Análise Real - Livro Texto Unidade II

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Unidade II
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2 TEOREMAS SOBRE SEQUÊNCIAS
2.1 Propriedades e teoremas sobre sequências
Enunciaremos aqui algumas propriedades e teoremas 
importantes sobre sequências. Em alguns momentos omitiremos 
a demonstração dos fatos.
2.1.1 Teorema
Unicidade do limite. Se lim a an = e lim a bn = , então a = b.
Demonstração: dado que ε > 0, como lim a an = , existe 
n N1∈ tal que se n n a an> ⇒ − <1 2
| |
ε
.
Para esse mesmo ε, como lim a bn = , existe n N2 ∈ tal que 
se n n a bn> ⇒ − <2 2
| |
ε
.
Tomemos n n n0 1 2=max{ , } . Assim, se n > n0, temos:
| | | | | | | |a b a a a b a a a bn n n n− = − + − ≤ − + − < + =
ε ε ε
2 2
.
Essa última desigualdade vale qualquer que seja ε > 0. Em 
particular, se tomarmos ε = 1
n
, temos que:
| |a b
n
− < 1 , para qualquer n > n0, de onde podemos concluir 
que a = b.
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2.1.2 Definição
Uma sequência (an) se diz limitada inferiormente se existe 
um número real A tal que A < an para qualquer n. Uma sequência 
(an) é limitada superiormente se existe um número real B de 
forma que an < B para qualquer n. Uma sequência é limitada se 
for limitada inferior e superiormente.
Obs.: se (an) é limitada, existe um número M tal que |an| < M, 
para qualquer n.
Exemplos
1) A sequência an = n é limitada inferiormente (por exemplo, 
pelo número 0), mas não é limitada superiormente.
2) A sequência an = -n2 é limitada superiormente (por 
exemplo, pelo número 1), mas não inferiormente.
3 A sequência a
nn
= 1 é limitada.
4) A sequência an
n= − +( )1 1 é limitada.
2.1.3 Teorema
Toda sequência convergente é limitada.
Demonstração: seja lim a an = . Dado que ε > 0, existe n0 ∈ N 
tal que se n n a an> ⇒ − <0 | | ε , ou seja, a a an− < < +ε ε .
Restaram então finitos índices para os quais os an podem 
não pertencer ao intervalo (a - ε, a + ε), a saber, a a an1 2 0, , ..., .
 
Tomemos o menor (A) e o maior (B), elementos do conjunto 
{ , , ..., , , }a a a a an1 2 0 − +ε ε . Logo A a Bn≤ ≤ , o que conclui a 
demonstração.
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Obs.: a recíproca do teorema anterior não é verdadeira, de fato, 
a sequência an = (-1)n+1 é limitada, mas não é convergente.
O que sempre vale é o seguinte: se uma sequência não é 
limitada, ela é divergente.
2.1.4 Teorema
Se lim a an = 0 e (bn) é uma sequência limitada, então 
lima bn n = 0 .
Demonstração: Como (bn) é limitada, existe M tal que
| | ,b M nn ≤ ∀ .
De lim a an = 0, dado que ε > 0, existe n0 ∈ N tal que, se 
n > n0, tem-se | |a Mn
< ε .
Assim, se n > n0, | | | || |a b a b M
Mn n n n− = < =0
ε ε , o que 
prova que lima bn n = 0 .
Exemplo
5) Seja a
n
e b nn n= =
1
cos . Sabemos que lim a an = 0 e que 
(bn) é limitada. 
Logo, pelo teorema anterior, lim lim cosa b
n
nn n = =
1
0 .
2.1.5 Teorema
Se lim ( )ƒ x a= quando x tende ao infinito e se ƒ ( )n an= 
quando n é inteiro, então lim a an = .
Exemplos
6) Calculemos lim
1
np
 para p > 0.
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Da teoria de cálculo de uma variável, sabemos que lim
1
0
xp
= , 
se p > 0. Portanto, pelo teorema anterior, lim
1
0
np
= .
7) Calculemos agora lim
lnn
n
.
Tomando a função de variável x correspondente, isto é, 
f x
x
x
( )
ln= , podemos utilizar a regra de L’Hospital, como segue:
lim
ln
lim
( / )
lim
x
x
x
x
= = =1
1
1
0
Portanto, pelo teorema anterior, segue que lim
lnn
n
= 0 .
2.1.6 Teorema
Se lim| |an = 0 , então lim a an = 0.
Demonstração: como lim| |an = 0 , dado que ε > 0, existe 
n0 ∈ N tal que se n > n0 tem-se || | |an − <0 ε .
Mas || | | || || | | | |a a a an n n n− = = = −0 0 , ou seja, sempre que 
n > n0 tem-se | |an − <0 ε , o que implica que lim a an = 0.
Exemplo
8) Vamos calcular, se possível, lim
( )−1n
n
.
Temos que lim
( )
lim
− = =1 1 0
n
n n
. Portanto, pelo teorema 
anterior, segue que lim
( )− =1 0
n
n
.
2.1.7 Teorema
Teorema do confronto ou do sanduíche. Se an < bn < cn para 
n > n0 e se lim lima a cn n= = , então limb an = .
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Exemplo
9) Calculemos, se possível, lim
sen n
n
.
Temos que − ≤ ≤ ⇒ − ≤ ≤1 1 1 1sen senn
n
n
n n
, qualquer que 
seja n.
Como lim lim
− = =1 0 1
n n
, segue pelo teorema anterior que 
lim
senn
n
= 0 .
2.1.8 Teorema
A sequência (rn) é convergente se -1 < r < 1 e divergente 
para qualquer outro valor de r e, ainda,
lim
,
,
r
se r
se r
n =
− < ≤
=



