Matemática Financeira Capítulo IV Modalidades de Financiamento UALG ESGHT

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Capítulo IV
Modalidades de 
Financiamento
2018 - 2019
Modalidades de Financiamento
1. Médio e longo prazo
1.1 Reembolso de Empréstimos
3
Reembolso de Empréstimos
 Empréstimo Financeiro: contrato pelo qual uma das
partes (mutuante) cede à outra (mutuário) uma certa
importância, ficando esta última obrigada a restituir o
capital recebido acrescido do juro respetivo.
Amortização1 é o processo mediante o qual se
extingue gradualmente uma dívida, por meio de uma
série de prestações destinadas ao pagamento dos
Juros e reembolso do Capital.
____________________________
1 Corresponde ao conceito financeiro usado em sentido lato; quando usado
em sentido restrito significa reembolso de capital.
4
 Problemas Fundamentais da Amortização
A planificação da amortização de uma dívida por meio de
pagamentos regulares e periódicos, vencendo juros a uma
taxa i, obriga ao conhecimento de três fatores essenciais:
1. Valor das Prestações
2. Número de Prestações
3. Taxa de Juro do Empréstimo
A interdependência destes 3 fatores é tal que se se
conhecerem 2 deles é possível calcular o terceiro por meio
das fórmulas financeiras apropriadas e conhecidos que
sejam os 3 fatores poder-se-á elaborar o Mapa de Serviço
da Dívida.
Reembolso de Empréstimos
5
Atendendo a que o mutuário tem a obrigação de
restituir o capital recebido e de pagar os juros, cada
pagamento efetuado (prestação) poderá destinar-se ao
reembolso do capital, ao pagamento de juros ou à
combinação dos dois. As diferentes combinações
quanto à constituição das prestações originam a
existência de várias Modalidades de Amortização.
Reembolso de Empréstimos
6
1. No que respeita ao Reembolso do Capital, distinguem-
se duas hipóteses:
• Reembolso do Capital por meio de vários pagamentos
escalonados a efetuar em datas previamente fixadas;
• Reembolso do Capital por meio de um pagamento único
no fim do prazo do empréstimo.
Reembolso de Empréstimos
7
2. Quanto ao Pagamento de Juros, distinguem-se três
hipóteses:
• Pagamentos escalonados a efetuar em datas
previamente fixadas;
• Pagamento único de juros no início do prazo do
contrato;
• Pagamento único de juros no fim do prazo do contrato.
Reembolso de Empréstimos
8
Cada uma das modalidades de reembolso pode combinar-
se com cada uma das modalidades de pagamento de juros,
dando origem a seis modalidades principais de Amortização
de Empréstimos, nomeadamente:
1. Reembolso do Capital por meio de quotas constantes e
pagamento de Juros escalonados no tempo;
2. Reembolso do Capital por meio de quotas constantes e
pagamento global de Juros no início do prazo;
3. Reembolso do Capital por meio de quotas constantes e
pagamento global de Juros no fim do prazo;
Reembolso de Empréstimos
9
4. Reembolso do Capital por meio de um pagamento único
no fim do prazo e Juros pagos escalonadamente;
5. Reembolso do Capital por meio de um pagamento único
no fim do prazo e Juros pagos antecipadamente no início do
contrato;
6. Reembolso do Capital por meio de um pagamento único
no fim do prazo e Juros pagos postecipadamente também
no fim do contrato.
Pode-se referir ainda, mais uma modalidade de amortização:
7. Reembolso do Capital e pagamento de Juros por meio de
prestações escalonadas e constantes (Método Francês).
Reembolso de Empréstimos
10
Sendo:
C : Valor do empréstimo
n : Número de períodos (prazo)
i : Taxa de juro
jp : Juro vencido no momento p
mp : Reembolso de capital referente ao período p
Tp : Prestação referente ao período p
Mp : Valor do capital reembolsado até ao final do período p
(inclusive)
Rp : Débito residual no período p
(Valor em dívida no final do período p após o pagamento da prestação
referente a esse período)
Reembolso de Empréstimos
Modalidades de Financiamento
1. Médio e longo prazo
1.1 Reembolso de Empréstimos
1.1.1. Método Francês
12
Reembolso do capital e pagamento de juros por 
meio de prestações escalonadas e constantes
Esta modalidade, designada por Método Francês, tem vindo a ser
muito utilizada nos empréstimos de longo prazo, caracterizando-
se por as prestações serem todas de igual valor, sendo
compostas pelo juro vencido em cada período acrescido do
reembolso de capital.
Principais características:
• As datas de reembolso coincidem com as datas de pagamento
dos juros;
• O serviço do empréstimo (reembolso do capital e pagamento de
juros) é constituído por prestações constantes;
• O serviço do empréstimo começa no fim do primeiro período;
• Os juros periódicos são calculados sobre o valor em dívida no
início de cada período.
13
Admitindo que o valor do empréstimo contraído no
momento zero é C, a amortizar em n períodos e vencendo
juros à taxa i durante todo o prazo, temos:
Estamos na presença de uma renda imediata com termos
normais e constantes.
0 1 2 ............. p p+1 n
+C -T -T …… -T -T …… -T 
__|_____|_____|_____________|_____|___________|___
Método Francês
14
a

