CÁLCULO I [REVISÃO MATEMÁTICA BÁSICA e FUNÇÕES]

1 Professor Vinícius Fe rnandes 9 999 3-1552 Data: 15.02.20 17 O QUE É C ÁLCULO?! Cálculo é a áre a da Matem ática que trata d e v ariações, ou seja, do estudo d e grandezas v ariáveis. Embora atribuído independentemente a Newton (1642-1727) e a Leibniz (1646- 1716), o Cálculo foi, na verdade, o resultado do esforço de muitos matem áticos que ao longo da história foram lançando sem entes e de- senvolvendo ideia s que culm inaram no que hoje estud a- mos. Dentre estas idei as podemos citar: \uf0d8 Os Paradoxos de Zenão (45 0 a.C.) que introduzi- ram a idéia de infinito e infinitésim os; o Método de Exaustão de Eudox o (370 a.C .) que permitiu o cálculo da área de um círculo conhecido, a partir da soma da área de um núm ero m uito grande de políg onos inscri- tos nele; \uf0d8 O Método de Equi líbrio de A rquimedes (287-212 a.C.) que fornecia a fórmula para áreas e volumes (da esfera, cilindro e cone, por exemplo) a partir de um número muito grande de tiras planas ou fatias paralelas finas \u2013 este trabalho, contido em \u201cO Método\u201d, só che- gou à Europa Ocide ntal por v olta de 1450; \uf0d8 O Mét od o dos Indiv isíveis de Cavalieri (1598- 1647) que também tratava do cálculo de área e volu- mes; \uf0d8 Método de Ferm at (publicado em1629) que trata da determinação de máximos e mínim os de um a fun - ção através do estudo da derivada. Fermat descobriu também um procedimento gera l para determina r a tan- gente por um ponto de um a curva cuja equação carte- siana é dada; \uf0d8 A s ideias de integ ral de potências com expoentes fracionários e neg ativos, bem co mo o comprim ento de um elemento de arco de uma curva atr avés de d iferen- ciais, desenvolv idos por Wallis (1616-1703), um dos precursores im ediatos de N ewton; \uf0d8 Lectiones op ticae et geometricae escrito por Bar- row (1630- 1677), outro precursor de N ewton, onde se encontra uma abordagem muito próxima do processo moderno de dife renciação; \uf0d8 E finalmente Newton, na Inglaterra e Leibniz, na Alemanha, pa rtindo de toda s estas ideias, des envolve- ram e formalizaram o que hoje chamamos de Cálculo Diferencial e Integral , i ncluin do a ligação existente entre a integraçã o e a difere nciação. Segundo a história, Newton desenvolv eu sua teoria en- tre 1665 e 1667, porém não a publicou neste período. Leibniz teria desenvolvido um pouco depois, por volta de 1672. Como podemos notar, em bora hoje seja n atural apren- der primeiro as ideias de derivadas e depois de integrais (vam os ver durante os estudos), os seus desenvolvim entos ocorreram na or dem invers a, ou seja, primeir o foi desen- volvida a parte de integração, depois de diferenciação e depois ainda, a percepção de que ambas