0 1 1
1 1
Exemplos
10) lim lim
1
3
1
3
0n
n
= 

 =
11) lim lim
4
3
4
4
3
1n
n
n+
= 

 = ∞
2.1.9 Teorema
Se (an) e (bn) forem sequências convergentes e c uma 
constante qualquer, então valem:
i a b a b
ii ca c a
iii a b a
n n n n
n n
n n n
) lim( ) lim lim
) lim lim
) lim lim l
± = ±
=
= iim
) lim
lim
lim
, lim
b
iv
a
b
a
b
se b
n
n
n
n
n
n= ≠ 0
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2.2 Sequências monótonas e subsequências
2.2.1 Definição
Uma sequência (an) é dita crescente se a a nn n< ∀+1, . Se vale 
a a nn n≤ ∀+1, , ela é dita não decrescente. Uma sequência (an) é 
dita decrescente se a a nn n> ∀+1, . Se vale a a nn n≥ ∀+1, , ela é 
dita não decrescente. Em qualquer dos casos, ela é chamada de 
monótona.
Exemplos
12) A sequência a
nn
=
+
2
1
 é decrescente. Verifique!
13) A sequência a nn = +2 1 é crescente. Verifique!
2.2.2 Definição 
Uma subsequência de uma sequência (an) é a restrição 
da função que define a sequência a um subconjunto infinito 
do conjunto dos naturais. Notação: (ank); os elementos dessa 
subsequência são an1,an2,...ank,...
Exemplo
14) Dada a sequência a
nn
= 1 , podemos definir a subsequência 
a
nn2
1
2
= (a sequência original, restrita aos índices pares) ou, 
outro exemplo, a
nn2 1
1
2 1−
=
− (sequência original, restrita aos 
índices ímpares).
2.2.3 Teorema
Se lim a an = , então toda subsequência de (an) converge 
para o número a.
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Demonstração: seja ( , , ..., , ...)a a an n nk1 2 uma subsequência de 
(an).
Como lim a an = , dado que ε > 0, existe n0 ∈ N tal que se 
n n a an> ⇒ − <0 | | ε .
Mas os índices da subsequência formam um conjunto 
infinito, logo, existe um n nk0 0> .
Assim, se n n n n a ak k k nk< ⇒ > ⇒ − <0 0 | | ε , o que prova 
que a subsequência converge para a.
2.2.4 Corolário
Se lim a an = , então para todo k ∈ N tem-se lima an k+ = .
Demonstração: de fato, ( , , ..., , ...)a a ak k n k1 2+ + + é subsequência 
de (an).
Obs.: existem duas aplicações bastante úteis dos dois 
teoremas anteriores. Uma é mostra que uma dada sequência 
não converge, bastando para isso exibir duas subsequências 
com limites diferentes. Outra é para determinar o limite de uma 
sequência, sabendo-se de antemão que esse limite existe.
Exemplos
15) Dada a sequência an = cos (nπ), há duas subsequências 
que destacamos:
( ) ( , , , , ...) ( ) ( , , , , ...)a e an n2 2 111111 1 1 1 1 1= = − − − − −− . A primeira 
converge para 1 e a segunda para –1. Logo, a sequência original 
não tem limite.
16) Suponhamos que sabemos que existe o limite da 
sequência (mais à frente veremos o porquê) a n nn
n n= = 1/ e 
que seja a esse limite. Como n nn1 1/ ,> ∀ então a > 1.
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Tomemos a subsequência a nn
n
2
1 22= ( ) / . Pelo teorema 2.2.3, 
essa subsequência também converge para a. Temos então:
a n n n nn n n n n n2 1 2 2 1 1 1 1 12 2 2 2= = = =lim[( ) ] lim[( ) ] lim . lim lim/ / / / / / == a , 
pois lim /2 11 n = .
Logo, a2 = a e como a > 1 ⇒ a = 1. Ou seja lim /n n1 1= .
Axioma da completividade: se S é um conjunto não vazio 
de números reais que tem limitante superior M, então S tem 
um limitante superior b que é mínimo, isto é, se M for outro 
limitante superior, então b < M.
2.2.5 Teorema
Toda sequência monótona e limitada é convergente.
Demonstração: suponhamos que (an) seja crescente. Como 
ela é limitada, o conjunto de seus valores, S = {a1, a2,...,an,...}, é 
limitado superiormente. Pelo axioma da completividade, S tem 
