Calculo_02

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Cálculo II
São Cristóvão/SE
2009
Samuel da Cruz Canevari
Projeto Gráfico e Capa
Hermeson Alves de Menezes
Elaboração de Conteúdo
Samuel da Cruz Canevari
Canevari, Samuel da Cruz.
C221c Cálculo II / Samuel da Cruz Canevari -- São
Cristóvão: Universidade Federal de Sergipe, CESAD,
2009.
1. Cálculo. 2. Matemática. I. Título.
 CDU 517.2/.3
Copyright © 2009, Universidade Federal de Sergipe / CESAD.
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Cálculo II
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Audiovisuais
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Sumário
Aula 1: Integrais Impróprias 7
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Extremos de Integração Infinitos . . . . . . . . . . 8
1.3 Integrais Impróprias com descontinuidades . . . . . 11
1.4 Convergência de Integrais Impróprias . . . . . . . . 14
1.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7 Comentário das Atividades . . . . . . . . . . . . . 17
1.8 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Aula 2: Seqüências de Números Reais 19
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Seqüências e Subseqüências . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Seqüências Convergentes . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Seqüências Monótonas e Seqüência Limitadas . . . 29
2.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.7 Comentário das Atividades . . . . . . . . . . . . . 35
2.8 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Aula 3: Séries de Números Reais 37
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2 Séries Numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.5 Comentário das Atividades . . . . . . . . . . . . . 56
3.6 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Aula 4: Séries de Potências 59
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2 Série de Potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.3 Representação de Funções . . . . . . . . . . . . . . 67
4.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.5 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.6 Comentário das Atividades . . . . . . . . . . . . . 70
4.7 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Aula 5: Métodos de Representação de Funções em
Séries de Potências 73
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.2 Diferenciação e Integração . . . . . . . . . . . . . . 74
5.3 Séries de Taylor e de Maclaurin . . . . . . . . . . . 76
5.4 Séries Binomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.7 Comentário das Atividades . . . . . . . . . . . . . 89
5.8 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Aula 6: Equações Paramétricas 91
6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.2 Equações Paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.3 Cálculo com Curvas Paramétricas . . . . . . . . . . 95
6.3.1 Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.3.2 Áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.3.3 Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . 101
6.3.4 Área de Superfície . . . . . . . . . . . . . . 102
6.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.5 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.6 Comentário das Atividades . . . . . . . . . . . . . 105
6.7 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Aula 7: Curvas Polares 107
7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.2 Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.3 Curvas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.4 Tangentes as Curvas Polares . . . . . . . . . . . . . 114
7.5 Áreas e Comprimentos em Coordenadas Polares . . 116
7.6 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.7 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.8 Comentário das Atividades . . . . . . . . . . . . . 122
7.9 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Aula 8: Funções com Valores Vetoriais 123
8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8.2 Definições e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . 124
8.3 Limite e Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . 126
8.4 Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.5 Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
8.6 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.7 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
8.8 Comentário das Atividades . . . . . . . . . . . . . 131
8.9 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Aula 9: Curvas Espaciais 133
9.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
9.2 Movimentos no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . 134
9.3 Movimento no espaço: Velocidade e Aceleração . . 142
9.4 Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . . . . . 145
9.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
9.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.7 Comentário das Atividades . . . . . . . . . . . . . 149
9.8 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Aula 10: Funções de Varias Variáveis Reais a ValoresReais 151
10.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
10.2 Noções Topológicas no R2 . . . . . . . . . . . . . . 152
10.3 Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
10.4 Gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
10.5 Curvas de Nível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
10.6 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
10.7 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
10.8 Comentário das Atividades . . . . . . . . . . . . . 170
10.9 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Aula 11: Limites, Continuidade e Derivadas Parciais 173
11.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
11.2 Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
11.3 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
11.4 Derivadas Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
11.5 Derivadas parciais de ordem superior . . . . . . . . 187
11.6 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
11.7 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
11.8 Comentário das Atividades . . . . . . . . . . . . . 193
11.9 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
Aula 12: Funções Diferenciáveis 195
12.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
12.2 Diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
12.3 Plano Tangente e Reta Normal . . . . . . . . . . . 204
12.4 A Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
12.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
12.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
12.7 Comentário das Atividades . . . . . . . . . . . . . 213
12.8 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Aula 13: Regra da Cadeia e Derivação Implícita 215
13.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
13.2 Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
13.3 Derivação de funções definidas implicitamente . . . 218
13.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
13.5 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
13.6 Comentário das Atividades . . . . . . . . . . . . . 224
13.7 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
Aula 14: Vetor Gradiente e as Derivadas Direcionais 225
14.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
14.2 Vetor Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
14.3 Derivada Direcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
14.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
14.5 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
14.6 Comentário das Atividades . . . . . . . . . . . . . 237
14.7 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
Aula 15: Máximos e Mínimos 239
15.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
15.2 Pontos de Máximo e Pontos de Mínimo . . . . . . 240
15.3 Máximos e Mínimos sobre Conjuntos Compactos . 246
15.4 Máximos e Mínimos Condicionados . . . . . . . . . 250
15.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
15.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
15.7 Comentário das Atividades . . . . . . . . . . . . . 260
15.8 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
1
AULA
1
LIVRO
Integrais Impróprias
META
Apresentar os conceitos e pro-
priedades de integrais com extremos
de integrações infinitos e integrais
de funções com descontinuidade.
OBJETIVOS
Calcular áreas de regiões não limi-
tadas.
PRÉ-REQUISITOS
Conceitos de funções reais, funções
contínuas e o Teorema Fundamental
do Cálculo.
Integrais Impróprias
1.1 Introdução
Caros alunos, estamos iniciando o curso de Cálculo II. Neste curso,
faremos uso de bastantes conceitos e resultados vistos no curso de
Cálculo I. Esta primeira aula tem por objetivo estender o Teorema
Fundamental do Cálculo (TFC) e definir as Integrais Impróprias.
No TFC, os limites de integração, a e b em
∫ b
a
f(x)dx, são
números reais e f uma função contínua no intervalo [a, b]. Pode
acontecer que, ao aplicarmos estes conceitos, seja preciso ou con-
veniente considerar os casos em que a = −∞, b = +∞, ou f seja
descontínua em um ou mais pontos do intervalo. Nestas condições,
é preciso ampliar conceito de integral e as técnicas de integração,
de modo a incluir estes casos adicionais. Estas integrais, em que
a = −∞, b = +∞ ou f é descontínua em [a, b], são chamadas Inte-
grais Impróprias. Nem sempre uma integral deste tipo representa
um número real, isto é, nem sempre uma integral imprópria ex-
iste. Quando ela existe, seu valor é calculado levando-se em conta
a generalização do conceito de integral definida.
1.2 Integrais Impróprias com Extremos de
Integração Infinitos
Exemplo 1.2.1. Consideremos o problema de encontrar área da
região limitada pela curva y = ex , pelo eixo−y e pela reta x =
b > 0 como mostra a Figura 1.1 abaixo.
Se A unidades de área for a área da região, então
A =
∫ b
0
e−xdx = −e−x∣∣b
0
= 1− e−b = 1− 1
eb
.
8
Livro de Cálculo II
1
AULA
Figura 1.1: Área
Se deixarmos b crescer sem limitações, então
lim
b→∞
∫ b
0
e−xdx = lim
b→∞
(1− 1
eb
) = 1. (1.1)
Segue da equação (1.1) que não importa quão grande seja o
valor de b, a área da região será sempre menor do que 1 unidades
de área.
A equação (1.1) estabelece que se b > 0 para todo � > 0 existe
um N > 0 tal que
se b > N então |
∫ b
0
e−xdx− 1| < �.
Em lugar de (1.1) escrevemos
∫ ∞
0
e−xdx = 1. Em geral temos
as seguintes definições:
Definição 1.1. (i) Se f for contínua para todo x ≥ a, então∫ ∞
a
f(x)dx = lim
b→∞
∫ b
a
f(x)dx
se esse limite existir;
(ii) Se f for contínua para todo x ≤ b, então∫ b
−∞
f(x)dx = lim
a→−∞
∫ b
a
f(x)dx
9
Integrais Impróprias
se esse limite existir;
(i) Se f for contínua para todos valores de x e c for um número
real qualquer, então∫ ∞
−∞
f(x)dx = lim
a→−∞
∫ 0
a
f(x)dx+ lim
b→+∞
∫ b
0
f(x)dx
se esse limite existir;
Na definição acima, se o limite existir, diremos que a integral
imprópria é convergente, caso caso contrário, diremos que é diver-
gente.
Exemplo 1.2.2. Calcule a integral, se ela convergir:
∫ 2
−∞
dx
(4− x)2 .
(Ver Figura 1.2)
Figura 1.2: Área com extremo inferior indefinido.
Resolução:∫ 2
−∞
dx
(4− x)2 = lima→−∞
∫ 2
a
dx
(4− x)2
= lim
a→−∞
[
1
4− x
]2
a
= lim
a→−∞(
1
2
− 1
4− a) =
1
2
.
Exemplo 1.2.3. Estude a convergência da integral:
∫ +∞
0
xe−xdx.
10
Livro de Cálculo II
1
AULA
Resolução: ∫ +∞
0
xe−xdx = lim
a→+∞
∫ a
0
xe−xdx
Para calcular essa integral, usaremos integração por partes com
u = x, dv = e−x, du = dx e v = −e−x. Assim,∫ +∞
0
xe−xdx = lim
a→+∞
[−xe−x − e−x]a
0
= lim
a→+∞(−ae
−a − e−a + 1)
= − lim
a→+∞
a
ea
− 0 + 1.
Aplicando a regra de L’Hospital temos que
lim
a→+∞
a
ea
= lim
a→+∞
1
ea
= 0
e portanto ∫ +∞
0
xe−xdx = 1.
1.3 Integrais Impróprias com descontinuidades
Exemplo 1.3.1. Suponha que queremos obter a área da região
do plano limitada pela curva cuja equação é y =
1√
x
, pelo eixo-x,
pelo eixo-y e pela reta x = 4. Conforme ilustrado na Figura 1.3
abaixo:
Se for possível ter um número que represente a medida da área
dessa região, ele será obtido pela integral∫ 4
0
1√
x
.
Entretanto, o integrando é descontínuo no extremo inferior zero.
Além disso, lim
x→+∞
1√
x
= +∞, assim dizemos que o integrando tem
11
Integrais Impróprias
Figura 1.3: Área com descontinuidade no extremo inferior de inte-
gração
uma descontinuidadeinfinita no extremo inferior. Essa integral é
imprópria e sua existência pode ser determinada da seguinte forma:∫ 4
0
1√
x
= lim
t→0+
∫ 4
t
1√
x
= lim
t→0+
(2
√
x
∣∣4
t
) = lim
t→0+
(4− 2√t) = 4
logo 4 será a medida da área da região dada.