n i
C
T
Valor do Empréstimo
(Capital Inicial)
Prestação
Cada uma das prestações T contém uma parte mp destinada
ao reembolso do Capital Inicial C e outra ao pagamento dos
Juros do respetivo período jp.
T = mp + jp o que determina a progressividade das quotas
de reembolso segundo uma progressão geométrica de
razão (1+i).
a
n i
C = T
Método Francês
15
 O valor do empréstimo deverá coincidir com a soma dos
reembolsos (mp), isto é: C = m1 + m2 + ..... + mn
 Como o reembolso é escalonado, o capital em dívida vai
diminuindo à medida que se vão entregando os reembolsos de
capital (mp). Assim, o capital em dívida após o pagamento do
primeiro reembolso será C - m1. Incidindo o juro sobre o capital
em dívida e uma vez que este diminui progressivamente,
também o juro tende a ser cada vez menor, isto é:
J1 > J2 > J3 > ... >Jn
Mas como as prestações são constantes, implica que os
reembolsos de capital sejam crescentes, ou seja,
m1 < m2 < m3 < ... < mn
Método Francês
16
Cálculo de Valores referentes ao Mapa de Serviço da Dívida
a) Prestação (T): De acordo com uma renda imediata e normal
b) Débito Residual após o pagamento da prestação p (Rp):
c) Juros incluídos na prestação de ordem p (jp):
d) Reembolso de Capital da prestação de ordem p (mp):
p p 1j R i 
p p 1 pR R m 
p pm T j 
a

