5.Pirâmide, cilindro, cone e esfera

Prévia do material em texto

Pirâmides
 São Sólidos Geométricos que apresentam uma das faces sendo uma região poligonal qualquer e as demais faces são compostas por triângulos com um vértice em comum.
ALTURA DA PIRÂMIDE
Elementos da pirâmide
Em toda pirâmide regular:
O polígono da base é um polígono regular;
As arestas laterais são congruentes;
As faces laterais são triângulos isósceles congruentes;
O apótema do polígono regular da base é chamado de apótema da base;
A altura de uma face lateral 
relativa à aresta da base é 
chamada de apótema da 
pirâmide.
Em relação ao segmento que une o vértice da pirâmide ao centro da base, as pirâmides podem ser:
Pirâmide reta – quando esse segmento for perpendicular ao plano da base.
Pirâmide oblíqua – quando o segmento citado não for perpendicular ao plano da base.
Uma pirâmide reta que tem como base um polígono regular é chamada de pirâmide regular
	De acordo com o polígono da base, uma pirâmide pode ser:
Triangular – a base é um triângulo;
Quadrangular – a base é um quadrado;
Pentagonal – a base é um pentágono;
Hexagonal – a base é um hexágono; e assim por diante.
Vejamos alguns exemplos de pirâmides:
Pirâmide Triangular regular
Elementos:
 Arestas
 Faces
Vértice da pirâmide
B
C
D
 Altura (h)
A
g
m
O
h
 Apótema da pirâmide (g)
 Apótema da base (m)
Pirâmide Quadrangular
Elementos:
Arestas
Faces
Vértices
Altura
Apótemas:
A
B
C
D
E
Vértice da Pirâmide
M
Apótema da
 Pirâmide
Apótema 
da Base
O
AO2+ OM2 = AM2
Altura da pirâmide
A
B
C
D
E
F
G
M
O
Pirâmide Hexagonal Regular
Elementos:
Arestas
Base
Faces
Vértices
Vértice da Pirâmide
Vértices da Base
Apótemas
Apótema da Pirâmide:AM
Apótema da Base: OM
Altura da Pirâmide: AO
A
B
C
D
E
F
G
M
O
Pirâmide Hexagonal Regular
AM2 = AO2 + OM2
AO = Altura da Pirâmide (h)
OM = Apótema da Base (m)
 AM = Apótema da pirâmide (g)
(Altura da face)
A lateral = 6.A face
A total = A lat + A b
FÓRMULAS
OC2 = OM2 + MC2 
AC2 = MC² + AM2
Área da superfície de uma pirâmide
Área da base é a área do polígono da base.
Área lateral é a soma das áreas das faces laterais.
Área total é a soma da área lateral com a área da base.
TRONCO DE PIRÂMIDE I
a
Tronco 
De
Pirâmide
TRONCO DE PIRÂMIDE II
A
B
C
D
V
A’
B’
C’
D’
H
d
h
CÁLCULO DO VOLUME
Sendo:
AB = área da base maior
Ab = área da base menor
VT = volume do tronco
h = altura do tronco
Teremos:
AT = Apótema do tronco
AT
SEMELHANÇA DE FIGURAS GEOMÉTRICAS
A razão entre as medidas dos comprimentos de qualquer segmento da figura e sua correspondente corresponde a razão de semelhança.
A razão entre as áreas de figuras semelhantes é igual ao quadrado da razão entre comprimentos correspondentes.
A razão entre os volumes de figuras semelhantes é igual ao cubo da razão entre comprimentos correspondentes. 
ÁREAS
Temos as seguintes áreas:
a) área lateral (AL): soma das áreas dos trapézios isósceles congruentes que formam as faces laterais.
b) área total (AT): soma da área lateral com a soma das áreas da base menor (Ab) e maior (AB) AT =AL+AB+Ab
VOLUME
 O volume de um tronco de pirâmide regular é dado por:
 Sendo V o volume da pirâmide e V' o volume da pirâmide obtido pela secção é válida a relação:
EXEMPLOS
1) Uma pirâmide hexagonal tem 8 cm de altura e a aresta da base mede 3√3 cm. Vamos calcular a área total e seu volume.
g
8
3√3 
m
EXEMPLOS
2. A área da base de uma pirâmide quadrada é 36cm². Uma secção transversal feita a 3cm da base tem 9cm² de área. Vamos Calcular a altura da pirâmide.
36cm²
9cm²
3cm
H
d
EXEMPLOS
3. Um tronco de pirâmide tem como bases duas regiões quadradas de lados 5cm e 12cm. A altura do tronco é 8cm. Vamos calcular o volume desse tronco.
12cm
5cm
8cm
d
H
Cilindro
		Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos α e β, um círculo R contido em α e uma reta r que intercepta  α e β , mas não R:
    	
slide 20
 Para cada ponto C da região R, vamos considerar o segmento  , paralelo à reta r:
    	
slide 21
		 Assim, temos:
	 Chamamos de cilindro, ou cilindro circular, o conjunto de todos os segmentos   congruentes e paralelos a r.
    	
