Capítulo+5+ +Entropia

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Termodinâmica 
Prof. João Felipe Bassane 
Engenharia Mecânica 
1 
Capítulo 5 – Entropia 
2 
5) Entropia 
Para um motor térmico de Carnot (reversível) temos 
que: 
5.1) Desigualdade de Clausius 
3 
5) Entropia 
Para um motor térmico irreversível operando entre os mesmos reservatórios 𝑇𝐻 e 
𝑇𝐿 e recebendo a mesma quantidade de calor 𝑄𝐻 temos que: 
5.1) Desigualdade de Clausius 
Para todos os motores 
térmicos irreversíveis: 
4 
5) Entropia 
Para um ciclo de refrigeração de Carnot (reversível) temos que: 
5.1) Desigualdade de Clausius 
Para todos os ciclos de 
refrigeração reversíveis: 
5 
5) Entropia 
Para um ciclo de refrigeração irreversível operando entre os mesmos 
reservatórios 𝑇𝐻 e 𝑇𝐿 e recebendo a mesma quantidade de calor 𝑄𝐿 temos que: 
5.1) Desigualdade de Clausius 
Para todos os ciclos de 
refrigeração irreversíveis: 
6 
5) Entropia 
5.1) Desigualdade de Clausius 
Para todos os ciclos podemos escrever: 
Sendo a igualdade válida para os ciclos reversíveis e a desigualdade 
válida para os ciclos irreversíveis. 
7 
5) Entropia 
5.1) Desigualdade de Clausius 
Calcule 
𝛿𝑄
𝑇
 considerando 1 kg 
de fluido de trabalho. 
8 
5.2) Entropia – Uma propriedade do sistema 
Considere que um sistema percorra um processo reversível do estado 1 ao 
2, representado pelo caminho A, e que o ciclo seja concluído por meio de 
um processo reversível, representado pelo caminho B. 
Como este ciclo é reversível 
podemos escrever: 
9 
5.2) Entropia – Uma propriedade do sistema 
Considere agora, outro ciclo, reversível que tem o processo inicial alterado 
para o representado pelo caminho C e completado pelo mesmo processo 
reversível B. 
Para este ciclo: 
Subtraindo a segunda equação 
da primeira, temos: 
10 
5.2) Entropia – Uma propriedade do sistema 
Como 
𝛿𝑄
𝑇
 é constante para todos os caminhos reversíveis entre os 
estados 1 e 2, concluímos que essa quantidade é independente do 
caminho e é uma função apenas dos estados inicial e final; portanto, ela é 
uma propriedade. Essa propriedade é denominada entropia e é designada 
por 𝑆. 
𝑑𝑆 ≡
𝛿𝑄
𝑇
𝑟𝑒𝑣
 
A variação da entropia de um sistema, em uma mudança de estado, pode ser 
obtida integrando a equação anterior: 
Obs: Para se efetuar essa integração, a 
relação entre T e Q deve ser conhecida. 
11 
5.3) A entropia para uma substância pura 
A unidade da entropia específica nas tabelas de propriedades 
termodinâmicas é 
𝑘𝐽
𝑘𝑔𝐾
 e os valores são dados em relação a um estado de 
referência arbitrário. Nas tabelas de vapor d’água, atribui-se o valor zero 
para a entropia do líquido saturado a 0,01 °C. Para muitos fluidos 
refrigerantes, atribui-se o valor zero para a entropia do líquido saturado a -
40 °C. 
Na região de saturação, a entropia pode ser calculada usando o título: 
12 
5.3) A entropia para uma substância pura 
As propriedades 
termodinâmicas de 
uma substância são 
frequentemente 
apresentadas nos 
diagramas 
temperatura-
entropia e entalpia-
entropia, que 
também é 
conhecido como o 
diagrama de 
Mollier. 
Diagrama temperatura-entropia para o vapor d’água 
13 
5.3) A entropia para uma substância pura 
As propriedades 
termodinâmicas de 
uma substância são 
frequentemente 
apresentadas nos 
diagramas 
temperatura-
entropia e entalpia-
entropia, que 
também é 
conhecido como o 
diagrama de 
Mollier. 
Diagrama entalpia-entropia para o vapor d’água 
14 
5.3) A entropia para uma substância pura 
Para a maioria das substâncias, a 
diferença entre a entropia do líquido 
comprimido e a do líquido saturado, à 
mesma temperatura, é muito pequena. 
Normalmente, o processo de 
aquecimento de um líquido a pressão 
constante é representado por uma linha 
coincidente com a linha de líquido 
saturado até que se atinja a temperatura 
de saturação correspondente. Então, se a 
água a 10 Mpa é aquecida de 0 °C até a 
temperatura de saturação, o processo 
pode ser representado pela linha ABD, 
que coincide com a linha de líquido 
saturado. 
Diagrama temperatura-entropia 
mostrando as propriedades de um 
líquido comprimido (água) 
15 
Consideremos como sistema o fluido de trabalho de um motor térmico que 
opera segundo o ciclo de Carnot. 
 
