Apostila 10 - Introdução á Teoria das Funções

Matemáti ca INTRODUÇÃO À TEORIA DA S FUNÇÕES 2 SUMÁRIO Introdução ........................................................................................................................................ 3 Objetivos .......................................................................................................................................... 3 Conceitos .......................................................................................................................................... 3 Um pouco de História. .. . ................................................................................................................. 3 Importância do conj unto de Números R eais para as Fun ções ................................................... 4 Defin ição de Função Real ............................................................................................................... 4 Exercícios ................................................................................................................................ ......... 5 Gaba rito ............................................................................................................................................ 5 Resumo ................................................................................................ ............................................. 6 3 Introduçã o Nesta aula abordaremos a ciência das Funções Reais, e suas subdivisões, além de citar Histórico, e explicar métodos de estudo, definições de funções reais e da importân cia da compreensão do conjunto de números reai s para as funções reais. Objetivos \u2022 Compreender a definição de um conjunto real \u2022 Compreender o que é uma fun ção real \u2022 Interpretar e analisar os parâmetros de uma função real Concei tos Nesse materi al, va mos entender o que é uma função real e suas prin cipais propriedades, que aux iliam em cálculos envolvendo -a. Além disso, v amos entender o que é um con junto de números reais e como c aracterizar o domínio e imagem de uma função real. Um pouc o d e História... . O de senvolvim ento do co nceito de função f oi sendo construído e aperfeiçoado a o longo dos séculos. A função pode ser compreen dida como uma relação matemáti c a entre duas var iáveis. As primeir as ideias sobre função surgiram em meados do s éculo XVII, com a n ecessidade de e xplicar fenômen os e cri ação de leis para rege -los. Galileu Galilei (1564- 1642) e Isaac Newton (1642- 1727), por exemplo, utilizaram e m se us trabalhos algumas noçõe s de lei e d ependênci a, como ho je sabemos, fortemente ligadas ao conceito de função. SAI B A M AI S ! Foi no século XVIII que o matemático alemão Leibn iz (164 6 \u2013 1716), inventou v ários termos e símb olos matemáticos. Foi ele que utili zou pela primeira vez o termo função no desenvolvimento da Anális e Matemática. 4 Importân cia do conjunto de Números Reai s para as Fun ções Um conjunto de números p odem ser compreen dido como um agrupamento de númer os. Um conjunto é denomin ado de c onjunto de números reais quando agrupa númer os i nteiros, racionais, nat urais e ir racionais. Um conjunto de números reais é simboliza do pela letra R. Alguns exem plos de conjuntos de números reais são os conju ntos A, B e C: ( ) ( ) 1 , 2, 3 , 4, 5 1 , 2 , 3 , 4, 5 1 2 3 , , .. 256 A B C = = \u2212 \u2212 \u2212 \u2212 \u2212 \uf0e6\uf0f6 = \uf0e7\uf0f7 \uf0e8\uf0f8 Podemos observar que u m conjunto de números reais pode ter n úmeros positivos , negativ os, fracionários e até mesmo dízimas. Compreender o conjunto dos números reais é de fundamental importância par a definir e entender as pr opriedades de uma função real. Definiçã o de Função Real Uma função é chamada de função quando o conjun to do seu domí nio, contradom ínio e imagens são conjuntos de nú meros reais. Assim seja f (x) = y uma função cujo conjun to d e números de x pe rten cem ao grupo A e o conjun to dos númer os de y pertençam ao agrupamento B: ( ) ( ) 1 , 2, 3 , 4, 5 1 , 2 , 3 , 4 , 5 A B = = \u2212 \u2212 \u2212 \u2212 \u2212 Podemos notar