CALCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL-III

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CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
Unidade III
APLICAÇÕES
Você deve estar curioso para saber o que podemos fazer com integrais. Como podemos aplicar esses conceitos?
Nesta unidade, veremos algumas aplicações de integral definida.
5 APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA
5.1 Cálculo de áreas
Temos três casos possíveis para calcular a área entre o gráfico da função e o eixo x no intervalo [a,b]:
1º caso:
f(x) ≥ 0 no intervalo [a,b]
y
a
A
b x
f(x)
Figura 5
A f x dx
a
b
= ∫ ( )
Exemplo:
y
x10
f(x) = x
Figura 6
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Unidade III
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Determinar a área da região marcada.
Neste caso, temos f(x) ≥ 0
A f x dx x dx
x= = = = − =∫ ∫( )0
1
0
1 2
0
1
2
1
2
0
1
2
 u.a. (unidades de área).
2º caso:
f(x) ≤ 0 no intervalo [a,b]
a b x
f(x)
y
Figura 7
Neste caso, temos: A f x dx
a
b
= −∫ ( )
Exemplo:
1) Determinar a área da região marcada.
0
y
2
A
f(x) = - x
x
Figura 8
Como f(x) ≤ 0 na região marcada, temos que a área será dada pela expressão A f x dx= −∫ ( )0
2
.
Assim: A f x dx x dx x dx
x= − = − − = = = − =∫ ∫ ∫( )0
2
0
2
0
2 2
0
2
2 2
2
2
2
0
2
2 u.a. (unidades de área).
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2) Determinar a área da região marcada
y
x
f(x) = sen x
2 π
1
-1
A1
A2
Figura 9
Observe que a área a ser calculada está parte acima do eixo x (A1) e parte abaixo do eixo x (A2), e o 
gráfico corta o eixo x em 3 pontos: 0, π e 2 π.
Assim temos f(x) ≥ 0 no intervalo [0, π] e f(x) ≤ 0 no intervalo [π, 2 π].
Para calcular a área total A = A1 + A2, devemos determinar cada uma das partes separadamente, 
conforme o 1º ou o 2º caso.
A f x dx sen dx x1 0 0 0
0 1 1 2= = = − = − − = − − − = − −∫ ∫( ) cos (cos cos ) ( ) ( )
π π π π x
A f x dx sen x dx x x2
2 2 2 2 2= − = − = − −

