ATPS de matemáticaAPLICADA

Prévia do material em texto

1
3
2º SEMESTRE
ATIVIDADES PRÁTICAS SUPERVISONADAS
Matemática Aplicada – 2° SEMESTRE
Apresentação: 
Trabalho apresentado com o objetivo de aperfeiçoar o conhecimento em relação à Matemática Aplicada a Administração, economia e Contabilidade, curso de Administração de empresas da Faculdade Anhanguera de Jacareí. 
Orientador: Professor Modesto 
Jacareí, 03 de junho de 2014.
SUMÁRIO
1. Lista de Figuras .................................................................................................pág. 04
2. Introdução ......................................................................................................... pág. 05
3. Etapa 1 – Aula tema: Conceito de Derivada ................................................ pág. 06
3.1 Passo 1 - Pesquisa Conceito de Derivada ............................................ pág. 06
3.2 Passo 2 - Derivação da Função F( x ) = 7x. ......................................... pág. 08
3.3 Passo 3 - Aplicação da Taxa de Variação ............................................ pág. 08 
4. Etapa 2 - Técnica de Derivação...................................................................... pág. 09 
4.1 Passo 1 - Pesquisa “ Técnica de Derivação”........................................ pág. 09
4.2 Passo 2 - Calcular a derivada f’(x) = 3x² + 5x – 12. ............................ pág. 09
4.3 Passo 3 - Questão ................................................................................ pág. 10
 4.4 Passo 4 - Reta tangente à curva C(q) = q² - 6q + 8 no ponto q= 1....... pág. 10 
5. Etapa 3– Aula tema: Aplicação das derivadas no estudo das funções ........ pág. 11
5.1 Passo 1 - Pesquisa Aplicação das derivadas .........................................pág.12
 5.2 Passo 2 - Função demanda e função custo ...................................... pág. 14
 5.3 Passo 3 – Equação de demanda ...................................................... pág. 15 
 5.4 Passo 4 – Equação de 1º grau .......................................................... pág. 16
6. Etapa 4 - Aula tema: Aplicações das derivadas nas áreas econômicas e administrativas ..................................................................................................... pág. 18
 6.1 Passo 1- Intervalos da função ... ...................................................... pág. 18
 6.2 Passo 2 - Receita R = -2x² + 100x ................................................... pág. 19
 6.3 Passo 3 - Taxa de Variação ............................................................... pág. 20
 6.4 Passo 4 - . Função quadrática y = x² - mx + (m – 1) ........................ pág. 20
7. Referências ....................................................................................................... pág. 21
Lista de Figuras 
Figura 1- Taxa de variação média como inclinação da reta secante xy ................ pág.09
Figura 1.1 - Reta tangente ....................................................................................... pág.11
Figura 1.2 - Função de Custo ................................................................................. pág. 14
Figura 1.3 - Função de Demanda ........................................................................... pág. 15
Figura 1.4 - Equação de demanda........................................................................... pág.16
Figura 1.5 - Demanda de vendas........................................................................... pág. 17
Figura 1.6 - Intervalo da função.............................................................................. pág. 18
Figura 1.7 - Receita................................................................................................. pág. 19 
INTRODUÇÃO
