TEOREMA DE WEIERSTRASS

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TEOREMA DE WEIERSTRASS
• Teorema
Seja 𝑓𝑓:𝑋𝑋 → ℝ contínua no conjunto compacto 𝑋𝑋 ⊂ ℝ. Existem 
𝑥𝑥0,𝑥𝑥1 ∈ 𝑋𝑋 tais que 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) ≤ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≤ 𝑓𝑓(𝑥𝑥1) para todo 𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋. 
DEMONSTRAÇÃO
• PASSO 1: Provar que 𝑓𝑓 é limitada superiormente:
Isto é, vamos verificar que ∃𝑀𝑀 ∈ ℝ | 𝑓𝑓 𝑥𝑥 < 𝑀𝑀,∀𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋.
Assumiremos então que 𝑓𝑓 é ilimitada.
Seja 𝑋𝑋 = [𝑎𝑎, 𝑏𝑏], chamaremos de 𝑐𝑐 o ponto médio do intervalo [𝑎𝑎, 𝑏𝑏].
Temos então que 𝑓𝑓 é ilimitada em [𝑎𝑎, 𝑐𝑐] ou ilimita em 𝑐𝑐, 𝑏𝑏 . Digamos, sem 
perda de generalidade, que 𝑓𝑓 é ilimitada em [𝑎𝑎, 𝑐𝑐].
Então dividiremos o intervalo 𝑎𝑎, 𝑐𝑐 = [𝑎𝑎1,𝑏𝑏1] no meio, 𝑐𝑐1 = 𝑎𝑎1+𝑏𝑏12 .
Novamente há duas situações; 𝑓𝑓 é ilimitada em 𝑎𝑎1, 𝑐𝑐1 ou é ilimitada em [𝑐𝑐1,𝑏𝑏1]. Digamos agora que seja ilimitada em [𝑐𝑐1, 𝑏𝑏1], então tomamos 𝑐𝑐1,𝑏𝑏1 =
𝑎𝑎2,𝑏𝑏2 e dividiremos o intervalo [𝑎𝑎2, 𝑏𝑏2] ao meio e assim por diante. Então 
teremos os intervalos:
𝐼𝐼0 = 𝑎𝑎, 𝑏𝑏
𝐼𝐼1 = [𝑎𝑎1, 𝑏𝑏1]
𝐼𝐼2 = 𝑎𝑎2, 𝑏𝑏2
...
𝐼𝐼𝑛𝑛 = [𝑎𝑎𝑛𝑛, 𝑏𝑏𝑛𝑛]
Onde 𝐼𝐼0 ⊇ 𝐼𝐼1 ⊇ 𝐼𝐼2 ⊇ ⋯ ⊇ 𝐼𝐼𝑛𝑛 ⊇ ⋯
Usando propriedades dos intervalos encaixantes temos que:|𝐼𝐼𝑛𝑛| → 0, isto é:
�
1
∞
𝐼𝐼𝑛𝑛 = 𝑤𝑤
*Pergunta: Quanto vale 𝑓𝑓(𝑤𝑤)? Digamos que 𝑓𝑓 𝑤𝑤 = 𝑣𝑣
∃𝐽𝐽 = 𝑤𝑤 − 𝜕𝜕,𝑤𝑤 + 𝜕𝜕 ,𝜕𝜕 > 0 tal que:
𝑓𝑓 𝑥𝑥 < 𝑣𝑣 + 1,∀𝑥𝑥 ∈ 𝐽𝐽
Por outro lado ∃𝑛𝑛 tal que 𝐼𝐼𝑛𝑛 ⊆ 𝐽𝐽
mas 𝑓𝑓 é ilimitada em 𝐼𝐼𝑛𝑛, isto é:
∃𝑥𝑥 ∈ 𝐼𝐼𝑛𝑛 ⊆ 𝐽𝐽, 𝑓𝑓 𝑥𝑥 > 𝑣𝑣 + 1. Absurdo!
