Atividade resolvida de análise matemática

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AULA ATIVIDADE ALUNO 
 
Curso: Licenciatura em Matemática 
Disciplina: Análise Matemática 
Aula: 02 – Conjuntos enumeráveis e estudo do conjunto dos números reais 
Professor (a): Alessandra Negrini Dalla Barba 
 
 
CONJUNTOS ENUMERÁVEIS, NÃO ENUMERÁVEIS E O 
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 
 
 
Para as questões 1, 2 e 3, considere as seguintes informações: 
Uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 é bijetora quando for, simultaneamente, injetora e sobrejetora. 
A função 𝑓 é injetora quando for possível considerar dois pontos distintos em seu 
domínio 𝐴 e verificarmos que suas imagens também são distintas em 𝐵. Ou de modo 
equivalente, quando dois elementos na imagem são iguais então seus 
correspondentes no domínio também devem ser iguais. 
A função 𝑓 é sobrejetora quando a imagem da função coincide com seu contradomínio 
𝐵. Assim, para todo ponto 𝑏 ∈ 𝐵 é possível identificar um elemento 𝑎 ∈ 𝐴 tal que 
𝑏 = 𝑓(𝑎). 
Quando é possível identificar uma função bijetora 𝑥:ℕ → 𝑋 então podemos concluir 
que o conjunto 𝑋 é enumerável. 
 
Questão 1 
Considere o conjunto dos números naturais pares, dado por 
𝑃 = {2,4,6,… } ⊂ ℕ 
Verifique se este conjunto é enumerável. 
(Sugestão: construa uma função 𝑓: ℕ → 𝑃 e verifique se a mesma é bijetora). 
Resolução: Considere a função 𝑓: ℕ → 𝑃 definida por 
𝑓(𝑛) = 2𝑛 
com 𝑛 ≥ 1. Temos que esta função é bijetora. De fato: 
a) 𝑓 é injetora: considere 𝑎, 𝑏 ∈ ℕ tal que 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏), ou seja, 2𝑎 = 2𝑏, 
consequentemente, 𝑎 = 𝑏, de onde segue que 𝑓 é injetora. 
b) 𝑓 é sobrejetora: seja 𝑘 ∈ 𝑃, então 𝑘 = 2𝑚 para algum 𝑚 ∈ ℕ, pois 𝑃 é formado pelos 
números pares. Assim, considerando 𝑚 ∈ ℕ teremos que 𝑓(𝑚) = 2𝑚 = 𝑘. Logo, 𝑓 é 
sobrejetora. 
Portanto, podemos concluir que 𝑓 é bijetora, o que comprova a enumerabilidade do 
conjunto 𝑃. 
 
 
 
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Questão 2 
Considere o conjunto dos números naturais ℕ. Se considerarmos um subconjunto 
qualquer de ℕ, quais propriedades poderão ser satisfeitas por este conjunto em relação 
à quantidade de elementos (finito ou infinito) e à enumerabilidade? Justifique sua 
resposta. 
Resolução: Como o conjunto dos números naturais é infinito, então podemos ter 
subconjuntos finitos e infinitos. Com relação à enumerabilidade, qualquer subconjunto 
dos números naturais será sempre enumerável, porque ℕ é enumerável. Portanto, para 
um subconjunto de ℕ temos as seguintes possibilidades de classificação: 
• Subconjunto finito (e, consequentemente, enumerável) 
• Subconjunto infinito e enuméravel. 
 
Questão 3 
Seja 𝑋 um conjunto enumerável. Se a função 𝑓: 𝑋 → 𝑌 é sobrejetora então podemos 
concluir que 𝑌 é enumerável. Este é um resultado que nos permite comparar diferentes 
conjuntos por meio de aplicações bijetoras. 
Suponha que os conjuntos 𝑋 e 𝑌 são enumeráveis. Considerando o resultado 
apresentado inicialmente, o conjunto 𝑋 ∪ 𝑌 pode ser classificado como enumerável? 
Justifique sua resposta. 
Resolução: Se 𝑋 e 𝑌 são enumeráveis, então é possível construir bijeções entre esses 
conjuntos e os números naturais, conforme a definição de enumerabilidade. Assim, 
podemos representar estes conjuntos por 
𝑋 = {𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛, … } 
𝑌 = {𝑦1, 𝑦2, 𝑦3, … , 𝑦𝑛, … } 
Vamos definir a função 
𝑓:ℕ → 𝑋 ∪ 𝑌 
𝑛 ↦ {
𝑓(2𝑛) = 𝑥𝑛
𝑓(2𝑛 − 1) = 𝑦𝑛
 
Observe que 𝑓 é sobrejetora. Como ℕ é um conjunto enumerável, pelo resultado 
apresentado podemos concluir que 𝑋 ∪ 𝑌 é um conjunto enumerável. 
 
Questão 4 
A definição de valor absoluto possibilita a identificação de diversas propriedades 
associadas. Sabemos que a desigualdade triangular é válida em ℝ, ou seja, para 
𝑥, 𝑦 ∈ ℝ temos que |𝑥 + 𝑦| ≤ |𝑥| + |𝑦|. Com base neste resultado, e nas propriedades 
das operações definidas sobre ℝ, prove que, para quaisquer 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ, a desigualdade 
|𝑥 − 𝑧| ≤ |𝑥 − 𝑦| + |𝑦 − 𝑧| é válida. 
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Resolução: Observe que, para quaisquer 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ, temos 
|𝑥 − 𝑧| = |𝑥 − 𝑦 + 𝑦 − 𝑧| = |(𝑥 − 𝑦) + (𝑦 − 𝑧)| ≤ |𝑥 − 𝑦| + |𝑦 − 𝑧| 
Portanto, a desigualdade apresentada é válida em ℝ. 
 
Questão 5 
No estudo dos números reais, é importante identificar quando subconjuntos admitem 
limites inferiores e superiores, ou seja, quando estes são limitados. Para isso, podemos 
empregar o estudo dos ínfimos e supremos de conjuntos. O ínfimo é caracterizado como 
a maior das cotas inferiores do conjunto, enquanto que o supremo é a menor das cotas 
superiores. 
Considere os conjuntos 𝑋 = (−∞, 𝑏], 𝑌 = [𝑎,+∞) e 𝑍 = [𝑎, 𝑏]. Identifique para cada 
conjunto, caso exista, o ínfimo e o supremo que os caracterizam. Os conjuntos 𝑋, 𝑌 e 𝑍 
são limitados? Por quê? 
Resolução: O conjunto 𝑋 = (−∞, 𝑏] não possui ínfimo, mas seu supremo é o elemento 
sup𝑋 = 𝑏, que também corresponde ao elemento máximo do conjunto. Como 𝑋 é 
limitado superiormente, mas não é limitado inferiormente, então o mesmo não pode ser 
classificado como um conjunto limitado. 
O conjunto 𝑌 = [𝑎,+∞) não possui supremo, mas seu ínfimo é o elemento inf 𝑌 = 𝑎, 
que também corresponde ao elemento mínimo do conjunto. Como 𝑌 é limitado 
inferiormente, mas não é limitado superiormente, então o mesmo não pode ser 
classificado como um conjunto limitado. 
O conjunto 𝑍 = [𝑎, 𝑏] possui ínfimo inf 𝑍 = 𝑎, sendo seu elemento mínimo, e supremo 
sup𝑍 = 𝑏, que também corresponde ao elemento máximo do conjunto. Como 𝑍 é 
limitado inferiormente e superiormente, podemos concluir que este conjunto é limitado.