TeoriaEstrut1_20091_aula09 [Modo de Compatibilidade]

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Universidade Federal de AlagoasUniversidade Federal de Alagoas
Centro de Tecnologia
C d E h i Ci ilCurso de Engenharia Civil
Teoria das Estruturas ITeoria das Estruturas I
Aula Aula 0909
ProfProf FlávioFlávio BarbozaBarboza de Limade LimaProf. Prof. FlávioFlávio BarbozaBarboza de Limade Lima
Aula 08Aula 08
‰‰ Equação Diferencial Equação Diferencial dos Esforços dos Esforços Solicitantes.Solicitantes.
‰‰ Representação Gráfica dos Esforços internos.Representação Gráfica dos Esforços internos.
Aula 08Aula 08
INTRODUÇÃOINTRODUÇÃOÇÇ
ComoComo vimosvimos osos esforçosesforços internosinternos solicitantessolicitantes estãoestãoçç
relacionadosrelacionados aa umauma determinadadeterminada seçãoseção transversaltransversal..
Portanto,Portanto, éé convenienteconveniente expressarexpressar aa variaçãovariação dada
grandezagrandeza dosdos esforçosesforços graficamentegraficamente aoao longolongo dodo eixoeixo
dasdas estruturasestruturas.. ParaPara tantotanto podemospodemos relacionárelacioná--loslos
atravésatravés dede equaçõesequações diferenciaisdiferenciais..
EquaçõesEquações diferenciaisdiferenciais dos EISdos EIS
p
Considere uma Considere uma 
porção infinitesimalporção infinitesimal
Q Q +(dQ/dx) x dx
Fy=∑ 0 dx
dQ = -p(x)
dx
pdxdQdxdxdQQdxpQ −=∴=−−− /0)./(.
EquaçõesEquações diferenciaisdiferenciais dos EISdos EIS
Mx Mx +d(Mx/dx) . dx
Q Q +(dQ/dx) x dx
dx
dxQMxdxdxpdxdxdMxMx
M
=−−++
=∑
0.)2/.(.)./(
0
QdxdMx −=∴ /
d2Mx = - p(x)
d 2
dMx = -Q(x)
dx2dx
EquaçõesEquações diferenciaisdiferenciais dos EISdos EIS
Relações entre carga, força cortante Relações entre carga, força cortante 
e momentoe momento fletorfletor
d2Mx = - p(x)dQ = p(x)
e momento e momento fletorfletor
x p( )
dx2
dQ = -p(x)
dx
dMx = -Q(x)
dx
Representação gráfica dos Esforços InternosRepresentação gráfica dos Esforços Internos
Diagramas de estado Diagramas de estado 
RepresentaçãoRepresentação gráficagráfica queque utilizautiliza oo eixoeixo dada
estruturaestrutura comocomo eixoeixo dasdas abscissasabscissas ee asas
ordenadasordenadas representamrepresentam aa grandezagrandeza dodo
esforçoesforço solicitantesolicitante..
Representação gráfica dos Esforços InternosRepresentação gráfica dos Esforços Internos
TiposTipos
Diagrama 
de Esforços 
NormaisNormais
Diagrama 
de Esforços 
CCortantes
Diagrama 
de Momentode Momento 
Fletor
Representação gráfica dos Esforços InternosRepresentação gráfica dos Esforços Internos
Importância dos diagramasImportância dos diagramas
•• VistoVisto queque oo cálculocálculo dede QQ ee MM éé fundamentalfundamental parapara oo
projetoprojeto dede vigasvigas devedeve--sese estudarestudar oo comportamentocomportamento
dessasdessas variáveisvariáveis aoao longolongo dada vigaviga..
•• EstasEstas seçõesseções devemdevem serser estudadasestudadas emem regiõesregiões
d t i dd t i d ll i ti t té ité i dddeterminadasdeterminadas pelopelo surgimentosurgimento ouou términotérmino dede umum
novonovo carregamentocarregamento (força(força concentrada,concentrada, cargacarga
distribuídadistribuída ouou momentomomento binário)binário)distribuídadistribuída ouou momentomomento binário)binário)..
Representação gráfica dos Esforços InternosRepresentação gráfica dos Esforços Internos
Estruturas com 
exigência de 
esforços cortante eesforços cortante e 
momento fletor.