 = = −∫ ∫( ) cos cos (cos coπ
π
π
π
π
π
π
π π ss ) ( )π = − − =1 1 2
Logo A = 2 + 2 = 4 u. a.
 Observação
Sempre que a área a ser calculada tiver parte acima do eixo x e parte 
abaixo do eixo x, devemos dividir a área a ser calculada em partes, de modo 
que em cada parte a função tenha somente um sinal.
3º caso:
A área a ser calculada é limitada por duas funções, f e g, contínuas em [a,b] e tais que f(x) ≥ g(x), ∀x ∈ [a,b]
y
a b x
g(x)
f(x)
y
a b x
g(x)
f(x)
(a)
Figura 10
A A
Figura 11
(b)
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Unidade III
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y
a b x
g(x)
f(x)
(c)
Figura 12
A
As funções que limitam a área podem ser só positivas no intervalo [a,b] (figura (a)), uma delas pode 
ser negativa no intervalo (figura (b)), ambas podem ser negativas. Em todos os casos, o cálculo da área 
entre as curvas será feito por meio da integral definida de a até b da função (f – g).
A f x g x
a
b
= − −∫ [ ( ) ( )] dx
 Lembrete
No cálculo da área de uma região limitada por duas funções, faremos a 
integral da função de cima menos a função de baixo.
Veremos agora alguns exemplos para tornar seu estudo mais proveitoso.
1) Determinar a área limitada pelas funções f(x) = 3 e g(x) = x 2 – 1e pela reta x = 0.
Resolução:
Inicialmente devemos representar graficamente a região, esboçando o gráfico das funções, 
determinando as abscissas (valores de x) das intersecções e as raízes das funções. Para determinar as 
intersecções, igualaremos as funções e resolveremos a equação.
Logo x2 – 1 = 3, isto é, x2 = 4 e daí x = ±2 .
Para esboçar os gráficos, observemos que f é uma função constante, portanto seu gráfico é uma reta 
paralela ao eixo x passando em y = 3. A reta x = 0 é paralela ao eixo y. A função g é quadrática, logo 
tem como gráfico uma parábola.
Devemos determinar as raízes de g, isto é, resolver a equação x2 – 1 = 0. Resolvendo a equação, 
encontramos x = ±1.
Substituindo os dados encontrados, temos a figura a seguir:
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y
3
g(x)
f(x)
x = 0
A
x1 2
Figura 13
Observando a figura, vemos que a função de cima é f e a função de baixo é g, temos também que o 
intervalo é [0, 2], então para determinar a área A devemos calcular a integral [ ( ) ( )]f x g x dx−∫0
2
.
Substituindo as expressões de f e g, temos:
[ ( ) ( )] ( )f x g x dx x dx x dx x dx− = − − = − + = − +∫ ∫∫∫0
2 2 2 2
0
2
0
2
0
2
3 1 3 1 4
Determinando a primitiva, vem F x
x
x( ) = − +
3
3
4 e daí temos:
F( ) .0
0
3
4 0 0
3
= − + =
F( ) .2
2
3
4 2
8
3
8
8 24
3
16
3
3
= − + = − + = − + =
Substituindo na integral:
3 1
16
3
0
16
3
2
0
2
− − = − =∫ ( ) . .x dx u a
2) Determinar a área limitada pelas funções f(x) = x e g(x) = x2.
Resolução:
Inicialmente devemos representar graficamente a região, esboçando o gráfico das funções, 
determinando as abscissas (valores de x) das intersecções e as raízes das funções.
Para determinar as intersecções, igualaremos as funções e resolveremos a equação.
Logo x2 = x, isto é, x2 – x = 0. Colocando x em evidência, temos: x (x – 1) = 0 assim x = 0 ou x = 1.
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Para esboçar os gráficos, observemos que f é uma função linear, portanto seu gráfico é uma reta. 
Para determinar pontos da reta, utilize tabela de pontos.
A função g é quadrática, logo tem como gráfico uma parábola com concavidade para cima.
Devemos determinar as raízes de g, isto é, resolver a equação x2 = 0. Resolvendo a equação, 
encontramos x = 0.
Substituindo os dados encontrados, temos a figura a seguir:
y
A
0 1 x
f(x)
g(x)
Figura 14
Observando a figura, vemos que a função de cima é f e a função de baixo é g, temos também que o 
intervalo é [0, 1], então para determinar a área A devemos calcular a integral [ ( ) ( )]f x g x dx−∫0
1
.
Substituindo as expressões de f e g, temos:
[ ( ) ( )] ( )f x g x dx x x dx x x dx
x x− = − = − + = − + =∫ ∫ ∫0
1 2
0
1 2
0
1 3 2
0
1
3 2
1
6
3) Determinar a área da região indicada, sendo f(x) = x e g(x) = x3.
A1
A2-1
1
f(x)
g(x)
Figura 15
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Observe que no intervalo [0, 1], temos f(x) ≥ g(x), daí A2 = [ ( ) ( )]f x g x dx−∫0
1
E no intervalo [-1, 0] temos g(x) ≥ f(x), daí A1 = [ ( ) ( )]g x f x dx−−∫ 1
0
Assim:
1) A1 = [ ( ) ( )]g x f x dx−−∫ 1
0
[ ( ) ( )g x f x dx x x dx
x x− = − = − = − −



=
− − −∫ ∫1
0 3
4
1
0 2
1
0
4 2
0
1
4
1
2
1
4
Logo A1 = 
1
4
2) A2 = [ ( ) ( )]f x g x dx−∫0
1
[ ( ) ( )
’
f x g x dx x x dx
x x− = − = − = −