Mais geralmente temos a seguinte definição:
Definição 1.2. (i) Se f for contínua para todo x do intervalo
semi-aberto à esquerda (a, b], e se lim
x−→a+
f(x) = ±∞, então
∫ b
a
f(x)dx = lim
t→a+
∫ b
t
f(x)dx
se esse limite existir;
(ii) Se f for contínua para todo x do intervalo semi-aberto à direita
[a, b), e se lim
x−→b−
f(x) = ±∞, então
∫ b
a
f(x)dx = lim
t→b−
∫ t
a
f(x)dx
se esse limite existir;
(iii) Se f for contínua para todos valores de x no intervalo [a, b]
12
Livro de Cálculo II
1
AULA
exceto c, onde a < c < b e se lim
x−→c |f(x)| = +∞, então∫ b
a
f(x)dx = lim
t→c−
∫ t
a
f(x)dx+ lim
s→c+
∫ b
s
f(x)dx
se esse limite existir;
Exemplo 1.3.2. Calcule a integral, se ela for convergente:
∫ 2
0
dx
(x− 1)2 .
Resolução:
O integrando tem uma descontinuidade infinita em 1, ou seja,
lim
x−→1
dx
(x− 1)2 = +∞, portanto, pela definição que acabamos de
estabelecer, temos∫ 2
0
dx
(x− 1)2 = limt→1−
∫ t
0
dx
(x− 1)2dx+ lims→1+
∫ 2
s
dx
(x− 1)2dx
= lim
t→1−
(− 1
x− 1)|
t
0 + lim
s→1+
(− 1
x− 1)|
2
s
= lim
t→1−
(− 1
t− 1 − 1) + lims→1+(
1
s− 1 − 1)
Como nenhum desses limites existe, a integral imprópria é diver-
gente.
Se no exemplo anterior não tivéssemos notado a descontinuidade
do integrando em 1, teríamos∫ 2
0
dx
(x− 1)2 = (−
1
x− 1)|
2
0 = −2.
Esse resultado é obviamente incorreto, uma vez que
1
(x− 1)2 nunca
é negativo.
Exemplo 1.3.3. Calcule a integral, se ela existir:
∫ 1
0
x ln xdx.
Resolução:
O integrando tem uma descontinuidade no extremo inferior. Por-
tanto, escrevemos∫ 1
0
x ln xdx = lim
t−→0+
∫ 1
t
x ln xdx
13
Integrais Impróprias
Para calcular essa integral, usaremos integração por partes com
u = ln x, dv = xdx, du = 1xdx e v =
x2
2 . Assim,∫ 1
0
x ln xdx = lim
t−→0+
∫ 1
t
x ln xdx = lim
t−→0+
(
1
2
x2 ln x− 1
4
x)|1t
= lim
t−→0+
(
1
2
ln(1)− 1
4
− 1
2
t2ln(t) +
1
4
t)
= −1
4
− 1
2
lim
t−→0+
t2ln(t).
Note que lim
t−→0+
t2ln(t) é uma indeterminação to tipo 0.(−∞). Para
calcular esse limite, usaremos L’Hospital,
lim
t−→0+
t2ln(t) = lim
t−→0+
ln(t)
1
t2
= lim
t−→0+
1
t
− 2
t3
= lim
t−→0+
− t
2
2
= 0.
Logo, ∫ 1
0
x ln xdx = −1
4
.
1.4 Convergência e Divergência de Integrais
Impróprias: Critério de Comparação
Algumas vezes é impossível encontrar o valor exato de uma in-
tegral imprópria, mais ainda assim é importante saber se ela é
convergente ou divergente. Em tais casos o critério de comparação
é útil.
Observamos, inicialmente, que se f for integrável em [a, t], para
todo t > a, e se f(x) ≥ 0 em [0,+∞), então a função
F (x) =
∫ x
a
f(t)dt, x ≥ a
será crescente em [0,+∞). De fato, se x1 e x2 são dois valores reais
quaisquer, com 0 ≤ x1 < x2 então
F (x2)− F (x1) =
∫ x2
a
f(t)dt−
∫ x1
a
f(t)dt =
∫ x2
x1
f(t)dt ≥ 0.
14
Livro de Cálculo II
1
AULA
Segue que, lim
x−→∞
∫ x
a
f(t)dt ou será finito ou +∞; será finito e
existir M ≥ a tal que
∫ x
a
f(t)dt ≤M para todo x ≥ a.
Critério da Comparação: Sejam f e g duas funções integráveis
em [a, t], para todo t > a, e tais que, para todo x ≥ a, 0 ≤ f(x) ≤
g(x). Então
a)
∫ +∞
a
g(x)dx converge =⇒
∫ +∞
a
f(x)dx converge.
b)
∫ +∞
a
f(x)dx diverge =⇒
∫ +∞
a
g(x)dx diverge.
Demostração:
a) lim
t−→+∞
∫ +∞
a
g(x)dx é finito, pois por hipótese,
∫ +∞
a
g(x)dx é
convergente. De 0 ≤ f(x) ≤ g(x), para todo x ≥ a, resulta∫ t
a
f(x)dx ≤
∫ t
a
g(x)dx ≤
∫ +∞
a
g(x)dx.
Sendo F (t) =
∫ t
a f(x)dx crescente e limitada, resulta que limt−→+∞
∫ t
a
f(x)dx
será finito e, portanto,
∫ +∞
a
f(x)dx será convergente.
b) análoga. unionsqu
Exemplo 1.4.1. Verifique que
∫ +∞
0
e−xsen2xdx é convergente.
Resolução:
Note que,
0 ≤ e−xsen2x ≤ e−x, para todo x ≥ 0
e mais∫ +∞
0
e−xdx = lim
t−→∞
∫ t
0
e−xdx = lim
t−→∞(e
−t + 1) = 1,
15
Integrais Impróprias
logo,
∫ +∞
0
e−xdx é convergente. Segue do critério de comparação
que
∫ +∞
0
e−xsen2xdx é convergente e, além disso,
∫ +∞
0
e−xsen2xdx ≤
1.
Exemplo 1.4.2. Verifique que a integral imprópria
∫ +∞
1
x3
x4 + 3
dx
é divergente.
Resolução:
Note quem
x3
x4 + 3
=
1
x
· x
2
1 + 3
x4
.
Para todo x ≥ 1, x
2
1 + 3
x4
≥ 1
4
, e, portanto,
x3
x4 + 3
≥ 1
4x
> 0.
De
∫ +∞
0
1
4x
dx = +∞, segue, pelo critério de comparação, que∫ +∞
1
x3
x4 + 3
dx é divergente.
1.5 Resumo
Nesta aula, você aprendeu calcular a
∫ b
a
f(x)dx onde a = −∞ e
b = +∞; ou f é descontínua em um ou mais pontos do intervalo
[a, b]. Esta ferramenta será bastante útil nas próximas aulas, onde
estudaremos convergências de séries numéricas.
1.6 Atividades
01. Estude a convergência das integrais a seguir:
(a)
∫ +∞
−∞
xe−xdx (c)
∫ +∞
−∞
xe−x
2
dx (e)
∫ +∞
1
ln x
x
dx
16
Livro de Cálculo II
1
AULA(b)
∫ +∞
1
1
x
dx (d)
∫ +∞
1
1
x2
(f)
∫ +∞
−∞
xdx
02. Calcule as seguintes integrais, se existirem:
(a)
∫ 1
0
1√
x
dx (c)
∫ 1
0
ln x dx (e)
∫ 2
−1
1
4− x2dx
(b)
∫ 1
0
1
x
dx (d)
∫ 3
1
x2√
x3 − 1 (f)
∫ pi
4
0
cos x√
sen x
dx
03. Suponha f integrável em [a, t), para todo t ≥ a. Prove que se∫ +∞
0
|f(x)|dx é convergente, então
∫ +∞
0
f(x)dx também é con-
vergente. (Sugestão: use que 0 ≤ |f(x)| + f(x) ≤ 2|f(x)| e que
f(x) = |f(x)|+ f(x)− |f(x)|)
04. Usando o exercício 03., prove que a integral
∫ +∞
0
e−xsen3xdx
é convergente.
05. A integral
∫ +∞
1
sen x
x
dx é convergente ou divergente? Justi-
fique sua resposta.
1.7 Comentário das Atividades
A atividade 01. é para você (aluno) praticar os conceitos vistos na
Seção 1.2. Se você conseguiu resolver todos os ítens desta ativi-
dade, então você aprendeu a calcular integrais impróprias com ex-
tremos de integração infinitos.
A atividade 02. é referente a Seção 1.3. Conseguiu resolver to-
dos os ítens desta atividade? Que bom!!! Você aprendeu a calcular
17
Integrais Impróprias
integrais impróprias com descontinuidades.
Nas atividades 03., 04. e 05. devem usar os resultados vistos na
Seção 1.4. Tais resultados são muito úteis no cálculo de integrais
impróprias.
1.8 Referências
• GUIDORIZZI, H. L., Um Curso de Cálculo (Vol. 1 e 2).
Rio de Janeiro: LTC Editora, 2006.
• STEWART, J., Cálculo (vol. 1 e 2). São Paulo: Pioneira
Thomson Learning, 2006.
• THOMAS, G. B., Cálculo (vol. 1 e 2). São Paulo: Addison
Wesley, 2002.
18
2
AULA
1
LIVRO
Seqüências de
Números Reais
META
Estudar seqüências de números
reais.
OBJETIVOS
Estudar a convergência de seqüên-
cias numéricas infinita.
PRÉ-REQUISITOS
Funções Reais, Limites, Derivadas,
Integrais de funções reais e a Aula
01.
Seqüências de Números Reais
2.1 Introdução
Nesta aula estudaremos as seqüências numéricas infinitas. Tais
seqüências pode ser pensadas como uma lista de números escritos
em uma ordem definida:
x1, x2, x3, · · · , xn, · · ·
O principal objetivo desta aula, é estudar a convergência de tais
seqüências, em outras palavras, queremos calcular o limite dessas
seqüências quando n tende ao infinito.
2.2 Seqüências e Subseqüências
Definição 2.3. Uma seqüência de números reais é uma função
x : N −→ R para a qual denotamos o valorde x em n por xn em
vez de x(n).
Geralmente usamos a notação (xn)n∈N para representar a se-
qüência x : N −→ R. Às vezes a notaremos também por
(x1, x2, . . . , xn, . . .).
Dizemos que xn é o termo de ordem n ou que xn é o n-ésimo termo
da seqüência.
Quando quisermos explicitar que a imagem da seqüência (xn)n∈N
está contida em A ⊂ R escrevemos (xn)n∈N ⊂ A.
Exemplo 2.2.1. Seja a ∈ R e tomemos xn = a para todo n ∈ N.
A seqüência (xn)n∈N é constante.
Exemplo 2.2.2. Seja a seqüência (xn)n∈N = 2n. Temos
x0 = 20, x1 = 21, x2 = 22, . . .
20
Livro de Cálculo II
2
AULAExemplo 2.2.3. Seja a seqüência (sn)n∈N =
(
n∑
k=1
k
)
n∈N
Temos
s1 = 1, s2 = 1 + 2, s3 = 1 + 2 + 3, . . .
Exemplo 2.2.4. Seja a seqüência (sn)n∈N =
(
n∑
k=1
1
k
)
n∈N
. Temos
s1 = 1, s2 = 1 +
1
2
, s3 = 1 +
1
2
+
1
3
, . . .
Exemplo 2.2.5. Considere a seqüência
(sn)n∈N =
(
n∑
k=0
tk
)
n∈N
, t 6= 0 e t 6= 1.
Vamos verificar que
sn =
1− tn+1
1− t .
Solução:
Note que
sn = 1 + t+ t2 + . . .+ tn−1 + tn. (2.1)
Multiplicando ambos os membros de (2.1) por t, obtemos
tsn = t+ t2 + t3 + . . .+ tn + tn+1. (2.2)
Subtraindo membro a membro (2.1) e (2.2), teremos
sn(1− t) = 1− tn+1.
