lida apenas para uma u´nica part´ıcula
associada a uma determinada massa, determina o movimento de uma part´ıcula massiva sujeita a` forc¸as
conhecidas. Em um sistema de part´ıculas, a equac¸a˜o de Newton deve ser aplicada a cada part´ıcula que
compo˜e o sistema apo´s a determinac¸a˜o das forc¸as presentes devido a`s demais part´ıculas do sistema. Na
abordagem anal´ıtica (via o formalismo de Lagrange ou de Hamilton) a situac¸a˜o e´ invertida: a part´ıcula na˜o
e´ mais uma unidade isolada, mas parte de um todo, de um sistema. Para compensar a necessidade de uma
forc¸a resultante em cada part´ıcula, a mecaˆnica anal´ıtica considera uma u´nica func¸a˜o escalar (energia cine´tica
ou o trabalho realizado) a qual conte´m todas as informac¸o˜es pertinentes a`s forc¸as, as quais podem ser obtidas
por simples diferenciac¸a˜o de uma func¸a˜o escalar.
E´ comum encontrarmos certos v´ınculos entre as part´ıculas de um sistema mecaˆnico. Por exemplo, as
distaˆncias relativas entre as part´ıculas de um so´lido na˜o podem mudar. Estes v´ınculos sa˜o mantidos por fortes
forc¸as internas. Ao contra´rio do tratamento vetorial (newtoniano), o tratamento anal´ıtico (lagrangiano ou
hamiltoniano) na˜o requer o conhecimento destas forc¸as internas. Os v´ınculos sa˜o considerados como condic¸o˜es
auxiliares na determinac¸a˜o das equac¸o˜es de movimento do sistema.
As equac¸o˜es de movimento de um sistema mecaˆnico complicado sa˜o constitu´ıdas por um nu´mero grande de
equac¸o˜es diferenciais. A abordagem anal´ıtica nos da´ um princ´ıpio para determinarmos todas estas equac¸o˜es
de movimento. Dada uma quantidade fundamental, denominada ac¸a˜o, o princ´ıpio de que esta quantidade
seja estaciona´ria, conhecido como princ´ıpio da ac¸a˜o mı´nima ou formulac¸a˜o hamiltoniana, fornece todas as
equac¸o˜es diferenciais associadas ao movimento do sistema. Hoje, este princ´ıpio e´ a base para a formulac¸a˜o
da maioria das teorias f´ısicas modernas. Ale´m disto, a formulac¸a˜o hamiltoniana na˜o depende da escolha do
sistema de coordenadas. Isto implica na invariabilidade (ou “invarianc¸ia”) das equac¸o˜es de movimento, co-
nhecidas como equac¸o˜es de Hamilton, com relac¸a˜o a` sistemas de coordenadas. Em suma, as (re-)formulac¸o˜es
de Lagrange e de Hamilton (bem como outras) na˜o introduzem fatos novos a`queles revelados pela formulac¸a˜o
newtoniana, mas nos permite reinterpreta´-los de forma completamente nova e abrangente. Abrangente o
suficiente para podermos conectar fatos, aparentemente distintos, em uma mesma teoria.
Estaremos interessados aqui em descrever os fundamentos da formulac¸a˜o hamiltoniana numa linguagem
matema´tica moderna composta basicamente pelo conceito de simetria. daremos eˆnfase nas transformac¸o˜es
simple´cticas como exemplo de transformac¸o˜es canoˆnicas, na equac¸a˜o de Hamilton-Jacobi, no teorema de
Liouville para a evoluc¸a˜o temporal de sistemas hamiltonianos, no uso das varia´veis de aˆnglo-ac¸a˜o para a
descric¸a˜o de movimentos perio´dicos, nas sec¸o˜es de Poincare´usadas na caracterizac¸a˜o da dinaˆmica e na
reformulac¸a˜o do princ´ıpio de Hamilton no contexto da relatividade especial. Todos os to´picos discutidos
nesta apostila foram retirados das seguintes refereˆncias cla´ssicas:
• C. Lanczos, The Variational Principles of Mechanics, Toronto (1970, quarta edic¸a˜o);
• H. Goldstein, Classical mechanics, Addison-Wesley (1980, segunda edic¸a˜o);
5
6 1. O Formalismo de Hamilton
• E. C. G. Sudarshan & N. Mukunda, Classical Dynamics: A Modern Perspective, John Wiley (1974).
• L. Landau & E. Lifshitz, Teoria do Campo, Mir (1980).
O estudante interessado por um ponto de vista atrave´s de ferramentas matema´ticas modernas pode consultar
os seguintes textos (em ordem de complexidade):
• W. F. Wreszinski, Mecaˆnica Cla´ssica Moderna, EDUSP (1997);
• V. I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer (1978);
• R. Abraham & J. E. Marsden, Foundations of Mechanics, Benjamin (1978).
1.2 Coordenadas generalizadas
Apesar das te´cnicas vetorias serem muito adequadas aos problemas de esta´tica, elas sa˜o inadequadas para
a cinema´tica onde as te´cnicas anal´ıticas sa˜o empregadas com muito sucesso. Este sucesso e´ devido ao uso
de coordenadas em sua concepc¸a˜o matema´tica abstrata. Assim, a mecaˆnica anal´ıtica e´ uma cieˆncia comple-
tamente matema´tica. O mundo f´ısico e´ traduzido em relac¸o˜es matema´ticas com a ajuda de coordenadas.
Apo´s trabalharmos com coordenadas como quantidades alge´bricas, os resultados devem ser traduzidos de
volta a` realidade f´ısica. Vale ressaltar que no´s na˜o precisamos especificar a natureza das coordenadas que
traduzem uma determinada realidade f´ısica para o domı´nio da matema´tica. No entanto, as te´cnicas anal´ıticas
exigem uma generalizac¸a˜o do conceito de coordenadas cartesianas. Qualquer conjunto de paraˆmetros que
possam caracterizar fisicamente um determinado sistema pode ser escolhido como um conjunto adequado de
coordenadas. Estas novas coordenadas sa˜o denominadas de coordenadas generalizadas.
Consideremos um sistema composto por N part´ıculas e sujeito a m v´ınculos. E´ poss´ıvel especificar
univocamente tal sistema por n = 3N −m coordenadas generalizadas qi (i = 1, . . . , n) de tal modo que as
coordenadas cartesianas sejam func¸o˜es destas novas coordenadas:
xk = xk(q1, . . . , qn), yk = yk(q1, . . . , qn), zk = zk(q1, . . . , qn), k = 1, 2, . . . , N , (1.1)
ou, usando uma notac¸a˜o “esticada”,
xr = xr(q), r = 1, 2, . . . , 3N , (1.2)
onde q = q1, . . . , qn. As equac¸o˜es de v´ınculos sa˜o, essencialmente, de dois tipos: 1) descritas pelo anulamento
(e/ou desigualdades) de certas func¸o˜es das 3N coordenadas cartesianas,
φk(x1, . . . , x3N ) = 0, k = 1, 2, . . . ,m ; (1.3)
2) descritas por relac¸o˜es lineares na˜o-integra´veis entre os diferenciais das coordenadas cartesianas. O nu´mero
n, denominado de graus de liberdade, e´ uma constante caracter´ıstica de cada sistema. Por exemplo, um so´lido
tem apenas seis graus de liberdade (quais sa˜o?), embora possa ser composto por uma quantidade muito grande
de part´ıculas.
As coordenadas generalizadas na˜o precisam ter sempre um significado geome´trico. Mas e´ necessa´rio que a
relac¸a˜o entre as 3N coordenadas cartesianas e as n coordenadas generalizadas seja dada por func¸o˜es anal´ıticas
(cont´ınuas e diferencia´veis), de valores u´nicos e invert´ıveis (jacobiano na˜o nulo). Estas condic¸o˜es podem
apenas ser violadas em pontos isolados, denominados de pontos singulares. Outra observac¸a˜o importante:
a escolha dos paraˆmetros qi deve ser feita de tal forma que os valores assumidos por eles proporcionem a
quase totalidade dos valores assumidos pelas coordenadas xr.
Uma vez que a dinaˆmica de um dado sistema e´ caracterizada por n coordenadas generalizadas qi, enta˜o as
func¸o˜es qi(t) representam a soluc¸a˜o para a dinaˆmica deste sistema. Portanto, podemos formar um espac¸o real
n-dimensional com tais coordenadas generalizadas, conhecido como espac¸o de configurac¸a˜o do sistema. Um
determinado ponto no espac¸o de configurac¸a˜o representa univocamente um dado estado (ou configurac¸a˜o)
do sistema. Em outras palavras, todo o sistema mecaˆnico pode ser trocado por um u´nico ponto no espac¸o
de configurac¸a˜o. As curvas qi(t), entre dois instantes de tempo, sa˜o conhecidas como trajeto´rias do espac¸o de
configurac¸a˜o. Vale ressaltar que elas na˜o representam as trajeto´rias reais do sistema no espac¸o tridimensional.
1. Equac¸o˜es de movimento 7
Einstein mostrou que o espac¸o euclideano e´ uma aproximac¸a˜o para a geometria da nossa realidade f´ısica,
aproximac¸a˜o va´lida apenas em regio˜es infinitesimais. Segundo a teoria da relatividade geral de Einstein,
a geometria da nossa realidade e´ melhor descrita pela geometria riemanniana (em quatro dimenso˜es). A
geometria riemanniana e´ totalmente caracterizada por uma matriz sime´trica e invert´ıvel gkl denominada de
me´trica. Tanto a curvatura intr´ınseca do espac¸o quanto as distaˆncias infinitesimais ds sa˜o calculadas em
func¸a˜o da me´trica. Em particular, para a geometria euclideana, gkl = δkl. A distaˆncia infinitesimal entre
dois pontos de um espac¸o riemanniano
ds2 =
n∑
k,l=1
gklq
kql, (1.4)
e´ uma constante perante qualquer transformac¸a˜o de coordenadas.
Consideremos um sistema mecaˆnico, composto de N part´ıculas, representado em um espac¸o de confi-
gurac¸a˜o de 3N dimenso˜es (demonstre que ele e´ euclideano). Consideremos tambe´mm v´ınculos neste sistema.
Cada um destes v´ınculos representa uma hipersuperf´ıcie no espac¸o de 3N dimenso˜es. A intersecc¸a˜o destas
superf´ıcies m dimensionais com o espac¸o 3N -dimensional gera um subespac¸o de n = 3N − m dimenso˜es.
Este subespac¸o na˜o e´ mais euclideano, mas sim um espac¸o curvo, riemanniano. A substituic¸a˜o das 3N
coordenadas euclideanas pelas n coordenadas generalizadas faz com que a distaˆncia infinitesimal no espac¸o
de configurac¸a˜o seja dada por
ds2 =
n∑
k,l=1
aklq
kql, (1.5)
onde akl(q) sa˜o func¸o˜es das coordenadas generalizadas (prove). Continuando nesta linha, o movimento de um
sistema mecaˆnico arbitra´rio pode ser estudado como o movimento de uma part´ıcula livre em um determinado
espac¸o riemanniano. Assim, o problema mecaˆnico e´ transformado em um problema de geometria diferencial.
1.3 Equac¸o˜es de movimento
As equac¸o˜es de movimento descobertas por Lagrange (e tambe´m por Euler) podem ser determinadas por
dois princ´ıpios variacionais. Em um caso, variac¸o˜es (ou deslocamentos virtuais, descritos no Apeˆndice D)
infinitesimais em torno de um estado do sistema em um determinado instante sa˜o tomadas. As equac¸o˜es
de movimento sa˜o obtidas impondo que o trabalho das forc¸as atuantes (incluindo as forc¸as de ine´rcia,
introduzidas por D’Alembert) no sistema seja nulo para qualquer variac¸a˜o infinitesimal em torno do estado
de equil´ıbrio. Portanto, este e´ um princ´ıpio diferencial, pois precisamos conhecer o estado do sistema apenas
em um dado instante de tempo. No outro caso, as equac¸o˜es de movimento sa˜o obtidas efetuando variac¸o˜es
infinitesimais em torno da trajeto´ria atual (no espac¸o de configurac¸a˜o) em um dado intervalo de tempo. Neste
caso, precisamos considerar todas as poss´ıveis trajeto´rias no espac¸o de configurac¸a˜o entre dois instantes de
tempo e, da´ı, a denominac¸a˜o de princ´ıpio integral (devido a Hamilton).