− =∫ ∫−0
1 3
2
1
0 4
0
1
2 4
1
2
1
4
0
1
4
Logo A2
1
4
=
Portanto A = + =1
4
1
4
1
2
5.2 Comprimento de arco
Dada uma função contínua y = f(x) num intervalo [a, b], sua representação gráfica pode ser um 
segmento de reta ou uma curva qualquer. Chamamos de arco à parte da curva que vai do ponto (a, f(a)) 
ao ponto (b, f(b)).
Para um segmento de reta, a fórmula para calcular o seu comprimento é:
s b a f b f a= − + −( ) ( ( ) ( ))2 2
Para uma curva qualquer, a fórmula para calcular o comprimento de arco é:
S dxy
a
b
= + ( )∫ 1 2’ 
 
Exemplos:
Calcular o comprimento do arco da curva dada por:
1) y = 3x + 1, -2 ≤ x ≤ 2
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Como o gráfico de y = f(x) é uma reta, para determinar o comprimento do arco usaremos a fórmula:
s b a f b f a= − + −( ) ( ( ) ( ))2 2
Do enunciado, temos:
a = - 2 e f(a) = f(-2) = 3 . (-2) + 1 = -6 + 1 = -5
b = 2 f(a) = f(2) = 3 . (2) + 1 = 6 + 1 = 7
Substituindo na fórmula, temos:
s b a f b f a = = - (-2) (7 - (-5)) = +2( ) ( ( ) ( )) ( ) (− + − +2 2 22 2 2 (7 + 5)
 = + 12 = 12,649u.c. (unidade de com
2
2
)2
24
+
s pprimento)
2) y = 
2
3
3 2x / , 0 ≤ x ≤ 1
Como é uma curva qualquer, usaremos a fórmula s y dx
a
b
= +∫ 1 2( ’) .
Temos a = 0, b = 1 e, derivando a função y, vem y‘= 
2
3
3
2
1 2⋅ x / ou, simplificando, y‘ = x1/2, substituindo 
na fórmula:
s y dx x dx x dx
a
b
= + = + = +∫ ∫ ∫1 1 12 1 2 20
1
0
1
( ’) ( )/
Resolvendo a integral por substituição, temos:
∫ (1 + x) 1/2 dx = ∫ u1/2 du = u u x
3 2
3 2 3 2
3
2
2
3
2
3
1
/
/ /( )= = +
u = 1 + x
du
dx
= 1, isto é, du = dx
Substituindo na integral, vem:
s y dx x dx x
a
b
= + = + = + = −

 =∫ ∫1 1
2
3
1
2
3
2 1 12192
0
1 3 2
0
1 3 2 3 2( ’) ( ) ,/ / /
Logo s = 1,219 u.c.
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5.3 Ampliando seu leque de exemplos
1) Determinar a área indicada na figura:
a) 
y
1 4 x
y=2
Figura 16
Como a região é um retângulo, podemos calcular sua área pela geometria elementar ou utilizando 
integrais.
Pela geometria elementar, a área do retângulo é dada por base x altura. O retângulo tem base 
b = 4 -1 = 3 e altura 2.
Assim, A = base x altura = 3 x 2 = 6 u.a. (unidades de área).
Utilizando integrais, temos f(x) = 2, a = 1 e b = 4.
A f x dx dx x u a= = = = − = − =∫ ∫( ) . . . .1
4
1
4
1
42 2 2 4 2 1 8 2 6
b)
f(x)=x3y
O 1 2 x
A
Figura 17
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A área desta região não é uma forma geométrica elementar, vamos então calcular a área utilizando 
integrais.
A função a ser integrada é f(x) = x3, e os intervalos de integração a = 1 e b = 2.
A f x dx x dx
x
u a= = = = − = − =∫∫ ( ) . .31
2
1
2 4
1
2
4 4
4
2
4
1
4
16
4
1
4
15
4
c)
y
10 2 x
f(x) = - x2 + 4 x - 3
Figura 18
Devemos separar a região em duas partes e calcular separadamente, são dois intervalos de integração: 
[0, 1] e [1, 2].
Assim temos:
A f x dx1 0
1
= −∫ ( ) e A f x dx2 1
2
= ∫ ( )
A f x dx x x dx
x x
x1 0
1 2
3 2
0
1
0
1
4 3
3
4
2
3= − = − − + − = − − + −








=∫ ∫( )
= − − + −





 − − + −














= − −1
3
4
1
2
3 1
0
3
4
0
2
3 0
1
3
3 2 3 2
. . ++ − −



=2 3 0 4
3
A f x dx x x dx
x x
x2 1
2 2
3 2
1
2
1
2
4 3
3
4
2
3= = − + − = − + −








=∫ ∫( )
= − + −




− − +












= − + −

2
3
4
2
2
3 2
1
3
4
1
2
3 1
8
3
8 6
3 2 3 2
. . 