Logo
sn =
1− tn+1
1− t .
Observe que sn é a soma dos termos da Progressão Geométrica
1, t, t2, t3, . . . , tn.
21
Seqüências de Números Reais
Definição 2.4. Dizemos que (yk)k∈N é uma subseqüência de (xn)n∈N
se existe uma seqüência (nk)k∈N ⊂ N com nk < nk+1, ∀k ∈ N, tal
que yk = xnk para todo k ∈ N.
Exemplo 2.2.6. Sejam a, r ∈ N. Considere a seqüência (xn)n∈N =
a + (n − 1)r, n ≥ 1. Note que a seqüência (xn)n∈N é uma Pro-
gressão Aritmética de primeiro termo a e razão r. A Progressão
Aritmética (yk)k∈N de termo inicial a e razão 2r é uma subseqüên-
cia de (xn)n∈N. De fato, tomando nk = 2k − 1 (k ∈ N) obtemos:
xnk = a+ (nk − 1)r = a+ (2k − 2)r = a+ (k − 1)(2r) = yk.
2.3 Seqüências Convergentes
Intuitivamente, uma seqüência (xn)n∈N é convergente para x se
seus termos se aproximam de x quando n cresce. Esta idéia não
está todo errada. Porém, ela pode induzir a uma idéia equivocada
de convergência. Somos tentados a dizer que (xn)n∈N converge
para x quando a distância entre xn e x diminui à medida que n
cresce. Não é bem assim. Veja a figura 2.4.
Ela Foge um pouco do assunto "seqüências de números reais"mais
ilustra bem o que queremos dizer por "se aproximar". Imagine que,
partindo do ponto A, percorremos no sentido anti-horário o cam-
inho desenhado como indicado pelas setas. Ninguém duvida, e
com razão, de que estaremos assim nos aproximando do ponto O.
Porém, a idéia de que a nossa distância ao ponto O decresce com
o tempo mostra-se errada. Convença-se disto percebendo que pas-
samos primeiro pelo ponto B antes de chegar a C e, entretanto, o
segmento BO é menor que o segmento CO. De fato, a distância a
O cresce quando percorremos o segmento BC. Podemos perceber
22
Livro de Cálculo II
2
AULA
Figura 2.4: Espiral da Convergência
que existem muitos trechos do caminho sobre os quais a distância
a O é crescente com o tempo, de modo que não existe nenhum
ponto a partir do qual a distância a O passe a ser decrescente com
o tempo.
Continuemos analisando a Figura 2.4 em busca da boa definição
de convergência. Observamos que nossa distância a O fica tão
pequena quando quisermos, bastando para isto que continuemos
andando por um tempo suficientemente longo. Por exemplo, nossa
distância a O será menor que 1 depois que passamos pelo ponto
D. Ou seja, em certo instante entramos na bola de raio 1 entrada
em O e dela não saímos mais. Da mesma forma, a partir de outro
instante (futuro) entramos na bola de raio 1/2, centrada em O, e
aí ficamos.De modo geral, dado qualquer número positivo �, existe
um instante a partir do qual nossa distância a O será menos que �.
Aí está a definição. Para seqüências reais ela é expressa da seguinte
maneira:
Definição 2.5. Um seqüência (xn)n∈N é dita convergente se existe
23
Seqüências de Números Reais
x ∈ R de modo que
∀� > 0, ∃N ∈ N tal que n ≥M =⇒ |xn − x| ≤ �.
Neste caso, escrevemos xn −→ x e dizemos que x é limite da
seqüência (xn)n∈N ou que xn converge para (ou tende a) x quando
n tende a mais infinito (n −→ +∞). Se (xn)n∈N não converge,
então dizemos que ela é divergente.
Existem seqüências divergentes que possuem limite! Isto é ape-
nas um jogo de palavras. A definição seguinte diz que certas se-
qüências têm limites que não são números reais. Não diremos que
tais seqüências são convergentes.
Definição 2.6. Seja (xn)n∈N uma seqüência. Dizemos que xn
tende a mais infinito quando n tende a mais infinito ou que mais
infinito é limite da seqüência e escrevemos
xn −→ +∞ ou lim
n−→+∞xn = +∞
se,
∀M ∈ R, ∃N ∈ N tal que n ≥M =⇒ xn ≥M.
Definição 2.7. Seja (xn)n∈N uma seqüência. Dizemos que xn
tende a menos infinito quando n tende a mais infinito ou que menos
infinito é limite da seqüência e escrevemos
xn −→ −∞ ou lim
n−→+∞xn = −∞
se,
∀M ∈ R, ∃N ∈ N tal que n ≥M =⇒ xn ≤M.
Observamos que as definições acima são exatamente as mesmas
já vistas quando tratamos com limite de uma função f(x) quando
24
Livro de Cálculo II
2
AULA
x −→ +∞; deste modo, tudo aquilo que dissemos sobre os limites
da forma lim
x−→+∞ f(x) aplica-se aqui.
Exemplo 2.3.1. Seja x ∈ R e considere a seqüência dada por
xn = x para todo n ∈ N. Temos que xn −→ x. De fato, |xn−x| = 0
para todo n ∈ N. Portanto, podemos escrever
∀� > 0, ∃N ∈ N tal que n ≥ N =⇒ |xn − x| < �.
Exemplo 2.3.2. Considere a seqüência dada por xn = 1n para
todo n ∈ N. Vamos mostrar que xn −→ 0. Dado � > 0, tomemos
N ∈ N tal que N > 1� . Temos então 0 < 1N < �. Mas se n ∈ N e
n ≥ N, então xn = 1n ≤ 1N = xN . Logo podemos escrever
∀� > 0, ∃N ∈ N tal que n ≥ N =⇒ |xn − 0| < �.
O leitor talvez conheça a notação lim
x−→+∞xn = x para xn −→
x. Vamos refletir sobre ela. Por enquanto, façamos de conta que
não conhecemos a definição de limite. Suponhamos que ao abrir
um livro de Cálculo, pela primeira vez, encontremos as seguintes
inscrições:
xn −→ 0 e xn −→ 1.
Não ficaríamos chocados. Porém, se estivesse escrito
lim
x−→+∞xn = 0 e limx−→+∞xn = 1.
Seríamos levados a concluir que 0 = 1. Ora, é o sinal ” = ” que
nos leva a esta confusão. Se não tivermos a unicidade do limite,
então a notação lim
x−→+∞xn = x é fortemente enganosa.
Teorema 2.1. Sejam (xn)n∈N uma seqüência e x, y ∈ R tais que
xn −→ x e xn −→ y. Então x = y.
25
Seqüências de Números Reais
Demonstração: Suponhamos, por absurdo, que x 6= y. Seja � =
|x−y|
2 > 0. Como xn −→ x, existe N ∈ N tal que
n ≥ N =⇒ |xn − x| < �.
Também temos xn −→ y. Logo existe N ′ ∈ N tal que
n ≥ N ′ =⇒ |xn − y| < �.
Seja n o maior dos números N e N ′. Para tal n as duas conclusões
anteriores são válidas. Temos então
|x− y| ≥ |x− xn|+ |xn − y| < �+ � = 2� = |x− y|.
Concluímos que |x− y| < |x− y|, o que é um absurdo.
Exemplo 2.3.3. (Teorema do Confronto) Suponha que exista um
natural n1 tal que, para todo n ≥ n1, an ≤ bn ≤ cn. Prove que se
lim
n−→+∞ an = L = limn−→+∞ cn
com L ∈ R, então
lim
n−→+∞ bn = L.
Demonstração: Como lim
n−→+∞ an = L = limn−→+∞ cn, dado � > 0
existe N ∈ N que podemos supor maior que n1, tal que se n >
N =⇒
L− � < an < L+ � e L− � < cn < L+ �.
Tendo em vista a hipótese,
n > n0 =⇒ L− � < an ≤ bn ≤ cn < L+ �
e, portanto,
n > n0 =⇒ L− � < bn < L+ �,
26
Livro de Cálculo II
2
AULA
ou seja,
lim
n−→+∞ bn = L.
Exemplo 2.3.4. Suponha 0 < t < 1. Mostre que
lim
n−→∞
n∑
k=0
tk =
1
1− t .
Demonstração: Temos pelo Exemplo 2.2.5 que
sn =
n∑
k=0
tk =
1− tn+1
1− t
. Logo
lim
n−→∞
n∑
k=0
tk = limn−→∞
1− tn+1
1− t =
1
1− t .
A proxima proposição nos fornece um critério para testarmos
a convergência de uma seqüência dada.
Proposição 1. Uma seqüência (xn)n∈N tende a x se, e somente
se, toda subseqüência de (xn)n∈N tende a x.
Demonstração: Suponhamos que exista x ∈ R tal que xn −→
x. Seja (yk)k∈N uma subseqüência de (xn)n∈N, isto é, yk = xnk para
alguma seqüência (nk)k∈N estritamente crescente. Mostremos que
yk −→ x. Seja � > 0. Como xn −→ x, existe N ∈ N tal que se
n ≥ N, então |xn−x| < �. Como (nk)k∈N é estritamente crescente,
existe K ∈ N tal que se k ≥ K, então nk ≥ N. Segue que
k ≥ K =⇒ |yk − x| < �.
Portanto (yk)k∈N converge para x. A recíproca é imediata (basta
observar que (xn)n∈N é uma subseqüência de si mesma).
27
Seqüências de Números Reais
Exemplo 2.3.5. A seqüência (1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, . . .) é diver-
gente. De fato, se ela fosse convergente, então pela proposição
anterior todas as suas subseqüências seriam convergente para o
mesmo limite. Porém, (1, 1, 1, 1, 1, . . .) e (0, 0, 0, 0, 0, . . .) são duas
de suas subseqüências sendo que a primeira converge para 1 e a
segunda para 0.
Como corolário da proposição anterior, obtemos que se xn
tende a x, então xn+2008 tende a x. Não há nada de especial
com o número 2008. Mais geralmente, fixado p ∈ N, temos que
se xn tende a x, então xn+p tende a x. É fácil perceber que a
recíproca também é válida, ou seja, se para algum p ∈ N temos
que xn+p tende a x, então xn tende a x. A importância deste fato
é o seguinte: Se conhecemos alguma propriedade que garanta a
convergência de uma seqüência e soubermos que tal propriedade
só é válida a partir do p−ésimo termo então, ainda sim, pode-
mos concluir que a seqüência é convergente. Vejamos um exemplo
esclarecedor.
Exemplo 2.3.6. Sabemos que seqüências constantes são conver-
gentes. Considere a seqüência (não constante) dada por xn =
b1000/nc, sendo bxc a função Parte Inteira de x, definida abaixo:
bxc = m se m ∈ Z e m ≤ x ≤ m+ 1.
É fácil ver que xn = 0 para todo n > 1000. Ou seja, (xn)n∈N é
constante a partir do seu milésimo-primeiro termo. Concluímos
que ela é convergente.
Teorema 2.2. Toda seqüência convergente é limitada.