1.3.1 O princ´ıpio diferencial
Consideremos um sistema com N part´ıculas, descrito por 3N coordenadas cartesianas xr, r = 1, . . . , 3N .
Vamos supor que estas coordenadas satisfazem m equac¸o˜es de v´ınculos da forma
φk(x; t) = 0, k = 1, 2, . . . ,m . (1.6)
Vı´nculos deste tipo sa˜o denominados de holonoˆmicos. Como as forc¸as necessa´rias para manter estes v´ınculos
na˜o realizam trabalho, elas podem ser eliminadas das equac¸o˜es de movimento pela substituic¸a˜o das 3N
coordenadas cartesianas por n = 3N − m coordenadasgeneralizadas (linearmente independentes) qs, s =
1, . . . , n:
xr = xr(q; t), r = 1, . . . , 3N . (1.7)
Estas equac¸o˜es podem ser invertidas:
qs = qs(x; t), s = 1, . . . , n . (1.8)
8 1. O Formalismo de Hamilton
Diferenciando a (1.7) com relac¸a˜o ao tempo, teremos
x˙r ≡ d
dt
xr(q; t) =
n∑
s=1
∂xr
∂qs
q˙s +
∂xr
∂t
. (1.9)
Esta e´ uma nova func¸a˜o de q e q˙ (velocidades generalizadas). Considerando q e q˙ como linearmente indepen-
dentes, enta˜o
∂x˙r
∂q˙s
=
∂xr
∂qs
. (1.10)
A fim de efetuarmos variac¸o˜es infinitesimais nas coordenadas e calcularmos o trabalho correspondente,
devemos permitir que as coordenadas generalizadas q dependam de um paraˆmetro real λ de tal forma que
qs = qs(λ = 0) e que admita uma expansa˜o de Taylor em torno de λ:
qs(λ+∆λ) = qs(λ) +
dqs
dλ
∣∣∣∣
λ
∆λ+O(∆λ2). (1.11)
Isto nos permite definir as variac¸o˜es das coordenadas qs como
δqs ≡ qs(λ+∆λ)− qs(λ) = dq
s
dλ
∣∣∣∣
λ
∆λ. (1.12)
Portanto, as variac¸o˜es δqs podem ser vistas como diferenciais ordina´rias. Desde que o paraˆmetro λ na˜o tem
um papel importante, iremos manter apenas a notac¸a˜o δqs, mas tendo sempre em mente que estas variac¸o˜es
sa˜o derivadas ordina´rias. Uma consequ¨eˆncia imediata desta definic¸a˜o para as variac¸o˜es e´ a interdependeˆncia
entre as variac¸o˜es das coordenadas e das velocidades generalizadas:
d
dt
δqs = δq˙s. (1.13)
Dito isto, podemos calcular as variac¸o˜es correspondentes nas coordenadas cartesianas usando a “regra da
cadeia”, pois elas sa˜o func¸o˜es das coordenadadas generalizadas:
δxr =
n∑
s=1
∂xr
∂qs
δqs =
n∑
s=1
∂x˙r
∂q˙s
δqs, (1.14)
onde utilizamos o resultado (1.10).
Denotando por Fr a resultante das forc¸as (exceto as de v´ınculos) em cada part´ıcula e Cr as forc¸as de
v´ınculos (internas), a primeira lei de Newton toma a forma
mrx¨r = Fr + Cr, r = 1, . . . , 3N. (1.15)
O trabalho total devido aos deslocamentos δxr, levando em conta que as forc¸as de v´ınculos na˜o realizam
trabalho, e´:
3N∑
r=1
mrx¨rδxr =
3N∑
r=1
Frδxr. (1.16)
Segundo o princ´ıpio de D’Alembert, as equac¸o˜es de movimento esta˜o contidas nesta equac¸a˜o, a qual pode
ser reescrita como
3N∑
r=1
(
Fr −mrx¨r
)
δxr = 0. (1.17)
O termo com o sinal negativo e´ a “forc¸a de ine´rcia”. No entanto, como as coordenadas cartesianas na˜o sa˜o
linearmente independentes, devemos passar a Eq. (1.16) para as coordenadas generalizadas com o aux´ılio de
(1.14). Devido a` independeˆncia das variac¸o˜es δqs, a Eq. (1.16) e´ equivalente a
3N∑
r=1
mrx¨r
∂x˙r
∂q˙s
=
3N∑
r=1
Fr
∂x˙r
∂q˙s
≡ Qs, (1.18)
1. Equac¸o˜es de movimento 9
onde Qs sa˜o as forc¸as generalizadas. Introduzindo a energia cine´tica total do sistema,
T =
1
2
3N∑
r=1
mrx˙
2
r, (1.19)
na Eq. (1.18), podemos escreveˆ-la de novo como:
Qs =
d
dt
∂T
∂q˙s
− ∂T
∂qs
. (1.20)
Em geral, o trabalho feito pelas forc¸as Fr devido a`s variac¸o˜es nas coordenadas,
δW = Frδxr = Qsδqs, (1.21)
na˜o dependem apenas das configurac¸o˜es (estados) finais e, portanto, na˜o e´ um diferencial exato. No entanto,
podemos nos restringir aos casos em que a forc¸a generalizada Qs e´ derivada de uma func¸a˜o escalar V (q, q˙; t),
denominada de potencial:
Qs =
d
dt
∂V
∂q˙s
− ∂V
∂qs
. (1.22)
Os principais sistemas f´ısicos esta˜o nesta categoria. Os sistemas que teˆm um potencial independente da
velocidade sa˜o denominados de conservativos. As equac¸o˜es de movimento para os casos que obedecem a
Eq. (1.22) podem ser derivadas de uma u´nica func¸a˜o (escalar) denominada de lagrangiana:
L(q, q˙; t) = T (q, q˙; t)− V (q, q˙; t). (1.23)
Substituindo a (1.22) em (1.20), obteremos as equac¸o˜es de movimento de Lagrange,
d
dt
∂L
∂q˙s
− ∂L
∂qs
= 0. (1.24)
A forma destas equac¸o˜es de movimento tem duas caracter´ısticas importantes: 1) a lagrangiana na˜o e´ deter-
minada de forma u´nica. Em geral, temos a liberdade de adicionar na lagrangiana a derivada temporal de
uma func¸a˜o arbitra´ria das coordenadas e do tempo,
L→ L+ F˙ (q; t), (1.25)
sem alterar as equac¸o˜es de movimento (1.24); 2) a equac¸a˜o de Lagrange e´ invariante por transformac¸o˜es
pontuais de coordenadas no espac¸o de configurac¸a˜o,
qs = qs(q¯; t), (1.26)
onde q¯ sa˜o as novas coordenadas.
Um exemplo muito importante, que ilustra todo o procedimento descrito ate´ aqui, e´ dado por uma
part´ıcula (na˜o-relativ´ıstica) em um campo eletromagne´tico. Vamos escrever a forc¸a de Lorentz na forma
F(r, r˙; t) = eE(r; t) +
e
c
r˙×B(r; t), (1.27)
e as equac¸o˜es para os campos em termos dos potenciais na forma
E(r; t) = −∇φ(r; t)− 1
c
∂
∂t
A(r; t), B(r; t) = ∇×A(r; t). (1.28)
O problema maior aqui e´ saber quem e´ o potencial que leve a forc¸a de Lorentz na equac¸a˜o de Lagrange
(1.24). Apo´s algum esforc¸o, chegaremos a` conclusa˜o que este potencial e´
V = eφ− e
c
r˙ ·A. (1.29)
10 1. O Formalismo de Hamilton
1.3.2 O princ´ıpio integral
As equac¸o˜es de Lagrange (1.24) obtidas na sec¸a˜o anterior foram determinadas considerando apenas as pro-
priedades locais das trajeto´rias no espac¸o de configurac¸o˜es. Isto e´, foi usado apenas deslocamentos virtuais
(ou deslocamentos independentes) em um dado instante de tempo. No entanto, esta na˜o e´ a u´nica forma que
temos para determinar as equac¸o˜es de movimento ou, equivalentemente, a trajeto´ria de um sistema dinaˆmico
no espac¸o de configurac¸o˜es. Existe uma outra forma de derivar as equac¸o˜es de Lagrange considerando pro-
priedades globais (em intervalos de tempo finitos) das trajeto´rios no espac¸o de configurac¸o˜es. Neste caso, as
equac¸o˜es de movimento sa˜o obtidas atrave´s de uma condic¸a˜o imposta numa func¸a˜o escalar denominada de
ac¸a˜o: sempre que ela atingir um ponto extremo (ma´ximo, mı´nimo ou de inflexa˜o), as equac¸o˜es de Lagrange
sera˜o obtidas. Esta e´ a esseˆncia do princ´ıpio variacional (integral ou global) devido a Hamilton, o qual
passaremos a discutir em detalhes. E´ importante frisar que a ac¸a˜o desempenha um papel central nas teorias
modernas de campos (cla´ssicos e quaˆnticos).
Seja C qualquer trajeto´ria conectando as configurac¸o˜es Q1 = q(t1) e Q2 = q(t2). As velocidades em
qualquer ponto de C sa˜o dadas por
q˙s(t) =
d
dt
qs(t). (1.30)
Como a lagrangiana L do sistema e´ uma func¸a˜o das coordenadas q(t) e das velocidades q˙(t), enta˜o a integral
Φ[C] ≡
∫ t2
t1
dtL(q, q˙; t), (1.31)
tera´ um valor para cada curva C. Esta integral e´ denominada de ac¸a˜o. Matematicamente, a ac¸a˜o (1.31)
e´ um funcional, pois o seu valor depende das formas funcionais das coordenadas e da lagrangiana. Seja
C ′ uma outra curva infinitesimalmente pro´xima a` curva C. Isto implica que os pontos extremos da curva
C ′, Q′1 = q
′(t′1) e Q
′
2 = q
′(t′2), tambe´m diferem apenas infinitesimalmente dos pontos extremos da curva
C. Considerando estas duas curvas arbitra´rias, podemos sempre definir dois tipos de variac¸o˜es para as
coordenadas. Um tipo de variac¸a˜o e´ dado por medidas efetuadas independentemente nas coordendas em um
mesmo instante de tempo:
δqs(t) ≡ q′s(t)− qs(t). (1.32)
As variac¸o˜es correspondentes nas velocidades sa˜o:
d
dt
δqs(t) = δq˙s(t) = q˙′s(t)− q˙s(t). (1.33)
Denominaremos este tipo de variac¸a˜o de deslocamentos virtuais (veja o Apeˆndice D). O outro tipo, deno-
minado de variac¸a˜o total, e´ definido em instantes de tempo diferentes:
∆qs(t) ≡ q′s(t′)− qs(t). (1.34)
Ale´m de podermos comparar os valores das coordenadas nas duas curvas, podemos tambe´m, a qualquer
momento, comparar os dois relo´gios sobre as curvas C e C ′:
∆t ≡ t′ − t. (1.35)
Todas estas variac¸o˜es, tanto nas coordenadas, velocidades e no tempo, esta˜o interligadas. Para uam veri-
ficac¸a˜o, basta considerarmos variac¸o˜es infinitesimais. Enta˜o, ate´ primeiraordem na se´rie de Taylor, teremos
q′s(t′) = q′s(t+∆t) = q′s(t) + q˙′s(t)∆t. (1.36)
Esta expressa˜o nos possibilita relacionar as duas variac¸o˜es δqs(t) e ∆qs(t) na forma
∆qs(t) = δqs(t) + q˙s(t)∆t. (1.37)
E´ importante salientar que as coordenadas sa˜o func¸o˜es anal´ıticas do tempo (portanto, admitem expanso˜es
em se´ries de poteˆncias) e que todos os termos contendo infinitesimais de ordem superior, como δq∆t, nas
expanso˜es anteriores foram desprezados. Resta apenas calcularmos a variac¸a˜o da lagrangiana devido a`s
1. Equac¸o˜es de movimento 11
variac¸o˜es nas coordenadas para podermos enunciar o princ´ıpio variacional de Hamilton. A lagrangiana
sendo uma func¸a˜o das coordenadas de cada trajeto´ria pode ser escrita, ate´ primeira ordem, em um dado
instante, como
L(q′s, q˙′s; t) = L(qs + δqs, q˙s + δq˙s; t)
= L(qs, q˙s; t) +
n∑
s=1
( ∂L
∂qs
δqs +
∂L
∂q˙s
δq˙s
)
.