− − + −







= − + =1
3
2 3
2
3
4
3
2
3
Logo, A u a= + = =4
3
2
3
6
3
2 . .
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2) Determinar o comprimento de arco da função f(x) = 2 x, no intervalo 0 ≤ x ≤ 2.
Para determinar o comprimento de arco da função, vamos utilizar a fórmula
A f x� �� 1 2
0
2
( ’( ))
Calculando a derivada da função f(x) = 2x, temos: y’ = f’ (x) = 2, logo, substituindo na fórmula, temos:
A f x dx dx dx= + ( ) = + ( ) = +∫ ∫ ∫1 1 2 1 42
0
2
2
0
2
0
2
’( ) . 
Calculando a integral:
A f x= + ( ) = + ( ) = = ( ) =∫ ∫ ∫1 1 2 52
0
2
2
0
2
0
2 2
0
’( ) dx dx dx 5 x 5 . 2 - 5 . 0 2 5 = uc. .
6 SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO
Chamamos de sólido de revolução ao sólido obtido ao girarmos uma região plana em torno de uma 
reta. Esta reta é chamada reta de revolução.
Exemplos:
1) Girando a reta em torno do eixo x, o sólido obtido é um cone.
y
x
f(x)
Figura 19 
y
x
Figura 20 
2) Girando o retângulo em torno do eixo x, o sólido obtido é um cilindro.
y
x
Figura 22 
y
x
Figura 21 
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6.1 Área de sólidos de revolução (rotação)
Quando fazemos a rotação de uma região plana em torno de um eixo, geramos um sólido. Para 
calcular a área da superfície deste sólido temos:
a) rotação em torno do eixo x
S dxy y
a
b
= + ( )∫2 1 2π 
 
’ 
y = f(x)
Figura 23
b) rotação em torno do eixo y
Exemplo:
S dy
sendo x g y
x
dx
dyc
d
=
=
+ 


∫2 1
2
π 
 
 ( )
x = g(y)
Figura 24
Calcular a área do sólido de revolução gerado pelo arco de circunferência ABC em torno do eixo Ox, 
conforme a figura (área da superficie esférica):
B
CA
Figura 25
A equação da circunferência de raio R é x2 + y2 = R2, daí temos y R x= 2 2– , isto é, y = ( R2 – x2) ½.
Calculando a derivada de y, temos:
y R x x
x
R x
’ ( ) .( )
( )
/
/
= − − = −1
2
22 2 1 2
2 2 1 2
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Substituindo na fórmula, temos:
S y y dx R x
x
R x
dx
R
R
R
R
= + = +




=∫ ∫2 1 2 2 12 2 2 2 1 2
2
π π
– – /
( ’) –
–
( – )
= + = + =∫ ∫2 1 22 2
2
2 2
2 2
2 2 2
2 2π πR x
x
R x
dx R x
R x x
R x
dx
R
R
R
R
–
–
–
–
–– –
= = =∫ ∫2 22 2
2
2 2
2 2
2 2
π πR x R
R x
dx R x
R
R x
dx
R
R
R
R
–
–
–
–– –
= = = = + =∫ ∫2 2 2 2 4 2π π π π πR dx R dx R x
R
R
R R R R
R
R
R
R
– – –
( )
6.2 Volume de sólidos de revolução (rotação)
Seja y = f(x) uma função contínua em [a,b], seja R a região sob o gráfico de f de a até b.
1º caso: o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo dos x é dado por
 V f x
a
b
dx= ∫π 
 