Demonstração: Seja (xn)n∈N uma seqüência convergente para
x ∈ R. Tomemos � = 1 na definição de seqüência convergente,
28
Livro de Cálculo II
2
AULA
concluímos que existe N ∈ N tal que se n ≥ N, então |xn−x| < 1,
isto é, xn ∈ (x− 1, x+ 1). Tomando
a = min{x1, . . . , xN , x− 1} e b = max{x1, . . . , xN , x+ 1}
temos imediatamente que xn ∈ [a, b] para todo n ∈ N. Portanto
(xn)n∈N é limitada.
2.4 Seqüências Monótonas e Seqüência Lim-
itadas
A recíproca do Teorema 2.2 é falsa como mostra o Exemplo 2.3.5.
Porém, existem algumas recíprocas parciais que veremos nesta
seção.
Seja (xn)n∈N uma seqüência. Dizemos que tal seqüência é cres-
cente se, quaisquer que sejam m,n ∈ N,
m < n =⇒ xm ≤ xn.
Se xm ≤ xn for trocado por xm ≥ xn, então diremos que a seqüên-
cia é decrescente.
Uma seqüência é dita monótona se for crescente ou decrescente.
Dizemos que a seqüência (xn)n∈N é limitada inferiormente se
existir um número real α tal que, para xn ≥ α, ∀n ∈ N.
Dizemos que a seqüência (xn)n∈N é limitada superiormente se
existir um número real β tal que, para xn ≤ β, ∀n ∈ N.
Uma seqüência é dita limitada se for limitada inferiormente e
superiormente.
O teorema que enunciaremos, e provaremos a seguir, será muito
importante para o que segue.
29
Seqüências de Números Reais
Teorema 2.3. Se (xn)n∈N é crescente e limitada superiormente,
então xn −→ sup{xn; n ∈ N}. Da mesma forma, se (xn)n∈N é
decrescente e limitada inferiormente, então xn −→ inf{xn; n ∈ N}.
Demonstração: Vamos provar apenas a primeira parte do teo-
rema já que a segunda se demonstra de modo análogo. Seja s =
sup{xn; n ∈ N}. Dado � > 0, tome N ∈ N tal que x− � < xN ≤ s.
Logo, para n ≥ N, temos x − � < xN ≤ xn ≤ s. Concluímos daí
que |xn − s| < �.
O teorema que acabamos de provar conta-nos que para uma
seqüência crescente só há duas possibilidades: convergente ou di-
vergente para +∞. Será convergente se for limitada superiormente
e divergirá para +∞ se não for limitada superiormente.
Exemplo 2.4.1. A seqüência de termo geral sn =
n∑
k=1
1
k2
é con-
vergente ou divergente? Justifique.
Solução: Observamos, inicialmente, que a seqüência é crescente.
De fato, qualquer que sejam os naturais m e n, com 1 ≤ m < n,
tem-se
sm =
m∑
k=1
1
k2
e
sn =
m∑
k=1
1
k2
+
n∑
k=m+1
1
k2
.
Como
n∑
k=m+1
1
k2
> 0, resulta que sn > sm.
Vamos provar a seguir que a seqüência é limitada superior-
mente.
Temos (Veja Figura 2.5)
sn = 1 +
1
22
+
1
32
+ . . .+
1
n2
≤ 1 +
∫ n
1
1
x2
dx
30
Livro de Cálculo II
2
AULA
Figura 2.5: Soma Inferior
Como a seqüência de termo geral
∫ n
1
1
x2
é crescente e
lim
n−→+∞
∫ n
1
1
x2
dx = lim
n−→+∞(
−1
n
+ 1) = 1
resulta
sn ≤ 2, ∀n ≥ 1.
Segue que a seqüência é convergente, pois é crescente e limitada
superiormente por 2.
Exemplo 2.4.2. A seqüência de termo geral sn =
n∑
k=1
1
k
é conver-
gente ou divergente? Justifique.
Solução:
Para todo n ≥ 1, (Veja Figura 2.6)
sn = 1 +
1
2
+
1
3
+ . . .+
1
n
≥
∫ n+1
1
1
x
dx
Como
lim
n−→+∞
∫ n+1
1
1
x
dx = lim
n−→+∞ lnn+ 1 = +∞
resulta
lim
n−→+∞ sn = +∞.
31
Seqüências de Números Reais
Figura 2.6: Soma Superior
Exemplo 2.4.3. Investigue seqüência de termo geral xn definida
pela relação de recorrência:
x1 = 1, xn+1 =
1
2
(xn + 6), ∀n > 1.
Solução: Observamos, inicialmente, que a seqüência é crescente.
De fato, usaremos indução finita:
1) se n = 1 então x1 = 2 < 4 = x2;
2) suponhamos que xk−1 < xk, ∀k ≥ 2;
3) provemos que xk < xk+1, ∀k ≥ 2 : Temos que xk−1 < xk.
Somando 6 dew ambos os lados da última desigualdade, obtemos
xk−1 +6 < xk+6. Agora, multiplicando, ambos os lados da última
desigualdade, por 12 , concluímos que
1
2(xk−1 + 6) <
1
2(xk + 6), ou
seja,
xk < xk+1, ∀k ≥ 2.
Vamos provar agora, usando indução finita, que a seqüência é
limitada superiormente:
1) se n = 1 então x1 = 2 < 6;
2) suponhamos que xk−1 < 6, ∀k ≥ 2;
3) Provemos que xk < 6, ∀k ≥ 2 : Temos que xk−1 < 6. Somando 6
32
Livro de Cálculo II
2
AULA
de ambos os lados da última desigualdade, obtemos xk−1 +6 < 12.
Agora, multiplicando, ambos os lados da última desigualdade, por
1
2 , concluímos que
1
2(xk−1 + 6) < 6, ou seja,
xk < 6, ∀k ≥ 2.
Portanto, a seqüência (xn)n∈N é crescente e limitada superior-
mente, logo é convergente, digamos que para L. Aplicando o limite,
quando n tende a infinito, de ambos os lados de xn+1 = 12(xn+ 6),
temos:
lim
n−→+∞xn+1 = limn−→+∞
1
2
(xn + 6)
=⇒ lim
n−→+∞xn+1 =
1
2
(6 + lim
n−→+∞xn)
=⇒ L = 1
2
(6 + L) =⇒ L = 6.
Finalizamos esta Aula com o seguinte:
Teorema 2.4. (Bolzano-Weierstrass) Toda seqüência limitada pos-
sui uma subseqüência convergente.
Demonstração: Sejam (xn)n∈N uma seqüência limitada. Con-
sidere o seguinte conjunto:
N = {n ∈ N; xn > xm, ∀m > n}.
Existem duas possibilidades: N é infinito ou N é finito.
1) N é infinito: Escrevamos N = {n1, n2, n3, . . .} com n1 < n2 <
n3 < . . .. Assim, se i < j então ni < nj e, como ni ∈ N, obte-
mos que xni > xnj . Concluímos que a subseqüência (xnk)k∈N é
decrescente. Sendo ela limitada obtemos, finalmente, que ela é
convergente.
2) N é finito: Como N é finito, existe n1 ∈ N \ N cota superior
33
Seqüências de Números Reais
de N. Ora, n1 /∈ N logo, existe n2 > n1 (e, portanto, n2 /∈ N) tal
que xn1 ≤ xn2 . Mas n2 /∈ N segue que existe n3 > n2 (e, portanto,
n3 /∈ N) tal que xn2 ≤ xn3 . Por indução,definimos uma subse-
qüência (xnk)k∈N que é crescente e, portanto, convergente (pois
ela é limitada).
2.5 Resumo
Vimos que uma seqüência é uma função que associa a cada número
natural um e só um número real. Deste modo, estudar seqüência
de números reais é estudar um caso particular de função real cujo
domínio é o conjunto dos números naturais.
O limite de uma seqüência é o limite do termo geral da se-
qüência, para n tendendo ao infinito. Quando este limite existe e
é finito, dizemos que a seqüência é convergente e converge para o
seu limite. Vimos, também, nesta aula, alguns principais resulta-
dos que nos auxiliam a estudar a convergência de uma seqüência
qualquer.
Na próxima aula, estudaremos um seqüência especial denomi-
nada série numérica.
2.6 Atividades
01. Liste os dez primeiros termos da seqüência:
(a) xn = 1− (0, 2)n (c) x1 = 1, xn = 2xn−1 + 1
(b) xn =
(−2)n
n!
(d) xn =
(−1)n−1n
n2 + 1
02. Encontre o termo geral da seqüência:
34
Livro de Cálculo II
2
AULA
(a)
{
1
2
,
1
4
,
1
6
,
1
8
, · · ·
}
(c)
{
1, −2
3
,
4
9
, − 8
27
, · · ·
}
(b)
{
1
2
,
1
4
,
1
8
,
1
16
, · · ·
}
(d) {1, −1, 1, −1, · · · }
03. Determine se a seqüência converge ou diverge. Se ela conver-
gir, encontre seu limite:
(a) xn =
n3 + 3n+ 1
4n3 + 2
(e)
∫ n
1
1
xα
, onde α ∈ R
(b) xn =
√
n+ 1−√n (f) xn = nsen 1
n
(c) xn =
1
n
sen
1
n
(g) xn =
n∑
k=0
(
1
2
)
(d) xn =
2n
3n+1
(h) xn =
n∑
k=1
(
1
k
− 1
k + 1
)
04. Suponha que, para todo n ≥ 1, |xn − x| ≤ 1n , onde x é um
número real fixo. Calcule lim
n−→+∞xn e justifique.
05. Uma seqüência xn é dada por
x1 =
√
2, xn+1 =
√
2 + xn.
(a) Mostre que xn é crescente e limitada superiormente por 3.
Aplique o Teorema 2.3 para mostrar que a seqüência é convergente.
(b) Calcule lim
n−→+∞xn.
2.7 Comentário das Atividades
Se você (aluno) conseguiu resolver as Atividades 01. e 02., então
entendeu a definição de seqüências de números reais. Viu que uma
35
Seqüências de Números Reais
seqüência nada mais é que uma função que associa a cada número
natural (denominado índice) um e só um número real.
Na Atividade 03. você utilizou (ou utilizará) as propriedades
de limites (vistas no Cálculo I) para testar a convergência das
seqüência dadas.
A Atividade 04. você utilizou (ou deve utilizar) a seguinte
propriedade de módulo de números reais:
|y−x| ≤ a⇔ −a ≤ y−x ≤ a⇔ x−a ≤ y ≤ x+a, ∀a, x, y ∈ R, a > 0.
Após utilizar essa propriedade, basta aplicar o limite para n ten-
dendo ao infinito, de ambos os lados da desigualdade resultante.
Conseguiu resolver a Atividade 05.? Ótimo!!! Você aprendeu
que toda seqüência monótona e limitada é convergente.
Lembrem-se sempre que há tutores a distância e presenciais
para ajudá-los na resolução dessas atividades. Estudar em grupo
com seus colegas, pode tornar a resolução dessas atividades mais
fácil e interessante.
2.8 Referências
• GUIDORIZZI, H. L., Um Curso de Cálculo (Vol. 1 e 4).
Rio de Janeiro: LTC Editora, 2006.
• STEWART, J., Cálculo (vol. 1 e 2). São Paulo: Pioneira
Thomson Learning, 2006.
• THOMAS, G. B., Cálculo (vol. 1 e 2). São Paulo: Addison
Wesley, 2002.
36
3
AULA
1
LIVRO
Séries de Números
Reais
META
Representar funções como somas de
séries infinitas.
OBJETIVOS
Calcular somas de infinitos números
reais.
