MATEMÁTICA FINANCEIRA

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Matemática Financeira
Aula 1: Valor do dinheiro no tempo
Porcentagem
Para iniciar o estudo de juros, vamos recordar porcentagem aplicando alguns conceitos básicos.
À taxa porcentual p% associamos a razão e assim, calcular p% de uma quantidade qualquer e multiplicá-la pela razão.
Vejamos alguns exemplos:
Calcular 15% de 120.
 
= 0,15 → forma unitária
Então: 15% de 120 = 0,15 x 120 = 18
Escrever na forma porcentual.
Portanto, significa 80%.
Quanto ao valor do dinheiro, ele muda ao longo do tempo?
Do ponto de vista da Matemática Financeira, R$1.000,00 hoje não são iguais a R$1.000,00 em qualquer outra data, pois o dinheiro se modifica no tempo ao longo dos períodos, devido à taxa de juros por período.
Aula 2: Fluxo de caixa, juros simples, montante, simbologia, conceitos e convenções
Fluxo de caixa
Em Finanças, o fluxo de caixa (em inglês "cash flow") refere-se ao montante de caixa recebido e gasto por uma empresa durante um período de tempo definido.
Existem dois tipos de fluxos:
	OUTFLOW - De saída, que representa as saídas de capital, subjacentes às despesas de investimento.
	INFLOW - De entrada, que é o resultado do investimento. Valor que contrabalança com as saídas e traduz-se num aumento de vendas ou numa redução de custos. 
Veja um exemplo:
O gráfico representa uma conta bancária no mês de janeiro.
Legenda:
• As setas para cima representam ENTRADAS.
• As setas para baixo representam saídas.
Essa representação valerá para todas as nossas aulas.
Supondo que não exista correção do valor do dinheiro no tempo, vamos calcular o saldo do fluxo de caixa no dia 31 de janeiro.
Solução:
SALDO = 1000 – 200 + 100 – 400 – 300 = $200
Unidade de medida da taxa de juros
Na matemática financeira, a taxa de juros é indicada por uma porcentagem.
Veja um exemplo:
Supondo que a compra de uma TV LCD à vista custa R$1.000,00, e você paga com um cheque pré-datado para 30 dias no valor de R$1.100,00. Vamos calcular a taxa de juros cobrada pela loja.
Solução:
Valor pago a mais em um mês:
1100 – 1000 =100 (representa os juros)
Porcentagem dos juros:
Comentários!
Como a taxa de juros foi empregada no período de um mês, ela é representada por 10% ao mês (10% am). Da mesma forma, a taxa de juros pode ser empregada em períodos diferentes:
12% ao ano (12% aa)
8% ao semestre (8% as)
3% ao bimestre (3% ab)
0,2% ao dia (0,2% ad)
Juros simples
Chamamos de juros a remuneração recebida pela aplicação de um capital C a uma taxa de juros i durante um certo tempo t. Se essa remuneração incide somente sobre o capital C ao final do tempo t, dizemos que esses juros são juros simples.
No regime de juros simples, os juros de cada período são calculados em função do capital inicial (principal) aplicado. Os juros simples não são capitalizados e, consequentemente, não rendem juros.
A situação a seguir demonstra uma aplicação de juros simples
Um investidor aplicou R$1.000,00 no Banco XYZ, pelo prazo de quatro anos, a uma taxa de juros simples de 8% ao ano. Vamos calcular o saldo desse investidor no final de cada quatro anos da operação.
Solução:
Ano
Saldo no início do ano
Juros do ano
Saldo do ano antes do pagamento
Pagamento do ano
Saldo no final do ano após o pagamento
1º
1.000,00
8% x 1000 = 80
1.080,00
0,00
1.080,00
2º
1.080,00
8% x 1000 = 80
1.160,00
0,00
1.160,00
3º
1.160,00
8% x 1000 = 80
1.240,00
0,00
1.240,00
4º
1.240,00
8% x 1000 = 80
1.320,00
1.320,00
0,00
A representação gráfica de aplicação de R$1.000,00 a 8% a.a.
Fórmula dos juros simples:
j = Cit/100 onde i referida na mesma unidade de t.
Exemplo:
i = 15% aa ; t = 3 anos
i = 2% am ; t = 15 meses
O Montante é a soma do capital (C) com os juros (J). M = C + J
Veja um exemplo:
Se R$3.000,00 foram aplicados por 5 meses à taxa de juros simples de 4% ao mês, vamos determinar:
a) os juros recebidos;
b) o montante.
Logo, os juros recebidos são R$600,00.
O montante será o capital aplicado corrigido em 20%.
M = 1,2 x 3000
M = 3600
Resposta:
a) Juros = R$600,00
b) Montante = R$3.600,00
Aula 3: Juros Composto
Juros Compostos
No regime de juros compostos, os juros de cada período, que não forem pagos no final do período, são somados ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Os juros são capitalizados e, consequentemente, rendem juros.