que como o agrupamento A e B são formados por núm eros reais, logo o domínio e o cont radomínio dessa funçã o são conjuntos de números reais. Portan to podemos classificar a função f(x) como uma função r eal. Analisan do ago ra um a f unção g(u) = v , o nde o conjunto de númer os d e u pertencem ao gru po C e o conjunto dos números de v pertenç am ao ag rupamento D: ( ) ( ) 1 , 2, 3 , 4, 5 1 , 2 , 3 , 4 , 5 C D = = \u2212 \u2212 \u2212 \u2212 \u2212 Podemos notar que o domínio da f unção g(u) é um conjunto d e números rea is C, no entan to o contradomí nio desta função D n ão é um conj unto de núm eros reais pois não é composto por nú meros inteiros, racionais, naturais ou ir racionais. Dessa forma a função g(u) não pode se r classificada como u ma função real. 5 EX E M PL O Podemos observar que o conjunto A e o conjunto B são conjuntos de nú meros reais pois são constituídos de números inteiros, racionais, naturais ou irracionais. Como o domíni o e o con tradomínio dessa função sã o conjun tos r eais, logo, podemos conclui r que f(x) é uma função r eal. Exercíci os 1. Como podemos defini r uma função real e um conjunto de números reais? 2. Seja a fun ção f(x) = y cujo domínio é o grupo A e o contradomínio o conjunto B listados abaixo. Classifique se f(x) é uma função real. ( ) 5 2, 6 , 7, 4 1 , 2, 3 , 5 A B \uf0e6\uf0f6 = \u2212 \u2212 \uf0e7\uf0f7 \uf0e8\uf0f8 = \u2212 \u2212 \u2212 \u2212 3. Seja a f unção g( x) = y cujo do mínio é o g rupo A e o contradomínio o c onjunto B listados abaixo. Classifique se f(x) é uma função real. ( ) 5 2, 6 , 7, 4 1, 2 , 3 , 5 A B \uf0e6\uf0f6 = \u2212 \u2212 \uf0e7\uf0f7 \uf0e8\uf0f8 = \u2212 \u2212 \u2212 \u2212 Gabari to 1. Um conjunto é denominado de conjunto de números reais quando agrupa númer os intei ros, racionais, naturais e irra cionais. Uma função é chamada de função quando o conj unto do seu domí nio, c ontradom ínio e imag e ns são conjun tos de números reais. Vamos definir se a função f(x) é uma função real sendo A o conjunto domínio e B o contradomíni o. 1 1 , 5, 7, 4 1 1 5 1 , , , 6 9 8 4 A B \uf0e6\uf0f6 = \u2212 \u2212 \uf0e7\uf0f7 \uf0e8\uf0f8 \uf0e6\uf0f6 = \u2212 \u2212 \uf0e7\uf0f7 \uf0e8\uf0f8 6 2. Podem os observar que o conj unto A e o con junto B são conj untos de núm eros reais pois são constituídos de núm e ros inte iros, racionais, naturais o u irra cionais. C omo o domínio e o co ntradomínio dessa f unção são conjuntos reais, logo, podemos concluir que f(x) é uma função real. 3. Podem os observ ar que o conjunto A é um co njunto de números reai s, no entanto o contradomínio B não é u m conjunto de números reais pois não é constituído de números inteir os, racionais, nat urais ou irracionais. Como o contradom ínio d essa f unção n ão é um co njunto real, logo, pode mos concluir que f(x) não é um a função real. Resumo Importância do conjunto de Números Reais pa ra as funções Um conjunto é denomi nado de conju nto de núm eros reais quando ag rupa númer os inteiros, racionais, naturais e irracionais. Podemos observar que u m conjunto de números reais pode ter n úmeros positivos , negativ os, fracionários e até mesmo dízimas. Compreender o conjunto dos números reais é de f undamen tal importânci a para definir e entender as pr opriedades de uma função real. Definição de Função Real Uma função é chamada de função quando o conjun to do seu domí nio, contradom ínio e imagens são conjuntos de nú meros reais. Assim se ja f (x) = y u ma função cujo conjun to d e números de x pe rten cem ao grupo A e o conjun to dos númer os de y pertençam ao agrupamento B: ( ) ( ) 1 , 2, 3 , 4, 5 1 , 2, 3 , 4, 5 A B = = \u2212 \u2212 \u2212 \u2212 \u2212 Como o domínio e o contradomínio dessa função são con juntos de números reais , portanto podemos classificar a função f(x) como uma função real. 7 Referência s HAUSEN, R odrigo. Bases Matemáticas: Aula 12 \u2013 Funções reais e seus gráficos. Disponível em: /courses/b m/aul as/aula12/aula12.pdf>. OLIVEIRA NETO, Pr ofessor M sc: José Alves d e. Licen ciatura em Matemática: Funções Reais.

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