(1.38)
A variac¸a˜o ∆Φ na ac¸a˜o e´:
∆Φ = Φ[C ′]− Φ[C] =
∫ t′2
t′1
dtL(q′s, q˙′s; t)−
∫ t2
t1
dtL(qs, q˙s; t)
=
∫ t2
t1
dt
[
L(q′s, q˙′s; t)− L(qs, q˙s; t)]+ ∫ t2+∆t
t2
dtL(q′s, q˙′s; t)−
∫ t1+∆t
t1
dtL(q′s, q˙′s; t)
=
∫ t2
t1
dt
n∑
s=1
( ∂L
∂qs
δqs +
∂L
∂q˙s
δq˙s
)
+L∆t
∣∣t2
t1
=
∫ t2
t1
dt
n∑
s=1
( ∂L
∂qs
− d
dt
∂L
∂q˙s
)
δqs +
(
L∆t+
n∑
s=1
∂L
∂q˙s
δqs
)∣∣t2
t1
=
∫ t2
t1
dt
n∑
s=1
( ∂L
∂qs
− d
dt
∂L
∂q˙s
)
δqs +
( n∑
s=1
ps∆qs −H∆t
)∣∣t2
t1
,
(1.39)
onde
ps ≡ ∂L
∂q˙s
, H ≡
n∑
s=1
psq˙
s − L(q, q˙; t) (1.40)
sa˜o as varia´veis conjugadas a`s coordenadas qs e ao tempo t, respectivamente. Veremos que estas varia´veis
conjugadas desempenhara˜o um papel importante na formulac¸a˜o hamiltoniana. Vale notar que a variac¸a˜o
∆Φ calculada na u´ltima linha de (1.39) depende apenas da curva C e na˜o mais da curva C ′.
Consideremos inicialmente a situac¸a˜o particular onde variac¸o˜es nas trajeto´rias sa˜o feitas de forma a
manter os extremos fixos:
∆t
∣∣t2
t1
= ∆qs
∣∣t2
t1
= 0. (1.41)
Neste caso, podemos reescrever a (1.39) como
∆Φ =
∫ t2
t1
dt
n∑
s=1
( ∂L
∂qs
− d
dt
∂L
∂q˙s
)
δqs. (1.42)
Vemos enta˜o que ∆Φ[C] = 0, pois esta variac¸a˜o e´ diretamente proporcional a`s equac¸o˜es de Lagrange as quais
sa˜o va´lidas para a trajeto´ria C (atual) do sistema (as variac¸o˜es nas coordenadas generalizadas sa˜o todas
independentes). Reciprocamente, podemos afirmar que se impormos que variac¸o˜es na trajeto´ria em que o
sistema se encontra devam se anular, mantendo os pontos extremos da trajeto´ria fixos, enta˜o as equac¸o˜es
de Lagrange sa˜o obtidas. Portanto, elegantemente, podemos caracterizar, no espac¸o de configurac¸o˜es, a
dinaˆmica de um dado sistema assim: a trajeo´ria atual desse sistema e´ aquela que deixa a ac¸a˜o (1.31)
estaciona´ria, isto e´, as variac¸o˜es de primeira ordem ∆Φ sa˜o nulas. Este e´ o princ´ıpio de Hamilton. As
equac¸o˜es de Lagrange sa˜o derivadas deste princ´ıpio.
Vamos considerar agora o caso mais geral em que os extremos na˜o sa˜o mais mantidos fixos. Admitindo
que as equac¸o˜es de Lagrange sa˜o va´lidas na trajeto´ria C, neste caso, a Eq. (1.39) pode ser reescrita como:
∆Φ[C] =
( n∑
s=1
ps∆qs −H∆t
)∣∣t2
t1
. (1.43)
Como esta variac¸a˜o depende apenas das variac¸o˜es totais nos pontos extremos, podemos estender o princ´ıpio de
hamilton trocando a condic¸a˜o ∆Φ[C] = 0 pela condic¸a˜o (1.43), isto e´, que a variac¸a˜o ∆Φ[C] dependa apenas
12 1. O Formalismo de Hamilton
dos pontos extremos. Note que as equac¸o˜es de Lagrange continuam sendo derivadas deste princ´ıpio. As
quantidades ps e H tambe´m sa˜o conhecidas como o momentum generalizado e hamiltoniana, respectivamente.
Em termos do momentum generalizado ps, as equac¸o˜es de Lagrange (1.24) podem ser reescritas em termos
dos momenta generalizados (1.40) simplesmente como
p˙s =
∂L
∂qs
, ps =
∂L
∂q˙s
. (1.44)
Vamos recapitular o que fizemos ate´ aqui. No´s reformulamos a dinaˆmica newtoniana construindo um
espac¸o formado por pontos que representam, em um dado instante de tempo, a configurac¸a˜o do sistema.
Esta configurac¸a˜o e´ caracterizada por um determinado conjunto de paraˆmetros independentes os quais foram
denominados de coordenadas generalizadas. Assim, a dinaˆmica do sistema sera´ representada por trajeto´rias
no espac¸o de configurac¸o˜es. As equac¸o˜es de movimento newtonianas foram substitu´ıdas pelas equac¸o˜es de
Lagrange, determinadas exclusivamente pela lagrangiana do sistema, como uma consequ¨eˆncia do princ´ıpio
de Hamilton.
1.4 Lagrangianas e hamiltonianas
Existe uma alternativa a` formulac¸a˜o lagrangiana denominada de formulac¸a˜o hamiltoniana. Enquanto que as
varia´veis ba´sicas na formulac¸a˜o lagrangiana sa˜o as coordenadas generalizadas q e suas respectivas derivadas
q˙, na formulac¸a˜o hamiltoniana as varia´veis ba´sicas sa˜o as coordenadas generalizadas q e seus momenta conju-
gados p. Esta e´, e foi assim historicamente, a forma adequada para o desenvolvimento da F´ısica Quaˆntica. A
Eq. (1.40) conte´m a relac¸a˜o entre a lagrangiana e a hamiltoniana, a nova func¸a˜o que determinara´ as equac¸o˜es
de movimento. Desta forma, as velocidades q˙ devem ser substitu´ıdas pelos momenta p, ou seja, q˙ = q˙(q, p; t),
sempre que for poss´ıvel. Naturalmente, as novas equac¸o˜es de movimento, denominadas de equac¸o˜es de Ha-
milton, tambe´m devera˜o advir do mesmo princ´ıpio variacional. Para verificar isto, precisaremos construir
um espac¸o formados pelas coordenadas generalizadas q e os momenta conjugados p. Este espac¸o e´ denomi-
nado de espac¸o de fase. Cada ponto neste espac¸o de 2n componentes determina univocamente um estado
do sistema em um dado instante de tempo. Assim, como no espac¸o de configurac¸o˜es, a dinaˆmica de um
dado sistema f´ısico sera´ representada por uma trajeto´ria (superf´ıcie) no espac¸o de fase a qual obedecera´ as
equac¸o˜es de movimento de Hamilton, as quais sera˜o determinadas em seguida.
Dado dois pontos no espac¸o de fase, P1 = (q(t1), p(t1)) e P2 = (q(t2), p(t2)), podemos imaginar o sistema
indo do ponto P1, no tempo t1, ate´ o ponto P2, no tempo t2 > t1, em uma trajeto´ria C. Cada ponto desta
curva no espac¸o de fase e´ do tipo P (t) = (q(t), p(t)), sujeito a` condic¸a˜o de contorno Pi = (q(ti), p(ti)),
i = 1, 2. Com o aux´ılio da relac¸a˜o (1.40) entre a lagrangiana e a hamiltoniana, podemos definir uma ac¸a˜o
no espac¸o de fase (um funcional da trajeto´ria C) a partir da ac¸a˜o (1.31) no espac¸o de configurac¸o˜es:
Ψ[C] =
∫ t2
t1
Ldt =
∫ t2
t1
[ n∑
s=1
p(t)q˙(t)−H(qs(t), ps(t), t)
]
dt. (1.45)
Vamos agora considerar pequenas variac¸o˜es na trajeto´ria C decorrentes de variac¸o˜es independentes δp(t) e
δq(t) nas coordenadas p(t) e q(t), respectivamente. Os pontos extremos tambe´m sofrera˜o variac¸o˜es. Estas
variac¸o˜es no espac¸o de fase sera˜o ideˆnticas a`quelas do espac¸o de configurac¸o˜es, ou seja, teremos dois tipos de
variac¸o˜es: uma denotada por δ, onde as coordenadas sa˜o comparadas em trajeto´rias diferentes (C e C′) no
mesmo tempo, e outra denotada por ∆ (variac¸a˜o total), onde as coordenadas sa˜o comparadas em trajeto´rias
diferentes e em tempos diferentes. Por exemplo, considerando apenas os termos de primeira ordem nas
variac¸o˜es, a quantidade p′s(t)q˙
′s(t) pode ser reescrita como:
p′s(t)q˙
′s(t) = (ps + δps)(q˙s + δq˙s) = psq˙s + psδq˙s + q˙sδps. (1.46)
Utilizando a relac¸a˜o (1.37) que relaciona os dois tipos de variac¸o˜es, podemos reescrever a quantidade
ps(t)δqs(t) como:
ps(t)δqs(t) = ps(∆qs − q˙s∆t) = ps∆qs − psq˙s∆t. (1.47)
1. Lagrangianas e hamiltonianas 13
Quando a hamiltoniana e´ avaliada em C′, diferindo apenas infinitesimalmente de C, pode ser escrita, ate´
primeira ordem nas variac¸o˜es, como:
H(q′, p′; t) = H(q, p, t) +H(q + δq, p+ δp; t) = H(q, p; t) +
n∑
s=1
[
∂H∂qs
δqs +
∂H
∂ps
δps
]
. (1.48)
Calculemos agora a variac¸a˜o na ac¸a˜o (1.45):
∆Ψ = Ψ[C′]−Ψ[C]
=
∫ t′2
t′1
dt
[ n∑
s=1
p′s(t)q˙
′s(t)−H(q′(t), p′(t), t)
]
−
∫ t2
t1
dt
[ n∑
s=1
ps(t)q˙s(t)−H(q(t), p(t), t)
]
=
∫ t2
t1
dt
{ n∑
s=1
[
p′sq˙
′s − psq˙s
]−H(q′, p′; t) +H(q, p; t)}+ ∫ t′2
t2
dtL(q′, p′; t)−
∫ t′1
t1
dtL(q, p; t)
=
∫ t2
t1
dt
n∑
s=1
[(
q˙s − ∂H
∂ps
)
δps + psq˙s − ∂H
∂qs
δqs
]
+
[
L(q′, p′; t)− L(q, p; t)
]
∆t
∣∣∣∣t2
t1
=
∫ t2
t1
dt
n∑
s=1
[(
q˙s − ∂H
∂ps
)
δps −
(
p˙s +
∂H
∂qs
)
δqs
]
+
[ n∑
s=1
ps∆qs −H∆t
]∣∣∣∣t2
t1
,
(1.49)
onde utilizamos os treˆs u´ltimos resultados e integrac¸a˜o por partes. Novamente, requerendo que esta variac¸a˜o
dependa apenas dos pontos extremos,
∆Ψ = −
[
H∆t−
n∑
s=1
ps∆qs
]∣∣∣∣t2
t1
= ∆Φ, (1.50)
enta˜o obtemos as equac¸o˜es de Hamilton para o movimento como consequ¨eˆncia:
q˙s =
∂H
∂ps
, p˙s = −∂H
∂qs
. (1.51)
Vale notar que a variac¸a˜o da ac¸a˜o (1.50) conte´m informac¸o˜es dinaˆmicas importantes, principalmente para
a relatividade especial (veja o Apeˆndice C). Estas informac¸o˜es surgem na seguinte situac¸a˜o. Consideremos
que a evoluc¸a˜o dinaˆmica do sistema esteja em sua trajeto´ria real e que as variac¸o˜es ∆t e ∆qs sejam nulas
em t1 (esta condic¸a˜o na˜o e´ necessa´ria mas simplifica os ca´lculos seguintes). Consideremos agora o ponto
extremo t2 em qualquer lugar sobre a trajeto´ria do sistema. Isto significa que podemos interpretar a ac¸a˜o Ψ
como uma func¸a˜o de q, p e t, cujo diferencial total e´
∆Ψ(p, q; t) =
n∑
s=1
(
∂Ψ
∂qs
∆qs +
∂Ψ
∂ps
∆ps
)
+
∂Ψ
∂t
∆t. (1.52)
No entanto, vemos em (1.50) que este diferencial tem uma forma muito particular quando restringimos a
ac¸a˜o Ψ sobre a trajeto´ria real do sistema,
∆Ψ =
n∑
s=1
ps∆qs −H∆t. (1.53)
Portanto, comparando estas duas expresso˜es, temos que
ps =
∂Ψ
∂qs
,
−H = ∂Ψ
∂t
,
(1.54)
isto e´, o momentum generalizado e´ a derivada parcial da ac¸a˜o em relac¸a˜o a` varia´vel conjugada (coordenadas
generalizadas) e a hamiltoniana e´ a derivada parcial da ac¸a˜o em relac¸a˜o ao tempo (varia´vel conjugada a`
14 1. O Formalismo de Hamilton
hamiltoniana). Note que a ac¸a˜o na˜o possui uma dependeˆncia com o momentum generalizado devido a` forma
particular da variac¸a˜o (1.50). Na relatividade especial, a quantidade H/c sera´ a componente temporal do
quadrivetor momentum linear.