um supremo, digamos a.
Dado que ε > 0, o número a - ε não é limitante superior de 
S (pois a é o menor deles). Portanto, a an0 > − ε para algum n0 
inteiro.
Como a sequência é crescente, temos que an > an0 para cada 
n > n0.
Logo, se n > n0, an > a - ε, então 0 < a - an < ε, pois an < a.
Portanto, |a - an|< ε sempre que n > n0.
Isso prova que lim a an = .
Se a sequência for decrescente, a demonstração é análoga.
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Exemplo
17) A sequência dada por a e a an n1 12 2= = ++ é 
crescente e limitada superiormente pelo número 3 (verifique!), 
logo, pelo teorema anterior é convergente.
Seja a o seu limite. Temos que:
a a a a an n n= = + = + = ++lim lim lim1 2 2 2 .
Portanto, a a a a a ou a= + ⇒ − − = ⇒ = = −2 2 0 2 12 .
Mas a sequência é de termos positivos, logo, a = 2, isto é, o 
limite dessa sequência é igual a 2.
2.3 Exercícios
1. Suponha que uma sequência (an) convergente é tal que 
lim an=a e lim an=b, podemos concluir que:
a) a > b
b) a < b
c) a = b
d) a = b = 1
e) a = b = 1/2
2. A sequência dada por a
n
n
n = +
3
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é:
a) Crescente
b) Decrescente
c) Não decrescente
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d) Não crescente
e) Nem crescente nem decrescente
3. A sequência dada por a
n
n =
1
2 é:
a) Limitada superiormente, mas não inferiormente
b) Limitada inferiormente, mas não superiormente
c) Limitada e convergente
d) Nem limitada inferiormente nem limitada superiormente
e) Uma sequência limitada, mas não convergente
4. Um dos teoremas sobre convergência de sequências diz que:
a) Toda sequência limitada é convergente
b) Toda sequência convergente não é limitada
c) Toda sequência limitada é divergente
d) Toda sequência convergente é limitada
e) Toda sequência é limitada e convergente
5. Como lim
x
xe
x→∞
= ∞ , podemos concluir que lim
n
ne
n→∞
 é 
igual a:
a) 0
b) 1
c) 1/2
d) ∞
e) É o número e
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6. O limite da sequência a
nn
n= − ++( )1 11 é:
a) 0
b) 1
c) Não existe
d) 1/2
e) 1/3
7. Sabendo que lim
1
0
3n
= , então:
a) lim
( )− =
+1
0
1
3
n
n
b) lim
( )− = −
+1
1
1
3
n
n
c) lim
( )− =
+1
1
1
3
n
n
d) lim
( )− +1 1
3
n
n
não existe
e) lim
( )− +1 1
3
n
n
 é um número maior que 1
8. Sendo lim0 = 0 e lim
1
0
n
= , então lim sen n
n
2
 é igual a:
a) Infinito
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b) 2
c) 1
d) 0
e) 1/2
9. A sequência an n=
1
3
 é:
a) Convergente com limite 1/3
b) Convergente com limite 0
c) Convergente com limite 1
d) Convergente com limite 2/3
e) Divergente
10. Sabendo que lim
1
03n
= , então lim 1
8 3n
 é igual a:
a) 1/8
b) 1/2
c) 0
d) Não existe
e) 1/64
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Resolução dos exercícios
1. A alternativa correta é a C.
Se existe o limite, ele é único e a sequência será convergente. 
Caso contrário, será divergente. Rever os exemplos e a teoria 
para confi rmar.
2. A alternativa correta é a A.
A sequência é crescente.
Para n ≥ 0 sabemos que n3 e n3+1 têm mesmo sinal, logo 
n
n
3
3 1
0
+
> . Por outro lado, o denominador é maior que o 
numerador, o que nos permite concluir que 
n
n
3
3 1
1
+
< . Com base 
nessas duas análises parciais concluímos que 0
1
1
3
3< +
<n
n
.
Você ainda pode usar o Excel para apoiar, numericamente, 
seu pensamento analítico. Mas não se esqueça de que a 
disciplina é Análise. Você precisa, aqui, desenvolver, lapidar e 
fortalecer o raciocínio analítico.
n
 