estavam relacio- nadas, sendo uma a inversa da outra. Este feito é atribuído a Leibniz. Uma noção intuitiva de qual é a diferença entre a ma- temática básica e c álculo pode ser v isto na Figura 1 : Figura 1 - A difere nça entre a matemática básica e cá lculo. (RYAN , 2002) O problem a, em am bos os casos, é determinar a quan- tidade de energia necessária para empurrar a caixa até o topo. Você pode fazer o problema da esquerda usando matem ática básica. Para o da direita, você prec isa do cál- culo (supondo que você não saiba dos atalhos da física). Esses envolvem o cálculo da derivada e integral, ambas baseadas na noção d e limite. Mas, para resolver probl emas de cálculo, faz-se neces- sário o conhec imento da m atemática básica, funções e tri- gonometria. Vou me guiar pela revisão do livro cálculo, volum e I de James Stewart. Vamos revisar! ? 1. NOÇÕES BÁSICA S 1. C ONJUNTO DOS N ÚMEROS N ATURAIS \u2013 \ue533 \ue533 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . ..} OBS: O sím bolo N* é usado par a indicar o conjun to de números naturais n ão-nulos. 2. C ONJUNTO DOS N ÚMEROS I NTEIROS \u2013 \ue53a \ue53a = { ..., - 3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} 3. C ONJUNTO DOS N ÚMEROS R ACIONAIS \u2013 ( \ue003\ue537 ou Q ) Q = {x \ue201 x = b a , com a \uf0ce \ue53a , b \uf0ce \ue53a e b \uf0b9 0} OBS: dizim a periódica faz parte de sse conjunto C Á L C U L O I [ R E V I S Ã O - M A T E M Á T I C A B Á S I C A ] 2 Professor Vinícius Fe rnandes 9 999 3-1552 Data: 15.02.20 17 4. C ONJUNTO DOS N ÚMEROS I RRACIONAIS \u2013 I São decim ais com infinitas casas, cujos elemen- tos aparecem ale atoriamente: 2 = 1,4142135... 3 = 1,7320508... \uf070 = 3,1415926535... e = 2,71828... (n. º de Euler) 5. C ONJUNTOS DOS N ÚMEROS R EAIS \u2013 R OU \ue539 \ue539 = \ue537\ue003 U I = { x / x é racional ou x é i rracional} 2. OPERAÇÕES e PROPRIED ADES (I) Comutativa : quaisquer que sejam dois números reais a e b, sempre se tem: \ue73d\ue003 \ued45 \ue003\ue73e \ue003 \ued4c \ue003\ue73e\ue003 \ued45 \ue003\ue73d \ue003\ue741\ue003 \ue73d\ue73e \ue003 \ued4c \ue003 \ue73e\ue73d (II) Associativa : qu aisquer que sejam os núm eros reais a, b e c, sempre s e tem: (a + b) + c = a + (b + c) e a(bc) = ( ab)c ( III ) Elemento n eutro : existem únicos números reais, indicados por 0 e 1 , tais que, par a qualquer número real a , ver ificam a + 0 = a e a .1 = a (IV) Elemento opos to e elemento inve rso: (i) Dado um núm ero real a , existe um único nú- mero real, indic ado por - a , cham ado oposto de a , tal que \ue73d \ued45 \uf23a\ued46\ue73d \uf23b \ued4c \ue372 . (ii) Dado um número real a \u2260 0 , exist e um único número real indic ado por \ueb35 \uebd4 \ue003 ou por \ue73d \ueb3f\ueb35 , chamado