PRÉ-REQUISITOS
Seqüências (Aula 02).
Séries de Números Reais
3.1 Introdução
Estudaremos nesta aula, uma exemplo especial de seqüência. Seja
(xn)n∈N uma seqüência, a seqüência cujo termo geral é a soma
dos n primeiros termos da seqüência xn, é denominada série de
números reais (numérica).
O principal objetivo dessa aula, é estudar propriedades e a con-
vergência dessas séries. Veremos que quando uma série convergir,
digamos para S então S é a soma de infinitos números reais.
3.2 Séries Numéricas
Definição 3.8. Considere uma seqüência (xn)n∈N. Para cada n ∈
N definimos
Sn =
n∑
i=1
xi = x1 + x2 + . . .+ xn.
A seqüência (Sn)n∈N denomina-se série numérica associada a se-
qüência (xn)n∈N.
Os números xn, n ≥ 1, são denominados termos da série; xn é
o termo geral da série. Referir-nos-emos a
Sn =
n∑
i=1
xi
como soma parcial de ordem n da série.
O limite da série, quando existe (finito ou infinito), denomina-
se soma da série e é indicada por
+∞∑
n=1
xn. Assim
+∞∑
n=1
xn = lim
n−→+∞
n∑
i=1
xi.
38
Livro de Cálculo II
3
AULA
Se a soma for finita, diremos que a série é convergente. Se a soma
for infinita (+∞ ou −∞) ou se o limite não existir, diremos que
a série é divergente. Finalmente, dizemos que a série converge
absolutamente se a série
+∞∑
n=1
|xn| for convergente.
O símbolo
+∞∑
n=1
xn foi indicado para indicar a soma da série.
Por um abuso de notação, tal símbolo será utilizado ainda para
representar a própria série. Falaremos, então, da série
+∞∑
n=1
xn,
entendendo-se que se trata da série cuja soma parcial de ordem
n é Sn =
n∑
i=1
xi. Escreveremos com freqüência
∑
xn para repre-
sentar a série
+∞∑
n=1
xn.
Exemplo 3.2.1. Considere a Série Geométrica
+∞∑
n=0
arn, onde r é
razão da série e a ∈ R∗ é uma constante denominada termo inicial
da série. Vamos estudar a convergência desta série em função dos
valores de r. Temos que
Sn = a+ ar + ar2 + ar3 + . . .+ arn−1 + arn.
Se r = 1, então é imediato que Sn = na. Segue que (Sn)n∈N
diverge e, portanto
∑
arn =
∑
a diverge. Suponhamos que r 6= 1.
Multiplicando Sn por r, obtemos
rSn = ar + ar2 + ar3 + ar4 + . . .+ arn + arn+1.
Agora Sn − rSn = a− arn+1 e daí
Sn = a
1− rn+1
1− r .
Assim,
∑
arn converge se, e somente se, |r| < 1 e, neste caso,
+∞∑
n=0
arn =
a
1− r .
39
Séries de Números Reais
Exemplo 3.2.2. Considere a série
+∞∑
k=1
xk e suponha que xk =
yk − yk+1, k ≥ 1. (Uma tal série denomina-se série telescópica).
a) Verifique que Sn =
n∑
k=1
xk = y1 − yn+1.
b) Conclua que se lim
n−→+∞ yn = y, com b real, então a soma da série
será finita e igual a y1 − y.
Solução:
a)
n∑
k=1
xk = (y1 − y2) + (y2 − y3) + . . .+ (yn − yn+1) = y1 − yn+1
b)
+∞∑
k=1
xk = lim
n−→+∞
n∑
k=1
xk = lim
n−→+∞(y1 − yn+1) = y1 − y.
Exemplo 3.2.3. Calcule a soma
+∞∑
k=1
1
k(k + 1)
.
Solução: Note que
1
k(k + 1)
=
1
k
+
1
k + 1
. Trata-se então de
uma série telescópica. Segue do exemplo anterior que
n∑
k=1
1
k(k + 1)
= 1− 1
n+ 1
.
Logo,
n∑
k=1
1
k(k + 1)
= 1, pois lim
n−→+∞
1
n+ 1
= 0.
Proposição 2. Sejam
∑
xn e
∑
yn suas séries convergentes e
c ∈ R. Temos que
(i)
∑
(xn + yn) é convergente para
∑
xn +
∑
yn;
(ii)
∑
(c · xn) é convergente para c ·
∑
xn.
Demonstração: A demonstração é trivial: basta aplicar as pro-
priedades de limite da soma e da multiplicação por um escalar.
Observamos que, em geral,
+∞∑
n=0
(xn · yn) 6=
+∞∑
n=0
xn ·
+∞∑
n=0
yn.
40
Livro de Cálculo II
3
AULA
Passamos ao estudo da natureza de séries, isto é, estamos in-
teressados em critérios que determinam se uma série é convergente
ou divergente.
Teorema 3.5. (i)
∑
xn converge se, e somente se,
∀� > 0, ∃N ∈ N tal que n ≥ m ≥ N =⇒
∣∣∣∣∣
n∑
i=m
xi
∣∣∣∣∣ < �.
(ii) Se
∑
xn converge, então xn −→ 0, quando n −→ +∞.
(iii) Toda série absolutamente convergente é convergente.
Demonstração: (i) Suponhamos que
∑
xn converge, isto é, a
seqüência de termo geral Sn =
n∑
i=1
xi é convergente, digamos que
para S. Logo, dado � > 0, existe N ∈ N tal que se n ≥ N, então
|Sn − S| < �2 . Portanto, se n ≥ m ≥ N, temos∣∣∣∣∣
n∑
i=m
xi
∣∣∣∣∣ =|Sn − Sm| ≤ |Sn − S|+ |S − Sm| < �2 + �2 = �.
Reciprocamente, um argumento análogo ao da demonstração do
Teorema 2.2 mostra que (Sn)n∈N é limitada (verifique). Pelo Teo-
rema de Bolzano-Weierstrass, (Sn)n∈N tem subseqüência (Snk)k∈N
convergente para o limite S. Mostremos que Sn −→ S. Seja � > 0,
temos que existe N ∈ N tal que
n ≥ m ≥ N =⇒ |Sn − Sm| < �. (3.1)
Como Snk −→ S, existe k ∈ N tal que nk ≥ N e |Snk − S| < �2 .
Daí e de (3.1) segue que, se n ≥ N, então
|Sn − S| ≤ |Sn − Snk |+ |Snk − S| <
�
2
+
�
2
= �.
(ii) Segue de (i), tomando n = m.
(iii)Observamos que para todo m,n ∈ N temos∣∣∣∣∣
n∑
i=m
xi
∣∣∣∣∣ ≤
n∑
i=m
|xi| =
∣∣∣∣∣
n∑
i=m
|xi|
∣∣∣∣∣ .
41
Séries de Números Reais
Portanto, por (i), a convergência de
∑ |xn| implica a de ∑xn.
Devemos ressaltar que a recíproca do item (iii) do teorema ante-
rior, não é verdadeira, ou seja, existem séries que são convergentes
mas não são absolutamente convergentes, as séries deste tipo são
denominadas séries condicionalmente convergente. Veremos um
exemplo posteriormente.
Exemplo 3.2.4. Pelo item (ii), a condição xn −→ 0 é necessária
para a convergência da série
∑
xn porém ela não é suficiente. A
Série Harmonica
∑ 1
n
é o contra exemplo mais famoso. De fato,
temos
S2 = 1 +
1
2
,
S4 = S2 +
1
3
+
1
4
> S2 +
2
4
= 1 + 2 · 1
2
,
S8 = S4 +
1
5
+
1
6
+
1
7
+
1
8
> 1 + 2 · 1
2
+
4
8
= 1 + 3 · 1
2
,
...
Portanto, S2n > 1 + n/2. Daí, segue que lim
n−→+∞S2
n = +∞. Con-
cluímos que a série diverge.
Vamos tratar agora de alguns critérios de convergência para
séries de termos positivos. Claramente, todos os critérios aqui ex-
postos podem ser adaptados para séries de termos negativos. Com
efeito, se
∑
xn é uma série de termos negativos, então
∑
(−xn) é
uma série de termos positivos e, além disso, a primeira converge
se, e somente se, a segunda converge.
Eventualmente, podemos usar também critérios sobre séries de
termos positivos para uma série
∑
xn que tenha termos de sinais
variáveis, tais séries são denominadas séries alternadas. Ora, se ao
aplicarmos algum destes critérios para a série
∑ |xn| concluirmos
42
Livro de Cálculo II
3
AULA
que ela é convergente, então, como toda série absolutamente con-
vergente é convergente, concluiremos que
∑
xn converge. Por
outro lado, se o critério nada disser, ou mesmo se ele nos infor-
mar que
∑ |xn| é divergente, em geral, nada poderemos afirmar
sobre a convergência da série
∑
xn. Neste caso, temos o seguinte
critério de convergência para Séries Alternadas:
Teorema 3.6. (Critério de convergência para séries alternadas)
Seja a série
+∞∑
n=0
(−1)nxn, onde xn > 0, ∀n ∈ N (Séries Alternadas).
Se a seqüência (xn)n∈N for decrescente e se lim
n−→+∞xn = 0, então
a série alternada
+∞∑
n=0
(−1)nxn será convergente.
Não faremos a demonstração deste Critério, pois é baseada em
propriedades dos Intervalos Encaixantes não vistos neste curso. O
leitor interessado pode encontra tal demonstração no Livro "Um
Curso de Cálculo, Vol. 4"de Hamilton Luiz Guidorizzi.
Antes de seguir para o estudo dos critérios de convergência para
séries de termos positivos, observamos também o seguinte fato, já
mencionado no caso de seqüência. Os primeiros termos de uma
série nada influem na sua natureza. De fato, a série
∑
xn con-
verge se, e somente se, a série
∑
xn+2008 converge. De maneira
geral, fixando p ∈ N a série ∑xn é convergente se, e somente
se, a série
∑
xn+p é convergente. Desta forma, todos os critérios
que determinam a natureza de uma série através de algumas pro-
priedades verificada por todos os seus termos continuam válidos
se a tal propriedade é verificada à partir de algum termo (por ex-
emplo, 2008). Por outro lado, não podemos desprezar nenhum
termo de uma série convergente quando estamos interessados em
determinar o valor de sua soma infinita.
43
Séries de Números Reais
Proposição 3. Uma série de termos positivos é convergente se, e
somente se, a seqüência de suas somas parciais é limitada superi-
ormente.
Demonstração: Por definição
∑
xn é convergente se, e somente
se, a seqüências de suas somas parciais (Sn)n∈N é convergente.
Como xn ≥ 0, temos imediatamente que (Sn)n∈N é crescente.
Logo, (Sn)n∈N é convergente se, e somente se, ela é limitada supe-
riormente.
Teorema 3.7. (Critério da Integral) Consideremos a série
∞∑
k=0
xk
e suponhamos que exista p ∈ N e uma função f : [p,+∞[−→ R
contínua, decrescente e positiva tal que f(k) = xk para todo k ≥ p.
Nestas condições, tem-se:
(i)
∫ +∞
p
f(x)dx convergente =⇒
∞∑
k=0
xk convergente;
(ii)
∫ +∞
p
f(x)dx divergente =⇒
∞∑
k=0
xk divergente.