Logo 𝑓𝑓 é limitada superiormente
• PASSO 2: Existe 𝑀𝑀 ∈ ℝ | 𝑓𝑓 𝑥𝑥 ≤ 𝑀𝑀,∀𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋 = [𝑎𝑎, 𝑏𝑏]. Mostrar que ∀𝜕𝜕 > 0,
Existe 𝑥𝑥 ∈ [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] tal que 𝑀𝑀 − 𝜕𝜕 < 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≤ 𝑀𝑀
Seja 𝑀𝑀1 uma cota superior de 𝑓𝑓, isto é, 𝑓𝑓 𝑥𝑥 ≤ 𝑀𝑀1,∀𝑥𝑥 ∈ [𝑎𝑎, 𝑏𝑏]. 
Tomamos 𝐼𝐼1 = { 𝑓𝑓 𝑥𝑥1 ,𝑀𝑀1}
Há duas possibilidades para 𝑓𝑓 𝑥𝑥1 +𝑀𝑀1
2
, ou está na imagem de 𝑓𝑓 ou não está.
Supondo que sim, então 𝑓𝑓 𝑥𝑥1 +𝑀𝑀1
2
= 𝑓𝑓(𝑥𝑥2)
Tomamos 𝐼𝐼2 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥2 ,𝑀𝑀2 , 𝑀𝑀1 = 𝑀𝑀2
Novamente há duas possibilidades para 𝑓𝑓 𝑥𝑥2 +𝑀𝑀2
2
, ou está na imagem de 𝑓𝑓 ou 
não está.
Supondo que não, então 𝑓𝑓 𝑥𝑥2 +𝑀𝑀2
2
= 𝑀𝑀3
Tomamos 𝐼𝐼3 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥3 ,𝑀𝑀3 , 𝑥𝑥2 = 𝑥𝑥3
E assim sucessivamente. 
Então teremos 𝐼𝐼𝑛𝑛 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥𝑛𝑛 ,𝑀𝑀𝑛𝑛 , onde novamente pelas propriedades dos 
intervalos encaixantes temos:
�
1
∞
𝐼𝐼𝑛𝑛 = {M}
Obs(1). Pode ser que 𝑀𝑀 ∈ 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑓𝑓), pois 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≤ 𝑀𝑀
Obs(2). Se tomarmos um intervalo 𝐽𝐽 = 𝑀𝑀 − 𝜕𝜕,𝑀𝑀 , 𝜕𝜕 > 0
com certeza ∃𝐼𝐼𝑛𝑛⊆ 𝐽𝐽 ⟹ ∃𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑛𝑛) ∈ 𝐽𝐽
PASSO 3: Mostrar que 𝑀𝑀 ∈ 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑓𝑓).
Suponha que 𝑀𝑀 ∉ 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑓𝑓 . Então podemos tomar
𝑔𝑔:𝑋𝑋 ⟶ ℝ
𝑥𝑥 ⟼
1
𝑀𝑀−𝑓𝑓(𝑥𝑥)
𝑔𝑔 é contínua pois ∄𝑥𝑥|𝑀𝑀 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥).
Pelo PASSO 1, como 𝑔𝑔 é contínua em um intervalo compacto então 𝑔𝑔 é limitada 
superiormente. Do PASSO 2 temos que:
𝑀𝑀 − 𝜕𝜕 < 𝑓𝑓 𝑥𝑥 ⟹ 𝑀𝑀− 𝑓𝑓 𝑥𝑥 < 𝜕𝜕 ⟹ 1
𝑀𝑀−𝑓𝑓 𝑥𝑥
> 1
𝜕𝜕
, tomando 𝜕𝜕 = 1
𝑛𝑛
, temos:
𝑛𝑛 < 1
𝑀𝑀−𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑛𝑛) = 𝑔𝑔(𝑥𝑥𝑛𝑛)⟹ 𝑔𝑔 𝑥𝑥𝑛𝑛 não é limitada superiormente. Absurdo!
Logo 𝑀𝑀 ∈ 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑓𝑓) ⇒ ∃𝑥𝑥′ ∈ 𝑋𝑋|𝑓𝑓 𝑥𝑥′ = 𝑀𝑀
𝑥𝑥′ é o máximo global de 𝑓𝑓.
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