n i
C
T
Método Francês
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Mapa de Serviço da Dívida
Período
Prestação
Débito Residual no 
fim do período
(Rp)
Total
(T)
Juros
(jp)
Reembolso
(mp)
0 - - - R0 = C
1 T j1 = R0 x i m1 = T – j1 R1 = R0 – m1
2 T j2 = R1 x i m2 = T – j2 R2 = R1 – m2
… … … … …
p T jp = Rp-1 x i mp = T – jp Rp = Rp-1 – mp
… … … … …
n T jn = Rn-1 x i mn = T – jn Rn = Rn-1 – mn = 0
J =  jp M =  mp = C
Método Francês
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Derivações do Método Francês
1. Reembolso do Capital e Pagamento de Juros por meio
de Prestações Escalonadas, Constantes e Diferidas
Distinção entre Prazo de Diferimento e Prazo de Carência
Prazo de diferimento é o número de períodos em que não
há serviço de dívida, isto é, não existem pagamentos nem
para reembolso do capital nem para satisfazer os juros
vencidos.
Prazo de carência é o número de períodos em que não há
serviço de reembolso do capital mas existe serviço
(pagamento) dos juros vencidos.
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Derivações do Método Francês
Seja C o valor do empréstimo a amortizar por meio de n
prestações periódicas, constantes e postecipadas,
vencendo-se a primeira delas no fim do período de ordem
k+1, sendo os juros contados à taxa i.
C -T -T -T -T
_|____|___________|____|__________|____|_______|_0 1 …. k k+1 ….. k+p-1 k+p ….. k+n 
T a n i
(1 + i)-k T a n i
20
Derivações do Método Francês
Equação Fundamental:
Nota: O valor total dos juros pagos corresponderá ao
somatório dos juros a partir do momento k, acrescidos dos
juros acumulados no período de diferimento.
C = (1 + i)-k T a n i
21
Derivações do Método Francês
Mapa de Serviço da Dívida
* Reembolso do capital inicial e dos juros do período de diferimento
Período
Prestação
Débito Residual
no fim do período
(Rp)
Total
(T)
Juros
(jp)
Reembolso
(mp)
0 - - - R0 = C
1 - Acumulação de juros - R1 = C (1 + i)
2 - Acumulação de juros - R2 = C (1 + i)
2
… … … … …
k - Acumulação de juros - Rk = C (1 + i)
k
k+1 T jk+1 = Rk x i mk+1 = T – jk+1 Rk+1 = Rk – mk+1
… … … … …
k+n T jk+n = Rk+n-1 x i mk+n = T – jk+n Rk+n = Rk+n-1 – mk+n
Rn = 0
22
Derivações do Método Francês
2. Reembolso do Capital e Pagamento de Juros por meio
de Prestações Escalonadas, Constantes e com Prazo de
Carência
Seja C o valor do empréstimo a amortizar por meio de n
prestações periódicas, constantes e postecipadas, vencendo-se a
primeira delas ao fim do período de ordem k+1, sendo os juros
contados à taxa i e com o prazo de carência igual a k períodos.
C -j -j -T -T -T -T
_|____|___________|____|__________|____|_______|_
0 1 …. k k+1 ….. k+p-1 k+p ….. k+n 
C = T a n i C = T a n i
23
3. Reembolso do Capital e Pagamento de Juros por meio de
Prestações Escalonadas, Constantes e com Diferentes
Taxas de Juro
Considere-se o empréstimo C a amortizar em n períodos por
meio de prestações constantes e postecipadas, vencendo-se
a primeira delas no 1º período, contratado à taxa i, mas com
a possibilidade de revisão de taxa no caso de se verificarem
alterações sensíveis no mercado de capitais.
Exemplo: No fim do 1º período de ordem p as partes
contraentes acordaram em alterar a taxa para i’ (i’ > i),
mantendo-se inalterável o número de prestações.
Derivações do Método Francês
24
É de notar que sendo i’> i e permanecendo inalterável o
prazo, as prestações a partir de ordem p+1 (inclusive)
terão valor nominal superior aos das p primeiras
prestações.
A resolução do problema passa por duas fases:
1ª : Fase de contratação inicial;
2ª : Fase com introdução das alterações.
Teremos que proceder à elaboração de um novo quadro de
amortização que contemple a alteração da taxa de juro.
Derivações do Método Francês
25
1ª : Fase de Contratação Inicial
Derivações do Método Francês
C -T …. -T -T ……. -T
_|_____|____________|_____|_____________|__
0 1 …. p p+1 ……. n
C = T a n i
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2ª : Fase com Introdução das Alterações
Derivações do Método Francês
Rp =? -T ……. -T
_____________|_____|_____________|__
p p+1 ……. n
Rp = T a n-p i 
-T’=? ……. -T’=?
_____________|_____|_____________|__
p p+1 ……. n
Rp: capital em dívida
no momento da
alteração da taxa, o
qual vai dar origem a
novas prestações de
diferente valor T’.
Rp = T’ a n-p i’
Modalidades de Financiamento
1. Médio e longo prazo
1.1 Reembolso de Empréstimos
1.1.2. Método Americano
28
Reembolso do capital por meio de um pagamento 
único no fim do prazo e juros pagos escalonadamente
Esta modalidade é designada por Amortização Americana.
Principais características:
 O reembolso de capital é constituído por uma única
prestação no fim do prazo;
 O capital em dívida em cada momento é constante, logo
os juros no fim de cada período também serão constantes
(jn = C x i) desde que não haja alteração da taxa de juro;
 Os juros são pagos no fim de cada período.
29
Sendo: jn = C × i
Trata-se de um operação típica de Regime de Juro Simples,
dado que os juros são pagos no momento do seu
vencimento, os mesmos saem do processo de
capitalização.
Método Americano
C -j -j …. -j -j-C
_|_____|_____|_______________|_____|__
0 1 2 …. n-1 n
C = j a n i + C (1 + i)-n
Modalidades de Financiamento
1. Médio e longo prazo
1.1.3 Outras modalidades de 
financiamento
Reembolso do capital por quotas constantes e 
pagamento de juros escalonados no tempo
Modalidades de Financiamento
32
Nesta modalidade de amortização os reembolsos m são
constantes, ou seja, o capital reparte-se equitativamente
por cada período de reembolso, sendo m = C/n.
Sendo o reembolso feito por meio de quotas constantes, o
juro devido em cada período é cada vez mais reduzido.
Tp = m + Jp
Reembolso do capital por meio quotas constantes e 
pagamento de juros escalonados no tempo
C -T1 -T2 …. -Tn-1 -Tn
_|_____|_____|_______________|_____|__
0 1 2 …. n-1 n
33
J1 = C x i
J2 = (C – m) x i
J3 = (C – 2m) x i Logo:
Valor das Prestações:
T1 = m + J1
T2 = m + J2 Logo:
Débito Residual:
Rp = C – p x m Como: C = m x n logo,
Rp = m (n – p)
 pJ C p 1 m i      
 pT m 1 (n p 1) i    
Reembolso do capital por meio quotas constantes e 
pagamento de juros escalonados no tempo
Reembolso do capital por quotas constantes e 
pagamento de juros no início do prazo
Modalidades de Financiamento
35
Reembolso do capital por meio de quotas constantes 
e pagamento de juros no início do prazo
Nesta modalidade de amortização os reembolsos m são
constantes, ou seja, o capital reparte-se equitativamente
por cada período de reembolso, sendo m = C/n.
C-J -m -m …. -m -m
_|_____|_____|_______________|_____|__
0 1 2 …. n-1 n
C = J + m a n i
Reembolso do capital por quotas constantes e 
pagamento de juros no fim do prazo
Modalidades de Financiamento
37
Reembolso do capital por meio de quotas constantes e 
pagamento de juros no fim do prazo
Principais características:
 O reembolso de capital é constituído por prestações
constantes m = C/n;
 O reembolso de capital começa no fim do primeiro
período;
 Os juros são pagos global e postecipadamente no fim do
prazo.
C -m -m …. -m -m-J
_|_____|_____|_______________|_____|__
0 1 2 …. n-1 n
C = m a n i + J (1 + i)-n
Reembolso do capital por pagamento único no 
fim do prazo 
e juros pagos no início do contrato
Modalidades de Financiamento
39
Reembolso do capital por meio de um pagamento único no fim 
do prazo e juros pagos no início do contrato
nC J C(1 i)  
C-J -C
_|_________________________________|__
0 n
nC J C(1 i)  
Reembolso do capital por pagamento único no 
fim do prazo
e juros pagos no fim do contrato
Modalidades de Financiamento
41
Principais características:
 O reembolso de capital é constituído por uma única
prestação no fim do prazo;
 O pagamento de juros também é constituído por uma
única prestação no fim do prazo;
 Recorre-se aos conceitos base do Regime de Juro
Composto.
Reembolso do capital por meio de um pagamento único no fim 
do prazo e juros pagos no fim do contrato
C -C-J
_|_________________________________|__
0n
42
Trata-se de uma operação financeira simples (há um único
pagamento), pelo que para determinar o juro a pagar
podemos aplicar diretamente a fórmula do Regime de Juro
Composto:
S = C + J
J = S - C
S = C ( 1 + i )n
C = S ( 1 + i )-n
 