in- verso multipl icativo de a , tal que: \ue73d\ue1e4 \ue373 \ue73d \ued4c \ue373 ( V ) Distribu tiva : quaisquer que se jam a , b e c reais, sempre se tem : \ue73d\ue003 \uf23a \ue73e \ued45 \ue73f \uf23b \ued4c \ue73d\ue73e \ued45 \ue73d\ue73f e \uf23a \ue73e \ued45 \ue73f \uf23b \ue73d \ued4c \ue73e\ue73d \ued45 \ue73f\ue73d P OTENCIAÇÃO : sendo a e b números reais não nulos, m e n inteiros, tem- se: a) \ue73d \ueb35 \ued4c \ue73d\ue003 b) \ue73d\ue3b9 \ued4c \ue373 c) \ue73d \uebeb \ue73d \uebec \ued4c \ue73d \uebeb\ueb3e\uebec d) \uebd4 \uece3 \uebd4 \uece4 \ued4c \ue73d \uebeb\ueb3f\uebec e) \ue73d \uebeb \ued4c \ue73d \uebec \ue003 \ue55c \ue754 \ued4c \ue755 f) \uf23a \ue73d \uebeb \uf23b \uebec \ued4c \ue73d \uebeb\ue1e4\uebec g) \uf23a \ue73d\ue73e \uf23b \uebeb \ued4c \ue73d \uebeb \ue1e4 \ue73e \uebeb h) \uf240 \uebd4 \uebd5 \uf241 \uebeb \ued4c \uebd4 \uece3 \uebd5 \uece3 i) \ue73d \uec2d \uec2e \ued4c \ue3be \ue73d 3. F ATORAÇÃO E P RODUTOS N OTÁVEIS : Fatorar é coloc ar em forma de produto : a) Fator comum em ev idência: \ue73d\ue73e \ue003 \ued45 \ue003 \ue73d\ue73f \ue003 \ued4c \ue003\ue73d \ue1e4 \uf23a\ue73e\ue003 \ued45 \ue003\ue73f \uf23b b) Agrupamento: \ue73d\ue73f \ued45 \ue73e\ue73f \ued45 \ue73d\ue740 \ued45 \ue73e\ue740 \ued4c \ue73f \uf23a \ue73d \ued45 \ue73e \uf23b \ued45 \ue740 \uf23a \ue73d \ued45 \ue73e \uf23b \ue003\ued4c \uf23a\ue73d \ued45 \ue73e\uf23b\uf23a\ue73f \ued45 \ue740 \uf23b c) Diferença entre do is quadrados : a 2 \u2013 b 2 = (a + b)(a \u2013 b) d) Trinômio quadrado pe rfeito: a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 ou a 2 \u2013 2ab + b 2 = (a \u2013 b) 2 e) Trinômio do do 2º grau: x 2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) Produtos Notáveis: Importantes na r esolução de ques- tões envolvendo Lim ites (i) Quadrado da som a de dois termos \uf23a\ue73d\ue003 \ued45 \ue003\ue73e\uf23b\ue37e\ue003 \ued4c \ue003\ue73d\ue37e \ue003 \ued45 \ue003\ue374\ue1e4 \ue73d \ue1e4 \ue73e\ue003 \ued45 \ue003\ue73e \ue37e (ii) Quadrado da di ferença de doi s termos \uf23a\ue73d \ue003 \uf02d \ue003\ue73e\uf23b\ue37e\ue003 \ued4c \ue003\ue73d\ue37e\ue003 \uf02d \ue003\ue374\ue1e4 \ue73d\ue1e4 \ue73e \ue003 \ued45 \ue003\ue73e\ue37e (iii) Produto da soma p ela diferença en tre dois termos \uf23a\ue73d\ue003 \ued45 \ue003\ue73e \uf23b\ue1e4 \uf23a\ue73d\ue003 \uf02d \ue003\ue73e\uf23b \ue003 \ued4c \ue003\ue73d\ue37e\ue003\ue202 \ue003\ue73e\ue37e (iv) Produto da fo rma (x + a).