Chamamos de juros compostos a remuneração que o capital C recebe após n períodos de aplicação, quando a cada período, a partir do segundo, os juros são calculados sobre o montante do capital C no período anterior.
Vejamos um exemplo:
Um investidor aplicou no Banco R$1.000,00 no mercado financeiro a uma taxa de juros compostos de 8% ao ano. Vamos calcular o valor do saldo credor no final de cada um dos quatro anos da operação.
Ano
Saldo no início do ano
Juros do ano
Saldo do ano antes do pagto.
Pagto. do ano
1º
1.000,00
8% x 1.000 = 80,00
1.080,00
0,00
2º
1.080,00
8% x 1.080 = 86,40
1.160,00
0,00
3º
1.166,00
8% x 1.166,40 = 93,31
1.240,00
0,00
4º
1.259,71
8% x 1.259,71 = 100,78
1.360,49
1.360,49
A representação gráfica de aplicação de R$1.000,00 a 8% a.a. sob o regime de juros compostos.
Comparando uma aplicação de mesmo valor sob os regimes juros simples e juros compostos:
Montante
Assim, o Montante M de um capital C aplicado à taxa unitária i de juros compostos, a cada período de tempo, por n períodos, é dado por:
M = C (l + i)n
(1 + i)n é chamado de fator de capitalização
Vejamos um exemplo:
Vamos determinar qual o montante produzido por R$10.000,00 à taxa de juros compostos de 6% ao mês, durante 5 meses.
M = ?
C = 10.000
i = 6% a.m. = 6/100 = 0,06 a.m. (taxa unitária)
n = 5
Observe: i e n (ou t) estão na mesma unidade de tempo.
Aplicando a fórmula dos juros compostos:
M = C (1 + i)n
M = 10.000 (1,06)5
Para calcular (1,06)5 usamos a Tabela Fator de Acumulação de Capital. Para a taxa 6% e n = 5, encontramos 1,338225.
Logo:
M = 10.000 . 1,338225
Resposta: R$13.282,25
Podemos esquematizar essa aplicação da seguinte forma:
Como vamos deslocar o capital C cinco períodos para a direita, multiplicamos C por (1 + i )n, que é o fator de capitalização.
M = C (1 + i )n
 
Aula 4: Taxas de juros
Taxa equivalente
Taxas equivalentes são aquelas referidas a períodos de tempo diferentes, mas que quando aplicadas a um mesmo capital, pelo mesmo prazo, geram o mesmo montante. 
Seja o capital C aplicado por um ano a uma taxa anual i𝛼.
O montante M ao final do período de 1 ano será igual a
M = C (1 + i𝛼)
Consideremos agora, o mesmo capital M aplicado por 12 meses a uma taxa mensal im.
O montante M’ ao final do período de 12 meses será igual a
M’ = C (1 + im)124
Vejamos algumas aplicações desse conceito:
Primeira aplicação:
Seja:
Im = 1% a.m. (Período mês)
Vamos determinar qual a taxa equivalente ao ano (i𝜶 % a.a.). (Período ano)
Solução
(1 + i𝛼) = (1 + Im)12
(1 + i𝛼) = (1 + 0,01)12
(1 + i𝛼) = 1,1268
Logo: i𝛼 = 1,1268 – 1 = 0,1268 ou 12,68% a.a. 
Segunda aplicação:
Vamos determinar qual o montante acumulado no final de um ano, a partir de um principal de R$100,00, com uma taxa de juros de 1% a.m., no regime de juros compostos.
C = R$100,00
i = 1% a.m. ou i = 0,01
t = 1 ano
n = 12 meses
M = ?
Temos: M = C (1 + i)n
M = 100 (1 + 0,01)12
M = 100 x 1,126825 (da Tabela)
M = R$112,68
Terceira aplicação:
Vamos calcular a taxa ao mês equivalente a 60% ao ano.
im = ? % a.m. (Período mês)
(ia = 60% a.a.)? (Período ano)
(1 + i) = (1 + im)12 (1 ano = 12 meses, logo expoente 12)
(1 + 0,60) = (1 + im)12
1,6 = (1 + im)12
Consultando a Tabela de Acumulação de Capital:
Na linha n = 12, encontramos 1,60 (aproximado) na coluna i = 4% a.m.
Quarta aplicação:
Vamos calcular a taxa ao trimestre equivalente a 60% ao ano.
it = ? % a.t. (Período trimestre)
(ia = 60% a.a.)? (Período ano)
(1 + ia) = (1 + it)4 (1 ano = 4 trimestres, logo expoente 4)
(1 + 0,60)
= (1 + it)4
1,6 = (1 + it)4
Consultando a Tabela de Acumulação de Capital:
Na linha n = 4, encontramos 1,60 (aproximado) na coluna it = 12% a.m.
Quinta aplicação:
Vamos calcular a taxa ao mês equivalente a 60% ao trimestre.