Demonstração: Para n > p,
n∑
k=0
xk =
p∑
k=0
xk +
n∑
k=p+1
xk. Como
p está fixo, segue dessa relação que a série
∞∑
k=0
xk será convergente
(ou divergente) se, e somente se,
+∞∑
k=p+1
xk for convergente (ou di-
vergente).
(i) Temos que (Veja Figura 3.7)
n∑
k=p+1
xk ≤
∫ n
p
f(x)dx ≤
∫ +∞
p
f(x)dx.
Segue que a seqüência
n∑
k=p+1
xk é crescente e limitada superi-
ormente por
∫ +∞
p
f(x)dx. Logo a série
+∞∑
k=p+1
xk é convergente e,
44
Livro de Cálculo II
3
AULA
Figura 3.7: Soma Inferior
portanto,
+∞∑
k=0
xk também é convergente.
(ii) A demonstração deste item é análoga a do item (i), por isso
deixamos para o leitor.
Exemplo 3.2.5. Seja α > 0, com α 6= 1, um real dado. Estude a
série
+∞∑
k=2
1
k(ln k)α
com relação a convergência ou divergência.
Solução: Se α = 1 estudaremos a convergência da série
+∞∑
k=2
1
k ln k
através do Critério da Integral, utilizando a função
f(x) =
1
x lnx
, x ≥ 2.
Tal função é positiva, contínua e decrescente em [2,+∞[ como se
verifica facilmente. Temos∫ t
2
1
x lnx
dx = [ln(lnx)]t2 = ln(ln t)− ln(ln 2).
Como lim
t−→∞ ln(ln t)dt = +∞, resulta
∫ +∞
2
1
x lnx
dx = +∞. Pelo
critério da integral a série é divergente.
Suponhamos agora que α > 0 e α 6= 1. Vamos aplicar, novamente,
o critério da integral com a função f(x) =
1
x(lnx)α
. Está função
é claramente positiva, contínua e decrescente no intervalo [2,+∞[.
45
Séries de Números Reais
Temos∫ t
2
1
x(lnx)α
dx =
[
1
(1− α)(lnx)α−1
]t
2
= ln(ln t)− ln(ln 2)
e, portanto,∫ t
2
1
x(lnx)α
dx =
1
1− α
[
1
(ln t)α−1
− 1
(ln 2)α−1
]
.
Para
α > 1 =⇒ lim
t−→∞
1
(ln t)α−1
= 0
e, para
0 < α < 1 =⇒ lim
t−→∞
1
(ln t)α−1
= +∞
. Pelo critério da integral, a série é convergente para α > 1 e
divergente para 0 < α < 1.
Teorema 3.8. (Critério da Comparação) Sejam as séries
∞∑
k=0
xk
e
∞∑
k=0
yk. Suponhamos que exista p ∈ N tal que, para todo k ≥
p, 0 ≤ xk ≤ yk. Nestas condições, tem-se:
(i)
∞∑
n=0
yk convergente =⇒
∞∑
n=0
xk convergente;
(ii)
∞∑
n=0
xk divergente =⇒
∞∑
n=0
yk divergente.
Demonstração: (i) Basta provamos que
∞∑
k=p
xk é convergente.
Como, para todo k ≥ p, yk ≥ 0, a seqüência
tn =
n∑
n=0
yk, n ≥ p,
é crescente. Daí e pelo fato da série
∞∑
k=p
yk ser convergente resulta,
para todo n ≥ p,
n∑
k=p
yk ≤
+∞∑
k=p
yk.
46
Livro de Cálculo II
3
AULA
Como, para todo k ≥ p, 0 ≤ xk ≤ yk, resulta que a seqüência
sn =
n∑
k=p
xk, n ≥ p, (3.2)
é crescente e, para todo n ≥ p,
n∑
k=p
xk ≤
+∞∑
k=p
yk.
Segue que a seqüência 3.2 é convergente, ou seja, a série
+∞∑
k=p
xk é
convergente.
(ii) Fica a cargo do leitor.
Exemplo 3.2.6. Vamos estudar a natureza da série
∑ 1
np
se-
gundo os valores de p. É claro que se p ≤ 0, então ela diverge pois
neste caso lim
n−→+∞xn 6= 0. Suponhamos 0≤ p ≤ 1. Temos
1
n
≤ 1
np
para todo n ∈ N. Portanto, por comparação com a série harmonica,
concluímos que a série diverge. Finalmente, consideramos o caso
p > 1. Mostraremos que a série converge através do Critério da
Integral, utilizando a função f(x) =
1
xp
, p > 1. Tal função é posi-
tiva, contínua e decrescente em [1,+∞[ como se verifica facilmente.
Temos∫ t
1
1
xp
dx =
[
1
(1− p)xp−1
]t
1
=
1
(1− p)tp−1 −
1
1− p.
Como lim
t−→∞
1
(1− p)tp−1dt = 0, resulta
∫ +∞
1
1
xp
dx =
1
p− 1 . Pelo
critério da integral a série é convergente.
Exemplo 3.2.7. A série
+∞∑
k=1
1
k
sen
1
k
é convergente ou divergente?
Justifique.
Solução: Para todo k ≥ 1,
0 ≤ 1
k
sen
1
k
≤ 1
k
· 1
k
.
47
Séries de Números Reais
Como
+∞∑
k=1
1
k2
é convergente (basta usar o exemplo 3.2.6 com p = 2),
segue do Teorema da Comparação que
+∞∑
k=1
1
k
sen
1
k
é convergente.
Exemplo 3.2.8. A série
+∞∑
k=1
k
k2 + 2k + 1
é convergente ou diver-
gente? Justifique.
Solução:
k
k2 + 2k + 1
=
1
k
· 1
1 + 2k +
1
k2
.
Para todo k ≥ 1,
1 +
2
k
+
1
k2
≤ 4
e, portanto, para todo k ≥ 1,
1
1 + 2k +
1
k2
≥ 1
4
.
Segue que, para todo k ≥ 1,
1
1 + 2k + 1
≥ 1
4k
.
Como
+∞∑
k=1
1
4k
é divergente resulta que
+∞∑
k=1
k
k2 + 2k + 1
diverge.
Teorema 3.9. (Critério do Limite) Sejam
∑
xn e
∑
yn duas
séries de termos positivos. Suponhamos que
lim
n−→∞
xn
yn
= L.
Então:
a) se L > 0, L real, ou ambas são convergentes ou ambas são di-
vergentes;
48
Livro de Cálculo II
3
AULA
b) se L = +∞ e se ∑ yn for divergente, ∑xn também será diver-
gente;
c) se L = 0 e se
∑
yn for convergente,
∑
xn também será conver-
gente.
Demonstração:
a) De lim
n−→∞
xk
yk
= L, L > 0 e real, segue que tomando � = L2 , existe
N ∈ N tal que
n > N =⇒ L− L
2
<
xn
yn
< L+
L
2
ou seja
n > N =⇒ L
2
yn < xn <
3L
2
yn.
Segue do critério da comparação que ambas são convergentes ou
ambas são divergentes.
b) De lim
n−→∞
xk
yk
= +∞, segue que tomando-se � = 1, existe N ∈ N
tal que
n > N =⇒ xn
yn
> 1
e, portanto,
n > N =⇒ xn > yn.
Segue do critério da comparação que se
∑
yn for divergente, então∑
xn também será.
c) De lim
n−→∞
xk
yk
= 0, segue que tomando-se � = 1, existe N ∈ N tal
que
n > N =⇒ xn
yn
< 1
e, portanto,
n > N =⇒ xn < yn.
Segue do critério da comparação que se
∑
yn for convergente, então∑
xn também será.
49
Séries de Números Reais
Exemplo 3.2.9. A série
+∞∑
n=1
e−n é convergente ou divergente? Jus-
tifique.
Solução: A série
+∞∑
n=1
e
−n
2 é convergente, pois trata-se de uma
série geométrica de razão r = e
−1
2 . Façamos
xn = ne−n e yn = e
−n
2
.
Temos
lim
n−→∞
xn
yn
= lim
n−→∞
n
e
n
2
= 0.
Pelo critério do limite, a série dada é convergente.
Observação 3.1. O sucesso na utilização do critério do limite está
exatamente na escolha adequada da série
∑
yn de comparação.
Em muitos casos, as séries harmonicas ou as séries geométricas
desempenham muito bem este papel.
Exemplo 3.2.10. A série
+∞∑
n=1
1
ln k
é convergente ou divergente?
Justifique.
Solução: Vamos tomar como série de comparação a série har-
monica
+∞∑
k=1
1
ln k
. Temos
xk =
1
ln k
e yk =
1
k
.
Então,
lim
k−→+∞
xk
yk
= lim
k−→+∞
k
ln k
= +∞.
Pelo Critério do Limite a série dada é divergente.
Observe, no exemplo anterior, que se tivéssemos tomado como
séria de comparação a harmonica convergente
+∞∑
n=1
1
k2
, teríamos,
50
Livro de Cálculo II
3
AULA
também,
lim
k−→+∞
xk
yk
= lim
k−→+∞
k2
ln k
= +∞.
Entretanto, neste caso, o critério do limite não nos fornecerá infor-
mações alguma sobre a convergência ou divergência da série dada.
Os próximos dois critérios de convergências valem também para
séries com termos negativos.
Teorema 3.10. (Teste da Razão, ou de d’Alembert) Seja
(xn)n∈N uma seqüência não nula. Suponhamos que lim
n−→+∞
∣∣∣∣xn+1xn
∣∣∣∣
exista, finito ou infinito. Seja
lim
n−→+∞
∣∣∣∣xn+1xn
∣∣∣∣ = L.
Nesta condições, tem-se:
(i) Se L < 1, a série
∑
xn será convergente;
(ii) Se L > 1 ou L = +∞, a série ∑xn será divergente;
(iii) Se L = 1, o critério nada revela.
Demonstração: (i) A idéia é comparar a série dada com uma
série geométrica convergente. Como L < 1, existe r ∈ R tal que
lim
n−→+∞
∣∣∣∣xn+1xn
∣∣∣∣ < r < 1. Segue da definição de limite, que existe
N ∈ N tal que
∣∣∣∣xn+1xn
∣∣∣∣ < r para todo n ≥ N. Temos então:
|xN+1| < r|xN |;
|xN+2| < r|xN+1| < r2|xN |;
|xN+3| < r|xN+2| < r3|xN |;
...
De maneira geral, |xn| < rn−N |xN |, para todo n ≥ N. Tomando
yn = rn−N |xN | (para todo n ∈ N) temos que |xn| < yn para todo
51
Séries de Números Reais
n ∈ N. Como ∑ yn é uma Série Geométrica de razão r ∈ (0, 1),
ela é convergente. O critério da comparação nos garante que
∑
xn
converge absolutamente e, portanto, é convergente .
(ii) Como lim
n−→+∞
∣∣∣∣xn+1xn
∣∣∣∣ > 1 ou limn−→+∞
∣∣∣∣xn+1xn
∣∣∣∣ = +∞, existe N ∈
N tal que, se n ≥ N então ∣∣∣∣xn+1xn
∣∣∣∣ > 1.
Isso significa que |xn+1| > |xn| quando n ≥ N, e assim
lim
n−→∞xn 6= 0.
Portanto,
∑
xn diverge pelo teste da divergência.