[ ( ) ] 2
Exemplos:
1) Calcular o volume do sólido gerado pela revolução da região indicada na figura, em torno do eixo 
dos x, para 0 ≤ x ≤ 3.
y
x
f(x) = x
(a)
Figura 26 
y = f(x)
y
x
(b)
Figura 27 
Observe que o sólido gerado pela região (figura (a)) é um cone (figura (b)).
Para calcular o volume deste sólido devemos calcular a integral:
V f x dx temos f x x a e b
a
b
= = = =∫π [ ( )] , ( ) , .
2
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Assim:
V f x dx x dx
x
u v= = = = − =∫ ∫π π π π π π[ ( )] . .20
3 2
0
3 3 3
0
3 3
3
3
3
0
3
9
2) Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região entre o gráfico 
de f(x) = cos x e o eixo dos x, de 0 até 
3
2
π
.
Inicialmente vamos construir o gráfico de f e marcar a região R.
y y
1
0 x
x
f(x) = cos x
3
2
π
2π
Figura 28
1
f(x) = cos x
3
2
π
2π
Figura 29
Para calcular o volume, temos:
V f x dx f x x a e b
a
b
= = = =∫π π[ ( )] , ( ) cos ,2 0 32
Assim:
V f x dx x dx= =∫ ∫π π
π π
[ ( )] (cos )
/ / ( )2
0
3 2 2
0
3 2 1 
Inicialmente vamos fazer a substituição:
cos cos( )x x( ) = +2 1
2
1
2
2
(cos ) cos( ) cos( )x dx x dx dx x dx2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
2∫ ∫ ∫ ∫= + = +
Resolvendo a integral por substituição, temos:
1
2
2
1
2
2
1
2 2
1
4
1
4
2cos( ) cos( ) cos cosx dx x dx u
du
u du sen x∫ ∫ ∫ ∫= = = =
u = 2 x
du
dx
=2 , isto é, du dx
2
=
81
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 E
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e 
Fa
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- 
Di
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m
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: L
éo
 -
 0
3/
02
/2
01
2
CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
Substituindo em (1), temos:
V f x dx x dx x sen x= = = +


∫ ∫π π π
π π π
[ ( )] (cos )
/ /
/
2
0
3 2 2
0
3 2
0
31
2
1
4
2
22
=
= + 








− +









 =π
π π1
2
3
2
1
4
2
3
2
1
2
0
1
4
2 0. .sen sen
= +



+







= +



π π π π π3
4
1
4
3 0
1
4
0
3
4
1
4
0sen sen– . - + . 00
1
4








=
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� ��
� �3
4
0
3
4
2
– . .u v
2º caso: o volume do sólido gerado pela rotação de uma região R que está entre os gráficos de duas 
funções, f e g, em torno do eixo dos x é dado por:
 V f x g x
a
b
dx= ∫π 
 
[ ( ) ] - [ ( ) ]2 2
Exemplo:
Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região limitada pelas 
funções f(x) = x e g(x) = x2, no intervalo [0, 1].
Substituindo os dados na fórmula, temos:
g(x) f(x)
A
10
Figura 30
V f x g x dx x x dx x x dx
a
b
� � � � � �� � �� � �[ ( )] [ ( )] [ ] [ ]2 2 2 2 20
1 24
0
1
82
Unidade III
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: L
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 0
3/
02
/2
01
2
v
x x= −








= −





 − −











π π
3 5
0
1 3 5 3 5
3 5
1
3
1
5
0
3
0
5 


⋅ =π 2
15
u v. .
3º caso: o volume do sólido gerado pela rotação de uma região R, em torno de uma reta paralela 
ao eixo x.
O eixo de rotação é a reta y = L, então:
 V f x L
a
b
dx= ∫π 
 
[ ( ) - ] 2
Exemplo:
Determinar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta y = 3, da região R limitada por 
y
x
= 1 , y = 3 e x = 4.
Para determinar a região R, devemos esboçar o gráfico da função y
x
= 1 , representar as retas y = 3, 
x = 4 e encontrar o valor da abscissa de intersecção entre y
x
= 1 e y = 3.
Igualando y
x
= 1 e y = 3 temos 
1
3
x
= e daí x = 1
3
.
Graficamente, temos:
x
y
4
R
1/3
y = 3
y = 1/x
Figura 31
V f x L dx
x
dx
x xa
b
= − = −