Representação gráfica dos Esforços InternosRepresentação gráfica dos Esforços Internos
Importância dos diagramasImportância dos diagramas
ƒƒ OO estudoestudo éé feitofeito realizandorealizando cortescortes parapara
distânciasdistâncias arbitráriasarbitrárias emem todatoda aa extensãoextensão dada
vigaviga..
ƒƒ OsOs diagramasdiagramas dede esforçosesforços internosinternos facilitamfacilitam aa
i li ãi li ã dd i t id di t id dvisualizaçãovisualização dada intensidadeintensidade..
Representação gráfica dos Esforços InternosRepresentação gráfica dos Esforços Internos
Observe como os diagramas facilitam a visualização dos 
esforços internos. 
OBSOBS:: ParaPara essaessa vigaviga necessitamosnecessitamos dede pelopeloOBSOBS:.:. ParaPara essaessa vigaviga necessitamosnecessitamos dede pelopelo
menosmenos cincocinco seçõesseções ee cadacada seçãoseção comcom trêstrês
equaçõesequações..
Representação gráfica dos Esforços InternosRepresentação gráfica dos Esforços Internos
C éC éCom os diagramas a representação é Com os diagramas a representação é 
simplificada pelos traçados mostrados abaixosimplificada pelos traçados mostrados abaixo
Diagrama N
Diagrama Q
Diagrama M
Representação gráfica dos Esforços InternosRepresentação gráfica dos Esforços Internos
ConvençõesConvenções de sinais para os diagramasde sinais para os diagramasConvençõesConvenções de sinais para os diagramasde sinais para os diagramas
+ DEN+ DEN
-
+
++ DEC+
--
+ DMF-
+
Representação gráfica dos Esforços InternosRepresentação gráfica dos Esforços Internos
ConvençõesConvenções de sinais para os diagramasde sinais para os diagramasConvençõesConvenções de sinais para os diagramasde sinais para os diagramas
+ DMF- ConvençãoConvençãoDMF-
+
çç
adotadaadotada parapara
acompanharacompanhar oo
gráficográfico dadagráficográfico dada
vigaviga emem flexãoflexão
purapura..FLEXÃO PURAFLEXÃO PURAFLEXÃO PURAFLEXÃO PURA
Representação gráfica dos Esforços InternosRepresentação gráfica dos Esforços Internos
Como traçar os diagramas?Como traçar os diagramas?
Traçado através de expressões analíticas dos Traçado através de expressões analíticas dos ç pç p
esforçosesforços
Traçado diretoTraçado direto
Representação gráfica dos Esforços InternosRepresentação gráfica dos Esforços Internos
Traçado através de expressões analíticas Traçado através de expressões analíticas 
dos esforçosdos esforçosçç
Cálculo dos 
esforços em
Traçar os 
diagramas 
pelos pontos e 
õ
Deduzir as 
equações de
esforços em 
pontos 
estratégicos 
para cada 
ã
equações
Cálculo das 
õ
equações de 
cada seção
seção
reações 
Representação gráfica dos Esforços InternosRepresentação gráfica dos Esforços Internos
EX:EX:
Representação gráfica dos Esforços InternosRepresentação gráfica dos Esforços Internos
Mx = 600EX:EX:
Mx = 600-1000
Mx = 600.x – 1000.(2,5-x)
Mx = 600.x
Representação gráfica dos Esforços InternosRepresentação gráfica dos Esforços Internos
Traçado diretoTraçado direto
Mentalizar os 
cortes nas
Traçar os 
diagramas, 
seção por 
seção
Observar as 
leis que regem
cortes nas 
seções de 
interesse
seção
Cálculo das 
reações
leis que regem 
a distribuição 
dos esforços
reações 
Representação gráfica dos Esforços InternosRepresentação gráfica dos Esforços Internos
EX:EX:
Representação gráfica dos Esforços InternosRepresentação gráfica dos Esforços Internos
EX:EX:
Mentalmente 
sãosão 
calculados 
pontos do 
diagrama
Representação gráfica dos Esforços InternosRepresentação gráfica dos Esforços Internos
Características dos carregamentosCaracterísticas dos carregamentos
Viga Viga BiBi--apoiadaapoiada com carga aplicadacom carga aplicadagg pp g pg p
P
DMF [kN.m]
ba
+
P.b
L
DEC [kN] P.a.b
L
+
L
x [m]-
+
- P.a
L
-
Representação gráfica dos Esforços InternosRepresentação gráfica dos Esforços Internos
Viga Viga BiBi--apoiadaapoiada com carga distribuídacom carga distribuída
L
q
+
DEC [kN]
q.L
2
DMF [kN m]
x [m]-
+
L/2 3.L/4L/4
DMF [kN.m]
-q.L
2
q.L2
8
q.L2
32
9.q.L2
32
Representação gráfica dos Esforços InternosRepresentação gráfica dos Esforços Internos
Para uma viga qualquerPara uma viga qualquer
QuandoQuando temostemos umauma cargacargaouou momentomomento aplicadoaplicado eleele éé
representadorepresentado porpor umauma descontinuidadedescontinuidade nono respectivorespectivo
diagramadiagrama..