A parte (iii) do Teste da Razão diz que, se lim
n−→+∞
∣∣∣∣xn+1xn
∣∣∣∣ = 1,
o Teste da Razão não dá nenhuma informação. Por exemplo, para
a série convergente
∑ 1
n2
, temos
∣∣∣∣xn+1xn
∣∣∣∣ = 1(n+1)21
n2
=
n2
(n+ 1)2
=
1(
1 + 1n
)2 −→ 1 quando n −→∞
enquanto para a série divergente
∑ 1
n
, obtemos∣∣∣∣xn+1xn
∣∣∣∣ = 1n+11
n
=
n
n+ 1
=
1
1 + 1n
−→ 1 quando n −→∞.
Portanto, se lim
n−→+∞
∣∣∣∣xn+1xn
∣∣∣∣ = 1 a série ∑xn pode convergir ou
divergir. Neste caso, o Teste da Razão falha e devemos usar algum
outro teste.
Exemplo 3.2.11. A série
+∞∑
n=1
1
n!
é convergente, pois
lim
n−→+∞
∣∣∣∣xn+1xn
∣∣∣∣ = limn−→+∞
1
(n+1)!
1
n!
= lim
n−→+∞
n!
(n+ 1)!
= lim
n−→+∞
1
n+ 1
= 0 < 1.
52
Livro de Cálculo II
3
AULAExemplo 3.2.12. A série
+∞∑
n=1
(−1)nn
3
3n
é convergente. De fato,
lim
n−→+∞
∣∣∣∣xn+1xn
∣∣∣∣ = limn−→+∞
∣∣∣∣∣
(−1)n+1(n+1)3
3n+1
(−1)nn3
3n
∣∣∣∣∣
= lim
n−→+∞
(n+ 1)3
3n+1
· 3
n
n3
= lim
n−→+∞
1
3
(
n+ 1
n
)3
= lim
n−→+∞
1
3
(
1 +
1
n
)3
=
1
3
< 1.
Exemplo 3.2.13. A série
+∞∑
n=1
nn
n!
é divergente. Com efeito,
lim
n−→+∞
∣∣∣∣xn+1xn
∣∣∣∣ = limn−→+∞ (n+ 1)n+1(n+ 1)! · n!nn
= lim
n−→+∞
(n+ 1)(n+ 1)n
(n+ 1)n!
· n!
nn
= lim
n−→+∞
(
n+ 1
n
)n
= lim
n−→+∞
(
1 +
1
n
)n
= e > 1.
O teste a seguir é conveniente para ser aplicado quando as
potências de n ocorrem. Sua prova é similar à do Teste da Razão
e fica por conta do leitor.
Teorema 3.11. (Teste da Raiz)
(i) Se lim
n−→∞
n
√
|xn| = L < 1, então a série
+∞∑
n=1
xn é absolutamente
convergente e, portanto, convergente;
(ii) Se lim
n−→∞
n
√
|xn| = L > 1, então a série
+∞∑
n=1
xn é divergente;
(iii) Se lim
n−→∞
n
√
|xn| = 1, então o Teste da Raiz não é conclusivo.
O Teste da Raiz é mais eficiente que o da Razão. Mais pre-
cisamente, em todos os casos nos quais o Teste da Razão permite
53
Séries de Números Reais
concluir (seja por convergência ou por divergência) o Teste da Raiz
também será concludente. Entretanto, o Teste da Razão é, em
geral, mais fácil de ser aplicado.
Exemplo 3.2.14. Teste a convergência da série
∞∑
n=1
(
2n+ 3
3n+ 2
)n
.
Solução: Considere
xn =
(
2n+ 3
3n+ 2
)n
e
lim
n−→∞
n
√
|xn|= lim
n−→∞
2n+ 3
3n+ 2
= lim
n−→∞
2 + 3n
3 + 2n
=
2
3
< 1
Então, a série dada converge pelo Teste da Raiz.
3.3 Resumo
Considere uma seqüência (xn)n∈N. Para cada n ∈ N definimos
Sn =
n∑
i=1
xi = x1 + x2 + . . .+ xn.
A seqüência (Sn)n∈N denomina-se série numérica associada a
seqüência (xn)n∈N. O termo geral da (Sn)n∈N,
Sn =
n∑
i=1
xi
é denominado soma parcial de ordem n da série.
O limite da série, quando existe (finito ou infinito), denomina-
se soma da série e é indicada por
+∞∑
n=1
xn. Assim
+∞∑
n=1
xn = lim
n−→+∞
n∑
i=1
xi.
54
Livro de Cálculo II
3
AULA
Se a soma for finita, diremos que a série é convergente. Se a soma
for infinita (+∞ ou −∞) ou se o limite não existir, diremos que a
série é divergente.
Nosso objetivo com essa aula era que você (aluno) aprendesse
a testar a convergência de séries. Para tanto, foi apresentado os
principais critérios de convergências de séries. (Ver os Critérios e
os Testes de convergências)
Os conceitos e os critérios de convergência de séries serão essen-
ciais no estudo de séries de potências que faremos na próxima aula.
3.4 Atividades
01. (a) Qual a diferença entre uma seqüência e uma série?
(b) O que é uma série convergente? O que é uma série divergente?
02. Seja xn =
n
n+ 1
.
(a) Determine se (xn)n∈N é convergente.
(b) Determine se
∞∑
n=1
xn é convergente.
03. Determine se a série é convergente ou divergente. Se for con-
vergente, calcule sua soma.
a)
1
2
+
1
4
+
1
6
+
1
8
+ · · · (b) 3 + 2 + 4
3
+
8
9
+ · · ·
(c)
∞∑
n=0
(
1
2
)n
(d)
∞∑
n=1
(
2
3
)n−1
(e)
∞∑
n=2
(
2
n2 − 1
)
(f)
∞∑
n=1
(
3n + 2n
6n
)
(g)
∞∑
n=1
2
n
(h)
1
(4n+ 1)(4n+ 5)
55
Séries de Números Reais
04. Mostre que a série dada é convergente.
a)
∞∑
n=1
(−1)n2−n (b)
∞∑
n=1
(−1)n+1 lnn
n
.
05. Estude a série dada com relação a convergência ou divergên-
cia.
(a)
∞∑
n=1
(−1)n−1√
n
(b) (−1)n n
lnn
(c)
∞∑
n=0
1
n2 + 1
(d)
∞∑
n=2
1
n lnn
(e)
∞∑
n=1
ne−n
2
(f)
∞∑
n=3
1
n lnn ln(lnn)
(g)
∞∑
n=1
5
2 + 3n
(h)
∞∑
n=1
4 + 3n
2n
(i)
∞∑
n=0
(−10)n
n!
(j)
∞∑
n=1
e−nn!
06. (a) Mostre que
∞∑
n=0
xn
n!
converge para todo x.
(b) Deduza que lim
n−→∞
xn
n!
= 0.
3.5 Comentário das Atividades
Se você (aluno) conseguiu resolver as Atividades 01. e 02., então
entendeu a grande diferença de seqüências e séries de números
reais. Entender essa diferença é muito importante.
Na Atividade 03. você utilizou (ou utilizará) as propriedades
de limites (vistas no Cálculo I) para testar a convergência das séries
dadas.
Na Atividade 04. é dada duas séries alternadas e é pedido que
56
Livro de Cálculo II
3
AULA
você (aluno) teste a convergência das mesmas. Nesta atividade
podemos usar o critério de convergência para séries alternadas ou
lançarmos mão da convergência absoluta.
A Atividade 05. você utilizou (ou deve utilizar) os critérios de
convergência vistos nesta Aula, para estudar a convergência das
séries dadas.
O Teste da Razão deverá ser usado na resolução da Atividade
06.. Nesta atividade estamos interessados em encontrar o conjunto
dos x tais que a série numérica converge.
Conseguiu resolver todas as Atividade? Sabe usar os critérios
de convergência (Critério da Razão dentre outros) dados? Ótimo!!!
Você esta com todos os requisitos necessários para compreensão da
próxima aula.
Lembrem-se sempre que há tutores a distância e presenciais
para ajudá-los na resolução dessas atividades. Estudar em grupo
com seus colegas, pode tornar a resolução dessas atividades mais
fácil e interessante.
3.6 Referências
• GUIDORIZZI, H. L., Um Curso de Cálculo (Vol. 1 e 4).
Rio de Janeiro: LTC Editora, 2006.
• STEWART, J., Cálculo (vol. 1 e 2). São Paulo: Pioneira
Thomson Learning, 2006.
• THOMAS, G. B., Cálculo (vol. 1 e 2). São Paulo: Addison
Wesley, 2002.
57
4
AULA
1
LIVRO
Séries de Potências
META
Apresentar os conceitos e as prin-
cipais propriedades de Séries de
Potências. Além disso, introduzire-
mos as primeiras maneiras de
escrever uma função dada como
uma série de potências.
OBJETIVOS
Representar funções em séries de
potências.
PRÉ-REQUISITOS
Séries Numéricas (Aula 3).
Séries de Potências
4.1 Introdução
Uma série de potências de x é uma série da forma
+∞∑
n=0
an(x− x0)n = a0 + a1(x− x0) + a2(x− x0)2 + · · ·
Observe que esta série pode ser vista como a generalização de
um polinômio. O principal objetivo de estudar essas séries é que
é possível (veremos a diante) representar uma função dada como
uma série de potências.
Você pode imaginar por que queremos expressar uma função
conhecida como uma soma infinita de termos. Veremos mais tarde
que essa estratégia é útil para integrar funções que não têm an-
tiderivadas elementares e para aproximar as funções por polinômios.
Cientistas fazem isso para simplificar expressões que eles utilizam e
para poder representar as funções em calculadoras e computadores.
Nesta aula, introduziremos os conceitos de séries de potências.
Além disso, iniciaremos o estudo de representação de funções em
séries de potências.
4.2 Série de Potências
Seja an, n ≥ 0, uma seqüência numérica dada e seja x0 um real
dado. A série
+∞∑
n=0
an(x− x0)n (4.1)
denomina-se série de potências, com coeficientes an, em volta de
x0 (ou centrada em x0). Se x0 = 0, temos a série de potências em
volta de zero:
+∞∑
n=0
anx
n = a0 + a1x+ a2x2 + · · ·. (4.2)
60
Livro de Cálculo II
4
AULA
Para cada x fixo, a série de potências é uma série de constantes
que podemos testar sua convergência ou divergência. Uma série
de potências pode convergir para alguns valores de x e divergir
para outros. A soma da série é uma função de x, cujo domínio é o
conjunto de todos os x para os quais a série converge. Esta função
assemelha a um polinômio. A única diferença é que f tem infinitos
termos.
Exemplo 4.2.1.
+∞∑
n=0
xn
n!
é uma série de potências em volta de zero
e com coeficientes an =
1
n!
.
Nosso objetivo, de agora em diante, é encontrar os valores de
x para os quais uma série de potências é convergente.
Teorema 4.12. Se
+∞∑
n=0
anx
n for convergente para x = x1, com
x1 6= 0, então a série convergirá absolutamente para todo x no
intervalo aberto (−|x1|, |x1|).
Demonstração: Sendo, por hipótese,
+∞∑
n=0
anx
n
1 convergente, segue
que
lim
n−→+∞ anx
n
1 = 0.
Tomando-se � = 1, existe um N ∈ N tal que, para todo n ≥ N ,
|anxn1 | ≤ 1.