Algumas observac¸o˜es importantes. Embora as equac¸o˜es diferenciais de Hamilton sejam de primeira
ordem, elas formam um sistema com o dobro de equac¸o˜es em relac¸a˜o ao conjunto das equac¸o˜es diferenciais
de Lagrange, as quais sa˜o de segunda ordem no espac¸o de configurac¸o˜es. Isto acarreta um contraste curioso
entre os dois formalismos. Dado dois pontos no espac¸o de configurac¸o˜es, sempre podemos encontrar uma
trajeto´ria conectando estes dois pontos. Isto e´ poss´ıvel devido a` arbitrariedade na escolha da velocidade inicial
q˙ (devemos lembrar que uma equac¸a˜o diferencial de segunda ordem necessita de duas constantes iniciais).
A situac¸a˜o no espac¸o de fase e´ completamente diferente devido a`s equac¸o˜es de Hamilton serem de primeira
ordem. Como uma equac¸a˜o diferencial de primeira requer apenas uma constante inicial, enta˜o uma trajeto´ria
no espac¸o de fase e´ determinada completamente pela fase inicial (posic¸a˜o e momentum generalizado). Desta
forma, em geral na˜o sera´ poss´ıvel garantir que uma determinada trajeto´ria satisfazendo as equac¸o˜es de
Hamilton passe por dois pontos escolhidos previamente no espac¸o de fase. No entanto, veremos que os dois
formalismos, lagrangiano e hamiltoniano, sa˜o completamente equivalentes. Naturalmente, para cada escolha
da velocidade inicial no espac¸o de configurac¸o˜es havera´ uma curva diferente no espac¸o de fase correspondendo
aos mesmos pontos fixos para as coordenadas generalizadas.
Resta mostrar que o formalismo lagrangiano e hamiltoniano sa˜o equivalentes. Consideraremos aqui o
caso em que as velocidades generalizadas q˙ possam ser escritas em func¸a˜o das coordenadas generalizadas
q e seus momenta conjugados p. Isto significa que a primeira equac¸a˜o em (1.40) que define p = p(q, q˙; t)
possa ser invertida para as velocidades q˙ = q˙(q, p; t). Tendo em vista esta considerac¸a˜o, desejamos encontrar
um func¸a˜o H(q, p; t) que contenha as equac¸o˜es de movimento de Hamilton e que esteja relacionada com a
lagrangiana L(q, q˙; t) atrave´s da transformac¸a˜o em (1.40). Uma indicac¸a˜o de como encontrar tal func¸a˜o H
e´ dada pelas equac¸o˜es de Lagrange na forma (1.44). Como o lado esquerda dela na˜o envolve explicitamente
as velocidades q˙, devemos procurar por uma func¸a˜o H ′(q, p; t) tal que
p˙s =
∂L
∂qs
∣∣∣∣
q˙
= k
∂H ′
∂qs
∣∣∣∣
p
, (1.55)
onde k e´ uma constante. Assim, o lado direito de (1.44) tambe´m na˜o contera´ as velocidades q˙ explicitamente.
A questa˜o agora e´ saber se existe tal func¸a˜o H ′(q, p; t) e qual sua relac¸a˜o com a hamiltoniana H(q, p; t). As
respostas esta˜o contidas na soma dos diferenciais de L(q, q˙; t) e H ′(q, p; t):
dL(q, q˙; t) =
n∑
s=1
(
∂L
∂qs
dqs +
∂L
∂q˙s
dq˙s
)
+
∂L
∂t
=
n∑
s=1
(
∂L
∂qs
dqs + psdq˙s
)
+
∂L
∂t
dt,
dH ′(q, p; t) =
n∑
s=1
(
∂H ′
∂qs
dqs +
∂H ′
∂ps
dps
)
+
∂H ′
∂t
dt.
(1.56)
Usando a relac¸a˜o psdq˙s = d(psq˙s)− q˙sdps, a soma desses diferenciais pode ser reescrita como
d
(
H ′ −
∑
s
psq˙
s + L
)
=
n∑
s=1
[
(1 + k)
∂H ′
∂qs
dqs +
(
∂H ′
∂ps
− q˙s
)
dps
]
+
∂
∂t
(L+H ′)dt. (1.57)
Podemos ver enta˜o que o lado direito desta expressa˜o e´ o diferencial exato de uma func¸a˜o dependente de q,
p e t. No entanto, o lado esquerdo conte´m termos dependentes de q˙, os quais podem ser eliminados caso
possamos definir uma nova func¸a˜o H(q, p; t),
H(q, p; t) =
∑
s
psq˙
s − L(q, q˙; t). (1.58)
A soma desses diferenciais anteriores em termos desta func¸a˜o H pode ser reescrita como
d(H ′ −H) =
n∑
s=1
[
(1 + k)
∂H ′
∂qs
dqs +
(
∂H ′
∂ps
− q˙s
)
dps
]
+
∂
∂t
(L+H ′)dt
=
n∑
s=1
[
∂
∂qs
(H ′ −H)dqs + ∂
∂ps
(H ′ −H)dps
]
+
∂
∂t
(H ′ −H)dt.
(1.59)
1. Lagrangianas e hamiltonianas 15
Portanto a func¸a˜o H ′(q, p; t) existe quando H(q, p; t) for da forma (1.40) e as relac¸o˜es seguintes (equac¸o˜es de
Hamilton) forem satisfeitas:
∂H ′
∂ps
− q˙s = ∂
∂ps
(H ′ −H)⇒ q˙s = ∂H
∂ps
, (1.60)
(1 + k)
∂H ′
∂qs
=
∂
∂qs
(H ′ −H)⇒ −p˙s = ∂H
∂qs
, (1.61)
∂
∂t
(L+H ′) =
∂
∂t
(H ′ −H) ⇒ −∂L
∂t
=
∂H
∂t
. (1.62)
Note que a u´ltima relac¸a˜o envolvendo as derivadas parciais no tempo de L e H sa˜o ine´ditas. Podemos
tambe´m inverter todo o processo: obter as equac¸o˜es de Lagrange a partir das equac¸o˜es de Hamilton. Para
tal basta escrevermos a lagrangiana na forma
L(q, q˙; t) =
n∑
s=1
psq˙
s −H(q, p; t), (1.63)
e calcular o seu diferencial total nos dois membros,
dL(q, q˙; t) =
n∑
s=1
(
∂L
∂qs
dqs +
∂L
∂q˙s
dq˙s
)
+
∂L
∂t
dt
=
n∑
s=1
(
psdq˙
s + q˙sdps − ∂H
∂qs
dqs − ∂H
∂ps
dps
)
− ∂H
∂t
dt
=
n∑
s=1
(
−∂H
∂qs
dqs + psdq˙s
)
− ∂H
∂t
dt.
(1.64)
Comparando a primeira e a u´ltima linha desta expressa˜o teremos as equac¸o˜es de Lagrange
p˙s =
∂L
∂qs
= −∂H
∂qs
, (1.65)
ps =
∂L
∂q˙s
(1.66)
−∂L
∂t
=
∂H
∂t
. (1.67)
A transformac¸a˜o (1.40), discutida no para´grafo anterior, e´ um exemplo de uma transformac¸a˜o de contato.
Uma transformac¸a˜o de contato (de primeira ordem) pode ser definida da seguinte forma. Seja F = F (x, y)
uma func¸a˜o arbitra´ria, onde x e y sa˜o linearmente independentes. Por exemplo, x= q e y = q˙. Uma
transformac¸a˜o da forma
x¯ = x¯(x, F ), F¯ = F¯ (x, F ), (1.68)
e´ uma transformac¸a˜o de contato se a condic¸a˜o seguinte for satisfeita:
dF − ∂F
∂x
dx = dF¯ − ∂F¯
∂x¯
dx¯. (1.69)
Em geral, qualquer func¸a˜o G(x¯, y, F¯ ;x, y, F ) (func¸a˜o geratriz) satisfazendo
G(x¯, y, F¯ ;x, y, F ) = 0,
∂G
∂x
+
∂F
∂x
∂G
∂F
= 0,
∂G
∂x¯
+
∂F¯
∂x¯
∂G
∂F¯
= 0, (1.70)
gera uma transformac¸a˜o de contato. Note que podemos, em princ´ıpio, substituir a varia´vel x por x¯ nas
transformac¸o˜es (1.68). Caso esta substituic¸a˜o possa ser efetuada, a nova func¸a˜o F¯ sera´ uma func¸a˜o de x¯
e y. Por razo˜es histo´ricas, o caso particular onde x¯ = ∂F/∂x em (1.68) e´ conhecido como transformac¸a˜o
de Legendre. Tais transformac¸o˜es sa˜o muito importantes em Mecaˆnica e Termodinaˆmica. Por exemplo,
a transformac¸a˜o (1.40) e´ uma transformac¸a˜o de Legendre com y = q, x = q˙, F = L(q, q˙; t), x¯ = p e
F¯ = −H(q, p; t). A func¸a˜o geratriz e´ G = −H − L+ pq˙ = 0.
16 1. O Formalismo de Hamilton
1.5 Simetrias e leis de conservac¸a˜o
O conceito matema´tico de simetria desempenha um papel de destaque em va´rias a´reas da F´ısica contem-
poraˆnea. Por exemplo, a maior parte do nosso conhecimento sobre o mundo subatoˆmico e´ muito bem
explicada pelo Modelo Padra˜o. Este modelo unifica treˆs das quatro forc¸as ba´sicas que temos conhecimento
ate´ o presente: forc¸a eletromagne´tica (mante´m os ele´trons ligados ao nu´cleo), forc¸a fraca (mante´m os nu´cleos
coesos) e forc¸a forte (confina os constituintes ba´sicos no interior de pro´tons e neˆutrons). Simetria, quando ex-
pressada matematicamente atrave´s dos grupos de Lie, uma homenagem a Marius Sophus Lie (1842–1899) pela
descoberta das propriedades infinitesimais dos grupos de transformac¸o˜es cont´ınuas,12 e´ o elemento comum
nesta descric¸a˜o unificada. Cada uma destas treˆs forc¸as e´ descrita por campos, denominados de Yang-Mills,
os quais teˆm suas propriedades gerais controladas pelas a´lgebras de Lie (u(1) para o eletromagnetismo, su(2)
para as forc¸as fracas e su(3) para as forc¸as fortes). Ale´m disto, essas teorias sa˜o todas invariantes por trans-
formac¸o˜es de Lorentz, um grupo de Lie do tipo SO(1,3). A situac¸a˜o na˜o e´ diferente no mundo macrosco´pico,
principalmente em relac¸a˜o ao macrocosmos obedecendo a` Relatividade Geral, onde todas as leis (ou teorias)
f´ısicas devem ser invariantes por transformac¸o˜es gerais de coordenadas em um espac¸o-tempo curvo. Essas
transformac¸o˜es formam um grupo de Lie conhecido como o grupo dos difeomorfismos. Portanto, simetria tem
sido um dos principais guias para o estabelecimento das leis f´ısicas que temos conhecimento ate´ o momento
e continua sendo indispensa´vel na construc¸a˜o de novas teorias como, por exemplo, supercordas. Igualmente
importante ao uso de simetria como princ´ıpio para o estabelecimento de leis f´ısicas, devemos mencionar os
processos de quebra de simetria presentes na natureza. Essas quebras de simetria, na realidade, por des-
creverem interac¸o˜es e suas evoluc¸o˜es, e´ que nos permitem construir formulac¸o˜es matema´ticas de fenoˆmenos
naturais.