= − +


∫ ∫π π π[ ( ) ] / /
2
2
1 3
4
21 3
41
3
1
6
1
9∫∫ =dx
V x Lnx x� � ���
�
��
–
/
–1
1 3
4
6 9
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3/
02
/2
01
2
CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
V Ln Ln� � �� � ��
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�� 4 6 4 9 4
1
3
6
1
3
9
1
3
1
1
–
–
– . – – . 665 34, . .u v
 Saiba mais
Saiba mais sobre outras aplicações das integrais lendo o capítulo 6 de:
STEWART, J. Cálculo. v. 1. São Paulo: Pioneira-Thomson Learning, 2001.
Veremos agora mais alguns exemplos para auxiliar em seus estudos.
6.3 Ampliando seu leque de exemplos
1) Determinar a área da região entre os gráficos das funções f(x) = -x2 +4 e g(x) = x2 + 2.
A região é dada pela integral da função f(x) – g(x) no intervalo [0, 1], isto é, devemos calcular a integral:
f x g x dx x x dx x dx( ) - ( ) (- ) - ( ) - 
0
1
2 2
0
1
24 2 2 2∫ ∫= + + = +
00
1
∫
Vamos inicialmente resolver a integral indefinida:
-2 2 2
3
22
3
 x dx
x
x c+ = − + +∫
Substituindo na integral:
-2 2 2
3
22
0
1 3 1
0
 x dx
x
x+ = − +



∫
Substituindo os extremos de integração, vem:
- . .2 2 2
1
3
2 1 2
0
3
2 0
2
3
2
0
1 3 3
 x dx+ = − +




− − +




= − +∫ 22 0 43− = ua. .
2) Determinar a área da região limitada pelo gráfico de f(x) = ex, pelas retas x = 0, x = 2 e o eixo x.
Inicialmente, vamos fazer a representação gráfica da região da qual queremos determinar a área:
84
Unidade III
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 0
3/
02
/2
01
2
f(x) = ex
1
0 2
Figura 32
 Lembrete
Observe o desenho e faça a integral da função “de cima” menos a 
função “de baixo”.
Assim devemos calcular:
e dxx –0
0
2
∫ .
Essa é uma integral imediata, logo:
e dx e e e e uax x– . .0 1
0
2 2
0
2 0 2∫ = ( ) = −( ) = − 
3) Calcular a área da região limitada pelo gráfico das funções f(x) = x2 + 2 e g(x) = - x + 8 no intervalo 
0 ≤ x ≤ 2 .
A região da qual queremos a área é representada pela figura a seguir:
8
0 2 8 f(x) = - x + 8
2
f(x) = x2 + 2
Figura 33
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: L
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 -
 0
3/
02
/2
01
2
CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
A integral a ser calculada é:
− +( ) +( )∫ x x dx8 22
0
2
- . 
Utilizando a propriedade distributiva, conseguimos uma forma mais simples para a integral:
− +( ) +( ) = +∫ ∫x x dx x x dx8 2 62
0
2
2
0
2
- - - . 
Calculando a integral imediata:
− − + = − − +∫ x x dx
x x
x2
3 2
6
3 2
6
Substituindo os extremos de integração, temos:
– – –x x dx
x x
x�� � �� � � � ��
�
��
�
�
��� 8 2 3 2 6
2
0
2
0
2 3 2
 
� �� � �� � � � � ��
�
��
�
�
�� � � � �� x x dx8 2
2
3
2
2
6 2
0
3
0
2
62
0
2 3 2 3 2
- ( ) (( ) . .0
22
3
�
�
��
�
�
�� � ua
4) Calcular a área da região marcada
f(x) = x2 - 9
-9
3 4
Figura 34
Devemos calcular a integral:
− − + −∫ ∫x dx x dx2
0
3
2
3
4
9 9 
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Unidade III
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: L
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 -
 0
3/
02
/2
01
2
 Observação
A região que está abaixo do eixo x deve ser precedida do sinal de “menos”.
Calculando as integrais:
- .x dx x dx
x
x
x2
0
3
2
3
4 3 3
0
3
9 9
3
9
3
+ + − = − +