Matemática aplicada a Administração, Economia e Contabilidade, trabalho realizado em base dos conceitos administrativos para demonstrar como as empresas seus administradores, empresários, gerentes e lideres, podem usufruir dessas ferramentas administrativas no cotidiano, como é importante em nível global, suas características, objetivos e seus resultados. A compreensão da “Matéria Matemática Aplicada” se faz através de um leque de características e itens altamente fundamentais tais como: lucro Máximo e mínimo, custo de produção, gastos administrativos, esses são apenas alguns itens de suma importância que a Administração aborda, por essa razão, os criadores deste trabalho, buscaram pesquisar matérias sobre o tema, usando a internet como a fonte de pesquisa, utilizando sites sugeridos pelo próprio escopo do ATPS e enfatizando conceitos utilizados em sala de aula, juntamente com as bibliografias complementares como, Matemática Aplicada a administração, economia e contabilidade 2012– Afrânio Carlos Murolo e Giácomo Bonetto, pesquisando também alguns dados pela internet.
Foram os seguintes passos: 1-coleta de material, 2-estudo individual, 3- discussão sobre a matéria abordada, 4 - junção de ideias e aprendizado, 5-conclusão e montagem do trabalho.
Etapa 1 – Aula tema: Conceito de Derivada.
3.1 Passo 1 – Pesquisa Conceito de Derivada
Elaborado por Fabricia:
A derivada é a inclinação do gráfico de uma dada função, para um dado valor de x. Também pode ser interpretada como o quanto y varia em função de x. No caso da reta, a inclinação não varia em função de x, pois é constante por todo o gráfico (em retas, a derivada é constante e corresponde ao coeficiente angular). Em funções que não são retas, a derivada depende do valor de x. É só pensar, por exemplo, numa função como uma parábola, a famosa função de segundo grau, do Ensino Médio. A inclinação do gráfico dessa função não é a mesma para todos os valores de x. Assim funciona com uma função trigonométrica, como a função seno, por exemplo. (http://sociedaderacionalista.org/2013/07/12/calculo-a-definicao-da-derivada-a-explicacao-intuitiva-e-algumas-aplicacoes/)
Elaborado por Gislaine:
Derivada significa a taxa de variação de determinada função eu um determinado ponto. Não disse nada? Também acho que não! 
Tentando imaginar uma situação real. Ao subir um morro, a pé, durante o percurso não encontraremos sempre a mesma inclinação - a rampa não será constante. Podemos dizer que para cada passo dado nesta subida, há um grau de dificuldade. O mesmo vale para a descida desta montanha. 
Pois bem. A derivada(D) pode ser representada pelo grau de dificuldade para cada passo dado na subida ou na descida da montanha ou pela razão de quanto se desceu ou subiu - altura (dy) - pelo quanto se avançou horizontalmente (dx). D = dx/dy. 
O "d" de dx e dy significa pequeno avanço de x e pequeno avanço de y . (http://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada.) 
Elaborado por Luana:
Derivada de uma função é todo declive, ou seja, variável que uma reta sofre no gráfico. Derivada é a inclinação da tangente, é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto x0.Vamos então definir exatamente pra que serve uma derivada, ela serve para encontrarmos o máximo e o mínimo das funções, qual o ponto limite que podemos chegar, além de encontrarmos taxa de variação de funções, crescimento e decrescimento e etc...
Para analisar uma derivada, precisamos primeiro pensar no que ela é...e ela significa ‘taxa de variação’. Digamos que temos uma curva de função F e dois pontos, um ponto x0 e um ponto x1, então temos f (x0) e f (x1), quero saber a taxa de variação de um ponto em relação ao outro, vamos então traçar uma reta que ligue esses dois pontos(essa reta que une esses dois pontos se chama secante), para sabermos a taxa de variação será necessário calcular o coeficiente angular dessa reta (x1 – x0) e f (x1) f (x0).
Para calcular o coeficiente angular usamos:
 a = f (x0) - f (x1)
 x1 – x0
Logo podemos achar a reta tangente, derivada em x0.
Em outras palavras, é de ondesurge a função e até onde ele poderá ir.
(https://www.youtube.com/watch?v=CQxb5ZXeY3E e http://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada).
Elaborado por Sheila :