( x + b) \ue754\ue37e\ue003 \ued45 \ue003 \uf23a\ue73d \ue003 \ued45 \ue003\ue73e \uf23b\ue754\ue003 \ued45 \ue003\ue73d\ue1e4 \ue73e \ue003 \uf0de \ue003\ue754\ue37e\ue003 \ued45 \ue003 \ue735\ue754 \ue003 \ued45 \ue003\ue732 (v) Cubo da Soma \uf23a \ue73d\ue003 \ued45 \ue003\ue73e \uf23b \ueb37 \ued4c \ue003 \ue73d \ueb37 \ued45 \ue375\ue73d \ueb36 \ue73e \ued45 \ue375\ue73d \ue73e \ueb36 \ued45 \ue73e\ue37f (vi) Cubo da Difere nça \uf23a \ue73d \ued46 \ue003\ue73e \uf23b \ueb37 \ued4c \ue003 \ue73d \ueb37 \ued46 \ue375\ue73d \ueb36 \ue73e \ued45 \ue375\ue73d \ue73e \ueb36 \ued46 \ue73e\ue37f (vii) Soma de dois cubos \ue73d \ueb37 \ued45 \ue73e\ue37f \ued4c \uf23a\ue73d \ued45 \ue73e \uf23b\uf23a\ue73d \ueb36 \ued46 \ue73d\ue73e \ued45 \ue73e\ue37e\uf23b (vii) Diferença de d ois cubos \ue73d \ueb37 \ued46 \ue73e\ue37f \ued4c \uf23a\ue73d \ued46 \ue73e \uf23b\uf23a\ue73d \ueb36 \ued45 \ue73d\ue73e \ued45 \ue73e\ue37e\uf23b 4. I NTERVALOS Certos conjuntos de núm eros reais, denominados inter- valos , ocorrem frequentemente no cálculo e correspon- dem geometricam ente a segm entos de reta. Por exem plo, se \ue73d \ued4f \ue73e , o intervalo aberto de a até b (deno tado pelo símbolo ( a , b )) é o conjunto pode ser esc rito: \uf23a \ue73d \ue1e1 \ue73e \uf23b \ued4c \ued5b \ue754 \ue201 \ue73d \ued4f \ue754 \ued4f \ue73e \ued5f O interva lo f ech ado de a até b é o conjunto pode ser es- crito: \uf23e\ue73d \ue1e1 \ue73e\uf23f \ued4c \ued5b \ue754 \ue201 \ue73d \ued51 \ue754 \ued51 \ue73e \ued5f Uma revisão sobr e esses interv alos: 3 Professor Vinícius Fe rnandes 9 999 3-1552 Data: 15.02.20 17 5. V ALOR A BSOLUTO O valor absolu to de um núm ero a, denotado p or \ue201 \ue73d \ue201 , é a distância de a até 0 na reta real. Como distâncias são sempre positiv as ou nulas, tem os: \ue201 \ue73d \ue201 \ued52 \ue372 para todo núm ero a. Por exem plo, \ue201 \ue375 \ue201 \ued4c \ue375 e \ue201 \ued46\ue375 \ue201 \ued4c \ue375 Em geral, tem os: \ue201 \ue73d \ue201 \ued4c \ue73d se \ue73d \ued52 \ue372 \ue201 \ue73d \ue201 \ued4c \ued46\ue73d se \ue73d \ued4f \ue372 6. T RIGONOMETRIA E F UNÇÕ ES T RIGONOMÉTRICAS (i) Ângulos Os ângulos podem ser medidos em graus ou radianos (abreviado por rad). O ângulo dado por uma revolução completa tem 360º, que é o m esmo que 2p rad. Portanto: \ue7e8\ue003\ue74e\ue73d\ue740 \ued4c \ue373\ue37a\ue372\ue3b9 (ii) Em círculos: Como mostrado na fi gura acima, um setor de um cír- culo com ângulo central u e raio r subtendend o um arco com com primento a. Com o o com primento do arco é pro- porcional ao tamanho do ângulo, e como todo o círculo tem circunferên cia 2 \ue7e8 r e ângulo centra l 2 \ue7e8 , temos: \ue7e0 \ue374\ue7e8 \ued4c \ue73d \ue374 \ue7e8\ue74e Isolando \ue7e0 e a nessa equ ação, obtemos: \ue7e0 \ued4c \uebd4 \uebe5 ou \ue73d \ued4c \ue74e\ue1e4 \ue7e0 (iii) Em triângulo retângulo Logo : \ue095\ue087\ue090\ue003 \ue245 \ued4c \ue755 \ue74e \ue003 \ue085\ue091\ue095 \ue003 \ue245 \ued4c \ue754 \ue74e \ue003 \ue096\ue089 \ue003 \ue245 \ued4c \ue755 \ue754 \ue003 \ue085\ue091\ue096\ue089\ue003 \ue245 \ued4c \ue754 \ue755 \ue003\ue003 \ue085\ue091\ue095\ue095\ue087\ue085\ue003 \ue245 \ued4c \ue74e \ue755 \ue003 \ue095\ue087\ue085\ue003 \ue245 \ued4c \ue74e \ue754 \ue003 EXERCICIOS DE FIXAÇÃO 1. Completa usando os símbolos \uf0ce ou \uf0cf : a) \u2013 9 __ N b) \ue3be \ue379 __ Q c) ½ ___ I d) \ueda7 \ueb3b \ueb37 ___ Q e) \ue3be \ued46 \ue374\ue379 \uec2f __ Z f) 3,232 __ Q g) \ueda7 \ueb3d \ueb37 ___ R h) 0,133... ___Q i) \ueb37\ueb35\ueb3b \ueb35\ueb34\ueb34 ___ Q j) 8,3 ___ Z L) -11 ___ N m) 15 2 ___N 2. Dado que \ue754\ue003 \ued4c \ue003\ue73d \ue003 \ued45 \ue003 \ue754 \ueb3f \ueb35 , a expre ssão \ue754\ue37e \ued45 \ue003 \ue754 \ueb3f\ueb36 é igual a: a) a 2 + 2 b) 2a + 1 c) a 2 + 1 d) 2a - 1 e) a 2 3. Fatorar: (x + y) 2 - (x - y) 2 a) 2xy b) xy c) 1/2xy d) 1/4xy e) 4xy 4. Sejam : \ue003\ue723 \ued4c \ueda5 \ue374\ue003 \ued45 \ue003 \ue3be \ue003\ue375 \ued48 \ueda7 \ue374\ue003 \ued45 \ueda5 \ue374\ue003 \ued45 \ue003 \ue3be \ue375 \ue724 \ued4c \ueda8 \ue374 \ued45 \ueda7 \ue374 \ued45 \ueda5 \ue374\ue003 \ued45 \ue003 \ue3be \ue375 \ue003 \ued48 \ueda8 \ue374 \ued46 \ueda7 \ue374\ue003 \ued45 \ue003 \ueda5 \ue374\ue003 \ued45 \ue003 \ue3be \ue375 Quanto vale A · B? a) \ue3be \ue003\ue374 b) \ue3be \ue003\ue375 c) 1 d) 2 + \ue3be \ue003\ue374 e) 2 + \ue3be \ue003\ue375 5. Dê o resultado da fatora ção das frações aba ixo: a) \ueb36\ueb35 \uebd4 \uec30 \uebd5 \uec2f \uebeb \uec2e \uebec \uec30 \ueb37\ueb39 \uebd4 \uec31 \uebd5\uebeb \uec31 \uebec \ued4c b) x 4 - y 4 = c) x 3 + 1 = d) \uebeb \uec2f \ueb3e\ueb36\uebeb \uec2e \uebeb\ueb3e \ueb36 \ued4c e) \ueb36\uf23a\ueb76\ueb3f\ueb36\uf23b\uf23a\ueb76\ueb3f\ueb37\uf23b \uec2f \ueb3f\ueb37\uf23a \ueb76\ueb3f\ueb36\uf23b \uec2e \uf23a\ueb76\ueb3f\ueb37\uf23b \uec2e \uf23a\ueb76\ueb3f\ueb37\uf23b \uec32 = 4 Professor Vinícius Fe rnandes 9 999 3-1552 Data: 15.02.20 17 6. Efetue e/ou sim plifique a) \ueb37\uebeb \ueb3e\ueb35 \uebeb \ueb3e\ueb35 \ued45 \uebeb \uec2e \uebeb\ueb3e\ueb35 b) \uebeb\ueb3f \ueb36 \uebeb\ueb3e \ueb36 \ued46 \ueb36\uebeb\ueb3f\ueb35 \ueb36\uebeb\ueb3e\ueb35 c) \uebeb \uebeb\ueb3e \ueb35 \ued46 \ueb35 \uebeb d) \uebeb \uebeb\ueb3e \ueb37 \ued45 \uebeb\ue37e \uebeb\ue37e\ueb3f\ueb3d e) \ue3be \uebeb \uec2e \ueb3f\ueb3d \uebeb\ueb3f \ueb37 \ued46 \uebeb\ueb3f\ueb37 \uebeb\ueb3e \ueb37 f) \ue3be \uebeb \uec30 \ueb3e\ueb38\uebeb \uec2e \uebeb 7. Com base nos conhecimentos de equações e i nequa- ções, determine a solução: a) \ue754 \ueb36 \ued45 \ue377\ue754 \ued45 \ue378 \ued4c \ue372 b) \ue754 \ueb36 \ued45 \ue373\ue378 \ued4c \ue372 c) \ued46\ue379\ue754 \ueb36 \ued45 \ue374\ue37a \ued4c \ue372 d) \uf23a \ue754 \ued46 \ue379 \uf23b\uf23a \ue754 \ued46 \ue375 \uf23b \ued45 \ue373\ue372 \ue754 \ued4c \ue375\ue372 e) \ue754 \ueb36 \ued46 \ue376\ue754 \ued46 \ue373\ue374 \ued4c \ue372 f) \ue754 \ueb36 \ued46 \ue376\ue754 \ued46 \ue373\ue374 \ued4c \ue372 g) x² - 3x + 2 h) \ue202 x² + 9 \uf0b3 0 i) -2x² + 5x \uf0b3 6 43 EXERCÍCIOS 1) Determine o domínio d as seg uintes funções e faça os respectivos gráf icos usando o winplot : (a) 6 2 ) ( 2 + \u2212 = x x x f (b) 2 3 ) ( 2 \u2212 + \u2212 = x x x x f (c) 9 ) ( 2 \u2212 = x x f (d) ) 2 ln( ) ( \u2212 = x x f (e) 4 2 ) ( \u2212 = x e x f (f) 1 2 3 ) ( + = x x f (g) ) 5 ( ) ( \u2212 = \u03c0 sen x f (h) ) 9 ( ) ( 2 \u2212 = x arctg x f (i) ) 1 ) 2 / arcc os(( ) ( + = x x f \u03c0 (j) ) ln( 1 3 ) ( 8 2 3 \u2212 + \u2212 = x e x x x f 2) Determine a funções co mpostas f o g e g o f e faça seus gráficos, e m u m mesmo sistema de eixos: (a) x x g x x x f \u2212 = + + = 1 ) ( , 1 2 ) ( 2 (b) 2 ) ( , 1 2 1 ) ( + = + = x x g x x f (c) 4 2 ) ( , 1 ) ( + = \u2212 = x x g x x f (d) x e x f = ) ( , 10 2 3 ) ( 2 3 4 \u2212 \u2212 + = x x x x x g (e) \u03c0 \u03c0 \u2212 = + = x x g x tg x f ) ( ), ( ) ( (f) 2 ) ( ), sec( ) ( x x g x x f = = (g) x x g e x x x f x = + = ) ( , ln ) ( 3) Determine as funções h ( x ) e g ( x ) tais que f ( x ) = g ( h ( x )). (a) 5 2 ) 4 3 ( ) ( + + = x x x f (b) 3 2 ) 1 3 ( 2 5 ) 1 3 ( ) ( + + + = x x x f (c) x g x f 3 cot ) ( = 44 4) (a) Determine ) 2 ( \u2212 x f se 4 ) ( 2 + \u2212 = x x x f . (b) Determine ) 1 ( 2 + x f se ) 1 /( 2 ) ( \u2212 + = x x x f . (c) Determine ) ( ) 1 ( x f x f \u2212 + se 2 ) ( x x f = . 5) Faça o gráfico de f(x) = sen (x)/x . O que acontece com os valores da função par a x próx imo da origem? 6) Faça o gráfico de f(x) = sen (x) e g(x) = x no mesmo sistema de eix os coordenados. O que acontece com os valores da função p ara x próximos da origem? 7) Faça o gráfico de f(x) = [co s(x) -1]/x . O que acontece com os valores da fun ção para x próximos da origem? 8) Faça o gráfico das se g uintes funções, no mesmo si stema de eixos coordenados: (a) ) 2 / cos( ) ( ), 2 / cos( ) ( ), cos( ) ( \u03c0 \u03c0 \u2212 = + = = x x h x x g x x f (b) 2 2 2 4 1 ) ( , 4 ) ( , ) ( x x h x x g x x f = = = (c) 2 l n ) ( ), 2 ln( ) ( , ln ) ( + = + = = x x h x x g x x f 9) As curvas com equa ç ões 2 x a x y \u2212 = são chamadas curvas p onta d e bala. Faça o grá fico de algumas destas curvas (p a ra alguns valores de a ) para entender o po rquê de seu nome. 10) Determine uma janela retan g ular apropriada para a função dada e use-a para fazer o gráfico da função: a. 4 2 256 ) ( x x f \u2212 = b. 25 ) ( 2 + = x x x f c. ) 10 0 cos( ) ( x x f = d. ) 120 ( 3 ) ( x sen x f = e. ) cos( 2 3 ) ( x x f = f. 25 2 ) ( 2 \u2212 \u2212 = x x x f 45 11) Faça o gráfico da elipse 4 x 2 + 2 y 2 = 1 através dos gráficos das funçõ es que são a metade superior e inferior da elipse. 