1 0,5
2 0,888888889
3 0,964285714
4 0,984615385
5 0,992063492
6 0,995391705
7 0,997093023
8 0,998050682
9 0,998630137
10 0,999000999
11 0,999249249
12 0,999421631
13 0,999545041
14 0,999635701
1000 0,999999999
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3. A alternativa correta é a C.
Limitada e convergente. Ela é limitada, uma vez que todos os 
termos estão entre 0 e 1, e é convergente, uma vez que lim = 12nse aproxima de 0.
4. A alternativa correta é a D.
Toda sequência convergente é limitada, conforme o item 
2.1.3 Teorema do livro-texto. Voltemos ao Teorema.
Demonstração: seja lim a an = . Dado que ε > 0, existe n0 ∈ N 
tal que se n n a an> ⇒ − <0 | | ε , ou seja, a a an− < < +ε ε .
Restaram então finitos índices para os quais os an podem 
não pertencer ao intervalo (a - ε, a + ε), a saber, a a an1 2 0, , ..., .
 
Tomemos o menor (A) e o maior (B), elementos do conjunto 
{ , , ..., , , }a a a a an1 2 0 − +ε ε . Logo A a Bn≤ ≤ , o que conclui a 
demonstração.
Obs.: a recíproca do teorema anterior não é verdadeira, 
de fato, a sequência an = (-1)n+1 é limitada, mas não é 
convergente.
O que sempre vale é o seguinte: se uma sequência não é 
limitada, ela é divergente.
5. A alternativa correta é a D.
Veja o item 2.1.5 Teorema do livro-texto.
6. A alternativa correta é a C.
Esta sequência tende a 0 e a 1, logo, não pode ter limite.
33
ANÁLISE REAL
Re
vi
sã
o:
 T
at
ia
ne
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 0
5/
03
/0
9 
 //
 2
ª R
ev
is
ão
: A
na
 M
ar
ia
 -
 C
or
re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
14
/1
2/
10
7. A alternativa correta é a A.
Pois (–1)n+1 é limitada e lim
1
0
3n
= . Conforme o item 
 