O conceito de simetria pode ser melhor entendido atrave´s do conceito de equivaleˆncia. Dois objetos
sa˜o equivalentes quando puderem ser relacionados por transformac¸o˜es. Estas transformac¸o˜es podem ser
translac¸o˜es, rotac¸o˜es, reflexo˜es, transformac¸o˜es de coordenadas, etc. Podemos assim chamar de simetria
um conjunto de equivaleˆncias de um determinado objeto. Em geral, leis de conservac¸a˜o surgem como
consequ¨eˆncia de propriedades de simetria. Isto foi demonstrado rigorosamente no comec¸o do Se´c. XX por
Emmy Amalie No¨ether (1832–1935). Por exemplo, a conservac¸a˜o da energia mecaˆnica e´ consequ¨eˆncia da
lagrangiana ser invariante no tempo; da mesma forma, a conservac¸a˜o de momentum (linear ou angular) e´
consequ¨eˆncia da lagrangiana ser invariante por translac¸o˜es e rotac¸o˜es espaciais.
Do ponto de vista dinaˆmico, e´ de importaˆncia pra´tica e teo´rica precisar o conceito de constante de
movimento e quantidade conservada. Qualquer func¸a˜o F (q, q˙; t) = C constante sobre cada uma das poss´ıveis
trajeto´rias no espac¸o de configurac¸a˜o e´ uma constante de movimento. Uma quantidade conservada e´ uma
constante de movimento que na˜o depende explicitamente do tempo. Das equac¸o˜es de Lagrange (1.44),
p˙s =
∂L
∂qs
, ps =
∂L
∂q˙s
, (1.71)
podemos ver que se a uma determinada coordenada, digamos qα, na˜o aparece explicitamente na lagrangiana,
enta˜o o momentum conjugado pα e´ uma constante de movimento,
p˙α =
∂L
∂qα
= 0. (1.72)
Tais coordenadas qα sa˜o denominadas de coordenadas c´ıclicas. Para um sistema com n graus de liberdade,
existe 2n constantes de movimento, no ma´ximo, linearmente independentes. Admitindo que a hamiltoniana
H seja a varia´vel conjugada da coordenada temporal t, enta˜o o resultado acima tambe´m pode ser usado para
1Um grupo G e´ um conjunto de elementos {f, g, h, . . .} compartilhando as quatro propriedades seguintes: I) o “produto”
entre dois elementos sempre e´ um outro elemento do grupo, isto e´ g · h ∈ G; II) o produto e´ associativo: f · (g · h) = (f · g) · h;
III) sempre existe um elemento neutro I, tal que I · g = g · I = g, ∀g ∈ G; IV) sempre existe um elemento inverso g−1, tal que
g · g−1 = g−1 · g = I, ∀g ∈ G.
2Em geral, um grupo cont´ınuo, como o grupo das rotac¸o˜es espaciais, tem um nu´mero infinito de elementos, pois um elemento
do grupo depende continuamente em um ou mais paraˆmetros reais. Portanto o estudo das propriedades gerais do grupo como
um todo e´ uma tarefa laboriosa. Lie mostrou que o estudo de um conjunto com um nu´mero muito reduzido de elementos
derivados dos elementos do grupo em torno da identidade e´ suficiente para estabelecer a maior parte das propriedades gerais
de um grupo cont´ınuo. Esse conjunto reduzido forma a a´lgebra de Lie associada ao grupo de Lie.
1. Simetrias e leis de conservac¸a˜o 17
estabelecer que H tambe´m sera´ uma quantidade conservada. De fato, usando as equac¸o˜es (1.67), teremos
dH
dt
=
∑
s
d
dt
(psq˙s)− d
dt
L(q, q˙; t) = −∂L
∂t
=
∂H
∂t
. (1.73)
Portanto, sempre que a lagrangiana ou a hamiltoniana na˜o depender explicitamente do tempo, a hamiltoniana
H sera´ uma quantidade conservada. Portanto, simetria por translac¸o˜es temporais implica na conservac¸a˜o da
varia´vel conjugada H. Em particular, quando a energia cine´tica de um dado sistema puder ser escrita numa
forma quadra´tica nas velocidades e a energia potencial numa forma independente das velocidades,
T (q˙; t) =
1
2
∑
rs
mrsq˙
r q˙s, V = V (q; t), (1.74)
enta˜o a hamiltoniana H em (1.40) pode ser interpretada como sendo a energia total do sistema,
H =
∑
s
psq˙
s − L =
∑
s
∂L
∂q˙s
q˙s − T + V = T + V. (1.75)
Vimos que as equac¸o˜es de Lagrange (1.24) sa˜o invariantes a transformac¸o˜es pontuais dadas em (1.26),
qs = qs(q¯; t). (1.76)
Em geral, o valor nume´rico da lagrangiana na˜o e´ alterado em uma transformac¸a˜o deste tipo. Pore´m a forma
funcional da lagrangiana sera´ alterada:
L(q, q˙; t) = L
(
q(q¯), q˙(q¯, ˙¯q); t
)
= L¯(q¯, ˙¯q; t), (1.77)
onde, usando (1.76),
q˙s =
∑
r
∂qs
∂q¯r
˙¯qr +
∂qs
∂t
= q˙s(q¯, ˙¯q)⇒ ∂q˙
s
∂ ˙¯qr
=
∂qs
∂q¯r
. (1.78)
Vamos verificar o efeito da transformac¸a˜o (1.76) no espac¸o de fase. Devida a` invariabilidade das equac¸o˜es
de Lagrange,
˙¯ps =
∂L¯
∂q¯s
, (1.79)
o novo momentum conjugado p¯ pode ser definido da forma usual
p¯s =
∂
∂ ˙¯qs
L¯(q¯, ˙¯q; t) =
∂
∂ ˙¯qs
L
(
q(q¯), q˙(q¯, ˙¯q); t
)
=
∑
r
∂L
∂q˙r
∂q˙r
∂ ˙¯qs
=
∑
r
pr
∂qr
∂q¯s
.
(1.80)
Este resultado nos mostra que, dada a transformac¸a˜o (1.76), o novo momentum p¯ esta´ automaticamente
definido em (1.80). Portanto, existira´ uma transformac¸a˜ono espac¸o de fase, (q, p)→ (q¯, p¯),
q¯s = q¯s(q; t), p¯s = p¯s(p, q; t) =
∑
r
pr
∂qr
∂q¯s
, (1.81)
correspondente a` transformac¸a˜o (1.76). Como as equac¸o˜es de Lagrange sa˜o equivalentes a`s equac¸o˜es de
Hamilton, enta˜o esta transformac¸a˜o no espac¸o de fase tambe´m devera´ preservar as equac¸o˜es de Hamilton.
Vale observar que a transformac¸a˜o no espac¸o de fase dada em (1.81), na sua forma independente do tempo
q = q(q¯), e´ uma transformac¸a˜o de contato. Para verificarmos isto, basta tomarmos x = q˙, F = L e F¯ = L¯
em (1.68). Neste caso, a (1.69) e (1.81) fornecem
psdq˙
s = p¯sd ˙¯qs. (1.82)
18 1. O Formalismo de Hamilton
Veremos que as transformac¸o˜es de contato formam apenas um conjunto particular das transformac¸o˜es no
espac¸o de fase que preservam as equac¸o˜es de Hamilton. Embora as transformac¸o˜es de coordenadas finitas,
como as transformac¸o˜es de contato, tenham uma importaˆncia evidente, pois elas possibilitam as equac¸o˜es
de movimento serem reescritas numa forma mais simples, ainda podemos aprender muito sobre constantes
de movimento analisando somente transformac¸o˜es infinitesimais. Transformac¸o˜es infinitesimais podem ser
vistas como um dos infinitos passos sucessivos necessa´rios para efetuarmos uma transformac¸a˜o finita. Em
geral, podemos escrever uma transformac¸a˜o infinitesimal na forma
q′s = qs +
r∑
α=1
²αφ
(α)s(q, q˙; t) = qs + δqs, δqs =
r∑
α=1
²αφ
(α)s, |²α| ¿ 1, (1.83)
onde ²α, α = 1, 2, . . . , r, sa˜o quantidades constantes linearmente independentes e muito pequena (paraˆmetros
da transformac¸a˜o infinitesimal) e φ(α)s(q, q˙; t) e´ a func¸a˜o que caracteriza a transformac¸a˜o de coordenadas.
Esta func¸a˜o ira´ definir o que sera´ a transformac¸a˜o. Por exemplo, uma translac¸a˜o espacial, rotac¸o˜es espaciais,
etc. Considerando o efeito de uma transformac¸a˜o infinitesimal na forma funcional da lagrangiana, podere-
mos inferir que quantidades sera˜o conservadas como consequ¨eˆncia da invariabilidade da forma funcional da
lagrangiana. Uma variac¸a˜o δqs nas coordenadas causa uma variac¸a˜o correspondente na lagrangiana:
δL = L(q′, q˙′; t)− L(q, q˙; t) = L(q + δq, q˙ + δq˙; t)− L(q, q˙; t)
=
∑
s
(
∂L
∂qs
δqs +
∂L
∂q˙s
δq˙s
)
=
∑
α,s
²α
(
∂L
∂qs
φ(α)s +
∂L
∂q˙s
φ˙(α)s
)
=
∑
α,s
²α
(
p˙sφ
(α)s + psφ˙(α)s
)
=
∑
α
²α
d
dt
∑
s
psφ
(α)s,
(1.84)
onde, como usual, fizemos uso das equac¸o˜es de Lagrange (1.44). Lembrando que as constantes ²α sa˜o
linearmente independentes, podemos ver da expressa˜o anterior que a quantidade
n∑
s=1
psφ
(α)s (1.85)
e´ uma constante de movimento quando a variac¸a˜o δL for nula. A variac¸a˜o δL = 0 significa que a lagrangiana
L e´ invariante a` transformac¸a˜o de coordenadas infinitesimal dada em (1.83). Este resultado e´ uma versa˜o
simplificada do teorema de No¨ether. Mesmo quando a variac¸a˜o da lagrangiana na˜o e´ exatamente nula, ainda
podemos obter constantes de movimento. Por exemplo, quando
δL =
r∑
α=1
²α
dFα
dt
, (1.86)
onde Fα e´ uma func¸a˜o arbitra´ria , ainda teremos a quantidade∑
s
psφ
(α)s − Fα (1.87)
como uma constante de movimento. Nesta situac¸a˜o dizemos que a lagrangiana e´ quasi-invariante.
E´ ilustrativo considerarmos o caso de uma part´ıcula livre em movimento translacional ou rotacional. Em
qualquer um destes dois casos teremos apenas treˆs graus de liberdade, s = 1, 2, 3. Assim, as coordenadas
generalizadas qs podem ser interpretadas como as componentes espaciais xk, k = 1, 2, 3, do vetor posic¸a˜o
e as varia´veis conjugadas como as componentes do momentum linear. Consideremos inicialmente uma
transformac¸a˜o com um u´nico paraˆmetro infinitesimal ² e independente das coordenadas,
φk = ak, (1.88)
correspondendo a uma translac¸a˜o espacial por um vetor ~a constante. Enta˜o, de acordo com (1.85), as
componentes pk do momentum linear ~p sa˜o quantidades conservadas. Portanto, podemos afirmar que a
1. Simetrias e leis de conservac¸a˜o 19
invariabilidade da lagrangiana por translac¸o˜es espaciais implica na conservac¸a˜o do momentum linear. Con-
sideremos agora o movimento de rotac¸a˜o da part´ıcula em torno de um eixo fixo, sem translac¸o˜es. Essas
rotac¸o˜es tridimensionais podem ser parametrizadas por treˆs paraˆmetros ²i, i = 1, 2, 3, e uma dependeˆncia
com as coordenadas da forma (veja a Eq. (B.24) no Apeˆndice B):
φ(i)k =
3∑
j=1
εijk xj , (1.89)
onde εijk e´ o tensor completamente anti-sime´trico de Levi-Civita (Tullio Levi-Civita, 1873–1941) em treˆs
dimenso˜es.3 Assim, da Eq. (1.85), as componentes do momentum angular
Li =
3∑
j,k=1
εijk xj pk = (r× p)i, (1.90)
sa˜o quantidades conservadas. Portanto, invariabilidade rotacional na lagrangiana implica na conservac¸a˜o
do momentum angular. Em todos os exemplos dados ate´ agora, quando a lagrangiana e´ invariante por
transformac¸o˜es em uma determinada varia´vel (tempo, posic¸a˜o e aˆngulo de rotac¸a˜o) a varia´vel conjugada
correspondente (hamiltoniana ou energia, momentum linear e angular, respectivamente) e´ conservada.