A derivada é o coeficiente angular da reta tangente à função. Se você tem uma curva definida pela função F(x) e traçar uma reta que tangencie esta curva no ponto definido pelo par ordenado (xo,y=F(xo)) (toque apenas um ponto da curva), o coeficiente angular desta reta será F´(xo). 
A equação da reta é y = mx + h, onde m é o tal coeficiente angular, que é a tangente do ângulo que a reta faz com o eixo OX, se este angulo for, sei lá, alfa , então m = tg(alfa). 
É neste ponto que chegamos numa das maiores aplicações da derivada, encontrar máximos e mínimos de funções. Se este coeficiente angular for zero então alfa =0, pois tg(0)=0, significa que a reta à qual ele pertence é paralela ao eixo OX. Se esta reta é a reta tangente à curva, então este ponto da curva é o maior ou menor valor que a função pode atingir. 
Então, se você fizer F´(x) = 0, resolver esta equação e encontrar o valor de x que zera F´(x), então você encontrou o valor de x que faz com que F(x) seja máxima ou mínima. 
Existem outras diversas aplicações para derivadas, como encontrar taxas de variação de função, crescimento/decrescimento.
3.2 Passo 2 - Derivação da Função F( x ) = 7x.
 Derivada, f (x) = 7x: 
Definição ; Função afim 
Considerando a função f(x) = a + b, sendo a e b reais e a ≠ 0, temos f(x) = ax+b, assim f’ (x) = a, de acordo com a derivação f (x) = 7x, desenvolve- se da seguinte maneira:
 Para o desenvolvimento estipula-se então f’ como a primeira variável da função, onde se pode obter mais variáveis, f’’, f’’’,f’’’’’....
No desenvolvimento varia- se apenas o termo com a variável nesse caso o x e dessa forma não se varia o termo independente , que nesse caso não há., desenvolve –se dessa maneira como o 7x é o termo variável e todo numero com expoente não estipulado , presume –se então que seja 1 , dessa maneira 7x, o x está elevado a 1.
Multiplica se oexpoente1 do x por 7 resultante em 7. Neutralizando o x , então temos 
f’(x) = 7. Resultante da derivação f (x) = 7
3.3 Passo3 - Aplicação da Taxa de Variação
Determinara taxa de variação média de um certo intervalo da produção de latinhas de alumínio em toneladas, em uma linha de produção da empresa MS Latinhas LTDA, intervalo das 03:00 até as 04:00 e das 05:00 até as 60:00.
Resolução: intervalo =h/ b- a = h / b= h + a 
Taxa de variação média = 3≤ x ≤4
Aplica- se a mesma formula para se obter o resultado para o horário da 05:00 até as 6:00, dessa maneira temos:
Etapa2 – Aula tema: Técnicas de Derivação.
4.1 Passo 1 – Pesquisa “ Técnica de Derivação”
Elaborado por Fabricia:
Técnicas de Derivação, um procedimento que permite encontrar de maneira prática as funções derivadas, onde dada a função, muitas vezes, o processo de determinação da função deriva é trabalhoso sendo assim, podemos aplicar as técnicas de derivação para se obter a derivada, simplificando a equação para melhor entendimento e resolução da mesma de maneira rápida e simples, chegando ao uma equação que se faça mais sentido, em relação a equação inicial estipulada, por muitas das vezes ser um pouco mais complicada e trabalhosa de ser resolver ou mesmo por um não entendimento da questão imposta pela equação.¹
4.2 Passo 2– Calcular a derivada f’(x) = 3x² + 5x – 12.
Calcular a derivada f(x) = 3x² + 5x – 12, temos:
f(x) = 3x² + 5x – 12 = 0
f’’(x) = 3x² + 5x – 12 = 0
f’’(x) = 9x¹ ² + 5x¹. ¹
f ’(x) = 9x + 5.
4.3 Passo 3 – Questão
Escolher a alternativa correta entre as afirmações abaixo:
A taxa de variação média é a inclinação da reta tangente .
A taxa de variação média é a inclinação da reta concorrente.
A taxa de variação média é a inclinação da reta externa. 
A taxa de variação média é a inclinação da reta secante.
N.D.A
Resposta correta, letra d , onde a taxa de variação média é a reta secante, por que é o período onde a representa a inclinação da reta secante passando pelos dois pontos x e y na curva que o gráfico faz, dessa forma por exemplo pode – se nesse período do gráfico entre esses dois pontos tirar um média, um valor especifico, um dado para se obter um estudo mais detalhado da situação que lhe for apresentado , que o gráfico representar
 