12) Use um gráfico pa ra mostrar qu e a equaç ão cos x = 0,3 x tem três solu ções e encontre-as com duas casas decimais de precisão. 13) Compare as funções 5 ) ( 2 ) ( x x g e x f x = = através d e seus g ráficos n as seguintes janelas retangulares: [0,5] por [0, 20]; [0,25] por [0,10 7 ]; [0,50] por [0,10 8 ]. 14) Compare as fu nções x x g e x x f 5 ) ( ) ( 5 = = por meio d e seus g ráficos em várias janelas retangulares. Encontre todas as intersecções do s gráficos corretas até uma casa deci mal. Para grandes valores de x , qual função cresce mais rapidamente? 15) O valor de mercado de qualquer modelo d e calculadora tend e a di minuir com o tempo por causa do l ançamen to de modelos mais modernos. Suponha que daqui a x mes es, o p reço de u m c erto modelo seja dado por ) 1 /( 30 40 ) ( + + = x x P reais. a. Qual será o preço daqui a 5 meses? b. De quanto será a queda no p reço durante o qui nto mês? c. Daqui a quanto tempo a calculadora custará R$ 4 3,00? d. O que acontece como o p reço \u201cao lon go prazo\u201d (ou seja, para grandes valores de x )? 16) Um estudo ambiental realizado em u m certo município revela que a concentra ção méd ia de poluentes no ar será 4 , 19 5 , 0 ) ( + = p p Q unidades quando o município t iver p mil habitantes.Calcula-se que daqui a t anos a população terá 2 2 , 0 8 ) ( t t p + = mil habitantes. a. Expresse a concentração de poluentes no ar como função do tempo. b. Qual será a concentração de poluent e s daqui a tr ês anos? c. Daqui a quanto tempo a concentração de poluente s atingirá o valo r de 5 unidades? 17) Uma fábrica pode produzir estant es a u m custo de R$ 80,00 a unidade. Os analistas d a e mp resa estimam que se as estantes forem vendidas por x re ais à u nidade, a prox imadamente 10 0 \u2013 x 46 unidades serão vendidas por mês. Ex presse o lucro mensal do fabricante em funç ã o do preço de venda x , desenhe o gráfico relacionado e esti me o preço ótimo de venda. 18) Suponha qu e v ocê t enha R$ 20.000,00 e qu eira comprar u m ap artamento que custa R$ 50.000,00. Se você conse guir u ma aplicação que renda 1,2% ao mês, qu anto tempo você terá que esperar para comprá-lo? 19) Uma substância radioativa d ecai ex ponencialmente. Se 500 g d a substância estavam presentes inicialmente e 400 g estão presentes 50 anos depois, quantos gramas est arão presentes após 2 00 anos? Quanto tempo será nece ssário para que se ten ha 300 g da substância? 20) Um aluno qu e está estud ando o cresci me nto de colônias d e bactérias em certo meio de cultura obteve os seguintes dado s: Número de minutos 0 20 Número de bactérias 6.000 9.000 Use esses dados para c hegar a uma função exponencial da for ma kt e Q t Q 0 ) ( = que expresse o número de bactérias na colô nia em função do temp o. Quanto t empo levará para que as bactérias se tripliquem? 