n
J C 1 i 1   
 
Reembolso do capital por meio de um pagamento único no fim 
do prazo e juros pagos no fim do contrato
Modalidades de Financiamento
1. Médio e longo prazo
1.2 Locação financeira
44
Regime Jurídico do Contrato de Locação Financeira:
DL nº 149/95 de 24 de junho, alterado pelos DL nº 265/97 de 2
de outubro, DL nº 285/2001 de 3 de novembro e DL nº 30/2008 de 25
de fevereiro.
Locação Financeira é o contrato pelo qual uma das partes
se obriga, mediante retribuição, a ceder a outra o gozo
temporário de uma coisa, móvel ou imóvel, adquirida ou
construída por indicação desta, e que o locatário poderá
comprar, decorrido o período acordado, por um preço nele
determinado ou determinável mediante simples aplicação
dos critérios nele fixados.
Locação Financeira
45
Pagamentos a efetuar pelo Locatário:
 Pagamento Inicial (Pi): realizado na data do contrato;
 Termos da Renda (T): n termos de valor constante;
 Valor Residual (Vr): a pagar no fim do contrato, caso o
locatário exerça a opção de compra.
Desta forma, o Valor Inicial de um contrato de Leasing (Vi)
será dado pela expressão:
Locação Financeira
r
i i n
V
V = P+T + 
(1+i)n i
a
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Nos casos em que o pagamento inicial seja igual ao valor
dos restantes termos, temos:
Locação Financeira
r
i n
V
V = T + 
(1+i)n 1 i
a