 
Reta Secante
 xy 
 b	x
 a	y								
 p q 
Figura 1- Taxa de variação média como inclinação da reta secante xy.
4.4 Passo 4 – Reta tangente à curva C(q) = q² - 6q + 8 no ponto q= 1. 
C(q) = q² - 6q +8 --- ponto q = 1
f(x) = x² - 6x + 8 --- ponto x = 1
f (1) = 1² - 6.1 + 8
f(1) = 1 – 6 + 8 = 3 = f(x)
 f(x) 
 ∆ = b² - 4.a.c
 ∆ = 36 – 4.1.8 = 4
Xv =
Xv = = x’= 4 e x’’= 2
Yv = 
f(x) = x² - 6x + 8 
x = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6
y = 8 , 3 , 0 , -1 , 0 , 3 , 8 
 Xv = 3
Eixo de simetria
Figura 1.1 Reta tangente.
Etapa 3 – Aula tema: Aplicação das derivadas no estudo das funções.
5.1 Passo 1- Pesquisa Aplicação das derivadas 
Elaborado por Fabricia:
Aplicações das derivadas nos estudo da função
Aas derivadas são úteis para determinar intervalos de crescimento, de queda e de pontos de inflexão de uma função, ou seja , ao se aplicar a derivada em um situação problema do dia- a –dia, podemos saber quando teremos o lucro máximo, mínimo, o quanto devo trabalhar uma máquina, quantas horas, o preço do produto por exemplo, sabemos que a derivada em um ponto dá a taxa de variação da função no ponto, assim como a inclinação da reta tangente no ponto, é importante que utilizarmos para a análise das funções e construções de seus gráficos relaciona o sinal da derivada de uma função e o comportamento de tal função no ponto. Através das aplicações das derivadas , o temos valores máximos e mínimos, máximos e mínimos locais e globais, crescimento e decrescimento da função, podemos conhecer também os pontos críticos, taxa de crescimento e decrescimento, ponto de inflexão, todos esses tópicos tem como a mesmo função de expressar graficamente um certo dado afim de facilitar seu entendimento. ¹ 
Elaborado por Gislaine:
Aplicações das derivadas nos estudo da função:
De um ponto de vista geométrico o conceito de derivada está relacionado com o de tangência. A noção de tangência é importante na vida diária,todos desenvolvemos uma considerável intuição a respeito. Ao nos apossarmos do conceito de derivada estaremos em condições de dar maior precisão a esse nosso entendimento informal. 
Do ponto de vista da Dinâmica, a velocidade escalar (instantânea) é uma derivada. A aceleração também é. Nestes dois últimos casos vê-se a derivada como taxa de variação. Isto é, a medida da evolução de uma grandeza quando outra, da qual ela depende, varia. A velocidade, por exemplo, é a taxa de variação do espaço com relação ao tempo. 
O limite de [f(x + i) - f(x)] / i quando i se aproxima de 0. A forma da função que serve como o limite da razão [f(x + i) - f(x)] / i dependerá da forma da função proposta y = f(x). Para indicar sua dependência, dá-se à função o nome de função derivada.
Elaborado por Luana:
Aplicações das derivadas nos estudo da função:
Existem inúmeros tipos de derivadas: derivadas notáveis,parciais,fracionárias e etc...o conceito do estudo de uma derivada abrange a tangencia de um certo ponto em relação ao outro, o ângulo formado...a taxa de variação instantânea em relação a função.Para encontrarmos os valores de máximo ou mínimo, primeiramente devemos encontrar a função que nos leva à solução do problema, calcular sua derivada, obtendo uma função dependendo somente de uma variável.A derivada de uma função y = f(x) pode ser indicada pelos símbolos y ', f ' (x) ou d y/dx.Temos muitoo que extrair das derivadas, elas nos fornecem vários artifícios para manipular os números em uma função, possibilitando diversas maneiras de extrair informações,podem ser usadas para determinar a taxa de variação de alguma coisa devido a mudanças sofridas em uma outra, ou se uma função entre os dois objetos existe e toma valores contínuos em um dado intervalo.Por exemplo a taxa de variação da posição de um objeto com relação ao tempo, isto é, sua velocidade, é uma derivada. Consideremos uma função f (x). A função f é derivável em a, se existir o limite, neste caso, o valor f'(a) é chamado derivada de f em a.
	f’ (a)= lim
	f(x) – f(a) 
	x → 0
	
