Derivadas Parciais - uma introdução

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DEFINIÇÃO E INTERPRETAÇÃO 
GEOMÉTRICA DAS DERIVADAS PARCIAIS 
PARA FUNÇÕES REAIS DE DUAS 
VARIÁVEIS REAIS 
Santa Maria, 08 de abril de 2015. 
Silvia Barcelos Machado 
• FUNÇÕES REAIS 
Uma função real é uma regra que associa a cada elemento 𝑎 do 
domínio um único elemento 𝑓(𝑎) do contradomínio; onde o 
contradomínio é o conjunto dos números reais ℝ. 
𝑓: 𝐴 → ℝ 
𝐴 ℝ 
𝑓 
Domínio Contradomínio 
Função real de uma variável real 
 
𝑓: 𝑋 ⊂ ℝ ⟶ ℝ 
 𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥) 
 
Neste caso: 
• Domínio = X ⊂ ℝ 
• Contradomínio = ℝ 
• 𝑥 é a variável independente 
• 𝑓(𝑥) é a variável dependente 
 
Função real de duas variáveis reais 
 
𝑓: 𝑋 ⊂ ℝ2 ⟶ ℝ 
 𝑥, 𝑦 ⟼ 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑧 
 
Neste caso: 
• Domínio = 𝑋 ⊂ ℝ2 
• Contradomínio =ℝ 
• 𝑥 e 𝑦 são as variáveis independentes 
• 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑧 é a variável 
dependente 
 
 
𝑓: 𝑋 ⊂ ℝ2 ⟶ ℝ 
 𝑥, 𝑦 ⟼ 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝑥3
𝑥 − 𝑦
 
Onde 𝑋 = *(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2; 𝑥 − 𝑦 ≠ 0 ⇒ 𝑥 ≠ 𝑦} 
Exemplo de uma função real de duas variáveis reais: 
 
Domínio da função 𝑓 
Gráfico da função 𝑓 
Gráfico de uma função real de 
uma variável real: 
𝑓: 𝑋 ⊂ ℝ ⟶ ℝ 
 𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Geralmente, o gráfico é uma curva em 
ℝ2. 
Gráfico de uma função real de 
duas variáveis reais: 
𝑓: 𝑋 ⊂ ℝ2 ⟶ ℝ 
 𝑥, 𝑦 ⟼ 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑧 
 
 
 
 
 
 
 
Geralmente, o gráfico é uma superfície 
em ℝ3. 
 
Derivada de uma função real de uma variável real: 
Seja 𝑓: 𝑋 ⊂ ℝ ⟶ ℝ 
 𝑥 ⟼ 𝑓 𝑥 
A derivada da função 𝑓 , em um ponto 𝑥0 ∈ 𝑋, é dada pela inclinação da reta 
tangente ao gráfico da função 𝑓 neste ponto. 
Ao tomarmos dois pontos pertencentes ao gráfico da 𝑓, 𝑃 = (𝑥0, 𝑓 𝑥0 ) e 
𝑄 = (𝑥0 + ∆𝑥, f 𝑥0 + ∆𝑥 ), 
de modo que P esteja fixo e Q móvel, 
e os aproximarmos o quanto se queira, 
obtemos: 
lim
∆𝑥→0
𝑓 𝑥0+∆𝑥 −𝑓(𝑥0)
∆𝑥
 ; 
que é a derivada da função 
𝑓 no ponto P. 
 
E no caso em que 𝑓: 𝑋 ⊂ ℝ2 ⟶ ℝ 
 𝑥, 𝑦 ⟼ 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑧 ? 
O que sabemos até agora refere-se a derivada de uma função real 𝑓, de uma 
variável real, cujo gráfico está contido em um plano. 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos aplicar estes conhecimentos aos estudos de funções reais de duas 
variáveis reais. 
Basta reduzirmos tratarmos a função de duas variáveis reais como uma função de 
uma variável real de cada vez, mantendo fixa a outra variável. 
Assim, definiremos as derivadas parciais. 
Consideremos uma função 𝑓: 𝑋 ⊂ ℝ2 ⟶ ℝ 
 𝑥, 𝑦 ⟼ 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑧 ; 
A intersecção do gráfico desta função 𝑓 com um plano paralelo ao plano 𝑦𝑧 que 
passa pelo ponto (𝑥0, 0,0) é uma curva plana (ou um ponto) que satisfaz às 
condições: 
𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 
𝑥 = 𝑥0 
 
 
Figura 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como a curva é plana, podemos considerá-la como o gráfico de uma função de 
uma variável, 𝑔 𝑦 = 𝑓(𝑥0, 𝑦). Logo, o coeficiente angular da reta tangente à 
curva no ponto 𝑦0, relativa ao plano 𝑦𝑧, é: 
𝑔′ 𝑦0 = 𝑓
′ 𝑥0, 𝑦0 = lim
𝑕→0
𝑓 𝑥0, 𝑦0 + 𝑕 − 𝑓(𝑥0, 𝑦0)
𝑕
 
se o limite existir. 
Figura 2 
De modo análogo, a intersecção do gráfico de uma função 𝑔 com um plano 
paralelo ao plano x𝑧 que passa pelo ponto (0, 𝑦0, 0) é uma curva plana (ou um 
ponto) que satisfaz às condições: 
𝑧 = 𝑔 𝑥, 𝑦 
𝑦 = 𝑦0 
Assim, fixando 𝑦 = 𝑦0, considerarmos 𝑕 uma função que depende só de 𝑥, 
h 𝑥 = 𝑔(𝑥, 𝑦0). Então, o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto 
𝑥0, relativa ao plano 𝑥𝑧, é: 
 