Modalidades de Financiamento
2. Curto prazo
2.1 Letras
Regime de Juro Simples (RJS)
 DESCONTO BANCÁRIO DE LETRAS
Operação de crédito de curto prazo, na qual a
instituição financeira antecipa ao seu cliente o valor de
um título de crédito, de que este seja portador,
tornando-se proprietária do crédito.
Letra: título de crédito através do qual o credor
(sacador) ordena ao devedor (sacado ou aceitante) que
pague certa quantia, resultante de uma operação
comercial – valor nominal – em determinada data, ao
seu portador (sacador, tomador ou endossado).
48
Regime de Juro Simples (RJS)
Lei Uniforme de Letras e Livranças
As letras e livranças estão reguladas por Lei Uniforme,
estabelecida pela Convenção Internacional assinada em Genebra
em 7 de Junho de 1930.
Esta Convenção foi aprovada em Portugal:
• Decreto-Lei n.° 23.721, de 29 de Março de 1934;
• Decreto-Lei n.º 26.556, de 30 de Abril de 1936;
• Complementada e atualizada por vária legislação, onde
abundam as necessárias alterações e adaptações introduzidas
face à entrada em vigor do euro e às taxas de juro aplicadas.
49
Desconto Bancário de Letras
As empresas ao descontarem nos bancos as letras de que
são portadoras, vão suportar encargos com a operação que
serão deduzidos ao valor nominal no ato do desconto. Estes,
são normalmente constituídos pelas seguintes
componentes:
50
Prémio de Desconto (J): engloba os juros relativos ao
período compreendido entre a data de desconto e a data de
vencimento da letra, calculados pela fórmula do Desconto
por Fora: Min.
Comissão de Cobrança (y): encargo em benefício da
instituição de crédito que incide sobre o Valor Nominal da
letra: Percentagem do Valor Nominal (com limites mínimos
e máximos), podendo ser negociada pelas partes envolvidas
na operação.
Imposto de Selo (i’): imposto retido na fonte pela
instituição de crédito para posterior entrega nos cofres do
Estado. A taxa de imposto de selo incide sobre o montante
do prémio de desconto (J) e da comissão (y). Atualmente a
taxa é de 4%.
Portes e Outras Despesas (P): encargo em benefício da
instituição de crédito respeitante a despesas diversas
cobradas pelos serviços prestados (portes, telefones,
telefax e outros). Valor por letra, de acordo com as tabelas
da instituição de crédito.
51
Desconto Bancário de Letras
Para efeitos de cálculo de juros, o Prazo (n) a considerar
corresponderá o número de dias que decorre entre a data
de desconto e a data de vencimento do título de crédito,
acrescido de mais dois dias (art. 38º da Lei Uniforme
relativa a Letras e Livranças), que é o lapso de tempo
facultado por lei ao devedor para pagamento da letra.
52
Nota: O cálculo dos juros devidos ou a receber obedece a convenções
de contagem de dias. Pode ser uma das seguintes:
• Dias efetivos de juros / Dias efetivos do ano (365 ou 366)
• Dias efetivos de juros / 360 (depósitos: DL 88/2008)
• 30 dias / 360 (crédito à habitação: DL 88/2008)
Desconto Bancário de Letras
53
Assim, o valor recebido pelo desconto é designado por
Produto Líquido do Desconto (Pl) e corresponde ao valor
nominal do título menos os juros, a comissão de cobrança,
o imposto de selo e os portes e outras despesas.
Exemplo: Juro recebido de uma aplicação de 10.000€ à taxa nominal
anual de 10%, entre 29 de Janeiro de 2012 e 5 de Junho de 2012 (ano
bissexto):
• efetivo / efetivo: 2 + 29 + 31 + 30 + 31 + 5 / 366 = 0,349 Juro = 349,73 €
• efetivo / 365: 2 + 29 + 31 + 30 + 31 + 5 / 365 = 0,35 Juro = 350,68 €
• efetivo / 360: 2 + 29 + 31 + 30 + 31 + 5 / 360 = 0,355 Juro = 355,56 €
• 30 / 360: 1 + 30 + 30 + 30 + 30 + 5 / 360 = 0,35 Juro = 350,00 €
Desconto Bancário de Letras
Sendo:
Pl : Produto líquido do desconto
M : Valor nominal da letra
n : N.º de dias que falta para o vencimento do título de crédito
i : Taxa de juro contratual
i’ : Imposto de selo
y : Comissão de cobrança
P : Portes
a) Desconto Bancário de uma Letra
Pl = M – Mni – Mni x i’- y – yi’ – P
Pl = M – Mni (1 + i’) – y (1 + i’) – P
54
Desconto Bancário de Letras
b) Desconto Bancário de Várias Letras
O portador propõe ao banco o desconto de várias letras (k).
O Produto Líquido do Desconto corresponderá ao
somatório do produto líquido de cada uma das letras.
M1, M2, ..., Mk: Valores nominais das letras
n1, n2, ..., nk: Número de períodos que falta para o
vencimento de cada letra (na prática é expresso em dias)
yp: Comissão de cobrança por cada letra (p = 1, 2,..., k)
P: Portes por letra
55
Desconto Bancário de Letras
Caso Geral
Pl = M1 – M1n1i – (M1n1i x i’) – y1 – (y1 x i’) – P +
+ M2 – M2n2i – (M2n2i x i’) – y2 – (y2 x i’) – P +
+ Mk – Mknki – (Mknki x i’) – yk – (yk x i’) – P
 