	x – a
	
(http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2010/03/aplicacao-de-derivada-para-determinacao.html e http://www.ebah.com.br/content/ABAAAAO5gAJ/aplicacoes-limites-derivadas)
Elaborado por Sheila : 
APLICAÇÕES DA DERIVADA 
Vimos, na seção anterior, que a derivada de uma função pode ser interpretada como o coeficiente angular da reta tangente ao seu gráfico. Nesta, vamos explorar este fato e desenvolver técnicas para o uso de derivadas para auxiliar a construção de gráficos. Estão incluídas, também, as aplicações da derivada a problemas típicos envolvendo máximos e mínimos, taxas de variação e cálculo de limites, que tem aplicações práticas nos mais diversos campos, como geometria, engenharia, física, biologia e economia. Na verdade, podemos resumir tudo isto dizendo que a derivada constitui uma ferramenta poderosa para o estudo e análise de funções. 
Cabe observar que o conteúdo apresentado nesta seção não é exaustivo e o enfoque pretendido é, na medida do possível, eminentemente prático. Por outro lado, o leitor interessado em aprofundar sua base teórica, conhecendo os detalhes, os teoremas e as demonstrações que dão embasamento a este conteúdo deve consultar os livros de cálculo tradicionais. (http://www.cmjf.com.br/cmjf24horas/aluno/arq_clubes/1184355491.pdf)
 5.2 Passo 2 – Função Demanda e Função Custo
 Função demanda q= 100 – 4p e função custo C (q)= q³ - 30,25q² + 100q + 20.
Função Demanda 
 q = 100 – 40p y = -4x + 100
Função custo 
C( q ) = q³ - 30,25q² + 100q + 20 Y + x³ - 30,25x² + 100x + 20
Lucros Maximizados 
 Custo – Derivada : 3x³ - 60,5x + 100
Tabela :
3x² - 60,5x + 100
X = -3 -2 -1 0 1 2 3 4 56 10 14 18 22 24
Y = 308,5 233 163,5 100 36,5 92 -54,5 -94 -155 -205 -159 0 221 376
Figura 1.2 Função de Custo
-4x + 100 + 0 
X =-3 -2 -1 0 1 2 3 4
Y =112 108 104 100 96 92 88 84
Figura 1.3 Função de Demanda
5.3 Passo 3 – Equação de demanda
Encontrar a solução para a situação : sabe – se qual a equação de um produto é p= -q³ + 12q². Determine a quantidade q e o correspondente p que maximiza o faturamento.
P = -q³ + 12q² y = -x³ + 12x² q = ? p = ?máximo Faturamento?
Derivada ; -3x² + 24x, logo Y = -3x² + 24x
 