 
𝑕′ 𝑥0 = 𝑔
′ 𝑥0, 𝑦0 = lim
𝑕→0
𝑔 𝑥0+𝑕,𝑦0 −𝑔 𝑥0,𝑦0
𝑕
 ; 
se o limite existir. 
Definição de derivadas parciais de uma função real de duas variáveis 
reais: 
Seja 𝑓: 𝑋 ⊂ ℝ2 ⟶ ℝ 
 (𝑥, 𝑦) ⟼ 𝑓 𝑥, 𝑦 
i. A derivada parcial da função 𝑓 em relação à variável 𝑥, no ponto (𝑥0, 𝑦0) ∈
𝑋, é denotada por 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(𝑥0, 𝑦0) e é definida por: 
 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑥0, 𝑦0 = lim
𝑕→0
𝑓 𝑥𝑜+𝑕,𝑦0 −𝑓(𝑥0,𝑦0)
𝑕
 ; se o limite existir. 
Eixo horizontal no plano y = yo 
A curva z = f (x, y0) 
no plano y = yo 
Reta tangente 
Eixo vertical no 
plano y = yo 
Definição de derivadas parciais de uma função real de duas variáveis 
reais: 
 
ii. A derivada parcial da função 𝑓 em relação à variável 𝑦, no ponto (𝑥0, 𝑦0) ∈ 𝑋, 
é denotada por 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(𝑥0, 𝑦0) e é definida por: 
 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑥0, 𝑦0 = lim
 𝑕→0
𝑓 𝑥0,𝑦0+𝑕 −𝑓(𝑥0,𝑦0)
𝑕
 ; se o limite existir. 
 
Eixo vertical no 
plano x = xo 
Reta tangente 
A curva z = f (x, y0) 
no plano x = xo 
Eixo horizontal no 
plano x = xo 
Ou seja: 
 
A curva z = f (x, y0) 
no plano y = yo 
Esta reta tangente tem 
coeficiente angular fy (x0, y0) 
A curva z = f (x, y0) 
no plano x = xo 
1) Se 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2𝑦 + 𝑦3 as suas derivadas parciais em relação a 𝑥 e 𝑦 no 
ponto 1, −2 são: 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑥, 𝑦 = 2𝑥𝑦 ⇒
𝜕𝑓
𝜕𝑥
1, −2 = −4 
Portanto, a inclinação da reta tangente de 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 na direção 𝑥 é 𝑓𝑥 = −4, ou seja, 
z decresce a uma taxa 4 unidades à medida que x cresce uma unidade. 
 
 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 3𝑦2 ⟹
𝜕𝑓
𝜕𝑦
1, −2 = 13 
Portanto, a inclinação da reta tangente de 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 na direção 𝑥 é 𝑓𝑦 = 13, ou seja, 
z cresce a uma taxa de 13 unidades à medida que y cresce uma unidade. 
Exemplos: 
 
Exemplos: 
 
2) A inclinação da reta tangente à curva de intersecção da superfície 
𝑧 =
1
2
24 − 𝑥2 − 2𝑦2 com o plano 𝑦 = 2, no ponto 2, 2, 3 é dada por 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝑥, 𝑦 =
−𝑥
2 24 − 𝑥2 − 2𝑦2
 
 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
2,2 =
−2
2 24−4−8 
= 
−1
12
= 
−1
2 3
 
Exemplos: 
 
3) Seja 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑦2 . Determinaremos a equação da reta tangente à 
intersecção do gráfico de f com o plano 𝑥 = 𝑥0, no ponto 𝑥0, 1,1 . 
 A derivada parcial de 𝑓 na direção 𝑦 é dada por 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑥0, 1 = lim
𝑡→0
(1 + 𝑡)2−12
𝑡
= lim
𝑡→0
1 + 2𝑡 + 𝑡2 − 1
𝑡
= lim
𝑡→0
2 + 𝑡 = 2 
Definimos 𝑧 = 𝑕 𝑦 = 𝑦2. 
A equação da reta tangente é dada por 
𝑧 − 𝑕 𝑦0 = 𝑕
′ 𝑦0 𝑦 − 𝑦0 
⇒ 𝑧 − 1 = 2 𝑦 − 1 
⇒ 𝑧 − 1 − 2𝑦 + 2 = 0 
⇒ 𝑧 − 2𝑦 + 1 = 0 
Intersecção de f(x,y) com o plano x=x0 
Reta tangente à intersecção 
Referências: 
ANTON, H. Cálculo, um novo horizonte / Trad. Cyro de Carvalho Patarra e 
Marcia Tamanaha. - 6.ed. - Porto Alegre : Bookman, 2000. Volume 2 
LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica, vol.2, 3ªed. 
VILCHES, M.A., CORRÊA, M.L. Cálculo: volume II. Rio de Janeiro. 
 
Softwares e gráficos: 
Geogebra, disponível em https://www.geogebra.org/ 
Calculadora gráfica avançada 3D, disponível em 
http://www.calculadoraonline.com.br/grafica-avancada 
AFONSO, A.P., Cálculo III, capítulo 4.1: Derivadas Parciais. (figuras 1 e 2). 
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