A ana´lise das condic¸o˜es que uma determinada quantidade F deva ter para ser uma quantidade conservada
e´ melhor analisada no espac¸o de fase. Esta facilidade e´ devida ao diferencial total de uma func¸a˜o arbitra´ria
F (q, p; t) no espac¸o de fase depender apenas das varia´veis ba´sicas (p, q) e possivelmente do tempo:4
F˙ =
d
dt
F (q, p; t) =
∑
s
(
∂F
∂qs
q˙s +
∂F
∂ps
p˙s
)
+
∂F
∂t
=
∑
s
(
∂F
∂qs
∂H
∂ps
− ∂F
∂ps
∂H
∂qs
)
+
∂F
∂t
= [F,H](q,p) +
∂F
∂t
,
(1.91)
onde utilizamos as equac¸o˜es de Hamilton (1.51) e a definic¸a˜o seguinte:
[F,H](q,p) = −[H,F ](q,p) =
∑
s
(
∂F
∂qs
∂H
∂ps
− ∂F
∂ps
∂H
∂qs
)
. (1.92)
Esta quantidade, de importaˆncia fundamental para o formalismo hamiltoniano, e´ denominada de pareˆnteses
de Poisson (Sime´on Denis Poisson, 1781–1840). Podemos ver que F (q, p), sem a dependeˆncia expl´ıcita no
tempo, sera´ uma quantidade conservada sempre que [F,H](q,p) = 0. Como [H,H](q,p) = 0 para uma func¸a˜o
arbitra´ria H, devido a` propriedade de anti-simetria do pareˆntese de Poisson, enta˜o a hamiltoniana sem uma
dependeˆncia expl´ıcita do tempo sera´ uma quantidade conservada.
Sendo F uma func¸a˜o arbitra´ria no espac¸o de fase, enta˜o podemos considerar as equac¸o˜es de Hamilton
(1.51) como casos particulares da derivada total em (1.91), com F = q e F = p, respectivamente:
q˙s = [qs, H](q,p), p˙s = [ps,H](q,p). (1.93)
Tambe´m pode ser verificado diretamente da definic¸a˜o (1.92) que os pareˆnteses de Poisson das varia´veis ba´sicas
(q, p), consideradas como independentes, sa˜o
[qs, qr](q,p) = [ps, pr](q,p) = 0, [qs, pr](q,p) = δrs. (1.94)
3Este tensor e´ completamente anti-sime´trico em quaisquer dois ı´ndices, igual a zero para ı´ndices repetidos e igual a um
(menos um) para permutac¸o˜es positivas (negativas). Uma permutac¸a˜o e´ positiva (negativa) quando o nu´mero de transposic¸o˜es
(permutac¸a˜o envolvendo dois elementos) para voltar a` identidade for par (´ımpar).
4No espac¸o de configurac¸a˜o o diferencial total conte´m tambe´m acelerac¸o˜es, ale´m das coordenadas e velocidades.
20 1. O Formalismo de Hamilton
1.6 Geometria simple´ctica
1.6.1 Me´trica simple´ctica
O pareˆntese de Poisson definido em (1.92) possui va´rias propriedades importantes. A determinac¸a˜o e ana´lise
de suas utilidades podem ser efetuadas de forma muito simples quando uma estrutura me´trica e´ introduzida
no espac¸o de fase. A fim de construir esta estrutura me´trica, vamos inicialmente modificar a nossa forma
de escrever um ponto (q, p) no espac¸o de fase em um determinado tempo t. Considerando um sistema com
n graus de liberdade, denotaremos um ponto no espac¸o de fase pelo vetor contravariante ωµ, µ = 1, . . . , 2n,
onde
(ωµ) = (q1, . . ., qn, p1, . . . , pn). (1.95)
As componentes covariantes correspondentes sera˜o determinadas pela me´trica simple´ctica5 ζ:
ωµ = ζµνων , (ωµ) = (−p1, . . . ,−pn, q1, . . . , qn), (1.96)
onde
ζµν = −ζνµ =

1 se µ ≤ n e ν = n+ µ,
−1 se ν ≤ n e µ = n+ ν,
0 todos os demais casos;
ζµν = −ζνµ =

−1 se µ ≤ n e ν = n+ µ,
1 se ν ≤ n e µ = n+ ν,
0 todos os demais casos.
(1.97)
Estas componentes anti-sime´tricas da me´trica satisfazem as relac¸o˜es usuais de ortogonalidade:
ζµαζαν = ζναζαµ = δµν . (1.98)
Como exemplo, consideremos n = 2. Neste caso, as componentes contravariantes e covariantes da me´trica
podem ser agrupadas numa matriz 4× 4:
(ζµν) =
0 0 1 0
0 0 0 1
−1 0 0 0
0 −1 0 0
, (ζµν) =
0 0 −1 0
0 0 0 −1
1 0 0 0
0 1 0 0
. (1.99)
O espac¸o de fase com a me´trica (1.97) e´ denominado de espac¸o de fase simple´ctico. Devido a` forma da me´trica
em (1.97), a operac¸a˜o de contrac¸a˜o ωαηα neste espac¸o e´ anti-sime´trica:
ωαη
α = ζαβωβηα = −ωβζβαηα = −ωβηβ = −ωαηα. (1.100)
Quando o valor da operac¸a˜o de contrac¸a˜o em uma das componentes entre dois objetos dados e´ zero, diz-se
que estes objetos sa˜o anti-ortogonais. Portanto, qualquer objeto e´ anti-ortogonal a si mesmo:
ωαω
α = −ωβωβ ⇒ ωαωα = 0. (1.101)
1.6.2 Transformac¸o˜es simple´cticas
Vamos denotar por V 2n o espac¸o de fase simple´ctico. O conjunto de todos os pontos neste espac¸o forma um
espac¸o vetorial de dimensa˜o 2n. Seja {R, S, T , . . .} o conjunto das transformac¸o˜es lineares, R : V 2n → V 2n,
em V 2n. As transformac¸o˜es de coordenadas no espac¸o de fase simple´ctico que mateˆm invariante a operac¸a˜o
de contrac¸a˜o,
ωαω¯
α = ηαη¯α, η = Rω, η¯ = Rω¯, (1.102)
sa˜o denominadas de transformac¸o˜es simple´cticas.6 Devido a` condic¸a˜o quadra´tica em (1.102), as componentes
matriciais Rµν da transformac¸a˜o simple´ctica R,
ηµ = Rµνων , (1.103)
5A palavra simple´ctico em grego significa entrelac¸ado. Note que a me´trica simple´ctica troca sempre q com −p e p com q.
6No Apeˆndice A e´ feita uma discussa˜o mais ampla sobre transformac¸o˜es lineares e suas propriedades.
1. Geometria simple´ctica 21
na˜o sa˜o todas linearmente independentes, mas satisfazem a seguinte relac¸a˜o quadra´tica:
RαµR
β
νζαβ = ζµν ⇒ (R−1)µα(R−1)
ν
βζµν = ζαβ . (1.104)
Como ζµν e´ anti-sime´trico, estas relac¸o˜es envolvem n(2n − 1) elementos de matriz da transformac¸a˜o R.
Portanto, somente n(2n + 1) elementos sera˜o linearmente independentes. De (1.104) podemos escrever os
elementos de matriz de uma transformac¸a˜o inversa (admitindo que ela exista):
(R−1)
µ
ν = ζ
µβζανR
α
β = −Rνµ. (1.105)
Ainda admitindo a existeˆncia da inversa, podemos escrever a transformac¸a˜o correspondente para as compo-
nentes covariantes ωµ:
ηµ = ζµνην = ζµνRναωα = ζµνRναζαβωβ = −Rµβωβ = (R−1)βµωβ . (1.106)
Assim, enquanto as componentes contravariantes (1.103) transformam com a matriz da transformac¸a˜o pro-
priamente dita, as componentes covariantes (1.106) transformam com a matriz inversa. Definiremos como
tensor no espac¸o de fase simple´ctico qualquer objeto cujas componentes sejam func¸o˜es das coordenadas ω, e
possivelmente do tempo, que transformam da mesma forma que as componentes das coordenadas em (1.103)
e (1.106). O nu´mero de ı´ndices (ou “entradas”) aparecendo nas componentes de um tensor e´ denominado
de ordem do tensor. Por exemplo, sendo Tµν um tensor de ordem dois, enta˜o sabemos que, por definic¸a˜o,
suas componentes devera˜o transformarem-se como:
Tµν → −RµαRνβTαβ . (1.107)
Um tensor e´ uma quantidade invariante quando suas componentes transformadas forem ideˆnticas a`s compo-
nentes originais. Por exemplo, a me´trica simple´ctica ζµν e´ um tensor covariante de ordem dois, anti-sime´trico
e invariante. O cara´cter invariante pode ser visto da relac¸a˜o quadra´tica em (1.104). Estes resultados tambe´m
esta˜o comentados na Subsec¸a˜o A.4.3 do Apeˆndice A. Mostramos tambe´m naquele apeˆndice que as trans-
formac¸o˜es simple´cticas formam o grupo simple´ctico Sp(2n), contendo n(2n+ 1) geradores, os quais formam
uma a´lgebra de Lie e podem ser representados por matrizes sime´tricas de trac¸o nulo.
1.6.3 Pareˆnteses de Poisson e de Lagrange
A me´trica simple´ctica e a operac¸a˜o de contrac¸a˜o nos permite reescrever os pareˆnteses de Poisson, definidos
em (1.92), numa forma simplificada. Sejam Fk(ω; t), k = 1, . . . , r, func¸o˜es arbitra´rias definidas no espac¸o de
fase (veja o Apeˆndice A). Enta˜o o pareˆntese de Poisson definido em (1.92) pode ser escrito como:
[Fk, Fl]ω = ζµνFk,µFl,ν = Fk,νFl,ν , Fk,µ =
∂Fk
∂ωµ
. (1.108)
Assim, podemos ver que o pareˆntese de Poisson e´ invariante por transformac¸o˜es simple´cticas, devido a`
contrac¸a˜o no lado direito. Devido a` propriedade de anti-simetria (1.100) desta mesma contrac¸a˜o, o pareˆntese
de Poisson e anti-sime´trico,
[Fk, Fl]ω = −[Fl, Fk]ω ⇒ [Fk, Fk]ω = 0. (1.109)
Vemos de (1.108) que as varia´veis ba´sicas do espac¸o de fase satisfazem
[ωµ, ων ]ω = ζαβωµ,αων ,β = ζαβδµαδ
ν
β = ζ
µν . (1.110)
Note que o pareˆntese de Poisson precisa de duas func¸o˜es no espac¸o de fase para enta˜o transforma´-las
em uma outra func¸a˜o do espac¸o de fase. Uma quantidade com esta caracter´ıstica de modificar func¸o˜es e´
denominada de operador. O pareˆntese de Poisson (1.108) e´ um operador bi-linear, isto e´, linear nas posic¸o˜es
ocupadas por Fk e Fl. Como ele e´ anti-sime´trico, precisamos mostrar a linearidade em apenas uma de suas
duas entradas:
[Fi + λFk, Fl]ω = (Fi + λFk),νFl,ν = [Fi, Fl]ω + λ[Fk, Fl]ω, ∀λ ∈ R. (1.111)
22 1. O Formalismo de Hamilton
Isto significa que temos uma maneira natural, dada pelo pareˆntese de Poisson, de combinarmos duas func¸o˜es
no espac¸o de fase simple´ctico, ou de efetuarmos um “produto” entre elas que seje bi-linear, para produzir
uma terceira. No contexto de a´lgebra linear, o pareˆntese de Poisson define uma a´lgebra no espac¸o das func¸o˜es
definidas no espac¸o de fase simple´ctico. Os pareˆnteses de Poisson satisfazem outra propriedade importante:
a identidade de Jacobi (Carl Gustav Jacob Jacobi, 1804–1851),[
Fi, [Fk, Fl]ω
]
ω
+
[
Fl, [Fi, Fk]ω
]
ω
+
[
Fk, [Fl, Fi]ω
]
ω
= 0. (1.112)
Esta propriedade pode ser demonstrada facilmente usando a definic¸a˜o (1.108) e a propriedade de anti-
simetria da me´trica simple´ctica. Uma a´lgebra bi-linear, anti-sime´trica e obedecendo a` identidade de Jacobi
e´ denominada de a´lgebra de Lie (Marius Sophus Lie, 1842–1899). Para finalizar, notemos que o pareˆntese de
Poisson e´ um operador derivada:
[Fi, FkFl]ω = (FiFk),νFl,ν = Fi[Fk, Fl]ω + [Fi, Fl]ωFk. (1.113)
As equac¸o˜es de Hamilton (1.93) podem ser reescritas numa forma ainda mais simples em termos de
(1.108),
ω˙µ = [ωµ,H]ω = ζµνH,ν = H ,µ. (1.114)
As componentes covariantes ω˙µ podem ser escritas imediatamente das componentes contravariantes:
ω˙µ = [ωµ,H]ω = H,µ. (1.115)
Como exemplo, consideremos n = 1. Enta˜o (ωµ) = (−p, q) e (ω˙µ) = (−p˙, q˙). Assim, teremos as equac¸o˜es de
Hamilton esperadas: (ω˙µ) = (−p˙, q˙) = (H,µ) = (∂H/∂q, ∂H/∂p).