Tabela : x -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Quantidade x = 4
 Y -27 21 36 45 48 45 36 21 0 -27 -60 Preço = 48 
Analisando essa equação e seu resultado, entende –se que inicialmente quando eu vendo por exemplo um produto seja ele qual for nesse caso que eu tenho um lucro de R$ 21,00, porém , se eu não vender não terei prejuízo algum, mas se eu conseguir vender duas unidades, meu lucro aumenta mais um pouco, passo a ter R$ 36,00, assim por diante 3 unidades equivalem a R$ 45,00, 4 unidades, equivalem a R$ 48,00, porém a partir desse ponto começa meu declínio financeiro, onde ultrapassando 4 unidades de vendas, por exemplo 5 unidades vendidas meu valor em R$ muda completamente, passa a ser de R$ 45,00 , ou seja , nesse ponto começa meu prejuízo.Vendendo 9 unidades tenho um prejuízo de R$ - 27,00, ou seja, começo a dever ao invés de lucrar ou empatar meus custos, isso ocorre, ou pode vir a ocorrer por muitos motivos, são de variáveis acontecimentos, como por exemplo, se essa fosse a situação de horas máquinas de produção, uma máquina especifica do setor onde sua hora de trabalho é mais cara que as demais, sendo assim até 4 horas é lucrativo, acima disso gera prejuízo, sendo assim cabível que a mesma fique parada, sendo ligada apenas no dia anterior talvez.C
Como podemos analisar nem sempre quanto mais eu vendo mais eu lucro, existem muitas variáveis que irão determinar, se obterei lucro ou prejuízo em qualquer situação ou produto que envolva custo e demanda, isso fica bem claro no gráfico elabora dessa situação.
Figura 1.4 Equação de demanda.
5.4 Passo 4 – Equação de 1º grau
 Quando o preço de venda de uma determinada mercadoria é R$ 100,00, nenhuma é vendida, quando a mercadoria é fornecida gratuitamente, 50 produtos são procurados. Ache a função do 1º grau ou equação da demanda e calcule a demanda para o preço de R$ 30,00.
Preço = R$ 100,00 venda = 0 
Preço = 0 venda = 50
 
Y = ax + b ( 100, 0 ) ( 0, 50 )
0 = 100a + b = 0 b = 50
a = -1/2 ( 0,5 ) 
 y = -1/2x + 50
y = 0,5x + 50
y = 0,5.30 + 50
y = -15 + 50 y = 35 Logo, se o preço de venda for R$ 30,00, a demanda será de 35 unidades. 
Figura 1.5 Demanda de vendas.
Etapa 4 – Aula tema: Aplicações das derivadas nas áreas econômicas e administrativas.
6.1 Passo 1 - Intervalos da função 
Determinar os intervalos em que a função f(x) = x³ - 27 + 60 é crescente e os intervalos em que é decrescente, em seguida façam um esboço de seu gráfico e determine as coordenadas dos pontos extremos locais 
 
f(x) = x³ - 27x + 60
f ‘ (x) = 3x² - 27 
zero da função : 3x² = 27 . x = ± 3
f’’’(x) = 6x Sendo f’’’(3) = 6.3 = 18 > 0, x= 3 , ponto de mínimo relativo
 Sendo f’’’(-3) = 6.(-3) = -18 < 0, x = -3, ponto de máximo relativo
Figura 1.6 Intervalo da função.
6.2 Passo 2. Receita R = -2x² + 100x
Analisar a seguinte questão: Para um determinado produto, a receita R, em reais, ao se comercializar a quantidade x, em unidades m, é dada pela função : R = -2x² + 100x.Agora resolva a seguinte questões;
Calcule a derivada R’(100). Qual a unidade dessa derivada? O que ela representa numericamente? O que ela representa graficamente?
R= -2x² + 1000x f(x) = R ( 100)
R¹ = -4x + 1000
R¹ = -4.100 + 1000
R¹ = - 400 + 1000 = 600
Quanto maior a venda menor a receita.
Quantas unidades devem ser comercializadas para que a receita seja maxima?
Xv = = = 250 unidades.
Qual a receita máxima correspondente ao item anterior?
Yv = = 
 