Im = ? % a.t. (Período ao mês)
(it = 60% a.t.)? (Período trimestre)
(1 + it) = (1 + im)3 (1 trimestre = 3 meses, logo expoente 3)
(1 + 0,60) = (1 + im)3
1,6 = (1 + im)3
Consultando a Tabela de Acumulação de Capital:
Na linha n = 3, encontramos 1,60 (aproximado) na coluna im = 17% a.m.
Saiba+
Seja:
ia = taxa de juros anual
is = taxa de juros semestral
im = taxa de juros mensal
id = taxa de juros diária
 
Como fazer as conversões das taxas?
Podem ser feitas de acordo com as seguintes fórmulas:
1 + im = (1 + id)30 [porque 1 mês = 30 dias]
1 + ia = (1 + im)12 [porque 1 ano = 12 meses]
1 + ia = (1 + is)2 [porque 1 ano = 2 semestres]
1 + ia = (1 + im)6 [porque 1 semestre = 6 meses]
Todas elas baseadas no mesmo princípio fundamental de que taxas equivalentes aplicadas a um mesmo capital produzem montantes iguais. Não é necessário memorizar todas as fórmulas. Basta verificar a lei de formação que é bastante clara.
Por exemplo, se iq = taxa de juro num quadrimestre, poderíamos escrever: 1 + ia = (1 + iq)3  [porque 1 ano = 3 quadrimestres].
Exemplo
Vamos determinar qual o montante acumulado no final de dois anos, a partir de um principal de R$2.000,00, com taxa de juros de 1% a.m., no regime de juros compostos.
C = R$2.000,00
i = 1% a.m. ou i = 0,01
t = 2 anos
n = 24 meses
M = ?
Temos:
M = C (1 + i)n
M = 2000 (1 + 0,01)24
M = 2000 x 1,269735 (da Tabela)
M = R$2.539,47
Aula 5: Operações de Desconto
Desconto comercial
O desconto comercial, bancário ou por fora é o juro calculado sobre o valor nominal ou de face.
Vejamos um exemplo:
Vamos determinar qual será o valor do resgate de uma duplicata de R$100,00, antes do seu vencimento, em um determinado período, supondo que o banco cobre uma taxa de desconto comercial de 5%.
N = Valor Nominal ou de face = 100
Taxa de desconto iD= 5%
D = 5% de 100 = 5  (é o desconto comercial)
A = N – D
A = 100 – 5 = 95
O valor do resgate é R$95,00.
Desconto racional
O desconto racional, matemático ou por dentro é o juro calculado sobre o valor nominal ou de face.
É o desconto d que determina um valor A que, corrigido nas condições de mercado, tem para montante o valor nominal N.
Vejamos um exemplo:
Qual será o valor do resgate de uma duplicata de R$100,00, antes do seu vencimento, em um determinado período, supondo que o banco cobra uma taxa de desconto racional de 5%?
N = Valor Nominal ou de face = 100
Taxa de desconto racional i = 5%
d = 5% de A
A = N – D
A = 100 – 0,05 A
1,05 A = 100
A = 95,24
O valor do resgate é R$95,24.
Comparando com o primeiro exemplo (desconto comercial), concluímos que o desconto racional favorece a instituição financeira.
Aula 6: Séries de Pagamento Uniforme 
O objetivo da série uniforme é obtermos fatores capazes de realizar a capitalização e o desconto de uma série de prestações iguais.
Vejamos uma situação:
Suponha que um automóvel custe R$30.000,00 à vista. Caso o consumidor deseje financiar em 18 parcelas mensais iguais, a uma taxa de juros de 2% ao mês, qual será o valor da prestação mensal?
Observação: quando não há referência a juros compostos ou simples, assume-se sempre que são juros compostos.
Para uma série de pagamentos uniformes (valor de prestação fixo), aplicamos a fórmula:
an¬i  é o fator de valor atual de uma série de pagamentos uniformes (vide Tabela “FATOR DE VALOR ATUAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS”). Leia-se “a, cantoneira i” ou simplesmente “a, n, i”.
No exercício, vamos calcular o valor da prestação mensal do automóvel.
an¬i = a18¬2 = 14,992031 (obtido da Tabela II FATOR DE VALOR ATUAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS: linha n=18 e coluna i = 2%)
A  =  P . an¬i
Logo: 30000 = P . 14,992031 → P = 2001,06
A prestação será de R$2.001,06
Aula 7: Planos de amortização de dívida
Principais conceitos
Para compreendermos os planos de amortização de dívidas é importante definirmos alguns conceitos. Veja a seguir:
	DEFINIÇÃO DE AMORTIZAÇÃO - É o ato de pagar as prestações que foram geradas mediante uma tomada de empréstimo.
	PERÍODO DE AMORTIZAÇÃO - É o intervalo de tempo existente entre duas amortizações sucessivas (entre dois pagamentos).
	PRAZO DE AMORTIZAÇÃO - É o intervalo de tempo durante o qual são pagas as amortizações. (ou seja: é o tempo entre a primeira e a última parcela de pagamento).