AsAs equaçõesequações diferenciaisdiferenciais sãosão válidasválidas ee importantesimportantes
nono desenhodesenho dosdos diagramasdiagramas dosdos esforçosesforços internosinternosnono desenhodesenho dosdos diagramasdiagramas dosdos esforçosesforços internosinternos
Representação gráfica dos Esforços InternosRepresentação gráfica dos Esforços Internos
Fluxograma para resolução de problemasFluxograma para resolução de problemas
Cálculo 
das 
õ
Cálculo
reações
Traçado dos
Cálculo 
dos 
EIS
Traçado dos 
esforços 
internos
DEISDEIS-- ExemplosExemplos
Exemplo 1 Exemplo 1 –– Viga biViga bi--apoiada com carga concentradaapoiada com carga concentrada
80kN 80kN
S1 S2
3m3m RVBRVA
BA
S1 HA
x
y
+ kNRxRxxR
M
VBVAVB
A
40006036
0
=∴=+−
=∑
0=∑Fx
kNRxRxxR
M
VAVBVA
B
40008036
0
=∴=++−
=∑ 0=∴
∑
HA
BA
80kN
Diagrama de Diagrama de 
corpo livrecorpo livre
40kN40kN
pp
DEISDEIS-- ExemplosExemplos
Cálculo dos esforços solicitantesCálculo dos esforços solicitantes 80kN
S1 S2
3m3m
S1: 0 ≤ x < 3
M
N
Q
M
Q
N (x) = -HA N (x)=0
Q (x) = VRA V(x) =40 KN
S2: 3 ≤ x < 6
M
N
Q (x) VRA V(x) 40 KN
M(x)= VRA x X M(x) = 40.X
N (x) =0 N (x)=0
Q (x) = -VRB Q(x) =-40 KN
M(x)= VRB x (L-X) M(x) = 40.(L-X)
DEISDEIS-- ExemplosExemplos
Diagrama dos Esforços Internos SolicitantesDiagrama dos Esforços Internos Solicitantes
DEN [kN]
x [m]
40
DEC [kN]
40
x [m]DMF [kN m]
+
-40
[ ]DMF [kN.m] -
120
+
DEISDEIS-- ExemplosExemplos
Exemplo 2 Exemplo 2 –– Viga biViga bi--apoiada com carga uniformemente distribuídaapoiada com carga uniformemente distribuída
3kN/m R=3x6=18kN
S1 A
6m
3m 3m RVBRVA
B
S1 HA
x
y
+ kNRxxR
M
VBVB
A
901836
0
=∴=−
=∑
0=∑Fx
kNRxxR
M
VAVA
B
901836
0
=∴=+−
=∑ 0=∴
∑
HA
Diagrama de Diagrama de 
corpo livrecorpo livre
3kN/m
BApp
9kN9kN
DEISDEIS-- ExemplosExemplos
Cálculo dos esforços solicitantesCálculo dos esforços solicitantes 18kN
S1
S1: 0 ≤ x < 3
M
N
Q
3m3m
N
N (x) = -HA N (x)=0
Q (x) = VRA - 3.X V(x) =9 -3.XQ (x) VRA 3.X V(x) 9 3.X
M(x)= VRA x X - (3.X²)/2 M(x) = 9.X - (3.X²)/2
DEISDEIS-- ExemplosExemplos
Diagrama dos Esforços Internos SolicitantesDiagrama dos Esforços Internos Solicitantes
DEN [kN]
x [m]
+
9
DEC [kN]
DMF [kN m]
x [m]-
+
DMF [kN.m]
-9
13,5
+
DEISDEIS-- ExemplosExemplos
30kN.m
Exemplo 3 Exemplo 3 –– Viga Viga bibi--apoiadaapoiada com carga momento concentradacom carga momento concentrada