Figura 1.7 Receita.
6.3 Passo 3. Taxa de Variação
Determinar a taxa de variação da temperatura T, em relação ao tempo, mo instante t= 10 minutos para a seguinte hipótese: A temperatura de um forno varia com o tempo t de acordo com a expressão: T = 0,02t³ + 110.A temperatura está expressa em graus Celsius e o tempo em minutos .
Taxa de variação: T= 10 g/m
T= 0,02t³ + 0,2t² + 110 = 0
T= 0,02.10³+ 0,2.10² + 110 = 0
T= 20 + 20 + 110 = 150 graus ---- 150/10 = 15 g/m
6.4 Passo 4. Função quadrática y = x² - mx + (m – 1)
Demonstrar a solução para o problema e em seguida escolher a alternativa correta. “ O gráfico da função quadrática definida por y = x² - mx + ( m- 1 ), onde m € R, tem um único ponto em comum como eixo das abscissas.Então,, o valor de y que essa função associa a x = 2 é...
-2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2
Resposta letra e, 2 
M € R 
 Y= x² - mx + ( m – 1 ) x= 2 ( ponto em comum )
 Y= 2² - m.2 + ( m – 1 )
 Y= 4 – 2m + m -1
 Y= 3 – m 
 Y= 3 – 1
 Y= 2
Ponto em comum, logo ; x= y = 2 .Referências
¹ Matemática Aplicada a administração, economia e contabilidade 2012– Afrânio Carlos Murolo e Giácomo Bonetto.
http://sociedaderacionalista.org/2013/07/12/calculo-a-definicao-da-derivada-a-explicacao-intuitiva-e-algumas-aplicacoes
http://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada
https://www.youtube.com/watch?v=CQxb5ZXeY3E 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada.
http://www.cmjf.com.br/cmjf24horas/aluno/arq_clubes/1184355491.pdf
Gráf1
	8
	3
	0
	-1
	0
	3
	8
tgβ = f ' (1) = 3
Colunas1
Plan1
	Colunas2	Colunas1
	0	8
	1	3
	2	0
	3	-1
	4	0
	5	3
	6	8
Gráf1
	308.5
	233
	163.5
	100
	36.5
	92
	-54.5
	-94
	-155
	-205
	-159
	0
	221
	376
Xv = 10,1
Yv = -205
Valores Y
Plan1
	Valores X	Valores Y						5
	-3	308.5
	-2	233
	-1	163.5
	0	100
	1	36.5
	2	92
	3	-54.5
	4	-94
	6	-155
	10	-205
	14	-159
	18	0
	22	221
	24	376
Gráf1
	112
	108
	104
	100
	96
	92
	88
	84
Valores Y
Plan1
	Valores X	Valores Y
	-3	112
	-2	108
	-1	104
	0	100
	1	96
	2	92
	3	88
	4	84
Gráf1
	1	21
	2	36
	3	45
	4	48
	5	45
	6	36
	7	21
	8	0
	9	-27
	10	-60
Plan1
	
	
	x	y
	-1	-27
	0	0
	1	21
	2	36
	3	45
	4	48
	5	45
	6	36
	7	21
	8	0
	9	-27
	10	-60
Plan1
	0	0
	0	0
	0	0
	0	0
	0	0
	0	0
	0	0
	0	0
	0	0
	0	0
	0	0
	0	0
	0	0
	0	0
x
y
y
-4x + 100x = 0
Plan2
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
y
Plan3
	0	0
	0	0
	0	0
	0	0
	0	0
	0	0
	0	0
	0	0
	0	0
	0	0
	0	0
	0	0
x
y
	0	0
	0	0
	0	0
	0	0
	0	0
	0	0
	0	0
	0	0
	0	0
	0	0
Quantidade x
preço Y
	
	
Gráf1
	50
	35
	0
Valores Y
Plan1
	Valores X	Valores Y
	0	50
	30	35
	100	0
	
	
		Para redimensionar o intervalo de dados do gráfico, arraste o canto inferior direito do intervalo.
Gráf1
	18
	-18
Valores Y
Plan1
	Valores X	Valores Y
	3	18
	-3	-18
	
	
	
		Para redimensionar o intervalo de dados do gráfico, arraste o canto inferior direito do intervalo.
Gráf1
	600
	200
Valores Y
Plan1
	Valores X	Valores Y
	100	600
	200	200
	
	
	
		Para redimensionar o intervalo de dados do gráfico, arraste o canto inferior direito do intervalo.