	PARCELAS DE AMORTIZAÇÃO - São as parcelas de devolução do principal (ou seja, devolução ou pagamento do capital emprestado).
	JUROS NO SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO - Nos sistemas de amortização, os juros serão sempre cobrados sobre o saldo devedor, considerando a taxa de juros compostos, sendo que, se não houver pagamento de uma parcela, levará a um saldo devedor maior, calculando juro sobre juro.
	SALDO DEVEDOR - É o estado da dívida, ou seja, o débito em um determinado instante de tempo.
	SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO - Meios pelos quais vai se pagando uma dívida contraída, de forma que seja escolhida pelo devedor a maneira mais conveniente para ele.
Sistema de Amortização Constante (SAC)
As parcelas de amortização são iguais entre si. Os juros são calculados, a cada período, multiplicando-se a taxa de juros contratada pelo saldo devedor existente no período anterior.
Por este sistema, o credor (instituição financeira ou banco) exige a devolução do principal em n parcelas iguais, incidindo os juros sobre o saldo devedor.
No sistema SAC as prestações são decrescentes e as amortizações são constantes.
PRESTAÇÃO = AMORTIZAÇÃO + JUROS
Podemos observar essa relação no gráfico a seguir
Vejamos algumas situações que demonstram a aplicação desse conceito.
SITUAÇÃO1:
Suponha um empréstimo bancário de R$10.000,00 a ser pago em 5 parcelas, a uma taxa de juros de 3% ao mês pelo Sistema SAC. Supondo que a primeira parcela deverá ser paga 30 dias após a tomada do empréstimo, vamos elaborar a planilha do SAC.
Vamos assumir o valor do empréstimo como E.
Então,
E= 10.00,00 
i = 3% a.m. 
n = 5 
Como pelo sistema SAC as amortizações (A) são constantes:
A = 10000/5 = 2000
Planilha SAC: 
P = Prestação 
J = Juros 
A = Amortização 
Parcela
P
J
A
Saldo Dev.
0
-
-
-
10.000
1
2.000
2
2.000
3
2.000
4
2.000
5
2.000
Cálculo dos juros na primeira parcela:
J1 = 3% de 10000 = 300
Logo, a primeira prestação será R$ 2.300,00 (Juros + Amortização) e o saldo devedor passa para R$8.000,00 (os juros não são abatidos do saldo devedor). E, assim, sucessivamente: 
J2 = 3% de 8000 = 240 
J3 = 3% de 6000 = 180 
J4 = 3% de 4000 = 120 
J5 = 3% de 2000 = 60 
Características do SAC: 
• Amortizações constantes; 
• Juros decrescentes; 
• Prestações, Juros e Saldo Devedor funcionam como uma PA (Progressão Aritmética). 
Parcela
P
J
A
Saldo Dev.
0
-
-
-
10.000
1
2.300
300
2.000
8.000
2
2.240
240
2.000
6.000
3
2.180
180
2.000
4.000
4
2.120
120
2.000
2.000
5
2.060
60
2.000
0
SITUAÇÃO 2 
Um valor de R$50.000,00 foi emprestado no início de um determinado mês e as prestações e os juros serão pagos no fim de cada mês, ou seja, sempre sobra o saldo devedor do período anterior. A amortização é mensal e constante (SAC). A prestação é obtida somando-se ao final de cada período a amortização com os juros.
Supondo uma taxa de juros mensal de 1,5% a.m. e o número de prestações 5, vamos calcular os valores das prestações.
E: 50.000 
i: 1,5% a.m. 
Número de parcelas: 5 
Podemos calcular o valor da amortização: 
50000 / 5 = 10000 
Parcela
P
J
A
Saldo Dev.
0
-
-
-
50.000
1
10.750
750
10.000
40.000
2
10.600
600
10.000
30.000
3
10.450
450
10.000
20.000
4
10.300
300
10.000
10.000
5
10.150
150
10.000
-
Aula 8: Sistema Francês de Amortização (Tabela Price)
O Sistema Francês é uma forma de amortização que é representada por uma série de
pagamentos uniformes e periódicos, ou seja, tem as prestações fixas. 
Por este sistema o mutuário obriga-se a devolver o principal mais os juros em prestações iguais entre si. A dívida fica completamente saldada na última prestação, conforme ilustra o gráfico a seguir.
Vejamos algumas situações que demonstram como calcular a prestação e separar a amortização dos juros.
SITUAÇÃO 1
Um empréstimo de R$10.000,00 deverá ser pago pela Tabela Price em cinco prestações mensais à taxa de 3% ao mês. Vamos determinar o valor da prestação e a planilha de pagamentos.
C: 10000
i: 3% a.m.
Amortizações mensais: 5 (prestações iguais por Tabela Price)
Chamamos de planilha de pagamento à tabela que discrimina em cada instante o valor da prestação, os juros, a amortização e o saldo devedor.