+∫ ∫ −−




9
4
3
 x .
Substituindo os extremos de integração:
- . . -x dx x dx2
0
3
2
3
4 3
9 9
27
3
9 3
4
3
9 4
3+ + − = − + + −∫ ∫ 
33
3
9 3+ = .
= + + − − + =- . .9 27 64
3
36 9 27
64
3
 ua
5) Calcular a área da região limitada pela função f(x) = sen x no intervalo 0 ≤ x ≤ π/2.
A região a ser calculada é representada pela figura:
1
0 π/2
Figura 35
Devemos então calcular a integral:
sen x dx 
0
2π/
∫
Calculando a integral imediata e substituindo os extremos de integração:
sen x dx x 
 
0
2 2
0 2
0 0 1
π π π/ /
cos cos cos∫ = −( ) = − + = + = 11
87
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 0
3/
02
/2
01
2
CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
6) Determinar o comprimento de arco da função f(x) = 2 x, no intervalo 0 ≤ x ≤ 2.
Para determinar o comprimento de arco da função, vamos utilizar a fórmula:
A f x= + ( )∫ 1 2
0
2
’( )
Inicialmente você deve determinar a derivada da função f(x) = 2x
y = f(x) = 2x
y’ = f’(x) = 2
Substituindo na fórmula:
A f x dx dx= + ( ) = + ( )∫ ∫1 1 22
0
2
2
0
2
’( ) . 
Efetuando a potência:
A f x dx dx dx dx= + ( ) = + ( ) = + =∫ ∫ ∫ ∫1 1 2 1 4 52
0
2
2
0
2
0
2
0
2
’( ) 
Calculando a integral e substituindo os extremos de integração
A f x dx x uc= + ( ) = ( ) = =∫ 1 5 5 2 5 0 2 52
0
2 2
0
’( ) . - . . . 
7) Utilizando a fórmula S dxy y
a
b
= + ( )∫2 1 2π 
 
’ , determinar a área da superfície de revolução 
em torno do eixo x, da curva dada por f(x) = 2x no intervalo [0,2] .
Devemos inicialmente calcular a derivada de f:
f(x) = 2x
f‘(x) = 2
Substituindo na fórmula:
S dx dxy y x
a
b
= =+ ( ) + ( )∫ ∫2 21 2 1 22 20
2
π π 
 
’
88
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 0
3/
02
/2
01
2
Você deve efetuar a potência e deixar a função a ser integrada da forma mais simples possível:
S dx dxy y x
a
b
= =+ ( )∫ ∫2 2 51 22 0
2
π π 
 
’
Resolvendo a integral e substituindo os extremos de integração:
S dx xy y
a
b
= = = − =+ ( ) ( )∫2 2 5 2 2 5 2 0 81 2
2
0
2π π π 
 
’ ( ) ( ) 5 π u a. .
8) Utilizando a fórmula S dyx
dx
dyc
d
= + 


∫2 1
2
π 
 , determinar a área da superfície de revolução 
em torno do eixo y, da curva dada por f(x) = 4x no intervalo 1 ≤ x ≤ 2.
Devemos inicialmente isolar x:
y x x
y= ⇒ =4
4
Agora devemos calcular a derivada de x, assim:
dx
dy
= 1
4
Como mudamos a variável, devemos agora recalcular o intervalo de integração utilizando a relação 
x
y=
4
, o novo intervalo será:
1 ≤ x ≤ 2 ⇒ 4 ≤ y ≤ 8
Substituindo na fórmula, temos:
S dy dy
y dx
dy
y
c
d
= =+ 



+ 


∫ ∫2 24 1 4 1
1
4
2 2
4
8
π π 
 
Arrumando a função a ser integrada, temos:
S dy d
y dx
dy
y
c
d
= =+ 


∫ ∫2 2
17
164
1
1
4
2
4
8
π π 
 yy
Resolvendo a integral e substituindo os extremos de integração:
S dy
yy dx
dyc
d
= =+ 