Elementos do cilindro
Bases: os círculos de centro 
O e O' e raios r;
Altura: a distância h 
entre os planos  α e β; 
Geratriz: qualquer 
Segmento de 
extremidades nos pontos 
das circunferências das bases 
(por exemplo,  ) e paralelo à reta r.
   	
slide 22
Classificação do cilindro
circular oblíquo: quando as geratrizes são oblíquas às bases;
circular reto: quando as geratrizes são perpendiculares às bases.
   	
slide 23
		O cilindro circular reto é também chamado de cilindro de revolução, por ser gerado pela rotação completa de um retângulo por um de seus lados. Assim, a rotação do retângulo ABCD pelo lado  gera o cilindro a seguir:
		A reta    contém os centros das bases e é o eixo do cilindro.
    	
slide 24
Secção
Secção transversal é a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano paralelo às bases. Todas as secções transversais são congruentes.
    	
slide 25
Secção meridiana é a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano que contém o eixo.
    	
slide 26
Áreas
a) área lateral (AL)
     Podemos observar a área lateral de um cilindro fazendo a sua planificação: 
    	
slide 27
b) área da base (AB):
c) área total (AT): soma da área lateral com as áreas das bases.
    	
slide 28
Volume
 Dados dois sólidos com mesma altura e um plano α, se todo plano β, paralelo ao plano α, intercepta os sólidos e determina secções de mesma área, os sólidos têm volumes iguais:
      
	
	
    	
slide 29
Vcilindro = ABh
Cilindro eqüilátero
     Todo cilindro cuja secção meridiana é um quadrado (altura igual ao diâmetro da base) é chamado cilindro eqüilátero.
 
slide 30
Exemplos:
1) A figura indica o tambor cilíndrico de um aquecedor solar com capacidade de 1570 litros.
	Sabendo que 1000 litros de água ocupam um volume de 1 m³ e adotado π = 3,14, determine a medida do raio r do cilindro.
slide 31
2) Um tanque subterrâneo, que tem o formato de um cilindro circular reto na posição vertical, está completamente cheio com 30 m³ de água e 42 m³ de petróleo. Considerando que a altura do tanque é de 12 metros, calcule a altura da camada de petróleo.
slide 32
3) (FATEC) Sabe-se que um cilindro de revolução de raio igual a 10 cm, quando cortado por um plano paralelo ao eixo, a uma distância de 6 cm desse eixo, apresenta uma secção retangular de área equivalente à base. O volume desse cilindro, em centímetros cúbicos, é:
a) 1250π b) 1250 π² 
c) 625 π² d) 625 π
e) 625 π² 
slide 33
4) O volume de um cilindro equilátero vale 54πcm³. Determine o raio da base e a área total desse cilindro.
5) A secção meridiana de um cilindro equilátero tem perímetro igual a 16cm. Determine a área lateral, a área total e o volume do cilindro.
slide 34
Cone circular
		Dado um círculo C, contido num plano α, e um ponto V (vértice) fora de α, chamamos de cone circular o conjunto de todos os segmentos  .
    	
slide 35
  Elementos do cone circular
Altura: distância h do vértice V ao plano α;
Geratriz(g): segmento com uma extremidade no ponto V e outra em um ponto da circunferência;    	
Raio da base: raio R do círculo;
Eixo de rotação: reta  
determinada pelo centro 
do círculo e pelo vértice 
do cone.
slide 36
  Secção meridiana
  A secção determinada em um cone de revolução por um plano que contém o eixo de rotação échamada secção meridiana.
slide 37
  Se o triângulo AVB for eqüilátero, o cone também será eqüilátero:
slide 38
Áreas
  		Desenvolvendo a superfície lateral de um cone circular reto, obtemos um setor circular de raio g e comprimento 
l = 2 π r:
   	
slide 39
		Assim, 
a) área lateral 
(AL): área do 
setor circular
b) área da base (AB): área do circulo do raio R:
c) área total (AT): soma da área lateral com a área da base
		
    	
slide 40
Volume
      Assim como na pirâmide, o volume do cone é dado em função da área de sua base e da altura h. Podemos pensar no cone como sendo uma pirâmide com uma das faces arredondadas. Logo, seu volume pode ser obtido fazendo:
		Como a base do cone é uma circunferência de raio r, temos que:
    	
slide 41
		
		
Onde:
r → é a medida do raio da base;
h → é a altura do cone;
V → é o volume do cone.
		
    	
slide 42
Exemplos:
1) Um cone é gerado pela rotação completa de um triângulo retângulo, de catetos medindo 15cm e 8cm, em torno do cateto maior. Calcule a área total e volume desse cone.
slide 43
2) Deseja-se construir um cone reto com 4cm de raio na base e 3cm de altura. Para isso, recorta-se, em cartolina, um setor circular para a superfície lateral e um círculo para a base. Qual é a medida do ângulo central do setor circular?
slide 44
Esfera
 Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao centro é menor ou igual ao raio R.
    
    	
slide 45
     Considerando a rotação completa de um semicírculo em torno de um eixo e, a esfera é o sólido gerado por essa rotação. Assim, ela é limitada por uma superfície esférica e formada por todos os pontos pertencentes a essa superfície e ao seu interior.
    	
slide 46
Volume
   		O volume da esfera de raio R  é dado por:
slide 47
Superfície esférica
   		A superfície esférica de centro O e raio R é o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao ponto O é igual ao raio R. 
slide 48
Superfície esférica
   	Se considerarmos a rotação completa de uma semicircunferência em torno de seu diâmetro obteremos a superfície esférica.
slide 49
		 A área da superfície esférica é dada por:
slide 50
Exemplos:
1) Uma esfera tem raio 15 cm, conforme a Figura. Calcule:
a) Seu volume. 
b) Sua área. 
c) A área da secção feita a 9 cm do centro.
slide 51
2) Calcule o volume da esfera inscrita num cubo cuja área total é 216 cm². 
slide 52
slide 53