Nos cálculos que realizamos no emprego da Tabela Price usamos a seguinte fórmula:
C = P . an¬i
Onde:
C = valor do empréstimo 
P = valor da prestação 
an¬i = é o fator onde se lê: n cantoneira i, fator esse que é obtido na Tabela FATOR DE VALOR ATUAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS. 
A partir da tabela abaixo vejamos como utilizar a fórmula para calcular a prestação:
FATOR DE VALOR ATUAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS
n / i
1%
2%
3%
4%
5%
6%
7%
8%
9%
1
0,990099
0,980392
0,970874
0,961538
0,952381
0,943396
0,934579
0,955926
0,917431
2
1,970395
1,941561
1,913470
1,886095
1,859410
1,833393
1,808018
1,783265
1,759111
3
2,940985
2,883883
2,828611
2,775091
2,723248
2,673012
2,624316
2,577097
1,759111
4
3,901966
3,807792
3,717098
3,629895
3,545951
3,465106
3,387211
3,312127
3,239720
5
4,853431
4,713460
4,579707
4,451822
4,329477
4,212364
4,100197
3,992710
3,889651
Exemplo:
C = P . an¬i
10000 = P . a5¬3
10000 = P . 4.579707 (da tabela)
Logo: P = 10000 / 4,579707 = 2,183,55 (esse é o valor da prestação)
A partir do cálculo que realizamos utilizando a Tabela Price, teremos então 5 prestações iguais de R$2.183,55. Os juros serão aplicados sobre o saldo devedor do período anterior, como no sistema de amortização constante.
A amortização será calculada pela diferença entre a prestação e o juro, e o saldo devedor será calculado como sendo a diferença entre o saldo devedor do período anterior e a amortização do período.
Vejamos como realizar o cálculo da amortização e do saldo devedor:
Mês
Prestação
Juros
Amortização
Saldo devedor
0
-
-
-
10.000,00
1
2.183,55
300,00
1.883,55
8.116,45
2
2,183,55
243,49
1.940,06
6.176,39
3
2,183,55
185,31
1.998,24
4.178,15
4
2,183,55
125,34
2.058,21
2.119,94
5
2,183,55
63,60
2.119,94
0,00
Total
10.917,75
917,74
10.000,00
1ª parcela:
J = 3% do saldo devedor
J = 300,00
A = P – J
A = 1.883,55
SD = 10.000 – 1.883,55 = 8.116,45
E assim por diante. Repetimos esta operação para as demais parcelas.
SITUAÇÃO 2
Vejamos agora mais um exemplo de cálculo utilizando o Sistema Francês:
Baseado no exemplo 1, vamos determinar o valor do saldo devedor após ser paga a segunda parcela, sem construir a planilha de pagamentos.
SD2 = P . a3¬3
SD2 = 2183,55 . 2,828611
SD2 = R$6.176,41 → Valor aproximado com a planilha de pagamentos.
SITUAÇÃO 3 
Vamos calcular a prestação a ser paga na compra de um automóvel no valor de R$50.000,00 pelo Sistema Francês de amortização, com juros de 2% ao mês 12 parcelas mensais.
C = 50.000 
J = 2% 
n = 12 
Devemos usar a fórmula:
C = P . an¬i
Veja a resolução:
50000 = P . a12¬2 
50000 = P . 10,575341 
P = 4.727,97 
Aula 9: Sistema de Amortização Americano – Misto – Variável
Sistema Americano de Amortização
O Sistema de Amortização Americano é uma forma de pagamento de empréstimos que se caracteriza pelo pagamento apenas dos juros da dívida, deixando o valor da dívida constante, que pode ser paga em apenas um único pagamento.
Nesse sistema de amortização, não há incidência de juros sobre juros. Eles sempre incidem sobre o valor original da dívida. Com isso, o devedor pode quitar sua dívida quando quiser.
A desvantagem desse sistema é que o pagamento de juros pode, em tese, ser perpétuo mesmo quando já se pagou o equivalente a dívida em si. Para isso, basta que o número de prestações exceda 100% quando soma em juros simples.
Vejamos um exemplo da aplicação do Sistema de Amortização Americano:
Vamos supor que foi contraída uma dívida no valor de R$13.000,00, que será paga em 1 ano com juros de 9% a.m. através do Sistema de Amortização Americano.
N° prestação
Amortização
Juros (9% de 13.000,00)
Dívida
0
0
0
13.000
1
0
1.170
13.000
2
0
1.170
13.000
3
0
1.170
13.000
4
0
1.170
13.000
5
0
1.170
13.000
6
0
1.170
13.000
7
0
1.170
13.000
7
0
1.170
13.000
8
0
1.170
13.000
9
0
1.170
13.000
10
0
1.170
13.000
11
0
1.170
13.000
12
13.000
1.170
0
Total
14.040
0
O total pago em juros foi R$ 14.040,00 e, mesmo assim, a dívida só foi quitada quando se pagou os R$ 13.000,00, resultando num total de R$27.040,00. No entanto, esse sistema de amortização tolera o pagamento parcial da dívida, o que reduziria proporcionalmente o valor dos juros.