O primeiro processo é o da transferência de calor isotérmica do 
reservatório a alta temperatura para p fluido de trabalho. Para esse 
processo, podemos escrever 
5.4) Variação de entropia em processos reversíveis 
16 
O segundo processo é adiabático e reversível e, portanto, a entropia 
permanece constante neste processo. 
 
O terceiro processo é isotérmico reversível, no qual o calor é transferido do 
fluido de trabalho ao reservatório térmico a baixa temperatura. Para esse 
processo, podemos escrever: 
5.4) Variação de entropia em processos reversíveis 
O processo final é adiabático e, portanto, de entropia constante. 
17 
O ciclo de Carnot no diagrama temperatura-entropia fica da seguinte 
forma: 
5.4) Variação de entropia em processos reversíveis 
A área abaixo da linha 1-2, a área 1-2-b-
a-1, representa o calor transferido ao 
fluido de trabalho durante o processo. 
 
A área abaixo da linha 3-4, a área 3-4-a-
b-3, representa o calor transferido do 
fluido de trabalho ao reservatório a baixa 
temperatura. 
18 
O ciclo de Carnot no diagrama temperatura-entropia fica da seguinte 
forma: 
5.4) Variação de entropia em processos reversíveis 
Como o trabalho líquido do ciclo é igual à 
transferência líquida de calor, é evidente 
que a área 1-2-3-4-1 representa o 
trabalho líquido do ciclo. O rendimento 
térmico do ciclo pode ser também 
expresso em função de áreas: 
19 
Se o ciclo for invertido, teremos um refrigerador ou uma bomba de calor. 
5.4) Variação de entropia em processos reversíveis 
20 
Consideremos os processos reversíveis de transferência de calor. Uma 
mudança de estado de líquido saturado para vapor saturado a pressão 
constante corresponderia ao processo 1-2 no diagrama T-s. A área 1-2-b-a-
1 representa o calor transferido. 
5.4) Variação de entropia em processos reversíveis 
Como esse é um processo a pressão 
constante, o calor transferido por 
unidade de massa é igual a ℎ𝑙𝑣. 
21 
Se transferirmos calor para o vapor saturado, a pressão constante, o vapor 
será superaquecido ao longo da linha 2-3. Para esse processo podemos 
escrever: 
5.4) Variação de entropia em processos reversíveis 
Como T não é constante, a expressão 
anterior não pode ser integrada, a menos 
que se conheça uma relação entre a 
temperatura e a entropia. Entretanto, 
verificamos que a área abaixo da linha 2-
3, a área 2-3-c-b-2, representa a integral 
de 𝑇𝑑𝑠
3
2
 entre os estados 2 e 3. 
Portanto essa área representa o calor 
transferido durante o processo reversível 
mencionado. 
22 
O fluido de trabalho utilizado em uma bomba de calor, que opera segundo 
um ciclo de Carnot, é o R-134a. A temperatura do fluido refrigerante no 
evaporador da bomba de calor é 0 °C e o fluido deixa o evaporador como 
vapor saturado. A temperatura do fluido refrigerante é 60 °C no 
condensador da bomba de calor e o fluido deixa o condensador como 
líquido saturado. Determine, nessas condições, a pressão de descarga do 
compressor e o coeficiente de desempenho (COP) do ciclo térmico. 
5.4) Variação de entropia em processos reversíveis 
Exercício 1 
23 
Um conjunto cilindro-pistão contém 1 litro de líquido saturado de R-410a, a 
20 °C. A posição do pistão é alterada vagarosamente até que a pressão 
interna se torne igual a 400 kPa. Admitindo que o processo de expansão 
seja isotérmico e reversível, determine o trabalho e a transferência de calor 
neste processo. 
5.4) Variação de entropia em processos reversíveis 
Exercício 2 
24 
5.5) Duas relações termodinâmicas importantes 
𝑇𝑑𝑆 = 𝑑𝑈 + 𝑃𝑑𝑉 
𝑇𝑑𝑆 = 𝑑𝐻 − 𝑉𝑑𝑃 
Equações de Gibbs 
ou 
𝑇𝑑𝑠 = 𝑑𝑢 + 𝑃𝑑𝑣 
𝑇𝑑𝑠 = 𝑑ℎ − 𝑣𝑑𝑃 
25 
5.6) Variação de entropia em um sólido ou líquido 
Para os sólidos e líquidos, o termo do volume específico é muito pequeno 
e pode ser desprezado: 
𝑇𝑑𝑠 = 𝑑𝑢 + 𝑃𝑑𝑣 Considerando C constante: 
26 
5.6) Variação de entropia em um sólido ou líquido 
Um quilograma de água líquida é aquecido de 20 °C a 90 °C. Calcule a 
variação da entropia, admitindo que o calor específico seja constante e 
igual a 4,184
𝑘𝐽
𝑘𝑔𝐾
 