k k k
p p p p
p 1 p 1 p 1
i
Pl M 1 i' M n y kP
360  
 
     
 
  
   
k
p
p 1
i
Pl kM M n 1 i' ky 1 i' kP
360 
     
56
Admitindo que as letras têm iguais valores nominais
M1 = M2 = ... = Mk, pelo que valor nominal de cada letra = M
Desconto Bancário de Letras
c) Taxa Efetiva da Operação de Desconto (t)
Nas operações de desconto comercial a taxa efetiva de
juro é superior à taxa de juro convencionada
(contratual) e isto porque:
• Para além da taxa de juro existe o imposto de selo e
outros encargos;
• Tanto os juros como os demais encargos são pagos
antecipadamente.
57
Desconto Bancário de Letras
A taxa de custo efetivo do desconto (t), será a taxa que
torna o valor nominal equivalente ao produto líquido do
desconto quando este é capitalizado para o momento do
vencimento, sendo, na realidade, a taxa aplicada ao
desconto bancário de uma letra.
Pl = M ( 1 + t)-n
1
Pl
M
t
n
1






M = Pl ( 1 + t)n
58
Desconto Bancário de Letras
Exemplo:
O portador de uma letra de 500€, emitida em 31 de Julho e vencível em
27 de Novembro do mesmo ano, desconta-a numa instituição bancária
em 10 de Agosto. A letra está domiciliada numa instituição de crédito e
pretende-se:
a) O produto líquido do desconto.
b) A taxa efetiva anual da operação.
Considere as seguintes condições bancárias:Taxa 27% ao ano
Imposto de Selo 4%
Comissão de Cobrança
Normal 0,3%
Mínima 0,6€ por letra
Máxima 25€ por letra
59
Desconto Bancário de Letras
Resolução:
Pl M
____|_____________________________|________
10/08 27/11
(desconto) (vencimento)
60
€15,455Pl
56,129,43500Pl
)04,01(003,0500)04,01(
360
27,0111500
500Pl





a) Pl
Pl = M – Mni (1 + i’) – y (1 + i’) – P
Contagem dos dias: 21 + 30 + 31 + 27 + 2 = 111 dias
Desconto Bancário de Letras
b) Taxa efetiva anual (t = TAEG)
61
1
n
1
111
360
M
t 1
Pl
500
t 1
455,15
t 0,3564 t 35,64%
 
  
 
 
  
 
  