Na forma de amortização do Sistema Americano, durante todo o período do financiamento, são devolvidos somente os juros e, na última prestação, ocorre o pagamento do empréstimo, acrescido dos juros do último período (última parcela).
O Sistema Americano de Amortização é aplicado geralmente para agricultores que esperam a colheita para, então, pagar o principal.
O gráfico abaixo que apresenta o sistema de amortização americano:
O devedor pode querer aplicar recursos disponíveis e gerar um fundo que iguale ao desembolso a ser efetuado para amortizar o principal. Tal fundo é conhecido por “sinking fund” na literatura americana e, na brasileira, por “fundo de amortização”.
Exemplo
Veja abaixo um exemplo da aplicação do Sistema Americano de amortização.
Um empréstimo de R$50.000,00 a juros de 1,5% ao mês deverá ser pago em cinco parcelas pelo Sistema Americano de amortização.
C = 50.000
i: 1,5% a.m.
Amortização no 5º mês
Os juros são calculados sobre o saldo devedor, pagos no final.
Mês
Saldo devedor
Amortização
Juros
Prestação
0
50.000,00
-
-
-
1
50.000,00
-
750,00
750,00
2
50.000,00
-
750,00
750,00
3
50.000,00
-
750,00
750,00
4
50.000,00
-
750,00
750,00
5
50.000,00
750,00
50.750,00
Total
50.000,00
3.750,00
53.750,00
Há capitalização dos juros durante a carência (período durante o qual ocorrem somente juros), conforme mostra a planilha a seguir. Note que não há prestação. Com isso, o saldo devedor é acrescido do correspondente em juros.
Mês
Saldo devedor
Amortização
Juros
Prestação
0
50.000,00
-
-
-
1
50.750,00
-
750,00
2
51.511,25
-
750,00
3
52.283,92
-
772,67
4
53.068,18
-
784,26
5
50.000,00
796,02
53.864,20
Total
50.000,00
3.864,20
53.864,20
Sistema de Amortizações Mistas (SAM)
A prestação do Sistema de Amortizações Mistas (SAM) é obtida pela média aritmética entre as prestações do Sistema de Amortizações Constantes (SAC) e do Sistema Price.
Vamos considerar um financiamento em que:
C = valor do empréstimo
n = número de prestações
i = taxa de juros
P (Price) → prestação do Price
P (SAM) → prestação do SAM
P (SAC) → prestação do SAC
Então, temos a fórmula:
P (SAM) = P (PRICE) + P (SAC) / 2
Vejamos um exemplo da aplicação do Sistema de Amortizações Mistas:
Vamos calcular o valor de cada prestação de um SAM em um financiamento em que:
C = R$10.000,00
n = 5 meses
i = 3% a.m.
a) Prestação do Sistema Price:
C = P . a5¬3
10000 =  P . 4,579707 (da tabela)
Logo: P = 10000 / 4,579707 = 2.183,55 (esse é o valor da prestação, que é igual para todos os cinco meses).
b) Prestação do SAC:
Amortização = 10000 / 5 = 2000
Cálculo dos juros na primeira parcela:
J1 =  3% de 10000 = 300
Logo, a primeira prestação será R$2.300,00 (Juros + Amortização) e o saldo devedor passa para R$8.000,00 (os juros não são abatidos do saldo devedor).
E assim sucessivamente:
E assim sucessivamente:
J2 =  3% de 8000 = 240
J3 =  3% de 6000 = 180
J4 =  3% de 4000 = 120
J5 =  3% de 2000 = 60
Parcela
P
J
A
Saldo Dev.
0
-
-
-
10.000
1
2.300
300
2.000
8.000
2
2.240
240
2.000
6.000
3
2.180
180
2.000
4.000
4
2.120
120
2.000
2.000
5
2.060
60
2.000
0
c) Prestações do SAM
Parcela
P (Price)
P (SAC)
P (SAM) = P(Price)+P(SAC)/2
0
-
-
-
1
2.183,55
2.300
2.241,77
2
2.183,55
2.240
2.211,77
3
2.183,55
2.180
2.181,77
4
2.183,55
2.120
2.151,77
5
2.183,55
2.060
2.121,77
As parcelas de amortização são contratadas pelas partes, e os juros são calculados sobre o saldo devedor.
Neste caso, a devolução do principal (amortizações) é feita em parcelas desiguais. Isto pode ocorrer na prática quando as partes fixam, antecipadamente, as parcelas de amortizações (sem nenhum critério particular) e a taxa de juros cobrada.
Veja o gráfico abaixo que apresenta o sistema de amortizações variáveis.
Coloca-se inicialmente as amortizações, depois são calculados os juros sobre o saldo devedor do período anterior e calculada a prestação.
Exemplo
Suponha um empréstimo de R$50.000,00, a juros de 1,5% ao mês, a ser pago em 4 meses, da seguinte forma:
1º mês – 10.000
2º mês – 15.000
3º mês – 10.000
4º mês – 15.000
C: 50.000
i: 1,5% a.m.