 =∫2
17
8 2
1
4
1
2 2 8
4
π π π 
 77
8
8
2
4
2
2 2
 

















 =-
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 0
3/
02
/2
01
2
CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
= − =( )π π 17
8
32 8 3 17 u a. .
 Resumo
Nesta unidade, estudamos algumas aplicações da integral definida, 
como cálculo de áreas, comprimento de arco, área e volume de sólidos de 
revolução.
Cálculo de áreas
1º caso:
f(x) ≥ 0 no intervalo [a,b]
y
a
A
b x
f(x)
A f x dx
a
b
= ∫ ( )
2º caso:
f(x) ≤ 0 no intervalo[a,b]
a b x
f(x)
y
A
Neste caso, temos: A f x dx
a
b
= ∫– ( )
90
Unidade III
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 -
 0
3/
02
/2
01
2
3º caso: a área limitada por duas funções, f e g, contínuas em [a,b] e 
tais que f(x) ≥ g(x), ∀x ∈ [a, b] 
y
a b x
g(x)
f(x)
(a)
A
y
a b x
g(x)
f(x)
A
(b)
y
a b x
g(x)
f(x)
(c)
A
A dxf x g x
a
b
= ∫ [ ( ) - ( ) ] 
 
Comprimento de arco
S dxy
a
b
= + ( )∫ 
 
1 2’
Sólidos de revolução - sólido obtido ao girarmos uma região plana em 
torno de uma reta.
Área de sólidos de revolução
a) rotação em torno do eixo x
S dxy y
a
b
= + ( )∫2 1 2π 
 
’ 
y = f(x)
91
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 0
3/
02
/2
01
2
CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
b) rotação em torno do eixo y
S dy
sendo x g y
x
dx
dyc
d
=
=
+ 


∫2 1
2
π 
 
 ( )
x = g(y)
Volume de sólidos de revolução (rotação)
1º caso: volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo dos x:
V dxf x
a
b
= ∫π 
 
[ ( ) ] 2
2º caso: volume do sólido gerado pela rotação de uma região R que 
está entre os gráficos de duas funções f e g, em torno do eixo dos x:
V dxf x g x
a
b
= ∫π 
 
[ ( ) ] - [ ( ) ]2 2
3º caso: volume do sólido gerado pela rotação de uma região R, em 
torno de uma reta paralela ao eixo x, reta y = L:
V dxf x L
a
b
= ∫π 
 
[ ( ) - ]2
 Exercícios
Questão 1. O valor absoluto da área superficial de uma placa é igual ao valor da área da região 
delimitada pelas retas y = 0, y = x e y = - x + 5. Então, a área da placa vale, em unidades de área 
(u.A.):
A. 5
2
 B. 25
2
 C. 5
4
 D. 
25
4
 E. 25
8
Resposta correta: alternativa (D).
Análise das alternativas:
Representando-se as retas dadas no plano cartesiano, teremos:
92
Unidade III
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3/
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2
y
P
y = x
3
2
2 3 4 5 x
y = 0
y = - x + 5
1
1
0
0-1
Para encontrarmos as coordenadas do ponto P. devemos ter x = - x + 5, ou seja, x = 5
2
 e 
assim, y = 5
2
.
Integrando-se na variável x, teremos a área da região delimitada pelas três retas A(Rx):
A R xdx x dx A R x x xx x( ) ( ) ( )
/
/
/
= + − + ⇒ = 



+ − +∫ ∫
0
5 2
5 2
5
2
0
5 2
25
1
2
1
2
5



⇒
5 2
5
/
A R A Rx x( ) ( )= − + − − +




⇒ =25
8
25
2
25
25
8
25
2
25
4
Logo, a área da região delimitada pelas três retas, ou seja, a área superficial da placa, é de 
25
4
 u.A. 
(unidades de área).
Então:
(A) Alternativa incorreta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
(B) Alternativa incorreta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
(C) Alternativa incorreta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
93
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02
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01
2
CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
(D) Alternativa correta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
(E) Alternativa incorreta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
Questão 2. Considere a região delimitada por y a x= −2 2 , pelo eixo x e pelas retas x=-a e x=a 
sendo girada ao redor do eixo x. O sólido originado e o volume do sólido originado são respectivamente:
A) Uma esfera de raio a e volume V a= 4
3
3π
B) Uma esfera de raio a de volume V a= 32
3
3π
C) Um cubo de aresta a e volume V = a3
D) Um cubo de aresta 2a e volume V = 8a3
E) Um cilindro de raio a e volume V a= 32
3
3π
Resolução desta questão na Plataforma.