S1 S2
30kN.m 30kN.m
3m3m RVA
BA
S1 HA
30kN
x
y
+ kNRxR
M
VBVB
A
50306
0
=∴=−
=∑
0=∑Fx30kN.m
kNRR
MB
50306
0
+
=∑
0=∴
∑
HA
kNRxR VAVA 50306 −=∴=+−
Diagrama de Diagrama de 
corpo livrecorpo livre
30kN.m
A Bpp
5kN
5kN
DEISDEIS-- ExemplosExemplos
Cálculo dos esforços solicitantesCálculo dos esforços solicitantes
S1 S230kN.m
3m3m
S1: 0 ≤ x < 3
M
N
Q
M
Q
N (x) = -HA N (x)=0
Q (x) = -VRA V(x) =-5 KN
S2: 3 ≤ x < 6
M
N
Q (x) VRA V(x) 5 KN
M(x)= -VRA x X M(x) = -5.X
N (x) =0 N (x)=0
Q (x) = VRB V(x) = -5 KN
M(x)= VRB x (L- X) M(x) = 5. (L- X) 
DEISDEIS-- ExemplosExemplos
Diagrama dos Esforços Internos SolicitantesDiagrama dos Esforços Internos Solicitantes
DEN [kN]
x [m]
DEC [kN]
x [m]-
15
DMF [KN]
-5
-15
x [m]
+
15
x [m]-
DEISDEIS-- ExemplosExemplos
MA
Exemplo 4 Exemplo 4 –– Viga engastada ou em balanço com carga concentradaViga engastada ou em balanço com carga concentrada
40kN 40kN
A B
A
RVA
4m
HA
x
y
+ kNRR
Y
VAVA 40040
0
=∴=−
=∑
0
0=∑
HA
Fx
mkNMMx
M
AA
A
.1600404
0
=∴=+−
=∑ 0=∴HA
Diagrama de Diagrama de 
corpo livrecorpo livre A B
160kN.m
40kN
pp
40kN
DEISDEIS-- ExemplosExemplos
Cálculo dos esforços solicitantesCálculo dos esforços solicitantes 40kN
4
S1
S1: 0 ≤ x < 3
M
N
Q
4m
N
N (x) = -HA N (x)=0
Q (x) = VRA V(x) =40Q ( ) ( ) 0
M(x)= VRA x X - MA M(x) = 40.X - 160
DEISDEIS-- ExemplosExemplos
Diagrama dos Esforços Internos SolicitantesDiagrama dos Esforços Internos Solicitantes
DEN [KN]
x [m]
40
DEC [kN]
160 DMF [kN.m]
40
x [m]
+
-160 [ ]
-
RevisãoRevisão --ExemplosExemplos
MA
Exemplo 5 Exemplo 5 –– Viga engastada ou em balanço com carga distribuída uniformeViga engastada ou em balanço com carga distribuída uniforme
R=5x4=20kN
5kN/m
HA
RVA 2m
A B
A
4m
HA
x
y
+ kNRR
Y
VAVA 20020
0
=∴=−
=∑
0=∑Fx
mkNMMx
M
AA
A
.400220
0
=∴=+−
=∑ 0=∴HA
BA
40kN.m
Diagrama de Diagrama de 
corpo livrecorpo livre
5kN/m
BA
20kN
pp
RevisãoRevisão --ExemplosExemplos
Cálculo dos esforços solicitantesCálculo dos esforços solicitantes
S1
5kN/m
S1: 0 ≤ x < 4
M
N
Q
4m
N
N (x) = -HA N (x)=0
Q (x) = VRA -5.X V(x) =20 -5.XQ ( ) 5 ( ) 0 5
M(x)= VRA x X - MA- 5.(X2)/2 M(x) = 20.X - 40- 5.(X2)/2
DEISDEIS-- ExemplosExemplos
Diagrama dos Esforços Internos SolicitantesDiagrama dos Esforços Internos Solicitantes
DEN [kN]
x [m]
20
DEC [kN]
x [m]
+DMF [kN.m]
-4040
-