Amortização: 4 meses
Mês
Prestação
Juros
Amortização
Saldo devedor
0
-
-
-
50.000,00
1
10.750,00
750,00
10.000,00
40.000,00
2
15.600,00
600,00
15.000,00
25.000,00
3
10.375,00
375,00
10.000,00
15.000,00
4
15.225,00
225,00
15.000,00
0,00
5
Total
51.950,00
1.950,00
50.000,00
Aula 10: Taxa de Retorno – Valor Presente Líquido
Payback
Ao emprestar um bem, o proprietário estará se privando dele durante o tempo que durar o empréstimo.
Retomar a posse do bem significa tê-lo de novo, nas mesmas condições que o bem apresentava antes do empréstimo. O bem retornará à posse de seu proprietário após decorrido determinado prazo, o qual, preferencialmente, será acertado entre as partes (emprestador e tomador do empréstimo).
O acordo entre as partes (emprestador e tomador do empréstimo)
Seja pela privação da posse, seja pelo risco que o emprestador corre de perder em definitivo a posse do bem, é usual que se devolva o que foi emprestado mais um valor denominado juro, que seria como um “aluguel” daquele capital. O emprestador estará repondo seu capital em determinado prazo.
Esse prazo ou período é referido como tempo em que o projeto de investimento se paga, ou em inglês, payback period, ou simplesmente payback.
Payback simples (série uniforme)
Também referido como “tempo de recuperação do investimento”, o payback pode ser calculado de forma simples, pela razão entre investimentos e receitas.
Vejamos algumas situações que demonstram a aplicação desse conceito.
Situação 1
Considerando um investimento IA de R$20 milhões que gere retornos líquidos anuais de R$5 milhões, a partir do final do primeiro ano, durante 10 anos. Vamos elaborar o diagrama de fluxo de caixa dessa alternativa de investimento.
O diagrama de fluxo de caixa dessa alternativa de investimento é: 
O período de repagamento (payback) será calculado pela razão entre investimento e receitas anuais:
Payback = 20 milhões / 5 milhões = 4 anos.
Portanto, o payback será de 4 anos.
Situação 2
Um investimento de 18 milhões que gere resultados líquidos de R$6 milhões por ano, durante 4 anos. Vamos elaborar diagrama de fluxo de caixa.
O diagrama de fluxo de caixa seria:
Payback = 18 milhões / 6 milhões = 3 anos.
Conforme vimos no exemplo, se dependesse apenas do payback, o investimento B seria o melhor, pois o seu prazo para retorno do investimento é menor:
PaybackB → 3 anos < 4 anos → PaybackA
Prefere-se IB em detrimento de IA 
Como se pode constatar, independentemente de taxa de juros, a alternativa A possui as seguintes características:
IA = R$20 milhões
RJ = R$5 milhões
Rtotal = R$5 milhões/ano x 10 anos = R$50 milhões
Uma vez o investimento sendo reposto, o que acontece no final do quarto ano, o Excedente Líquido Gerado (ELG), também chamado de juros ou remuneração do capital investido, é de:
ELG = R$50 milhões - R$20 milhões = R$30 milhões
Vejamos, agora, como esse processo acontece em casos de investimentos IA, IB e em um comparativo entre A e B:
	INVESTIMENTO IA - Dividindo-se o ELG pelo investimento IA, temos:
ELG/IA = R$30 milhões / R$20 milhões = 1,5 = 150% (é a taxa de juros simples total do prazo, de 10 anos, sobre o investimento).
Dividindo-se a taxa de juros total do prazo pelo número de períodos (n = 10 anos), tem-se:
IA = taxa de juros simples = 150% / 10 anos = 15% a.a.
Fazendo-se o mesmo raciocínio com o investimento B, temos:
IB = R$18 milhões
RJ = R$6 milhões
Rtotal = R$6 milhões/ano x 4 anos = R$24 milhões
O payback dá-se no terceiro ano, mas os resultados líquidos positivos só se mantêm por mais um ano (até o quarto ano).
	INVESTIMENTO IB - Dividindo-se o ELG pelo investimento IB, temos:
ELG/IB = R$6 milhões / R$18 milhões = 0,33 = 33% (é a taxa de juros simples total do prazo, de 4 anos, sobre o investimento).
Dividindo-se a taxa de juros total do prazo pelo número de períodos (n = 4 anos), tem-se:
IB = taxa de juros simples = 33% / 4 anos = 7,75% a.a. (juros simples)
Parece que IA rende mais que IB, pois IA = 15% a.a. > 7,75% a.a. = IB!!!!
Prefere-se IA em detrimento de IB (contradizendo a decisão pelo payback).