Como
|anxn| = |anxn1 |
∣∣∣∣ xx1
∣∣∣∣n ,
resulta que, para todo x e todo n ≥ N,
|anxn| ≤
∣∣∣∣ xx1
∣∣∣∣n .
61
Séries de Potências
Para |x| < |x1|, a série geométrica
+∞∑
n=0
∣∣∣∣ xx1
∣∣∣∣n é convergente. Segue
do Teste da Comparação que
+∞∑
n=0
anx
n converge absolutamente
para todo x, com |x| < |x1|.
Exemplo 4.2.2. A série
+∞∑
n=0
xn
n
converge para x = −1. Pelo
Teorema anterior, a série converge absolutamente para todo x ∈
(−1, 1). Para x = −1 a série não é absolutamente convergente.
Exemplo 4.2.3. Para quais valores de x a série
+∞∑
n=0
n!xn é con-
vergente?
Solução: Usamos o Teste da Razão. Se fizermos an, como ha-
bitualmente, denotar o n-ésimo termo da série, então an = n!xn.
Se x 6= 0, temos
lim
n−→+∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = limn−→+∞
∣∣∣∣(n+ 1)!xn+1n!xn
∣∣∣∣ = limn−→+∞(n+ 1)|x| =∞
Pelo Teste da Razão, a série diverge quando x 6= 0. Então, a série
converge apenas quando x = 0.
Exemplo 4.2.4. Para quais valores de x a série
+∞∑
n=0
(x− 3)n
n
é
convergente?
Solução: Seja an =
(x−3)n
n . Entãolim
n−→+∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = limn−→+∞
∣∣∣∣(x− 3)n+1!n+ 1 · n(x− 3)n
∣∣∣∣
= lim
n−→+∞
1
1 + 1n
|x− 3| = |x− 3|
Pelo Teste da Razão, a série dada é absolutamente convergente, e
portanto convergente, quando |x − 3| < 1 e é divergente quando
|x− 3| > 1. Agora
|x− 3| < 1⇔ −1 < x− 3 < 1⇔ 2 < x < 4
62
Livro de Cálculo II
4
AULA
assim a série converge quando 2 < x < 4 e diverge quando x < 2 e
x > 4.O Teste da Razão não fornece informação quando |x−3| = 1;
assim, devemos considerar x = 2 e x = 4 separadamente. Se
colocarmos x = 4 na série, ela se tornará
+∞∑
n=0
1
n
, a série harmonica,
que é divergente. Se x = 2, a série é
+∞∑
n=0
(−1)n
n
que é convergente
pelo Teste da Série Alternada. Então a série dada converge para
2 ≤ x < 4.
Exemplo 4.2.5. Encontre o domínio da função definida por
f(x) =
+∞∑
n=0
xn
n!
. Solução: Seja an =
xn
n!
. Então
lim
n−→+∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = limn−→+∞
∣∣∣∣ xn+1(n+ 1)! · n!xn
∣∣∣∣ = limn−→+∞ 1n+ 1 |x| = 0 < 1
para todo x ∈ R. Então pelo Teste da Razão, a série dada converge
para todos os valores de x. Em outras palavras, o domínio da
função dada é (−∞,+∞) = R.
Para as séries de potências que temos vistos até agora, o con-
junto de valores de x para os quais a série é convergente tem sempre
sido um intervalo (um intervalo finito nos exemplos 4.2.2 e 4.2.4,
o intervalo infinito (−∞,+∞) no exemplo 4.2.5 e um intervalo co-
lapsado [0, 0] = {0} no exemplo 4.2.3). O teorema a seguir, diz
que isso, em geral, é verdadeiro.
Teorema 4.13. Para uma dada série de potências
+∞∑
n=0
an(x− x0)n
existem apenas três possibilidades:
(i) a série converge apenas quando x = x0;
(ii) a série converge para todo x ∈ R;
63
Séries de Potências
(iii)existe um número R tal que a série converge se |x − x0| < R
e diverge de |x − x0| > R. Nos extremos x0 − R e x0 + R a série
poderá convergir ou não.
Demonstração: Fazendo u = x − x0 na série
+∞∑
n=0
an(x− x0)n
obtemos
+∞∑
n=0
anu
n, deste modo basta provarmos que
(i) a série converge apenas quando u = 0;
(ii) a série converge para todo u ∈ R;
(iii)existe um número R tal que a série converge se |u| < R e
diverge de |u| > R. Nos extremos R e R a série poderá convergir
ou não.
Provemos: Seja A o conjunto de todos u ≥ 0 para os quais a série
converge.
1.0 Caso: A = {0}
Se a série convergisse para algum valor u1 6= 0, pelo Teorema 4.12,
convergiria, também, para todo u ∈ (−|u1|, |u1|), que contradiz a
hipótese A = {0}. Logo, se A = {0} a série convergirá apenas para
u = 0.
2.0 Caso: A = (0,+∞) = R+
Para todo u ∈ R, existe u1 > 0 tal que
|u| < u1.
Como a série
+∞∑
n=0
anu
n
1 é convergente, pelo teorema 4.12, a série
convergirá absolutamente para todo u, com |u| < u1. Portanto, a
série converge absolutamente para todo u.
3.0 Caso: A 6= R+ e A 6= {0}
64
Livro de Cálculo II
4
AULA
Se, para todo r > 0, existisse u1 > r tal que
+∞∑
n=0
anu
n
1
fosse convergente, pelo teorema 4.12, a série seria absolutamente
convergente para todo u, que contradiz a hipótese A 6= R+. Por-
tanto, se A 6= R+, então A será limitado superiormente; logo,
admitirá supremo R :
R = supA.
ComoA 6= {0}, teremos, evidentemente, R > 0. SendoR o supremo
de A, para todo x com |u| < R, existe u1 ∈ A, com |u| < u1.
Resulta novamente do teorema 4.12, que a série converge absolu-
tamente para todo u ∈ (−R,R). Fica a cargo do leitor verificar
que a série diverge para todo u, com |u| > R.
O número R que aparece no Teorema anterior é chamado Raio
de Convergência da série de Potência. Por convenção, o raio de
convergência é R = 0 no caso (i) e R =∞ no caso (ii).
Exemplo 4.2.6. Encontre o raio de convergência e o intervalo de
convergência da série
∞∑
n=1
(−1)n (x+ 2)
n
n2n
.
Solução: Seja an = (−1)n (x+ 2)
n
n2n
. Então
lim
n−→+∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = limn−→+∞
∣∣∣∣(−1)n+1(x+ 2)n+1(n+ 1)2n+1 · n2n(−1)n(x+ 2)n
∣∣∣∣
= lim
n−→+∞
1
2
n
n+ 1
|x+ 2|
=
1
2
|x+ 2|.
Pelo Teste da Razão, a série dada converge se
1
2
|x+ 2| < 1 e di-
verge se
1
2
|x+ 2| > 1. Então, ela é convergente se |x+ 2| < 2 e
65
Séries de Potências
divergente se |x+ 2| > 2. Isso significa que o raio de convergência
é R =
1
2
.
A desigualdade |x+ 2| < 2 pode ser escrita como −4 < x < 0;
assim, testamos a série nos extremos −4 e 0. Quando x = −4, a
série é
∞∑
n=1
(−1)n (−4 + 2)
n
n2n
=
∞∑
n=1
1
n
.
que é uma série harmonica e, portanto, diverge. Quando x = 0, a
série é
∞∑
n=1
(−1)n (0 + 2)
n
n2n
=
∞∑
n=1
(−1)n 1
n
.
que converge pelo Teste das Séries Alternadas. Então a série con-
verge apenas quando −4 < x ≤ 0, assim, o intervalo de convergên-
cia é (−4, 0].
Exemplo 4.2.7. Encontre o raio de convergência e o intervalo de
convergência da série
∞∑
n=1
n!(2x− 1)n.
Solução: Seja an = n!(2x− 1)n. Então
lim
n−→+∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = limn−→+∞
∣∣∣∣(n+ 1)!(2x− 1)n+1n!(2x− 1)n
∣∣∣∣
= lim
n−→+∞(n+ 1)|2x− 1| = 0 < 1
se, e somente se, |2x− 1| = 0, ou seja, x = 1
2
. Então, o raio de
convergência é R = 0. E o intervalo de convergência é
{
1
2
}
.
66
Livro de Cálculo II
4
AULA
4.3 Representação de Funções em Séries de
Potências
Nesta seção aprenderemos como representar certos tipos de funções
como soma de séries de potências pela manipulação de séries ge-
ométricas ou pela diferenciação ou integração de tais séries.
Começaremos com uma equação que vimos antes:
1
1− x = 1 + x+ x
2 + x3 + . . . =
∞∑
n=0
xn, |x| < 1 (4.1)
Encontramos essa equação no Exemplo 3.2.1, onde a obtivemos
observando que ela é uma série geométrica com a = 1 e r = x.
Mas aqui nosso ponto de vista é diferente. Agora nos referiremos
à Equação 4.1 como uma expressão da função f(x) =
1
1− x como
uma soma de uma série de potências.
Uma ilustração geométrica da Equação 4.1 é mostrada na Figura
4.8. Como a soma de uma série é o limite da seqüência de somas
parciais, temos
1
1− x = limn−→∞Sn(x)
onde Sn =
n∑
k=0
xk é a n-ésima soma parcial. Note que, quando n
aumenta, Sn(x) se torna uma aproximação de f(x) para −1 < x <
1.
Exemplo 4.3.1. Expresse f(x) =
1
1 + 9x2
como a soma de uma
série de potências e encontre o intervalo de convergência.
Solução: Temos que
1
1 + 9x2
=
1
1− [−(3x)2]
67
Séries de Potências
Figura 4.8: f(x) e algumas somas parciais
Trocando x por −(3x)2 na Equação 4.1, obtemos:
1
1 + 9x2
=
∞∑
n=0
[−(3x)2]n =
∞∑
n=0
(−1)n32nx2n
= 1− 32x2 + 34x4 − 36x6 + . . .
Como essa é uma série geométrica, ela converge quando |−(3x)2| <
1, isto é, 9x2 < 1, ou seja, |x| < 1
3
. Portanto o intervalo de con-
vergência é
(
−1
3
,
1
3
)
.
Exemplo 4.3.2. Encontre a representação em série de potências
para f(x) =
1
x+ 2
.
Solução: Note que
1
2 + x
=
1
2
(
1 + x2
) = 1
2
· 1
1− (−x2)
Trocando x por −x2 na Equação 4.1, obtemos:
1
2 + x
=
1
2
∞∑
n=0
(
−x
2
)n
=
∞∑
n=0
(−1)n
2n+1
xn
Como essa é uma série geométrica, ela converge quando |− x2 | < 1,
isto é, |x| < 2. Portanto o intervalo de convergência é (−2, 2).
68
Livro de Cálculo II
4
AULA
4.4 Resumo
Uma série de potências de x em volta de x0 (ou centrada em x0)
é uma série do tipo Seja . A série
+∞∑
n=0
an(x− x0)n (4.1)
onde an, n ≥ 0 (coeficientes) é uma seqüência numérica dada e x0
um real dado.
Para cada x fixo, a série de potências é uma série de constantes
que podemos testar sua convergência ou divergência. Uma série
de potências pode convergir para alguns valores de x e divergir
para outros. A soma da série é uma função de x, cujo domínio é o
conjunto de todos os x para os quais a série converge.
Dada uma série