Ha´ uma outra quantidade importante diretamente relacionada com o pareˆntese de Poisson, denominada
de pareˆntese de Lagrange. Esta nova quantidade sera´ importante na definic¸a˜o de transformac¸o˜es canoˆnicas.
Iremos precisar de uma conjunto com 2n func¸o˜es Fµ = Fµ(ω; t), linearmente independentes, no espac¸o de
fase para definirmos o pareˆntese de Lagrange como
{Fµ, F ν}ω = −ζαβ ∂ω
α
∂Fµ
∂ωβ
∂F ν
= −{F ν , Fµ}ω. (1.116)
Estamos assumindo aqui que possamos inverter as relac¸o˜es Fµ = Fµ(ω; t) para escrevermos ωµ = ωµ(F ; t).
Isto significa que o jacobiano,
J = detM, Mµν =
∂Fµ
∂ων
, (M−1)µν =
∂ωµ
∂F ν
, Mµα(M−1)αν = δ
µ
ν , (1.117)
desta transformac¸a˜o e´ diferente de zero. Esta condic¸a˜o J 6= 0 nos permite relacionar o pareˆntese de Lagrange
como pareˆntese de Poisson:∑
γ
[Fµ, F γ ]ω{F γ , F ν}ω = −ζαβζσρ ∂F
µ
∂ωα
∂F γ
∂ωβ
∂ωσ
∂F γ
∂ωρ
∂F ν
= −ζαβζσρMµαMγβ(M−1)σγ(M−1)ρν
= −ζαβζσρMµαδσβ (M−1)ρν = −ζαβζβρMµα(M−1)ρν
= −δαρMµα(M−1)ρν = −Mµα(M−1)αν
= −δµν .
(1.118)
Portanto, dado um dos pareˆnteses podemos calcular o outro por esta relac¸a˜o. Naturalmente, as relac¸o˜es
(1.118) com F = ω reduzem-se nas relac¸o˜es seguintes:
{ωµ, ων}ω = −ζµν . (1.119)
Note que este pareˆntese de Lagrange e´ um tensor covariante de ordem dois. Em geral, os pareˆnteses de
Lagrange na˜o sa˜o bi-lineares e nem satisfazem a identidade de Jacobi.
1. Transformac¸o˜es canoˆnicas 23
1.7 Transformac¸o˜es canoˆnicas
1.7.1 Definic¸a˜o
Consideremos uma transformac¸a˜o de coordenadas arbitra´ria, pore´m invert´ıvel, no espac¸o de fase:
ω′µ = ω′µ(ω) ou q′ = q′(q, p; t), p′ = p′(q, p; t). (1.120)
Dada esta transformac¸a˜o, queremos saber o seu efeito nas equac¸o˜es de Hamilton (1.114). Por exemplo, a
transformac¸a˜o
q′ = a q, p′ = b p, a e b constantes, (1.121)
denominada de transformac¸a˜o de escala, produz as seguintes modificac¸o˜es nas equac¸o˜es de Hamilton:
aq˙ =
ab
b
∂H
∂p
⇒ q˙′ = ab∂H
∂p′
,
bp˙ = −ab
a
∂H
∂q
⇒ p˙′ = −ab∂H
∂q′
.
(1.122)
Podemos ver destas relac¸o˜es que a escolha H ′ = abH mantem invariante a forma funcional das equac¸o˜es de
Hamilton. Esta transformac¸a˜o de escala altera a lagrangiana correspondente pelo mesmo fator:
L′ =
n∑
s=1
p′sq˙′s −H ′ = ab ( n∑
s=1
psq˙s −H) = abL. (1.123)
Consideremos outro exemplo similar dado pela transformac¸a˜o
q′ = p, p′ = q, (1.124)
denominada de inversa˜o de coordenadas. Neste caso, as equac¸o˜es de Hamilton sa˜o alteradas para
q˙ = p˙′ =
∂H
∂p
=
∂H
∂q′
⇒ p˙′ = −∂(−H)
∂q′
,
p˙ = q˙′ = −∂H
∂q
= −∂H
∂p′
⇒ q˙′ = ∂(−H)
∂p′
.
(1.125)
Portanto, a nova hamiltoniana H ′ = −H preserva a forma funcional das equac¸o˜es de Hamilton. Sera´ u´til
calcular o pareˆntese de Poisson para estas duas transformac¸o˜es:
(ω′µ) = (aq, bp)⇒ [ω′µ, ω′ν ]ω = ab ζµν ,
(ω′µ) = (p, q)⇒ [ω′µ, ω′ν ]ω = −ζµν .
(1.126)
Note que a escolha ab = 1 deixa a me´trica simple´ctica invariante por transformac¸o˜es de escala.
Considerando que as equac¸o˜es de Hamilton (1.114) esta˜o escritas numa forma covariante no espac¸o
de fase simple´ctico, caracterizado pela me´trica simple´ctica (1.97), portanto, sempre que transformac¸o˜es
de coordenadas lineares preservarem a me´trica simple´ctica (1.97), enta˜o a forma funcional das equac¸o˜es de
Hamilton tambe´m sera˜o preservadas. Isto e´ o que esperamos devido a` discussa˜o sobre transformac¸o˜es lineares
feita no Apeˆndice A. Estas transformac¸o˜es lineares que deixam invariante a me´trica simple´ctica,
[ω′µ, ω′ν ] = ζσρ
∂ω′µ
∂ωσ
∂ω′ν
∂ωρ
= ζµν , (1.127)
e que, consequ¨entemente, preservam a forma funcional das equac¸o˜es de Hamilton,
ω˙′
µ
= [ω′µ,H ′], H ′ = H ′(ω′; t), (1.128)
sa˜o denominadas de transformac¸o˜es canoˆnicas lineares. Podemos ver que as transformac¸o˜es que discutimos
nos dois exemplos anteriores (escala e inversa˜o de coordenadas) na˜o preservam a me´trica, embora a forma
das equac¸o˜es de Hamilton sejam preservadas. Portanto, elas na˜o sa˜o canoˆnicas.
24 1. O Formalismo de Hamilton
A condic¸a˜o (1.127) foi obtida considerando apenas transformac¸o˜es lineares. No entanto, muitos outros
tipos de transformac¸o˜es de coordenadas, ale´m das lineares, tambe´m satisfazem a condic¸a˜o (1.127). Isto
significa que podemos obter a condic¸a˜o (1.127), definindo uma transformac¸a˜o canoˆnica, por outro cami-
nho. Usaremos o princ´ıpio de Hamilton para caracterizar as transformac¸o˜es canoˆnicas e, ao mesmo tempo,
estabelecer um programa para determina´-las.
Consideremos γ como sendo a trajeto´ria atual de um dado sistema dinaˆmico no espac¸o de fase. Esta
mesma trajeto´ria pode ser descrita em termos das coordenadas ω ou em termos das coordenadas transfor-
madas ω′(ω). Desta forma, sobre a mesma trajeto´ria, as ac¸o˜es
Ψ[γ] =
∫
dtL, L =
n∑
s=1
psq˙s −H,
Ψ′[γ] =
∫
dtL′, L′ =
n∑
s=1
p′sq˙′
s −H ′,
(1.129)
devem fornecer as mesmas equac¸o˜es de movimento:
∆Ψ[γ] =
( n∑
s=1
ps∆q˙s −H∆t)∣∣B
A
⇒ ω˙ = [ω,H]ω,
∆Ψ′[γ] =
( n∑
s=1
p′s∆q˙′
s −H ′∆t)∣∣B′
A′ ⇒ ω˙′ = [ω′,H ′]ω′ .
(1.130)
Portanto, as lagrangianas L′ e L devem ser proporcionais: L′ = cL. Pore´m, vimos no exemplo da trans-
formac¸a˜o de escala (1.121) que este fator pode ser feito igual a` unidade mediante uma escolha apropriada
dos paraˆmetros de uma transformac¸a˜o de escala. No entanto, como o princ´ıpio de Hamilton admite uma
contribuic¸a˜o na˜o-nula na variac¸a˜o da ac¸a˜o que determina as equac¸o˜es de hamilton, enta˜o podemos adicionar
a` relac¸a˜o L′ = L a derivada temporal total de uma func¸a˜o arbitra´ria no espac¸o de fase:
L′ = L+
dF
dt
. (1.131)
Assim, a variac¸a˜o da ac¸a˜o tera´ termos diferentes de zero apenas nos pontos extremos da trajeto´ria. Vimos
anteriormente que a forma funcional das equac¸o˜es de Lagrange no espac¸o de configurac¸a˜o na˜o e´ alterada
quando F (q; t), isto e´, a func¸a˜o F e´ independente das velocidades q˙. Aqui, certamente a forma das equac¸o˜es de
Lagrange sera´ alterada. Pode haver situac¸o˜es em que a pro´pria lagrangiana sera´ nula para a trajeto´ria real do
sistema dinaˆmico. Estamos fazendo uso aqui da lagrangiana apenas por convenieˆncia, pois as transformac¸o˜es
de coordenadas esta˜o ocorrendo no espac¸o de fase. Considerando todas as quantidades na relac¸a˜o anterior
expressas em termos das coordenadas ω′, teremos:
L′ =
n∑
s=1
p′sq˙′
s −H ′
= L
(
q(ω′), p(ω′); t
)
+
d
dt
F (ω′; t)
=
∑
r,s
pr
( ∂qr
∂q′s
q˙′
s
+
∂qs
∂p′s
p˙′
s
+
∂qr
∂t
)−H +∑
s
( ∂F
∂q′s
q˙′
s
+
∂F
∂p′s
p˙′
s)
+
∂F
∂t
=
∑
s
(∑
r
pr
∂qr
∂q′s
+
∂F
∂q′s
)
q˙′
s
+
∑
s
(∑
r
pr
∂qr
∂p′s
+
∂F
∂p′s
)
p˙′
s
+
∑
r
pr
∂qr
∂t
+
∂F
∂t
−H.