	COMPARATIVOS ENTRE IA E IB - Logicamente, há um complicador adicional: os prazos de aplicação são diferentes (IA tem um prazo de 10 anos, IB, de 4 anos). Deve ser encontrado um horizonte comum de planejamento, um mínimo múltiplo comum para os prazos de investimento que, no caso, é de 20 anos (2 x 10 anos; 5 x 4 anos). Ou, então, simplesmente, considerar que as alternativas de investimento A e B podem ser repetidas indefinidamente. De qualquer modo, esse simples exemplo, que considera juros simples, ilustra a mecânica de seleção entre alternativas de investimentos.
Decisão:
Critério de payback: Seleciona-se IB.
Critério de Rentabilidade (juros simples): Seleciona-se IA.
Payback e taxa de retorno
Note-se que, no caso de um fluxo de caixa regular, se np é o número de anos até o investimento ser recuperado, então 1/np é o inverso do payback period, que nos dá uma indicação da rentabilidade do investimento.
Exemplo
Por exemplo, para np = 4 anos, RP = 1 / np = 1 / 4 = 25% por ano. Então, RP é a medida de rentabilidade do payback ou a taxa de retorno do payback.
Vejamos uma aplicação desse conceito.
Vamos analisar o fluxo de caixa e calcular o payback (considerando que não há incidência de juros).
Ano 0
Ano 1
Ano 2
Ano 3
Ano 4
Ano 5
-250.000
62.500
62.500
62.500
62.500
62.500
Valores em reais
Payback = 250000 / 62500 = 4 anos
Payback Descontado
No payback do fluxo de caixa descontado, o período de tempo necessário ao repagamento do investimento vai depender da taxa de desconto considerada.
A diferença entre o valor de mercado de um investimento e seu custo é denominada VPL (Valor Presente Líquido) do investimento. O VPL representa quanto de valor foi adicionado, realizando-se determinado
Vejamos uma aplicação desse conceito.
Michele pretende abrir uma Softwarehouse para desenvolver e vender um novo software. Para isso, ela deve:
• Inicialmente, estimar os fluxos de caixa futuros que se esperam do empreendimento. Em seguida, aplicar o procedimento de fluxo de caixa descontado para se estimar o valor presente desses fluxos de caixa.
• Após esse processo, será possível calcular o VPL como diferença entre o valor presente dos fluxos de caixa futuros e o custo do investimento inicial.
A princípio, estima-se que o recebimento gerado pelo empreendimento seria de R$20.000 por ano, os custos envolvidos, incluindo imposto, serão de R$14.000 por ano.
Encerrando-se o negócio após 8 anos, entende-se que a Softwarehouse, as instalações e os equipamentos valerão R$2.000. O projeto inicial custa R$30.000, usando-se
uma taxa de desconto de 15%.
ABRIR UMA SOFTWAREHOUSE SERIA UM BOM INVESTIMENTO?
Fluxos de Caixa projetados em R$Mil
Tempo (anos)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Custo inicial
R$30
Entradas
R$20
R$20
R$20
R$20
R$20
R$20
R$20
R$20
Saídas
R$14
R$14
R$14
R$14
R$14
R$14
R$14
R$14
Entrada líquida
R$6
R$6
R$6
R$6
R$6
R$6
R$6
R$6
Valor residual
R$2
Fuxo líquido
R$30
R$6
R$6
R$6
R$6
R$6
R$6
R$6
R$8
Calcula-se o valor presente dos fluxos de caixa futuros a uma taxa de 15%. Temos uma anuidade de: R$20.000 - R$14.000 = R$6.000 por oito anos, somando-se a isso o valor de R$2.000 daqui a oito anos. Assim, o valor presente total é de:
Onde:
FC → fluxo de caixa em cada período
i → taxa
T0 = - 30.000 / (1,15)0 = -30000
T1 = (20.000 - 14.000) / (1,15)1 = 6000 / 1,15 = 5.217
T2 = (20.000 - 14.000) / (1,15)2 = 6000 / 1,3225 = 4.537
T3 = (20.000 - 14.000) / (1,15)3 = 6000 / 1,5209 = 3.945
T4 = (20.000 - 14.000) / (1,15)4 = 6000 / 1,7490 = 3.430
T5 = (20.000 - 14.000) / (1,15)5 = 6000 / 2,0114 = 2.980
T6 = (20.000 - 14.000) / (1,15)6 = 6000 / 2,3131 = 2.594
T7 = (20.000 - 14.000) / (1,15)7 = 6000 / 2,6600 = 2.256
T8 = (20.000 - $14.000 + 2.000) / (1,15)8 = 8000 / 3,0590 = 2.615
Logo, teremos:
VPL = -30000 + 5217 + 4537 + 3945 + 3430 + 2980 + 2594 + 2256 + 2615
VPL = -30.000 + 27.574
Valor Presente Líquido VPL = - R$2.426
Conclusão:
Obteve-se um VPL negativo, portanto esse não seria um bom investimento, pois UM INVESTIMENTO DEVE SER ACEITO SE O VPL FOR POSITIVO, E REJEITADO, SE NEGATIVO.
O Payback Descontado existe quando o VPL é zero. → O VPL é uma ferramenta bastante usada pelas empresas.