Desconto Bancário de Letras
 REFORMA DE LETRAS
A reforma consiste na substituição de um título comercial,
vencível em determinada data, por outro ou por outros, a
vencer, geralmente, em datas posteriores, por forma que
na data da transformação o valor atual do título a substituir
seja igual ao valor atual do título substituto ou à soma dos
valores atuais dos títulos substitutos.
62
 A substituição de várias letras por um outro conjunto de
várias outras letras: Equivalência de Títulos
 A substituição de várias letras por uma: Capital Único
Desconto Bancário de Letras
 Quando o aceitante amortiza parte da letra que se vai
vencer, a reforma diz-se parcial.
 Quando a letra é substituída na sua totalidade por outra
ou outras, a reforma diz-se total.
Sendo:
M : Valor nominal da letra a reformar
Z : Amortização da letra a reformar
M’ : Valor nominal da nova letra
n : Data de vencimento da letra a reformar
n1 : Data da reforma
n’ : Data de vencimento da nova letra
63
Desconto Bancário de Letras
* Valor Nominal da nova letra não inclui Juros e Encargos
(JE)
* Valor Nominal da nova letra inclui Juros e Encargos (JE)
M’= M – Z 
M’= M + JE – Z 
64
Desconto Bancário de Letras
a) Reforma de uma Letra por Outra
Caso:
Uma entidade aceitou uma letra de Valor Nominal M
a vencer ao fim de n períodos e no período n1
solicita a sua reforma entregando a quantia Z e aceita
uma nova letra de Valor Nominal M’ a vencer ao fim
de n’ períodos, contados a partir da data da reforma.
65
Desconto Bancário de Letras
a.1) Reforma na data de vencimento (n1 = n) 
M
___|___________|______________________
0 n 
aceite vencimento
- Z M’
___|__________________|_____
0 = n1 n’
reforma
M’ = M - Z
66
Desconto Bancário de Letras
a.2) Reforma depois da data de vencimento (n1 > n)
M
___|___________|_____________|________
0 n n1
aceite vencimento reforma
- Z M’
___|__________________|_____
0 n’
Nota: ic : taxa de juros de mora que representa a contagem de juros a favor do credor.
Geralmente é superior a i dado o seu caráter penalizador.
M’ = M + M ic (n1 – n) - Z
67
Juros de Mora
Desconto Bancário de Letras
a.3) Reforma antes da data de vencimento (n1 < n) 
M
___|___________|__________|________
0 n1 n 
aceite reforma vencimento
- Z M’
___|________________________|_____
0 n’
Nota: id : taxa de atualização ou desconto de juros que representa a contagem de juros a
favor do devedor. Pode ser igual a i.
M’ = M – M id (n – n1) - Z 
68
Desconto
de Juros
Desconto Bancário de Letras
b) Reforma de uma ou várias Letras por Outras
∑ M’ = Valor da dívida à data da reforma
M1 M2
_|__________|__________|_
n1 n0 n2
vencimento reforma vencimento
- ∑ Z M1’ M2’ M3’ M4’
_|___________|_____|_____|_____|_
0 n1’ n2’ n3’ n4’
69
Desconto
de Juros
Juros 
de Mora
∑ M’ = M1 + M1 ic (n0 – n1) + M2 – M2 id (n2 – n0) - ∑ Z 
Desconto Bancário de Letras
Modalidades de Financiamento
2. Curto prazo
2.2 Livranças
 DESCONTO BANCÁRIO DE LIVRANÇAS
Livrança: título de crédito em que o emitente (ou subscritor)
promete ao beneficiário (ou tomador) pagar a si, ou a quem
este ordene, uma determinada importância (valor nominal)
na data fixada (vencimento).
Comparativamente com o desconto bancário de letras, a
operação de desconto de livranças apresenta algumas
diferenças ao nível do cálculo dos juros e encargos:
• Os juros correspondentes ao prazo de financiamento são
pagos postecipadamente; a contagem do prazo é feita de
forma idêntica à das letras, isto é, contagem em dias, não
esquecendo a adição de dois úteis;
71
Desconto Bancário de Livranças
• Não há lugar a comissão de cobrança;
• O Imposto de Selo sobre os juros é de 4%;
• A selagem da livrança sobre o valor nominal (w) é sempre
suportada no início da operação.
O Produto Líquido do Desconto é dado pela seguinte
expressão:
Pag M Mni Mnii'  
72
Deste modo, na data de vencimento o subscritor deverá
pagar:
Pl M M w   Pl M(1 w) 
Pag M Mni(1 i')  
Desconto Bancário de Livranças
A taxa efetiva do desconto (t = TAEG) é calculada da
seguinte forma:
 
 
1
n1 ni 1 i'
t 1
1 w
  
  
 
73
Desconto Bancário de Livranças