Exercício 3 
27 
5.7) Variação de entropia em um gás ideal 
28 
5.7) Variação de entropia em um gás ideal 
Os casos mais simples são aqueles onde 𝐶𝑝0 e 𝐶𝑣0 são constantes, e a 
integração nos fornece: 
A segunda possibilidade, relativamente ao calor específico, é utilizar uma 
equação analítica de 𝐶𝑝0 em função da temperatura. 
29 
5.7) Variação de entropia em um gás ideal 
A terceira possibilidade é integrar os resultados dos cálculos da termodinâmica 
estatística, desde a temperatura de referência 𝑇0 até qualquer outra temperatura 
𝑇, e definir uma função 
Essa função pode ser apresentada como uma tabela em que a única 
entrada é a temperatura. A variação da entropia entre qualquer dois 
estados 1 e 2 pode, então, ser calculada do seguinte modo: 
30 
5.7) Variação de entropia em um gás ideal 
Calcule a variação de entropia específica para o ar, quando este é 
aquecido de 300 K a 600 K e a pressão diminui de 400 kPa para 300 kPa, 
admitindo: 
1. Calor específico constante; 
2. Calor específico variável. 
Exercício 4 
𝑅𝑎𝑟 = 0,287
𝑘𝐽
𝑘𝑔𝐾
 
31 
5.7) Variação de entropia em um gás ideal 
Considerando um processo isotrópico temos que: 
32 
5.7) Variação de entropia em um gás ideal 
33 
5.7) Variação de entropia em um gás ideal 
Um conjunto cilindro-pistão contém um quilograma de ar. Inicialmente, a 
pressão e a temperatura são iguais, respectivamente, a 400 kPa e 600 K. 
O ar é, então, expandido até a pressão de 150 kPa em um processo 
adiabático e reversível. Calcular o trabalho realizado pelo ar. 
Exercício 5 
34 
5.8) Processo politrópico reversível para um gás 
ideal 
Processo politrópico - 𝑃𝑉𝑛 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
35 
5.8) Processo politrópico reversível para um gás 
ideal 
36 
5.8) Processo politrópico 
reversível para um gás 
ideal 
37 
5.8) Processo politrópico reversível para um gás 
ideal 
Para um processo isotérmico reversível com um gás ideal temos que: 
Como não há variação de energia interna 
ou entalpia em processos isotérmicos, o 
calor transferido é igual ao trabalho. 
38 
5.9) Variação de entropia do sistema durante um 
processo irreversível 
Considere um sistema que 
percorra os ciclos na figura 
abaixo. 
39 
5.9) Variação de entropia do sistema durante um 
processo irreversível 
Considere um sistema que 
percorra os ciclos na figura 
abaixo. 
Nessas equações, a igualdade vale para 
um processo reversível e a desigualdade 
para um processo irreversível. 
40 
5.10) Geração de entropia e equação da entropia 
Uma das principais conclusões da seção anterior é que a variação de 
entropia em um processo irreversível é maior que aquela referente a um 
processo reversível que apresente o mesmo 𝛿𝑄 e T. Podemos reescrever 
a versão diferencial da equação anterior: 
O termo 𝛿𝑆𝑔𝑒𝑟 representa a geração de 
entropia no processo, em virtude da 
ocorrência de irreversibilidades no 
sistema. 
Essa equação mostra que o trabalho realizado no processo irreversível é 
menor que o trabalho no processo reversível, e que a diferença é 
proporcional a geração de entropia. Por esse motivo, o termo 𝑇𝛿𝑆𝑔𝑒𝑟 , é 
muitas vezes, denominado trabalho perdido. 
41 
5.10) Geração de entropia e equação da entropia 
Integrando a equação a seguir temos: 
Esta equação é o balanço de entropia para o sistema. Esta equação pode ser 
escrita na forma geral: ∆ 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑜𝑝𝑖𝑎 = 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎𝑠 − 𝑠𝑎í𝑑𝑎𝑠 + (𝑔𝑒𝑟𝑎çã𝑜) 
Como a geração de entropia não pode ser negativa, há somente um único modo 
pelo qual a entropia do sistema pode ser diminuída: Transferindo-se calor do 
sistema. 
Em um processo adiabático o aumento de 
entropia está sempre associado às 
irreversibilidades. 
42 
5.11) Princípio do aumento de entropia 
43 
5.11) Princípio do aumento de entropia 
44 
5.11) Princípio do aumento de entropia 
A entropia aumenta e, portanto, não é 
conservada. Somente se os processos 
forem reversíveis em todas as partes 
do universo é que os termos de 
geração de entropia serão nulos. Esse 
conceito é conhecido como princípio do 
aumento da entropia. 
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5.11) Princípio do aumento de entropia 
Suponha que 1 kg de vapor d’água saturado a 100 °C seja condensado, 
obtendo-se um líquido saturado a 100 °C em um processo a pressão 
constante, por meio da transferência de calor para o ar ambiente que está a 
25 °C. Qual é o aumento líquido de entropia para o conjunto sistema e 
ambiente? 
Exercício 6