(1.132)
Sendo as varia´veis ω′ linearmente independentes, bem como suas derivadas ω˙′, enta˜o a identidade anterior
fornece as relac¸o˜es seguintes:
∂F
∂q′s
= p′s −
∑
r
pr
∂qr
∂q′s
,
∂F
∂p′s
= −
∑
r
pr
∂qr
∂p′s
,
(1.133)
1. Transformac¸o˜es canoˆnicas 25
e
H ′ = H −
∑
r
pr
∂qr
∂t
− ∂F
∂t
. (1.134)
As duas primeiras destas relac¸o˜es sa˜o equac¸o˜es diferenciais que determinam a func¸a˜o F (ω′). Conhecendo F ,
a terceira relac¸a˜o determina a nova lagrangiana H ′. A func¸a˜o F e´ denominado por isto de func¸a˜o geratriz
da transformac¸a˜o canoˆnica. A igualdade das derivadas mistas de segunda ordem de F nas varia´veis ω′ e´
uma condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para garantir a soluc¸a˜o do sistema de equac¸o˜es diferenciais parciais de
primeira ordem formado pelas duas primeiras equac¸o˜es. Assim, da primeira equac¸a˜o em (1.133), a condic¸a˜o
∂2F
∂q′r∂q′s
=
∂2F
∂q′s∂q′r
(1.135)
resulta em
{q′r, q′s}ω = 0. (1.136)
De forma ana´loga, a condic¸a˜o
∂2F
∂p′r∂p′s
=
∂2F
∂p′s∂p′r
(1.137)
sobre a segunda equac¸a˜o em (1.133), fornece
{p′r, p′s}ω = 0. (1.138)
A terceira condic¸a˜o de integrabilidade,
∂2F
∂p′r∂q′s
=
∂2F
∂q′s∂p′r
, (1.139)
resulta em
{q′r, p′s}ω = δrs. (1.140)
Caso tive´ssemos mantido a constante c introduzida inicialmente entre L e L′ (L′ = cL) ela teria aparecido
multiplicando os pareˆnteses de Lagrange. Em suma, a condic¸a˜o
{ω′µ, ω′ν}ω = −ζσρ ∂ω
σ
∂ω′µ
∂ωρ
∂ω′ν
= −ζµν , (1.141)
garante que a transformac¸a˜o ω′(ω) e´ canoˆnica. Podemos ver desta relac¸a˜o que a me´trica simple´ctica perma-
nece de fato invariante. Naturalmente, podemos inverter estas relac¸o˜es, com o aux´ılio de (1.118), envolvendo
os pareˆnteses de Lagrange e reescreveˆ-las em termos dos pareˆnteses de Poisson, como em (1.127). Portanto,transformac¸o˜es canoˆnicas formam um conjunto contendo muitos tipos de transformac¸o˜es de coordenadas no
espac¸o de fase. As transformac¸o˜es lineares formam um subconjunto deste conjunto maior.
Como exemplo pra´tico, vamos considerar uma part´ıcula de massa m sujeita a um potencial harmoˆnico
unidimensional com a constante de mola dada por k. A lagrangiana correspondente deste sistema massa-mola
e´
L =
1
2
mq˙2 − 1
2
kq2. (1.142)
A equac¸a˜o de Lagrange correspondente e´ simplesmente
p˙ =
∂L
∂q
, p =
∂L
∂q˙
⇒ q¨ + ω2q = 0, ω2 = k
m
. (1.143)
Passemos agora para o espac¸o de fase onde a hamiltoniana correspondente e´:
H = pq˙ − L = 1
2m
p2 +
1
2
kq2. (1.144)
Esta hamiltoniana fornece as seguintes equac¸o˜es de movimento (na forma de um sistema de equac¸o˜es dife-
renciais lineares de primeira ordem):
q˙ =
∂H
∂p
=
1
m
p, p˙ = −∂H
∂q
= −k q ⇒ q¨ + ω2q = 0. (1.145)
26 1. O Formalismo de Hamilton
A transformac¸a˜o de coordenadas (dilatac¸a˜o canoˆnica)
q′ =
√
k
ω
q, p′ =
√
1
mω
p, (1.146)
e´ uma transformac¸a˜o canoˆnica. A geratriz neste caso e´ independente da fase (q′, p′). Considerando que
estas transformac¸o˜es sa˜o independentes do tempo, enta˜o H ′ = H. Assim, substituindo as varia´veis (q, p) na
hamiltoniana pelas novas varia´veis (q′, p′), teremos
H ′ =
ω
2
(
q′2 + p′2
)
. (1.147)
As novas equac¸o˜es de movimento sera˜o determinadas pela mesma forma funcional anterior:
q˙′ =
∂H ′
∂p′
= ω p′, p˙′ = −∂H
′
∂q′
= −ω q′ ⇒ q¨′ + ω2q′ = 0. (1.148)
Nestes dois casos temos que resolver um sistema de equac¸o˜es diferenciais acopladas. No entanto, a trans-
formac¸a˜o canoˆnica
q′ =
1√
2
(
Q− iP ), p′ = i√
2
(
Q+ iP
) ⇒ P = iQ∗, (1.149)
desacopla as equac¸o˜es de movimento. Neste caso, a func¸a˜o geratriz ainda pode ser considerada independente
(explicitamente) do tempo, pore´m na˜o mais das novas coordenadas:
F =
i
4
(
Q2 − 2iQP + P 2). (1.150)
Novamente, a nova hamiltoniana H ′′ sera´ obtida da antiga H ′ por uma simples substituic¸a˜o de varia´veis:
H ′′ = −iω QP. (1.151)
As equac¸o˜es de Hamilton neste caso sa˜o:
Q˙ =
∂H ′′
∂P
= −iω Q, P˙ = −∂H
′′
∂Q′
= iω P. (1.152)
Vale notar que a lagrangiana corresponde e´
L′′ = PQ˙−H ′′ = PQ˙+ iω QP. (1.153)
Assim, quando as equac¸o˜es de movimento sa˜o utilizadas, teremos L′′ = 0. Isto tambe´m acontece com a
lagrangiana correspondente a` equac¸a˜o de Dirac.
1.7.2 Equac¸a˜o de Hamilton-Jacobi
Consideramos na Sec¸a˜o anterior que a func¸a˜o geratriz dependesse das varia´veis (q′, p′) e possivelmente do
tempo. Neste caso as duas equac¸o˜es diferenciais em (1.133) determinam a geratriz F (q′, p′; t). Tendo a
geratriz, a equac¸a˜o em (1.134) determina a nova hamiltoniana. As equac¸o˜es de movimento provenientes
desta nova hamiltoniana podem ser mais simples do que as originais, permitindo assim a sua soluc¸a˜o de
forma menos trabalhosa. No entanto, podemos usar transformac¸o˜es de coordenadas de va´rias outras formas
com o objetivo de obter a soluc¸a˜o das equac¸o˜es de movimento, isto e´, ω(t, α, β), com α e β sendo as 2n
constantes de integrac¸a˜o necessa´rias para podermos resolver as equac¸o˜es de Hamilton. Estas sa˜o func¸o˜es
da fase inicial ω0 em algum instante inicial t = t0. Ha´ apenas quatro tipos distintos de efetuarmos este
programa. Estes quatro tipos esta˜o sumariados na Tabela 1.1.
A Tabela 1.1 mostra na segunda coluna as varia´veis independentes utilizadas para determinar cada
transformac¸a˜o. Estas varia´veis independentes sa˜o sempre uma mistura igual das varia´veis antigas ω e das
varia´veis novas ω′. Qualquer variac¸a˜o neste percentual e´ essencialmente uma combinac¸a˜o dos quatro tipos
de transformac¸o˜es apresentadas na Tabela 1.1. Caso o conjunto contendo as 2n coordenadas escolhidas
1. Transformac¸o˜es canoˆnicas 27
na˜o seja linearmente independente, os multiplicadores de Lagrange devem ser usados. A terceira coluna
conte´m a func¸a˜o geratriz apropriada a cada uma das escolhas das coordenadas independentes. A quarta
coluna apresenta as equac¸o˜es diferenciais resultantes da condic¸a˜o (1.131) apo´s a considerac¸a˜o das varia´veis
independentes listadas na segunda coluna. A quinta coluna exibe a condic¸a˜o que a geratriz deve satisfazer
para que seja poss´ıvel escrever as novas coordenadas independentes em func¸a˜o de todas as antigas coordenadas
apo´s as equac¸o˜es diferenciais na quarta coluna terem sido resolvidas. Esta condic¸a˜o e´ essencialmente a
condic¸a˜o de um jacobiano diferente de zero para que uma transformac¸a˜o de coordenadas seja invert´ıvel.
Tipo Vars. Geratriz Equac¸o˜es Jacobiano
I (q, q′) FI = −F p = ∂FI∂q , p′ = −∂FI∂q′ , H ′ = H + ∂FI∂t det
∣∣ ∂2FI
∂q∂q′
∣∣ 6= 0
II (q, p′) FII =
∑n
s=1 p
′
sq
′s − F p = ∂FII∂q , q′ = ∂FII∂p′ , H ′ = H + ∂FII∂t det
∣∣∂2FII
∂q∂p′
∣∣ 6= 0
III (p, q′) FIII =
∑n
s=1 psq
s + F q = ∂FIII∂p , p
′ = ∂FIII∂q′ , H
′ = H − ∂FIII∂t det
∣∣∂2FIII
∂p∂q′
∣∣ 6= 0
IV (p, p′) FIV =
∑n
s=1
(
psq
s − p′sq′s + F
)
q = ∂FIV∂p , q
′ = −∂FIV∂p′ , H ′ = H − ∂FIV∂t det
∣∣∂2FIV
∂p∂p′
∣∣ 6= 0
Tabela 1.1: Os quatro tipos independentes de transformac¸o˜es canoˆnicas. Qualquer outra escolha para as
varia´veis independentes sera´ uma combinac¸a˜o destas apresentadas na segunda coluna.
O objetivo das transformac¸o˜es canoˆnicas e´ auxiliar a resoluc¸a˜o das equac¸o˜es de Hamilton, isto e´, deter-
minar a dependeˆncia temporal das coordenadas generalizadas no espac¸o de fase, ω(ω0, t). Como as equac¸o˜es
de Hamilton sa˜o de primeira ordem, a especificac¸a˜o de 2n constantes iniciais ω0 e´ suficiente para determinar
univocamente as trajeto´rias ω(t, ω0). Assim, podemos determinar a transformac¸a˜o canoˆnica que leve as
coordenadas ω(t) nas coordenadas ω′ independentes do tempo. Isto e´, evidentemente, uma forma de resol-
ver as equac¸o˜es de Hamilton, pois teremos, apo´s a transformac¸a˜o, ω′ = ω′(ω; t). Estas relac¸o˜es podem ser
invertidas para ω(t, ω′). Sendo ω′ independentes do tempo, enta˜o podemos relaciona´-las com as constantes
de integrac¸a˜o. Nesse sentido, as transformac¸o˜es canoˆnicas do tipo II sa˜o indispensa´veis.
Uma forma de garantir que as novas coordenadas ω0 sera˜o independentes do tempo e´ requerer que a nova
hamiltoniana H ′(ω′; t) seja nula. Assim,
ω˙′ = [ω′,H ′ = 0]ω′ = 0. (1.154)
Esta condic¸a˜o H ′ = 0, juntamente com a informac¸a˜o contida na quarta coluna da Tabela 1.1 para uma
transformac¸a˜o do tipo II, nos permite escrever, em um determinado tempo t,
H(q, p; t) +
∂FII
∂t
= 0, p = p(q, p′; t), FII = FII(q, p′; t). (1.155)
Ainda da Tabela 1.1, para uma transformac¸a˜o do tipo II, temos
p =
∂FII
∂q
. (1.156)
Substituindo esta relac¸a˜o em H(q, p; t), obteremos
H
(
q,
∂FII
∂q
; t
)
+
∂FII
∂t
= 0. (1.157)
Esta e´ a equac¸a˜o diferencial de Hamilton-Jacobi para a geratriz. Ela e´ uma equac¸a˜o diferencial contendo n+1
derivadas parciais. No entanto, podemos observar que a geratriz FII na˜o aparece explicitamente na equac¸a˜o
de Hamilton-Jacobi, mas apenas as suas derivadas. Consequ¨entemente, uma das constantes de integrac¸a˜o
deve ser aditiva, o que na˜o ira´ importar para a determinac¸a˜o da nova hamiltoniana H ′ em (1.134) (ate´ mesmo
porque H ′ = 0). Portanto, a soluc¸a˜o da equac¸a˜o de Hamilton-Jacobi (1.157) e´ da forma FII(q;α; t), onde
α sa˜o as n constantes de integrac¸a˜o. Caso tive´ssemos um sistema de n equac¸o˜es linearmente independentes
28 1. O Formalismo de Hamilton
envolvendo a geratriz e um outro conjunto de n constantes β, independentes do tempo, enta˜o poder´ıamos
resolver este sistema e determinar q = q(t, α, β). Estas equac¸o˜es existem e sa˜o determinadas por
q′ =
∂FII
∂p′
. (1.158)
Esta relac¸a˜o e´ uma consequ¨eˆncia da transformac¸a˜o ser do tipo II, como pode ser visto