2.1.4 Teorema do livro-texto. Estude o teorema abaixo:
Teorema: se lim a an = 0 e (bn) é uma sequência limitada, 
então lima bn n = 0 .
Demonstração: como (bn) é limitada, existe M tal que
| | ,b M nn ≤ ∀ .
De lim a an = 0, dado que ε > 0, existe n0 ∈ N tal que, se 
n > n0, tem-se | |a Mn
< ε .
Assim, se n > n0, | | | || |a b a b M
Mn n n n− = < =0
ε ε , o que 
prova que lima bn n = 0 .
8. A alternativa correta é a D, conforme o teorema do 
sanduíche (veja abaixo do gráfico).
Sabendo que lim sen2n é limitada e lim
1
0
n
= , então 
lim
sen n
n
2
0=
Abaixo apresentamos o gráfico de f(x) = sen2x para você 
confirmar visualmente que ela é uma função limitada.
y
1
π x
34
Unidade II
Re
vi
sã
o:
 T
at
ia
ne
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 0
5/
03
/0
9 
 //
 2
ª R
ev
is
ão
: A
na
 M
ar
ia
 -
 C
or
re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
14
/1
2/
10
Logo, a sequência sen2n também é limitada.
Teorema do sanduíche: se an ≤ bn ≤ cn para n > n0 e se 
lim an = a = lim cn então lim bn = a.
Vejamos: temos
− ≤ ≤ ⇒ − ≤ ≤ ∀1 1 1 12
2
sen n
n
sen n
n n
n
lim
,
Como lim lim ,
− = =1 0 1
n n
 segue pelo teorema do sanduíche 
 
que limsen n
n
2
0= .
9. A alternativa correta é a B.
Para confirmar essa resposta, basta revisar o item 2.1.8 
Teorema do livro-texto. Vamos relembrá-lo:
Teorema: a sequência (rn) é convergente se -1 < r ≤ 1 e 
divergente para qualquer outro valor de r e, ainda,
lim
,
,
r
se r
se r
n =
− < ≤
=



0 1 1
1 1
Exemplos
1) lim lim
1
3
1
3
0n
n
= 

 =
2) lim lim
4
3
4
4
3
1n
n
n+
= 

 = ∞
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ANÁLISE REAL
Re
vi
sã
o:
 T
at
ia
ne
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 0
5/
03
/0
9 
 //
 2
ª R
ev
is
ão
: A
na
 M
ar
ia
 -
 C
or
re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
14
/1
2/
10
10. A alternativa correta é a C.
Basta revisar o item 2.1.9 Teorema do livro-texto. Vamos 
relembrá-lo:
Teorema: se (an) e (bn) forem sequências convergentes e c 
uma constante qualquer, então valem:
i a b a b
ii ca c a
iii a b a
n n n n
n n
n n n
) lim( ) lim lim
) lim lim
) lim lim l
± = ±
=
= iim
) lim
lim
lim
, lim
b
iv
a
b
a
b
se b
n
n
n
n
n
n= ≠ 0
Vale o item iii e também vale o teorema 2.2.3 do 
livro-texto.
Antes de lembrar o teorema, vejamos a definição de uma 
subsequência.
Uma subsequência de uma sequência (an) é a restrição 
da função que define a sequência a um subconjunto infinito 
do conjunto dos naturais. Notação: (ank); os elementos dessa 
subsequência são an1,an2,...ank,...
O teorema que acabamos de citar diz que toda subsequência 
tem que convergir para o mesmo limite. Estude-o novamente, 
esse é um resultado importante.
Teorema: se lim a an = , então toda subsequência de (an) 
converge para o número a.
Demonstração: seja ( , , ..., , ...)a a an n nk1 2 uma subsequência de 
(an).
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Unidade II
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o:
 T
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am
aç
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: F
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 0
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03
/0
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 //
 2
ª R
ev
is
ão
: A
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 M
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ia
 -
 C
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re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
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/1
2/
10
Como lim a an = , dado que ε > 0, existe n0 ∈ N tal que se 
n n a an> ⇒ − <0 | | ε .
Mas os índices da subsequência formam um conjunto 
infinito, logo, existe um n nk0 0> .
Assim, se n n n n a ak k k nk< ⇒ > ⇒ − <0 0 | | ε , o que prova 
que a subsequência converge para a.