21) O iodo radioativo 133 I tem uma meia-vida d e 20,9 horas. Quando injetado na corrente san guí nea, o iodo tende a se acumular na glândula tir eóide. a. Depois de 24h u m técnico examina a glândula tireóid e do paciente para verificar s e está funcionando normalmente. Se a tireóide absorveu todo o iodo injetado, que porcentagem da massa inicial de iodo radioativo deve ser detect ada? b. Um p acie nte vo lta à clí nica 25h d epois d e re ceber uma injeção de 133 I. O técnico exa m ina a glândula tireóide e detecta a presença d e 41,3% d a mass a de iodo q ue foi i njetada. Qual a porcentagem da massa inici a l que permanece no resto do corpo do paciente ou que foi eliminada? 22) Em um ex perimento para test ar a m emória d e curto p razo , L.R.Peterson e M.J.P eterso n observaram qu e a p robabilidade p ( t ) de que um indivíd uo consiga se l em brar de u ma li sta de números e letras t segundos depois de ex am iná-l a é dada por 47 ] ) 85 , 0 ( 99 , 0 01 , 0 [ 89 , 0 ) ( t t p + = . a. Qual a pro babilidade d e que o indivíduo se lembre da lista imediatamente após ex aminá- la (isto é, no instante t = 0)? b. Quanto tempo é necessário para que a probabilida de se reduza a 0,5? c. Faça o gráfico de p ( t ). 23) Na escala Richter, a violência de um terre m oto de intensidade I é dada por 10 ln / l n I R = . a. Determine a int e nsid ade do t erremoto de 1908 em São Francisco, q ue atingiu 8,3 na escala Richter. b. Quantas vezes mais inten so foi o te rremoto de 1 908 em São Francisco q ue o te rremoto de 1 995 em Kobe, no Japão, que atin g iu 7,1 na esca la Richt er? 24) Um modelo razoável par a o número de horas do di a com luz solar na Filadélfia t dias após 1 o de janeiro é dado pela função ( ) \uf8fa \uf8fb \uf8f9 \uf8ef \uf8f0 \uf8ee \u2212 + = 80 365 2 8 , 2 12 ) ( t sen t L \u03c0 . Baseado neste modelo estime qu a ntas ho ras de luz solar haverá n o local n o início da prima vera, ou seja, n o dia 2 1 de ma rço. Faça u m gráfico da função e, bas eado nele, estime q ual é o dia mais ensolarado da Filadélfia. 25) Após acionado o f lash de uma câmara, a bateria imediatamente começa a recarregar o capacito r do flash , o qual armazena uma car g a elétrica d a da po r ( ) a t e Q t Q / 0 1 ) ( \u2212 \u2212 = . A capacidade máx im a de carga é Q 0 , a é uma constante e t é medido em segundos. Determine a função inv ersa e explique seu si gnificado. Quant o tempo levará para o capacitor carregar 90% da capacidade se a = 2?

CÁLCULO I [REVISÃO MATEMÁTICA BÁSICA e FUNÇÕES]

ESTÁCIO EAD

Cálculo I

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